6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik Fluid ...users.abo.fi/rzevenho/PTG kap6-aug2013.pdf · 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 2013 Fluid mechanics:

Åbo Akademi University 424101 Processteknikens Grunder Introduction to Process Engineering by/av: Ron Zevenhoven

6-1

6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik Fluid mechanics: fluid statics; fluid dynamics Liquids and gases, together known as fluids – a more accurate definition will be given below – and their characteristics are well known from daily life. In process engineering fluids are important as solvent, transport medium or even as fuel but also make up a large part of many chemical products. Water and air are of course of great importance, hence names such as hydro- and aerodynamics. The field of fluid mechanics, which is a speciality in itself, covers fluid statics which primarily addresses fluids in rest, and fluid dynamics that concentrates on fluid flow in or around tubes or more complicated structures like vehicles or buildings, not to mention the atmosphere and oceans, seas, rivers etc. Important is the distinction between so-called laminar and turbulent flows (as noted in Chapter 5), and the fact that velocity is a vector. The complications of vector calculus and our limited understanding of turbulence have nonetheless, with improved numerical procedures and computing power resulted in the development of what is known as computational fluid dynamics, CFD – see ÅA course 424512 Introduction to CFD. In this chapter fluid statics is briefly touched upon, addressing static pressure and its measurement, buoyancy and surface tension. Most of the chapter will focus on fluid flow and its description as either laminar or turbulent flow, relating shear stress to viscosity and velocity gradients. This paves the way to flow in tubes and tube networks with bends, valves, etc., where pressure drop calculations are essential for the selection of pumps or compressors. Flow measurement is touched upon as well. Finally, flow around objects and the resulting drag forces are considered. Extensions to all this, such as two-phase of multi-phase flow, gas/solid and liquid/solid separations (but also particulate technology and powder handling) are given in ÅA course 424514 Fluid and particulate systems.

Vätskor och gaser, som tillsammans kallas fluider ‒ en mer exakt definition ges nedan ‒ och deras egenskaper är väl kända från vardagen. Inom processtekniken är fluider viktiga som lösningsmedel, transportmedium och även som bränsle och utgör även en stor del av flera kemiska produkter. Vatten och luft är naturligtvis av stor betydelse, därav namn såsom hydro- och aerodynamik.

Området strömningsmekanik, vilket är en specialitet i sig, täcker hydrostatik som främst behandlar fluider i vila, och fluiddynamik som koncentrerar sig på vätskeflödet i eller runt rör eller mer komplicerade strukturer som fordon eller byggnader, för att inte tala om atmosfären och hav, floder etc.

Skillnaden mellan så kallad laminär och turbulent strömning är viktig (såsom noterats i kapitel 5), och faktumet att hastigheten är en vektor. Trots komplikationer med vektoranalys och vår begränsade förståelse av turbulens har man med hjälp av förbättrade numeriska metoder och datorkraft utvecklat det som kallas computational fluid dynamics, CFD - se ÅA kurs 424512 Introduction to CFD.

I detta kapitel behandlas hydrostatik kortfattat, tar itu statiskt tryck och dess mätning, flytkraft och ytspänning. Merparten av kapitlet fokuserar på vätskeflöde och dess beskrivning som antingen ett laminärt eller turbulent flöde, där skjuvspänning relateras till viskositet och hastighetsgradienter. Detta banar väg för flöden i rör och rörnätverk med krökar, ventiler, m.m. där tryckfall beräkningar är nödvändiga för valet av pumpar eller kompressorer. Flödesmätning behandlas också. Slutligen övervägs flöde runt föremål och de resulterande drag-krafterna.

Utöver allt detta, såsom två-fas och flerfas flöden, gas/fast fas och vätske/ fast fas separationer (även partikel teknik och pulver hantering) ges i ÅA kurs 424514 Fluid and particulate systems.

6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 2013

Fluid mechanics: fluid statics, fluid dynamics

6-2

6.1 Fluid statics

6.1.1 Static pressure, pressure measurement The behaviour of stationary fluids is described by fluid statics. A liquid in a container forms a layer with a distinct surface, and exerts forces on the walls supporting it, while a gas will fill the whole container. As illustrated by Fig. 6.1, two types of forces act on a fluid volume element: surface (pressure) forces body (gravitational) forces.

Pressure is defined as surface force/area, for example for force Fb:

acting on the bottom surface of the volume element in vertical direction (here the z-direction is taken upwards). Note that the static pressure p at z = z1 is the same in all directions: it is a scalar.

