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3 TEOREMAS GENERALES DE LOS CIRCUITOS.
3 TEOREMAS GENERALES DE LOS CIRCUITOS. .................... 72
3.1 INTRODUCCIÓN. .................................................................... 74 3.2 TEOREMA 1. RELACIÓN ENTRE NODOS, RAMAS Y MALLAS. ............................................................................................ 76 3.3 TEOREMA 2. ÁRBOL Y EL NÚMERO DE SUS NODOS Y RAMAS ............................................................................................... 77 3.4 TEOREMA 3. RELACIÓN ENTRE LOS VOLTAJES DE UN ÁRBOL Y LOS VOLTAJES DE UN CIRCUITO. ............................. 78 3.5 TEOREMA 4. ECUACIONES DE MALLA INDEPENDIENTES............................................................................ 81 3.6 TEOREMA 5.NÚMERO DE VARIABLES DE VOLTAJE INDEPENDIENTES............................................................................ 83 3.7 TEOREMA 6. VOLTAJES EN LOS NODOS Y VOLTAJES DE RAMA DE UN ÁRBOL...................................................................... 86 3.8 TEOREMA 7. VOLTAJES DE NODO Y ECUACIONES DE MALLA. .............................................................................................. 88 3.9 TEOREMA 8. LEY DE CORRIENTES EN UN SUPERNODO 89 3.10 TEOREMA 9. ECUACIONES DE NODO INDEPENDIENTES............................................................................ 92 3.11 TEOREMA 10. NUMERO DE CORRIENTES INCÓGNITAS 94 3.12 TEOREMA 11.CORRIENTES DE UN CIRCUITO EN FUNCIÓN DE LAS CORRIENTES DE LAS RAMAS QUE FORMAN MALLAS. .......................................................................... 97 3.13 TEOREMA 12. LOS VOLTAJES CONOCIDOS DEBEN FORMAR UN ÁRBOL Y LAS CORRIENTES DESCONOCIDAS TAMBIÉN DEBEN FORMAR UN ÁRBOL. .................................... 99 3.14 TEOREMA 13. TEOREMA DE LAS 2r ECUACIONES. .. 100 3.15 TEOREMA 14. TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA. ................................................................................ 103 3.16 EJEMPLOS. ......................................................................... 107
3.16.1 TEOREMA 1: ................................................................ 107
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3.16.2 TEOREMA 2 ................................................................. 109 3.16.3 TEOREMA 3 ................................................................. 109 3.16.4 TEOREMA 4 ................................................................. 111 3.16.5 TEOREMA 5 ................................................................. 112 3.16.6 TEOREMA 6 ................................................................. 113 3.16.7 TEOREMA 7 ................................................................. 114 3.16.8 TEOREMA 8 ................................................................. 115 3.16.9 TEOREMA 9 ................................................................. 116 3.16.10 TEOREMA 10 ............................................................... 116 3.16.11 TEOREMA 11 ............................................................... 117 3.16.12 TEOREMA 12 ............................................................... 118 3.16.13 TEOREMA 13 ............................................................... 119
3.17 RESUMEN........................................................................... 124
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3.1 INTRODUCCIÓN. En el capítulo anterior hemos hablado de “leyes” de los circuitos, y ahora mencionaremos los “teoremas” de los circuitos; estos términos merecen una breve aclaración. Las “leyes” serían relaciones fundamentales, basadas en principios físicos universales, que no se pueden demostrar unas de otras (leyes de Kirchoff, relaciones voltiampéricas de los elementos); pero también pueden ser relaciones impuestas por quien construye ó propone los circuitos, relaciones que se deben cumplir obligatoriamente, pero que no son deducibles de principios físicos (estas últimas se asemejan a las leyes jurídicas). Las relaciones impuestas definen los elementos activos, llamados fuentes. El siguiente resumen trata de explicar lo anterior: “Leyes” sobre interconexión de elementos:
�i que entran en una nodo = 0 fundamentada en la conservación de la carga
�V en una malla cerrada = 0 fundamentada en la
conservación de la energía “Leyes” elementales de los elementos pasivos:
V Ri Z iR= = Ley de Ohm
V Ldidt
Z iL= = Ley de Lenz y de Faraday
i CdVdt
Z VC= = Ecuaciones de Maxwell y Poisson
“Leyes” impuestas a los circuitos activos (ó controlados): fuentes. v = valor conocido fuente de voltaje i = valor conocido fuente de corriente v = f (variables del circuito)
Fuente de voltaje controlada i = f (variables del circuito)
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Fuente de corriente controlada Se usan cuando el “usuario” del circuito lo requiera. Usted, lector, las puede imponer como guste. “Leyes” matemáticas y lógicas, y relaciones basadas en el sentido común y la intuición (difícilmente expresadas en ecuaciones), aplicadas sobre todo a problemas de simetría, a razonamientos por reducción al absurdo y a los razonamientos inductivos. Ahora, resulta que de las leyes anteriores se pueden deducir otras relaciones que cumplen todos los circuitos (y algunas que cumplen todos los circuitos lineales). El enunciado de una de esas relaciones, la demostración de que el enunciado es una consecuencia de las leyes de los circuitos, y una ilustración de como entender y usar el enunciado, constituye el “teorema” correspondiente. Estos teoremas son innumerables ; algunos son evidentes y muy útiles; unos son tan importantes que llevan el nombre de la persona que las propuso por primera vez ; usted lector, puede teóricamente inventarse un teorema de circuitos que le de la inmortalidad ... , pero todos en común, tienen una cosa; son terriblemente tediosos si se abordan con un estricto rigurosismo, y son amenos , agradables e incitantes, si se toman como una especie de juego matemático, poniendo el énfasis en entender el enunciado y aplicarlo a una serie de casos particulares, hasta comprender su uso y utilidad. Recomendamos, entonces, que no se trate de obligar al estudiante a aprender las demostraciones rigurosas, sino que se le inste a utilizar los enunciados en casos ilustrativos, de forma que vaya compenetrándose con las leyes que fundamentan el teorema y con el sentido de este. Trataremos de presentar los teoremas más útiles, empezando con lo más sencillos. La numeración que utilizaremos es nuestra y no corresponde a una clasificación establecida de los teoremas de circuitos.
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3.2 TEOREMA 1. RELACIÓN ENTRE NODOS, RAMAS Y MALLAS.
