Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau - … 1... · Fakult¨at f¨ur Bauingenieur- und Vermessungswesen Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau Version 1.1 Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys

Fakultat fur Bauingenieur- und Vermessungswesen

Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau

Version 1.1

Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek

Institut fur WasserwesenWerner-Heisenberg-Weg 39

85577 NeubibergTel.: 089 / 6004 3876

email: [email protected]

Inhaltsverzeichnis

1 Krafte in ruhenden Flussigkeiten 11.1 Dichte und Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Die Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Die Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Die hydrostatische Druckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Ein Polygonzugverfahren zur Druckbestimmung . . . . . . . . . . . 81.3.2 Die Orientierung der z-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3 Die Druck- oder Standrohrspiegelhohe . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Druckkrafte auf Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Die Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flache . . . . . . . . . . 111.4.2 Druckkraft auf ebene vertikale Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Flachenmomente ersten und zweiten Grades . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 Der Inhalt von allgemeinen Flachen im dreidimensionalen Raum . . . 151.4.5 Flachenintegral und Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.6 Der Angriffspunkt der hydrostatischen Druckkraft . . . . . . . . . . 181.4.7 Druckkraft auf eine beliebige, ebene Rechteckflache . . . . . . . . . 19

1.5 Anwendungen auf Stauanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5.1 Statik einer geschlossenen Hubschutze . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.2 Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschutze . . . . . . . . . . 251.5.3 Die Gleitsicherheit einer Gewichtsstaumauer . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Ruhende Flussigkeiten in beschleunigten Gefaßen . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.1 Das gleichmaßig beschleunigte Gefaß . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.2 Die rotierende Zentrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Der hydrostatische Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8 Schwimmstabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9 Schiffshebewerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.11 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

I

Seite II INHALTSVERZEICHNIS

2 Grundlagen der Hydraulik 512.1 Der Massenfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Der Durchfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3 Die Impulsbilanz bei stationaren Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3.1 Das Stromrohrenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.2 Die Impulsbilanz bei Querschnittsanderungen . . . . . . . . . . . . . 552.3.3 Die Impulsbilanz bei Richtungsanderungen . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4 Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Die Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5.1 Freispiegel und Freistrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.2 Die Toricellische Ausflussformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.3 Das Venturirohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.4 Das Pitotrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.5 Die Grenzen der reibungsfreien Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6 Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.8 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Stationare Rohrstromungen 713.1 Stationare Rohrhydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Kontinuierliche Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Lokale Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.3.1 Querschnittsanderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.2 Ein- und Auslaufverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.3 Umlenkverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.4 Verzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.5 Verschlussorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Das universelle Fließgesetz der Rohrstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Der hydraulische Durchmesser fur Rohre beliebigen Querschnitts . . . . . . 833.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.7 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4 Die Hydraulik der Gerinne 874.1 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Die Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.2 Die Bernoulligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Das Gesetz von Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.4 Das Gesetz von Colebrook-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1.5 Lokale Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

INHALTSVERZEICHNIS Seite III

4.1.6 Das Energieliniengefalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.7 Die Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.8 Der hydraulische Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Rechenanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1 Ausfuhrungen von Rechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Bemessungsgroßen eines Rechens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.3 Hydraulische Verlustberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.4 Experimentelle Verlustbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Stromen und Schießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4 Fließwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5 Kontrollbauwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.1 Unterstromte Bauwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5.2 Uberstromte Bauwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.7 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Stromungsmaschinen 1135.1 Kenngroßen von Stromungsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Energieumsetzung im Laufrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Francisturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4 Kaplanturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5 Freistrahl- oder Peltonturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.6 Dimensionierung von Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.6.1 Die Gesamtforderhohe oder Anlagenkennlinie . . . . . . . . . . . . 1285.6.2 Die Pumpenkennlinie oder Drosselkurve . . . . . . . . . . . . . . . 1295.6.3 Regelung von Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.7 Wasserkraftanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7.1 Das Prinzip der Wasserkraftnutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7.2 Bauelemente einer Wasserkraftanlage . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.7.3 Die Auswahl des Turbinentyps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.7.4 Der Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.7.5 Die Auswahl der Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.7.6 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.7.7 Pumpspeicherwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.7.8 Wasserkraft und Umwelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.7.9 Wasserkraft in Brasilien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.8 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Seite IV INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Krafte in ruhenden Flussigkeiten

Eine Flussigkeit bestimmten Volumens strebt immer einen Ruhezustand an, in dem es einenvorgegebenen Raum so ausfullt, daß sich die Flussigkeitsoberflache im Schwerefeld horizontalausrichtet. Diese Eigenschaft definiert die Flussigkeiten grundlegend und unterscheidet sie vonden Gasen, die den ihn vorgegebenen Raum vollstandig ausfullen oder den Festkorpern, diesich in dem ihnen vorgegebenen Raum u.U. verkeilen wurden.Der Ruhezustand ist mit einem Gleichgewicht der Krafte verbunden, d.h. in ihm werden dieaußeren Krafte d.h. das Schwerefeld durch die inneren Krafte kompensiert. Der Ruhezustanderzahlt also etwas uber das innere Wesen einer Flussigkeit, dieses kann man physikalisch mitdem Begriff des Drucks beschreiben.Das Material dieses Kapitels beginnt bei den molekularen Eigenschaften der Fluide, um die dieBegriffe Dichte und Druck auf dieser Ebene zu verstehen. Dabei werden Beziehungen gewon-nen, die es ermoglichen, die Verteilung des Druckes in einem ruhenden Fluid raumdeckend zubestimmen.Darauffolgend wird die Druckkraft auf Flachen bilanziert, womit wir lernen mussen, Flachenmathematisch zu beschreiben und auf ihnen zu rechnen und vor allem uber sie zu integrieren.Man kann die Hydrostatik also auch als Repetitorium und Vertiefung der Rechentechniken zurFlachenintegration verstehen.

1.1 Dichte und Druck

Eine gewisse Masse einer Flussigkeiten oder eines Festkorpers hat bei gegebener Tempera-tur einen ganz bestimmtes Volumen, wahrend Gase den ihn zur Verfugung stehenden Raumeinnehmen.Wir wollen dieses Abgrenzungstheorem der Gase von den anderen Aggregatzustanden einmalaus molekularer Sicht analysieren. Es besagt, daß die Molekule einer Flussigkeit oder einesFestkorpers einen Gleichgewichtsabstand zueinander einnehmen. Mochte man die Molekulenaher aneinander bringen, den flussigen oder festen Stoff komprimieren, so ist sehr viel Arbeit

1

Seite 2 1.1. Dichte und Druck

-2

0

2

4

6

8

10

0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

Molekülabstand R/R m

We

ch

se

lwir

ku

ng

sp

ote

nti

alV

(R)/

�

Gas

Flüssigkeit/Festkörper

Abbildung 1.1: Das Potential der zwischenmolekularen Wechselwirkung fur eine Flussigkeitbzw. einen Festkorper und ein Gas.

aufzuwenden, da es scheinbar intermolekulare Krafte gibt, die Molekulpaare unterhalb desGleichgewichtsabstands wieder voneinander wegdrucken.Sind zwei Molekule weiter als dieser Gleichgewichtsabstand voneinander entfernt, so ziehensie sich, wenn auch durch sehr kurzreichweitige Krafte, an. Dabei sind die Abstoßungskraftebei einer Unterschreitung des Gleichgewichtsabstands weitaus großer als die Anziehungskraftebei einer Uberschreitung desselben.Die zwischen den Molekulen wirkenden intermolekularen Wechselwirkungen kann man durchein Kraftpotential V (R) als Funktion des Molekulabstandes darstellen, man betrachte dazuAbbildung 1.1. Es ist naturlich davon abhangig, welche Molekularten jeweils miteinander inWechselwirkung treten. Eine allgemeine Funktion, die die Wechselwirkung sehr vieler uner-schiedlicher Molekulpaare beschreibt, ist das Lennard-Jones-Potential:

V (R)

ε=(Rm

R

)12

− 2(Rm

R

)6

Die hierin erscheinenden Parameter ε und Rm sind zwei grundlegende Großen, die in derPhysik der molekularen Wechselwirkungen eine wichtige Rolle spielen. Rm ist der Gleich-gewichtsabstand, ε ist die Gleichgewichts- oder Bindungsenergie zwischen den beiden Mo-lekulen. Sie wird frei, wenn sich zwei Molekule aus dem Unendlichen aneinander annahernund ist aufzubringen, wenn man die beiden Molekule wieder trennen will.Die in einem Potential wirkende Kraft F erhalt man aus der negativen Steigung des Potentials

1.1. Dichte und Druck Seite 3

F = −∂V∂R

d.h. fallt das Potential, dann wirkt die Kraft abstandserweiternd oder repulsiv, steigt das Po-tential, dann wirkt die Kraft abstandsvermindernd oder attraktiv.Die Potentialfunktion hat eine sehr anschauliche Interpretation. Stellt man sich den einen Mo-lekulpartner als Kugel im Koordinatenursprung vor, dann rollt das andere Molekul auf derPotentialfunktion in den Gleichgewichtsabstand.Wir wollen mit diesem Verstandnis das Wechselwirkungspotential von Gasen betrachten, die jajeden ihn zur Verfugung stehenden Raum einnehmen wollen. Das Wechselwirkungspotentialzwischen je zwei Gasmolekulen ist also uberall repulsiv, ein typisches Wechselwirkungspo-tential zweier Gasmolekule ist ebenfalls in Abbildung 1.1 skizziert.Der Unterschied zwischen Flussigkeit und Festkorper besteht nun in der Tiefe des sogenanntenPotentialtopfes bzw. der Bindungsenergie zwischen den Molekulen. In einer Flussigkeit ist dieBindungsenergie relativ niedrig, sie liegt im Bereich der kinetischen Energie der thermischenBewegung der Einzelmolekule. Dies bedeutet, daß ein Molekul einzig durch seine thermischenBewegungen von einem zum anderen Nachbar wandern kann. In einem Festkorper ist dieBindungsenergie so hoch, daß die thermische Bewegung ein Einzelmolekul nicht mehr in dieLage versetzt, von einem Platz zum anderen zu wandern.Wird durch eine Gewichtskraft Druck auf ein Material ausgeubt, so verringern sich dieAbstande zwischen den einzelnen Molekulen. Diese wollen jedoch wieder den Gleichge-wichtsabstand zueinander einnehmen. Die damit auf der makroskopischen Ebene verbundeneRuckstellkraft bezeichnet man als Druckkraft.Bei ihrem Bestreben, wieder einen Gleichgewichtsabstand zu finden, haben die Molekule kei-ne Vorzugsrichtung, hauptsachlich weg von den sie bedrangenden Nachbarn. Die intermoleku-laren Abstoßungskrafte wirken also (statistisch gesehen) in alle Richtungen gleich. Dasselbegilt auch fur ihr makroskopisches Analogon, die Druckkraft. Daher breiten sich die Druck-krafte in einem Fluid in alle Richtungen gleichmaßig aus.

1.1.1 Die Dichte

Der physikalische Begriff Dichte als Masse pro Volumen ist sicherlich jedem Leser aus demPhysikunterricht der Schule ein Begriff. Es ware daher sehr langweilig, hier seine Definitionund eine einfache Dichtetabelle aufzufuhren.Und die Sache etwas spannender, wollen wir den Begriff aus molekularer Sicht betrachten. Ersagt etwas uber die Ausgefulltheit des Raums mit Materie aus.Dort wird das Gewicht von Atomen und Molekulen aus dem Produkt der atomaren Massen-einheit

1mu = 1.66 · 10−27kg

Seite 4 1.1. Dichte und Druck

Stoff / MaterialAtomare

Masseneinheiten Dichte [kg/m3]Teilchen-abstand R

Große Leere im All 1 � 10−30 11.8 m

Wasser (H2O) 18 1000 3.1 · 10−10m

Methanol (C H3 OH) 32 791 4.06 · 10−10m

athanol (C2 H5 OH) 46 789 4.59 · 10−10m

Siliziumdioxid (Si O2) 60 2650 3.35 · 10−10m

Oktan (C8 H18) 114 703 6.46 · 10−10m

Chloroform (CH Cl3) 119.35 1630 4.95 · 10−10m

Quecksilber (Hg) 200.59 13600 2.91 · 10−10m

Schwarze Locher 1 1018 - 1025 10−15 - 10−18m

Tabelle 1.1: Die Dichte verschiedener Stoffe.

und der Anzahl derselben im Atom bzw. Molekul berechnet. Die Anzahl der atomaren Mas-seneinheiten findet sich in jedem Periodensystem der Elemente, die ihr am nachsten liegendeganze Zahl gibt die Anzahl der Protonen und Neutronen im Atomkern an. Das Gewicht ei-nes Molekuls durch Addition der in der stochiometrischen Formel angegebenen Einzelatomeberechnet. So findet man heraus, daß ein Wassermolekul 18 mu schwer ist.Gehen wir davon aus, daß die Molekule jeweils ein quaderformiges Volumen einnehmen, indessen Mittelpunkt das Molekul selbst sitzt. Dann entspricht die Kantenlange des Quaders beigenau dem Teilchenabstand R, den wir uns somit aus MolekulgewichtMmol und Dichte � als

R = 3

√Mmol

�

bestimmen konnen. Bei Flussigkeiten und Festkorpern ist dieser Teilchenabstand genau derGleichgewichtsabstand. So entstehen die Angaben in Tabelle 1.1.Die geringsten Dichten findet man in den als große Leere bezeichneten Gebieten am Randeunseres Weltalls, die extrem massenarm sind. Dennoch scheinen sie nicht vollstandig leer zusein. Nehmen wir dort die Existenz vereinzelter Wasserstoffatome an, so trifft man rein rech-nerisch alle 11.8 m auf eines von ihnen.Auf dem anderen Ende des Dichtespektrums stehen die schwarzen Locher, also Sterne miteiner so hohen Masse, daß Lichtteilchen bzw. Photonen nicht in der Lage sind, ihr Schwerefeldzu verlassen. Nehmen wir an, daß ihre Dichte durch ein Plasma aus Protronen bzw. Neutronenerzeugt wird. Diese haben einen Radius von ca. R = 1.4 · 10−15m. Damit konnen wir nunungefahr die Dichte eines schwarzen Loches abschatzen, sie lage bei � � MMol/(4/3π)R3 �1.44·1017 kg/m3. Da unsere Abschatzung mehrere Großenordnungen zu klein ist, kann dies nurbedeuten, daß auch Protonen und Neutronen in schwarzen Lochern so nicht mehr existieren.

1.1. Dichte und Druck Seite 5

Doch zuruck zu den irdischen Stoffen. Bei diesen liegen die Teilchenabstande im Bereicheiniger Angstrom, d.h. zehn hoch minus zehn Metern.

1.1.2 Der Druck

Um das Phanomen Druck zu quantifizieren, betrachten wir eine in einem Gefaß ruhendeFlussigkeit, die durch einen Stempel der Flache A mit einer Auflast F belastet wird. Die-se Auflast bewirkt eine Verringerung des molekularen Abstandes, so daß die repulsive Kraftzwischen den Molekulen der Auflast entgegenwirken kann. Die Verringerung des molekularenAbstandes ist umso großer, desto weniger Molekulpaare die Auflast entgegen nehmen mussen,sie ist also umgekehrt proportional zur Aufnahmeflache A und proportional zur Auflast F . DerBegriff Druck mit seiner Definition

p =F

A

sollte also ein Maß dafur sein, was den Molekulen untereinander zugemutet wird.Steht die Auflast �F nicht senkrecht zur Aufnahmeflache A, dann kann bekommt man die nor-male Komponente des Druckes durch die Multiplikation mit dem Normaleneinheitsvektor �nund der Druck ist:

p =�F�n

A

Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal, wobei die Bezeichnungen Hektopascal und Bar z.B.in Wetterberichten ebenfalls gebrauchlich sind:

1 Pa = 1 N/m2

1 hPa = 100 Pa

1 bar = 105 Pa

1 Torr = 1 mmHg = 133 Pa

1 atm = 101330 Pa

1 at = 98100 Pa

Zur Druckmessung dienen ganz allgemein Manometer in Flussigkeiten und Gasen, diese be-zeichnnet man als Barometer, wenn man den Luftdruck in der Wetterkunde bestimmt.Die Hydromechanik beschrankt sich im Gegensatz zur Aerodynamik eigentlich auf inkom-pressible Fluide. Daher mag es verwundern, daß wir die Druckkraft mit einem physikalischenModell erklaren mussen, welches eine Annaherung der Molekule und damit eine Kontraktiondes Volumens beinhaltet. In der Realitat ist diese Annaherung als Reaktion auf außere Bela-stungen allerdings so gering, daß ihr Einfluß auf das Gesamtvolumen nicht meßbar ist. Diesist deshalb so, weil der Anstieg des repulsiven Astes der intermolekularen Wechselwirkungenso stark ist, daß geringe Abstandsreduktionen große Abstoßungskrafte verursachen.

Seite 6 1.2. Die Druckkraft

��

��

��

��

Abbildung 1.2: Druckinduzierte Krafte in einem Fluid

1.2 Die Druckkraft

Auf unseren Schreibtisch legen wir einen quaderformigen Gegenstand, wie z.B. ein dickesBuch. Mit den Handkanten auf dem Tisch drucken wir von beiden Seiten gegen das Buch.Dies wird sich nicht bewegen, falls wir mit beiden Handen denselben Druck auf das Buchausuben. Druckt die eine aber kraftiger als die andere Hand, fangt es sich zu bewegen an.Diese kleine Gymnastik verdeutlicht, daß sehr großer Druck vorhanden sein kann, ohne eineBewegung zu erzielen. Erst ein Druckunterschied erzeugt eine Kraftwirkung.Im Unterschied zu diesem einfachen Experiment haben wir es in der Hydrostatik nicht mitzwei einzelnen Handen zu tun, die Drucke auf einen Gegenstand ausuben, sondern mit Druck-feldern, bei denen an jedem Ort (x, y, z) ein ganz bestimmter Druck p(x, y, z) wirkt. Sindin einem solchen Druckfeld Druckdifferenzen vorhanden, dann wirkt eine Kraft auf die da-zwischen befindlichen Fluidmolekule. Dies heißt aber nicht unbedingt, daß diese sich dannzu bewegen beginnen, also beschleunigt werden: Ist eine gleich große Gegenkraft vorhanden,dann heben sich Druck- und Gegenkraft gegenseitig auf und das Fluid bleibt in Ruhe.Treffen wir also irgendwo auf ein ruhendes Fluid, so fragen wir uns spontan:

1. Wie sieht das Druckfeld in diesem Fluid aus ?

2. Welche Druckkrafte wirken in diesem Fluid ?

3. Welche Gegenkraft kompensiert die Druckkraft in diesem ruhenden Fluid ?

Wir beginnen mit der Beantwortung der zweiten und dritten Frage und betrachten dazu die inAbbildung 1.2 dargestellten Druckkrafte auf ein quaderformiges Fluidvolumen. Auf die linkeBegrenzungsflache wirkt die Druckkraft

FDx = pΔyΔz

1.2. Die Druckkraft Seite 7

auf das Kontrollvolumen. Auf der rechten Seite wirke der Druck p + Δp in negativer x-Richtung:

FDx+Δx = −(p+ Δp)ΔyΔz

Die Addition beider liefert die resultierende Kraft

FDres,x = −ΔpΔyΔz

auf den quaderformigen Korper des Volumens ΔxΔyΔz.Obwohl man sicherlich in vielen Anwendungsfallen mit solchen quaderformigen Problemenzu tun hat, ist die hergeleitete Formel nicht allgemein genug, um die Druckkraft auf beliebiggeformte Korper oder Teilchen im Druckfeld zu berechnen. Zur Verallgemeinerung kommtman mit Hilfe der Differentialrechnung, indem die Kraft auf ein infinitesimales Volumen, d.h.auf einen Punkt als

limΔxΔyΔz→0

FDres

ΔxΔyΔz= −∂p

∂x

berechnet wird. Damit haben wir allerdings nun eine Kraft pro Volumen berechnet.In der Hydromechanik benotigt man meistens die Kraft pro Masse, welche durch Division mitder Dichte � gewonnen wird:

fDx = −1

�

∂p

∂x

Entsprechendes gilt auch fur die anderen beiden Raumrichtungen:

�fD = −1

�grad p

Damit das Fluid in Ruhe bleibt, also hydro-statische Bedingungen vorliegen, muß die Sum-me aus der Druckkraft und den außeren Kraften �f Null sein. Dann lautet die Kraftbilanz invektorieller Form:

0 = �f − 1

�grad p

Man verdeutliche sich, daß diese Schreibweise lediglich drei Gleichungen fur die drei Raum-richtungen zusammenfaßt. Sie werden losbar, sobald die Kraftdichte �f der außeren Kraft spe-zifiziert ist. In den folgenden Kapiteln werden diese Gleichungen weiter zu den grundlegendenImpulsgleichungen der Hydromechanik ausgebaut.

Seite 8 1.3. Die hydrostatische Druckverteilung

1.3 Die hydrostatische Druckverteilung

Taucht man von der Oberflache unseres Testgefaßes in tiefere Bereiche, dann wirkt dort alszusatzliche Auflagerkraft noch die Gewichtskraft der daruber liegenden Flussigkeitsschichten,es gilt also

p = p0 +�gV

A= p0 + �gh

Hierin ist p0 der Druck an der Fluidoberflache, g die Gravitationsbeschleunigung

g = 9.81 m/s2

V das Fluidvolumen, A sein Querschnitt, � die Dichte des Fluides und h die Tauchtiefe.

1.3.1 Ein Polygonzugverfahren zur Druckbestimmung

Nachdem wir die Entwicklung des Druckes in Abhangigkeit vom vertikalen Abstand zur Was-seroberflache bestimmt haben, wollen wir diesen nun an Orten eines Gefaßes bestimmen, diekeinen direkten vertikalen Kontakt zur Wasseroberflache haben. Hierzu setzen wir in der so-eben hergeleiteten Kraftebilanz als außere Kraft nur die Gravitationskraft

fz = �g�ez

an. In dieser Darstellung kann die z-Achse in vertikaler Richtung nach oben oder unten orien-tiert sein. Der Vektor �g hat dabei den Betrag 9.81 m/s2 und weist in vertikaler Richtung zumErdmittelpunkt.In vertikaler Richtung entwickelt sich der hydrostatische Druck dann nach der Beziehung:

∂p

∂z= ��g�ez

Diese Differentialgleichung enthalt nur einen einzigen Ableitungsterm. Solche Gleichungenkann man immer durch Integration losen. Dabei muß uber die Variable integriert werden, nachder abgleitet wird. Als Integrationsgrenzen setzen wir zwei beliebige Hohen im Fluid z1 und z2

an. Auf den Ableitungsterm wendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnungan; die linke Seite wird also zu:

z2∫z1

∂p

∂zdz = p(z2) − p(z1) := Δp

Die rechte Seite ist in unserer Gleichung besonders einfach geartet, sie ist namlich konstant:

z2∫z1

��g�ezdz = ��g�ez

z2∫z1

dz = ��g�ez(z2 − z1) = ��g�ezΔz

1.3. Die hydrostatische Druckverteilung Seite 9

�z�

�z�

hD

Abbildung 1.3: Druckbestimmung aus einemPolygonzug aus horizontalen und vertikalenStrecken.

Wir bekommen als Resultat fur die vertikale Veranderung des hydrostatischen Drucks:

Δp = ��g�ezΔz

Die horizontalen Gesetzmaßigkeiten des hydrostatischen Druckes werden dann:

∂p

∂x= 0 und

∂p

∂y= 0

Mit diesen Beziehungen konnen wir die Druckverteilung in beliebigen ruhenden, miteinanderkommunizierenden Flussigkeiten bestimmen. Dazu konstruiert man sich eine Verbindungsli-nie von einem Ort bekannten Druckes durch die Flussigkeit zu dem Ort, an dem man denDruck bestimmen will. Diese Verbindungslinie sollte ein Polygonzug aus horizontalen undvertikalen Linien bestehen. Auf jeder horizontalen Linie bleibt nun der Druck konstant, aufjeder vertikalen Linie andert er sich um den Wert Δp = ��g�ezΔz.Fur den Fall des in Abbildung 1.3 dargestellten Gefaßes bedeutet dies, daß der Druck aufder gesamten Sohlflache den Wert �ghD annimmt. Somit ist die Druckkraft auf dessen Soh-le durch �ghDA gegeben. Sie ist also so groß, als lage uber ihr ein vollstandig mit Wassergefulltes Prisma der Hohe hD. Die Druckkraft auf den Boden kann also wesentlich großeroder kleiner als das Gewicht des tatsachlich daruber liegenden Wasser sein. Man bezeichnetdiesen Sachverhalt als hydrostatisches Paradoxon. Dieses Paradoxon lost sich schnell auf,wenn man bedenkt, daß die Druckkraft eben keine Gewichtskraft ist, sondern durch diese nurinduziert wird.Wir wollen uns merken, daß der Druck nicht etwa eine andere Form der Gewichtskraft ist,sondern in der Hydrostatik nur durch diese induziert wird. Vielmehr ist das Phanomen Druckdas makroskopische Analogon zu den intermolekularen Wechselwirkungen der Molekule aufder mikroskopischen Ebene.

1.3.2 Die Orientierung der z-Achse

In der Hydrostatik ist es am zweckmaßigsten, die z-Achse in Richtung der Gravitation nachunten zu orientieren und ihren Ursprung an die Wasseroberflache zu legen. Dann nimmt derhydrostatische Druck die sehr einfache Form

Seite 10 1.3. Die hydrostatische Druckverteilung

p(z) = �gz

an.

In allen Anwendungen, in denen Georeferenzierungen notwendig sind, ist diese Wahl aller-dings nicht sinnig. Hier ist die z-Achse in vertikaler Richtung nach oben orientiert. Ihr Null-punkt richtet sich nach dem NN-Niveau, welches allerdings nicht die Wasseroberflache inirgendeinem beliebigen Gefaß treffen wird. Diese liege auf dem Niveau zS , S fur Spiegel oderengl. Surface. Die Gravitationsbeschleunigung nimmt dann die Form

fz = �g�ez = −g

an und die hydrostatische Druckverteilung ist durch

p(z) = pS + �g(zS − z)

gegeben, wobei pS der Druck an der Wasseroberflache, in der Regel also der Luftdruck ist.

1.3.3 Die Druck- oder Standrohrspiegelhohe

Aus der Druckverteilung der Hydrostatik kann man eine Meßvorrichtung ableiten, die zurDruckbestimmung dient, man bezeichnet sie als Standrohr. Dieses ist ein an eine Stromungangeschlossenes vertikales Rohr, in dem sich das Fluid auf- und abwarts bewegen kann. Dabeisteigt es in diesem Standrohr auf die Standrohrspiegel- oder Druckhohe:

hD =p

�g

Diese Beziehung kann man ganz allgemein auch dazu verwenden, den Druck an einem Ortdurch eine uber ihm gedachte Wassersaule der Druckhohe hD zu quantifizieren.

Dazu sucht man fur den Ort, an dem der Druck zu bestimmen ist, den vertikalen Abstand zurWasseroberflache, damit die Druckhohe hD und berechnet mit

p = �ghD

dann den Druck. Dieses Verfahren ist dann falsch angewendet, wenn man etwa nur den verti-kalen Abstand zu einer geschlossenen Gefaßoberkante nimmt.

1.4. Druckkrafte auf Flachen Seite 11

�y(x)

(x ,y )p p

dA

y

x

A

y (x)1 y (x)2

Abbildung 1.4: Druckkraft auf ebene horizontale Flache. Der Flacheninhalt wird durch dasAbfahren des ’Breitenfuhlers’ Δy(x) = y2(x) − y1(x) uber die Ausdehnung der Flache inx-Richtung bestimmt.

1.4 Druckkrafte auf Flachen

Aus der Druckkraft auf die Berandungsflache eines Fluides kann man die Belastung dersel-ben berechnen, indem man die dortige Verteilung des Druckes uber die Flache integriert. DieDruckkraft ist also eine Belastungsgroße der Berandung, die in der Konstruktion derselbenberucksichtigt werden muß. Eine solche Berandung kann z.B. eine Staumauer sein. Wir wol-len daher lernen, ihren Betrag, ihre Richtung und ihren Angriffspunkt fur beliebige Flachen zubestimmen.

1.4.1 Die Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flache

Beginnen wir dazu mit dem einfachsten Fall einer ebenen, aber sonst beliebig berandetenFlache A (Abbildung 1.4). Zudem soll diese Flache horizontal sein, der Druck ist auf ihr alsouberall konstant und hat den Wert p = �ghD = const.

Die Druckkraft ist somit:

FD = �ghDA

Wir wollen noch den Ort bestimmen, an dem die Druckkraft angreift. Dazu addiert man dieDruckkrafte aller Teilflachen dA so, daß ihr Gesamtmoment nicht verandert wird. Man suchtalso einen Ort (xD, yD), an dem das Drehmoment der Druckkraft gleich dem Drehmoment derSumme aller Einzelteilflachen ist. Die bedeutet fur die x-Koordinate:

xDFD =∑

i

xipidAi

Betrachtet man immer kleiner werdende Teilflachen dAi, dann geht die Summe in ein Integraluber:

Seite 12 1.4. Druckkrafte auf Flachen

xDFD =∫A

xpdA⇒ xD�ghDA = �ghD

∫A

xdA⇒ xD =1

A

∫A

xdA = x

Ebenso bekommt man fur die y-Koordinate des Druckschwerpunkts:

yD =1

A

∫A

ydA = y

Die Gesamtdruckkraft greift in diesem Fall also im Flachenschwerpunkt an.Die Kunst der Druckkraftbestimmung besteht also hier im wesentlichen in der Berechnung desInhaltes beliebig berandeter Flachen sowie deren Flachenschwerpunkte.Die einfachste Methode dazu ist die Parametrisierung der Flache in kartesischen Koordina-ten. Dazu wird die Ausdehnung in y-Richtung als Funktion der x-Koordinate dargestellt. DerFlacheninhalt ist dann:

A =

x2∫x1

y2(x)∫y1(x)

dydx =

x2∫x1

Δy(x)dx

Voraussetzung fur diese Methode ist allerdings, daß der Breitenabtaster Δy(x) vollstandig inder Flache liegt, was z.B. bei konvexen Flachen immer der Fall ist.Mit dieser Parametrisierung sind auch die Koordinaten des Druckschwerpunkts recht einfachzu bestimmen:

xD =1

A

x2∫x1

y2(x)∫y1(x)

xdydx =1

A

x2∫x1

(y2(x) − y1(x))xdx

yD =1

A

x2∫x1

y2(x)∫y1(x)

ydydx =1

A

x2∫x1

1

2

(y2

2(x) − y21(x)

)dx

Man studiere dabei sehr genau den Unterschied in der Bestimmung der x- und y-Koordinatedes Druckschwerpunktes.Fassen wir das Gelernte in einem Lehrsatz zusammen:Die Druckkraft auf eine horizontale Flache greift im Flachenschwerpunkt an. Ihr Betrag be-rechnet sich aus der Druckhohe der Flache.

1.4.2 Druckkraft auf ebene vertikale Flachen

Gehen wir nun zu einer ebenen vertikalen Flache uber, welche in der xz-Ebene bei y = 0 liege.Der Abbildung 1.5 kann man entnehmen, daß im Vergleich zur horizontalen Flache alles ganzanders wird, denn der Druck ist uber die Flache nicht mehr konstant, sondern nimmt mit der


�z(x)

x

zp(z)

x1

x2

A

Abbildung 1.5: Druckkraft auf eine ebene ver-tikale Flache. Der Flacheninhalt wird durchdas Abfahren des ’Hohenfuhlers’ Δz(y) uberdie Ausdehnung der Flache in y-Richtung be-stimmt.

Tiefe zu. Legen wir den Nullpunkt der z-Achse an die Wasseroberflache und ihre Richtung indie negative Vertikale, dann wird die Druckkraft zu:

FD = �g∫A

zdA := �gAzC := �gAhC

Der dritte Teil dieser Gleichung enthalt den Abstand zwischen der Wasseroberflache und dervertikalen Koordinate des Flachenschwerpunktes zC , diese Hohe wird im vierten Teil der Glei-chung als Wassertiefe im Flachenschwerpunkt hC bezeichnet. Wir bekommen folgenden Lehr-satz:Der Druck auf ebene vertikale Flachen berechnet sich aus dem hydrostatischen Druck imFlachenschwerpunkt multipliziert mit dem Flacheninhalt.Fur die folgenden Berechnungen nehmen wir an, daß wir eine Parametrisierung der Flachen-tiefe Δz(x) als Funktion der x-Koordinate gefunden haben.Der Angriffspunkt der Gesamtdruckkraft bestimmt sich wieder aus den beiden Integralen

xDFD =∫A

pxdA = �g

x2∫x1

z2(x)∫z1(x)

z(x)xdzdx

zDFD =∫A

pzdA = �g

x2∫x1

z2(x)∫z1(x)

z2(x)dzdy


die wieder erst dann ausgewertet werden konnen, wenn eine Flachenparametrisierung vorge-geben ist.

