a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, … · (Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper …können als Folge der Wechselwirkung zwischen den Bausteinen erklärt werden. In

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8. Vorlesung EP

I. Mechanik

5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen

a) Deformation von Festkörpernb) Hydrostatik, Aerostatikc) Oberflächenspannung und Kapillarität

Versuche:Dehnung eines Drahtes und Hooke sches Gesetz

Hydraulische Presse

Schuss in Styroporzylinder (leer und wassergefüllt)

Kommunizierende Röhren (hydrostatisches Paradoxon)


Kernkräfte

5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen

Protonen Neutronen

Atomkern Elektronen

Elektrische W.W. (Coulomb W.W.)

Atom Atom Atom

Elektrische W.W. (Coulomb-, v.d. Waals W.W., H-Brückenbindung)

(Gas-)Molekül, Flüssigkeit, Festkörper

…können als Folge der Wechselwirkungzwischen den Bausteinen erklärt werden.

In diesem Schema spielen nur die starke u die elektromagentische Kraft eine Rolle.Die schwache Kraft ist z.B. für Zerfall von Neutronen und Fusion auf der Sonne ver-Antwortlich. Die Schwerkraft wie bekannt für große Objekte.


thermische Energie klein gegenBindungsenergie

thermische Energie ausreichend zur Verschiebung der Atomegegeneinander

thermische Energiegrößer als Bindungsenergie

Energiebilanz

formbeständignicht formbeständig(falls dünnflüssig); Formbeständig (falls zähflüssig, z.B. Glas)

nicht formbeständigForm

Regelmäßige Struktur (Kristallgitter); geringe Abstandsschwankungeninfolge thermischer Bewegung

Nahordnung; große Schwankungen der Atomabstände um einen Mittelwert r0

Keine OrdnungOrdnung

Stahl7900

H2OCa. 1000

LuftCa. 1,3

Dichte in kg m-3

FestkörperFlüssigkeitGas

Die Wechselwirkungen wiederum hängen wesentlich von der Dichte des Mediums ab


a) Deformation von Festkörpern

Welche Verformungen werden wir betrachten:

→→→→Dehnung - Stauchung→→→→Scherung – Torsion(=Drillung)

Biegung - Knickung →→→→Kompression



L

LE

A

F ∆⋅=

=σ2m

N

A

F

Dehnung - Stauchung

Hooke’sches Gesetz:

Die Länge L ändert sich beim Anlegen einerKraft F um ∆∆∆∆L, wie bei einer Feder, wobei

E: Elastizitätsmodul (statt Federkonstante)

Man nennt:„mechanische Spannung“

(gleiche Maßeinheit wie Druck)

Zahlenwerte für Elastizitätsmodul (E in 109 Nm-2):

Al: 73 Cu: 125 Fe: 216 Beton: 10

Versuch Hooke sches Gesetz


Das Hooke’sche Gesetz gilt nur für kleine elastische Verformungen.Spröde Materialien: keine plastische Verformung möglich.Plastische Verformung durch Verschiebung von Atom-Gitterebenen. Jenseits plastischem Bereich „fließen“ manche Stoffe, bis zum Zerreißen

Hooke-Bereich



Scherung und Torsion

A

FS =σ

α⋅=σ Gs

Schubspannung

Kraft greift tangential an. Gegenkraft am Boden.

Relevante physikalische Größe:

Führt zu Scherung um Winkel α:G= Schub-, Scher-,

Torsionsmodul

Verdrehen (Torsion) z.B. eines Drahtes läßt sich auf Scherung zurückführen



Kompression (allseitige Stauchung) von Festkörpern:


oder: Druck =

(Gleiche Formel ist auch für Flüssigkeiten und Gase gültig)

V

VK

A

F ∆⋅−=


Knochen: kleine Kristalle (Hydroxylapatit) (50 nm) in elastischer Fasermatrix *Spannbeton: Beton (druckfest, nicht zugfest), kombiniert mit

Stahl (elastisch, zugfest)Kohlefaser- oder glasfaserverstärkte Plastikmaterialien

* Die Evolution hat die Mechanik deformierbarer Medienbestens studiert u angewandt.

Detaillierte Beschreibung von Spannung, Druck im Knochen-gerüst in Kamke/Walcher Kap. 6.3.3)



b) Hydrostatik und Aerostatik– Lehre von ruhenden Flüssigkeiten und Gasen :

fest flüssig gasförmig

•Bindungsenergie ~ kinetische Energie der Teilchen•Keine Scherelastizität (Teilchen gleiten aneinander)•Kaum komprimierbar (fast wie Festkörper)•Starke Kohäsionskräfte (Oberflächenspannung)

b) b) b) b) HydrostatikHydrostatikHydrostatikHydrostatik, , , , AerostatikAerostatikAerostatikAerostatik


Die Oberfläche einer

Flüssigkeit steht immer

senkrecht zu wirkenden

Kräften (hier Wand und

Schwerkraft)

Eine flache Oberfläche ist

energetisch am günstigsten.