Si llamamos γ al número de elementos de un circuito (de aquí en adelante usaremos la palabra “rama” como sinónimo de la palabra “elemento”; de ahí el empleo de la letra γ para designar el número de ramas), n al número de “nodos” del circuito, y m al número de “mallas” del mismo circuito (trayectorias cerradas que contienen al menos una rama distinta a las demás), estas cantidades (números enteros) se relacionan por la ecuación:
γ = − +n m1 El párrafo anterior es el “enunciado” del teorema, y entre paréntesis se precisan algunos términos que, por ser usados por primera vez, requerían alguna explicación. En seguida expondremos la “demostración”, a lo largo de la cual los términos nuevos serán definitivamente ilustrados. DEMOSTRACIÓN Supongamos que vamos a construir el circuito (ó a dibujar su modelo gráfico), partiendo de un nodo inicial, n1, y colocando una rama (elemento) por vez (Figura 3.2.1.a) Obsérvese como la rama γ1 “crea” el nodo n2. En la figura 3.2.1.b, se ve como al añadir la rama γ2, esta “crea” al nodo n3. Ahora, después de que γ3 crea al nodo n4, (Figura 3.2.1.c), el añadido de la rama γ4 (Figura 3.2.1.d), no crea ningún nodo (pues se coloca entre nodos ya existentes)... ¡pero crea una malla m1! Resulta, entonces, que el añadir una rama al circuito solo se presentan dos opciones: ó crean un nodo, ó, crea una malla. Tenemos:
nodos = nodo inicial + � (nodos creados por ramas que crean nodos)
mallas = � (mallas creadas por ramas que crean ramas)
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Figura 3.2.1. Relación entre nodos, ramas y mallas.
Sumando estas expresiones: nodos + mallas = nodo inicial + � (nodos (uno por rama) creados por ramas que crean nodos) + � (mallas (una por rama) creadas por ramas que crean mallas) Como: ramas = � (ramas que crean nodos) + � (ramas que crean malla) = � (nodos creados por ramas) + � (mallas creadas por ramas) Obtenemos, reemplazando la última expresión en la penúltima: nodos + mallas = nodo inicial + ramas Y reemplazando las cantidades por las letras que escogimos para representarlas:
n m+ = +1 γ Como cada malla se forma al añadir una rama nueva, se concluye que las mallas así formadas tienen, al menos, una rama distinta a las demás mallas: la rama que las origina. 3.3 TEOREMA 2. ÁRBOL Y EL NÚMERO DE SUS
NODOS Y RAMAS Para unir todos los nodos de un circuito por ramas, sin formar una sola malla, se requieren n-1 ramas.
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Figura 3.3.1. Árbol y el número de sus nodos y ramas.
DEMOSTRACIÓN Basta construir el circuito partiendo del nodo inicial y añadiendo sólo las ramas que crean nodos. Como cada rama añadida crea un nodo, y el nodo inicial no requiere rama que lo cree:
nodos = nodo inicial + ramas añadidas
1−=∴ nodosaγ Una estructura que tiene sus nodos unidos por ramas y no contiene ni una malla, se llama “árbol” (por eso llamaremos el número de sus ramas γa).
3.4 TEOREMA 3. RELACIÓN ENTRE LOS VOLTAJES DE UN ÁRBOL Y LOS VOLTAJES DE UN CIRCUITO.
Basta conocer los voltajes en las ramas de uno de los árboles de un circuito para conocer todos los voltajes de todas las ramas del circuito. DEMOSTRACIÓN
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Si se conocen los voltajes de las ramas de un árbol y se añade una rama, esta formará una malla, en la cual se puede plantear:
Σ V en la malla = 0 Ecuación que contiene una sola incógnita, el voltaje en la rama añadida; y esa incógnita puede calcularse a partir de la ecuación anterior. En la figura 3.4.1 se ilustra el caso de añadir la rama γ6 cuyo voltaje es Vmx
Figura 3.4.1. Relación entre los voltajes de un árbol y los voltajes de un circuito.
3553 0 VVVVVV mxmx −=→=+−∴
∴V V3 5, : voltajes de ramas del árbol: conocidos
mxV : voltaje de la rama añadida : incógnita Es evidente que el circuito completo pueda construirse añadiendo rama por rama, y calculando cada vez el voltaje en esa rama. Aprovechemos este teorema sencillísimo para plantear la igualdad matemática entre un voltaje conocido y una fuente de voltaje (Figura 3.4.2).
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Figura 3.3.2. Igualdad matemática entre voltaje conocido y una fuente de voltaje.
En efecto, una de las definiciones de una fuente de voltaje dice que se trata de un elemento definido por la relación:
v = valor conocido Si en una rama cualquiera se puede plantear la misma relación, resulta que desde el punto de vista de planteamiento de ecuaciones y de su solución (punto de vista que llamaremos matemático), no puede existir diferencia entre la fuente y el elemento. En otra forma, cualquier rama (ó elemento) queda completamente definida matemáticamente por las ecuaciones que se le atribuyan. Hay otro aspecto importantísimo en esto de los valores conocidos: en matemáticas, al conjunto de las variables que toman valores conocidos ó asignados sin restricciones se les llama “variables independientes” (son “independientes” de otras variables). Entonces, de aquí en adelante tomaremos como sinónimas las expresiones: “variables independiente”, “valor conocido” y “fuente de voltaje ó corriente”. El teorema que acabamos de ver se puede escribir, por lo tanto, así: si reemplazamos los voltajes conocidos por fuentes de voltaje, y estas conforman un árbol del circuito, se pueden conocer todos los voltajes de ese circuito. El “recíproco” de este teorema se estudia en los siguientes numerales.
81
3.5 TEOREMA 4. ECUACIONES DE MALLA INDEPENDIENTES.
El conjunto de las ecuaciones de malla planteadas en las mallas que se forman añadiendo ramas a un árbol, es independiente. Y no hay otra ecuación de malla independiente en ese circuito. DEMOSTRACIÓN Las ecuaciones de malla planteadas a partir de las mallas que se forman añadiendo una rama son independientes porque cada ecuación contiene una variable no contenida en la demás: la variable correspondiente a la rama añadida. Ahora, que sean las únicas ecuaciones de malla independientes se demuestra suponiendo que se puede plantear otra ecuación independiente de malla en el mismo circuito. Esa ecuación será de la forma: �(V en las ramas del árbol) + � (V en las ramas que forman malla) = 0
Pero los voltajes de las ramas que forman malla siempre se pueden expresar en función de los voltajes de las ramas del árbol (teorema anterior, demostrado precisamente usando las ecuaciones independientes de la malla). De modo que reemplazando esos voltajes en la ecuación supuesta:
� (V en las ramas del árbol) + � (V en las ramas del árbol) = 0 O sea que el voltaje en una rama de un árbol necesariamente debe depender de los voltajes en las demás ramas del árbol. Lo cual no es cierto, ya que los voltajes de un árbol se pueden escoger de un modo arbitrario, sin restricción alguna. Esto se ilustra en la figura 3.5.1.
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Figura 3.5.1. Ecuaciones de malla independientes.