1.4.3 Flachenmomente ersten und zweiten Grades

In der Ingenieurpraxis besteht haufig der Bedarf, die Berechnungen zur Gesamtdruckkraft undderen Angriffspunkt fur beliebige geometrische Grundfiguren durchfuhren. Um diese Berech-nungen einfacher zu gestalten, bedient man sich des Formalismus der Flachenmomente. Diesesind fur eine durch die Koordinaten x und z parametrisierten Flache A folgendermaßen de-finiert. Als statische oder Flachenmomente ersten Grades Si bezeichnet man die bestimmtenIntegrale

Sx =∫A

zdA Sz =∫A

xdA

und als Flachentragheitsmomente oder Flachenmomente zweiten Grades Iij:

Ixx =∫A

z2dA Izz =∫A

x2dA Ixz = Izx =∫A

xzdA

Die Flachentragheitsmomente werden normalerweise auf ein Schwerpunktkoordinatensystem(x′, y′) bezogen, da sie sich durch die Steinerschen Satze

Ixx = Ix′x′ + Az2C

Ixz = Ix′z′ + AxCzC

Izz = Iz′z′ + Ax2C

direkt auf ein beliebiges Koordinatensystem umrechnen lassen, in dem der Flachenschwer-punkt bei (xC , zC) liegt.Ganz analog werden diese Momente fur mit anderen Koordinaten gebildete Flachen definiert.Mit ihnen werden z.B. die Koordinaten des Druckmittelpunktes auf eine vertikale Flache zu:

xD =Ixz

AzC=Ix′z′

AzC+ xC

zD =Ixx

AzC=Ix′x′

AzC+ zC

Hierbei liegt die Wasseroberflache wieder bei z = 0.Der Vorteil der Herangehensweise mit Flachenmomenten besteht darin, daß diese in Bautabel-len tabelliert sind.


Beispiel: Vertikale Rechteckflache

Wir wollen den Formalismus an einem rechteckigen Flachenstuck der BreiteB konkretisieren.Es habe die Hohe H , der Flachenschwerpunkt liege bei zC . Die Druckkraft berechnet sich ausdem Druck im Flachenschwerpunkt als:

FD = �gBHzC

Fur die x-Koordinate des Angriffspunktes gilt:

xD =Ix′z′

AzC+ xC = xC

Wie nicht anders zu erwarten, greift der Druck in der vertikalen Symmetrieachse der Flachean, da er auf beiden Seiten derselben gleich groß ist.Wir suchen nun die vertikale Koordinate zD des Druckangriffspunktes. Fur sie gilt in diesemFall:

zD =BH3

12AzC+ zC =

H2

12zC+ zC

Das Ergebnis wird dann besonders pragnant, wenn die Bezugsflache bis zur Wasseroberflachereicht. Dann ist zC = H/2 und es folgt:

zD =2

3H

Der Druckangriffspunkt auf eine vertikale, rechteckige, sich bis zur Wasseroberflache er-streckende Flache liegt auf einem Drittel der Hohe uber der Unterkante der Flache auf ihrervertikalen Symmetrieachse.Eine Kraft bezeichnet man als exzentrisch, wenn sie nicht im Zentrum eines Korpers angreift;sie ubt dann ein Moment auf den Korper aus. Als Exzentritat e wird dann der Abstand desAngriffspunktes vom Zentrum bezeichnet, sie ist also der Hebelarm der Kraft auf den Korper.Im Fall der vertikalen Rechteckflache ist die Exzentritat der Druckkraft e = h/6.

1.4.4 Der Inhalt von allgemeinen Flachen im dreidimensionalen Raum

Zu einem gegebenen Flachenstuck im dreidimensionalen Raum wollen wir nun den Flachen-inhalt bestimmen. Dazu zerlegen wir die Flache in viele kleine ebene Teilflachen Ai, derenAnzahl wir in einem Grenzwertprozeß gegen Unendlich streben lassen. Hierdurch wird dieApproximation der unebenen Flache durch ebene Teilflachen perfekt:

A = limi→∞

∑i

Ai


�

��

��

��

��

Abbildung 1.6: Zur Integration uber Flachen. Links: Zerlegung einer Flache in nahezu ebeneTeilflachen. Rechts: Bestimmung des Flacheninhalts durch Projektion und Anwendung desSatzes von Pythagoras.

Nach dem Satz von Pythagoras berechnet sich der Flacheninhalt der ebenen Teilstucke als

Ai =√A2

x + A2y + A2

z

wobeiAx der Flacheninhalt der Projektion der Flache A auf die yz-Ebene

Ay der Flacheninhalt der Projektion der Flache A auf die xz-Ebene

Az der Flacheninhalt der Projektion der Flache A auf die xy-Ebenesind.Um fortzufahren, benotigen wir wieder eine Parametrisierung der Flache. Von dieser nehmenwir an, daß ihre geodatische Hohe zB (B fur Boden) als Funktion der horizontalen Koordi-naten x und y bekannt ist, zB = zB(x, y). Die vertikale Projektion der ebenen, rechteckigenTeilflache Ai sei:

Az = dxdy

Dann sind die Flacheninhalte der Projektionen auf die yz-Ebene

Ax =∂zB

∂xdxdy

und auf die xz-Ebene

Ay =∂zB

∂ydxdy

so daß der Flacheninhalt der Teilflache zu

Ai =

⎛⎜⎝√√√√(∂zB

∂x

)2

+

(∂zB

∂y

)2

+ 1

⎞⎟⎠ dxdy


wird. Die Summe der Teilflacheninhalte wird im Grenzfall unendlich vieler, kleiner Teilflachenzu:

A =

x0+Δx∫x0

y0+Δy∫y0

√√√√1 +

(∂zB

∂x

)2

+

(∂zB

∂y

)2

dxdy

der Flacheninhalt der durch die Sohlkoordinaten (x0, y0), (x0 + Δx, y0), (x0, y0 + Δy) und(x0 + Δx, y0 + Δy) Sohlflache.

1.4.5 Flachenintegral und Druckkraft

Wir wollen nun die Druckkraft auf ein beliebig geartetes Flachenstuck berechnen. Da derDruck gleich Kraft pro Flache ist und die Druckkraft uberall senkrecht zur Flache, also inRichtung der außeren Flachennormalen �n wirkt, ist die Definition

�F =∫A

p(x, y, z)d�S :=∫A

p(�x)�n(�x)dA

sinnvoll. Sie stellt uns nun vor die Aufgabe, das Integral einer (beliebigen) Funktion uber eineFlache zu bestimmen. Dieses ist genauso wie das klassische Riemannintegral definiert, bloßdaß hier eine Funktion nicht mehr uber eine Achse, sondern uber eine Flache bilanziert wird.Dazu denken wir uns die im Raum liegende Flache S in viele kleine disjunkte TeilflachenSi zerlegt. Diese Zerlegung soll fur i → ∞ immer feiner werden, so daß der Flacheninhaltder Teilflachen gleichmaßig gegen Null geht. Dann ist das Flachenintegral uber die Funktionp(x, y, z) definiert als:

�F =∫A

p(x, y, z)d�S = limi→∞

∑i

Aip(xi, yi, zi)�ni

Verwenden wir nun fur den Druck die hydrostatische Druckbeziehung und beachten, daß dieProjektion der Teilflache Ai auf den Normaleneinheitsvektor der Vektor der drei Projektions-flachen ist, dann bekommt man fur die Druckkraft:

�F = limi→∞

∑i

Aip(xi, yi, zi)�ni = limi→∞

∑i

�ghD(xi, yi, zi)

⎛⎜⎜⎝Ax

Ay

Az

⎞⎟⎟⎠

Ersetzen wir nun die infinitesimalen Teilsummen durch Integrale

�F = �g

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∫Ax

hDdA∫Ay

hDdA∫Az

hDdA

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠


und fuhren die uber die Flachen gemittelten Druckhohen als

hCx =1

Ax

∫Ax

hDdA hCy =1

Ay

∫Ay

hDdA hCz =1

Az

∫Az

hDdA

ein, dann bekommen wir schließlich fur die drei Komponenten der hydrostatischen Druckkraft:

�F = �g

⎛⎜⎜⎝AxhCx

AyhCy

AzhCz

⎞⎟⎟⎠

Die horizontalen Komponenten der Druckkraft berechnen sich also aus dem Druck im Flachen-schwerpunkt multipliziert mit den entsprechenden Flacheninhalten der projizierten Flachen.Die vertikale Komponente entspricht der Gewichtskraft der daruber liegenden gedachten Was-sersaule.

1.4.6 Der Angriffspunkt der hydrostatischen Druckkraft

Nachdem Betrag und Richtung der Druckkraft bekannt sind, bleibt ihr Angriffs- bzw. Druck-mittelpunkt (xD, yD, zD) auch fur den Fall beliebig gearteter Flachen zu bestimmen.Da der Druck uber das Flachenstuck nicht gleich verteilt ist, sondern mit der Tiefe ansteigt,geht die Druckkraft nicht durch den Flachenschwerpunkt, sondern greift unterhalb desselbenan. Um diesen Angriffspunkt zu bestimmen, kann man die verschiedenen Techniken aus derStatik nichtebener, nichtzentraler Krafte verwenden. Wir wollen hier folgenden Weg beschrei-ten. Wir berechnen zunachst die Angriffspunkte der Druckkraftkomponenten Fx, Fy und Fz

und daraus den Gesamtangriffspunkt. Dabei bezeichnen wir mit

• (yDx, zDx) den Angriffspunkt der Druckkraft Fx

• (xDy, zDy) den Angriffspunkt der Druckkraft Fy und mit

• (xDz, yDz) den Angriffspunkt der Druckkraft Fz.

Bestimmen wir zunachst den Druckkraftangriffspunkt der Horizontalkraft Fx. Die Flache Awerde dazu mit den Koordinaten y und z parametrisiert, d.h. ihre x-Koordinate ist als FunktionxA(y, z) bekannt. Fur die y-Komponente des Druckmittelpunktes yDx gilt dann die Mittlungs-beziehung:

yDxFx = �g∫

Ax

yzdA⇒ yDx =1

AxhCx

∫Ax

yzdA

Genauso bekommt man fur die z-Komponente des Druckmittelpunktes zDx:


zDx =1

AxhCx

∫Ax

z2dA

Vollkommen analog dazu ergeben sich die Koordinaten des Druckkraftangriffspunktes der Ho-rizontalkraft Fy auf die mit den Koordinaten x und z parametrisierte Flache A als:

xDy =1

AyhCy

∫Ay

xzdA

zDy =1

AyhCy

∫Ay

z2dA

Es bleibt noch der Angriffspunkt (xzD, yzD) der Vertikalkomponente Fz der Druckkraft zubestimmen. Dazu sei die Flache mit den horizontalen Koordinaten x und y parametrisiert, alsoz = z(x, y). Es gilt dann:

xDz =1

AzhCz

∫Az

xz(x, y)dA

yDz =1

AzhCz

∫Az

yz(x, y)dA

Wir haben es hier also mit einer etwas diffizilen Situation zu tun: Wahrend fur die horizonta-len Komponenten lediglich die vertikalen Flachenprojektionen parametrisiert werden mussen,muß fur die Berechnung der Vertikalkomponente eine explizite Parametrisierung der Original-flache vorhanden sein.Sind alle drei Druckkrafte und der Angriffspunkte bestimmt, dann wird die Gesamtdruckkraftaus der vektoriellen Summe der drei Teilkomponenten und der Gesamtdruckangriffspunkt sobestimmt, daß in ihm die Verschiebungsmomente der drei Einzelkrafte aufheben.Diese Beziehungen sollen fur das folgende wichtige Beispiel ausgewertet werden.

1.4.7 Druckkraft auf eine beliebige, ebene Rechteckflache

Wir wollen die Zerlegung der Druckkraft in horizontale und vertikale Krafte uben, indem wirnochmal eine ebene Flache betrachten: Diesmal sei die rechteckige Flache allerdings beliebigim Raum orientiert.Das Koordinatensystem sei so gelegt, daß die x-Achse die Wasseroberflache ist und dieVerlangerung der Flache den Koordinatenursprung schneidet (Abbildung 1.7). Eine Parame-trisierung dieser Flache z(x, y) ist also

z(x, y) = ax


x

Fx

Fz z

Fres.

x0 + x� x0

z0 + z�

z0

Abbildung 1.7: Die Druckkraft auf eine geneigte Rechteckflache.

mit der Flachensteigung a. Die Projektion des Flachenstuckes auf die horizontale Ebene liegezwischen den Koordinaten [x0, x0 + Δx] und [y0, y0 + Δy].Die Vertikalkraft entspricht der Gewichtskraft der daruber gedachten Wassersaule, ist also:

Fz = �g(z0 + a

Δx

2

)ΔxΔy

Sie greift im Punkt

(xDz, yDz) =

(x0 +

Δx

2+

Δx2

12x0 + 6Δx, y0 +

Δy

2

)

an. Die Horizontalkomponente Fx berechnet sich aus dem Druck im Flachenmittelpunkt derProjektionsflache Ax = ΔzΔy = aΔxΔy:

Fx = �g(z0 + a

Δx

2

)aΔxΔy

Sie greift nach der Regel fur vertikale Rechteckflachen am Punkt

(yDx, zDx) =

(y0 +

Δy

2, z0 +

Δz

2+

Δz2

12z0 + 6Δz

)

und damit am selben Ort wie die Vertikalkomponente Fz an. Damit konnen wir die beidenKraftkomponenten als zentrales Kraftesystem direkt vektoriell addieren und dann den Betragder Gesamtkraft bestimmen. Ihre Richtung steht senkrecht zur Flache.

1.5. Anwendungen auf Stauanlagen Seite 21

Ax

Az

A

Abbildung 1.8: Die Zerlegung der Druckkraft auf die horizontale und die vertikale Projekti-onsflache.

1.5 Anwendungen auf Stauanlagen

Seit vielen Jahrtausenden errichtet der Mensch Stauanlagen, um lebensnotwendiges Wasserzu speichern oder lebensbedrohendes Wasser zuruckzuhalten. Als Stauanlage bezeichnet mandabei die Anlage in ihrer Gesamtheit, d.h. sowohl das Absperrbauwerk, welches den Stauerzeugt, als auch das Staubecken, welches den vom Absperrbauwerk und dem Gelande um-schlossenen Raum zum Stauen des Wassers umfaßt.Die DIN 4048 unterscheidet dabei folgende Arten von Stauanlagen:

• Talsperren (Abbildung 1.9) sperren eine ganzen Talquerschnitt ab. Sie dienen zum Spei-chern von Wasser oder der darin enthaltenen Energie. Talsperren bewirken durch dieSpeicherung des zufließenden Wassers einen Vergleichmaßigung des naturlichen Was-serdargebotes im Unterlauf des Fließgewassers.

• Staustufen sperren nur den Fluss und nicht die ganze Talbreite ab. Sie haben daher we-sentlich kleinere Abmessungen als Talsperren und unterliegen anderen Bemessungsvor-schriften. Sie dienen zumeist der Einhaltung eines Mindestwasserstandes fur die Schiff-fahrt, aber auch der Erhohung der Fallhohe fur die Wasserkraftnutzung, dem Schutz desFlussbetts vor Erosion oder der Hebung des Grundwasserspiegels.

• Hochwasserruckhaltebecken dienen dem vorubergehenden Ruckhalt von Hochwasser.

• Pumpspeicherbecken dienen der Bereitstellung von Wasser fur die Pumpspeicherung.

• Sedimentationsbecken dienen dem Ruckhalt absetzbarer Schwebstoffe.

Seite 22 1.5. Anwendungen auf Stauanlagen

Abbildung 1.9: Die Edertalsperre erzeugt einen kunstlichen See mit 202 Millionen Kubikme-tern Fassungsvermogen. Sie dient der Schiffbarmachung von Oberweser und Fulda und speistden Mittellandkanal mit Wasser. Als Nebeneffekt wird Energie erzeugt.

• Stauteiche sind kleinere Stauanlagen, die z.B. der Fischzucht dienen.

• Geschiebesperren (Abbildung 1.10) dienen dem Ruckhalt von Geschiebe.

Bei den meisten Staustufen wird der Stau durch ein bewegliches Wehr als Absperrbauwerkerzeugt, deren Statik wir anhand von zwei Beispielen studieren wollen.

1.5.1 Statik einer geschlossenen Hubschutze

In Bachen werden oft Hubschutzen (Abbildung 1.11) zur Regulierung von Wasserstand undAbfluss eingesetzt. Wir wollen die Krafte auf die geschlossene Schutze berechnen, um diesestatisch zu bemessen. Dabei sind die statischen WasserdruckkrafteWo undWu, der AuftriebAund das SchutzengewichtG zu berucksichtigen (Abbildung 1.12), die von den LagerreaktionenB und C aufgefangen werden.Das Schutzengewicht bestimmt sich aus den Abmaßen der Schutze, zusatzlich zu ihrer BreiteLy habe sie die Hohe Lz und die Starke Lx. Ist sie aus homogenen Material der Dichte �S

gefertigt, folgt fur das Schutzengewicht:

G = �SgLxLyLz

Die Summe der an die Hubschutze angreifenden Krafte in x-Richtung ist:

Fx = Wo −Wu =1

2�gLy

(h2

o − h2u

)


Abbildung 1.10: Die Geschiebesperre im Wimbachtal (Nationalpark Berchtesgaden) hindertden bis zu 300 m machtigen Schuttstrom aus dem hinteren Talbereichen am Weiterwandern.Das Wasser des Wimbachs bewegt sich bis hierhin in den Geschiebemassen und tritt erst ander Sperre aus.

Abbildung 1.11: Baufallige Hubschutze.


Wu

Wo

B

G

A

C

h

� g h

Abbildung 1.12: Kraftegleichgewicht an der geschlossenen Hubschutze.

In vertikaler Richtung greift neben der Gewichtskraft noch die Auftriebskraft A unter derSchutze an. Gehen wir davon aus, daß die anstehende Sohle wasserdurchlassig ist und derPorenwasserdruck dem hydrostatischen entspricht, dann fallt der Bodenwasserdruck im Ober-wasser vom Wert �gho uber die Schutzenstarke Lx auf den Wert �ghu. Bei einem linearenAbfall gilt dann fur die hydrostatische Auftriebskraft durch das Porenwasser auf der Untersei-te der Schutze

A =1

2�g (ho + hu)LxLy

und die Summe der angreifenden Krafte in der Vertikalen ist:

Fz = A−G = LxLyg(

1

2� (ho + hu) − �SLz

)

Da die Halblange (ho +hu)/2 kleiner als die Schutztafelhohe Lz ist, weist die Vertikalkraft Fz

in Richtung der Gewichtskraft, wenn die Dichte �S des Schutztafelmaterials großer als die desWassers � ist.Damit ist die resultierende Kraft Fres:

Fres =√

(Wo −Wu)2 + (A−G)2

Sie ist um den Winkel

tanα =A−G

Wo −Wu

gegenuber der Horizontalen in Bodenrichtung geneigt.


Um den Angriffspunkt der resultierenden Kraft zu bestimmen, legen wir den Ursprung eineskartesischen Koordinatensystems an den unteren Beruhrungspunkt der Hubschutze mit derSohle. Die angreifenden Krafte bewirken dort ein Moment von:

My =1

3(Wuhu −Woho)

Durch die Parallelverschiebung der resultierenden Kraft um den Betrag

r =My

|Fres| =1

3

Wuhu −Woho√(Wo −Wu)

2 + (A−G)2

und das Zuruckverfolgen der Wirkungslinie dieser Kraft bekommen wir die Angriffshohe derresultierenden Kraft als:

zF = r cosα =1

3

Wuhu −Woho√(Wo −Wu)2 + (A−G)2

cosα

Die Lagerreaktion B muß in dieser Hohe angreifen, sie ist betragsmaßig gleich der Horizon-talkraft Fx. Neben der Bemessung der Lagerung benotigt man die wirkenden Krafte noch zurBestimmung der Antriebskraft zum Heben der Schutze, die sich aus Haft- und Gleitkraftenzusammensetzt.

1.5.2 Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschutze

Um großere Gewasser zu stauen, werden Segmentschutze verwendet, die ihren Namen aus derGestaltung ihrer wasserseitigen Oberflache als Kreissegment haben. Damit haben wir es mitder Berechnung der Druckkrafte auf eine gekrummte Oberflache zu tun. Um den Uberblickzu behalten, sollte die nicht schwierige, aber langwierige Berechnung ordentlich gegliedertwerden.

Wahl des Koordinatensystems und Parametrisierungen

Als Koordinatenursprung bietet sich zweckmaßigerweise der Mittelpunkt des Wehrkreises an.Die z-Achse weise in Schwerkraftrichtung (Abbildung 1.15).Zur Parametrisierung des Kreissegmentes werde der Winkel θ von der x-Achse gegen denUrzeigersinn gemessen, das Kreissegment ist dann durch seinen Radius R und die Winkel θo

und θu geometrisch vollstandig bestimmt. Die Wasseroberflache liegt dann bei

zS = R sin θo

und die Koordinaten der Segmentoberflache werden durch

x = R cos θ mit θo ≤ θ ≤ θu


StaublechTragkasten

Tosbecken

DreharmDrehlager

Presslager

hydr.Presse

Abbildung 1.13: Bauelemente einer olhydraulischen Drucksegmentschutze.

hG

W A

P

B

Abbildung 1.14: Die Druckkraft auf eine geschlossene Segmentschutze.


X

Z

�x(z)

�o�u

A

Abbildung 1.15: Die Bezeichnungen zur hydrostatischen Berechnung der Segmentschutze.

z = R sin θ mit θo ≤ θ ≤ θu

beschrieben.Grundsatzlich sollte jede Wahl des Koordinatensystems zum richtigen Ergebnis fuhren. DieZweckmaßigkeit eines Koordinatensystems erkennt man aber an der Kurze und Anschaulich-keit der Rechnungen. Werden diese zu umfangreich, so kann die Wahl eines anderen Koordi-natensystems manchmal Wunder wirken.

Bestimmung der Druckkraft

Bestimmen wir nun die Komponenten der Druckkraft, die auf eine Segmentschutze der BreiteB wirken. Deren Horizontalkomponente Fx berechnet sich aus der Druckkraft im Flachen-schwerpunkt der vertikalen Projektionsflache des Kreissegments:

Fx =1

2�gh2B

Die Vertikalkomponente Fz berechnet sich aus der uber dem Kreissegment liegenden Wasser-gewicht:

Fz = −�gAB

Da sie unter die Segmentschutze greift, ist sie eine Auftriebskraft und bekommt in demgewahlten Koordinatensystem ein negatives Vorzeichen. Daher muß die Segmentschutze durcheine Presse nach unten gedruckt werden (Abbildung 1.13).Etwas kniffelig ist die Berechnung der uber dem Kreissegment liegenden Flache A. Um dasRechnen mit parametrisierten Flachen zu uben, sei diese Berechnung hier detailliert vor-gefuhrt. Ist Δx(z) die horizontale Ausdehnung der Flache, die mit der Hohe uber dem Bodenzunimmt und daher eine Funktion von z ist, dann gilt:


A =

zS∫zB

∫Δx(z)

dxdz =

zS∫zB

Δx(z)dz

Fur den Abstandsfuhler Δx(z) gilt:

Δx(z) = R cos θ(z) −R cos θu

Ferner kann man die geodatischen Hohen der Wasseroberflache zS und des Bodens zB alsFunktionen der segmentdefinierenden Winkel darstellen:

A = R

R sin θo∫R sin θu

(cos θ(z) − cos θu) dz

Fuhrt man letztlich die Variablentransformation

z = R sin θ ⇒ dz = R cos θdθ

ein, dann wird das Integral zu

A = R2

−θo∫−θu

(cos θ − cos θu) cos θdθ

und bekommt mit dem Additionstheorem des Sinus den Wert:

A =1

2R2[(θu − θo) − sin θu cos θu + 2 sin θo

(cos θu − 1

2cos θo

)]

Damit kann man nun die vertikale Druckkraft

Fz = −�gB 1

2R2[(θu − θo) − sin θu cos θu + 2 sin θo

(cos θu − 1

2cos θo

)]

und abschließend fur die resultierende Druckkraft Fp =√F 2

x + F 2z bestimmen.

Angriffspunkte der Druckkraft

Zur Bemessung der hydraulischen Presse, die die Segmentschutze zu Boden druckt, ist schließ-lich noch der Angriffspunkt der Druckkraft zu bestimmen, damit man ihre Wirkungsliniekennt. Den Angriffspunkt zDx der Horizontalkomponente Fx hatten wir schon bestimmt, erliegt in der Mitte der Wehrbreite bei einem Drittel der Wassertiefe uber dem Boden:

zDx = R sin θu − 1

3h = R

(2

3sin θu +

1

3sin θo

)


Um den Angriffspunkt der Vertikalkraft zu bestimmen, muß die Horizontalprojektion der Seg-mentflache parametrisiert werden. Sie ist rechteckig, ihre y-Koordinate reicht von 0 bis B, diex-Koordinate von R cos θu bis R cos θo. Somit ist der Flacheninhalt der Horizontalprojektion:

Az = BR(cos θo − cos θu)

Damit konnen wir die uber die Flache gemittelte Druckhohe hCz als

hCz =1

Az

∫Az

hDdA =1

BR(cos θo − cos θu)

B∫0

R cos θo∫R cos θu

(R sin θ(x) − R sin θo) dxdy

= −R2

(sin θo cos θo + sin θu cos θu + θo − θu) − 2 sin θo cos θu

(cos θo − cos θu)

bestimmen. Da ferner die z-Koordinate der Segmentschutze durch z(x, y) =√R2 − x2 be-

stimmt ist, bekommt man:

xDz =1

AzhCz

∫Az

xz(x, y)dA

=1

R(cos θo − cos θu)hCz

R cos θo∫R cos θu

x√R2 − x2dx

=1

R(cos θo − cos θu)hCz

[−1

3(R2 − x2)3/2

]R cos θo

R cos θu

=R2(sin3 θu − sin3 θo

)3(cos θo − cos θu)hCz

= −2

3R

sin3 θu − sin3 θo

(sin θo cos θo + sin θu cos θu + θo − θu) − 2 sin θo cos θu

Wir wollen die Zusammensetzung der beiden Einzelkrafte hier nicht weiterverfolgen. DieRechnung zeigt allerdings, daß schon einfache geometrische Anordnungen zu recht komple-xen Druckkraftberechnungen fuhren konnen.

1.5.3 Die Gleitsicherheit einer Gewichtsstaumauer

Die konstruktive Herausforderung bei einer Staumauer ist es, der enormen angreifendenDruckkraft des Wassers etwas entgegen zu setzen. Damit eine Staumauer standsicher ist, sinddabei folgende Nachweise zu erbringen:

• Da eine Staumauer im Gegensatz zu einem Staudamm aus Beton ist, durfen an keinerStelle Zugspannungen auftreten.


h

L

�gh

m�gh

Abbildung 1.16: Zur Gleitsicherheit einer Stau-mauer.

• In der Stauermauer mussen die zulassigen Druckspannungen eingehalten werden, damitder Beton nicht versagt.

• Unterhalb der Staumauer mussen die zulassigen Bodenpressungen eingehalten werden.

• Als massives Bauwerk muss die Sicherheit gegen Kippen gepruft werden.

• Als massives Bauwerk muss die Sicherheit gegen Gleiten gepruft werden.

Bei einer Gewichtsstaumauer wird durch das Gewicht der Staumauer der Scherwiderstand inder Kontaktflache zwischen Mauer und anstehendem Fels so erhoht, dass dieser der Wasser-druckkraft widerstehen kann.Eine Staumauer ist dann gleitsicher, wenn die horizontalen Wasserkrafte nicht in der Lagesind, sie wegzuschieben, wenn also die Reibungskrafte zwischen anstehendem Fels und derStaumauer großer als die schiebenden Wasserkrafte sind. Wie betrachten eine Staumauer derBreite B mit dreiecksformigen Querschnitt der Hohe h und der Bodenlange L.Die Reibungskrafte zwischen Staumauer und anstehendem Fels sind umso großer, desto großerdas Gewicht M der Staumauer ist:

FR = μMg =1

2μ�BgLBh

Der Koeffizient μ heißt Gleitreibungskoeffizient, �B ist die Dichte des verwendeten Betons.

1.6. Ruhende Flussigkeiten in beschleunigten Gefaßen Seite 31

Diese Gleichung berucksichtigt allerdings noch nicht den durch den Porenwasserdruck ent-stehenden Auftrieb der Staumauer, den man als Sohlenwasserdruck bezeichnet. Der Sohlen-wasserdruck ist auf der Wasserseite der Staumauer der dort wirkende hydrostatische Druck�gh, denn er setzt sich stetig in die anstehenden Poren fort. Auf der Landseite nimmt er Luft-druck an, wenn dort kein Wasser steht. Nehmen wir an, dass der Sohlenwasserdruck unter derStaumauer der Grundlange L linear abnimmt, dann gilt fur den Auftrieb durch den Sohlen-wasserdruck 1

2�ghLB, wenn die Anlage rein auf Porenwasser schwimmen wurde. Auf felsi-

gem Untergrund wird allerding nur ein gewisser Teil der Grundflache LB von Sohlenwasserberuhrt. Im anderen, von fester Felsmatrix kontaktiertem Teil herrscht ein kleinerer als derSohlenwasserdruck. Dies wird durch einen Abminderungsbeiwert m berucksichtigt, der nachDIN 19702 bestimmt werden muss. Somit gilt fur die Reibungskrafte:

FR =1

2μghLB (�B −m�)

Diese Krafte mussen also den horizontalen Druckkrafte 12�ghhB resistieren:

1

2μghLB (�B −m�) >

1

2�ghhB ⇒ L >

�h

μ (�B −m�)

Damit ergibt sich eine Bedingung fur die Mindestgrundlange einer Staumauer, die umso großerist, desto hoher die Staumauer ist.

1.6 Ruhende Flussigkeiten in beschleunigten Gefaßen

Eine Verallgemeinerung des bisher Gelernten besteht in der Betrachtung ruhender Flussigkei-ten in beschleunigten Gefaßen. Als Anwendungen kann man dabei an die Kaffeetasse in einemanfahrenden Zug denken; auf geophysikalischen Maßstab ist sogar jedes Gefaß, jeder See undjedes Ozeanbecken einer Beschleunigung ausgesetzt, die durch die Rotation der Erde und dersie beschreibenden Corioliskraft verursacht wird.

1.6.1 Das gleichmaßig beschleunigte Gefaß

Denken wir uns ein Koordinatensystem, welches sich mit dem Gefaß mitbewegt. Da wir unsdamit in einem beschleunigten Bezugssystem befinden, welches kein Inertialsystem ist, ver-liert die Newtonsche Bewegungsgleichung in der Grundform ihre Gultigkeit.Um das korperfeste Koordinatensystem zu einem Inertialsystem zu machen, mussen wir dieTragheit als Reaktion auf die Beschleunigung �a berucksichtigen, diese also von den außerenKraften abziehen.Wir betrachten zuerst den Fall einer konstanten Beschleunigung a = du/dt = const in x-Richtung. Der Kraftdichtevektor �f ist dann

Seite 32 1.6. Ruhende Flussigkeiten in beschleunigten Gefaßen

�f =

⎛⎜⎜⎝

−a0

−g

⎞⎟⎟⎠

und die Kraftbilanz ist in diesem Fall:

grad p = ��f = �

⎛⎜⎜⎝

−a0

−g

⎞⎟⎟⎠

Damit hat man zwei nicht-triviale (d.h. von Null verschiedene) Gleichungen. Die Integrationder Bilanz in x-Richtung ergibt:

∂p

∂x= −�a ⇒ p(x, z) = cx(z) − �ax

Man beachte, daß die Integrationskonstante cx(z) eine Funktion von z sein kann. Die Kraftbi-lanz in z-Richtung bleibt wie in der Hydrostatik:

p(x, z) = cz(x) − �gz

Auch hier ist eine Integrationskonstante zu berucksichtigen, die noch von x abhangig seinkann. Die Integrationskonstanten mussen nun so gewahlt werden, daß die beiden Losungen zueiner verschmelzen. Dies ist durch den Ansatz

p(x, z) = c− �gz − �ax

gewahrleistet, wobei eine konstante Integrationskonstante c zu berucksichtigen bleibt. Um die-se zu bestimmen, benotigt man den Druckwert an einem einzigen bekannten Punkt. Dazunehmen wir an, daß der Druck an der Flussigkeitsoberflache Null sein soll und wahlen denBezugspunkt (x = 0, zS(x = 0)) := (0, zS,0):

p(0, zS) = c− �gzS,0 = 0 ⇒ c = �gzS,0

Somit haben wir folgende Gesamtdrucklosung:

p(x, z) = � (gzS,0 − gz − ax)

Auf jeder horizontalen Ebene im Gefaß nimmt der Druck also linear in x-Richtung ab, da dieFlussgkeitsoberflache in diese Richtung geneigt ist. Die Form der Flussigkeitsoberflache erhaltman schließlich aus der Bedingung:

1.6. Ruhende Flussigkeiten in beschleunigten Gefaßen Seite 33

p(x, zS(x)) = 0 = � (gzS,0 − gzS(x) − ax) ⇒ zS(x) = zS,0 − a

gx

Sie ist also eben und um das Verhaltnis von horizontaler zu Gravitationsbeschleinigung gegendie Horizontale geneigt.Das Ergebnis kann man auch durch einfachere, mehr heuristische Uberlegungen gewinnen.Worauf hier allerdings der Augenmerk gelenkt werden sollte, ist die akribische Arbeit mitIntegrationskonstanten, die im Mehrdimensionalen Integrationsfunktionen sind. Nur so kannman mehrere partielle Differentialgleichungen ordentlich losen.

