教学目标• ⒈ 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；• ⒉ 掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法

及运算律；• ⒊ 掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决

立体几何中的一些简单问题．• 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应

用．• 教学难点：两个向量数量积的几何意义．• 授课类型：新授课 .• 课时安排： 1 课时 .

一、几个概念1 ） 两个向量的夹角的定义

abba

ba

,,

,0

＝被唯一确定了，并且

量的夹角就在这个规定下，两个向范围：

bababa 互相垂直，并记作：与则称如果 ,2

,

O

A

Ba

a

b b

2 ）两个向量的数量积

注意：　①两个向量的数量积是数量，而不是向量 .　②零向量与任意向量的数量积等于零。

bababa

ba

babababa

aaOAaOA

,cos

,

,,cos,

,,

即记作：

的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量

记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设

3) 空间向量的数量积性质

aaa

baba

eaaea

2

)3

0)2

,cos)1

对于非零向量　　 ，有：对于非零向量　　 ，有：,a b

是证明两向量垂直的依据

是求向量的长度（模）的依据

4) | || |;a b a b a b 当 与 同向时，

|;||| bababa

反向时，与当

特别地 2|| aaa

aaa

||或 2a

为单位向量e

6) | | | || |a b a b

共线时取等号与ba

用来求两个向量的夹角

空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质 .

4) 空间向量的数量积满足的运算律

分配律））

交换律）

()(3

()2

)()()1

cabacba

abba

baba

注意：数量积不满足结合律即 ) ( )a b c a b c （

另外 ¿a b a c b c

及 0 0 0¿a b a b

或

二、 课堂练习

.________,

2,2

2,22.1

所夹的角为则

已知

ba

baba

)()4

)()()3

)()()()2

)(0,0,01

.2

22

222

qpqpqp

qpqp

cbacba

baba

则若）

判断真假：

0135

×

×

×

×

不一定为锐角

不一定为钝角

A

D

F

C

B

E

3.

1

1 (2)

(3) (4)

ABCD

E F AB AD

EF BA EF BD

EF DC EF AC

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

如图：已知空间四边形 的每条边和对角线长都等于，点 、 分别是 、 的中点。

计算：（）

已知空间向量 a ， b 满足 |a|=4 ， |b|=8 ， a 与 b 的夹角是 150° ，计算： (1)(a+2b)·(2a-b) ； (2)|4a 一 2b| ．

三、典型例题例 1 ：已知 m,n 是平面内的两条相交直线，直线 l 与的交点为 B ，且 l m⊥ ， l n⊥ ，求证： l⊥分析：由定义可知，只需证 l 与平面内任意直线 g 垂直。

n

mg gm n

l

l

要证 l 与 g 垂直，只需证 l·g＝ 0 而 m ， n 不平行，由共面向量定

理知，存在唯一的有序实数对 (x,y) 使得 g=xm+yn

要证 l·g ＝ 0, 只需 l· g= xl·m+yl·n=0而 l·m ＝ 0 ， l·n ＝ 0故 l·g ＝ 0

例 2 ：已知：在空间四边形 OABC 中 OA BC⊥ ，

OB AC⊥ ，求证： OC AB⊥ACOBCBOA ，证明：由已知

A

B

C

O

0)(

0)(

0,0

OAOCOB

OBOCOA

ACOBBCOA所以

OAOBOCOB

OBOAOCOA

所以

0

0)(

0

OCBA

OCOBOA

OCOBOCOA所以

ABOC 所以

巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理

lAO

P

, 0

, 0

0

, .

l a

PO l PO l PO a

OA l OA a

PA a PO a OA a

a PA l PA

������������������������������������������

����������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

������������� �

证明：取的方向向量

而

又

即

,

,

PO PA OA PA

l l OA

l PA

已知： 分别是平面 的垂线，斜线， 是在 内的射影， 且求证：

a

例 3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　

，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如

果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。

例 3 如图，已知线段　　在平面　 内，线段　　　　

，线段　　　　 ，线段　　　　，　　　　　 ，如

果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。

AC

BD AB DD 30DBD

,AB a AC BD b C D

AB

解：由　　　，可知　　　　 .

由　　　　 知　　　　　　 .