Las ecuaciones de malla independientes son:
0
0
231
312
=−+
=−−
maa
ama
VVV
VVV
De las cuales:
312
231
aam
aam
VVV
VVV
+=
−=
Asumiendo otra malla independiente:
02121=−−+ mmaa VVVV
Pero reemplazando las dos ecuaciones anteriores obtenemos: ( ) ( ) 0
312321=+−−−+ aaaaaa VVVVVV
Obsérvese que esta última es una ecuación que establece una relación entre los voltajes del árbol; relación que no puede existir en general, pues se pueden escoger estos voltajes arbitrariamente, sin restricción física ninguna. Pero la ecuación quedó planteada, y decimos que no puede contener restricción ninguna ¿como se explica esto? Simplemente la ecuación debe ser una identidad, y una identidad no establece restricción alguna. Queda establecido que, dado un árbol, sólo son independientes las ecuaciones planteadas en las mallas formadas al ir añadiendo las ramas que forman las mallas.
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3.6 TEOREMA 5.NÚMERO DE VARIABLES DE VOLTAJE INDEPENDIENTES
Si se quieren conocer todos los voltajes de un circuito, se deben conocer n-1 voltajes (ó deben haber n-1 fuentes de voltajes, ó deben haber n-1 variables independientes, pues se trata de expresiones equivalentes), y estos deben corresponder a las ramas de un árbol. DEMOSTRACIÓN En un circuito hay γ voltajes (uno por rama) y contamos con m ecuaciones independientes (una por malla); luego debemos conocer γ - m voltajes, para determinar los demás con las ecuaciones. Pero como conocemos que:
Incógnitas = γ Ecuaciones = m
Y se debe cumplir:
γγ
= − +− = −
n m
m n
11
Por lo tanto debemos conocer n-1 voltajes para poder resolver las ecuaciones (primera parte del teorema). Para la segunda parte, observemos que las ramas de los voltajes conocidos no pueden formar: a) Árboles inconexos (Figura 3.6.1.a), pues en este caso nunca pueden ser
n-1 ramas, pues en cada árbol queda sobrando un nodo sin rama, el nodo inicial, para “construir” ese árbol, y las ramas son:
ramas = nodos - #### de árboles inconexos
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Figura 3.6.1. Número de variables de voltaje independientes.
En cada árbol se cumple:
1)1()1()1( +=→ árboldelramasárboldelnodosárbol 1)2()2()2( +=→ árboldelramasárboldelnodosárbol
. . .
. . .
. . .
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1)()()( +=→ nárboldelramasnárboldelnodosnárbol _________________________________________________
ntotalesramastotalesnodosárbolesn +=→ b) Sistemas inconexos (Figura 3.6.1.b) y sistemas conexos (Figura 3.6.1.c) con mallas. Pero en este caso en las mallas se pueden plantear ecuaciones de malla, y los voltajes de esas ramas no serían variables independientes (no pueden tomar valores arbitrarios). Por lo tanto, al no existir ninguna otra posibilidad fuera del árbol, queda comprobada la segunda parte del teorema.
Figura 3.6.2. Ejemplos teorema 5.
El resumen de estos últimos teoremas sería: para encontrar todos los voltajes de un circuito, sus fuentes de voltaje deben formar un árbol. Para ilustrar este resultado, observemos que el circuito de la figura 3.6.2.a se puede resolver, en cambio el de la figura 3.6.2.b no es posible resolverlo, aunque tiene los mismos elementos y la misma estructura. De aquí en adelante utilizaremos mayúsculas para designar las fuentes de voltaje y de corriente, y en general, los valores conocidos ó variables independientes.
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3.7 TEOREMA 6. VOLTAJES EN LOS NODOS Y VOLTAJES DE RAMA DE UN ÁRBOL.
Conocidos los n-1 voltajes de un árbol y el voltaje de uno de los nodos del circuito, se pueden conocer todos los voltajes de los demás nodos.
Figura 3.7.1. Voltajes en los nodos y voltajes de rama en un árbol.
DEMOSTRACIÓN. Por definición, el voltaje de una rama es la diferencia de voltajes entre sus nodos. Tomando el caso de la figura 3.7.1:
34
12
13
4
2
1
nn
nn
nn
VVV
VVV
VVV
−=
−=
−=
Si conocemos el voltaje de uno de los nodos, Vn1, por ejemplo, y conocemos los voltajes en las ramas que inciden en ese nodo, V1, V2 en el ejemplo, podemos calcular el voltaje en los otros nodos de esas ramas:
1
2
13
12
VVV
VVV
nn
nn
+=
+=
Conocidos los voltajes de esos nodos, nos moveríamos a través del árbol calculando los demás voltajes de los nodos. Pero, ¿qué significado tienen los voltajes de los nodos? Serían la energía útil de la unidad de carga en los nodos; pero esa energía
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depende del nivel de referencia que se tome (a veces se toma como un hipotético infinito lejano, desde el cual se debe traer la unidad de carga hasta el punto ó nodo considerado). En la práctica, esos “voltajes absolutos” de los nodos tienen importancia para la relación del circuito con el entorno que lo rodea (nivel de aislamiento, peligro para las personas que manejan el circuito, etc); pero desde el punto de vista del mismo circuito, y de su solución matemática, no interesan. Lo que viene a interesar es la diferencia de voltajes entre los nodos. Ahora esa diferencia se mantiene si tomamos como cero (0) el voltaje de uno de los nodos (puede ser Vn1=0, en el ejemplo). Este nodo se llamará nodo de referencia y tiene una gran importancia en la teoría de los circuitos eléctricos. De aquí en adelante asumiremos que siempre podemos escoger uno de los nodos del circuito como referencia y tomar su voltaje como cero (0). Los voltajes en los demás nodos serán medidos respecto a la referencia.
Figura 3.7.2. Nodo de referencia.
Para ilustrar lo anterior, mostraremos en la figura 3.7.2, dos circuitos cuyos nodos de referencia tienen unos voltajes “absolutos”.
Vn1 absoluto = 100 voltios Vn´1 absoluto = 400 voltios
Los demás nodos tendrán voltajes absolutos calculados, utilizando el árbol de voltajes conocidos:
Vn2 = 100 volt +2 volt + 4volt = 106 volt Vn´2 = 400 volt + 1 volt - 2 volt + 3 volt = 402 volt
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Vn2 =6 voltios Vn´2 = 2 voltios
Sin embargo, tal como se ve en la figura 3.7.3, al considerar el voltaje en los nodos de referencia cero (0), no se alteran para nada los voltajes en las ramas de ambos circuitos.
Figura 3.7.3. Nodo de referencia.
3.8 TEOREMA 7. VOLTAJES DE NODO Y ECUACIONES DE MALLA.
Los voltajes de nodo (ver apéndice A) cumplen automáticamente las ecuaciones de malla.
Figura 3.8.1. Voltajes de nodo y ecuaciones de malla.