1.6.2 Die rotierende Zentrifuge

Es soll nun die sich in einer rotierenden Zentrifuge einstellende Flussigkeitsoberflache be-stimmt werden. Auch hier ruht die Flussigkeit nicht sondern bewegt sich mit der Geschwin-digkeit

uθ = ωr

um die Rotationsachse z. Hierbei ist ω die Winkelgeschwindigkeit und r der Abstand von derRotationsachse. Mit der kreisformigen Bewegung ist die Beschleunigung

ar = ω2r

verbunden, die die Flussigkeit an die Außenwande der Zentrifuge treibt.Wir wollen das Koordinatensystem in die Achse der Zentrifuge legen und es mit dieser ro-tieren lassen. In diesem Bezugssystem ruht die Flussigkeit. Das Bezugssystem ist aber keinInertialsystem. Um es zu einem zu machen, mussen wir die Beschleunigungen in den Bewe-gungsgleichungen abziehen:

∂p

∂r= �ω2r

∂p

∂z= −�g

Auch diese Gleichungen sind unter sorgfaltiger Verwendung von Integrationskonstanten zuintegrieren. Man bekommt fur den Druck die Losung

p(r, z) =1

2�ω2r2 + �g(zS,0 − z)

wobei zS,0 die Hohe der Flussigkeitsoberflache auf der Rotationsachse ist.Die Form der Flussigkeitsoberflache erhalt man wieder aus der Randbedingung, daß der Druckauf ihr der zu Null angenommene Luftdruck ist:

p(r, zS) = 0 =1

2�ω2r2 + �g(zS,0 − zS(r)) ⇒ zS(r) = zS,0 +

1

2

ω2

gr2

Man erkennt in ihr also die Form einer Parabel.

Seite 34 1.7. Der hydrostatische Auftrieb

1.7 Der hydrostatische Auftrieb

Wir wollen nun die hydrostatische Druckkraft auf einen im Fluid befindlichen Korper berech-nen. Dieser wird durch eine geschlossene Flache A beschrieben. Die auf ihn wirkende Kraftist also

�FA = −∮A

pd�S

Die Losung dieses Problems ist dank des Gaußschen Integralsatzes fur skalare Funktionen sehreinfach.

Satz: Auf einem Gebiet Ω mit glattem Rand ∂Ω sei eine skalare Große f gegeben. Dann giltfur den Skalar:

∫Ω

grad fdΩ =∫

∂Ω

f d�S (1.1)

Neu eingefuhrt wurden hier die Symbole Ω und ∂Ω. Ersteres bezeichnet in der Mathematikeinen Teilbereich des betrachteten n-dimensionalen Raumes, im dreidimensionalen Raum alsoein gewisses Volumen V . Die Umrandung wird mit ∂Ω bezeichnet, bei einem Volumen ist diesdie es umschließende Oberflache A. Damit haben wir

�FA = −∫V

grad pdV = −�(�g�ez)�ez

∫V

dV = −�(�g�ez)�ezV = �gV �ez

wobei �ez ein Einheitsvektor in z-Richtung ist. Erst im letzten Gleichungsteil wurde angenom-men, daß die z-Achse entgegengesetzt der Gravitationskraft ist. Die resultierende Druckkraftauf einen Korper ist gleich dem Gewicht der von ihm verdrangten Wassermenge. Da sie im-mer nach oben weist, bezeichnet man sie als Auftrieb. Anders ausgedruckt verliert jeder ineine Flussigkeit getauchte Korper soviel von seinem Gewicht, wie die von ihm verdrangteFlussigkeitsmenge wiegt.Die Formel fur den Auftrieb wurde von Archimedes (287 bis 212 v.Chr.) entdeckt.Greift die Auftriebskraft nicht im Korperschwerpunkt an, dann ist mit ihr ein Drehmoment ver-bunden, welches nun bestimmt werden soll. Mit dem Gaußschen Integralsatz fur die Rotationfolgt:

�MA = −∮A

�x× pd�S =∫V

rot (p�x)dΩ

Die entsprechende Produktregel liefert:

�MA =∫V

(p rot �x+ grad p× �x)dΩ =∫V

grad p× �xdΩ = −∫V

�g�ez × �xdΩ = −�g�ez ×∫V

�xdΩ

1.8. Schwimmstabilitat Seite 35

M

G

BM

G

B

MG

B

Abbildung 1.17: Stabilitatsmodi eines Schiffes; links: Stabil, Mitte: Indifferent, Rechts: Labil.

Auf der rechten Seite des letzten Vektorprodukts erscheint nun der Schwerpunkt V �xS:

�MA = −�g�ez × V �xS = �xS × �gV �ez = �xS × �FA

Man kann die Wirkung der Auftriebskraft also im Schwerpunkt zusammenfassen.

1.8 Schwimmstabilitat

Wir wollen das Gelernte uber hydrostatische Krafte und den Auftrieb am Beispiel derSchwimmstabilitat von Schiffen vertiefen. Ein Schiff schwimmt, wenn seine Gewichtskraftkleiner als seine Auftriebskraft ist. Diese Bedingung ist naturlich nicht hinreichend, um ein si-cheres Wasserfahrzeug zu konstruieren. Eine zweite, uberlebenswichtige Anforderung ist die,daß es nicht kielauf schwimmt, also schwimmstabil ist.Um zu verstehen, wann dies passiert, oder besser, wann dies nicht passiert, betrachten wir dieAbbildung 1.17. Dort sind fur ein leicht geneigtes Schiff der MassenschwerpunktG, in dem dieGravitationskraft vertikal nach unten angreift und der Angriffspunkt B (von engl.: buoyancy)der Auftriebskraft eingetragen, die das Schiff vertikal nach oben schiebt. Die rechte Skizzezeigt eine stabile Konstruktion, denn das Drehmoment von Auftriebs- und Gravitationskraftwirken dem Stormoment entgegen, welches das Schiff in seine geneigte Lage gebracht hat. Inder linken Teilabbildung ist der gegenteilige Fall skizziert, hier wirken das Drehmoment desKraftepaares aus Auftriebs- und Gewichtskraft so, daß sie das Stormoment unterstutzen unddie Neigung des Schiffes erhohen. Das Schiff ist bezuglich der Schwimmstabilitat labil. Immittleren Bild haben Auftriebs- und Gewichtskraft kein Moment, das Schiff wurde in diesemFall in seiner geneigten Lage verbleiben, es ist bezuglich der Schwimmstabilitat indifferent,was aber ebenfalls nicht sonderlich gunstig ist.Aus dem Vergleich der drei Abbildungen bekommt man sehr schnell ein geometrisches Kri-terium fur die Schwimmstabilitat des Schiffes heraus: Entscheidend ist dabei die Lage dessogenannten Metazentrums M , was der Schnittpunkt der Wirkungslinie der Auftriebskraftmit der vertikalen Achse des Schiffes ist. Liegt das Metazentrum M oberhalb des Massen-

Seite 36 1.8. Schwimmstabilitat

O

x

x�

x

y

dA

Abbildung 1.18: Zur Berechnung des Auftriebsmoments bei einem um den Winkel θ geneigtenSchiff.

schwerpunkts G, dann ist das Schiff schwimmstabil, liegt es unterhalb des Massenzentrumsdann ist es labil.Um den Sachverhalt zu quantifizieren, wird die Hohen dieser Punkte uber Kiel K bestimmt.Als metazentrischen Radius hm bezeichnet man dann die Differenz der Hohen des Metazen-trums hM und des Massenschwerpunkts hG uber Kiel auf der vertikalen Achse:

hm := hM − hG = hM − hB − e

Im letzten Teil ist e die Hohendifferenz zwischen Massen- und Auftriebsschwerpunkt (Abbil-dung 1.19). Da diese Hohe direkt aus der Massenverteilung des Schiffes ermittelt werden kann,bleibt nur noch die Hohe des Metazentrums uber dem Auftriebsschwerpunkt zu bestimmen.Die Schwimmstabilitat eines Schiffes ist somit stabil, wenn hm > 0, labil, wenn hm < 0 undindifferent, wenn hm = 0 ist.Das das Schiff stabilisierende Moment kann man auf zwei Wegen berechnen: Bei dem inAbbildung 1.18 dargestellten, um den Winkel θ geneigten Schiff ist die rechte Seite tiefer alsdie linke Seite eingetaucht, die Auftriebskraft ist auf der rechten also großer als auf der linkenSeite. Diese Differenz der Krafte fuhrt zu einem Drehmoment um den Punkt O, welches wirnun berechnen wollen. Dazu betrachten wir ein Flachenelement dA auf dem Schiffsdeck. Zuihm gehort bei einem Neigungswinkel θ das zusatzliche eingetauchte Volumen dV = θxdA

und damit die Auftriebskraft dF = �gθxdA, die ein ruckstellendes Moment dM = x�gθxdA

produziert. Insgesamt wird das Schiff also durch das Moment

M =∫A

x�gxθdA = �gθIyy

1.9. Schiffshebewerke Seite 37

Ba

G

M

hm

e

Abbildung 1.19: Der Hebel der Auftriebskraft am Schiff.

in die Gleichgewichtslage zuruckgetrieben. Das Moment laßt sich aber auch aus der versetztenLage des Angriffpunktes B der Auftriebskraft (Abbildung 1.19) und dem damit verbundenenHebel a als

M = �V ga = �V g(hm + e) sin θ � �V g(hm + e)θ

berechnen. Gleichsetzen der letzten beiden Beziehungen liefert die folgende Bedingung furdie Schwimmstabilitat eines Schiffes:

hm =Iyy

V− e > 0

Mit dieser Gleichung hat man einen Rechenweg zur Hand, um die Schwimmstabilitat einesSchiffes zu bestimmen. Dazu benotigt man nur Abstand zwischen Massen- und Auftriebs-schwerpunkt e und das Flachentragheitsmoment Iyy der Schiffsoberflache.

1.9 Schiffshebewerke

Um einen durchgehenden Schiffsverkehr zwischen zwei Meeren zu gewahrleisten, mussenSchiffe irgendwie uber die dazwischen liegende Wasserscheide transportiert werden und da-bei einen u.U. erheblichen Gelandesprung uberwinden. Aber auch andere Gelandesprunge wienaturliche Wasserfalle oder kunstliche Talsperren sind Hindernisse fur die Schifffahrt mit er-heblichem Hohenunterschied.An Wasserstraßenkreuzen wird eine uber die andere Wasserstraße mittels einer Wasserstra-ßenbrucke gefuhrt. Will ein Schiff von der unteren auf die obere Wasserstraße abbiegen, mußebenfalls ein Hohenunterschied durch irgendeine Art von Fahrstuhl uberwunden werden.So haben die Wikinger von der Nordsee kommend Schleswig-Holstein vermutlich mit Schiffengequert; uber die Eider und Treene, dann 8 km auf dem Landweg zur oberen Schlei, um von

Seite 38 1.9. Schiffshebewerke

Abbildung 1.20: Wasserstraßenbrucke des Mittellandkanals uber die Elbaue bei Magdeburg.

dort stromab zu der bei Schleswig liegende ehemalige Wikingerstadt Haithabu zu gelangen.Das Schiffshebewerk war dabei der Mensch selbst [13].Man bezeichnet diese Art der Schiffstransports als Trockenforderung, da das Schiff dabei ausseinem gewohnten Element genommen wird. Im Gegensatz dazu verbleibt das Schiff bei derNaßforderung im Wasser, welches zusammen mit dem Schiff in einem Trog gehoben wird.

Die ersten Schiffshebewerke arbeiteten fast ausschließlich in Trockenforderung, da hier ledig-lich das zu transportierende Schiff und nicht auch noch der wassergefullte Trog als zusatzlicherBalast bewegt werden muußte. Die Hubhohen betrugen nur wenige Meter und die Schiffe odereher Kahne waren im Vergleich zu dem, was wir heute als Schiff bezeichnen, noch sehr leicht.Die Hubhohe wurde dabei auf einer schiefen Ebene uberwunden, die zur Reduktion der Gleit-reibung durch Einfetten oder durch Aufbringung von Schlick moglichst rutschig gemacht wur-de. Spater erfolgte der Transport auf in den Boden eingelassenen Rollen, dann in einem aufSchienen fahrenden Transportwagen. So konnten immer großere Schiffe uber immer hohereGelandesprunge transportiert werden.

Ein wesentlicher Fortschritt bestand im Ausgleich der Gravitationskraft des zu hebenden Ge-wichts durch den Zwillingsbetrieb: Auf zwei nebeneinander angebrachten Forderwegen wur-de auf der einen Seite ein Transportwagen berab und auf der anderen Seite ein Transportwagenbergauf befordert, die uber ein Seil un eine auf der Bergspitze angebrachte Rolle sich gegen-seitig in der Waage hielten. Das Prinzp funktioniert naturlich umso besser je ausgeglichenerdas Gewicht der beiden Waagen ist.Im 18. Jahrhundert wurden so Kohle in kastenformigen Kahnen aus den hoher gelegenen Berg-werken Englands und Irlands in die Industriezentren an den Kusten auf dafur extra angelegtenWerkskanalen transportiert. Da die Kahne alle dieselben Abmaße besaßen, konnten die Schie-


SHW �

�

�

Trocken-forderung

�

�

�

�

Nass-forderung

�

�

�

�

Rutschigeschiefe Ebene

Rollen

Transport-wagen

Kran

Langs

Quer

Senkrecht

WasserkeilHW

�

�

�

� Tauchschleuse

Schwimmer-HW

Druckwasser-HW

Gegengewichts-HW

Abbildung 1.21: Einteilung der Schiffshebewerke.

Seite 40 1.9. Schiffshebewerke

Trog mit Schiff

Schwimmer-

schächte

Schwimmer

Abbildung 1.22: Prinzip des Schwimmerhebewerks.

nenwagen direkt auf sie zugeschnitten werden. Der Transport ging zudem bergab, so daß diemit den schwereren beladenen Schiffen belasteten Wagen den unbeladenen im Zwillingsbe-trieb wieder bergauf ziehen konnte [13].

Das immer großer werdende transportierbare Gewicht begunstigte den Ubergang zurNassforderung aus zwei Grunden: Zum einen mussen die Schiffe auf trockenen Transport-wagen fur die Halterungen normiert sein, ein freier Schiffsverkehr mit irgendwie geartetenFahrzeugen, fur die lediglich die Maximalmaße festgelegt wurden, war so nicht moglich. Derzweite Grund war der Ausgleich des Gewichts im Zwillingsbetrieb, der mit leeren gegen volleSchiffe nicht so leicht herstellbar war.

Werden die Schiffe aber in einem Trog auf einer Schienenbahn uber den Gelandesprung trans-portiert, so kann ein Gewichtsausgleich direkt durch die Wasserfullhohe im Trog stattfinden,bei gleichem Wasserstand haben beide Troge des Zwillingsbetriebs dank des ArchimedesschenAuftriebsprinzips dasselbe Gewicht, egal ob sie ein Schiff enthalten, dieses be- oder entladenist.

Bei geringer Neigung des Gelandes wurden die Troge so gestaltet, daß die Schiffe langs zurSchiene ausgerichtet wurden. Dazu darf das Gelande allerdings nicht zu steil (kleiner 1:15)oder das Schiff nicht zu lang sein. Bei großeren Neigungen muss der Trog so ausgerichtetsein, daß das Schiff quer zur Transportrichtung befordert wird.

Bei modernen Schiffshebewerken wird aber der raumsparende senkrechte Transport bevor-zugt. Beim Schwimmerhebewerk wird dabei das zu hebende Gewicht durch die Erzeugungvon Auftrieb reduziert. Dazu befinden sich in wassergefullten, in den Boden eingelasseneSchwimmerschachte luftgefullte Schwimmerkorper, die so bemessen sind, daß sie das Ge-wicht des wassergefullten Troges und der beweglichen Anlagenteile genau ausgleichen (siehe


Abbildung 1.23: Zur Uberwindung eines Gelandesprungs von 36 m auf dem Schiffahrtswegvon Berlin nach Stettin ist 1934 das Schiffshebewerk Niederfinow gebaut worden. Links dieGesamtansicht des Bauwerks, rechts die oberstromige Einfahrt. Das Hebewerk stellt aber heuteeinen Engpass dar, da sein Trog die Lange der Schiffe auf rund 80 m begrenzt. Damit konnenmoderne Großmotorguterschiffe mit bis zu 110 m Lange Niederfinow nicht passieren. Zu-dem kann die Ladekapazitat vieler Fahrzeuge nicht ausgenutzt werden, da die Trogwassertiefenur 2 m Tiefgang zulaßt. Daher plant die Wasser- und Schifffahrtsverwaltung hier ein neuesSchiffshebewerk mit 115 m Troglange.

Abbildung 1.22). Zur Bewegung wird ein leichtes Ungleichgewicht erzeugt, indem bei einerTalfahrt der Trog mit etwas mehr Wasser und bei einer Bergfahrt mit etwas weniger Was-ser gefullt wird. Die exakte vertikale Position des Trogs wird durch Spindeln gesteuert. InDeutschland ist das Schiffshebewerk Rothensee am Wasserstraßenkreuz Magdeburg mit einersolchen Hubvorrichtung ausgestattet.Beim Druckwasserhebewerk befindet sich jeder der beiden Zwillingstroge auf einem Preßkol-ben. Diese befinden sich in Druckzylindern, zwischen denen uber ein verschließbares RohrWasser ausgetauscht werden kann. Je nach Fließrichtung senkt sich dann der eine Kolben,wahrend der andere sich hebt. Haben die beiden Kolben und die darauf montierten Troge dieGewichteM1 undM2, dann gilt fur die beiden Eintauchtiefen (Bezeichnungen nach Abbildung1.24),

(p0 + �gh1)A = M1g

(p0 + �gh2)A = M2g

wobei ihre Summe konstant ist:

h1 + h2 = Hges = const

Aus diesen drei Gleichungen lassen sich die Gesamtgewichte der beiden Troge durch Wasser-zufuhr so steuern, daß sich diese in die gewunschten Hohen bewegen.

Seite 42 1.10. Zusammenfassung

po

h1

h2A

M1

M2

Abbildung 1.24: Prinzip des Druckwasserhebe-werks.

Druckwasserhebewerke kann man in Großbritannien, Frankreich, Belgien und Kanada be-staunen. Bei uns werden in den letzten Jahrzehnten lediglich Schiffshebewerke nach demSchwimmer- oder Gegengewichtsprinzip gebaut. Letzteres ist in Niederfinow realisiert, hierwird das Troggewicht durch Gegengewichte ausgeglichen.

1.10 Zusammenfassung

Druck als physikalisches Phanomen ist die innere Reaktion eines Fluides auf außere Krafte.Bedrangen diese das Fluid, so werden die Fluidmolekule naher aneinander gedruckt, ihr Be-streben, sich wieder in den Gleichgewichtsabstand zu begeben, wird mit dem Druck gemessen.Auf ruhende Fluide im Schwerefeld der Erde wirkt nur deren Gravitationswirkung, es gilt dann

0 = �f − 1

�grad p

Diese Gleichung wird in den folgenden Kapiteln auf den Fall sich bewegender Fluide ausge-dehnt.

Die Berechnungen der hydrostatischen Krafte auf eine Flache sind immer dreiteilig: Zunachstmuß die hydrostatische Druckverteilung auf der Flache bestimmt werden, dann die Druckkraftund schließlich ihr Angriffspunkt.

1.11. Ubungen Seite 43

h

�

��

��h

Abbildung 1.25: zu Aufgabe 3: Δ h = 1cm, h =5cm.

1.11 Ubungen

1. Das Gesamtgewicht aller bewegten Teile am Schiffshebewerk Rothensee betragt 5000 t,der Durchmesser der zwei zylindrischen Schwimmer betragt 10 m. Wie hoch mussendie Schwimmerkorper sein ?

2. Die beweglichen Troge (nebst Kolben) eines Druckwasserhebewerks haben je 125 t Ge-wicht. Die beiden Druckzylinder haben eine Tiefe von 15 m und werden von den Kol-ben mit 1 m Durchmesser uber die volle Hohe durchfahren. Auf welchen Maximaldruckmuss die Kolbenbewandung bemessen werden ?

3. Mit Hilfe eines U-Rohres (Abbildung 1.25) und einer Vergleichsflussigkeit der Dichte�v = 1000 kg/m3 soll die Dichte � einer Messflussigkeit bestimmt werden.

4. In den beiden Schenkeln eines U-Rohres (Abbildung 1.26) ist uber einer Flussigkeit derDichte �b eine Flussigkeit der Dichte �a (< �b) geschichtet. Die Schichthohen sind h1

und h2. Man berechne die Differenzen Δha und Δhb in den Hohen der Flussigkeitsme-nisken.

5. Zwei mit Flussigkeit der Dichten �a bzw. �b gefullte Behalter sind in der in Abbildung1.27 skizzierten Weise uber ein U-Rohr-Manometer verbunden. Die Dichte der Mano-meterflussigkeit ist �c. Wie groß ist die Druckdifferenz Δ p = p1 - p2 ?

6. a) Welche Druckkraft F wird von dem im Behalter (Abbildung 1.28) befindlichen Wasserauf den Behalterboden ausgeubt?

b) Wie groß ist die Lagerreaktion FL?

Seite 44 1.11. Ubungen

�a

�ha

�hb

h2h1

�a

�b

Abbildung 1.26: zu Aufgabe 4: h1 = 3 cm, h2

= 5 cm, �a = 1 g/cm3 (Wasser) �b = 1,26 g/cm3

(Glyzerin).

�a

�c

p1

h1

h2

p2

�b

�h

1/2

�h

1/2

Abbildung 1.27: zu Aufgabe 5: h1 = 5 m, h2 =15 m, Δ h = 0,72 m, �a = 1 Mg/m3, �b = 1,26Mg/m3, �c = 13,55 Mg/m3, g = 9,81 m/s2.

8 m

FL FL

F

1 m

2 m

2 m4 m2 m

Abbildung 1.28: zu Aufgabe 6: Behalterbreite1 m.


p0

p1

h1

h2

Hg

p

h

Abbildung 1.29: zu Aufgabe 7: h = 5,0 m, h1 = 1,3 m, h2 = 1,1 m.

7. Ein geschlossenes Gefaß (Abbildung1.29) ist mit Wasser gefullt, dessen Spiegel in derHohe h unter einem Uberdruck p steht. An das Gefaß ist ein Quecksilbermanometer an-geschlossen, an dem man die Hohen h1 und h2 ablesen kann. Gesucht ist der Uberdruckp an der Wasseroberflache sowie der Druck p1 am Boden des Gefaßes.

8. Bei der dargestellten (Abbildung 1.30) hydraulischen Presse wirkt auf den Kolben K1

die Druckkraft F1.

a) Man berechne die auf den Kolben K2 wirkende Kraft F2.

b) Man berechne den Hubweg ΔL2 des Kolbens K2 unter der Voraussetzung, dass ΔL1,der Hubweg des Kolbens K1, bekannt ist.

9. Die kreisformige Klappe der in Abbildung 1.31 dargestellten Behalterwand soll sichoffnen, wenn das Wasser die Hohe a erreicht.

a) Wie groß muss das verschiebbare Gewicht G sein, wenn es vom Drehpunkt den Ab-stand c hat?

b) Wie weit muss das Gewicht G verschoben werden, wenn sich der Ausfluss erst beimWasserstand b offnen soll?

10. a) Man bestimme den Betrag der resultierenden Druckkraft auf die in Abbildung 1.32dargestellte Klappe.

b) Man bestimme die Koordinaten xD und yD des Druckmittelpunktes von dem Wasser-druck auf die Klappe.

11. Bestimmen Sie die Große und die Wirkungslinie des resultierenden Wasserdrucks aufdie Wand A-B des in Abbildung 1.33 dargestellten Behalters!


F1

h�

�

F2

A , K2 2

A , K1 1

Abbildung 1.30: zu Aufgabe 8: Quer-schnittsflachen der Kolben A1 = 3,2cm2, A2 = 326 cm2, F1 = 3,9 kN, �w

= 1000 kg/m3, h = 1 m g = 9,81 m/s2.

b

a

e

c

d G

Abbildung 1.31: zu Aufgabe 9: a =0,80 m, b = 1,00 m, c = 0,55 m, d =0,30 m, e = 0,19 m.

hs

b

a

h

y

x

x

2a

Abbildung 1.32: zu Aufgabe 10: a =1,00 m, b = 2,00 m, h = 1,00 m, α =30o.


A

B

6,0

6,0

2,0

4,0

Abbildung 1.33: zu Aufgabe 11:Wandbreite b = 1,0 m.

12. Gegeben ist ein kreisbogenformiges Wehr (Abbildung 1.34) mit der Breite b. BerechnenSie die Auflagerkrafte FA, FB und Fv.

ZUSATZAUFGABE: Wie andern sich die Auflagerkrafte, wenn das Wehr von der Ruck-seite durch Wasserdruck belastet wird?

13. Bestimmen Sie die resultierende Kraft des Wassers auf die Staumauer (Abbildung 1.35)und das Moment bezogen auf den Punkt A.

14. Eine Passagierfahre hat eine Lange von 120 m, eine Breite von 11 m und ein Leerge-wicht von 2500 t. Der Schwerpunkt des leeren Schiffes befindet sich 5,5 m uber demSchiffsboden. Passagiere und Besatzung werden fur die Bemessung zusammen mit 200t angesetzt. Im Normalbetrieb kann von einer gleichmaßigen Verteilung der Personenuber die Decks 1 bis 5 ausgegangen werden. Der Schwerpunkt eines Menschen kann da-bei zu 1 m uber Decksboden angesetzt werden. Im Falle eines Rettungsmanovers musshingegen davon ausgegangen werden, dass sich alle Personen auf dem obersten Deck 5einfinden.

(a) Bestimmen Sie Tiefgang und Schwimmlage des leeren Schiffs.

(b) Beurteilen Sie die Schwimmstabilitat im Normalbetrieb sowie im Rettungsfall.


R

FA

FB

FV

R

FA

FB

FVAbbildung 1.34: zu Aufgabe 12: b =1,0 m, R = 3,0 m.

h

x

L1

�z

z

L

A

H

Parabel

Scheitel

Abbildung 1.35: zu Aufgabe 13:�Beton = 2.500 kg/m3, L = 17,55 m,L1 = 10 m, Δz = 3 m, h = 12 m, H =18 m.


Abbildung 1.36: zu Aufgabe 14.

15. Berechnen Sie die Grundbreite, das Gewicht und das erforderliche Betonvolumen einerGewichtsstaumauer aus Normalbeton (�B = 2400 kg/m3) von 65 m Hohe und einemReibungsbeiwert von μ = 0.65 fur die Reibung zwischen Beton und anstehendem Fels.Der Abminderungsbeiwert fur den Sohlenwasserdruck sein m = 0.6.


Kapitel 2

Grundlagen der Hydraulik

Nachdem wir im vorangegangenen Kapitel mit den wichtigsten Eigenschaften eines Fluidsin Ruhe beschaftigt haben, kommen wir nun zur eigentlichen Hydrodynamik und betrachtensich bewegende Fluide. Die dabei auftretenden Phanomene sind allerdings sehr vielfaltig, sodaß wir den Weg von der Hydrostatik zur vollstandigen Hydrodynamik in mehreren Schrittenmachen sollten.

Im ersten Schritt beschranken wir uns auf stationare Stromungen. Dies sind solche, bei de-nen wohl etwas fließt, sich das Geschwindigkeitsfeld aber nicht andert. Der Begriff wurdevon Daniel Bernoulli (1700 – 1782) in seinem 1738 erschienenen Buch ’Hydrodynamics si-ve de viribus et motibus fluidorum commentarii’ eingefuhrt. Dort leitet er auch die nach ihmbenannte Bernoulligleichung in integraler und differentieller Form her, die ein Hauptergebnisdieses Kapitels sein wird. Sie stellt den fundamentalen Zusammenhang zwischen Druck undGeschwindigkeit in einem Stromungsfeld her.

Doch bevor Daniel Bernoulli sich der Hydromechanik widmete, machte er eine Kaufmannsleh-re, um dann Medizin zu studieren, widmete sich schließlich aber doch der Mathematik. DiesenIrrweg hat er dem Drangen seines Vaters Johann (1667 – 1748) zu verdanken, der wundersa-merweise selbst ein bekannter Naturwissenschaftler war. Er schloss sich den Bemuhungen derPariser Akademie an, die geometrischen Deduktionen in Newtons Principia durch moderneanalytische Formulierungen zu ersetzen [8]. Anwendungen fanden diese Bemuhungen in derBallistik und der Stromungslehre, die er in seinem Buch ’Hydraulica’ umfassend beschreibt.

Heute versteht man unter Hydraulik eher das, was dann der Sohn gemacht hat, die auf einzelnePunkte bezogene Betrachtungen stationarer Stromungen. Solche Punktbetrachtungen bezeich-net man in der Mathematik als nulldimensional, da hier die Stromungseigenschaften nichtentlang einer Achse beschrieben wird, wie es in eindimensionalen Modellen der Fall ist.

51

Seite 52 2.1. Der Massenfluss

A1

u2

A2u1

Kontrollvolumen

Abbildung 2.1: Die Massenerhaltung eines inkompressiblen Fluids in einer zulaufendenStromrohre fuhrt zu einer Erhohung der mittleren Durchflussgeschwindigkeit.

2.1 Der Massenfluss

Um die Erhaltung der Masse in der Stromungsmechanik zu formulieren, wollen wir zunachstden Massenfluss m in kg/s durch eine Flache A bestimmen. Er ist naturlich umso großer,desto großer die Dichte des Fluides ist, desto großer die Flache A ist und desto großer dieDurchflussgeschwindigkeit u ist. Es sollte also

m = �uA

gelten. Daß dies auch bezuglich der Einheiten korrekt ist, bestatige der Leser selbst.In einem Kontrollvolumen mit N offenen Grenzen gilt somit fur die Massenanderung:

mKV =N∑

i=1

mi

Als Anwendung dieses Satzes betrachten wir die in Abbildung 2.1 dargestellte, in Stromungs-richtung zulaufende Stromrohre als Kontrollvolumen. Ist sie vollkommen mit Fluid ausgefullt,dann kann sich in ihr die Masse nicht mehr andern, mKV = 0. Somit ist der einlaufende Mas-senfluss gleich dem auslaufenden, m1 = m2. Ist die Dichte des Fluides zudem noch konstant,dann gilt:

u1A1 = u2A2

Oder in Worten: Die Durchflussgeschwindigkeit erhoht sich in dem Maße, wie der Querschnittabnimmt. Dieser recht einfache Zusammenhang ist praktischen Stromungsberechnungen vonunschatzbarer Bedeutung.Nun liegt aber die Flache A nicht notwendig senkrecht zur Stromungsgeschwindigkeit, dieselbst ein Vektor �u im dreidimensionalen Raum ist. Um diesen allgemeineren Fall ebenfalls zuberucksichtigen, bestucken wir die Flache A wieder mit ihrem Normaleneinheitsvektor �n undbekommen fur den Massenfluss

2.2. Der Durchfluss Seite 53

m = ��u�nA

Das Skalarprodukt aus Geschwindigkeits- und Normaleneinheitsvektor berucksichtigt sogarden Spezialfall, bei dem die Flache parallel zur Stromung ausgerichtet ist, und somit sie keinMassenfluss durchdringt.Will man die Uberlegung auch auf beliebig geformte, nicht notwendig ebene Flachen erwei-tern, dann muß die Bilanzierung fur unendlich viele infinitesimal kleine Teilflachen durch-gefuhrt werden, was der Flachenintegration gleichkommt:

m =∫A

��u�ndA

Die unter dem Integral stehende Große ��u bezeichnet man auch als Massenfluss(vektor):

�Φ� = ��u (2.1)

Sie hat die Einheit[

kgm2s

], gibt also an wieviel Masse pro Zeiteinheit durch eine Einheitsflache

fließt. Sie ware uns schon in Gleichung (??) begegnet, wenn wir fur f die Dichte � eingesetzthatten.

2.2 Der Durchfluss

Wir wollen nun eine wichtige Große der Hydromechanik kennenlernen, der Volumenfluss odereinfach Durchfluss Q. Er gibt an, wieviel Fluidvolumen ΔV einen gegebenen Querschnitt Apro Zeit Δt durchfließt:

Q =ΔV

Δt

Der Durchfluss Q hat somit die Einheit m3/s.Ist die Stromungsgeschwindigkeit u senkrecht zum Bezugsquerschnitt A orientiert, dann kannman den Durchfluss aus der einfachen Beziehung

Q = uA

berechnen. Diese ist sofort einsichtig, da die Geschwindigkeit der Quotient aus zuruckgelegterWegstrecke Δx pro Zeit Δt und V = ΔxΔyΔz ist.In einem inhomogenen Stromungsfeld berechnet man den Durchfluss durch die Integration derStromungsgeschwindigkeit �u uber den Querschnitt A:

Q =∫A

�ud �A

Seite 54 2.3. Die Impulsbilanz bei stationaren Stromungen

A1

A2

Abbildung 2.2: Zum Konzept der Stromrohre.

