2.Hydrostatik 2.1Druck 2.2Druckmessung 2.3Druckkräfte auf …hakenesch.userweb.mwn.de/fluidmechanik/k2_folien.pdf · 2020. 10. 7. · Fluidmechanik Hydrostatik –Druckkräfte auf

Fluidmechanik Hydrostatik 1___________________________________________________________________________________________________________________

2. Hydrostatik

2.1 Druck

2.2 Druckmessung

2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen

2.4 Statischer Auftrieb

2.5 Stabilität schwimmender Körper

2.6 Fluide unter Beschleunigung

Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druck 2___________________________________________________________________________________________________________________

2.1 Druck

Zustandsgröße zur Beschreibung eines thermodynamischen Zustands

innerhalb eines Systems

Druck, ähnlich wie Temperatur oder Dichte, ist eine ungerichtete, also

skalare Größe

Zur Beschreibung des Drucks ist immer ein Referenzniveau erforderlich

z.B.

Vakuum Absolutdruck

Umgebungsdruck Differenzdruck

Beliebiges Druckniveau Differenzdruck


2.1 Druck

Druckeinheiten

Einheit MultiplikationsfaktorPa = N/m² 1hPa = mbar 10²MPa 106

bar 105

atm 1,01325105

mm WS = mm Wassersäule 9,80665mm Hg = mm Quecksilbersäule = Torr mmHg 133,32

760 mm Hg = 1 atmpsi = lb/in² 6894,757

lb = engl. pound force, 1 lb = 4,448 Nin = engl. inch = Zoll = 25,4 mm

psf = lb/ft² 47,88ft = engl. foot = 12 inch = 0,3048 m


Übung 2‐1Vor dem Antritt ihrer Fahrt in den Winterurlaub prüfen Sie an einer Tankstelle in München (H = 500 m) den Reifendruck an ihrem Fahrzeug. Das Manometer zeigt einen Druck von pR = 2,3 bar an. Das Fahrzeug war über Nacht am Straßenrand geparkt und die Reifen‐temperatur entspricht der Umgebungstemperatur von T = ‐2°C. An diesem Tag herrscht in München ein Luftdruck von pM = 954 hPa (nicht umgerechnet auf Meeresniveau). Bei einem Tankstopp am Brennerpass (H = 1370 m) prüfen Sie erneut den Reifendruck. An der Tankstelle lesen Sie am dort angebrachten Barometer einen Luftdruck von pH = 856 hPa ab. Die Reifen wurden infolge der Fahrt auf der Autobahn bereits warm gefahren und haben eine Temperatur von TH = 30°C.

Welchen Druck zeigt das Manometer an der Tankstelle am Brennerpass an?


2.1.1 Hydrostatischer Druck

Kräftegleichgewicht𝑝 ∙ d𝐴 𝐹 𝑝 ℎ ∙ d𝐴 0

mit𝐹 𝜌 ∙ d𝐴 ∙ ℎ ∙ 𝑔

folgt für den Druck in der Tiefe h𝑝 ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

dAp 0

dA)h(p

0p0p

hgp 0

00 zgp

0z h

z z

GF

)z(p


2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen

Druck auf die Innenseite der Bodenplatte𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Äußerer Druck auf die Bodenplatte𝑝 𝑝

Beide Drücke wirken auf die Fläche A, also gilt𝐹 𝑝 𝑝 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝐴

h

A A A A

FFFF

p0

p0


2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen

Belastung durch virtuelles Volumen𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝐴

h

A A A A

FFFF

p0

p0

Vvirtuell Vvirtuell Vvirtuell Vvirtuell


2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße

p0 p0

(1)

(1)

(2)

(2)

z

0

z1

z2

z0

h1

h0 h0

h22

1

Kommunizierende Gefäße mit Öl (1) und Wasser (2) befüllt


2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße

Linke Seite: Bilanz (1 ‐ 1)𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝

Rechte Seite: Bilanz (2 ‐ 2)𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝

Wegen p1 = p2 folgt𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝

also

𝜌 𝜌 ∙ℎℎ

a) b)


2.1.4 Hydraulische Presse

z1z2

F1

F2

A1

A2

p1

p2

p0

(1)

(2)