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DEMOSTRACIÓN Consideremos una ecuación de malla general:
... ...+ + + =V Vij jk 0
Y reemplacemos dos de los voltajes de ramas unidas a un mismo nodo (por ejemplo, el nodo j), por la diferencia equivalente de los voltajes de nodo (ver apéndice A):
... ( ) ( ) ...+ − + − + =V V V Vi j j k 0 El voltaje del nodo común desaparece de la ecuación, y así le debe ocurrir a todos los otros voltajes de nodo, de forma que la ecuación se vuelve la identidad 0 = 0. Obsérvese que esto es una gran ventaja: ¡utilizando como variables los voltajes de nodo (ver apéndice A), resolvemos sin esfuerzo las γ-n+1 ecuaciones de malla del circuito! ¡Ni siquiera tenemos que plantearlas!
3.9 TEOREMA 8. LEY DE CORRIENTES EN UN SUPERNODO
Cualquier conjunto de elementos y nodos de un circuito, cumple las leyes de corrientes de Kirchoff.
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Figura 3.9.1. Ley de corrientes en un supernodo.
DEMOSTRACIÓN Aceptemos primero que kii → representa la corriente que circula del nodo i al nodo k; que iki → representa la corriente del nodo k al nodo i; y que, por lo tanto:
0=+ →→ ikki ii , pues una de las corrientes es la inversa de la otra. Ahora si llamamos “supernodo” a un conjunto de elementos del circuito (Figura 3.9.1), escribimos las ecuaciones de Kirchoff para las corrientes de los nodos exteriores al supernodo (nodos representados por los nodos genéricos i, j, k): Nodo i � →isi + Σ i de otros nodos � i = 0
Nodo j � → jsi + Σ i de otros nodos � j = 0 (3.9.1)
Nodo k � →ksi + Σ i de otros nodos � k = 0
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Donde � →isi es la suma de las corrientes del supernodo s al nodo i Si el nodo k no está conectado con el supernodo, simplemente tendríamos � =→ 0ksi , lo cual no afecta la prueba siguiente. Sumando las ecuaciones de corriente para todos los nodos exteriores al supernodo, obtenemos:
i i i is i s j s k→ → →+ + +���� otros nodos → +�i i otros nodos → +�j i otros
nodos →k = 0 Pero en iotros nodos i→� debe estar el término ij i→ ; mientras en
� → jnodosotrosi debe estar el término jii → ; y sabemos que 0=+ →→ ijji ii . Ahora, todos los términos en esa sumatoria
tendrán su término opuesto en otras sumatorias, de donde: � � � =++ →→→ 0ksjsis ii
Y como son nodos genéricos, obtendremos:
is todos los otros nodos→ =� 0
Queda demostrado, entonces, que la ley de corrientes de Kirchoff se puede extender a cualquier parte o subconjunto de elementos de un circuito y no está restringida únicamente a un nodo. Este resultado es importantísimo y debe tratar de ser asimilado y usado con frecuencia pues resulta una herramienta de primer orden en la solución de circuitos complejos.
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3.10 TEOREMA 9. ECUACIONES DE NODO INDEPENDIENTES.
Figura 3.10.1. Ecuaciones de nodo independientes.
Sólo las ecuaciones de nodo planteadas en n-1 nodos de un circuito son independientes. DEMOSTRACIÓN Es la misma del supernodo, pero aplicada a un nodo cualquiera del circuito:
i i1→ + Σ i de otros nodos � i = 0
i j1→ + Σ i de otros nodos � j = 0 (3.10.1) Σ i de otros nodos � k = 0
Sumando estas expresiones:
0)()()(
0
11
11
=+++++++∴
=+++++++
→→→→→→→→
→→→→→→→→
kjjkkiikjiijji
kjkijkjijikiji
iiiiiiii
iiiiiiii
Como todos los términos entre paréntesis se anulan, nos queda:
i ii j1 1 0→ →+ = Y teniendo en cuenta que la demostración puede extenderse a cualquier número de nodos:
� =→ 0nodosotroslostodosaii
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Lo que demuestra que la ecuación de corrientes de un nodo se puede encontrar de las ecuaciones en los demás nodos.
Figura 3.10.2. Ecuaciones de nodo independientes.
Que las ecuaciones de los otros nodos son independientes, se demuestra con ayuda del concepto “árbol”. En efecto, designado con el mismo número del nodo que se crea al añadir una rama a la corriente de esa rama, se tiene que cada ecuación de nodo quedará de la forma:
i� de ramas que forman mallas en el nodo + i rama que creó el nodo = 0 O sea que cada ecuación tendrá una variable, al menos, diferente a las otras ecuaciones. Para la figura 3.10.2, tendremos como ilustración:
Nodo i i
Nodo i i
Nodo i i iNodo i i i
Nodo i i i
2 03 04 05 06 0
7 2
4 3
5 6 4
8 9 5
9 7 6
→ − + =→ − + =→ − − + =→ + + =→ − + + =
Ahora, para mostrar como se plantean las ecuaciones de nodo de modo que cada una contenga una variable nueva se procede a escoger los nodos periféricos primero, y luego los demás nodos, pero considerando que ya una de las ramas que inciden
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en el nodo escogido incide en uno de los nodos anteriores tomados en cuenta para plantear las ecuaciones anteriores. Se entiende por nodos periféricos los últimos formados al construir un árbol a partir del nodo inicial. Por ejemplo, el nodo 4 fue mal escogido en el ejemplo del libro. Siguiendo la regla, las ecuaciones se deben plantear así: Nodos periféricos:
Nodo 5 0985 =++→ iii Nodo 6 0976 =−+→ iii
Nodo 1 → Nodo inicial, no le corresponde rama. No se le asigna corriente ni ecuación.
Nodo 2 072 =−→ ii Luego los demás nodos (Ahora, todos tienen ramas, cuyas corrientes fueron consideradas en las ecuaciones anteriores; no hay problema para escogerlos).
Nodo 4 0654 =−−→ iii Nodo 3 043 =−→ ii En el nodo 1 no podemos aplicar la regla, pues no lo creó ninguna rama. Su ecuación se puede deducir de las demás como se demostró en la primera parte del teorema.
3.11 TEOREMA 10. NUMERO DE CORRIENTES INCÓGNITAS
Para conocer las corrientes de un circuito, empleando las n-1 ecuaciones independientes de nodo, debemos conocer al menos, m de las corrientes (que serán la variables independientes, los “datos”, ó, lo que es lo mismo, las fuentes de corriente), Las n-1 incógnitas (una por ecuación) formarán un árbol.
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Figura 3.11.1. Número de corrientes incógnitas.
DEMOSTRACIÓN. Si tenemos γ corrientes, una por rama, y entre ellas podemos plantear n-1 ecuaciones independientes, entonces debemos fijar el valor de γ γ− − = − +( )n n1 1 corrientes para poder resolver el sistema completo. Pero, sabemos que γ = + −m n 1; por lo tanto, el número de corrientes conocidas debe ser
mnnmnr =+−−+=+− 111 . El número de las incógnitas debe ser n-1, y deben corresponder a ramas de un árbol, por lo siguiente: asumamos primero que las ramas de las corrientes incógnitas forman sistemas inconexos entre ellas mismas (Figuras 3.11.1).O sea, conjuntos de elementos aislados unidos por elementos cuyas corrientes son conocidas. Esos sistemas inconexos, ilustrados como círculos en la figura citada, se pueden considerar como supernodos y las corrientes que entran en ellos deben cumplir la ley de Kirchoff.