In Natur und Technik ist auch der Durchfluss eine Große, die einen enormen Wertebereichaufweist. So entmunden jede Sekunde 190.000 m3 dem Amazonas, von den 5 l Blut, die dasmenschliche Herz pro Minute verlassen, werden die Niere jede Minute von 1.5 l, die Lebervon 1.6 l durchstromt.

2.3 Die Impulsbilanz bei stationaren Stromungen

Nachdem wir das Gesetz der Massenerhaltung sowohl fur kompressible als auch fur inkom-pressible Stromungen formuliert haben, wollen wir schrittweise uns an die Impulsbilanz her-anwagen.

2.3.1 Das Stromrohrenkonzept

Wir fuhren den Begriff der Stromrohre (Abbildung 2.2) in einer stationaren Stromung ein.In ihr sind eine Menge von nebeneinanderliegenden Stromlinien gebundelt. Durch die Stirn-oder Eintrittsflache tritt also pro Zeiteinheit genauso viel Fluid ein, wie an der Austrittsflacheentweicht. Damit findet kein Volumenfluss durch die Mantelflache der Stromrohre statt.Mit dem Stromrohrenkonzept lassen sich sowohl die Stromungen in Rohren als auch Gerinnenbeschreiben, solange keine Abzweigungen oder Verluste (etwa durch Verdunstung in einemGerinne) von Fluid auf dem Weg zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt stattfinden.Wir beginnen mit einer stationaren Stromung durch die Stromrohre, in der keine außerenKrafte wirken, etwa deshalb, weil die Rohre horizontal im Gravitationsfeld ausgerichtet ist.Das zweite Newtonsche Axiom gilt auch fur die Ein- und Austrittsflache der Stromrohre. Nachdiesem ist die zeitliche anderung des Impulses gleich der Summe der außeren Krafte:

∑�F =

∑ d

dt(m�u) =

∑(dm

dt�u+m

d�u

dt

)

In der stationaren Stromung gibt es keine zeitliche Anderung der Geschwindigkeit. Es bleibt:

∑�F =

∑(dm

dt�u

)

Die durch die Eintrittsflache stromende Wassermasse ist dm/dt = �Q, somit folgt:

2.3. Die Impulsbilanz bei stationaren Stromungen Seite 55

∑�F =

∑(�Q�u)

Als weitere angreifende Kraft ist der Druck zu berucksichtigen.

∑�F = �Q�u + pA�n

Damit die Stromrohre sich nicht von ihrem Platz wegbewegt, muß die Summe der angreifen-den Krafte Null sein, d.h. auf der Ein- und der Austrittsflache sollen die betragsmaßig gleichenKrafte wirken. Es gilt somit die folgende Kraftebilanz fur die Stromrohre:

�Q�u1 + p1A1�n1 = �Q�u2 + p2A2�n2

2.3.2 Die Impulsbilanz bei Querschnittsanderungen

Der Impuls I ist das Produkt aus Masse �V und Geschwindigkeit u. Eine senkrecht ange-stromte Flache A durchfließt in einer stationaren Stromung pro Zeit die Masse m = �Au. DerImpulsfluss I durch diese Flache A ist also:

I = mu = (�uA)u = �Qu

Die Terme in der Klammer stellen den Massenfluss durch die Flache dar, der mit der Ge-schwindigkeit multipliziert wird.Wir wollen diese Formel auf die Verengung in Abbildung 2.1 anwenden. Da der Durchflussam Ein- und Ausstromrand gleich ist, folgt fur die Bilanz von ein- und ausstromenden Impuls:

Iein − Iaus = �Q2(

1

Aein

− 1

Aaus

)=∑

F

Da die Eintrittsflache großer als die Austrittsflache ist, verliert die Stromung im Kontroll-volumen Impuls, deren Bilanz ist negativ. Diese kontinuierliche Impulsanderung ist nach demzweiten Newtonschen Axiom mit einer dauernden Kraft auf das Fluid entgegen der Stromungs-richtung verbunden (Vorzeichen negativ). Diese Kraft muss von der Berandung aufgefangenwerden, sie reagiert nach dem Actio-gleich-Reaction-Prinzip eine Kraft in Stromungsrichtung,die in die konstruktive Bemessung einfließen muss.

2.3.3 Die Impulsbilanz bei Richtungsanderungen

Andern sich bewegende Korper ihre Richtung, dann wirkt ebenfalls (mindestens) eine Kraft,da der Impuls ein Vektor in Bewegungsrichtung ist, �I = m�u. In der Hydromechanik ist derImpulsflussvektor durch eine senkrecht durchflossene Flache dann:

Seite 56 2.3. Die Impulsbilanz bei stationaren Stromungen

�I = �Q�u

Die auf das Fluid in einem Kontrollvolumen wirkenden Krafte sind somit:

∑�F = Iein − Iaus = �Q

(�uein

Aein− �uein

Aaus

)

Im allgemeinsten Fall muß die Flache A aber nicht senkrecht zur Stromung orientiert sein,ferner ist der Impuls selbst ein Vektor parallel zur Geschwindigkeit. Die Verallgemeinerungist:

�I = ��u(�n�u)A

Will man wieder die Impulsanderung in einem Kontrollvolumen Ω bestimmen, welches durchdie Flache ∂Ω berandet ist, dann geht die Multiplikation mit dem Flacheninhalt A in eineFlachenintegration uber:

�I =∫

∂Ω

��u(�n�u)dA

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist eine Anderung des Impulses immer mit einerKraftwirkung verbunden, im Fall des Kontrollvolumens Ω bewirkt die Summe aller angrei-fenden Krafte die Impulsanderung:

∫∂Ω

��u(�n�u)dA =∑

�F

In der Stromungsmechanik ist es zweckmaßig, die Druckkrafte getrennt von den sonstigen, aneinem Kontrollvolumen angreifenden Kraften zu betrachten. Fur sie hatten wir in Kapitel 1 dieBeziehung

�FD = −∫

∂Ω

p�ndA

hergeleitet. Extrahieren wir sie aus dem Konzert der sonstigen Krafte und schlagen sie derlinken Seite zu, so bekommt man die Impulsbilanz fur ein mit einer stationaren Stromung �ubeaufschlagtes Kontrollvolumen:

∫∂Ω

(��u(�n�u) + p�n) dA =∑

�F

Die Summe der Krafte auf der rechten Seite besteht dabei im wesentlichen aus der Gewichts-kraft des Kontrollvolumens sowie die es haltenden Stutzkrafte.

2.4. Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz Seite 57

2.4 Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz

Die soeben abgeleitete Gleichung gilt fur ein Kontrollvolumen. Dieser Begriff ist nicht soabstrakt, wie er zunachst erscheinen mag; hinter ihm kann sich ein Rohrstuck, ein Teil einesFlusses, ein Tragflugel oder eine angestromte Turbine verbergen.Bei der differentiellen Betrachtungsweise will man die Impulsbilanz fur einen einzelnen Punktin der Stromung, also ein infinitesimal kleines Kontrollvolumen formulieren. Um dies zu be-werkstelligen, bedarf es eines weiteren Werkszeugs aus der Tensoralgebra, dem Tensorpro-dukt. Es wird durch das Zeichen ⊗ dargestellt und ordnet zwei Vektoren �u und �v einen Tensor(bzw. eine Matrix) durch die Rechenvorschrift

⎛⎜⎜⎝u1

u2

u3

⎞⎟⎟⎠⊗

⎛⎜⎜⎝v1

v2

v3

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝u1v1 u1v2 u1v3

u2v1 u2v2 u2v3

u3v1 u3v2 u3v3

⎞⎟⎟⎠ (2.2)

zu. Man rekapituliere an dieser Stelle, daß es also mindestens drei Moglichkeiten gibt, Pro-dukte von Vektoren zu bilden, das Ergebnis kann dabei ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensorsein.Fur das Tensorprodukt kann man die Rechenregel

(�u⊗ �u)�n = (�u�n) �u

durch stumpfes Einsetzen herleiten. Mit ihr wird die Impulsbilanz optisch zu der Form

∫∂Ω

(��u⊗ �u+ p)�ndA =∑

�F

aufgefrischt.Fur die Kraftsumme auf der rechten Seite verwenden wir dazu die auf die Masse bezogeneKraftdichte, die sich fur eine uber das Volumen V homogen verteilte Masse als �F = �fm =�f�V darstellt. Im Fall einer uber das Kontrollvolumen Ω beliebig verteilten Masse bekommtman:

∫∂Ω

(��u⊗ �u+ p)�ndA =∫Ω

��fdΩ

Um zu einer differentielle Formulierung zu gelangen, wird das Randintegral zu einem Integraluber das Kontrollvolumen Ω umgeformt und dann weggelassen. Fur den Druckterm hilft hierder Gaußsche Integralsatz (1.1) weiter. Aber auch fur die aus dem Tensorprodukt entstehen-de Matrix existiert eine Erweiterung des Gaußschen Integralsatzes, die unter Ausnutzung derfolgenden Definition fur die Divergenz einer matrixwertigen Funktion P (x, y, z)

Seite 58 2.4. Die differentielle Formulierung der Impulsbilanz

div P := �∇P =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

p11 p12 p13

p21 p22 p23

p31 p32 p33

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂p11

∂x+∂p21

∂y+∂p31

∂z

∂p12

∂x+∂p22

∂y+∂p32

∂z

∂p31

∂x+∂p23

∂y+∂p33

∂z

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

auch das Randintegral des Tensorproduktes in ein Oberflachenintegral verwandelt:∫Ω

(div (��u⊗ �u) + grad p) dΩ =∫Ω

��fdΩ

Damit konnen wir die Integration fortlassen, da sie in allen Termen auftaucht. Der Mathemati-ker wurde hier folgendermaßen argumentieren: Da die Gleichung fur jedes beliebige VolumenΩ gilt, mussen die Integranden gleich sein.

div (��u⊗ �u) + grad p = ��f

Als weitere Einschrankung wollen wir annehmen, daß die Fluiddichte uberall gleich ist undteilen durch dieselbe:

div (�u⊗ �u) +1

�grad p = �f

Gehen wir davon aus, daß das außere Kraftfeld konservativ ist, d.h. ebenfalls ein Potentialbesitzt, welches die Form

�f = −grad φf

haben soll. Ein solches Potential existiert fur die Gravitationskraft, es ist bis auf eine additiveKonstante z0 eindeutig bestimmt und lautet:

φf = g(z − z0) mit g = 9.81 m/s2

Damit bekommt die Impulsbilanz im Schwerefeld der Erde das Aussehen:

div (�u⊗ �u) +1

�grad p+ grad (gz) = 0

Mit Hilfe der Produktregel fur die Divergenz eines Tensorproduktes

div (�u⊗ �v) = �∇(�u⊗ �v) = �u�∇�v +(�v�∇

)�u (2.3)

2.5. Die Bernoulligleichung Seite 59

und der sogenannten Webertransformation

�u grad �u =1

2grad �u2 − �u× rot �u (2.4)

bekommt die Impulsbilanz nun die aquivalente Form:

�u�∇�u+1

2grad �u2 − �u× rot �u+

1

�grad p+ grad (gz) = 0

Wir werden spater noch beweisen, daß die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes immer Nullist, damit fallt der erste Term weg. Um den komplizierten dritten Term wegzubekommen,schranken wir den Gultigkeitsbereich der folgenden Berechnungsverfahren auf solche Ge-schwindigkeitsfelder ein, deren Rotation Null sind:

rot �u := 0

Nun enthalt die Impulsbilanz

grad�u2

2+ grad

p

�+ grad (gz) = 0

in jedem Term ein Gradienten.

2.5 Die Bernoulligleichung

Fur die stationare Potentialstromung gilt somit:

�u2

2+ gz +

p

�= const

Fur zwei beliebige Orte 1 und 2 gilt somit die beruhmte reibungsfreie Bernoulligleichung:

�u12

2+ gz1 +

p1

�=

�u22

2+ gz2 +

p2

�

Zusammen mit der Kontinuitatsgleichung

A1u1 = A2u2

bildet sie die Grundlage der Hydraulik reibungsfreier Stromungen. Deren Kochrezept zurLosung hydromechanischer Probleme geht davon aus, daß an einem Ort 1 Druck, Geschwin-digkeit und geodatische Hohe bekannt sind. Aus der Kontinuitatsgleichung kann man dannan einem zweiten Ort die Geschwindigkeit und mit der Bernoulligleichung auch den Druckbestimmen.

Seite 60 2.5. Die Bernoulligleichung

A1

A2

u1

u2

h(t)

Abbildung 2.3: Ausfluss aus einem Gefaß: Be-zeichnungen zur Ausflussformel von Toricelli.

2.5.1 Freispiegel und Freistrahlen

Hat ein Fluid Kontakt mit der Umgebungsluft, so herrscht an der Kontaktflache Luftdruck.Diese Kontaktflache bezeichnet man bei Oberflachengewassern auch als Freispiegel, da ihreLage sich frei ausrichten kann.Unterhalb des Freispiegels bestimmt man den Druck in der Hydraulik mit den Gesetzen derHydrostatik.Tritt ein Wasserstrahl wie bei einem Gartenschlauch in die Umgebungsluft, so nimmt manan, daß auch im Inneren des freien Wasserstrahls uberall Luftdruck herrscht. Man bezeichnetdiesen Strahl dann als Freistrahl.

2.5.2 Die Toricellische Ausflussformel

Ein alltagliches hydromechanisches Problem besteht in der Bestimmung des Ausflusses QA

aus einem Gefaß. Wir betrachten ein wassergefulltes Gefaß mit einer freien Oberflache A1. Inder Wassertiefe h unterhalb der freien Oberflache befindet sich eine Offnung der Flache A2.Da sowohl an der freien Oberflache als auch am Ausfluss und somit auch im AusflussstrahlLuftdruck herrschen, wird die Bernoullgleichung zwischen Wasseroberflache und Ausflus-squerschnitt in diesem Fall zu:

u21

2g+ z1 =

u22

2g+ z2 ⇒ u2

1

2g+ h =

u22

2g

Mittels der Kontinuitatsgleichung

u1A1 = u2A2

bekommt man fur die Ausflussgeschwindigkeit

u2 =

√√√√ 2gh

1 − (A2/A1)2

2.5. Die Bernoulligleichung Seite 61

u , A , p1 1 1 u , A , p2 2 2

T�

�

Abbildung 2.4: Venturirohr.

bzw. fur den Ausfluss:

QA = A2u2 = A2

√√√√ 2gh

1 − (A2/A1)2 := μA2

√2gh mit μ =

√√√√ 1

1 − (A2/A1)2

Dies ist die Toricellische Abflussformel mit dem Abflussbeiwert μ. Er ist fur große Behalter-oberflachen (A1 → ∞, Reservoire) oder kleine Aussflussoffnungen (A2/A1 → 0) eins. Dannwird die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Fallgeschwindigkeit eines aus der Hohe h fallen-den Korpers.Wird also ein Behalter durch einen Ausfluss entleert, so sinkt mit sinkender Restfullhohe auchdie Ausflussgeschwindigkeit. Wahrend also der Entleerungsvorgang am Anfang sehr schnellablauft, wird er zum Ende hin immer langsamer.

2.5.3 Das Venturirohr

Um den Durchfluss Q in einer Rohrleitung zu bestimmen, kann man dieses stellenweise ver-engen, so eine Druckdifferenz zwischen verengten und unverengtem Bereich erzeugen. DieseDruckdifferenz wird durch die sich in einem mit einer Testflussigkeit der Dichte �T gefulltenRohrchen einstellende Flussigkeitsspiegeldifferenz hydrostatisch gemessen. Dieses Messprin-zip ist im Venturirohr verwirklicht.Die einfach zu verwirklichende Messvorrichtung des Venturirohr hat zwei Nachteile. Zumeinen muss gewahrleistet sein, daß der Durchfluss nicht so groß wird, daß Testflussigkeit indas Forderrohr eintritt. Zum anderen stellt die Drossel einen Energieverlust dar.

2.5.4 Das Pitotrohr

Wahrend das Venturirohr den Gesamtdurchfluss in einer Leitung mißt, kann man mit dem Pito-trohr (eng. Pitot tube) die Stromungsgeschwindigkeit an einem bestimmten Ort in einer Rohr-

Seite 62 2.5. Die Bernoulligleichung

u�

�h

Abbildung 2.5: Pitotrohr.

oder Gerinnestromung bestimmen und damit auch Aussagen uber die Geschwindigkeitsvertei-lung uber den durchflossenen Querschnitt bekommen.Das Pitotrohr ist ein L-formig Steigrohr, welches mit dem kurzen Ende in die Stromung ge-taucht wird und mit dem langen Ende aus der Stromung herausgefuhrt wird (Abbildung 2.5).Aus der Steighohe der Flussigkeitssaule laßt sich der Staudruck und damit die Anstromge-schwindigkeit u∞ bestimmen:

u∞ = K√gΔh

Der Korrekturfaktor K liegt etwa zwischen 0.95 und 1, je nach Ausfuhrung des Anstrombe-reiches des Meßrohrs.

2.5.5 Die Grenzen der reibungsfreien Hydraulik

Wir wollen die Bernoulligleichung schließlich auf ein Fließgewasser an zwei Orten an derWasseroberflache anwenden. Nehmen wir an, daß der Luftdruck uber den von uns betrachtetenGewasserabschnitt konstant ist, konnen wir ihn aus der Gleichung herausnehmen.Nehmen wir als ersten Ort unserer Betrachtung die Gewasserquelle, an der wir ferner anneh-men, daß das Quellwasser nahezu impulsfrei entfleucht, so hat das oberflachennahe Wasser aneinem Ort 2 die Geschwindigkeit

‖ �u2‖ =√

2g(z2 − z1)

was der Fallgeschwindigkeit im Gravitationsfeld entspricht. Ein Fluß, der in 100 m geodati-scher Hohe einer Quelle entspringt, erreicht auf Meeresniveau die sagenhafte Fließgeschwin-digkeit von 44 m/s bzw. 160 km/h. Daß dieses erste Ergebnis fur die Stromungsgeschwindig-keit in Fließgewassern nicht den empirischen Tatsachen entspricht, kann nur daran liegen, daß

2.6. Reibungsverluste Seite 63

die Idealisierungen (Reibungsfreiheit, Rotationsfreiheit und Stationaritat der Stromung) unszu weit von der Realitat weggefuhrt haben.

2.6 Reibungsverluste

Bei der experimentellen Uberprufung der Bernoulligleichung stellt man immer wieder zu hoheWerte fur die rechte Seite der Gleichung, d.h. die stromab liegende Energie fest. Dieser syste-matische Fehler entsteht durch die Nichtberucksichtigung der Umsetzung von Stromungs- inWarmeenergie durch die Reibung an der Fluidbewandung und der inneren Reibung im Fluid.Diesen Energieverlust kann man durch die Einfuhrung einer Verlusthohe hV berucksichtigen:

u12

2g+p1

�g+ z1 =

u22

2g+p2

�g+ z2 + hV

Diese Verlusthohe ist nicht leicht zu quantifizieren, da sie von verschiedensten Faktorenabhangig ist. Wie jeder Reibungsverlust steigt die dissipierte Energie mit dem Quadrat derGeschwindigkeit u2 und naturlich mit der von der Stromung zuruckgelegten Weglange l. Fer-ner ist die Reibung umso geringer, desto weniger Einfluss die Bewandung der Stromung hat,umso großer also der durchflossene Querschnitt ist. Tatsachlich zeigt eine Dimensionsanalyse,dass hier nicht der durchflossene Querschnitt, sondern der sogenannte hydraulische Durch-messer dHyd des durchflossenen Querschnitts maßgebend ist. All dies wird in dem Gesetz vonDarcy-Weisbach zusammengefaßt:

hV = λl

dHyd

u2

2g= λ

l

dHyd

Q2

2gA2

Die darin enthaltene Proportionalitatskonstante λ heißt Reibungsbeiwert. Sie wird nach demGesetz von Colebrook-White

1√λ

= −2 log

(2.51

Re√λ

+ks

3.71dHyd

)

iterativ berechnet. Darin beschreibt die aquivalente Wandrauheit ks die Rauheit der Bewan-dung. Sie ist fur verschiedene Anwendungen tabelliert.Die Reynoldszahl Re berucksichtigt die Fließfahigkeit d.h. Viskositat des Fluids, sie ist als

Re =udHyd

ν

definiert. Dabei ist die dynamische Viskositat von Wasser ν = 1 · 10−6m2/s.Die graphische Darstellung des Gesetzes von Colebrook-White bezeichnet man als Moodydia-gramm, es ist in Abbildung 2.6 zu sehen. Die Formel von Colebrook-White und das Moody-diagramm sind die Synthese der Forschungsarbeiten vieler Wissenschaftler zur Grenzschicht

Seite 64 2.6. Reibungsverluste

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

1,00E+03 1,00E+04 1,00E+05 1,00E+06 1,00E+07

Reynoldszahl

�

ks/dhyd

0.0

0.0001

0.00020.0004

0.001

0.002

0.004

0.0083

0.016

0.032

Abbildung 2.6: Die Darstellung des Reibungsbeiwertes von Colebrook-White nach Moody[10].

an rauhen Wanden. Die Kurve fur hydraulisch glatte Bewandungen (ks = 0) entspricht einer1913 von Blasius veroffentlichten Funktion, die 1933 von Prandtl zum universellen Geschwin-digkeitsprofil in Grenzschichten erweitert wurde. Der vollkommen rauhe Bereich wurde vonPrandtl (1931) und von Karman (1930) mit experimenteller Unterstutzung von Nikuradse be-schrieben. Colebrook und White fullten mit ihrem Gesetz den Ubergangsbereich ab und uber-decken mit ihrer Formel auch die Bereiche fruherer Formeln (aus [?]).Wegen der enormen Wichtigkeit dieses Beiwertes wurden in der Literatur zahlreiche expli-zite Formen zur Approximation des Gesetzes von Colebrook-White vorgeschlagen. Ein sehreinfaches geht dabei auf Moody [10] zuruck, es lautet:

λ = 0.0055

⎡⎣1 +

(20 000

ks

dHy+

106

Re

)1/3⎤⎦

Diese Gleichung liefert mit dem Taschenrechner recht einfach Startwerte fur die weiteren Ite-rationen der Colebrook-White-Funktion. Barr [2] konzentriert sich in seiner Approximationauf den Reynoldsanteil; er schlagt

1√λ

= −2 log

(5.1286

Re0.89+

ks

3.71dHy

)(2.5)

vor. In der Regel liefert dieses Verfahren bessere Schatzwerte als das von Moody.


2.7 Zusammenfassung

Mit dem aus der Kontinuitats- und der Bernoulligleichung bestehenden Gleichungssystem

u1A1 = u2A2

�u12

2+ gz1 +

p1

�=

�u22

2+ gz2 +

p2

�

lassen sich viele Stromungen berechnen.Diese Grundgleichungen der Hydraulik reibungsfreier Stromungen als auch die hydrostatischeGrundgleichung lassen sich aus

div (�u⊗ �u) +1

�grad p = �f mit �f = −�g

herleiten. Man kann diese Differentialgleichungen somit als Grundgesetze der stationaren Hy-dromechanik von Fluiden ohne innerer Reibung betrachten.

2.8 Ubungen

1. An einem Wasserreservoir sind drei Kreisrohre angeschlossen. Der Zufluss im Rohr (1)erfolgt mit der Geschwindigkeit v1. Der Abfluss in Rohr (2) ist mit dem Massenstromm2 ebenfalls vorgegeben.

(a) Wie groß ist der zeitliche Massenzuwachs m0 im Reservoir? m0 ist zunachst mitdem gegebenen Kontrollraum zu ermitteln. (Zusatzfrage: Wie muss der Kontroll-raum gewahlt werden, damit die gleiche Rechnung stationar erfolgt?).

(b) In welcher Zeitspanne Δt steigt der Wasserspiegel im Reservoir Δz bis zur Hohedes Rohres (3) an?

(c) Wie hoch ist die Durchflussrate Q3, wenn im Rohr (3) das uberschussige Wasserabfließt ?

Mit welcher Geschwindigkeit v3 fließt es ab?

2. Aus einer Duse tritt ein Wasserstrahl mit der Geschwindigkeit v aus und trifft auf einePeltonschaufel, die sich fur den zu betrachtenden Zeitraum in Richtung des Strahls mitder konstanten Geschwindigkeit u bewegt. Berechnen Sie den Massenstrom m der ander sich bewegenden Schaufelwandung umgelenkt wird.

3. Ein horizontaler Wasserstrahl fließt gegen eine senkrechte Platte.

Wie groß ist die von der Wand aufzubringende horizontale Kraft F?


Q3

A3

A0

A1

�1 m2

.

�z

� = const.

Kontrollraum

2

3

1

Abbildung 2.7: zu Aufgabe 1: Δ z = 3 m, A0 = 10 m2, A1 = 0.5 m2, A3 = 0.1 m2, m2 = 40 kg/s,v1 = 0.1 m/s.

Q

1/2 m

A

1/2 m

uv

Abbildung 2.8: zu Aufgabe 2: A = 0.004 m2, v= 30 m/s, u = 10 m/s.

F

A = 0,0025 m2

v = 20 m/s



z

x

F

v

v

A�

Abbildung 2.10: zu Aufgabe 4: A = 0.01 m2, v= 2 m/s, p = 104 N/m2, β = 1.02.

2

1

A

B

Abbildung 2.11: zu Aufgabe 5: φ1 = 60o, φ1 =30o, A1 = A2 = 3 m2, Q = 30 m3/s, pA = pB =1900 kPa (Absolutdruck).

4. Berechnen Sie die Lagerreaktion F im Fundament, (Abbildung 2.10) die von dem mit derGeschwindigkeit v im Rohr (konstanter Querschnitt A) fließenden Wasser hervorgerufenwird. Die Flussigkeit weist den Uberdruck p auf.

5. Fur den Vertikalkrummer des Druckrohres eines Hochdruckkraftwerkes ist die resultie-rende Umlenkkraft auf den Ankerklotz zu berechnen. (Hinweis: Draufsicht: Das Eigen-gewicht kann vernachlassigt werden.)

6. Unter der Annahme, daß der Freispiegelbehalter eine sehr große Oberflache habe, be-rechne man die Hohe h1 der Flussigkeit im Steigrohr und die Geschwindigkeit v1, mitder die Flussigkeit ausstromt.

7. Ein Behalter (s. Skizze) ist bis zur Hohe h mit Wasser gefullt. Ein Ausflussrohr derLange l wird einmal horizontal, einmal vertikal an den Behalter angeschlossen.

(a) Mit welcher Geschwindigkeit v1 und v2 fließt die Flussigkeit in beiden Fallen aus?

(b) Man skizziere fur beide Falle den Druckverlauf im Behalter und im Ausflussrohr.


A1

h1

h0

A2

�

Abbildung 2.12: zu Aufgabe 6: h0 = 1 m, A1 = 10 cm2, A2 = 2 cm2.

p0

h h

L

L

p0

v2

v1



v2

h2

h1

�a

�b

Abbildung 2.14: zu Aufgabe 8: h1 = 5 m, h2 =0.6 m, �a = 1000 kg/m3, �b = 792 kg/m3.

A2

A1

aAbbildung 2.15: zu Aufgabe 9: z1 = z2 (geringepot. Energie), A1 = 10 cm2, A2 = 2.5 cm2, a =20 cm.

8. Mit einem Heber wird Flussigkeit der Dichte �a in eine andere Flussigkeit der Dichte �b

eingeleitet.

(a) Mit welcher Strahlgeschwindigkeit v2 tritt die Flussigkeit a in die ruhende Flussig-keit b ein?

(b) Wie groß muss bei gegebener Hohe h2 die Spiegelhohe h1 mindestens sein, damitder Heber auch dann funktioniert, wenn �b > �a ist?

9. Der Auslaufstutzen einer Wasserleitung ist rechtwinklig abgebogen. Sein Querschnittverjungt sich von A1 auf A2. Berechnen Sie die Schnittkrafte (Langskraft, Querkraft,Biegemoment), fur die der Flansch bemessen werden muss, wenn Q = 5 l/s durch dieLeitung fließen soll.

(ohne Reibung)


Kapitel 3

Stationare Rohrstromungen

Flussigkeiten konnen grundsatzlich in folgenden Systemen transportiert werden:

• Druckrohrleitungen (Rohrleitungen, Pipelines, Druckstollen)

• Freispiegelleitungen (Flusse, Kanale, teilgefullte Rohrleitungen)

• Behaltertransport (Tankwagen, Tankschiffe, Container, Fasser)

Wegen der normalerweise sehr großen Mengen sind praktisch nur die ersten zwei Transport-arten relevant. Dabei stromt die Flussigkeit selbst infolge eines naturlich vorhandenen oderkunstlich erzeugten Energieliniengefalles. Die wesentliche Aufgabe der Hydromechanik be-steht in der zuverlassigen Bestimmung dieses Gefalles bzw. der notwendigen Transportener-gie.Gegenuber offenen Gerinnen haben Druckrohrleitungen den Vorteil, daß sie auch in der Verti-kalen beliebig fuhrbar sind, also in der Linienfuhrung einen Freiheitsgrad mehr besitzen. Derin der Regel kreisformige Querschnitt kann leicht gefertigt werden und ist hydraulisch opti-mal. Die Betriebssicherheit ist in der Regel großer als bei offenen Gerinnen (kein Uberstromen,gasdicht), ebenso sind die hydraulischen Kenngroßen (Druck, Durchsatz, Stromungsgeschwin-digkeit) einfacher zu bestimmen, da der durchflossene Querschnitt begrenzt ist. Rohre eignensich vor allem dann, wenn der Forderstrom gesteuert oder geregelt werden soll.