AC AC AB

30DBD , 120CA BD

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

| | ( )

| | | | | | 2

2 2

2 cos120

CD CD CD CA AB BD

CA AB BD CA AB

CA BD AB BD

b a b b

a b

2 2CD a b

b

a

b

C

A B

D'

D

例 4 　已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　 ,

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,

求对角线　　的长。

例 4 　已知在平行六面体　　　　　　　中，　　　 ,

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,

求对角线　　的长。

ABCD A B C D 4AB

3 , 5 , 90 , 60AD AA BAD BAA DAA

AC

D' C'

B'

D

A B

C

A'

解： AC AB AD AA

2 2

2 2 2

2 2 2

| | ( )

| | | | | |

2( )

4 3 5 2(0 10 7.5)

85

AC AB AD AA

AB AD AA

AB AD AB AA AD AA

| | 85AC

1. 已知线段　 、　在平面　 内，　　　，线段　　　

，如果　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离 .AB BD BD AB AC

, ,AB a BD b AC c C D

c

a b

C

A B

D

解：∵2 2

2 2 2

2 2 2

| | ( )

| | | | | |

CD CA AB BD

CA AB BD

a b c

2 2 2CD a b c

2. 已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于

　 ，点　　　分别是边　　　　的中点。

求证：　　　　　　　　。

2. 已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于

　 ，点　　　分别是边　　　　的中点。

求证：　　　　　　　　。

ABCD

a M N、 AB CD、

,MN AB MN CD

N

M

A

BD

C

证明：因为 MN MA AD DN

所以

2 2 2

( )

1 1 10

2 4 4

AB MN AB MA AD DN

AB MA AB AD AB DN

a a a

MN AB

同理，MN CD

3. 已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　

，求证：　　　。

3. 已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　

，求证：　　　。

, ,OABC OB OC AOB AOC

OA BC

O

A C

B

证明：∵( )

| | | | cos | | | | cos

| | | | cos | | | | cos

0

OA BC OA OC OB

OA OC OA OB

OA OC OA OB

OA OB OA OB

OA BC

4. 如图，已知正方体　　　　　　　，　 和　 相交于

点　，连结　 ，求证：　　　。4. 如图，已知正方体　　　　　　　，　 和　 相交于

点　，连结　 ，求证：　　　。

ABCD A B C D CD DC

O AO AO CD

O

D'

C'B'

A'

DA

B C

已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于　 ,

点　　　　分别是　　　　　　的中点，求下列向量的

数量积：

已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于　 ,

点　　　　分别是　　　　　　的中点，求下列向量的

数量积：

ABCD a

E F G、 、 AB AD DC、 、

(1) (2) (3) AB AC AD DB GF AC

；　 　 ；　 　 ；

(4) (5) (6) .EF BC FG BA GE GF

；　 　 ；　 　

G

F

E

A

B

C

D

作业讲评

作业讲评

如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a ，点 E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 DC 的中点。求下列向量的数量积：

(1) ;(2) ;

(3) ;(4) .

AB AC AD BD

GF AC EF BC

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

练习 1

A

B

C

D

EF

G

在平行四边形 ABCD 中， AB=AC=1 ，∠ ACD=90° ，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60° 角，求 B ， D 间的距离．

练习 2

已知空间四边形 OABC 中， M ， N ， P ， Q 分别为 BC ， AC ，OA ， OB 的中点，若 AB=OC ，求证： PM⊥QN ．

证明：

练习 4

练习 5

如图，在正三棱柱 中，若 ，

则 与 所成的角的大小为（ ）

A. B. C. D.

1 1 1ABC ABC

1AB 1C B

12AB BB

060 090 0105 075

6.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆　

解： CD BD BC

，　∴ AB CD AB BD AB BC

　

| | | | cos ,AB BD AB BD

　

| | | | cos ,AB BC AB BC

　

2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3 　

　∴ 3 1cos ,

2 3 2| | | |

AB CDAB CD

AB CD

，　

∴ AB与CD的夹角的余弦值为1

2．

说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 , 150AB BD

易错写成 , 30AB BD

，注意推敲！　

3 ）射影

eaeaABBA

e

lABBABlBAl

AllelaAB

,cos

,

11

1111

射影。方向上的正射影，简称或在

上的在轴叫做向量，则上的射影在作点上的射影

在点同方向的单位向量。作上与是，和轴＝已知向量

B

A

l

eA1

B1

注意：　在轴 l 上的正射影 A1B1 是一个可正可负的实数，

它的符号代表向量　　与 l 的方向的相对关系，大小代表

在 l 上射影的长度。

注意：　在轴 l 上的正射影 A1B1 是一个可正可负的实数，

它的符号代表向量　　与 l 的方向的相对关系，大小代表

在 l 上射影的长度。

AB��������������AB��������������

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