Hydraulische Presse


2.1.4 Hydraulische Presse

Kräftebilanz am Kolben (1)𝑝 ∙ 𝐴 𝐹 𝑝 ∙ 𝐴

Kräftebilanz am Kolben (2)𝑝 ∙ 𝐴 𝐹 𝑝 ∙ 𝐴

Druckunterschied an denn Kolbenunterseiten𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑧 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧

bzw.𝐹𝐴 𝑝

𝐹𝐴 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧

Kraftverstärkungsverhältnis𝐹𝐹

𝐴𝐴

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴𝐹


Übung 2‐2Für die skizzierte hydraulische Presse sind folgende Fragen zu klären: Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) erforderlich um die Masse m = 10 t auf dem

Kolben (2) zu halten Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)? Wie groß ist der Fehler bei Vernachlässigung des Höhenunterschieds zwischen den

Unterseiten der beiden Kolben?

p0 = 1 bar

p2(1)

m = 10 t

(2)

= 900 kg/m30,5 m

3 m

D2 = 500 mmD1 = 50 mm

p1

F1

(1)


2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe

pipu

H

h

(1)

(1)

(2)

(2)

p0

W

Saugpumpe an einem Brunnen



Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1) – (1)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Druckbilanz im Brunnenschacht (2) – (2)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Messpunkte für p1 und p2 liegen auf dem gleichen Niveau befinden, also gilt𝑝 𝑝

und somit𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

𝐻𝑝 𝑝𝜌 ∙ 𝑔



Maximale theoretische Förderhöhe

𝐻𝑝

𝜌 ∙ 𝑔10

10 ∙ 9,81 10m

Reale Förderhöhe

𝐻𝑝 𝑝 𝑇

𝜌 ∙ 𝑔



Reale Förderhöhe:

𝐻∙


2.1.6 Kavitation

Kavitationsschäden an einem Schiffspropeller

Fluidmechanik Hydrostatik ‐ Druckmessung 18___________________________________________________________________________________________________________________

2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen

Ruhendes System

Keine Relativbewegung zwischen Sensor und Fluid

Gemessene Größe = statische Größe = Totalgröße

pmess = ps = pt

Beispiel

Messung des aktuellen Luftdrucks im Raum mittels eines Barometers


2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen

Bewegtes System

Fall 1: Sensor bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit, wie das Fluid

Keine Relativbewegung zwischen Sensor und Fluid

Gemessene Größe = statische Größe ps = ps + /2c2


2.2.2 Einbau von Drucksonden

c90°

p0pstatisch

h

c

cp0pstatisch

h

pstatisch

pstatisch

pstatisch

c

c

pt pstatisch

h

pstatisch

pstatisch

cpt

M MM

a) statische Wanddruckbohrung b) statische Drucksonde c) Prandtl‐Rohr

a) b)


2.2.3 U‐Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer

Druckbilanz im linken Schenkel (1)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦

Druckbilanz m rechten Schenkel (2)𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Wegen p1 = p2 gilt𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

also𝑝ü 𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑥 𝑦

Vereinfachung für Gase (𝜌 ≫ 𝜌 )

𝑝ü 𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

p0

h

Hg

(1) (2)

pi

K

x

y

pü


2.2.3 U‐Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer

𝑝 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐿 ∙ sin𝛼

h

L

p1

p0

M


2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung

Barometer sind auf eine Referenztemperatur kalibriert, (0°C oder 20°C)

Abweichende Temperaturen bedingen Fehlanzeige infolge der

Wärmedehnung

Korrektur der Wärmedehnung

𝐿 𝐿 ∙ 1 1,81 ∙ 10 ∙ 𝑇 oder 𝐿 𝐿

L0 mmHg Länge der Quecksilbersäule, umgerechnet auf T = 0°CLT mmHg Länge der Quecksilbersäule, abgelesen bei Umgebungs‐

temperaturT °C Umgebungstemperatur


2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung

Berechnung der Luftdichte aus Druck‐ und Temperaturmessung: =p/RT

Trockene Luft: R = 287,05 J/kgK

Korrektur der Luftfeuchte

𝑅𝑅

1 1 𝑅𝑅 ∙𝜑 ∙ 𝑝

𝑝

𝑅

1 0,3773 ∙ 𝜑 ∙ 𝑝𝑝mit

R J/kgK spezifische Gaskonstante von Luft bei = 0%RD J/kgK spezifische Gaskonstante von Wasserdampf % relative Luftfeuchtep Pa LuftdruckpD Pa Sättigungsdampfdruck von Wasser bei der vorliegenden