3.1 Stationare Rohrhydraulik

Die Grundlage zur Berechnung stationarer Rohrstromungen bilden die Kontinuitatsgleichung,die Bernoulligleichung und die Impulserhaltungsgleichung. Erstere besagt in diesem Fall, daßder Durchfluss Q1 an einem Rohrquerschnitt 1 gleich dem Durchfluss Q2 an einem anderenQuerschnitt 2 sein muß:

71

Seite 72 3.1. Stationare Rohrhydraulik

Q1 = Q2 bzw. u1A1 = u2A2 (3.1)

Die Kontinuitatsgleichung druckt sofort einsichtiges aus: Verringert sich der Rohrquerschnitt,dann muß die Durchflussgeschwindigkeit großer werden, damit durch alle Querschnitte die-selben Wassermengen pro Zeiteinheit fließen.Dieser Gleichung folgend ware es okonomisch und okologisch sinnvoll, moglichst enge Rohrebei großerer Durchflussgeschwindigkeit zum Flussigkeitstransport zu verwenden, da so Rohr-berandungsmaterial und Raum gespart werden konnten. Dem widerspricht aber die zweiteGleichung zur Berechnung von Rohrstromungen, die Bernoulligleichung:

u12

2g+p1

�g+ z1 =

u22

2g+p2

�g+ z2 + hV (3.2)

Darin ist eine Verlusthohe hV enthalten, die kontinuierliche und lokale Verluste beinhal-tet. Kontinuierliche Verluste entstehen durch die uberall vorhandene Wandreibung. Sie sindproportional zur durchflossenen Rohrlange l und umgekehrt proportional zum hydraulischenRohrdurchmesser. Fur sie gilt das Gesetz von Darcy-Weisbach,

hV = λl

dHyd

u2

2g= λ

l

dHyd

Q2

2gA2(3.3)

wobei hier die Verwendung der uber den Rohrquerschnitt gemittelten Stromungsgeschwindig-keit u praktisch ist.Zu dem darin enthaltenen Reibungsbeiwert λ kommen wir noch.Betrachtet man die Bernoulligleichung fur ein gleichformiges Rohr auf konstanter geodati-scher Hohe, Δp = �ghV dann wird klar, warum man Rohrstromungen auch alsDruckstromungen bezeichnet: Die Druckdifferenz zwischen zwei Punkten ist es, die eineRohrstromung antreibt. Lapidar gesprochen druckt man ein Fluid durch ein Rohr. Dabei nimmtder Innendruck im Fluid im Laufe der Stromung kontinuierlich ab.Soll Fluid durch ein Rohr konstanten auf eine hohere geodatische Lage gepumpt werden, so istlaut Bernoulligleichung die Druckdifferenz Δp = �ghV +Δz erforderlich. Das lebenswichtig-ste Beispiel fur Rohrstromungen uber eine gewisse geodatsche Hohe ist der Blutkreislauf : Sobenotigt der menschliche Organismus eine Druckdifferenz von 135/80 mm Hg, um Blut ge-gen die kontinuierlichen Verluste in den Adern und gegen den Hohenunterschied zum Gehirnzu pumpen. Da zwischen Herz und Hirnbasis bei der Giraffe bei aufrechter Kopfhaltung ca.2.50 m liegen, besitzt sie vermutlich den hochsten Blutdruck aller Sauger. Damit ihr Herz ineiner Minute ca. 60 l Blut durch ihren Organismus pumpen kann, benotigt sie eine Blutdruck-differenz von 353/303 mm Hg. Deswegen sind die Blutgefaße sehr dickwandig und erreichenam Stamm der Lungenschlagader und an der linken Herzkammer eine Dicke von 7.5 cm.Problematisch wird die Sache fur die Giraffe, wenn sie zum Wassertrinken den Kopf senkt.Zunachst einmal befinden sich in den Venen besondere Ruckflussklappen, die den Ruckfluss

3.1. Stationare Rohrhydraulik Seite 73

des Blutes in das Gehirn verhindern. Dadurch sammelt sich das Blut beim Wassertrinken al-lerdings in der Vene an. Hebt die Giraffe dann wieder den Kopf, dann offnen sich die Ruck-flussklappen langsam wieder, sie stellen aber zunachst einen so großen Stromungswiderstanddar, daß das Blut nicht mit zu großer Geschwindigkeit zum Herzen zuruck fließt.Der aktuelle Blutdruck wird bei den meisten Saugern uber ein spezielles Zentrum im Gehirnsowie durch Rezeptoren uberwacht, die in Herznahe liegen. Bei der Giraffe liegen diese Re-zeptoren dagegen an der Gehirnbasis und bewirken so, daß normale Haltungsanderungen desKopfes nur geringe Anderungen des Blutdruckes im Kopf und der Herzfrequenz hervorrufen.Ferner wird das Gehirn gegen moglichen Uberdruck dadurch geschutzt, daß feinverzweigteKopfarterien ein sogenanntes ’Wundernetz’ bilden. Dieses kann das Blut beim Senken desKopfes wie ein Schwamm aufnehmen.Bei konstantem Durchfluss Q fallt die Verlusthohe mit der dritten Potenz des Rohrdurch-messers, wenn man einmal annimmt, das λ konstant bleibt. Dieser Uberlegung folgend istes okonomisch und okologisch sinnvoll, bei der Konstruktion von Pipelines moglichst großeRohrdurchmesser zu verwenden, da die Verlusthohe proportional zur erforderlichen Pumpen-leistung ist.Lokale Verluste entstehen durch lokale Besonderheiten des Rohrverlaufs, wie z.B. plotzli-che Querschnittsaufweitungen oder Rohrkrummungen. Sie sind daher nicht proportional zurdurchflossenen Rohrlange. Man beschreibt den an ihnen stattfindenen Energieverlust durchVerlustbeiwerte ζi und setzt fur die Summe aus kontinuierlichen und lokalen Verlusten:

hV =

(λ

l

dHyd+∑

i

ζi

)u2

2g

Die Summe geht dabei uber alle lokalen Verluste, die zwischen dem Ort 1 oberstrom und demOrt 2 unterstrom auftreten. Die Verlustbeiwerte ζi sind genauso wie λ dimensionslos.Die Bernoulligleichung kann man graphisch durch sogenannte Energielinien- oder Ener-giehohendiagramme darstellen. Diese basieren auf der Konstruktionsidee, daß alle Termeder Bernoulligleichung die Einheit einer Hohe haben. Die Energiehohe ist dann die Summeaus potentieller Hohenenergie, der Druckenergie und der kinetischen Energie. Abbildung 3.1zeigt ein solches Energieliniengefalle fur eine Stromung in einem Auslaufrohr: Im Reservoiram Ort 0 setzt sich die Energie aus der potentiellen Hohenenergie, sowie einem kleinen Anteilan Bewegungsenergie aus der Wasserspiegelabsenkung zusammen. Dieser Anteil kann dannvernachlassigt werden, wenn das Reservoirvolumen sehr groß gegenuber der auslaufendenWassermenge ist. Uber den Verlauf des Rohres nimmt die Verlusthohe mit der Rohrlange line-ar zu. Die kinetische Energiehohe bleibt dabei aufgrund der Kontinuitatsbedingung konstant,so daß die Druckhohe absinken muß.Zur Herleitung der Impulsgleichung konnen wir das Stromrohrenkonzept in der Form

−�u21A1 +

∫∂Ω

(p− P ) d�S = −�u22A2

Seite 74 3.2. Kontinuierliche Verluste

Bezugshorizont

Energiehorizont

EnergielinieDrucklinie

Q

sH0

0 1 a

za

v /2ga

2

v /2g0

2

v /2g1

2hv

a

0

hv

1

0

p / g1 �

z1l

Abbildung 3.1: Energieliniendiagramm fur eine Stromung in einem Auslaufrohr.

anwenden. Bezieht man die Kontinuitatsgleichung Q = A1u1 = A2u2 ein und fuhrt alleDruckintegrale wieder zusammen, erhalt man

�Q(u2 − u1) +∫

∂Ω

(p− P )dS = 0

Die inneren Spannungen werden nur an den Wanden in Form der Wandschubspannung wirk-sam. Die Komponente der Impulsgleichungen in x-Richtung wird somit zu:

�Q(u2 − u1) +∫

∂Ω

pdAx +∫

Rohrwand

τWdAx = 0

Vernachlassigt man den Reibungsverlust an der Rohrbewandung, dann schreibt sich die Im-pulsgleichung als

�Q(u2 − u1) +∫∂Ω

pdAx = 0

Nimmt man ferner an, daß der Druck jeweils uber die Eintritts- und die Austrittsflache konstantist, dann folgt:

�Q(u2 − u1) − p1A1 + p2A2 = 0 ⇒ p2 =A1

A2

(�Q2

A1A2

(A2

A1− 1

)+ p1

)

3.2. Kontinuierliche Verluste Seite 75

Rohrart ks [mm]

Stahlrohre

Leitungen aus gezogenem Stahl 0.01 ... 0.05

Geschweißte Rohre von handelsublicher Gute

neu 0.01 ... 0.05

nach langerem Gebrauch gereinigt 0.15 ... 0.2

maßig verrostet, leichte Verkrustung 0.4

schwere Verkrustung 3

Genietete Leitungen mit Langs- und Quernahten:

Blechdicke unter 5 mm 0.65

Blechdicke 5 bis 12 mm 1.95

Blechdicke uber 12 mm 3

Blechdicke 6 bis 12 mm mit verlaschten Nahten 3

Blechdicke uber 12 mm mit verlaschten Nahten 5.5

in ungunstigem Zustand bis 50

Gußeisenrohre

Neue Leitungen mit Flansch und Muffenverbindungen 0.15 ... 0.3

Gußeiserne Rohre

inwendig bitumiert 0.12

neu 0.25 ... 1

angerostet 1 ... 1.5

verkrustet 1.5 ... 3

Beton und Druckstollen

in Stahlbeton mit sorgfaltig handgeglattetem Verputz 0.01

Neue Leitungen aus Schleuderbeton mit glattem Verputz 0.16

Betonrohre, Glattstrich 0.3 ... 0.8

Druckstollen mit Zementverputz 1.5 ... 1.6

Betonrohre, roh 1 ... 3

Beton, schalungsrauh 10

Sonstige Rohre

Asbest-Zement-Rohre 0.1

Holzrohre 0.2 ... 1

Tabelle 3.1: Aquivalente Rauheit ks fur rauhe Rohre (nach [12]).

Seite 76 3.3. Lokale Verluste

3.2 Kontinuierliche Verluste

Die kontinuierlichen Verluste sind mit der uberall vorhandenen Wandreibung verbunden undwerden nach dem Gesetz von Colebrook-White

1√λ

= −2 log

(2.51

Re√λ

+ks

3.71dHy

)

iterativ berechnet. Die aquivalente Wandrauheit ist fur typische Rohrwandbeschaffenheiten inTabelle 3.1 wiedergegeben.

3.3 Lokale Verluste

Auf einer geraden, sich im Querschnitt nicht andernden Rohrstrecke stellt sich ein Gleich-gewichtsgeschwindigkeitsprofil im Rohr ein. Wird dieses in irgendeiner Form z.B. durchKrummungen des Streckenverlaufs oder Querschnittsanderungen gestort, so braucht es erst ei-ner gewissen Laufstrecke, bis sich ein neues Gleichgewichtsgeschwindigkeitsprofil eingestellthat. Obwohl diese Anderungen nicht unmittelbar erfolgen und sich erst nach einer gewissenWirklange einstellen, werden die Verluste in der technischen Berechnung der Rohrstromungan der Verluststelle zusammengefaßt und als lokale Verluste bezeichnet.Als maßgebende Geschwindigkeit wird in der Berechnung mit Ausnahme von Verzweigungenstets diejenige hinter der Verluststelle eingesetzt.Prinzipiell sind alle Verlustbeiwerte auch von der Reynoldszahl abhangig. Meist ist dieserEinfluss jedoch in Relation zu den Unsicherheiten, welche ohnehin bei der Ermittlung dieserWerte auftreten, relativ gering, so daß in der Praxis normalerweise von konstanten ζ-Wertenausgegangen wird. Wir wollen einige lokale Verlustquellen der Rohrstromungen genauer be-trachten.

3.3.1 Querschnittsanderungen

Generell haben allmahliche Querschnittsveranderungen geringere Verluste als plotzliche zuFolge. Ferner bringen Querschnittserweiterungen wegen der Druckzunahme in Stromungs-richtung und der moglichen Ablosungen großere lokale Energieverluste als Querschnittsver-engungen mit sich.Diese Aussage darf aber nicht damit verwechselt werden, daß die kontinuierlichen Verluste ineinem weiteren Rohr wesentlich kleiner als in einem engeren sind. Querschnittserweiterungenhaben zwar einen lokalen Verlust zur Folge, werden aber sehr schnell durch die geringerenkontinuierlichen Verluste amortisiert.Wir betrachten den in Abbildung 3.2 dargestellten Fall einer unmittelbaren Querschnittsauf-weitung eines horizontal gelagerten Rohres. Fur die Verlusthohe gilt laut Bernoulligleichungin diesem Fall:

3.3. Lokale Verluste Seite 77

p2p2

u2u2

A2A2

p1p1

p1p1

p1p1

u1u1

A1A1

Ablösungszone1 2

Abbildung 3.2: Plotzliche Querschnittsanderung in einem Rohr.

hV =u1

2 − u22

2g+p1 − p2

�g

Die Geschwindigkeit vor der Erweiterung bekommt man aus der Kontinuitatsgleichung:

u1 = u2A2

A1⇒ hV =

u22

2g

(A2

2

A21

− 1

)+p1 − p2

�g

Fur die Druckdifferenz integrieren wir den Druckterm in der Impulsgleichung. Dabei ist zubeachten, daß die Projektion auf die Stromungsrichtung in Ein- und Auslaufquerschnitt den-selben Flacheninhalt A2 aber mit umgekehrten Vorzeichen liefert:

Q(u1 − u2) +∫∂Ω

p

�dAx = Q(u1 − u2) +

p1 − p2

�A2 = 0

Damit bekommt die Verlusthohe den Wert

hV =u2

2

2g

(A2

2

A21

− 1

)+Q(u1 − u2)

gA2

=u2

2

2g

(A2

A1

− 1)2

womit der Verlustbeiwert der plotzlichen Aufweitung zu

ζ =(A2

A1− 1

)2

bezogen auf u2


Abbildung 3.3: Einlaufformen fur Rohre.

wird. Man bezeichnet dieses Ergebnis auch als Boda-Carnotscher Stoßverlust fur den Stoßzweier Rohrleitungen mit unterschiedlichem Querschnitt.Bei der Herleitung wurde der Druck auf die Stirnflache der Erweiterung dem Druck im Zulei-tungsrohr gleichgesetzt. Dies ist jedoch wegen der Ablosungen in diesem Gebiet nicht zutref-fend. Deshalb muß der Verlustbeiwert mit einem Korrekturfaktor c erweitert werden, womitfur den Verlustbeiwert der plotzlichen Aufweitung

ζ = c(A2

A1− 1

)2

bezogen auf u2

gilt. Aus Messungen konnten fur den Korrekturfaktor c folgende Werte ermittelt werden:

c = 1.0 − 1.2 plotzliche Erweiterung

c = 0.4 − 0.5 plotzliche Verengung

c = 0.15 − 0.20 konische Erweiterung fur Erweiterungswinkel kleiner 7o.

Fur Erweiterungen mit Verziehungswinkeln großer als 7o unterscheidet sich der Beiwert kaumnoch von der plotzlichen Erweiterung. Bei der konischen Verengung treten nur kleine Verlusteauf, weil es da nicht zu Ablosungen kommt.Es soll bemerkt werden, daß wir fur die Herleitung des Energieverlustes an der plotzlichenRohraufweitung sowohl die Kontinuitats- als auch die Impuls- und die Energiegleichung in derForm der Bernoulligleichung benotigt haben. Dabei war die Auswertung der Impulsgleichungam schwierigsten; wir benotigen sie dann nicht, wenn man den Energieverlust als Beiwert oderVerlusthohe parametrisieren kann.

3.3.2 Ein- und Auslaufverluste

Beim Ubergang von einem Reservoir zu einem Abflussrohr tritt eine plotzliche Querschnitts-verengung auf, fur die im vorangegangenen Abschnitt fur A2/A1 → 0 ein Verlustbeiwert vonζ = 0.4...0.5 angegeben wurde. In Abbildung 3.3 sind die entsprechenden Werte fur andereBauformen aufgefuhrt.


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

Krümmungsradius/Rohrdurchmesser r/d

Verl

ustb

eiw

ert

�*

10

20

30

40

60

90

120

150

180

Abbildung 3.4: Verlustbeiwert ζ∗ fur Kreisrohrkrummer ohne Korrekturen.

3.3.3 Umlenkverluste

Richtungsanderungen des Rohrverlaufs werden durch Kreisrohrkrummer oder Knierohre er-zeugt. In diesen konnen Ablosewirbel auf der Krummungsinnenseite entstehen, die den durch-stromten Querschnitt einengen. Ein weiterer Energieverlust ist mit der Aufweitung des durch-flossenen Querschnitts hinter der Ablosung verbunden.Bei Kreisrohrkrummern ist der Verlustbeiwert ζ eine Funktion des Richtungsanderungs-winkels θb, des Krummungsradius r, der Rauheit der Bewandung und der Reynoldszahl. DerVerlustbeiwert kann in der folgenden Form als Funktion dimensionsloser Variablen dargestelltwerden:

ζ = ζ(θb, r/dhyd, ks/dhyd, Re)

Dementsprechend gibt es vielfaltige Darstellungen des Verlustverhaltens in Abhangigkeit voneiner Hauptveranderlichen, und die anderen Variablen werden dann durch Korrekturbeiwerteeingebracht. In Abbildung 3.4 ist der Verlustbeiwert nach der in [7] angegebenen Beziehung

ζ∗ =(0.051 + 0.12

r

d

)(β

60o

)0.7

fur 15o < β < 180o

in Abhangigkeit vom dimensionslosen Krummungsradius und vom Richtungsanderungswin-kel aufgetragen.


Abbildung 3.5: Korrekturbeiwert cRe zum Einfluss der Reynoldszahl fur Kreisrohrkrummernach Miller.

Die Rauheitskorrektur kann durch das Verhaltnis der Verlustbeiwerte λrauh/λglatt von rauherzu glatter Wand eingebracht werden. Ferner gilt es, die Abhangigkeit von der Reynoldszahldurch einen weiteren Korrekturbeiwert einzubringen, der graphisch in Abbildung 3.5 darge-stellt ist. Insgesamt ergibt sich nach Miller der Verlustbeiwert aus der Rechenprozedur:

ζ = ζ∗λrauh

λglattcRe

Knierohre sind mechanisch leichter zu fertigen, haben aber wegen der abrupten Rich-tungsanderung einen großeren lokalen Widerstand und sind daher hydraulisch ungunstiger.In Abbildung 3.6 sind die Verlustbeiwerte fur unterschiedliche Ablenkungswinkel enthalten.Die Korrekturbeiwerte fur Reynoldszahl und Rauheit sind wie bei Kreisrohrkrummern zu er-mitteln.

3.3.4 Verzweigungen

Durch die Aufteilung bzw. Vereinigung von Stromungen entstehen je nach ortlichen Bedin-gungen infolge der Umlenkung Ablosungen und Verwirbelungen, die zu erhohten Energie-verlusten fuhren. Diese sind auch abhangig von der Aufteilung der Teilstrome, die wiederumvon den stromab in den Rohren vorherrschenden Bedingungen abhangig sind. Als Bezugsge-schwindigkeit wird daher stets die des ungeteilten Strahls verwendet, bei einer Stromtrennungalso ausnahmsweise die Geschwindigkeit vor der Aufteilung, weshalb die Verlustbeiwerte mit


Abbildung 3.6: Verlustbeiwert ζ∗ fur Knierohre nach Miller ohne Korrekturen.

Seite 82 3.4. Das universelle Fließgesetz der Rohrstromung

Abbildung 3.7: Verlustbeiwerte fur scharfkantige Abzweigungen (Bohl).

ζ ′ gekennzeichnet werden. Abzweigende Rohre erhalten den Index a, wahrend der durch-gehende Strang mit d gekennzeichnet wird. Neben dem Verhaltnis der Rohrdurchmesser imdurchgehenden sowie im abzweigenden Strang sind die Verlustbeiwerte im wesentlichen vomVerhaltnis der Teilstrome Qa/Qd, dem Ablenkungswinkel φ und der Form der Abzweigung(scharfkantig oder ausgerundet) abhangig. Fur scharfkantige, kreisformige Rohrverzweigun-gen mit gleichbleibendem Durchmesser sind in Abbildung 3.7 die Verlustbeiwerte dargestellt.

3.3.5 Verschlussorgane

Zur Anderung des Durchflusses werden in Rohrleitungen Verschluss- und Regelorgane instal-liert. Aus deren Vielzahl sind in Abbildung 3.8 die Verlustbeiwerte einiger charakteristischerBauformen angegeben.

3.4 Das universelle Fließgesetz der Rohrstromung

Aus dem Ansatz von Darcy-Weisbach (3.3) fur die Verlusthohe, dem Gesetz von Colebrook-White fur den Reibungsbeiwert und der Definition des Energieliniengefalles bekommt mandie Formel fur die mittlere Geschwindigkeit in einem Rohr:

u = −2√

2gIEd log

(2.51ν

d√

2gIEd+

ks

3.71dHy

)

3.5. Der hydraulische Durchmesser fur Rohre beliebigen Querschnitts Seite 83

Abbildung 3.8: Verlustbeiwerte fur charakteristische Verschlussorgane.

bzw.

Q = −2A√

2gIEd log

(2.51ν

d√

2gIEd+

ks

3.71dHy

)

Die Fließgeschwindigkeit und damit der Durchfluss in einem Rohr sind vom Energielinien-gefalle, dem hydraulischen Durchmesser, der Fluidviskositat und der Beschaffenheit der Rohr-bewandung abhangig.In der Praxis ist es oft wichtig, die Umkehrung dieses Gesetzes zu kennen, man benotigt bei va-riabler Durchflussbelastung Q eines Rohres das dazugehorige Energieliniengefalle, bzw. beikonstanter geodatischer Hohe das dazugehorige Druckgefalle. Dies machte man fruher mitHilfe von graphischen Druckverlustdiagrammen, die das Druckgefalle pro Fließlangenmeterals Funktion des Durchflusses darstellten. Diese Art von Diagrammen lassen sich heutzutagemit Tabellenkalkulationsprogrammen, guten expliziten Startwerten und damit wenigen Itera-tionen fur den Reibungsbeiwert so schnell erstellen, daß die alten Druckverlustdiagrammeheute kaum mehr Bedeutung haben.

3.5 Der hydraulische Durchmesser fur Rohre beliebigenQuerschnitts

Fur Rohre mit anderem als kreisformigem Querschnitt lassen sich alle Ergebnisse durch dasAnsetzen des entsprechenden hydraulischen Durchmessers ubertragen:

dHyd =4A

Ufest(3.4)

Dabei ist A der durchflossene Querschnitt und U der von dessen Rand bewandete Umfang. Soergibt sich z.B. fur ein Rohr mit quadratischem Querschnitt der Kantenlange a der hydraulischeDurchmesser dHyd = 4a2

4a= a. Ein quadratisches Rohr a verhalt sich hydraulisch also genauso


wie ein Rohr mit kreisformigem Querschnitt, dessen Durchmesser der Kantenlange entspricht.Bei gleichem Querschnitt A ist der Durchmesser des kreisformigen Rohres um den Faktor√

4/π großer als der des quadratischen Rohres. Damit stellt sich im kreisformigen Rohr einegroßere Geschwindigkeit und deshalb ein großerer Durchfluss als im quadratischen Roht ein.Damit ist das Kreisrohr dem quadratischen hydraulisch weit uberlegen.Man kann ein Kreisrohr und ein quadratisches Rohr desselben Umfangs, d.h. Materialver-brauchs vergleichen. Das quadratische Rohr hat dann einen kleineren hydraulischen Durch-messer und einen großeren hydraulischen Widerstand. Schließlich kann man ganz allgemeinzeigen, daß das kreisformige Rohr hydraulisch und damit auch okonomisch und okologischallen anderen Querschnittsformen uberlegen ist.

3.6 Zusammenfassung

Die Grundaufgabe bei der Berechnung von Stromungen in Rohrleitungen besteht in der Er-mittlung des Durchflusses in Abhangigkeit von einem gewissen Energieliniengefalle oder derUmkehrung dieser Aufgabe. Dazu stehen die Kontinuitatsgleichung (3.1), die Bernoulliglei-chung (3.2) und das Gesetz von Darcy-Weisbach (3.3) mit parametrisierten Beiwerten fur kon-tinuierliche oder lokale Verluste zur Verfugung. Theoretisch lassen sich diese Beiwerte durchdie Auswertung der Impulsgleichung oder aus Experimenten bestimmen. Um aus diesen Glei-chungen einen Ansatz fur ein bestimmtes Rohrstromungsproblem sicher aufzustellen, ist einegewisse Kreativitat erforderlich, die durch Ubung geschult werden muß. Die Gleichungen sinddann immer iterativ zu losen.

3.7 Ubungen

1. In einem Gusseisenrohr (ks = 0.8 mm) mit dem Durchmesser d = 80 cm fließen je Se-kunde 0.25 m3Ol (ν = 0.00001 m2/s, � = 0.9 t/m3). Wie groß ist die Verlusthohe hv bei1000 m Rohrlange?

2. In einem genieteten Stahlrohr (ks = 3 mm) mit dem Durchmesser d = 30 cm fließt Wassermit einer Temperatur von 15oC (ν = 0.00000113 m2/s). Wie hoch ist der Durchfluss Q,wenn sich auf einer Rohrstrecke von 300 m eine Verlusthohe hv = 6 m einstellt?

3. Ein Stahlrohr soll je Sekunde π/2 m3 Ol (ν = 0.00001 m2/s) fordern. Wie groß muss derDurchmesser des Rohres mindestens sein, wenn bei maßiger Verkrustung (ks = 0.8 mm)je 1000 m Rohrlange eine Verlusthohe . Wie hoch ist der Durchfluss Q, wenn sich aufeiner Rohrstrecke von 300 m eine Verlusthohe von hv = 4 m nicht uberschritten werdensoll?


4. Durch eine gerade Betonleitung mit dem lichten Durchmesser d = 1 m, der Lange L =800 m und mit der Rauheit ks = 1 mm sollen 100 000 dm3/min erwarmtes Kuhlwassermit der kinematischen Zahigkeit ν = 0.658·10−6 m2/s ohne Vordruck abfließen. WelchesGefalle in % muss die Leitung erhalten?


Kapitel 4

Die Hydraulik der Gerinne

Als Gerinne bezeichnet man alle Gewasser mit freier Oberflache und linienformigen Verlauf,in denen sich die Stromung durch die Gravitationskraft ausbildet.

Im Gegensatz zu einer Stromung in einem geschlossenen Rohr ist der Druck an der Was-seroberflache gleich dem Luftdruck und kann normalerweise uber die Lauflange als konstantangenommen werden. Andererseits ist der Fließquerschnitt nicht vollstandig durch die Beran-dung des Gerinnes bestimmt, vielmehr kann dieser sich durch die in Raum und Zeit variableWassertiefe andern. Damit wird der Fließquerschnitt ein Teil des Problems, welches bei Ge-rinnestromungen zu losen ist.

Man kann zwischen naturlichen und kunstlichen Gerinnen unterscheiden. Die kunstlichenGerinne wie Schifffahrts-, Kraftwerks-, Be- und Entwasserungskanale, Abwassersammler,Graben, Durchlasse und nicht zuletzt Laborgerinne sind Produkte von Menschenhand. Hierist die Geometrie meist vorgegeben und damit einfacher empirisch zu erfassen. Auch die Rau-heit kann infolge des meist homogenen Bettmaterials relativ sicher abgeschatzt werden.

Die naturlichen Gerinne, worunter alle durch die Natur geschaffenen Wasserlaufe vom kleinenGebirgsbach bis zum großen Strom inklusive der astuare im Kustenbereich verstanden werden,besitzen meist sehr unregelmaßige geometrische und hydraulische Eigenschaften. Zudem be-stehen ihre Sohlen selbst aus beweglichen Materialien, wodurch sich auch die Morphologiedes Gerinnes andern kann.

4.1 Die Grundgleichungen

Die Grundlagen der Berechnung von Gerinnestromungen im Rahmen der stationaren Gerin-nehydraulik bilden die Bernoulligleichung und die Kontinuitatsgleichung.

87

Seite 88 4.1. Die Grundgleichungen

Sohlbeschaffenheit ks [m]

ebene Flußsohle, Sand Kies 0.005 – 0.02

ebene Flußsohle, Grobkies 0.06 – 0.2

Gebirgsflusse mit groben Geroll bis 1.5

Riffel, Hohe Δr, Lange λr 20Δr

(Δr

λr

)Dunen, Hohe Δd, Lange λd 0.77Δd

(1 − e−25Δd/λd

)Vorland, Ackerboden 0.02 – 0.25

Vorland, Gras 0.1 – 0.35

versiegelte Flachen, Straßen 0.001 – 0.01

glatte Holzgerinne 0.0006

glatter Zementputz 0.0008

glatter Beton 0.0008

Hausteinquader 0.0015 – 0.0018

gut gefugter Klinker 0.0015 – 0.0018

Alter Beton 0.02

Bruchsteinmauerwerk 0.02

Tabelle 4.1: Rauheitsbeiwerte fur verschiedene Sohlbeschaffenheiten (erweitert aus [12]).

4.1.1 Die Kontinuitatsgleichung

Die Kontinuitatsgleichung besagt fur stationare Stromungen, daß der Durchfluss Q1 an einemGerinnequerschnitt 1 gleich dem Durchfluss Q2 an einem anderen Querschnitt 2 sein muß:

Q1 = Q2 bzw. u1A1 = u2A2 (4.1)

Die Kontinuitatsgleichung druckt sofort einsichtiges aus: Ist ein Querschnitt A1 großer alsein anderer A2, so wird an ersterem die mittlere Durchflussgeschwindigkeit u1 kleiner alsan zweiterem sein, damit durch beide Querschnitte dieselben Wassermengen pro Zeiteinheitfließen.

4.1.2 Die Bernoulligleichung

Die Bernoulligleichung wird in Gerinnestromungen am zweckmaßigten an zwei Orten an derWasseroberflache des Gerinnes angewendet. Da an den beiden Orten der Luftdruck als gleichangenommen werden kann, bekommt die Bernoulligleichung die Form:

4.1. Die Grundgleichungen Seite 89

zB1 + h1 +u1

2

2g= zB2 + h2 +

u22

2g+ hV (4.2)

Darin sind zB1 die geodatische Hohe der Sohle und h1 die Wassertiefe am oberstromigen Ortund zB2 und h2 die entsprechenden Werte stromab. Dazwischen verliert die Stromung dieEnergiehohe hV infolge der Reibung des Fluides an der Gewassersohle.

4.1.3 Das Gesetz von Darcy-Weisbach

Fur diesen Term wird das Gesetz von Darcy-Weisbach

hV = λl

dHyd

u2

2g(4.3)

fur die uberall vorhandenen kontinuierlichen Reibungsverluste angesetzt, wobei l die dabeidurchflossene Gerinnelange ist.

4.1.4 Das Gesetz von Colebrook-White

Ist das Gerinne genugend breit, dann ahnelt das Geschwindigkeitsprofil in vertikaler Richtunguber der Sohle dem der Stromung an einer Wand. Fur diese Wandstromung kann man denVerlustbeiwert λ uber die Formel von Colebrook-White

1√λ

= −2 log

(2.51

Re√λ

+ks

3.71dhyd

)

berechnen. Hier ist ks wieder die effektive Sohlrauheit.Dabei wird die Reynoldszahl in der Gerinnehydraulik durch Re = udhyd/νmol definiert, wo-bei u die uber die Tiefe gemittelte Geschwindigkeit ist. Sie beinhaltet also auch die sich uberdem Boden ausbildende Grenzschicht. In der Grenzschichttheorie wurde die Reynoldszahlallerdings mit der sich im ungestorten Bereich außerhalb der Grenzschicht ausbildenden Ge-schwindigkeit berechnet.Diese Uminterpretation spiegelt sich nicht in einer Abanderung der Vorfaktoren im Gesetz vonColebrook-White wieder.

4.1.5 Lokale Verluste

Ferner gibt es in Gerinnen auch lokal begrenzte Verluste durch Engstellen, Einbauten oderWechselsprunge. Diese lokalen Verluste sind nicht von der durchflossenen Lange l abhangig.Man berucksichtigt sie durch Verlustbeiwerte ζi (Index i fur verschiedene lokale Verluste) inder Form:

Seite 90 4.1. Die Grundgleichungen

h1

u , A1 1

u , A2 2

z1

z2

1

h2

hv

u /2g2

2

u /2g1

2

2

x

Abbildung 4.1: Energieliniendiagramm fur eine Stromung in einem Gerinne.

hV = ζiu2

2g

Dabei ist darauf zu achten, ob sich die Darstellung des Verlustbeiwerts ζi auf die mittlereGeschwindigkeit vor oder hinter der Storstelle bezieht.

4.1.6 Das Energieliniengefalle

Die Bernoulligleichung kann man graphisch durch sogenannte Energielinien- oder Ener-giehohendiagramme darstellen. Diese basieren auf der Konstruktionsidee, daß alle Termeder Bernoulligleichung die Einheit einer Hohe haben. Die Energiehohe ist dann die Summeaus potentieller Hohenenergie und der kinetischen Energie. Abbildung 4.1 zeigt ein solchesEnergieliniendiagramm fur eine Stromung in einem Gerinne.Die aus potentieller, kinetischer und Druckanteilen zusammengesetzte Energie eines Gerinnesnimmt in dessen Verlauf immer mehr ab. Als Energieliniengefalle bezeichnet man dabei denQuotienten der Abnahme der Energiehohe hE pro Flusslange L:

IE =hE

l=

λ

dHyd

u2

2g

Der zweite Teil der Gleichung entsteht, wenn man den Energieverlust mit der Formel vonDarcy-Weisbach berechnet.

4.1. Die Grundgleichungen Seite 91

4.1.7 Die Impulsgleichung

Zur Bestimmung von Beziehungen fur die lokalen Verluste benotigt man schließlich nochtdie Impulsgleichung der Gerinnestromung. Dazu betrachtet man gedanklich das Gerinne alsStromrohre, welches vom Gewasserboden, den Randflachen und der Wasseroberflache als Um-mantelung begrenzt wird. Diese Stromrohre laßt man direkt vor dem lokalen Verlust beginnenund direkt hinter ihm enden. Mit Hilfe des Stromrohrenkonzepts kann man den den Impuls ineiner solchen Stromrohre der Eintrittsflache A1, der Austrittsflache A2 und der MantelflacheM bilanzieren:

−�u21A1 −

∫A1

pdS + I = −�u22A2 −

∫A2

pdS

Dabei wird der Impulsfluss an der Mantelflache

I =∫M

(p− P ) d�S

bei der Analyse lokaler Verluste vernachlassigt, da diese auf einem eng begrenzten Bereichstattfinden, so daß die Mantelflache selbst sehr klein ist.Die Druckverteilung auf den Ein- und Austrittsflachen ist hydrostatisch, also gilt fur einenrechteckformigen Querschnitt:

∫A

pdS =

B∫0

h∫0

�gzdzdB =1

2�gBh2 =

1

2�gAh

Damit wird die Impulsgleichung zu

u21A1 +

1

2gA1h1 = u2

2A2 +1

2gA2h2

Wir werden sie zur Berechnung der lokalen Verluste an Stufen und Schwellen einsetzen.

4.1.8 Der hydraulische Durchmesser

Der hydraulische Durchmesser in obigen Formeln ist wieder:

dhyd = 4A/Ubenetzt

Wir wollen dazu einige wichtige Betrachtungen anstellen.Ist ein Fließgewasser wesentlich breiter als tief, so kann der benetzte Umfang durch die Breiteabgeschatzt werden:

dhyd = 4Bh/B = 4h wenn die Gewasserbreite wesentlich großer als die Tiefe ist.