� i supernodo →→→→ otros nodos = 0
∴ � i conocidas =0 Pero el valor de estas corrientes se puede, si corresponden a las fuentes o variables independientes, establecer arbitrariamente. Por lo tanto, no se puede plantear una ecuación entre ellas. Y se concluye que las incógnitas no deben pertenecer a sistemas inconexos. En el circuito de la figura 3.11.1 se puede plantear:
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i i i ii e j k+ + + = 0 Pero estas corrientes deberían ser variables independientes cuyo valor se puede escoger de forma arbitraria, lo cual contraría a la ecuación. Lo anterior nos lleva a que las ramas con corrientes incógnitas, sólo pueden formar un sistema conexo (con todos sus nodos unidos por ramas). Pero si en este sistema se forman mallas tendremos que el número de ramas será:
γ = − +n m1 Y como habíamos quedado que el número de incógnitas o sea, el de las ramas correspondientes, es n-1, debemos concluir que no se puede formar unas mallas. En definitiva, que las ramas cuyas corrientes son incógnitas, deben formar un árbol. Este teorema es muy difícil. Considere un sistema de ecuaciones:
259361524
20823
=−+→=−−
=++
zyxzyx
zyx
���
�
�
���
�
�
−−−
936214
823
���
�
�
���
�
�
z
y
x
=���
�
�
���
�
�
2515
20
�
1
936214
823 −
���
�
�
���
�
�
−−−
���
�
�
���
�
�
2515
20
=���
�
�
���
�
�
z
y
x
=
1
936214
823 −
���
�
�
���
�
�
−−−
���
�
�
���
�
�
3
2
1
c
c
c
=���
�
�
���
�
�
548.0287.1
346.4
Obsérvese que, al invertir la matriz, las variables y los valores conocidos cambian de “papel”. Así como entre los datos no se puede plantear una ecuación pues significaría que las ecuaciones no son independientes, entre las incógnitas no se puede plantear ecuaciones diferentes pues significaría lo mismo.
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3.12 TEOREMA 11.CORRIENTES DE UN CIRCUITO EN FUNCIÓN DE LAS CORRIENTES DE LAS RAMAS QUE FORMAN MALLAS.
Todas las corrientes de un circuito se pueden expresar en función de las corrientes de las ramas que forman malla en un árbol cualquiera. DEMOSTRACIÓN Formamos un árbol cualquiera, las corrientes en él las declaramos incógnitas, y las corrientes de las otras ramas (que serán ramas que forman mallas), las consideramos variables independientes. Por el teorema anterior, vemos que se puede resolver el sistema empleando las n-1 ecuaciones de corriente. Para la figura 3.12.1 tendremos:
Figura 3.12.1. Corrientes de un circuito en función de las corrientes de las ramas que
forman mallas.
nodo n2 i i ix x x2 4 30− − =
nodo n3 03
=−+ abx IIi nodo n4 0
4=+ ax Ii
bbaax
bax
ax
IIIIi
IIi
Ii
−=−+−=∴
−=∴
−=∴
2
3
4
98
Las corrientes que corresponden a ramas que forman malla en los circuitos se denominan “corrientes de malla (ver apéndice A)” (ó corrientes de Maxwell, que fue quien las introdujo por primera vez). Empleándolas, podemos ahorrarnos el hablar de corrientes de rama (porque estas se pueden expresar, como acabamos de ver, en función de las corrientes de malla). Para ello, debemos construir primero un árbol del circuito, sin colocar corrientes, y luego, al añadir cada rama que forma malla, hacer circular la corriente de la malla formada (Figura 3.12.2). Al terminar, todas las ramas del árbol tienen que estar recorridas por una ó varias corrientes de malla, pues en el caso de no estarlo, significaría que la corriente de esa rama no depende de las corrientes de malla (ver apéndice A), cosa que acabamos de ver como imposible. La clave para entender el uso práctico de las corrientes de malla, es saber que cumplen automáticamente las ecuaciones de nodo. En efecto, como entran y salen de todo nodo, en la ecuación i� que entran al nodo = 0 siempre aparecen como positivas (+) al entrar y negativas (-) al salir, cancelándose.
Figura 3.12.2. Corrientes de un circuito en función de las corrientes de las ramas que
forman mallas.
Por ejemplo, la ecuación para el nodo 3 de la figura 3.12.2, es: i� entran en n3 = 0
99
I I I Ib a b a− − + = 0
3.13 TEOREMA 12. LOS VOLTAJES CONOCIDOS DEBEN FORMAR UN ÁRBOL Y LAS CORRIENTES DESCONOCIDAS TAMBIÉN DEBEN FORMAR UN ÁRBOL.
Para resolver un circuito completamente, basta que los voltajes conocidos (fuentes de voltaje ó variables independientes) correspondan a un árbol, y las corrientes desconocidas (incógnitas) correspondan a otro árbol del circuito.
Figura 3.12.1. Los voltajes conocidos deben formar un árbol y las corrientes
desconocidas también deben formar un árbol. DEMOSTRACIÓN Ya vimos que cuando los voltajes conocidos formaban un árbol (es decir, las ramas correspondientes a esos voltajes) se podían encontrar todos los voltajes del circuito; y vimos que cuando las incógnitas de corriente correspondían a las ramas de un árbol, se pueden calcular todas las corrientes del circuito, si se dan las condiciones del enunciado, podemos, entonces, conocer todos los voltajes y todas las corriente del circuito. Para la ilustración del teorema, consideremos la figura 3.13.1.a. Obsérvese en b), como las fuentes de voltaje forman
100
un árbol, y como en c) las incógnitas de corriente forman otro árbol
Figura 3.13.2. Los voltajes conocidos deben formar un árbol y las corrientes
desconocidas también deben formar un árbol.