Raumtemperatur, pD aus Tab. A‐4 bis Tab. A‐7 oder Magnus‐Formel (T in °C)

𝑝 611,213 ∙ e, ∙

,

Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 25___________________________________________________________________________________________________________________

2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen

Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche

𝐹 𝐹 𝐹 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 ∙ 𝐴 𝑝 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 ∙ 𝐴

H

p0

p0

Fi

FaA



Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche

Kraft auf infinitesimales Flächenelement dA

d𝐹 d𝐹 d𝐹 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴 𝑝 ∙ d𝐴

d𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

H

p0

p0

dFdA

A

SzS

D

zD z

Fz

yx



Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche

Belastung der gesamten linken Seitenfläche

d𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

Flächenschwerpunktskoordinate zS

𝑧 1𝐴 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

Kraft F𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴

Kraft F auf eine beliebig geformte ebene Fläche hängt nur von dem Druck

p(zS) am Ort des Flächenschwerpunkts S



Druckpunkt oder Kraftangriffspunkt

H

p0

p0

z

yx

p = p(z)

pi

p0p = const.

Flüssigkeit Gas

S

DS = D

F

F

zS = zDzS zD

Druckpunktlage a) Flüssigkeiten b) Gase

zD > zS zD = zS



Berechnung der Druckpunktlage Momentgleichgewicht um die x‐Achse

𝐹 ∙ 𝑧 𝑧 ∙ d𝐹 𝑧 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche A um die x‐Achse

𝑧 ∙ 𝑑𝐴

Kraft F𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴

also𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐼

bzw.𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝐼



Berechnung der Druckpunktlage mit

𝐼 𝐼 𝑧 ∙ 𝐴

eingesetzt in das Momentengleichgewicht 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑧 𝐼 𝑧 ∙ 𝐴

also

𝑧𝐼 𝑧 ∙ 𝐴

𝑧 ∙ 𝐴𝐼

𝑧 ∙ 𝐴 𝑧

Versatz d des Druckpunkts unterhalb des Schwerpunkts

𝑑 𝑧 𝑧𝐼

𝑧 ∙ 𝐴



Berechnung der Druckpunktlage bei unsymmetrischen Flächen Druckpunkt liegt nicht senkrecht unterhalb des Flächenschwerpunkts laterale Verschiebung xD aus dem Momentengleichgewicht um die z‐Achse

𝐹 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ d𝐹

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

𝑧 ∙ 𝐴 ∙ 𝑥 𝑥 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

mit

𝐼 𝑥 ∙ 𝑧 ∙ d𝐴

𝑥𝐼

𝑧 ∙ 𝐴


Übung 2‐3Gesucht ist die Belastung auf die kreisförmige Klappe des skizzierten Behälters. Auf die Wasseroberfläche als auch auf die Seitenwände des Behälters wirkt der äußere Umgebungsdruck p0. Berechnen Sie das Moment Mx der Klappe um die Drehachse a-a, die Kraft Fges auf die linke Seitenwand bei geschlossener Klappe und die Lage des Kraftangriffspunktes zD,Wand für folgende Werte:p0 = 1 bar, = 10³ kg/m³, zS = 2 m, Klappenfläche A = 0,19635 m², Pegelstand im Behälter H = 6 m, Breite des Behälters B = 10 m

p0

p0

A

S zS

D

zDF

z

yx

a a

b

b

H



Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche

p0

p0

A

S zS

D

zDF

z

yx

a a

b

b

ttStD S

D



Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche

Kraft F berechnet sich aus hydrostatischem Druck im Flächenschwerpunkt S𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 ∙ 𝐴 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴

mit zD = tDcos und zS = tScos

𝑑 𝑡 𝑡𝐼

𝑡 ∙ 𝐴

Sonderfall der ebenen, senkrechten Fläche = 0, cos = 1 zD = tD und zS = tS

𝑑 𝑧 𝑧𝐼

𝑧 ∙ 𝐴 𝑡 𝑡𝐼

𝑡 ∙ 𝐴


2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen

z

y x

(1)

(2)

(3)

(4) (4')

(3')

(2')

(1'')

(2'')