Seite 92 4.2. Rechenanlagen

Dies ist insbesondere bei Flachlandflussen der Fall.Bei der Konstruktion technischer Gerinne geht es oftmals darum, bei einem gegebenen Fließ-querschnitt einen moglichst großen Abfluss zu erreichen, d.h. den hydraulischen Durchmesserzu maximieren bzw. den benetzten Umfang zu minimieren. Dabei weist der Halbkreis beigegebenen Querschnitt den kleinsten benetzten Umfang aus. In der Praxis werden aber ofterrechteckige oder trapezformige Querschnitte eingesetzt. Fur ersteren ist der benetzte Umfang

U(h) = B(h) + 2h =A

h+ 2h

Man zeige selbst, daß sich das hydraulisch gunstigste Seitenverhaltnis fur B = 2h einstellt.

4.2 Rechenanlagen

Um empfindliche Anlagenteile wie Pumpen und Turbinen vor Schwimm- oder Schwebstoffenzu schutzen, werden Rechen (engl. trash rack) eingesetzt.Rechen dienen aber auch umgekehrt dazu, das Leben von Tieren (Fische und Wasservogel)oder in eine Fluss gesturzte Menschen vor Schaden durch die Anlage zu schutzen. Zu die-sem Zweck sollte die Abscheideleistung von Rechen moglichst groß, die Stababstande alsomoglichst klein sein. Hierzu sollte auch die Anstromgeschwindigkeit nicht zu groß sein, dadurch sie die verungluckten Lebewesen an den Rechen gedruckt werden und sich nicht mehrgegen den Stromungsdruck befreien konnen (fur Aale soll dies ab 1 m/s Stromungsgeschwin-digkeit gelten).Auf der anderen Seite stellen Rechen aber Hindernisse in der Stromung dar, die dieser kineti-sche Energie entziehen und sie in Turbulenz und Warme umwandeln. Bei einer Wasserkraft-anlage kann also ein mechanisch effektiver Rechen zu Effektivitatsminderungen fuhren.Bei der hydraulischen Konstruktion von Rechen ist es daher das Ziel, eine moglichst geringemechanische Durchlassigkeit bei moglichst geringem Stromungswiderstand zu erreichen.

4.2.1 Ausfuhrungen von Rechen

Grundsatzlich sind Rechen mit vertikalen und horizontalen Stabanordnungen zu unterschei-den.Bei der zumeist ublichen vertikalen Anordnung der Stabe wird zum Schutz der Fische gefor-dert, daß die lichte Weite der Stababstande einen Wert von 2 cm nicht unterschreitet. Daherwird neuerdings auch uber Rechenanlagen mit horizontalen Stabanordnungen nachgedacht.Bei diesen kann der lichte Stababstand wegen der vertikalen Auspragung des Querschnitts desFischkorpers dann wesentlich großer sein.Die folgenden Ausfuhrungen beziehen sich nur auf den Rechen mit vertikalen Staben.Die Rechenstabe werden auf 1.0 bis 1.5 m breiten Elementen, den Rechenfeldern angeordnet,die bei Revisionsarbeiten herausgehoben werden konnen. Sie werden aus Flachstahlstaben

4.2. Rechenanlagen Seite 93

Ansicht(in Strömungsrichtung)

StromlinienförmigerStützträger

RechenfeldTrennpfeiler

AchseTrennpfeiler

Achse

Abbildung 4.2: Elemente eines Rechenfelds (nach [9]).

hergestellt. Sie werden auf horizontale Rundstahle aufgezogen, die an ihren Endungen mit denAbstutzungen verschraubt sind.

4.2.2 Bemessungsgroßen eines Rechens

Ein Rechen muss bezuglich der Abscheidewirkung, des hydraulischen Widerstandsverhaltensund seiner mechanischen Belastbarkeit bemessen werden.

• Die Rechenstabstarke s muss den Belastungen aus Stromungswiderstand unter Verle-gung und aus der Rechenreinigungsanlage gewachsen sein. Sie soll eine gewisse Le-benserwartung bzgl. Abrasion und Korrosion garantieren. I.A. werden Stabstarken vonmindestens 12 mm empfohlen.

• Die Rechenstablange L muss ebenfalls auf die mechanischen Belastungen bemes-sen sein. Dabei ist insbesondere darauf zu achten, daß die Eigenfrequenzen nicht derstromungsinduzierten Ablosefrequenz entspricht.

• Der lichte Rechenstababstand zwischen zwei Staben a ist die eigentliche Auslegungs-große fur die Reinigungsleistung der Rechenanlage. Je nach der Spaltweite a zwischen


den Staben unterscheidet man Grobrechen (a = 10 ... 30 cm) und Feinrechen (a = 5 ...50 mm).

• Die Rechenstabform (siehe Abbildung 4.3) hat einen erheblichen Einfluss auf den hy-draulischen Widerstand des Rechens. So kann dieser auf ein Drittel reduziert werden,wenn anstelle eines rechteckigen ein profilierter Querschnitt verwendet wird. In der Re-gel wird allerdings der kurzfristige Betrachtung der Herstellungskosten Prioritat ein-geraumt, so daß meistens rechteckige Querschnitte verbaut werden.

• Die Rechenstabneigung α gegenuber der horizontalen Ebene: Eine gegenuber der Ho-rizontalen geneigte Rechenebene dient der Vereinfachung des Rechenreinigungsprozes-ses. Diese besteht kammformigen Greifwerkzeug, welches am Rechen nach oben gleitet.Durch die Neigung gegenuber der Horizontalen verhindert die Gewichtskraft des Greif-werkzeugs, daß das Geschwemmsel dieses nicht vom Rechen wegdruckt.

• Der Verbauunggrad P ist das Verhaltnis von verbauter zu gesamter Rechenflache.

• Der Winkel δ der horizontalen Schraganstromung.

4.2.3 Hydraulische Verlustberechnung

Rechen stellen ein Hindernis in der Stromung dar und sind daher als lokale Verluste zu behan-deln. Ihr lokaler Verlustbeiwert setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen.

Bemessung nach Kirschmer und Mosonyi

Der Verlustbeiwert ζ wird nach der Formel von Kirschmer (1926) wie folgt berechnet

ζ = κkF

(s

a

)4/3

sinα

bzw.:

hV = κkF

(s

a

)4/3

sinαu2

A

2g

wobei uA die mittlere Anstromgeschwindigkeit vor dem Rechen ist.Ferner ist kF der Formbeiwert der Rechenstabe nach Kirschmer, wie er in Abbildung 4.3 skiz-ziert ist. Dabei ist zu erkennen, daß eine schlanke, stromlinienformige Form mit den gering-sten Verlusten verbunden ist, wahrenddessen das wirtschaftliche Rechteckprofil mit sehr hohenVerlusten verbunden ist.Mosonyi hat in die ursprunglich von Kirschmer veroffentlichte Formel den Faktor κ zurBerucksichtigung der schragen Anstromung δ eingefuhrt. Dieser ist in Tabelle 4.2 dargestellt.


R = 5R = 5 R = 5 R = 5

2,42 1,83 1,67 0,921,03 0,76

R = 5

1,79

1010 10 10 10 10

20

30

35

15

� =

�

Abbildung 4.3: Formbeiwerte kF fur Rechenstabe nach Kirschmer.

δ / s/a 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

0o 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

10o 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.14 1.50

20o 1.14 1.16 1.18 1.21 1.24 1.26 1.31 1.43 2.24

30o 1.25 1.28 1.31 1.35 1.44 1.50 1.64 1.90 3.60

40o 1.43 1.48 1.55 1.64 1.75 1.88 2.10 2.56 5.70

50o 1.75 1.85 1.96 2.10 2.30 2.60 3.00 3.80 –

60o 2.25 2.41 2.62 2.90 3.26 3.74 4.40 6.05 –

Tabelle 4.2: Faktor κ zur Berucksichtigung des Anstromwinkels δ nach Mosonyi [6].


Längsschnitt

Draufsicht

Betriebsweg

MagazinMehr-zangen-greifer

Rechen 1 Rechen 2

Geschwemmsel-lagerung mitAblaufrinnen

Wartungsbrücken

Abbildung 4.4: Gesamtkonstruktion einer Geschwemmselbeseitigung.


Abbildung 4.5: Rechenanlage an einem Siel mit Rechenreinigung.

Der Faktor κ berucksichtigt den Winkel δ der schragen Anstromung. Dieser ist in den meistenFallen Null, dann hat κ den Wert eins. Fur andere Falle wird dieser Faktor nach der Tabellevon Mosonyi (1966) bestimmt.

Zimmermann (1969)

Zimmermann hat sich vor allem auf eine Parametrisierung des Winkels der horizontalenSchraganstromung δ konzentriert, der in der Formel von Kirschmer noch nach der Beiwert-tabelle von Mosonyi bestimmt wird. Sein Ansatz lautet:

hV =u2

A

2g

(s

a

)4/3(

3.87(s

a

)4/3

tan7/4 δ + kF

)fur L− s < a

hV =u2

A

2g

⎛⎝3.87 tan7/4 δ + kF

(s

a

)4/3

+kF

cos3 δ

((s

a

)4/3

− s

L− s

)4/3⎞⎠ fur L− s < a

US Bureau of Reclamation / US Corps of Engineers (1977)

Das US Bureau of Reclamation (nach [9]) gibt folgende Formel zur Berechnung der Ver-lusthohe an:


hV =u2

S

2g

⎛⎝1.45 − 0.45

An

Ag−(An

Ag

)2⎞⎠

Darin ist uS = die Geschwindigkeit zwischen den Rechenstaben,An die freie Durchflussflacheund Ag die Flache des gesamten Einlaufquerschnitts.

Meusburger (2002)

Die Untersuchungen von Meusburger [9] konzentrieren sich vor allem auf die Verlegung einesVertikalrechens im Betrieb. Hiernach gilt:

hV = ζBu2

A

2gmit ζR = ζPkδkV sinα

wobei uA die Anstromgeschwindigkeit ist. Der Verlustbeiwert ζP berucksichtigt dabei denVerbauungsgrad P :

ζP = kF

(P

1 − P

)3/2

Die Stabform wird durch den Kirschmerbeiwert kF berucksichtigt. Die horizontale Schragan-stromung wird durch den Verlustfaktor kδ bestimmt:

kδ =

(1 − δ

90o

)P−1.4 tan δ

Bei der Verlegung eines Rechens unterscheidet Meusburger zwei Arten, die zu unterschied-lichen Verlusten fuhren. Es sei hier nur der Verlustbeiwert der Gruppe 1 zitiert, bei dem derRechen vollstandig oben oder unten verlegt wird. Fur den Verlustbeiwert gilt dann

kV = 1 + 5.2P−1.5(

V

1 − V

)2

wobei V der Verlegungsgrad ist.

Weitere Ansatze

Zur Berechnung des hydraulischen Widerstands einer Rechenanlage existieren weitereAnsatze, die aber alle auf graphische d.h. nicht parametrisiere Darstellungen einzelnerAbhangigkeiten zuruckgreifen. Es hier die Ansatze von Spangler (1928), Fellenius und Lin-dquist (1929), Escande (1947), Berezinski (1958), Idel’cik (1960) und Zimmermann (1969)genannt.

4.3. Stromen und Schießen Seite 99

4.2.4 Experimentelle Verlustbestimmung

Die vorgestellten Bemessungsformeln dienen vor allem dazu, den Verlustbeiwert ζR eines Re-chens gegebener Abmessungen zu prognostizieren. Je nach angewendeter Formel kommendabe verschiedene Ergebniswerte heraus, so daß diese Vorgehensweise mit erheblichen Unsi-cherheiten Unsicherheiten beaufschlag ist. Ferner kommen weitere Fehlerquellen hinzu, wennbesondere geometrische Effekte, Lagerung der Rechenfelder oder komplexe Anstromverhalt-nisse in der wasserbaulichen Praxis hinzukommen.Diesen Bemessungsunsicherheiten kann nur durch die experimentelle Bestimmung des Ver-lustbeiwerts einer Rechenanlage im wasserbaulichen Labor entgangen werden. Dabei wirddie Anlage in einem geometrisch verkleinerten Maßstab aufgebaut. Dabei ist auf FroudescheAhnlichkeit im Einlauf und Auslaufbauwerk zu achten, wohingegen der Rechen (Stabstarkeund -abstand) auf seine Wirkung als Stromungswiderstand mit der Reynoldschen Ahnlichkeitbemessen werden muss.Die Verlusthohe wird dann durch die Messung der Wasserstande vor und hinter dem Rechenbestimmt. Es ergibt sich damit der Verlustbeiwert ζR des im Experiment eingesetzten Rechens.

4.3 Stromen und Schießen

Wir wollen die fur den Abfluss einer WassermengeQ erforderliche Energie in Form der auf dieSohle bezogenen EnergiehoheEh genauer analysieren und betrachten dazu die entsprechendenTerme in der Bernoulligleichung fur einen Ort, der auf der geodatischen Hohe z = 0 gewahltwurde:

Eh = h +u2

2g= h+

q2

2gh2

Dabei wurde der spezifische Abfluss q eingefuhrt, er ist der Durchfluss pro Breite q = Q/B

und in einer stationaren Stromung konstant, wenn sich nur die Flussbreite nicht andert.In Abbildung 4.6 ist die Energiehohe als Funktion der Wassertiefe skizziert. Aus dieser Dar-stellung ist zu folgern, daß es zwei Wassertiefen bei gleicher zur Verfugung stehender Ener-giehohe gibt, mit denen eine Abflussmenge q abgefuhrt werden kann. Die jeweils zu einerEnergiehohe gehorigen Wassertiefen nennt man konjugierte Wassertiefen. Diese beiden er-geben sich als Losungen der kubischen Gleichung:

h2 − Ehh2 +

q2

2g= 0

Den Abfluss bei der kleineren Wassertiefe und damit großeren Fließgeschwindigkeit bezeich-net man als schießenden Abfluss. Den Abfluss bei der großeren Wassertiefe und damit klei-neren Fließgeschwindigkeit bezeichnet man als stromenden Abfluss.

Seite 100 4.3. Stromen und Schießen

q = konst.E = h

v /2g2

v /2g2 v /2ggr

2

h

hgr

h

E

h

schießend strömend

Egr

Eh

Abbildung 4.6: Zur Bestimmung der konjugierten Wassertiefen.

Ferner kann aus Abbildung 4.6 gefolgert werden, daß eine Mindestenergie erforderlich ist, umeine Abflussmenge q abzufuhren. Zu dieser Mindestenergie gehort die sogenannte Grenzwas-sertiefe hGr, da sich an ihr die schießende von der stromenden Welt scheidet. Man bekommtdiese Grenztiefe aus der Minimumsuche:

dEh

dh= 1 − q2

gh3Gr

= 0 ⇒ hGr = 3

√q2

g

Damit ist die fur den Abfluss erforderliche Grenzenergiehohe

Eh,Gr =3

2hGr

und die sich dann einstellende Fließgeschwindigkeit ist:

uGr =√ghGr

Damit lassen sich die beiden Abflussmodi folgendermaßen beschreiben:

• Stromender Abfluss: u < uGr und h > hGr

• Schießender Abfluss: u > uGr und h < hGr

Beide Eigenschaften werden gemeinsam durch die Froudezahl charakterisiert:

4.4. Fließwechsel Seite 101

Fr =u√gh

mit:

Fr < 1 : Stromen

Fr = 1 : Grenzzustand

Fr > 1 : Schießen

Wir wollen nun untersuchen, wieviel Wasser bei einer vorgegebenen Energiehohe abgefuhrtwerden kann. Dazu stellen wir die Energiehohe nach dem Abfluss um

q(h) = h√

2g(Eh − h)

und finden das Maximum dieser Funktion selbstandig als die Grenzwassertiefe hGr. Der ma-ximale Abfluss findet bei vorgegebener Energiehohe also bei Grenzbedingungen statt. Diesermaximale Abfluss ist qmax = 2/3Eh

√2/3gEh.

Im Anschluss an diese Ausfuhrungen mag man sich fragen, was in einem Gerinne passiert,wenn die fur den Abfluss erforderliche Grenzenergie nicht zur Verfugung steht. Laut unse-ren Uberlegungen mußte das Wasser dann aufgestaut werden, bis von stromauf soviel Was-ser zugefuhrt wurde, daß die Grenzwassertiefe uberschritten wird und der Abfluss beginnt.Dies geschieht naturlich nicht so diskontinuierlich, wie eben beschrieben. Die Ubergange sinddabei fließend, wodurch die Verhaltnisse nicht mehr gleichformig sind. Um diesen Beginneiner Gerinnestromung genauer zu analysieren, muß man also instationare, ungleichformigeStromungen betrachten.

4.4 Fließwechsel

Wahrend der Ubergang vom Stromen zum Schießen relativ unspektakular mit einer stetigen,aber sehr raschen Absenkung des Wasserspiegels verbunden ist, findet der Ubergang vomSchießen zum Stromen diskontinuierlich in Form eines sogenannten Wechselsprungs untergroßem Energiehohenverlust statt.Wir wollen fur einen solchen Wechselsprung den Energiehohenverlust ermitteln. Da eine stati-onare Gerinnestromung als Stromrohre gedacht werden kann, wenden wir den Impulssatz ausdem Stromrohrenkonzept in der Form

u21A1 +

1

2gBh2

1 = u22A2 +

1

2gBh2

2 ⇒ u21h1 +

1

2gh2

1 = u22h2 +

1

2gh2

2

an. Der Punkt 1 liege dabei direkt vor, der Punkt 2 direkt hinter dem Wechselsprung. Dabeiwurde vereinfachend angenommen, daß das Integral uber die Mantelflache der Stromrohre,d.h. die Gerinnesohle vernachlassigt werden kann, weil der Energieverlust durch Sohlreibunguber die geringe Langsausdehunng nur sehr klein ist.Wir betrachten die sich hieraus ergebende Differenz der Wassertiefenquadrate:

Seite 102 4.4. Fließwechsel

h21 − h2

2 =2

g

(u2

2h2 − u21h1

)=

2

gu2

1

(h2

1

h2− h1

)=

2

gu2

1

h21

h1h2(h1 − h2)

Dabei konnte die Geschwindigkeit u2 hinter dem Wechselsprung aus der Kontinuitatsglei-chung eliminiert werden. Teilt man nun durch (h1 − h2) und fuhrt die Froudezahl fur dasOberwasser Fr1 = u1/

√gh1 ein,

h1 + h2 =2

gu2

1

h21

h1h2= 2Fr2

1

h21

h2

dann bekommt man die quadratische Gleichung fur das Wassertiefenverhaltnis

h1

h2

+ 1 = 2Fr21

h21

h22

und erhalt fur die Erhohung der Wassertiefe durch einen Wechselsprung:

h2

h1=

1

2

(√8Fr2

1 + 1 − 1)

Diese Herleitung fur die konjugierten Wassertiefen ist sicherlich besonders trickreich.Fur die Berechnung der Verlusthohe nehmen wir an, daß die Lange des Wechselsprungs soklein ist, daß eine anderung der geodatischen Hohe uber dieses Stuck vernachlassigt werdenkann. Laut Bernoulligleichung ist die Verlusthohe dann:

hV = h1 − h2 +u2

1 − u22

2g

Mit der Kontinuitatsgleichung, der Wassertiefenerhohung und ein paar algebraischen Umfor-mungen bekommt man fur die lokale Verlusthohe eines Wechselsprunges:

hV =(h2 − h1)

3

4h1h2

Der Energieverlust durch einen Wechselsprung braucht also nicht durch einen empirischenVerlustbeiwert dargestellt werden, er ist einzig von den konjugierten Wassertiefen abhangig.In der wasserbaulichen Praxis benotigt man schließlich noch Abschatzungen zur Lange desWechselsprungs, wobei man zunachst einmal festlegen muß, wie diese definiert ist. Sinnvoll istes dabei, das Ende des Wechselsprungs an dem Ort anzunehmen, ab dem keine Ruckstromun-gen mehr auftreten. Fur die Wechselsprunglange LW gibt es in der Literatur verschiedene, inLaborversuchen gewonnene Bemessungsformeln, die entweder von der Oberwasser- oder denUnterwasserstromungsverhaltnissen abhangig sind.So werden werden in Abhangigkeit von der Unterwassertiefe h2 und dem dortigen SohlgefalleI2 die Formel

4.4. Fließwechsel Seite 103

Abbildung 4.7: Beispiel einer Schussrinne.

LW = (α + βI2) h2 mit α � 6.0...6.1 und β � 4.0

bzw. von Smetana und Woycicki (aus [12]) die unteren und oberen Grenzen

LW

h1= 3

(√8Fr2

1 + 1 − 3)

LW

h1

=1

20

(81√Fr2

1 + 1 − 2Fr21 − 241

)

in Abhangigkeit von den Oberwasserverhaltnissen angegeben.

Schussrinnen und Tosbecken

Hinter Stauanlagen, wie Talsperren sind z.B. Hochwasserentlastungsanlagen anzubringen, beidenen große Hohenunterschiede auf sehr kurzen Weglangen zu uberwinden sind. Hierzu wer-den Schussrinnen angeordnet, deren Gefalle in der Regel so groß ist, daß die Stromung in derschießenden Zustand ubergeht.Im Nachlauf einer solchen Schussrinne wird der schießende Abfluss an irgendeiner Stelle wie-der in den stromenden unter Ausbildung eines Wechselsprungs mit den damit verbundenenSohlbelastungen ubergehen. Zur Vermeidung von wird dieser Ubergang in sogenannten Tos-becken (eng. stilling basin) herbeigefuhrt.In der Bauweise unterscheidet man zunachst einmal ebene und raumliche Tosbecken. Beimebenen Tosbecken gibt es keine Variationen in der Breite, es reicht also aus, die Stromungs-prozesse in der vertikalen Ebene zu betrachten. Raumliche Tosbecken sind zumeist mit einer

Seite 104 4.5. Kontrollbauwerke

Abbildung 4.8: Beispiel einer Schussrinne mit Tosbecken und Gegenstufe.

Aufweitung des Einlaufquerschnitts ausgestattet, wodurch die Stromungsverhaltnisse in al-len drei Raumdimensionen Variationen aufweisen. Im folgenden seien nur ebene Tosbeckenbetrachtet, fur die raumliche Bauweise sei auf fortfuhrende Literatur z.B. in [11], [3] hinge-wiesen.

Zur Bemessung eines solchen Tosbeckens sind der Beginn des Wechselsprungs sowie dessenLange zu bestimmen. Da diese meist sehr groß ist, versucht man uber verschiedene Einbautenwie Gegenschwellen oder Storkorper die Tosbeckenlange zu verringern.

4.5 Kontrollbauwerke

Mit Kontrollbauwerken in Fließgewassern kann der Wasserstand im Oberlauf des Bauwerksund in gewissen Grenzen der Abfluss gesteuert werden.

4.5. Kontrollbauwerke Seite 105

Schütz

hO

a

p = 0O

uA QA�a

u /2gA

2

u /2gO

2

Abbildung 4.9: Freier Abfluss unter einem Schutz.

4.5.1 Unterstromte Bauwerke

Wir wollen den freien Abfluss unter einem Schutz in Abbildung 4.9 betrachten. Ohne an dieserStelle auf die konstruktive Gestaltung derselben einzugehen, sollte bei diesen die Hubhohe anaturlich variierbar sein, damit eine Regelungsmoglichkeit besteht.Ist die Breite B gegenuber der Hubhohe a groß, dann konnen die Seitenwandeinflusse ver-nachlassigt werden. Die Bernoulligleichung wird fur eine Stromlinie zwischen der freien Ober-flache vor und hinter dem Schutz angesetzt:

h0 +u2

0

2g= δa+

u2A

2g

Die Wassertiefe des auslaufenden Strahls muß nicht gleich der Hubhohe des Schutzes sein.Dies berucksichtigt der Kontraktionsbeiwert δ, der in Abhangigkeit von der Ausbildung derAusflusskante Werte zwischen 0.62 ≤ δ ≤ 1.0 annehmen kann.Wegen der kurzen Strecke zwischen Schutz und vena contracta (Einschnurstelle) konnen dieEnergieverluste durch Sohlreibung vernachlassigt werden. Ferner gilt die Kontinuitatsglei-chung

Q = const = u0Bh0 = uABδa

Hiermit kann man die Zustromgeschwindigkeit u0 eliminieren und es folgt fur die Ausfluss-geschwindigkeit uA


uA =

√√√√2gh0 − δa

1 − δa2

h20

=

√2gh2

0

h0 + δa

bzw. fur den Abfluss QA

QA = Baδ

√2gh2

0

h0 + δa= μBa

√2gh0 mit μ = δ

√h0

h0 + δa= δ

√1

1 + δa/h0

Im letzten Teil der Gleichung wurde die Abflussbeziehung auf die Form der ToricellischenAbflussformel gebracht, wobei ein Abflussbeiwert μ eingefuhrt wurde. Durch die Einfuhrungdieses Beiwertes hat man die Moglichkeit, beliebig gestaltete Schutze durch die empirischeBestimmung von μ zu beschreiben.Was erreicht man nun, wenn man die Hubhohe a erhoht oder erniedrigt ? Bei einer Erniedri-gung der Hubhohe erniedrigt sich zunachst der Abfluss QA. Bei konstanten Zufluss fuhrt diesalso zu einer Erhohung des Wasserstandes vor dem Schutz, wodurch auch der Abfluss QA

unter dem Schutz steigt. Damit kann man mit einem Schutz den Abfluss nur sehr kurzfristig,aber den oberstromigen Wasserstand vor dem Schutz regeln.

4.5.2 Uberstromte Bauwerke

Wir betrachten die Situation des sogenannten vollkommenen Uberfalls in Abbildung 4.10 undwollen auch hier den Abfluss als Funktion des Wasserstandes im Oberlauf bestimmen. Dazubezeichnen wir den sich uber der Wehrkrone einstellenden Wssserstand als Uberfallhohe hu.Eine einfache Herleitung des Zusammenhangs ergibt sich aus der Tatsache, daß sich uberder Krone schießender Abfluss einstellt, wodurch eine Beeinflussung des Oberwassers vomUnterwasser nicht moglich ist. Auf der Wehrkrone findet also ein Fließwechsel von Stromennach Schießen statt, womit die sogenannte Uberfallhohe hu gleich der Grenzwassertiefe wird:

2

3hGr =

2

3hu = 3

√Q2

gB2

Damit folgt fur die uber das Wehr stromende Wassermenge Q die nach Poleni benannte For-mel:

Q =2

3μB

√2gh

32u

Der dimensionslose Uberfallbeiwert μ berucksichtigt dabei die geometrische Form des Weh-res, er wird spater spezifiziert.Die zweite, etwas allgemeinere Herleitung geht von der Bernoulligleichung aus. Sie wird voneinem Punkt oberstrom des Uberfalls an der Wasseroberflache in den Uberfallstrahl hinein

4.5. Kontrollbauwerke Seite 107

uo

wp =0o

p po

z

dAdQ

Q

u /2go

2

hüH

Abbildung 4.10: Situation bei vollkommenen Uberfall.

ausgewertet. Dort kann man annehmen, daß sich der Uberfallstrahl wie ein frei fallender Aus-fluss verhalt, in dem der Druck dem Luftdruck entspricht. Mißt man die vertikale Koordinatez von der Wehrkrone aus, dann wird die Bernoulligleichung zu

hu +u2

0

2g= z +

u(z)2

2g⇒ u(z) =

√2g(hu − z) + u2

0

wobei u(z) die Geschwindigkeitsverteilung im Abflussstrahl ist. Integriert man die Geschwin-digkeit uber die Wassertiefe uber der Wehrkrone, dann bekommt man fur den spezifischenAbfluss pro Breite q den Zusammenhang:

q =

hu∫0

√2g(hu − z) + u2

0dz =2

3

√2g

⎛⎝(hu +

u20

2g

) 32

−(u2

0

2g

) 32

⎞⎠

Die Multiplikation mit der Wehrbreite B erbringt den Gesamtabfluss, hier wird aber wiederder Uberfallbeiwert μ zur Berucksichtigung der Wehrform und sonstiger Eventualitaten hin-zugezogen:

Q =2

3μ√

2gB

⎛⎝(hu +

u20

2g

) 32

−(u2

0

2g

) 32

⎞⎠

Diese allgemeinere Form geht fur u0 = 0 in die Formel von Poleni uber.


w/H 0.15 0.40 0.72 1.2 ≥ 3

μ 0.65 0.70 0.72 0.73 0.74

Tabelle 4.3: Uberfallbeiwerte μ bezogen auf die Energiehohe H nach [7].

Abbildung 4.11: Messwehr zur Bestimmungdes Sickerwasserflusses im Glen Canyon Dam,USA. Im Hintergrund ist die Druckmessein-richtung zur Bestimmung des Wasserstandesim Oberwasser zu erkennen.

Der Uberfallbeiwert μ hangt insbesondere von der oberstromseitigen Wehrhohe und derKrummung des Uberfallstrahls ab. Ist dieser stark gekrummt, so tritt eine Zentrifugalbeschleu-nigung auf, durch welche der Druck im Strahl vermindert und die Geschwindigkeit entspre-chend der Bernoulligleichung erhoht wird. Bei sehr breitkronigen Wehren, bei denen die late-ralen Rander keinen Einfluss auf die Stromung haben, ist der Uberfallbeiwert im Wesentlichenvon dem Verhaltnis der Wehrhohe w zur Gesamtenergiehohe H = hu +

u20

2gabhangig. Heine-

mann und Feldhaus geben dabei die in Tabelle 4.3 dargestellten Werte an.

Im Unterschied zu einem Schutz wird bei einem Wehr im Oberlauf durch die Wehrhohe eineMindestwassertiefe garantiert, was bei einem Schutz nicht der Fall ist.

Eine weitere Anwendung der Wehrformel von Poleni sind Messwehre zur Bestimmung desAbflusses in technischen Gerinnen (siehe z.B. Abbildung 4.11), da dieser direkt proportionalzum Oberwasserstand ist, der mit einer enprechenden Einrichtung gemessen wird. Die Bezie-hung zwischen Oberwasserstand und Abfluss wird dann allerdings nicht durch die Formel vonPoleni, sondern durch Kalibrierung bestimmt.


a

Abbildung 4.12: Zu Aufgabe 1.

b

h

�


4.6 Zusammenfassung

Die Grundaufgabe bei der Berechnung von stationaren Stromungen in offenen Gerinnen be-steht in der Ermittlung des Wasserstandes bei gegebenem Zufluss. Aus der Kontinuitatsbedin-gung bekommt man dann sofort die mittlere Stromungsgeschwindigkeit.Zur Losung der Grundaufgabe stehen die Kontinuitatsgleichung (4.1), die Bernoulligleichung(4.2) und das Gesetz von Darcy-Weisbach (4.3) mit parametrisierten Beiwerten fur die konti-nuierlichen Verluste zur Verfugung. Theoretisch lassen sich diese Beiwerte durch die Auswer-tung der Impulsgleichung oder aus Experimenten bestimmen.

4.7 Ubungen

1. Es soll eine kleinere Menge Wasser (Q = 0.1 m3/s) in einem glatten Holzgerinnegleichformig abgeleitet werden. Das Gelande laßt ein Sohlgefalle ISo = 0.005 zu. Ge-ben Sie das fur die Bemessung des Gerinnes notwendige Maß an.

2. Ein regulierte Wasserlauf mit trapezformigen Querschnitt und einem Boschungswinkelvon 45o hat eine Sohlbreite von b = 1.5 m und eine Wassertiefe von h = 1.2 m. Boschungund Sohle besitzen eine aquivalente Rauheit von ks = 1 mm.

Bei welchem Gefalle betragt die Stromungsgeschwindigkeit 0.7 m/s?

3. Ein rechteckiger Kanal aus altem Beton fuhrt die Wassermenge Q = 2.5 m3/s und ist 3 mbreit.

(a) Bei welchem Gefalle ISo betragt die Wassertiefe gerade h = 1 m?


OW

UWh

h

1

2


h h

h1

3

2


(b) Kontrollieren Sie dreifach (uber die Bedingung der Grenztiefe, der FroudeschenZahl und des Grenzgefalles), ob der Normalabfluss stromend oder schießend ist.

4. Die Wassertiefen ober- und unterhalb eines unterstromten Wehres betragen h1 = 7.5 mund h2 = 0.6 m. Der Kanal ist 15 m breit. Berechnen Sie

(a) die Abflussmenge im Unterwasser

(b) die Anstromgeschwindigkeit des Oberwassers

(c) und die Druckkraft auf das Wehr.

5. An einem unterstromten Wehr werden die Wassertiefen h2 = 0.1 m und h3 = 0.5 m

gemessen, die Reibung sei vernachlassigbar.

(a) Welche Wassermenge wird abgefuhrt?

(b) Wie hoch ist der Aufstau vor dem Wehr?

6. Ein Rechteckgerinne wird von einer Schwallwelle durchlaufen. Hinter der Schwallwellefließt das Wasser mit der Geschwindigkeit 0.3 m/s.


= 0 = 0,3 m/s 0,9 mu u

h=?


h

b b b

h

z

h1 23

=5,0m

=3,0m =3,0m =2,0m

=3,8m

=1,0m

=4,5mAnsicht

Draufsicht

1 2 3

1 32


(a) Berechnen Sie die (gegenuber der Wassertiefe kleine) Wellenhohe Δh!