El circuito se puede resolver así:
4
42
2
2412
41
4
4
2
2
41
1
3
5
35
3
1
53
5
35
3
0
0
0
0
0
Ii
IIi
Ii
VVVVVV
VVV
Ii
Iii
iI
VVV
VVV
x
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
x
−=
−−=
−=
+−=+=
−=
=−−
=+−
=+
=+−
=−−
3.14 TEOREMA 13. TEOREMA DE LAS 2r ECUACIONES.
Si en un circuito como el descrito en el teorema 12 (las fuentes de voltaje corresponden a las ramas de un árbol, y las corrientes incógnitas a ramas del mismo u otro árbol), se reemplaza cualquier número de fuentes con elementos descritos por la relación:
101
Valor fuente independiente de las ecuaciones de Kirchhoff = f (de voltajes y corrientes del circuito) (Es decir, el valor de la fuente se cambiará de valor conocido a incógnita; y esa incógnita estará dada por una función de valores del circuito; cuidando que esa relación no repita la ecuación de Kirchoff donde aparece la fuente que estamos reemplazando), el circuito se puede resolver completamente. DEMOSTRACIÓN Aunque el enunciado de este teorema parece complejo, resuelta en realidad muy fácil de explicar. Asumamos primero que el circuito tiene sus fuentes de voltaje formando un árbol, y sus corrientes incógnitas formando un árbol también. Todos los voltajes incógnitos se pueden expresar en función de las fuentes de voltaje, y todas las corrientes incógnitas se pueden expresar en función de las fuentes de corriente:
V incógnitos = Σ (algunas fuentes de voltaje con signos apropiados)
i incógnitas = Σ (algunas fuentes de corriente con signos
apropiados) Si el valor de una fuente de voltaje se convierte en incógnita, tal incógnita puede pasarse a la izquierda de alguna de las ecuaciones anteriores:
Incógnitas – V de la fuente que pasó a incógnita = � (algunas fuentes de voltaje) Tendríamos una variable mas, pero como añadimos una ecuación mas: V de fuente que pasó a incógnita = f (de voltajes y corrientes del circuito) El sistema sigue con posibilidades de solución. Pero como el proceso mencionado puede aplicarse a todas las fuentes, tendríamos 2γ ecuaciones independientes: n-1
102
ecuaciones de nodo, m ecuaciones de malla y γ ecuaciones de rama:
Ecuaciones independientes = rmnr 21 =+−+ Este resultado se conoce usualmente como “el teorema de las 2γ ecuaciones”; pero su presentación usual deja mucho que desear, pues se asume sólo fuentes de voltaje ó de corrientes independientes. Nótese que lo que se hace es considerar incógnitas todos los voltajes y corrientes de todas las ramas, de modo que el número de incógnitas es r2 . Luego se consideran las ecuaciones independientes: r : Una por rama. Aún en las fuentes se toma una ecuación, por ejemplo, .5
5volVx =
n - 1: Ecuaciones independientes de nodo. m : Ecuaciones independientes de malla. En total, ecuaciones independientes: rmnr 21 =+−+ Ilustraremos este caso con el circuito de la figura 3.13.1, cambiando V1 en incógnita, e introduciendo la ecuación no
lineal ( )V Vx x1 3
2= (ver figura 3.13.2)
( )( )
( )( )
( )( ) )6(
5
4
3
2
1
2
24
4
4
42
2
31
15
13
1
3
5
xx
xx
xx
x
x
x
VV
VVVV
VVV
Ii
IIi
Ii
=
++−=
−=
−=
−−=
−=
Reemplazando (6) en (4) y en (5), tenemos:
224 )(
35 xx VVVV ++−= (5´)
V V Vx x3 3
24= −( ) (4´)
103
( )( )( )2
411
0
4
42
3
33
VV
VVV
x
xx
+±+=∴
=−+−
( )( ) 2
424 2
4111
5���
�
���
� +±+±++−=∴
VVVVx
Usamos a propósito una ilustración con ecuaciones no lineales, para advertir que estos teoremas no tienen que ver con la linealidad ó no de los elementos de circuitos.
3.15 TEOREMA 14. TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA.
En cualquier circuito 0=� ii iv en todas las ramas del circuito. DEMOSTRACIÓN Este teorema solo fue demostrado en ¡1950! por Bernard Tellegen. Por eso afirmábamos que un estudiante avisado puede perfectamente inventarse un nuevo teorema que sea bien útil. Para la demostración que sigue utilizaremos un método nuestro que nos parece muy sencillo. Primero nos imaginamos el circuito representado por elementos generales (Figura 3.15.1), luego designamos con letras minúsculas los voltaje y las corrientes de rama, y con mayúsculas los voltajes de nodo.
104
Figura 3.15.1. Teorema de la conservación de la potencia.
En seguida consideramos encerrado en un supernodo todo el circuito menos los elementos que inciden en el nodo de referencia. Para el caso ilustrado:
11
11
ramanodo
VoltajeVoltaje
vV =
Por lo tanto, multiplicando la ecuación anterior por 1i :
1111 iviV = (1)
Pero : 222222 iviVvV =→= (2)
Sumando (1) + (2): 22112211 iviviViV +=+ (3) De igual modo obtendríamos:
332211332211 iviviviViViV ++=++ (4) Considerando todos los elementos del circuito que inciden en el nodo de referencia, comenzamos a sacar del supernodo elementos que dan en los nodos donde terminan los elementos que vienen del nodo de referencia. Las posibilidades que se presentan se ilustran en la figura 3.15.2.
105
Figura 3.15.2. Teorema de la conservación de la potencia.
Para el caso a:
mmmm ivVVivVV −=−∴−=− )( 1414 (5) Sumando (4) y (5), término a término:
mmmm iviviviviViViViViV −++=−+++ 33221114332211 Como 1iim = , se cancelan 11 iV con miV1 :
mmm iviviviviViViV −++=++ 33221143322 Obsérvese como el término mm iv entra en la suma de potencias con el signo que le corresponde como a potencia suministrada. Para el caso b:
mmmm
mmm
iviViV
iiiiiivVV
=−∴=+==− −
21
2,21
,121 ,,
Y como:
imm
mm
iviiViiV
iiiiii
=−−−
−=−=
)()(
,,2221
,11
,221
,1
(7)
Sumando, como en el caso anterior, (4) + (7):
mm iviviviviViViViViViViV +++=+−−+++ 332211,222211
,11332211
106
mm iviviviviViViV +++=++ 33221133,22
,11
Para el caso c:
)8()(
,,
,1114
14
1,1414
mmm
mmmm
mmm
iviiViV
iviViV
iiiiivVV
=−−∴
=−∴===− −
Como en los dos casos anteriores, sumamos (4) + (8):
mm iviviviviViViViViViV +++=+−+++ 332211,111144332211
mm iviviviviViViViV +++=+++ 332211443322,11
Haciendo un resumen de lo obtenido: los voltajes de los nodos que pertenecen al supernodo multiplicados por las corrientes que salen del supernodo a través de los terminales unidos a esos nodos, suman lo mismo que las potencias de todos los elementos externos al supernodo. Este resultado, de por si, ya es un importante teorema. Si continuamos sacando elementos del supernodo llegará un momento en que ya no quedan elementos en él. Solo quedará un único nodo (Figura 3.15.3), en el que se cumplirá necesariamente:
0...
...
4321
321
=+++++
=====
kj
fkj
iiiiii
VVVVVV
Figura 3.15.3. Teorema de la conservación de la potencia.