A1

A2A3

A1,x

A2,x

S1,x

D1,x

D2,x

S2,xS3,xD3,x

zD2,xzS2,x

zS1,x

zD1,x

F1,x

F2,xF3,xA3,x

V

Fz

Fz

F1,x

F



Horizontale Kraftkomponente Fx

Teilfläche A1𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,

𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,

𝑧 , ∙ 𝐴 ,Teilfläche A2

𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,

𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,

𝑧 , ∙ 𝐴 ,Teilfläche A3

𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,

𝑧 , 𝑧 ,𝐼 , ,

𝑧 , ∙ 𝐴 ,



Horizontale Kraftkomponente FxEs gilt

𝐴 , = 𝐴 ,

𝑧 , = 𝑧 ,

𝑧 , 𝑧 ,

𝐼 , , = 𝐼 , ,

𝐹 , 𝐹 ,

𝐹 𝐹 , 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 , ∙ 𝐴 ,

Vertikale Kraftkomponente FzGewicht des virtuellen Volumens über der Gesamtfläche A = A1 + A2 + A3

𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉virt

z

y x

(1)

(2)

(3)

(4) (4')

(3')

(2')

(1'')

(2'')

A1

A2A3

A1,x

A2,x

S1,x

D1,x

D2,x

S2,xS3,xD3,x

zD2,xzS2,x

zS1,x

zD1,x

F1,x

F2,xF3,xA3,x

V

Fz

Fz

F1,x

F


2.3.3 Druckkraft auf nicht‐abwickelbare Flächen

(2)

(3)

(4)

(1)

(2')

(3')

(4')

(1')

A

A'

S'

D'

dy'

dz'

(2'')

(3'')

(4'')

(1'')

A''

D''dz''

dx''

S''

Fy

Fz

F

z

y

x

FxFy

Fx

S

VFz


Übung 2‐4Gesucht ist Kraft auf einen Staudamm, der die Form eines Kugelsegments hat. Zu berechnen ist die Gesamtkraft F auf den Staudamm sowie die Lage des Kraftangriffspunkts P. Pegelstand H des Stausees und Radius R des Staudamms betragen R = H = 100 m.

HR

R

xy

z

gx

y

z


Übung 2‐4

HinweiseFlächenschwerpunkt ‐ Halbkreis:

𝑥 0, y ∙∙

‐ Viertelkreis:𝑥 𝑦 0,576 ∙ 𝑅

Flächenträgheitsmoment eines Halbkreises

𝐼∙

∙ 9 ∙ π 64

y

x

yS

xS

S

R

y

xyS S R

Fluidmechanik Hydrostatik – Kraft auf Begrenzungsflächen 41___________________________________________________________________________________________________________________

Übung 2‐5

Zwei Behälter sind durch eine Zwischenwand getrennt. Im Punkt Mist eine drehbare halbkreisförmige Klappe K gelagert, die sich zwischen den Endpositionen 1 und 2 bewegen kann und in den Endpositionen abdichtet. Behälter A ist mit Luft, Behälter B ist mit Luft und Wasser befüllt. An der Oberseite der Behälter befindet sich je ein Ventil VA und VB. Außen herrscht der Umgebungsdruck p0. Die Gewichtskräfte der Klappe und der Luft sind zu vernachlässigen.

h

2r

VA VB

A B

W

p0

pATA

pBTB

Luft Luft

Wasser

Position 1

Position 2

Mx

y

1

2

K

Tiefe der Behälter in z-Richtung: t

z H

a b

g

Fluidmechanik Hydrostatik – Kraft auf Begrenzungsflächen 42___________________________________________________________________________________________________________________

Übung 2‐5

1. Ventil VA ist geschlossen, Ventil VB ist geöffnet. Der Druck pA ist so groß, dass die Klappe in Position 1 gehalten wird. Geben Sie die Kräfte Fx und Fy auf die Klappe K als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen an.

2. Ventil VA und Ventil VB sind geschlossen.Bestimmen Sie den erforderlichen Luftdruck pA im Behälter A, so dass die Klappe K gerade noch in Position 2 gehalten wird als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen.