Stempeldruck (vernachlässigbare Schwerkraft):

=2A Fläche

FKraft pDruck

m

N

Bar10mN1Pa 1 52 −==

Eine Kraft F drückt senkrecht auf einen

beweglichen Stempel der Fläche A, der

ein Gefäß abschließt

Der Druck breitet sich in alle Richtungen

gleichmäßig aus (isotrop), an allen Stellen

der inkompressiblen Flüssigkeit und an

allen Ausgängen herrscht der

gleiche Druck p = F/A



Versuch: Schuss mit Gewehrkugel durch luft- bzw. wassergefüllten Styroporzylinder. Kompressionsmodul von Luft klein, von Wasser groß.


Anwendung: Hydraulische Presse

Hebelgesetz der Hydrostatik: Links Verschiebung um den

Weg ∆s1 �� Volumen ∆V1 = A1 ∆s1

Rechts ∆s2 �� ∆V2 = A2 ∆s2

Links Arbeit W1 = F1� ∆s1 = F1� ∆V1 / A1

Rechts W2 = F2�∆ s2 = F2� ∆V2 / A2

Es gilt W1 = W2

weil ∆V1 = ∆V2 (Inkompressibilität)

und weil F1/A1 = F2/A2

Damit ist Energieerhaltung gewährleistet.


Versuch Hydraulische Presse


Druckmessung und alte (gebräuchliche) Einheiten:

Flüssigkeitsmanometer (Schweredruck, siehe nächste Seite)

1 Atmosphäre = 10 m Wassersäule= 760 mm Quecksilber (Hg) Säule (= 760 Torr)

1Atm = 1013 mbar = 1013 hPa = 760 Torr 1Torr = 133.3 mbar = 1mm Hg


Schweredruck :

= Gewichtskraft pro Fläche A der über der Fläche

stehenden Substanz ( für Flächen in beliebiger

Höhe der Flüssigkeit, nicht nur am Boden)

Schweredruck steigt bei inkompressiblerFlüssigkeit, für die die Dichte ρ nicht vom Druck abhängt, linear mit Tiefe h

hgA

gV

A

mgp ⋅⋅=⋅⋅== ρρ

Aus F = m · g= ρ·V·g folgt:


Hydrostatisches Paradoxon:

Der Schweredruck (ρρρρ g h) hängt NUR von der Tiefe und der Dichte ab,

NICHT von der Form eines Gefäßes

Konstante Wasserhöhe in

kommunizierende Röhren

Der Schweredruck verschiedener Substanzenaddiert sich. Beispiel Luftatmosphäre + Wasser:

Versuch


Auftrieb = Differenz der Kräfte FA= (F2-F1) = ρF� g� A� h →

Man kann auch für kompliziertere Formen zeigen: Die Auftriebskraft entspricht

der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip)

Auftrieb (Herleitung unter Annahme einer einfachen Form des Körpers K):


Auftrieb und Schwimmen:

Ein schwimmender Körper taucht soweit in eine Flüssigkeit ein, bis der Auftrieb (entspr. der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit) seiner Gewichtskraft entspricht

VK

VeρρρρK VK = ρρρρFl Ve

↑ Fauf = mFl · g = ρFl · Ve · g ↓FG = mk · g = ρk · g · Vk

FAuf = FG →

(Ve = A · h = eingetauchtes Volumen = Volumen der verdrängten Flüssigkeit)

h

, wenn die Gewichtskraft größer als der maximal erreichbare Auftrieb ist.


Auftrieb: Das Hintergrundmedium kann auch Luft sein:

Gleichgewicht der Waage in Luft (links)

Nach Evakuieren ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht

Der voluminösere Körper (Ball) sinkt ab, da er an Luft den

größeren Auftrieb erfahren hat


Luftdruck = Schweredruck der Atmosphäreläßt sich wie der Schweredruck von Flüssigkeiten verstehen, mit demUnterschied, daß Gase komprimierbar sind – deshalb ist die Dichte hier druckabhängig.

Höhe h

h2

h1

F2

A

F1

∆h

Luftsäule (Fläche A, Höhe ∆∆∆∆h = h2-h1

Gewichtskraft∆F = F1-F2 = M � g = ρLuft� A�∆h� g∆p = - ∆F / A = - ρ � g � ∆h(Minuszeichen, weil h von unten nach oben gemessen und der Druck von oben abnimmt.)

Boden (Meereshöhe)

Für ideale Gase gilt die Zustandsgleichung (Boyle-Mariotte-Gleichung,s. III Wärmelehre): p � V = const. → p/ρ = const.: (bei fester Temperaturund Molzahl)

Herleitung der barometrischen Höhenformel für Interessierte:


,hg.)const/p(p ∆⋅⋅−=∆ ,h.const

g

p

p ∆⋅−=∆ →⋅−= p.const

g

dh

dp

H/h0 epp −⋅= mit H = g/const.

= p0/(g� ρ0) = 7930mDie barometrische Höhenformel

Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über Meeresspiegel

Einsetzen von ρ=p/const. in die Gleichung für ∆p :

Ende der Herleitung.

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