(b) Ist der Abfluss schießend oder stromend?

7. In dem in Abbildung 4.17 dargestellten Gerinne wurden in den Querschnitten 1,2 und 3die Wassertiefen h1, h2 und h3 gemessen.

(a) Wie groß ist der Abfluss in den drei Querschnitten?

(b) Welche Fließzustande (Stromen oder Schießen) herrschen in den drei Querschnit-ten?


Kapitel 5

Stromungsmaschinen

Die Umwandlung von Stromungsenergie in andere Energieformen und umgekehrt erfolgt inStromungsmaschinen.Je nach der Richtung der Energieumwandlung unterscheidet man Arbeitsmaschinen und Kraft-maschinen. In einer Stromungsarbeitsmaschine wird Bewegungsenergie des Fluids erzeugt.Beispiele hierfur sind Kreiselpumpen, Ventilatoren, Verdichter fur kompressible Fluide, aberauch Schiffsschrauben, da die Bewegung des Schiffes auch als Relativbewegung des Wasserszum Schiff verstanden werden kann.In einer Stromungskraftmaschine wird der Stromung Energie entzogen und in andere Ener-gieformen umgewandelt. Beispiele sind die im Energiewasserbau eingesetzten Turbinen, dieDampfturbinen in fossilen und nuklearen Warmekraftwerken, die Gasturbinen in Strahlflug-zeugen sowie Windkraftturbinen.Im Maschinenbau werden die Kolben- oder Verdrangerpumpen nicht den Stromungsmaschi-nen zugeordnet, da sie keine kontinuierliche Stromung erzeugen, wohl aber Fluid pulsatorischtransportieren [4].

5.1 Kenngroßen von Stromungsmaschinen

Stromungsmaschinen arbeiten mit der Bewegung eines Fluids, die zunachst erst einmal quan-tifiziert werden muss. Hierzu kann man entweder den Massenstrom m verwenden, der proZeiteinheit durch die Maschine lauft, oder bei inkompressiblen Fluiden den VolumenstromQ.Die zweite wichtige Kenngroße einer Stromungsmaschine ist die Energie, die auf die

el. Netz � Motor � Pumpe � Stromung

Abbildung 5.1: Energieumwandlungen in einem Pumpsystem.

113

Seite 114 5.1. Kenngroßen von Stromungsmaschinen

Stromung � Turbine � Generator � el. Netz

Abbildung 5.2: Energieumwandlungen in einem Generatorsystem.

Stromung ubertragen oder ihr entzogen wird. Es ist naheliegend, sie auf die Fluidmasse zubeziehen, da eine Stromungsmaschine als umso effektiver bezeichnet werden kann, je mehrEnergie sie pro Einheitsmasse entzieht oder auf diese ubertragt. Im Maschinenbau bezeich-net man diese Große als spezifische Stutzenarbeit Υ, sie wird in J/kg bzw. m2/s2 gemessen.Sie soll eine positive Große sein, somit ist sie bei einer Arbeitsmaschine als Energiedifferenzzwischen Ein- und Austrittsstutzen und bei einer Kraftmaschine zwischen Aus- und Eintritts-stutzen definiert.Da Energie pro Masse gleich Leistung pro Massendurchfluss �Q ist, berechnet sich die geern-tete oder aufzubringende Leistung als:

P = �ΥQ

In der Hydraulik wird die Energie der Stromung als Energiehohe hE mit der Bernoulliglei-chung

hE =u2

2g+

p

�g+ z

gemessen. Indiziert die Ziffer 1 den Eintritt in die Stromungsmaschine und die Ziffer 2 denAustritt, dann bezeichnet man als Forderhohe einer Pumpe

hP =u2

2 − u12

2g+p2 − p1

�g+ z2 − z1

bzw. als Fallhohe einer Turbine

hT =u1

2 − u22

2g+p1 − p2

�g+ z1 − z2

In beiden Fallen berechnet sich dann die spezifische Stutzenarbeit als:

Υ = ghP bzw. Υ = ghT

In der Regel sind die vertikalen Abmessungen einer Stromungsmaschine sehr klein, und oft-mals ist die Nennweite der Eintrittsrohres ahnlich dem des Austrittsrohres, so daß z1 ≈ z2und u1

2 ≈ u22 sind. Am Eintrittsstutzen einer Pumpe herrscht daher ein wesentlich großerer

Druck als am Austrittsstutzen. Bei der Turbine sind die Verhaltnisse genau umgekehrt. Da-her bezeichnet man den Eintrittsstutzen der Turbine bzw. den Austrittsstutzen der Pumpe als

5.1. Kenngroßen von Stromungsmaschinen Seite 115

Druckstutzen und den Austrittsstutzen der Turbine bzw. den Eintrittsstutzen der Pumpe alsSaugstutzen.Aus der spezifischen Stutzenarbeit d.h. der Energieanderung pro Fluidmasse kann man auchdirekt die Leistung d.h. die zu- oder abgefuhrte Energie durch Multiplikation mit dem Mas-senstrom m = �Q berechnen:

P = �QghP bzw. P = �QghT

In hydraulischen Berechnungen von einem Rohrelement mit Pumpe bekommt die Bernoulli-gleichung die Form:

u12

2g+p1

�g+ z1 +

P

�gQ=u2

2

2g+p2

�g+ z2 + hV

Entsprechend wird eine Turbine auf der rechten Seite der Gleichung berucksichtigt.Um eine bestimmte Energielinienerhohung zu erreichen, muß die durch die Pumpe erbrachteLeistung umso großer sein, desto großer die Dichte des Fluides und desto großer der Volumen-fluss durch die Pumpe ist.Die der Rohrstromung durch eine Pumpe zugefuhrte Leistung P entspricht allerdings nichtdem, was letztendlich an elektrischer Energie zu Buche schlagt, da sowohl der Motor, der dieelektrische in mechanische, als auch die Pumpe, die mechanische in stromungsmechanischeEnergie umsetzt, nur einen gewissen Wirkungsgrad kleiner als eins haben. Hat der Motoreinen Wirkungsgrad ηM und die Pumpe ηP , so ist die erforderliche elektrische Leistung:

Pel =P

ηMηP

In Turbinen treibt die Stromung ein Laufrad an, dessen Achse zu einem Generator weiter-gefuhrt wird. Fur die Energieerzeugung mit einer Turbine gilt der reziproke Zusammenhang:

Pel = PηTηG

Hier wird die elektrische Nutzleistung durch den Wirkungsgrad der Turbine ηT und des Gene-rators ηG verringert.Die wichtigste Aufgabe bei der Konstruktion von Stromungsmaschinen besteht darin,moglichst große Wirkungsgrade der Energieumwandlung zwischen Stromung und Turbinebzw. Pumpe zu erzielen. Im Wasserbau steht dagegen die Wahl der richtigen Pumpe oder Tur-bine im Vordergrund. Dies ist deshalb nicht ganz einfach, weil der Wirkungsgrad ηP Funktiondes Durchflusses Q ist, die einen Optimalwert Qopt und darum abfallende Flanken besitzt.Zusammenfassend haben wir in diesem Abschnitt die Stromungsmaschinen Pumpe und Tur-bine von ihrem Ergebnis auf der Wasserseite charakterisiert, also aus der Veranderung derKenngroßen der Stromung vor und hinter der Stromungsmaschine. Diese Vorgehensweise gibtkeinerlei Aufschlusse uber die Konstruktion und das Innenleben der Stromungsmaschine. Demwollen wir uns im folgenden Abschnitt annahern.

Seite 116 5.2. Energieumsetzung im Laufrad

ra

ri

�a

�i

Abbildung 5.3: Bezeichnungen am radialenLaufrad, welches von außen nach innen durch-stromt wird.

5.2 Energieumsetzung im Laufrad

Nach dem Drehimpulserhaltungssatz verbleibt jedes Laufrad in gleichformiger Rotation, so-lange ihm keine Rotationsenergie (pro Zeit) entzogen wird. In einer Turbine wird diese Ver-lustleistung P im Wesentlichen zum Antrieb eines Generators genutzt, der damit elektrischeEnergie produziert.Ein solches Laufrad wurde also nach kurzer Zeit stehen bleiben, wenn ihm nicht durch diefortwahrende Wirkung eines Drehmoments M aus der Durchstromung wieder Energie zu-gefuhrt wurde. Damit das Laufrad also immer noch gleichformig rotiert, muss

P = Mω

gelten.Zur Berechnung des Drehmoments M einer Stromung in einem Laufrad betrachten wir dasin Abbildung 5.3 skizzierte Beispiel eines radialen Laufrades, welches von innen nach außenmit Fluid durchstromt wird. Wir berechnen das an einem beliebigen Radius ‖�r‖ ∈ [ri, ra]

angreifende, die Rotation antreibende Drehmoment als

�M = �r × �F = �r × �p

Dabei spielt beim Drehmoment um die Rotationsachse M nur die Kraft, d.h. die Impulsande-rung in Umlaufrichtung pθ eine Rolle:

M = rpθ

Da der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit ist, ist die Anderung des radialenImpulses,

5.2. Energieumsetzung im Laufrad Seite 117

pθ = muθ +muθ = muθ

wenn man einmal annimmt, das die Umlaufgeschwindigkeit des Laufrades konstant ist. Damitist das bei r wirkende Drehmoment:

M = rmuθ

Das Fluid erfahrt im Laufrad eine Momentanderung, die sich aus der Differenz der Momentean Außen- und Innenradius bestimmt:

M = m (rauθa − riuθi)

Die Leistung der RotationMω = 2πνM ist nun gleich der Leistung aus der Energieumsetzungim Laufrad:

P = 2πνM = 2πνm (rauθa − riuθi) = mΥ

Damit bekommt man fur die spezifische Stutzenarbeit die von Leonard Euler 1754 aufgestell-ten allgemeine Stromungsmaschinen-Hauptgleichung,

Υ = ±2πν (rauθa − riuθi)

deren Analyse die grundlegenden Konstruktionsmerkmale der Laufrader liefert. Dazu mussenwir die Absolutgeschwindigkeiten des Fluids am Ein- und Auslauf des Rades kennen. Wirbeginnen mit den Bewegungsgeschwindigkeiten �w = (wr, wθ)

t relativ zum Laufrad, die denAbsolutgeschwindigkeiten in einem stehenden Laufrad entsprechen. Deren Radialkomponen-ten bestimmen sich aus der Kontinuitatsgleichung als:

wr,i =Q

2πriBiund wr,a =

Q

2πraBa

Gehen wir nun davon aus, daß sich die Stromung in Stromfaden parallel zum Profil der Schau-feln ausbildet, dann bekommt man fur die Umlaufkomponente der Relativgeschwindigkeit:

wθ,i = − Q

2πriBi

cosβi

sin βiund wθ,a = − Q

2πraBa

cos βa

sin βa

Die Absolutgeschwindigkeiten bekommt man durch Addition der Rotationsgeschwindigkeit2πνr auf die Umlaufkomponente:

uθ,i = 2πνri − Q

2πriBi

cosβi

sin βiund uθ,a = 2πνra − Q

2πraBa

cosβa

sin βa

Damit wird die spezifische Stutzenarbeit zu:

Seite 118 5.2. Energieumsetzung im Laufrad

�i wr,i

w�,i

w

Innenradius

Schaufel

Abbildung 5.4: Geometrische und kinemati-sche Details am Laufradeintritt.

Υ = 4π2ν2r2a −

Qν

Ba

cosβa

sin βa− 4π2ν2r2

i +Qν

Bi

cosβi

sin βi

Wir wollen annehmen, daß die Turbine innen drallfrei angestromt wird, d.h. das Fluid direkt anden Schaufeln noch keine Geschwindigkeitskomponente uθ,i aufweist. Aus dieser Annahmefolgt fur den Durchsatz als Funktion der Kreisfrequenz:

Q = 4π2νr2iBi

sin βi

cosβibzw. ν =

Q

4π2r2iBi

cosβi

sin βi

Zu einem gegebenen Durchsatz Q gehort also eine feste Drehzahl ν, bei der dann die spezifi-sche Stutzenarbeit

Υ =Q2

4π2r2i

cosβi

sin βi

(r2a

r2iB

2i

cosβi

sin βi− 1

BiBa

cosβa

sin βa

)

= 4π2ν2

(r2a − r2

i

Bi

Ba

sin βi

cosβi

cosβa

sin βa

)

geleistet wird.Die geometrische Form des Laufrades ist energetisch dann optimal, wenn der Eintrittswinkelβi moglichst klein ist, βi → 0, und der Austrittswinkel 90o, also βa → π/2 ist. Dabei darf derInnenwinkel allerdings nicht exakt Null sein, weil nach der vorhergehenden Gleichung dannkein Fluid in das Laufrad eintritt (Q = 0), und das Schaufelrad den Eintritt versperrt. Somit

5.3. Francisturbinen Seite 119

Abbildung 5.5: Spiralgehause um eine Francisturbine.

wird man zunachst mit der vorhergehenden Gleichung in Abhangigkeit vom Zufluss Q undder zu erzielenden Drehzahl ν den Innenradius ri, den Eintrittswinkel βi und die InnenbreiteBi des Laufrades bestimmen.Der Austrittswinkel lenkt den Strahl direkt in radialer Richtung ab. Ein Eindruck uber dieinsgesamt hieraus resultierende geometrische Form ist aus Abbildung 5.3 zu gewinnen.Zusammenfassend findet in einem radialen Turbinenlaufrad die großte Impulsumlenkung unddanit auch die Drehmomenterzeugung am Innen- d.h. Eintrittsradius statt, wahrend am Aus-trittsradius kaum mehr Impulsumlenkung stattfindet. Dies ist deswegen optimal, weil derStrahl am Innenradius laut Kontinuitatsgleichung ein viel großere Geschwindigkeit als amAußenradius hat.

5.3 Francisturbinen

Wir wollen nun untersuchen, ob eine Umkehrung der Durchfließrichtung des Laufrades vonaußen nach innen gunstig oder ungunstig ist oder gar keinen Unterschied fur die Energiege-winnung erbringt.Dabei ist zunachst einmal technisch zu bewerkstelligen, daß das Laufrad uber seinen ganzenUmfang gleichmaßig mit Wasser beaufschlagt wird. Dies geschieht in einem Spiralgehause

Seite 120 5.3. Francisturbinen

(siehe Abbildung 5.5), welches sich um das Laufrad legt. Der Durchmesser des Spiralgehausesnimmt in Stromungsrichtung kontinuierlich so ab, daß dem Laufrad uber seinen Umfanggleichmaßig Wasser zugefuhrt wird.Damit ist die Anstromung nicht mehr drallfrei, sondern hat einen Wert uθa �= 0. Als Beziehungzwischen Durchfluss und Drehzahl bekommt man:

ν =uθ,a

2πra

+Q

4π2r2aBa

cos βa

sin βa

bzw. Q = 2πraBa(2πνra − uθ,a)sin βa

cosβa

Die spezifische Stutzenarbeit laßt sich aus der Stromungsmaschinen-Hauptgleichung und derAbsolutgeschwindigkeit in Umlaufrichtung am Innenradius als

Υ = 2πνrauθa − 4π2ν2r2i + ν

Q

Bi

cosβi

sin βi

aufstellen. Ersetzt man nun Q mit der obigen Durchflussbeziehung, so bekommt man nach einwenig Umordnen:

Υ = 4π2ν2r2a

(Ba

Bi

sin βa

cos βa

cosβi

sin βi

− 1

)+ 2πνrauθa

(1 − Ba

Bi

sin βa

cosβa

cosβi

sin βi

)

Die spezifische Stutzenarbeit besteht hier aus zwei Anteilen, einem Rotationsanteil und einemAnteil aus der Anstromungsgeschwindigkeit aus dem Spiralgehause. Wird die Schaufelgeo-metrie auf die Optimierung des Rotationsanteils angepaßt, dann arbeitet das Turbinenrad furβa = 90o und βi = 0 optimal. Somit hatte auch die von außen nach innen durchstromte Turbinedie in Abbildung 5.3 dargestellten Schaufelform.Das von außen nach innen durchstromte Laufrad ist in der Francisturbine (siehe Abbildung5.6) technisch verwirklicht. Neben der radialen Bewegungsrichtung werden die Wassermassenhier durch die doppelt gekrummten Schaufeln auch in achsialer Richtung umgelenkt, so daßder auslaufende Strahl die Turbine parallel zur Laufradachse verlassen kann.

Die Druckzahl

In allen radialen Stromungskraftmaschinen wird das Laufrad von außen nach innen und nichtumgekehrt durchstromt, also das Prinzip der Francisturbine verwirklicht. Um den Grundhierfur zu verstehen, muß man die spezifische Stutzenarbeit der beiden Arbeitsprinzipien untergleichen außeren Bedingungen vergleichen.Zur Vereinfachung dieses Vergleiches fuhrt man dimensionslose Kennzahlen ein. Dabei wirdman eine Turbinenkonstruktion als einer anderen uberlegen beurteilen, wenn sie bei gleicherDrehzahl und gleichen Außenabmessungen eine großere spezifische Stutzenarbeit erbringt.Dieses Kriterium wird durch die sogenannte Druckzahl

ψ =Υ

2π2r2aν

2

5.3. Francisturbinen Seite 121

Abbildung 5.6: Laufrad einer Francisturbine.

Seite 122 5.4. Kaplanturbinen

ra

ri

1 2

�

Abbildung 5.7: Bezeichnungen amAchsialrad.

gemessen, die dimensionslos ist. Die Benamung ist irrefuhrend, da die Druckzahl zum Ver-gleich der Stutzenarbeit also der Energieerzeugung verschiedener Anlagen verwendet wird.Fur das von innen nach außen durchstromte Laufrad ist die Druckzahl:

ψi→a = 2

(1 − r2

i

r2a

Bi

Ba

sin βi

cosβi

cos βa

sin βa

)< 2

Fur die Francisturbine ergibt sich bei Vernachlassigung des Anstromungsanteils:

ψa→i = 2

(Ba

Bi

sin βa

cos βa

cos βi

sin βi− 1

)> 2

Die Entscheidung fallt somit sehr leicht.

5.4 Kaplanturbinen

In Kaplanturbinen sind einlaufender und auslaufender Strahl parallel zur Laufradachse orien-tiert, man bezeichnet sie daher auch als Achsialturbine.Die Bestimmung der spezifischen Stutzenarbeit der Kaplanturbine ist nicht so einfach wie diedes radialen Laufrades, da sie eigentlich eine Integration uber den Durchflussquerschnitt bein-haltet. Wir wollen hier sehr vereinfacht davon ausgehen, daß sich dabei alle erforderlichenMittelwerte auf einem Radius rm einstellen, der zwischen dem Achsradius ri der Turbinenund dem Außenradius ra liegt, um im Ergebnis das Prinzip und den besonderen Anwendungs-bereich der Kaplanturbine nachvollziehen zu konnen.Der durch den Eintrittsstutzen laufenden Wasserstrahl der MengeQ wird um die Turbinenach-se verteilt, so daß sich eine uber den Querschnitt gemittelte Achsialgeschwindigkeit

ua =Q

π (r2a − r2

i )

5.4. Kaplanturbinen Seite 123

Abbildung 5.8: Laufrad einer Kaplanturbine auf dem Campusgelande der Universitat der Bun-deswehr Munchen. Das von 1944 bis 1987 im Innkraftwerk Egglfing eingesetzte Laufrad hateinen Durchmesser von 5.1 m wurde bei einer Fallhohe von 10.5 m und einem Durchfluss von131 m3/s eingesetzt. Dabei erzeugt es eine Leistung von 14 000 kW.

einstellt. An der stehenden Schaufel wurde dieser Strahl so umgekenkt werden, daß sich dieUmlaufgeschwindigkeit ua cot β einstellt. Da sich die Schaufel aber entgegengesetzt zu dieserGeschwindigkeit dreht, gilt in jedem Querschnitt:

uθ = 2πνr − ua cot β = 2πνr − Q

π (r2a − r2

i )cot β

Im Eintrittsquerschnitt weist die Anstromung noch keinen Drall in Umlaufrichtung des Lauf-rades auf. Man bekommt so die Beziehung zwischen Drehzahl ν und Durchfluss Q:

Q = 2πνrmπ(r2a − r2

i

)tanβ1 bzw. ν =

Q

2π2rm (r2a − r2

i )cotβ1

Die Maschine lauft also umso schneller, desto steiler die Schaufeln gegen die Anstromunggekippt sind.Unter der Annahme der drallfreien Anstromung erbringt die Kaplanturbine die spezifischeStutzenarbeit

Υ = −2πνrmuθ2 = −4π2ν2r2m + 2νrm

Q

(r2a − r2

i )cot β2

Seite 124 5.5. Freistrahl- oder Peltonturbinen

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100

Austrittswinkel [°]

Au

str

itts

win

ke

l[°

]

Abbildung 5.9: Theoretischer Zusam-menhang zwischen Ein- und Aus-trittswinkel bei der Kaplanturbine.

bzw. nach Elimination von Q in Abhangigkeit von der Drehzahl ν

Υ = 4π2ν2r2m (tan β1 cot β2 − 1)

und vom Durchfluss Q:

Υ =Q2

π2 (r2a − r2

i )2

(cot β1 cot β2 − cot2 β1

)

Mit diesem Ausdruck kann man nun beginnen, das Flugelprofil zu optimieren. So ist die spe-zifische Stutzenarbeit dann optimal, wenn sich der Eintrittswinkel β1 als Funktion des Aus-trittswinkels durch die Formel

β1 = β2 − arctan

(sin 2β2

cos 2β2 − 3

)

berechnet. Insgesamt arbeitet die Kaplanturbine dann ideal, wenn beide Winkel moglichstklein sind, d.h. die Turbinenblatter nahezu senkrecht zur Stromung ausgerichtet sind. Nachdem Zusammenhang zwischen Durchfluss und Drehzahl stellen sich dann sehr hohe Drehzah-len ein, weshalb man die Kaplanturbine auch als Schnelllaufer bezeichnet.

Das Ausfuhrungsbeispiel einer Kaplantubine in Abbildung 5.8 weist allerdings eher Ein- undAustrittswinkel um die 45o auf. Wir werden spater das Phanomen der Kavitation als Restrikti-on kennenlernen, die die Konstruktore davon abgehalten hat, mit dieser Turbine weitaus mehrEnergie zu ernten.

5.5. Freistrahl- oder Peltonturbinen Seite 125

Abbildung 5.10: Abbildung aus der Patentschrift von Pelton zu der nach ihm benannten Tur-bine.

Seite 126 5.5. Freistrahl- oder Peltonturbinen

Abbildung 5.11: Peltonlaufrad einer Kleinwasserkraftanlage und Detailansicht eines Bechers.

5.5 Freistrahl- oder Peltonturbinen

Die Freistrahlturbine wurde um 1880 von dem Amerikaner Pelton entwickelt. In dieser wirdder Wasserstrahl uber mehrere regelbare Dusen auf an einem Laufrad angebrachte Becherscha-len gelenkt. In diesen Becherschalen wird der Strahl um nahezu 180o umgelenkt, wodurch diekinetische Energie des Wasserstrahls nahezu vollstandig in Impulskraft am Radumfang umge-setzt wird.Fur die Peltonturbine sind der Radius R des Strahlein- und austritts in das Laufrad gleich;damit nimmt die Eulersche Turbinenformel die Form

P = ωRm (uθe − uθa)

an, worin uθe und uθa die Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten sind. Die Eintrittsgeschwindig-keit ist gleich der Anstromgeschwindigkeit va, mit der das Wasser aus der Duse auf die einzel-ne Schaufel trifft. Spannender ist die Bestimmung der Austrittsgeschwindigkeit. Dazu legenwir ein Kontrollvolumen um einen der Becher und analysieren die Massenbilanz in diesem.Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß sich das Kontrollvolumen mit der Geschwindigkeitc in Richtung des Eintrittsstrahls von diesem fortbewegt. Sind die Querschnittsflachen des Ein-und Austrittsstrahls gleich groß, dann gilt den Betrag der Geschwindigkeit des Austrittstrahls:

ua = va − 2c

Dabei ist die Fortbewegungsgeschwindigkeit des Bechers c = ωR. Bei der Peltonschaufel wirdder Austrittsstrahl zudem um den Winkel β abgelenkt, womit fur die Autrittsgeschwindigkeitin Umlaufrichtung

uθa = (ωR− (va − ωR)) cosβ

gilt. Der Ablenkwinkel wird durch die Ausbildung der Becherschalen sehr klein angesetzt, sodaß

5.6. Dimensionierung von Pumpen Seite 127

Abbildung 5.12: Kinematische Verhaltnisse an der Peltonschaufel.

uθa = 2ωR− va

ist. Fur die durch die Peltonturbine erzeugte Leistung gilt somit:

P = ωRm (2va − 2ωR)

Die maximale Leistung bestimmt man durch Optimierung der Rotationsgeschwindigkeit ω:

dP

dω= Rm (2va − 4ωR) = 0 ⇒ ωR =

1

2va

Damit ist die maximale, in einer Peltonturbine erzielbare Leistung:

P =1

2mv2

a = 2m(ωR)2 bzw. Υ =1

2v2

a

Die maximalen Leistungen von Peltonturbinen liegen bei etwa 200 MW. Peltonturbinenbenotigen einen Freihang.

5.6 Dimensionierung von Pumpen

Durch Pumpen wird einem Rohrsystem hydraulische Energie zugefuhrt. Von der Bauart unter-scheidet man zunachst einmal Verdrangerpumpen und Kreiselpumpen. Zu ersteren zahlt dieHubkolbenpumpe, bei der sich ein Kolben in einem Pumpengehause hin- und herbewegt. BeimHerausziehen entsteht ein Unterdruck im Pumpengehause, wodurch ein Saugventil geoffnetwird und das Fordermedium in das Pumpengehause dringt. Beim darauffolgenden Eindruckendes Kolbens wird das Fordermedium dann uber ein Druckventil in die Rohrleitung gepresst.

Seite 128 5.6. Dimensionierung von Pumpen

Abbildung 5.13: Kreiselpumpe.

Bei Kreiselpumpen ubertragen rotierende Schaufeln kinetische Energie auf den Forderstrom.Die Molekule des Fordermediums werden dabei zum Laufradrand hin beschleunigt und dort indas Auslaufrohr umgelenkt. Dabei wird die kinetische Energie der Molekule in Druckenergieumgewandelt.

5.6.1 Die Gesamtforderhohe oder Anlagenkennlinie

Wir schauen noch einmal auf die Bernoulligleichung eines Rohrelements mit Pumpe:

P

�gQ=u2

2 − u12

2g+p2 − p1

�g+ z2 − z1 + hV

Diese etwas andere Schreibweise enthalt auf der rechten Seite alle die Terme, die mit demRohrelement zu tun haben, wohingegen die linke Seite die Pumpencharakteristik spezifiziert.Fur die rechte Seite fuhren wir nun die Abkurzung

hA :=u2

2 − u12

2g+p2 − p1

�g+ z2 − z1 + hV bzw. ΥA = ghA

ein, denn das einzelne Rohrstuck soll nun ein ganzes Rohrsystem oder eine verfahrenstechni-sche Anlage A reprasentieren, in die die Pumpleistung eingebracht wird. Deshalb bezeichnetman hA auch als Anlagenhohe. Dann wird die Bernoulligleichung vereinfacht zu:

P

�gQ= hA

Wir wollen schließlich analysieren, in welcher Art und Weise die Anlagenhohe vom Durch-fluss abhangt. Dazu betrachten wir wieder das Rohr konstanten Querschnitts als Ideengeber.Hier fallen die Geschwindigkeitsterme weg. Wird von Luftdruck auf Luftdruck gefordert, dann

5.6. Dimensionierung von Pumpen Seite 129

hA(Q)

hP(Q)

Betriebs-punkt

Förderstrom Q[m³/s]

En

erg

ieh

öh

eh

[m]

Abbildung 5.14: Bestimmung des Betriebs-punktes aus dem Schnittpunkt von Anlagen-und Pumpenkennlinie.

verschwindet auch der Druckterm. Im Wesentlichen besteht die Gesamtforderhohe dann ausder Summe von zu uberwindender geodatischer Hohe und der Verlusthohe. Erstere ist un-abhangig von dem zu fordenden Strom Q, wahrend die Verlusthohe (etwa) quadratisch mitdem Volumendurchfluss ansteigt. Somit kann man die Gesamtforderhohe in etwa durch dieFunktion

hA(Q) = aA + bAQ2

approximieren. Den Graphen dieser Funktion bezeichnet man auch als Rohr- oder Anlagen-kennlinie.

5.6.2 Die Pumpenkennlinie oder Drosselkurve

Umgekehrt kann jede Pumpe durch eine Kennlinie charakterisiert werden, die die Ge-samtforderhohe als Funktion des Durchflusses spezifiziert. Sie ist naturlich von der Bauartder Pumpe abhangig und wird in den Herstellerangaben mitgeliefert.Rein theoretisch ist diese Pumpenkennlinie durch die Gleichung

hP (Q) =ηMηPPel

�gQ

gegeben. Es ist allerdings zu beachten, dass der Wirkungsgrad der Pumpe ηP sicher auch eineFunktion des Durchflusses ist.Pumpen- und Anlagenkennlinie sind in Abbildung 5.14 aufgetragen. Der Schnittpunkt derbeiden Kennlinien ergibt den Betriebspunkt, d.h. den Durchfluss auf den sich die Pumpeselbsttatig einstellen wird. Warum ist dies so ? Nehmen wir einmal an, daß die Pumpe geradeeingeschaltet und der Forderstrom noch unterhalb des Betriebspunktes liegt. Im anschließen-den Rohr wird also ein Druckhohenunterschied erzeugt, welcher wesentlich großer als Ver-lusthohe und zu uberwindende geodatische Hohe sind. Dadurch erhoht sich laut Bernoulli-gleichung die Durchflussgeschwindigkeit und somit der Volumenstrom bis der Betriebspunkterreicht ist. Rechts des Betriebspunkts ist ein Forderstrom jedoch nicht moglich.

Seite 130 5.7. Wasserkraftanlagen

5.6.3 Regelung von Pumpen

In einem Rohrleitungssystem mit Pumpen ist es selten das Ziel, die Pumpe direkt zu regeln. Inden meisten Fallen soll der Durchfluss bei einer gegebenen Forderhohe geandert werden. Dieskann prinzipiell auf vier Arten geschehen:

1. Anderung der Anlagenkennlinie durch Verandern lokaler Verluste durch Regelorgane

2. Verandern der Drosselkurve der Pumpe: Hier wird zumeist die Drehzahl verandert, wo-bei sich die spezifische Stutzenarbeit wie

Υ1

Υ2=(ν1

ν2

)2

verandert. In Abhangigkeit von der Pumpenbauweise bestehen ferner die Moglichkeitender Vor- oder Nachdrallregelung sowie der Laufschaufelverstellung.

3. Verandern des Volumenstroms durch die Pumpe mit Hilfe eines Bypasses

4. Kombination von Pumpen

Zur Regelung des Forderstroms wird entweder die Drehzahl der Pumpe verandert oder einnachgeschalteter Schieber gedrosselt.

5.7 Wasserkraftanlagen

In Wasserkraftanlagen wird die potentielle und kinetische Energie des Wassers in elektrischeEnergie umgewandelt. Wir wollen zunachst die Bestimmungsgroßen Durchfluss und Fallhoheder moglichen Leistung einer Wasserkraftanlage kennenlernen. Dazu studieren wir im erstenAbschnitt das Prinzip der Wasserkraftnutzung.Darauf folgend werden wir aus diesen Kenngroßen Kriterien fur die Auswahl der Turbinenartuntersuchen und uns dann den beiden Hauptbauweisen von Wasserkraftanlagen zuwenden.Der hier vorliegende Text stellt nur eine allererste Einfuhrung in das Thema dar. Zum vertieftenStudium sei das Standardwerk [6] empfohlen.

5.7.1 Das Prinzip der Wasserkraftnutzung

Wir wollen mit Hilfe der Bernoulligleichung das Prinzip der Wasserkraftnutzung studieren undbetrachten dazu das in Abbildung 5.15 dargestellte Talsperrenkraftwerk. Bei diesem wird dasWasser eines Flusses in einem Tal mit einer Stauanlage aufgestaut. Der Zufluss Q des Ober-wassers wird durch ein Rohr einer Turbine zugefuhrt und dann in das Unterwasser abgegeben.

5.7. Wasserkraftanlagen Seite 131

Stauwurzel

Krafthaus

hF

1

2hV �

Abbildung 5.15: Talsperrenkraftwerk.