Fluidmechanik Hydrostatik – Statischer Auftrieb 43___________________________________________________________________________________________________________________


Erstes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren Überprüfung des Goldanteils in der Krone von König Hieron II von Syrakus



a) b)



Statischer Auftrieb als Ergebnis einer Druckdifferenz

z1

p0

z2

F1

F2

FG

F

K

A

A



Druckkraft F1 an der Oberseite 𝐹 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑝 ∙ 𝐴

Druckkraft F2 an der Unterseite 𝐹 𝑝 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑝 ∙ 𝐴

Auftriebskraft FA𝐹 𝐹 𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉

Gewichtskraft FG𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 ∙ 𝐴 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉

Resultierende Gesamtkraft Fges. ergibt sich mit VF = VK zu𝐹 . 𝐹 𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 𝜌 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉


Übung 2‐6Bei einem Ausflug ins Elsass kommen Sie an dem Schiffshebewerk in Saint‐Louis‐Arzviller vorbei und bestaunen die Ingenieursleistung aus dem 20. Jahrhundert. Hierbei werden Schiffe in einer großen Wanne mit einem Schrägaufzug über einen Höhenunterschied von 44,55 m befördert. Eine der am häufigsten gestellten Fragen lautet: Ist die Wanne mit dem Schiff schwerer als die Wanne ohne Schiff?

Waage Waage


Übung 2‐7Angesichts der Diskussion um den Klimawandel gilt es die Frage zu klären, um wieviel der Meeresspiegel ansteigen wird, wenn das gesamte arktische Eis abtaut. Diese Frage berührt Sie besonders, da Sie vor der schwierigen Entscheidung stehen, sich für eine Berghütte in den Alpen, ein Ferienhaus an der französischen Atlantikküste oder für ein Hotel mit Tauchbasis auf den Malediven zu entscheiden.Gehen Sie bei der rechnerischen Abschätzung von folgenden Werten aus:

Mittlere Dichte von Eis: Eis = 920 kg/m³Mittlere Dichte von Meerwasser: Meerwasser = 1025 kg/m³


2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs

Archimedisches Prinzip

Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluides

Voraussetzung

Körper ist vollständig benetzt

Ist diese Voraussetzung nicht gegeben

Auftriebskraft entspricht der Druckdifferenz von der Ober‐ zur Unterseite

des Körpers


2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs

Beispiel

Saugnapf

Erforderlicher Durchmesser bei m = 100kg, p0 = 1bar

𝐹 𝐹 𝐹 𝑝 𝑝 ∙ 𝐴𝐴

𝑚 ∙ 𝑔𝑝

also

𝑑4 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔

π ∙ 𝑝4 ∙ 100 ∙ 9,81

π ∙ 10 0,112 m

p1 = 0

p2 = p0

A

F = mg

F1

F2


Übung 2‐8Berechnen Sie den Messfehler einer konventionellen Badezimmerwaage für einen leicht untergewichtigen Menschen mit einer Gesamtmasse von mK = 100 kg.Die Messung findet auf Meeresniveau statt, das heißt die Luftdichte beträgt Luft = 1,225 kg/m3

Fluidmechanik Hydrostatik – Stabilität schwimmender Körper 52___________________________________________________________________________________________________________________


g

xy

zFG

FA

FG

FASA

SKd SK

SASA'

Schwimmachse

Schwimmfläche Metazentrum

d

h0 0

a



Stabilitätsmaß entspricht der metazentrischen Höhe h

ℎ𝐼𝑉 𝑑

h > 0: stabil

h = 0: indifferent

h



1 Seenotrettungskreuzer, 23m2 Seenotrettungsboot, 8,3m3 Patrouillenboot, 38m4 Motoryacht4a 100% Vorräte4b 25% Vorräte

5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t

6 Gorch Fock6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck6b Rumpf ohne Aufbauten

Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel

Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 55___________________________________________________________________________________________________________________

2.6 Fluide unter Beschleunigung

Starrer Körper

Änderung der Geschwindigkeitsvektoren zwischen den Zeitpunkten t1 und t2

Betrag der Geschwindigkeit: Translatorischen Beschleunigung

Richtung: Rotatorische Beschleunigung

Geschwindigkeit + Richtung

Momentanbeschleunigung 𝑎 zum Zeitpunkt t1 ergibt sich aus dem Ortsvektor

𝑟 zu

𝑎 𝑡 lim→

𝑐 𝑡 𝑐 𝑡𝑡 𝑡

d𝑐d𝑡

d 𝑟d𝑡

𝑟


2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung

Niveauflächen (Isobarenfläche) Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden

Massekräften (Gravitation, Trägheit) Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck

belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen An der freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer ein

Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck


2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung

xy

z

g

dm

dFG = dm.g = dR

adm

dR

dFT = dm.a

dFG = dm.g

tan𝛼𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

d𝐹d𝐹

d𝑚 ∙ 𝑎d𝑚 ∙ 𝑔

𝑎𝑔


Übung 2‐9Sie schwimmen bei Bregenz, am Südostufer des Bodensees in Ufernähe und blicken über den See in nordwestlicher Richtung. Wie hoch müsste in Konstanz, das in ungefähr 44 km Entfernung liegt, ein Turm sein, so dass Sie die Turmspitze noch sehen könnten?


2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung

g

dR

dFT = dm 2 r

dFG = dm.g

z

rR R

dmzmax

zmin

z0

tan𝛼𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

d𝐹d𝐹

d𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔d𝑚 ∙ 𝑔

𝜔𝑔 ∙ 𝑟



Form der freien Oberfläche

tan𝛼d𝑧d𝑟

d𝐹d𝐹

𝜔𝑔 ∙ 𝑟

also

d𝑧𝜔𝑔 ∙ 𝑟 ∙ d𝑟

Integration über den minimalen und maximalen Pegelstand

d𝑧𝜔𝑔 ∙ 𝑟 ∙ d𝑟



Form der freien Oberfläche

Rotation um die Symmetrieachse des Behälters: r(zmin) = 0 und r(zmax) = R

𝑧 𝑟 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟

Maximale Steighöhe am Rand des Behälters: r = R und z(r) = zmax

𝑧 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅



Form der freien Oberfläche ‐ Rotationsparaboloid

𝑉 π ∙ 𝑟 𝑧 ∙ d𝑧 = ∙ 𝑉 ∙ π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 𝑧

z

rR R

zmax

zmin

z0

KVrot



Form der freien Oberfläche ‐ Rotationsparaboloid

Volumen der Flüssigkeit ergibt sich aus dem Pegelstand z0 bei =0 zu

𝑉 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧12 ∙ π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 𝑧 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧

𝑉 2 ∙ 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅

𝑧 𝑧𝜔

4 ∙ 𝑔 ∙ 𝑅

Einsetzen von zmin in

𝑧 𝑟 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟

ergibt die gesuchte Gleichung der freien Oberfläche z = z(r, , R, z0)

𝑧 𝑟 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟𝑅2


Übung 2‐10Während Sie beim Frühstück den Zucker in Ihrer Kaffeetasse verrühren, überlegen Sie sich, mit welcher Maximalgeschwindigkeit Sie den Kaffee umrühren können, bevor dieser über den Tassenrand schwappt und wie tief das Minimum der freien Oberfläche unterhalb des Tassenrands liegt.Ihre Kaffeetasse hat einen Innendurchmesser von d = 76 mm und eine Höhe H = 80 mm. Im Ruhezustand liegt der Pegelstand des Kaffees bei z0 = 65 mm.



Druckverteilung bei rotierenden Fluiden

𝑝 𝑟, ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 𝑟 ℎ 𝑝 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧𝜔

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑟𝑅2 ℎ

g

z

r

zmax

h

z(r)

p0

Isobarenfläche

t



Kraft auf einen Deckel bei einem rotierenden Fluid

𝐹 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉mit

𝑉 𝑉 𝑉 π ∙ 𝑅 ∙ 𝑧 ℎ π ∙ 𝑟 𝑧 ∙ d𝑧

z

rR R

zmax

h

VAr(z) VR

p0

p0


Übung 2‐11Sie betrachten wieder eine Kaffeetasse mit einem Innendurchmesser von d = 78 mm und einer Höhe von h = 80 mm. Der Pegelstand im Ruhezustand beträgt z0 = 65 mm. Auf Ihrer kleinen Drehbank in Ihrem Keller fertigen Sie sich einen Deckel, der sich passgenau in das Innere der Tasse einfügt und diese zur Wandseite hin abdichtet.Welche Masse hat der Deckel, wenn bei einer Rotationsgeschwindigkeit von n = 3,21 s‐1 der Deckel von dem rotierenden Fluid mit seiner Unterseite in eine Höhe von h = 75 mm getragen wird?

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