107
Como en la parte izquierda de la ecuación (4) solo quedan los voltajes de los nodos en el supernodo multiplicados por las
corrientes que salen de ellos:
Parte izquierda. En todos los elementos. Esta parte izquierda quedará:
iikjf iviiiiiiV �=+++++ )...( 4321 =0 Quedando demostrado el teorema.
3.16 EJEMPLOS.
3.16.1 TEOREMA 1: Encontrar el número de ramas, nodos y mallas del circuito mostrado en la figura 3.16.1.1: el circuito es no − planar, y para representar elementos cuyos terminales se cruzan sin formar nodos esos cruces no se resaltan con puntos negros; en cambio, si los terminales forman nodo, ese nodo se resalta con un punto negro. Encontramos los valores pedidos construyéndolo rama por rama, ver figura 3.16.1.2.
Figura 3.16.1.1 Ejemplo teorema 1.
↓↓
=+++ � iikkjj iviViViViV ...2211
108
Figura 3.16.1.2 Ejemplo teorema 1.
1) nodo inicial 2) nodo formado por la rama a 3) nodo formado por la rama b 4) nodo formado por la rama c m1) malla formada por la rama d m2) malla formada por la rama e
109
m3) malla formada por la rama f m4) malla formada por la rama g
n (# nodos) = 4 m(# mallas) = 4 γ (# ramas) = 7
Comprobación de la ecuación:
γ = n - 1 + m 7 = 4 - 1 + 4
3.16.2 TEOREMA 2 Formar “árboles” que unan todos los nodos del circuito de la figura 3.16.1.2:
Figura 3.16.2.1 Ejemplo teorema 2.
Observemos como el número de ramas requeridas siempre es:
n - 1 = 4 - 1 = 3
3.16.3 TEOREMA 3 Asumamos conocidos los voltajes en tres ramas del circuito, ramas que forman un árbol, y calculemos los demás voltajes de rama, figura 3.16.3.1. Como al añadir una nueva rama se forma, necesariamente, una malla, podemos calcular el voltaje en la rama añadida.
110
Figura 3.16.3.1 Ejemplo teorema 3.
Figura 3.16.3.2 Ejemplo teorema 3.
VV
VVVV
c
c
10
0235
+=∴=++−
Figura 3.16.3.3 Ejemplo teorema 3.
5V + 2V – Vb = 0
Vb = 7V
111
Figura 3.16.3.4 Ejemplo teorema 3.
5 2 0
7
V V V
V Vf
f
− + =∴ =
Figura 3.16.3.4 Ejemplo teorema 3.
2 3 0
5
V V V
V Vg
g
+ + =∴ = −
3.16.4 TEOREMA 4 Se busca ilustrar como el conjunto de las ecuaciones de malla, en las mallas formadas añadiendo ramas a un árbol, es independiente, y cualquier otra ecuación de malla ya no es independiente. Por lo tanto, se forma un árbol en el circuito y se plantean las ecuaciones de malla.
112
Figura 3.16.4.1 Ejemplo teorema 4.
032
025
025
0235
=++
=+−=+−
=++−
VVV
VVV
VVV
VVVV
g
f
b
c
Cada ecuación tiene una variable diferente, por lo tanto, son independientes. Si plantea otra ecuación de malla, digamos:
03 =−+− fc VVV Observamos que esta ecuación se obtiene restando dos de las ecuaciones anteriores ¿cuales serían esas ecuaciones?
3.16.5 TEOREMA 5 Ilustramos este teorema mostrando el caso en que tenemos voltajes conocidos que no forman un árbol (ver figura 3.16.5.1). Lo primero que se observa es que los voltajes conocidos no son independientes, no pueden tener valores arbitrarios, pues forman una malla. Lo segundo que se puede observar es que los demás voltajes no se pueden calcular.
113
Figura 3.16.5.1 Ejemplo teorema 5.
En efecto, en la malla exterior:
0527 =−− VVV Estos valores dependen unos de otros, no son independientes. De los demás voltajes solo podemos calcular Vb.
3.16.6 TEOREMA 6 Si conocemos el voltaje en el nodo 2 de la figura 3.16.6.1:
V v2 128=
Figura 3.16.6.1 Ejemplo teorema 6.
Podemos calcular:
V V V v
V V V vV V V v
1 2
4 2
3 1
2 1303 1255 135
= + == − == + =
O sea, podemos calcular los voltajes de los demás nodos.
114
3.16.7 TEOREMA 7 Planteando una ecuación de malla en el circuito que hemos estudiado (Figura 3.16.7.1):
Figura 3.16.7.1 Ejemplo teorema 7.
Figura 3.16.7.2 Ejemplo teorema 7.
5 3 0V V V Vy x− + + =
Y expresando los voltajes de rama en función de los voltajes de nodo (ver apéndice A):
115
( ) ( ) ( ) ( )
V V V
V V V
V V V
V V V
V V V V V V V V
V V V V V V V V
y
x
= −= −= −= −
∴ − − − + − + − =− − + + − + − =
3 4
1 2
3 1
2 4
3 1 3 4 2 4 1 2
3 1 3 4 2 4 1 2
53
0
0
Es decir, se obtiene una identidad, tal como lo dice el teorema.
3.16.8 TEOREMA 8 Ver figura 3.16.8.1
Figura 3.16.8.1 Ejemplo teorema 8.
Σi en nodo 1 − − − =i i i1 5 6 0
Σi en nodo 2 i i i i6 2 7 4 0+ + + =
Sumando estas ecuaciones obtenemos
0
0
472651
4726651
=+++−−∴=++++−−−
iiiii
iiiiiii
Nótese que esta ecuación corresponde a la suma de corrientes que salen del supernodo escogido.
116
3.16.9 TEOREMA 9 Veamos las ecuaciones de los tres nodos del circuito de la figura 3.16.8.1:
Figura 3.16.9.1 Ejemplo teorema 9.
(1) 0651 =−−− iii (2) 0426 =++ iii (3) 0231 =−− iii
Sumemos estas ecuaciones:
0231426651 =−−++++−−− iiiiiiiii 0435226611 =+−−−++−+−∴ iiiiiiiii
Obtenemos:
0345 =−+− iii Que sería la ecuación de corrientes en el nodo 4.
3.16.10 TEOREMA 10 En el circuito de la figura 3.16.10.1 asumimos como incógnitas las corrientes i1, i6 e i7, cuyas ramas forman un árbol. Obsérvese primero que se pueden escoger las demás corrientes arbitrariamente (ensaye a darles valores tan absurdos como quiera), y en seguida obsérvese como se pueden calcular las incógnitas de la figura 3.15.10.2:
117
Figura 3.16.10.1 Ejemplo teorema 10.
Σi en 1 i A i1 617 0− − =
Σi en 2 i A i A6 732 80 0+ + + = Σi en 3 − − − − =i A A1 32 20 80 0
De Σi en 3 i A1 132= − De Σi en 1 i i A A6 1 17 149= − = −
De Σi en 2 − = − − =i A i A7 6112 37
Figura 3.16.10.2 Ejemplo teorema 10.
3.16.11 TEOREMA 11 Del circuito de la figura 3.16.11.1 escogemos como valores conocidos las corrientes en una malla, hallemos las demás corrientes:
118
Figura 3.16.11.1 Ejemplo teorema 11.
Σi en 1 − − − =7 14 05A i A
Σi en 2 0414 24 =+++ iiAA Σi en 3 7 25 02 4A i A i− − − =
De Σi en 1 i A5 21= − De Σi en 2 Aii 1842 −=+ De Σi en 3 Aii 1842 −=+
Estas últimas ecuaciones son linealmente dependientes, obsérvese que las corrientes incógnitas no forman un árbol, por lo tanto no podemos hallar los valores de i4 ni de i2.
3.16.12 TEOREMA 12 Ver figura 3.16.12.1
Figura 3.16.12.1 Ejemplo teorema 12.
119
Σ i en 1 14 5 0 9A i A i Ax x− − = ∴ = Σ i en 2 − − − + =14 10 0A A i iz y
Σ i en 3 i A A i i i A Ax y y x+ − − = ∴ = + =10 2 0 8 17 De los valores anteriores:
i i A Az y= − = −24 7 Ahora hacemos ΣΣΣΣ voltajes en las mallas:
3 10 0 13v V v V vb b− + = → = − − + = → =V v v V vg g4 10 0 6
3 4 10 0 9v V v v V vc c− − + = → = − + = → =V V V vy b y0 13
Así el circuito queda completamente determinado.
3.16.13 TEOREMA 13 Ver figura 3.16.13.1
Figura 3.16.13.1 Ejemplo teorema 13.
De Σi en 1: (A) 0145 =+−− zgx iVi De Σi en 2: (B) 01410 =−+−− zybz iiVi
120
De Σi en 3: (C) 0210 =−−+ ycbx iVVi (D) 0310 =+− xbz iVi (E) 0410 =−− zgz iVi (F) 04310 =−−+ zcxz iVii (G) V Vy b=
Tengo 7 ecuaciones y las incógnitas son ix, iy, iz, Vg, Vb, Vo, y Vy, 7 incógnitas también, veamos la solución: De (A): zgx iVi 145 +−= De donde: (B) 01510 =−− zby iVi (C) ( ) 0210514 =−−+− ycbgz iVVVi (D) ( ) 0514310 =−+− gzbz ViVi (E) 06 =− gz Vi (F) ( ) 051436 =−+− gzcz ViVi (G) V Vy b= De (G): V Vy b= De donde: (B) 01510 =+−− yzb iiV (C) 0210514 =−−+− ycbgz iVVVi (D) 01552 =−− bgz VVi (E) 06 =− gz Vi (F) 01548 =−− gcz VVi De (E): zg iV 6=
121
De donde: (B) 01015 =+−− ybz iVi (C) 02103014 =−−+− ycbzz iVVii (D) 09052 =−− zbz iVi (E) 066 =− zz ii (F) 09048 =−− zcz iVi De (D): zb iV 38−= De (F) zc iV 42−= De donde: (B) 015380 =+− yzz iii (C) 08438016 =−+−− yzzz iiii
0312
0365
=−−
=+∴
yz
yz
ii
ii
La solución sería entonces:
i i i V V V Vz y z c y b g= = = = = = = 0 ¡Es una solución al fin y al cabo! Solución que era de esperarse teniendo en cuenta el álgebra lineal... Pero, ¿como lograrse una solución diferente de cero? Pues cambiando una de las fuentes por una ecuación que tenga un término independiente. Veamos el caso:
122
Figura 3.16.13.2 Ejemplo teorema 13.
(A) 0145 =+−− zgx iVi (B) 01410 =+−−− yzbz iiVi (C) i V V ix b c y+ − − =1 0 2 0 (D) 1 0 3 0i V iz b x− + = (E) 1 0 4 4 0i V iz g z− − − = (F) 044310 =−−−+ zcxz iVii (G) V Vy b= De (A): i V ix g z= − +5 1 4 (B) i V iy b z− − =1 0 1 5 0 (C) 1 4 5 1 0 2 0i V V V iz g b c y− + − − = (D) )145(310 zgbz iVVI +−+− (E) 6 4 0i Vz g− − = (F) 6 1 5 4 2 0i V V iz g c z− − + = De (E): V ig z= − =6 4 0 (B) − + − =1 0 1 5 0V i ib y z (C) 1 4 1 0 2 3 0 2 0 0i V V i iz b c y z+ − − − + =
123
(D) 0609052 =+−− zbz iVi (F) 4 8 9 0 4 6 0 0i V iz c z− − − + = De (F): zc iV 4256 −= (B) 01015 =+−− ybz iVi (C) 020112841016 =+−+−+− zybz iiVi (D) − − + =3 8 6 0 0i Vz b De (D): V ib z= −6 0 3 8 (B) i i iy z z+ − − =3 8 0 6 0 0 1 5 0 (C) 0846003802011216 =++−+−− zzyz iiii (B) 600365 =+ zy ii (C) − − = −3 1 2 5 0 8i iz y
Sumando (B) + (C):
5 3 9 21 7 3 5 8
i
iz
z
=∴ = .
En las dos últimas figuras se colocan las respuestas sobre los circuitos a manera de comprobación de resultados.
i i
V i
V iV i
V V
i i V
y z
b z
c z
g z
y b
x z g
= − = −= − + = −= − = −= − == = −
= − = −
6 0 0 3 8 5 3 3 5 8 4 9
3 8 6 0 5 9 6 2 25 6 4 2 1 6 9 0 56 4 6 4 1 4 8
5 9 6 2 2
1 4 5 7 7 7 2 8
.
.
..
.
.
124
Figura 3.16.13.3.a) Ejemplo teorema 13 (Valores de los voltajes y las corrientes del
circuito).
Figura 3.16.13.3.b) Ejemplo teorema 13 (Valores de los voltajes y las corrientes del
circuito).
3.17 RESUMEN. En este capítulo hemos trabajado extensamente las leyes de Kirchoff tratando de fundamentar dos cosas importantísimas: 1. Cuando y porque se puede resolver un circuito; cuales de las
ecuaciones son independientes y cuales de sus variables pueden ser independientes y tomar valores arbitrarios.
2. Los conceptos de voltaje de nodo (ver apéndice A), variables que cumplen automáticamente las ecuaciones de malla, reduciendo enormemente la solución de circuitos; y el
125
concepto de corrientes de malla (ver apéndice A), variables que cumplen automáticamente las ecuaciones de nodo, reduciendo igualmente el laborioso proceso de resolver algunos circuitos.
Precisamente para simplificar el proceso de solución de circuitos, veremos en el próximo capítulo algunos “teoremas” sobre transformación y combinación de elementos.