Mit Hilfe der Bernoulligleichung wollen wir nun die energetischen Verhaltnisse dieser Anlagezwischen den Punkten 1 und 2 an der Wasseroberflache studieren. Dort herrscht an beidenBezugspunkten derselbe Luftdruck, womit sich die Druckterme auf beiden Seiten heraushe-ben. Die Differenz der Lagen der Wasseroberflachen im Ober- und im Unterwasser wird alsFallhohe hF = z1 − z2 bezeichnet.Damit die Stromung energetisch so moglich ist, muss sie die Energiehohe

hV +Υ

g= hF − �u2

2 − �u21

2g= hF −Q2A

21 −A2

2

2gA21A

22

verlieren oder ihr diese in der Turbine entzogen werden. Die maximale erzielbare spezifischeStutzenarbeit ist also:

Υ = ghF − ghV −Q2A21 − A2

2

2A21A

22

Fur ein Talsperrenkraftwerk konnen der zweite und der dritte Term gegenuber dem erstenvernachlassigt werden und es gilt Υ � ghF .Da der Durchfluss Q der Volumendurchfluss pro Zeit ist, bekommt man fur die im Kraftwerkerzeugte Leistung:

P = �gQhF

Ein Wasserkraftwerk erbringt also dann eine sehr hohe Nutzleistung, wenn entweder dieFallhohe hF oder der Abfluss Q oder beide Werte sehr hoch sind.

5.7.2 Bauelemente einer Wasserkraftanlage

In jeder Wasserkraftanlage muss zunachst ein mehr oder weniger hoher Aufstau durch eineStauanlage erzeugt werden. Diese kann ein einfaches Wehr oder eine große Talsperre sein.


Schleuse

Wehr

Zentrale

Fischtreppe

Fluss

Fluss

OW

UW

Abbildung 5.16: Elemente einer Flussstaustufe.

Mit steigender Fallhohe nimmt dabei auch der Druck in der Zuleitung zu. Zu ihrer Bemessungunterscheidet man daher Nieder-, Mittel- und Hochdruckanlagen.Da die Turbinenanlage und die Zuleitungen eine nach oben begrenzten maximalen Durchflusshaben, muss fur den Hochwasserfall vorgesorgt werden, bei dem dieser Durchfluss uberschrit-ten wird. Wird der Stau durch ein Wehr erzeugt, so kann dieses einfach niedergelegt werden.Bei einer Talsperre ist eine Hochwasserentlastungsanlage erforderlich.Die Turbinen- und Generatorenanlage besteht aus empfindlichen technischen Bauteilen, dievor außeren Umwelteinflussen geschutzt werden mussen. Sie ist daher in einem Maschinen-haus untergebracht.Befindet sich die Wasserkraftanlage an einer Wasserstraße, so ist die Durchgangigkeit furden Schiffsverkehr zu gewahrleisten. Zur Uberwindung des durch die Stauanlage erzeugtenGelandesprungs ist dann eine Schleuse oder ein Schiffshebewerk erforderlich.Schließlich wird jedes Gewasser auch von Fischen als Lebensraum genutzt. Ein Fischpassmuß hier fur die biologische Durchlassigkeit sorgen.

5.7.3 Die Auswahl des Turbinentyps

Nachdem man entschieden hat, daß ein Gewasser entweder aufgrund der großen Fallhoheoder des großen Abflusses zur Wasserkraftnutzung geeignet ist, muss man die optimale Turbi-nenart fur die Anlage auswahlen. Dieser Entscheidungsschritt wird dem Bauingenieur in derRegel von den Maschinenbauern des Turbinenherstellers abgenommen, die fur ihre Turbineeine erzielbare Leistung in Abhangigkeit von der Fallhohe und dem Durchfluss garantieren.


1

10

100

1000

1 10 100 1000

Volumenstrom Q [m³/s]

Fa

llh

öh

eH

[m]

P=50kW

P=100kW

P=200kW

P=500kW

P=1MW

P=2MW

P=5MW

P=10MW

P=20MW

P=50MW

P=100MW

P=200MW

P=500MW

P=1GW

P=2GW

Hyp

ot. T

rennung

Kap

lan-P

elto

n

Peltonturbine

Kaplanturbine

Francisturbine

Ossbergerturbine

Abbildung 5.17: Auswahl der Turbinenart nach Fallhohe und Abfluss.


Diese kennen ihre Turbinen aus Entwicklungsversuchen so genau, daß sie dem Bauingenieurdie Auswahl der Turbinenart durch entsprechende Einsatzbereichkennblatter vorgeben, so daßdieser die Gesamtanlage schon im Vorfeld der Auftragsvergabe konzipieren kann.Wir wollen hier an einem einfachen Beispiel untersuchen, warum eine Turbinenart der ande-ren bei gegebener Fallhohe und Abfluss uberlegen ist. Dazu betrachten wir die spezifischenStutzenarbeiten der Kaplan- und der Peltonturbine und bestimmen hieraus die erzielbaren Lei-stungen als

PKaplan =�Q3

π2 (r2a − r2

i )2


)

fur die Kaplanturbine.Bei einer Peltonturbine ist die Geschwindigkeit des Austrittsstrahls vA aus der Duse nach derBernoulligleichung:

vA =√

2g(hF − hV ) �√

2ghF

Damit gilt fur die erzielbare Leistung:

PPelton = �QΥPelton =1

2u�Q = �gQhF

Schon hier sieht man den wesentlichen Unterschied im Anwendungsbereich der beiden Turbi-nenarten: Die Ernteleistung der Peltonturbine steigt mit dem Produkt aus Abfluss und Fallhohe,wohingegen die der Kaplanturbine mit der dritten Potenz des Abflusses steigt.Um die Trennlinie der Einsatzbereiche in einem hF −Q-Diagramm zu erhalten, setzen wir diebeiden Leistungen gleich:

hF =Q2

π2 (r2a − r2

i )2g


)

Die Trennung zwischen Kaplan- und Peltonturbine stellt also eine quadratische Funktion vonFallhohe und Abfluss dar. An dem hergeleiteten Zusammenhang ist jedoch auch zu erkennen,daß die Trennlinie in erheblichem Maße von der Bauart der Turbinen (Radien, Ein-, Austritts-winkel) abhangig ist. Es gibt daher kein allgemeingultiges, feststehendes Kriterium bei derEntscheidung fur eine Turbinenart. In Abbildung 5.17 ist daher nur eine typische Einteilungals Anhalt fur die Einsatzbereiche fur die verschiedenen Turbinenarten dargestellt.Ebenfalls wurde die von uns hergeleitete Kaplan-Pelton-Einsatzbereich-Trennlinie als

hF = 7.5 · 10−2 Q2

m5/s2

dargestellt.I.A. werden Kaplanturbinen bei kleinen Fallhohen (10 bis 60 m), Francisturbinen bei mittlerenFallhohen (30 bis 700 m) und Peltonturbinen bei Fallhohen von uber 600 m bis zu 2000 meingesetzt.


5.7.4 Der Generator

Eine weitere wichtige Kennzahl einer Stromungsmaschine ist die Drehzahl ν der Hauptwelle,d.h. deren Umdrehungen pro Sekunde, mit der die treibende oder angetriebene Maschine an-gekuppelt ist. In Turbinenanlagen muss diese Drehzahl bei synchronen Drehstromgeneratorendem Quotienten der zu erzeugenden Frequenz νWS (zumeist Wechselstrom mit 50 Hz) und derPolpaarzahl p des Generators entsprechen:

ν =νWS

p

Umgekehrt kann man aus dieser Beziehung fur eine gegebene Turbine mit optimaler Drehzahldie Anzahl der Polpaare des Synchrongenerators bestimmen.

5.7.5 Die Auswahl der Drehzahl

Zu jedem Turbinentyp gibt es in Abhangigkeit von Durchfluss und erzielter Leistung einenDrehzahlbereich, bei dem diese optimal lauft. Zur Darstellung dieses Drehzahlbereiches wer-den die folgenden Kennzahlen verwendet:Die Laufzahl σ ist dimensionslos und ist als

σ = ν

√Q

(2Υ)3/42√π

definiert. Im Energiewasserbau verwendet man aber immer noch die spezifische Drehzahl nq,die als

nq = ν

√Q

h3/4F

definiert ist, wobei die spezifische Drehzahl dieselbe Einheit wie die Drehzahl ν hat. Der Vo-lumenstromQ und die Fallhohe hF mussen in SI-Einheiten eingegeben werden. Da die spezi-fische Drehzahl nicht einheitenkonform ist, sollte sie in DIN-Normen und in der Praxis durchdie Laufzahl ersetzt werden. Zwischen der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl besteht derZusammenhang:

σ =nq[min−1]

157.8

Die optimalen Laufzahlen fur die verschiedenen Turbinen werden ebenfalls vom Herstellerdurch Entwicklungsversuche bestimmt. Die Tabelle 5.1 soll hier Beispiele als Anhaltswertegeben. Da es fur jede Turbinenart einen Zusammenhang zwischen Drehzahl und Durchflussbei gegebenen Abmessungen gibt, kann man nach der Festlegung der Drehzahl hieraus dieTurbinenabmessungen und damit die Kraftwerksabmessungen bestimmen.


Turbinentyp Laufzahl σ spez. Drehzahl nq

Kaplanturbine 0.8 ... 2.5 125 ... 400 min−1

Francisturbine 0.06 ... 0.32 10 ... 50 min−1

Peltonturbine 0.03 ... 0.12 5 ... 20 min−1

Tabelle 5.1: Optimale Laufzahlen der verschiedenen Turbinentypen.

Konstruktives Beispiel: Eine Kaplanturbine soll fur eine Fallhohe von 2 m und einen Volu-menstrom von 200 m3/s bemessen werden. Mit nq = 125 ... 400 min−1 liegen die optimalenDrehzahlen zwischen 14.8 und 47.5 min−1. Um einen 50 Hz Generator anzutreiben, benotigtdieser also zwischen 243 und 63 Polpaaren.Hier ist nun eine Entscheidung fur die Polpaarzahl fallig, die die weitere Konstruktion be-stimmt. Wir wollen uns fur 80 Polpaare entscheiden. Ob diese konstruktiv uberhaupt angeord-net werden konnen, uberlassen wir den Elektrotechnikern und Maschinenbauern. Ist dies nichtmoglich, muss ein Getriebe zwischen Turbine und Generator vorgesehen werden.Damit haben wir eine Drehzahl von ν = 0.625 Hz bzw 37.5 min−1. Aus dem Zusammenhangzwischen Drehzahl und Durchmesser fur die Kaplanturbine kann nun der Außendurchmesserbestimmt werden.

5.7.6 Kavitation

In Abhangigkeit von Druck und Temperatur kann Wasser alle drei Aggregatzustande fest,flussig und gasformig annehmen.Fallt der Druck unter den Dampfdruck, so geht Wasser von der flussigen in die gasformigePhase uber. Dieser Dampfdruck pd ist eine Funktion der Temperatur, er ist in Abbildung 5.18abzulesen. Man kann ihn nach der Formel von Ambrose und Walton (1989) [1] als

lnpd

pc=

1

Tr

(aτ + bτ 3/2 + cτ 5/2 + dτ 5

)mit Tr =

T [K]

Tcund τ = 1 − Tr

mit

pc/Pa Tc / K a b c d

2212000 647.27 -7.8687 1.9014 -2.3004 -2.0845

Dieser Abbildung kann man auch entnehmen, daß der Dampfdruck fur alle Temperaturen einbis zwei Großenordnungen unterhalb des Luftdrucks von ca. 105 Pa liegt.Der Phasenubergang von flussigem Wasser in Wasserdampf geschieht naturlich nicht schlag-artig: Es bilden sich im Wasser zunachst ortlich begrenzte Dampfgebiete in Form von Was-serblasen. Diesen Effekt bezeichnet man als Kavitation. Die sich dabei bildenden Blasen sindumso großer, desto kleiner der Absolutdruck ist.


0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 5 10 15 20 25 30

Temperatur [°C]

Da

mp

fdru

ck

[Pa

]

Abbildung 5.18: Dampfdruckkurve von Wasser.

Die schadigende Wirkung der Kavitation ist mit dem weiteren Schicksal der Blasen verbunden.Werden diese durch die Stromung in Bereiche hoheren Druckes transportiert, dann kollabierendie Blasen durch Implosionen. Dabei werden lokale Druckspitzen erreicht, die drei bis vierGroßenordnungen uber dem hydraulischen Druck der Umgebungsflussigkeit liegen.

Diese Implosionsdrucke fuhren zu Werkstoffzerstorungen, die man auch als Kavitationserosi-on bezeichnet.

Wir wollen nun untersuchen, welche konstruktiven Restriktionen sich durch die Verhinde-rung der Kavitation in einer Wasserkraftanlage ergeben. Dazu stellen wir zunachst einmalfest, daß wir die folgenden Betrachtungen nur auf Uberdruckturbinen wie die Francis- unddie Kaplanturbine beschranken mussen. Bei den Gleichdruckturbinen wie Pelton- oder derDurchstromturbine treten am Laufrad lediglich Luftdrucke auf.

Der Klassenname Uberdruckturbine ist allerding irrefuhrend, da er sich lediglich auf den Ein-laufstutzen der Turbine bezieht. Im Auslauf hat die Turbine der Stromung so viel Energieentzogen, daß der Druck weit unter den Luftdruck fallen und Kavitation auftreten kann. Dergeringste Druck tritt in einer Wasserkraftanlage entweder in oder direkt hinter der Turbine auf,da dort dieselbe der Stromung Energie entzogen hat, die zu einem erheblichen Druckabfallfuhrt.

Fur die Druckberechnung hinter der Turbine gibt prinzipiell die Moglichkeit, die Bernoul-ligleichung vom Zulaufgewasser durch die Turbine zu verfolgen. Dazu muss allerdings das


Energieliniengefalle durch die Turbine genau bekannt sein. Die andere Moglichkeit bestehtdarin, die Bernoulligleichung vom Unterstrom zum Auslauf der Turbine auszuwerten. Dazumuss lediglich der Stromungsverlust im Ablaufrohr bekannt sein.Wir analysieren, um welchen Betrag Δz der Turbinenauslauf uber dem Unterwasserstandliegen muss. Gehen wir ferner davon aus, daß die Stromungsgeschwindigkeit im Unterlauf-gewasser gegenuber den anderen Großen vernachlassigbar ist, so wird die Bernoulligleichungzu:

us2

2g+ps

�g+ Δz =

pA

�g+ hV

Der Index s kennzeichnet dabei die Werte am Saugstutzen im Turbinenauslauf. Dort soll derDruck ps den Dampfdruck nicht unterschreiten. Da der Druck nach der Bernoulligleichung mitzunehmender Geschwindigkeit us fallt, bleibt festzulegen, wie man die Geschwindigkeit us

definiert. Ist sie auf die mittlere Durchflussgeschwindigkeit us = Q/As bezogen, dann bleibendie Rotationsbewegungen der Flussigkeit durch das Laufrad sowie die turbulenten Geschwin-digkeitsschwankungen im Druckabfall noch unberucksichtigt. Um sie in die Berechnung ein-zubeziehen, wird ein Sicherheitsaufschlag �gΔhHD hinzugefugt, so daß man insgesamt furden Saugdruck

ps ≥ pd + �gΔhHD

Dieser Sicherheitsaufschlag heißt Haltedruckhohe. Nun gilt fur die Lage der Turbine uberdem Unterlaufwasserspiegel:

Δz =pA − pd

�g+ hV −

(Q2

2gA2s

+ ΔhHD

)

Zur Bestimmung der Haltedruckhohe gibt es verschiedene Ansatze. Beim Verfahren von Tho-ma ist diese proportional zur Fallhohe der Wasserkraftanlage:

ΔhHD = σThhF

Der dimensionslose Beiwert σTh heißt Thomazahl oder Kavitationsbeiwert nach Thoma. Wirwollen ihn hier mit

σTh � 0.00077n4/3q

abschatzen, wobei nq wieder in min-1 angegeben werden muss. Die tatsachlichen Wertemussen vom Turbinenhersteller geliefert werden. So ist allein der Vorfaktor von verschiedenenweiteren Faktoren wie dem Schaufelwerkstoff abhangig.


Druckschacht

Einlaufbauwerk

Druckrohrverteilleitung

Pumpe

Unterbecken

Druckstollen

Generator

Turbine

Oberbecken

Abbildung 5.19: Pumpspeicherwerk.

5.7.7 Pumpspeicherwerke

Pumpspeicherwerke speichern Energie, indem Wasser von einem geodatisch tiefer liegendenUnterbecken in ein hoher gelegenes Oberbecken gepumpt wird. Die gespeicherte Energie wirdwieder in elektrische Energie umgewandelt, indem das Wasser vom Ober- in das Unterbeckenuber eine Turbine abgelassen wird.Pumpspeicherwerke kommen im Verbund mit dauerlaufenden Kraftwerken wie z.B. Laufwas-serkraftwerken oder thermischen Kraftwerken zum Einsatz, um uberschussige Nacht- und Wo-chenendenergie zu Verbrauchsspitzenzeiten zur Verfugung zu stellen.Wir wollen den Wirkungsgrad einer solchen Anlage bestimmen. Um den Volumenstrom Q indas in der Hohe H uber dem Unterbecken liegende Oberbecken zu pumpen, ist die hydrauli-sche Leistung �Qg(H + hV,P ) erforderlich, fur das Wasservolumen V also die hydraulischeEnergie �V g(H +hV,P ) und die elektrische Energie �V g(H+hV,P )/(ηMηP ). Beim Ablassendieser Wassermenge aus dem Oberbecken wird also die hydraulische Energie �V g(H − hV,T )

frei, die uber die Turbine und den Generator in die elektrische Energie �V g(H − hV,T )ηTηG

umgewandelt wird. Damit ist der Wirkungsgrad des Pumpspeicherwerks:

ηPSW =H − hV,T

H + hV,PηMηPηTηG

Er ist anlagentechnisch durch die Wirkungsgrade von Pumpe und Turbine begrenzt und liegtim besten Fall bei etwa 80 %. Hydraulisch mussen auch bei einem Pumpspeicherwerk alleVerluste moglichst gering gehalten werden.Der Zusammenhang fur den Wirkungsgrad von Pumpspeicherwerken offenbart eine Eigen-schaft von Wirkungsgraden: Diese setzen sich immer multiplikativ zusammen, es gibt keine


6

33

2

Maschinenhaus

Unterwasser

Oberwasser

5

1

4

6

3

2

5

1

4

Rechen

Turbine

Leitschaufel

Welle

Generator

Schaltraum

Abbildung 5.20: Laufwasserkraftwerk.


Energiequellen Deutschlands 2005

(Angaben in TWh)

Steinkohle; 134; 22%

Braunkohle; 155; 25%

sonstige; 31; 5%

Windkraft; 26,5; 4%

Wasserkraft; 28; 5%

Erdgas; 70; 11%

Mineralöl; 11,5; 2%

Atomkraft; 163; 26%

Abbildung 5.21: Energiequellen Deutschlands. Angaben in Terrawatt und Prozent.

Anordnung, bei der Wirkungsgrade durcheinander dividiert werden. Wurde dies der Fall sein,so lage dort eine Moglichkeit zur Konstruktion eines Perpetuum mobiles vor: Dieses hatte mandann konstruiert, wenn der Wirkungsgrad der Gesamtmaschine sich durch Division aus zweiEinzelbestandteilen zusammensetzt.

5.7.8 Wasserkraft und Umwelt

Wasserkraft ist eine emissionsfreie regenerative, unerschopfliche Energie. Sie wurde schonin vorindustrieller Zeit zum Antrieb von Muhlen, Sage- und Hammerwerken genutzt und istheute eine ausgereifte Technologie. Achtzehn Prozent des global erzeugten Stroms stammt ausWasserkraft. Ende 2000 waren in Deutschland rund 5 500 Kleinwasserkraftanlagen (< 1MWLeistung) und 403 mittlere und großere Anlagen in Betrieb, womit ca. 5 % des Energiebedarfsgedeckt wird.

Wasserkraft ist sowohl speicher- und kurzfristig nutzbar, als auch grundlastfahig. Nach ihrerNutzung entstehen keine Ruckstande. Damit hat sie die zwei wesentlichen Nachteile der fos-silen Energietrager Ol, Kohle und Erdgas nicht: Diese sind nicht zeitlich unbegrenzt verfugbarund erzeugen klimaschadliche Emissionen mit erheblichen Folgeschaden und -kosten.


Energiequellen Brasiliens 2006

(Angaben in GWh)

Kohle; 1,4; 1%

Importiert; 8,17; 8%

Biomasse; 3,25; 3%

Windkraft; 0,028; 0%

Wasserkraft; 73,137; 72%

Erdgas; 10,79; 10%

Mineralöl; 4,6; 4%

Atomkraft; 2; 2%

Abbildung 5.22: Energiequellen Brasiliens, Angaben in Gigawatt und Prozent.

5.7.9 Wasserkraft in Brasilien

Wahrend Wasserkraftwerke weltweit etwa 18 Prozent der elektrischen Energie erzeugen, decktdiese Energiequelle in Brasilien uber 70 Prozent des erzeugten Stroms. Diese Abhangigkeitvon einer einzigen Energieform kann allerdings auch Schwachen haben. So beschehrte dasJahr 2001 Brasilien eine Energiekrise wegen anhaltender Trockenheit. Die Reservoirs vie-ler Staudamme waren damals halb ausgetrocknet und zwangen die Regierung, den Stromver-brauch zu rationieren. Die Krise drosselte die Konjunktur, Brasilien schlitterte nur knapp aneiner Rezession vorbei.In Brasilien werden Wasserkraftanlagen nach der Große unterschieden:

• Großwasserkraftwerke mit P > 30 000 kW (UHE - Usinas Hidreletricas)

• kleine zentrale Einheiten zwische 1000 kW und 30.000 kW (PCH -Pequenas CentraisHidreletricas)

• Miniwasserkraftwerke bis etwa 1000 kW (mCH )

• Mikroanlagen mit etwa 100 W.

Man kann sich in Deutschland kaum vorstellen, daß die beiden letztgenannten Anlagegroßenirgend eine wirtschaftliche Bedeutung zukommt. Dabei muss man sich vor Augen halten, daß


in Brasilien 5.5 % der Haushalte noch nicht mit elektrischer Energie versorgt werden konnen.Betrachetet man dabei nur die landliche Haushalte, so steigt die Zahl auf 24.3 %. Und schautman nur auf die Amazonasregion, so sind es dort 56.1 % der Landhaushalte, die keine Strom-versorgung haben.

Die technische Herausforderung besteht somit darin, Strom in isolierte rurale Regionen zubringen. Dabei wird zunachst der Aufbau eines Stromleitungsnetzes vorangetrieben, wobeihier die Minimierung der Trassenlangen im Vordergrund steht. Allerdings ist der Bau vonStromleitungen in jedes abgelegene Dorf okonomisch und okologisch nicht vertretbar. Hiermussen dezentrale und sogar individuale (d.h. fur einen Haushalt) Losungen geschaffen wer-den. Als Energiequellen kommen dabei nur die Wasserkraft, Windkraft, Photovoltaik, Biomas-se und Dieselgeneratoren in Frage.

Das Wasserkraftpotential Brasiliens

Die Energieforschungsfirma EPE, die dem Energieministerium in Brasilia untersteht, rechnetmit einer Gesamtleistung von 258 Gigawatt aus Wasserkraft in Brasilien. Davon werden 23 %derzeit genutzt, zu 42 % liegen schon in irgendeiner Form Machbarkeitsstudien vor, 32 % alsnutzbar eingeschatzt und 3 % befinden sich derzeit im Bau.

Diese Zahlen werden allerdings dahingehend bezweifelt, daß ihrer Berechnung manchmal ein-zig und allein das Produkt aus Fallhohe bis zur Flussmundung mal Abfluss an einem gebenenOrt zugrunde liegt. Man konnte dieses Potential also nur dann nutzen, wenn man einen riesigenDamm an der Flussmundung bauen wurde.

Ferner liegen 43 % des angenommenen Ausbaupotentials allein im Amazonasgebiet, was dieAbhangigkeit von den bisherigen Einzugsgebieten zu reduzieren wurde. Dazu sind derzeit vierStaudammprojekte am sudlichen Zuflussen des Amazonas geplant, Paranatinga II (29 MW)am Culuene, Belo Monte (11 000 MW) am Xingu, Jirau (3300 MW) und San Antonio (3150MW) am Madeira. Nach fruheren Studien des staatlichen Stromversorgers Fuernas wurden529 Quadratkilometer Land fur die beiden letztgenannten Damme uberflutet und 3000 Men-schen umgesiedelt werden. ’Solche Schatzungen sind wahrscheinlich stark untertrieben, wennvergangene Dammprojekte in Brasilien ein Maßstab sind’, sagt die Umweltorganisation Ri-ver Network. Nach deren Angaben ist die Artenvielfalt des Rio Madeira besonders hoch. DerFluss ist die Lebensgrundlage von 750 Fischarten und 800 Vogelarten. Durch die Staudammewurden Tiere wie der große Katzenfisch, der 4500 km flußaufwarts zu seinen Laichplatzenschwimmt, an ihrer naturlichen Migration gehindert werden. Zudem wurde das Habitat vonbereits bedrohten Tierarten wie dem Jaguar, dem großen Ameisenbar, dem Riesengurteltierund dem brasilianischen Riesenotter weiter vermindert werden.

Die in der Region lebenden Stamme Karitiana, Karipuna und Uru-eu-Wau-Wau furchten zu-dem, daß das Gleichgewicht ihrer traditionellen Lebensweise durch eine Armee von Bauarbei-tern empfindlich gestort werden konnte. Ein Netzwerk von Initiativen wie der Bewegung der


Staudammbetroffenen hat deshalb einen Brief an die Internationale Entwicklungsbank IDBgesandt, um diese von einer geplanten finanziellen Unterstutzung des Projekts abzubringen.1

Pumpen als Turbinen

Eine Schwierigkeit beim Bau von Mini- und Mikrowasserkraftanlagen besteht in den ho-hen Beschaffungskosten fur Turbinen, die fast 40 % der gesamten Anlagekosten ausmachenkonnen. In Brasilien gibt es nur wenige Turbinenhersteller, die in den meisten Fallen Turbinenproduzieren, die den entsprechenden Gegebenheiten angepaßt sind.Auf der anderen Seite werden Pumpen mit ihren vielfaltigen Anwendungen in Landwirtschaft,Siedlungswasserwesen und Industrie in jeder Große in großen Stuckzahlen produziert.Neben dem geringeren Wirkungsgrad weist der Einsatz von Pumpen als Turbinen verschiedenezu bewaltigende Schwierigkeiten auf. Zunachst hat eine Pumpe keine Regulierungsmoglickeitfur die Drehzahl, die relativ konstant sein sollte. Ferner kann die Umkehrung des Durchflusseswegen der ungunstigen Orientierung der Schaufeln zu Druckstoßen fuhren.In der Praxis steht man beim Einsatz von Pumpen als Turbinen vor zwei Fragestellungen:

1. Die Auswahl der optimalen, am Markt erhaltlichen Pumpe.

2. Der Umbau dieser Pumpe zu einer Turbine.

Zur Beantwortung dieser Fragestellungen sei auf die Manuals [5] [14] verwiesen.

5.8 Ubungen

1. Eine Kreiselpumpe hat folgende Betriebsdaten: Volumenstrom 1.5 m3/s, Druck amSaugstutzen 0.7 bar, am Druckstutzen 7 bar. Gefordert wird Wasser bei 20oC. BerechnenSie die spezifische Stutzenarbeit und die Leistung P bei einem Wirkungsgrad von 0.8.

2. Das Laufrad einer Radialturbine hat die Abmessungen

Aussendurchmesser: 2.50 mInnendurchmesser: 0.50 mEin- und Austrittsbreite: 1 mEintrittswinkel: 25o

Austrittswinkel: 40o

Wie groß sind der VolumenstromQ und die spezifische Stutzenarbeit bei einer Drehzahlvon 1800 U/min ?

1Aus der Suddeutschen Zeitung vom 25. Juli 2006.


3. In welche Richtung wurde die Kaplanturbine in Abbildung 5.8 durchstromt ? BegrundenSie Ihre Antwort.

4. Der Wasserverbrauch des in 3000 m Hohe gelegenen Andendorfes Humahuaca (6200EW) betragt 70 000 l pro Tag. Dieser Bedarf soll dadurch gedeckt werden, daß Wasserdurch eine 20 km lange Wasserleitung von 20 cm Durchmesser (λ = 0.02) aus einemauf 1200 m Hohe gelegenen Fluss in das Speicherbecken der Aufbereitungsanlage desDorfes gepumpt werden soll.

(a) Berechnen Sie die Vorfaktoren aA und bA der Anlagenkennlinie und stellen Siediese graphisch dar.

(b) Es stehen drei Pumpen mit den charakteristischen Werten

Pumpe Pel [kW] ηMηP

1 500 0.7

2 5 000 0.8

3 50 000 0.82

zur Verfugung. Welche ist fur die Erfullung der Aufgabe optimal ? Bestimmen Sieden Arbeitspunkt Q dieser Pumpe.

(c) Ist das Projekt realisierbar ?

5. In einer vertikalen Steigleitung (vernachlassigbare Rauheit) konstanten Durchmesserswird Wasser bei 15oC von einem auf Luftdruck (1 bar) befindlichen Reservoir nachoben gepumpt. Wie hoch darf die Pumpe allerhochstens uber dem Reservoir angebrachtwerden, damit keine Kavitation auftritt ?

6. Eine Wasserkraftanlage hat eine Fallhohe von 136 m bei einem Abfluss von 60 m3/s.

(a) Welcher Turbinentyp eignet sich fur diese Anlage?

(b) Welche Drehzahl und wieviele Polpaare sind zum Direktantrieb eines 50 Hz Gene-rators erforderlich?

(c) Welche Leistung erbringt die Turbine bei einem Wirkungsgrad von η = 0.92 ?

(d) An der Leipziger Stromborse EEX kostet ein Megawattstunde derzeit 44.50 Euro.Wie hoch sind die Tageseinnahmen des Kraftwerks?

7. Schwimmpumpe

Die unten dargestellte Baugrube soll mit Hilfe einer Schwimmpumpe geleert werden.Die Pumpe befindet sich auf Ponton I. Eine uber Ponton II gefuhrte Rohrleitung leitetdas Wasser mit einem Durchfluss von Q = 900 l/s ab.


(a) Berechnen Sie die notwendige Pumpenleistung. Berucksichtigen Sie dabei die lo-kalen Verluste, die Reibungsverluste nach dem Widerstandsgesetz von Colebrook-White fur die angegebenen Rohrlangen sowie einen Wirkungsgrad der Pumpe von0.75.

(b) Berechnen Sie die Vertikalkraft, die durch den Pumpenbetrieb zusatzlich auf Pon-ton II wirkt. Gehen Sie dabei von einer Druckhohe von 7.5 m im Bereich diesesPontons aus.

(c) Berechnen Sie Eintauchtiefe von Ponton II im Ruhezustand und bei Pumpenbe-trieb.

5 m

2 m2 m

Abbildung 5.23: Schwimmpumpe.

Gegeben:

• Nennweite aller Rohre 25 cm

• kS = 0.1 mm

• Ponton II: L = 2 m, B = 2 m, H = 1 m, M = 3200 kg

Literaturverzeichnis

[1] Ambrose and Walton. Pure Applied Chem., 61:1395, 1989. 5.7.6

[2] Barr, D.I.H. Two Additional Methods of Direct Solution of the Colebrook-White Func-tion. Proc. Instn. Civ. Engrs, Part 2, 59:827–835, 1975. 2.6

[3] Blind, H. Wasserbauten aus Beton. Ernst & Sohn, Berlin, 1987. 4.4

[4] Bohl, W. and Elmendorf, W. Stromungsmaschinen 1. Vogel Buchverlag, Wurzburg,2004. 5

[5] Chapallaz, J., Eichenberger, P., and Fischer, G. Manual on Pumps Used as Turbines.Vieweg, Braunschweig, 1992. 5.7.9

[6] Giesecke, J. and Mosonyi, E. Wasserkraftanlagen, Bau und Betrieb. Springer Verlag,Berlin, Heidelberg, New York, 1998. 4.2, 5.7

[7] Heinemann, E. and Feldhaus, R. Hydraulik fur Bauingenieure. B.G. Teubner, Wiesbaden,2003. 3.3.3, 4.3

[8] Heuser, H. Gewohnliche Differentialgleichungen. B.G. Teubner, Stuttgart, 1989. 2

[9] Meusburger, H. Energieverluste an Einlaufrechen von Flusskraftwerken. Mtteilungender Versuchsanstalt fur Wasserbau, Hydrologie und Glaziologie Nr. 179, EidgenossischeTechnische Hochschule, Zurich, 2002. 4.2, 4.2.3, 4.2.3

[10] Moody, L.F. Friction Factors for Pipe Flow. Trans. Am. Soc. Mech. E., 66:671, 1944. 2.6

[11] Naudascher, E. Hydraulik der Gerinne und Gerinnebauwerke. Springer, Wien, NewYork, 1987. 4.4

[12] Press, H. and Schroder, R. Hydromechanik im Wasserbau. W. Ernst, Berlin, Munchen,1966. 3.1, 4.1, 4.4

[13] Uhlemann, H.-J. Die Geschichte der Schiffshebewerke. DSV-Verlag, Hamburg, 1999.1.9, 1.9

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Seite 148 LITERATURVERZEICHNIS

[14] Willians, A. Pumps as Turbines: A Users’s Guide. ITDG Publishing, London, 2003.5.7.9

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Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau - … 1... · Fakult¨at f¨ur Bauingenieur- und Vermessungswesen Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau Version 1.1 Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys