k2 hydrostatik teil1 - hakenesch.userweb.mwn.dehakenesch.userweb.mwn.de/fluidmechanik/k2_folien_teil1.pdf · Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung keine Grenzflächenkräfte

Fluidmechanik Hydrostatik __________________________________________________________________________________________________________

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2 Hydrostatik ..................................................................................................................................... 2 2.1 Grundlagen ................................................................................................................................. 2

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ................................................... 2

2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten .................................................................... 6

2.1.3 Druckeinheiten ..................................................................................................................... 8

2.1.4 Hydrostatischer Druck .......................................................................................................... 9

2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon ....................................................................... 11

2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) .............................................................. 13

2.1.7 Saugwirkung ....................................................................................................................... 16

2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, 285- 212 BC) .............................................. 20

2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ....................................................................... 23

2.1.10 Viskosität ............................................................................................................................ 41


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2 Hydrostatik

2.1 Grundlagen

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Zustandsgrößen: Beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B.

Druck p

Temperatur T

Dichte bzw. spez. Volumen 1v

Thermodynamische Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei

Zustandsgrößen beschrieben werden, z.B.

Tpvv ,

vpTT ,

Tvpp ,

Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig vorliegen


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Freiheitsgrade eines thermodynamischen Systems

Thermische Zustandsgrößen, die unabhängig wählbar sind, um den Zustand eines Systems

eindeutig zu beschreiben

Gibbs'sche Phasenregel stellt Zusammenhang her zwischen

- Anzahl der Feiheitsgrade f

- Anzahl der chemischen Komponenten K

- Anzahl der Phasen P, d.h. fest, flüssig oder gasförmig

PKf 2

Bsp.: Siedendes Wasser

Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit zwei Phasen (flüssig + gasförmig P = 2)

221 f 1f (Dampfdruckkurve Tpp oder pTT


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Bsp.: Luft

Homogenes System (eine Komponente K = 1) mit einer Phasen (gasförmig P = 1)

PKf 2

121 f 2f (ideale Gasgleichung: Tvpp , , pvTT , , Tpvv ,

Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt,

z.B. ideale Gasgleichung

TRvp

mit

p Druck [Pa]

v = V/m = 1/ spezifisches Volumen [m3/kg]

R spez. Gaskonstante (Luft: RLuft = 287,05 J/kgK)

T Temperatur [K]


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2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten

Allgemein Generell gilt für Festkörper, Flüssigkeiten und Gase:

Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur Tp,

Definition der Kompressibilität

Druckbelastung eines Volumenelements v Kompression um dv infolge dp

Kompressibilität

dpdv

v

1


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Kompressibilität

Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar

- Wasser T = 510-10 [m²/N]

- Luft T = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]

Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung

- 05.0d


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Druckeinheiten

Einheit A Multiplikationsfaktor SI - Einheit

Pa = N/m² 1 Pa

hPa = mbar 102 Pa

MPa 106 Pa

bar 105 Pa

atm 1,01325105 Pa

mm Wassersäule = mm WS 9,80665 Pa

mm Quecksilber = mm Hg = Torr

(760 mmHg = 1 atm)

133,32 Pa

psi = lb/in² (1 in = 25,4 mm) 6894,757 Pa

psf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0,3048 m) 47,88 = 6894,757/144 Pa


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2.1.3 Hydrostatischer Druck Druck ist eine ungerichtete Größe

- Druckfeld = Skalarfeld

- Geschwindigkeitsfeld = Vektorfeld

Resultierende Druckkraft wirkt immer senkrecht auf die Oberfläche

FG ghpzp 0


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Bsp.: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser gefüllten Behälter

geg.:

h = 10 [m] (Füllhöhe)

p0 = 1 [bar] (Luftdruck)

H2O = 103 [kg/m³]


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2.1.4 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon


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Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon

- Fluidstatischen Grundgesetz: ghpp 0

- Druck ist eine Funktion der Höhe h der Flüssigkeitssäule

- Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüber befindlichen

Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt

- Das Volumen der Flüssigkeit hat keinen Einfluss auf die Belastung der Bodenplatte

- Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F, ApF


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2.1.5 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren)


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Hydraulische Presse (Anwendung auf der Basis verbundener Gefäße)


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Bsp.: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben

1. Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem Kolben (2)

anzuheben?

2. Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung?

3. Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)


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2.1.6 Saugwirkung Arbeitsprinzip: Fluidstatischen Grundgesetz ghpp 0 und Prinzip kommunizierender Röhren


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Maximale Ansaughöhe

Bedingung: Saugdruck > Dampfdruck,

DaabsS pp ,

Maximale, theoretische Ansaughöhe bei

DaabsS pp ,

DabDabDab

thS HHg

pg

pgppH

,

Tatsächliche Saughöhe HS

thSS HH ,

Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser


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Dampfdruckkurve und kritischer Punkt Kritischer Punkt = Gleichgewicht zwischen allen drei Phasen (H2O: T = 374,2 °C, p =221,2 bar)


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TemperaturT [°C]

Dichte

[kg/m³]

DampfdruckpDa [bar]

DampfdruckhöheHDa [mWS]

0 999,8 0,006 0,06

5 1000,0 0,009 0,09

10 999,6 0,012 0,12

20 998,2 0,024 0,24

30 995,6 0,042 0,43

40 992,2 0,074 0,75

50 988,0 0,123 1,25

60 983,2 0,198 2,02

70 977,7 0,311 3,17

80 971,3 0,473 4,82

90 965,3 0,700 7,14

100 958,3 1,013 10,33

Bsp.: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe

Temperatur T = 20°C

Luftdruck pb 1 bar = 105 Pa


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2.1.7 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes, 285- 212 BC)

Erstes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren

Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus

?


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Statischer Auftrieb Scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers

Ursache Druckdifferenz an Ober- und Unterseite des eingetauchten Körpers


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Bsp.: 1. Wieviel Prozent eines Eisberges liegen unter bzw. über dem Wasserspiegel? 2. Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das gesamte arktische Eis abtaut?

geg.:

3920 mkgEis

31025 mkgMeerwasser


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2.1.8 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung

2.1.8.1 Teilchenkräfte

Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen

Festkörper bilden Gitterstruktur

sehr große Molekulakräfte

Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf

geringere Molekularkräfte als bei Festkörpern

leichte Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden

Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche eines Fluids


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Begriffsdefinitionen Kohäsionskräfte

- Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase

Adhäsionskräfte

- Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen

Adhäsion

- Wirkung zwischen fest/fest und fest/flüssig

Adsorption

- Wirkung zwischen fest/gasförmig, Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche

fester Körper

Absorption - Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen


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Henry-Gesetz (engl. Physiker u. Chemiker, 1774 - 1836):

- Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender

Temperatur zu

- Verringerung des Sauerstoffgehalts im Wasser bei Erwärmung

- Erhöhung der Stickstoffkonzentration im Blut unter hohem Druck (Tauchen)


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2.1.8.2 Grenzflächenspannung

Grenzflächenkräfte

Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe

oder Phasen in Erscheinung

Randwinkel <90°: Adhäsion > Kohäsion (H2O/Glas)

Randwinkel >90°: Kohäsion > Adhäsion (Hg/Glas)

Moleküle in der Grenzschicht erfahren durch Kohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen,

Grenzfläche wirkt wie eine dünne Membran

Bsp.: Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung des Wassers

H2O Hg


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Benetzungsformen

Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung keine Grenzflächenkräfte Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend Kapillarspannung Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche Flüssigkeit/Festkörper:

- (1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°) nichtbenetzendes Fluid (hydrophob)

- (2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°) benetzendes Fluid (hydrophil)

Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, Durchmischung, keine Grenzflächen


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Oberflächenaktive Substanzen

Beeinflussung der Oberflächenspannung durch

- Verunreinigungen

starke Reduzierung der Oberflächenspannung

- Waschaktive Substanzen

Reduzierung der Oberflächenspannung

- Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile (COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile

Bildung einer monomolekularen Substanz zwischen Wasser- und Luftmolekülen

Reduzierung der Oberflächenspannung


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Tropfengröße und Dosierung

Medizinische Anwendungen: Dosierung durch Tropfengröße

Tropfengröße wird durch Dichte und Oberflächenspannung bestimmt

Aufgabe

Bestimmung der Tropfengröße durch Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode


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2.1.8.3 Kapillarität

Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung

Intermolekulare Anziehungskräfte heben sich, mit Ausnahme

einer dünnen Schicht (<10-9 m) an der freien Oberfläche, im

Inneren des Fluids auf

Spannungszustand

Freie Oberfläche versucht Minimalwert anzunehmen

Krümmungsdruck pK

21

11

KKK rrdA

dFp


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Einfluß der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck

- ebene Oberfläche

21 KK rr 0Kp

- kugelkalottenförmige Oberfläche

KKK rrr 21 K

K rp

2

- zylinderförmige Oberfläche

21 , KKzylK rrrr K

K rp


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Kapillarwirkung

Kapillaraszension (Wasser im Glasrohr) Kapillardepression (Quecksilber im Glasrohr)


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Randwinkel W

Krümmungsradius rK

WK

Rrcos

Stoffpaarung Randwinkel W [grd]

Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0

Alkohol/Plexiglas < 10

Wasser/Plexiglas 80

Quecksilber/Glas 140

Wasser/Lotusblatt 160


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Steighöhe als Funktion der Kapillarspannung und Innendurchmesser rK

Fluide (T = 20°C) [N/m]Luft - Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether Öl

0,470 0,073 0,025 0,016 0,028

Wasser - Quecksilber Öl Ethanol

0,380 0,020 0,002


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2.1.8.4 Bestimmung der Oberflächenspannung

Tropfenmethode (Stalagmometer) Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur Tropfen

gleicher Größe. Oberflächenspannung ist der Dichte der Flüssigkeit direkt und der Anzahl z der

Tropfen umgekehrt proportional

Stalagmometer Besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen, Kalibrierung des Geräts erfolgt mit

einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung (z. B. Wasser)


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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol

Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus

Die Dichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0,9477 g/cm3

Wie groß ist ihre Oberflächenspannung , wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen

Wasser von 20°C gezählt wurden?


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Kapillarmethode

Für eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der eine Flüssigkeit aufsteigt gilt:

Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraft durch die Oberflächenspannung

rghr 22

1

2

mNghr


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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C

Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäule

geg.: T = 18 [°C] (Temperatur)

mHg = 1,297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)

lHg = 5,40 [cm] (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare)

Hg = 13,595 [g/cm3] = 13,95103 [kg/m³] (Dichte)

hH2O = 19,85 [mm] (Mittelwert für die Höhe der aufgestiegenen Wassersäule)


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Ring- oder Bügelmethode

Meßwerte

F1 = Gewichtskraft des Ringes in Luft

F2 = Gewichtskraft vor dem Abreißen

r = Radius des Ringes

Oberflächenspannung σ

2212

r

FF

Faktor 2 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an

Flüssigkeit/Flüssigkeit


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Bsp.: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 25°C mittels der Ringmethode

geg.: T = 25 [°C]

m = 4,910 [g] (Masse des Ringes)

F2 = 7,51210-2 [N] (Zugkraft vor dem Abreißen)

d = 60 [mm] (Durchmesser des Ringes)


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2.1.9 Viskosität

Definition nach DIN 1342 Eigenschaft fließfähiger Systems bei Verformung eine mechanische Spannung aufzunehmen, die

von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt

Schub- oder Tangentialspannung = Ursache für die im Fluid hervorgerufene

Verformungsgeschwindigkeit

Viskosität ist eine Stoffgröße, Maß für die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander


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Newton'sches Fluidreibungsgesetz

Plattenzugversuch Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sich ein Geschwindigkeitsgefälle, das bei

kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann

dzdcAF x

Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung

Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)

dzdc

AF x

Schergefälle

dzdcD x


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Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette1)-Strömung)

lineare- und nicht-lineare Geschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht

1)Couette, frz. Forscher (1858 - 1943)


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Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Klebstoffe, nasser Sand

Schmelzen, Dispersionen mit

länglichen Partikeln

Bingham-Fluide,

Honig, Wachs, Teer, Fette

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