The horizontal forces are balanced:

and: The pressure difference between vertical positions z = z1 and z = z1 + h follows from the weight of the volume element, with liquid density ρ and gravity g:

6.1 Hydrostatik 6.1.1 Statiskt tryck, tryckmätning Beteendet hos stationära fluider beskrivs av hydrostatik. En vätska i en behållare bildar ett skikt med en tydlig yta, och utövar krafter på väggarna som stöder den, medan en gas fyller hela behållaren.

Som illustreras av fig. 6,1, verkar två typer av krafter på ett volymelement av en fluid: • yta (tryck) krafter • kropps (dragningskraft) krafter.

Tryck definieras som ytkraft / area, till exempel för kraft Fb: verkar på bottenytan av volymelementet i vertikal riktning (här z-riktningen uppåt). Notera att det statiska trycket p vid z = z1 är densamma i alla riktningar: det är en skalär. De horisontella krafterna är balanserade:

och:

Tryckskillnaden mellan de vertikala lägen z = z1 och z = z1 + h följer vikten av volymelementet, med vätskans densitet ρ och tyngdkraften g:

Fig. 6.1 Forces on a fluid volume element with volume h×d×w and density ρ Krafter på ett volymelement med volym h×d×w och densitet ρ (KJ05)

(Pa) 1zzb

bp

wd

Fp

(Pa) 0

(N) 0

pppdhpdhp

FF

ewew

ew

(Pa) 0

(N) 0

pppwhpwhp

FF

snsn

sn

; ;

11

11

hgppwd

Fp

wd

FpFwdhgF

hzzzz

thzz

bzzbt

(6-2)

(6-3)

(6-1)

(6-4)


6-3

If z = z1+h is at the fluid surface, exposed to atmospheric pressure p0, then

The U-tube manometer is based on the relation between depth and pressure in static fluids, with one end open to the atmosphere at patm ≈ 101325 Pa. As in Fig. 6.2, with gravity g and densities ρg and ρl for gas and liquid, respectively: Note that the U-tube manometer measures pressure differences! A device for measuring atmospheric pressure (which cannot be done using an U-tube manometer!) is referred to as a barometer. A closed tube filled with mercury (Hg) is (quickly) put upside-down in an open container filled with Hg as in Fig. 6.3. Gravity causes the Hg level in the tube to fall, but no air can enter the tube. The small gas volume trapped is Hg vapour at equilibrium with liquid Hg, which at 20°C has a vapour pressure as low as 0.158 Pa.

Om z = z1 + h är vid fluidens ytan, utsätts den för atmosfärstryck p°, då är

U-rörsmanometerns funktion baserar sig på förhållandet mellan djup och tryck i statiska vätskor, med ena änden öppen mot atmosfären vid patm ≈ 101325 Pa som i fig. 6.2, med tyngdkraften g och densitet ρg och ρl för gas och vätska, respektive:

Observera att U-rörsmanometrar mäter tryckskillnader!

En anordning för mätning av atmosfärstryck (vilket inte kan göras med användning av en U-rörsmanometer!) kallas en barometer. Ett slutet rör fyllt med kvicksilver (Hg) är (snabbt) satt upp och ned i en öppen behållare fylld med Hg som i fig. 6.3. Tyngdkraften får Hg-nivån i röret att sjunka, men ingen luft kan komma in i röret. Den lilla gasvolymen instängd är Hg-ånga vid jämvikt med flytande Hg, vilket vid 20 °C har ett ångtryck så lågt som 0,158 Pa.

·g·h – p p

»ρ ρ·g·hρ·g·hρ – pp

p)·g h·(h ρ p·g ·h ρ·g ·hρ

p p

p)·g hh p·g h(h p

p·g ·h ρ·g ·h ρ p·g ·h ρ p

p·g ·h ρ p

latm A

glglatm A

atmlAgl

AB

atmlFlD

BglClD

BgC

3

13

2312

2323

122

1

ρ

(ρ)ρ

med och / withand

med ger, vilket / withgives, which

sida andra den från och, / side other the from also, and

hgppzz

01

Fig. 6.2 U-tube manometer U-rör manometer (KJ05)

(6-6)

(6-5)



6-4

A force balance for the tube gives: After E. Torricelli the unit 1 torr = 1 mm Hg pressure. 1 atm = 760 torr at 0°C. Liquid Hg density =13546 kg/m3 at 20°C. 6.1.2 Bouyancy Buoyancy (fi: nostovoima), or buoyant force acts on all objects immersed or submerged in a fluid. It is an overall upwards force on the object as the result of the fact that pressure p in a static fluid increases with depth. In short: buoyancy = weight of displaced fluid – see Fig. 6.4. According to history it was in 212 B.C. that Archimedes of Syracuse stated that “any floating object displaces its own weight of fluid”.

For an immersed object, horizontal forces cancel each other. The two vertical forces are gravity and buoyancy.

En kraftbalans för tuben ger:

Efter E.Torricelli enheten 1 torr = 1 mm Hg tryck. 1 atm = 760 torr vid 0°C. Flytande Hg densitet är 13546 kg/m3 vid 20 °C. 6.1.2 Flytkraft Flytkraft (fi: nostovoima), verkar på alla föremål helt och delvis nedsänkta i en fluid. Det är en allmän uppåtriktad kraft på föremålet som är ett resultat av det faktum att trycket p i en statisk vätska ökar med djupet. Kort sagt: flytkraft = vikt av förskjuten vätska - se fig. 6.4. Enligt historien var det i 212 f Kr att Arkimedes från Syracuse lade fram att "alla flytande föremål förskjuter sin egen vikt i vätska".

För ett helt nedsänkt föremål tar de horisontella krafterna ut varandra. De två vertikala krafterna är tyngd- och flytkraft.

Fig. 6.3 Barometer Barometer (KJ05)

(Pa)

158.0 with/med

(Pa)

20,

,

HgHgatm

atmCHgvap

atmHgHgHgvap

hgp

pPap

phgp

Fig. 6.4 Buoyancy force FB, pressure p, gravity force m·g and centre of gravity CG Flykraft FB, tryck p, tyngdkraft m·g och tyngdpunkt CG (KJ05) http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/Vitruvius.html

(6-7)


6-5

The forces on the surface of the object are the same as when that surface would be filled with the fluid. Thus, the buoyant force on a mass with volume V is equal (but opposite in sign) to the weight of the fluid in the volume V, and acts on the same centre of gravity (CG), as shown in Fig. 6.4: For any object the buoyancy force it experiences may be less than, equal to or larger than its weight:

if FB > weight: the object will rise/float,

if FB < weight: the object will sink,

FB = weight: the object will float in suspension.

For example, for the geometry shown in Fig. 6.5 (left) and densities ρ: with object mass m0. For cases with water (w) and air (a), as in Fig. 6.5 (right):

6.1.3 Surface tension A liquid at a material interface, usually liquid-gas, exerts a force Fint per unit length L along the surface

– see Fig. 6.6.

Krafterna på ytan av föremålet är samma som om denna yta skulle fyllas med fluiden. Således, är det lyftkraften på en massa med volymen V lika (men motsatt tecken) till vikten av fluiden i volymen V, och verkar på samma tyngdpunkten (CG, centre of gravity), såsom visas i fig. 6.4:

Flytkraften som alla föremål upplever kan vara mindre än, lika med eller större än dess vikt:

• FB > vikt: föremålet kommer att stiga/ flyta,

• FB < vikt: föremålet kommer att sjunka,

• FB = vikt: föremålet kommer att flyta i suspension.

Till exempel, för geometrin som visas i fig. 6.5 (vänster) och densitet ρ:

med föremål med massan m0. För fall med vatten (w) och luft (a), som i figur 6.5 (höger):

6.1.3 Ytspänning

En vätska vid ett materialgränssnitt, vanligen vätska- gas, utövar en kraft Fint per längdenhet L längs ytan ‒ se fig.

6.6.

(Pa) ·V·g - ·gm - F fluidfluidB ρ

21tot2211tot0

00

2211

V V Vand/och V

med jämvikt i / withmequilibriu in

·Vρ·Vρρ

·gV ρ·g m F

)·g·Vρ·V (ρ F

·

tot·gravity

B

W

0

tot

Wtot0

V

V V

ww·wwwwaaB ·Vρρ·g·Vρ)·g·VρV (ρ F

Fig. 6.5 Buoyancy of a partially submerged Flytkraft för ett delvis sänkat objekt (KJ05)

Fig. 6.6 Surface tension / ytspänning http://www.chem1.com/acad/sci/aboutwater.html

(6-8)

(6-9)

(6-10)



6-6

It is the result of molecular attraction at a liquid surface being different from that ”in” the liquid, making the surface act like a stretched membrane. Surface tension σ or γ (unit: N/m) quantifies this force: For water-air at ~20°C γ = 0.073 N/m. Phenomena that result from surface tension are contact angle, capillary rise, and bubbles and droplets formation.

A dimensionless number named after M. Weber gives the ratio of inertial and surface tension forces, for a characteristic velocity v for a system that involves fluid motion, for example in a spraying process:

6.2 Fluid dynamics

6.2.1 Internal friction, viscosity Fluids will (try to) resist a change in shape, as will occur in fluid flow situations where different fluid elements have different velocities. In fact this gives the definition of “fluid”: a fluid is a substance that deforms continuously under the application of a shear stress.

Ytspänning är resultatet av molekylär-attraktion på en vätskeyta som skiljer sig från det "i" vätskan, vilket gör att ytan fungerar som en sträckt membran. Ytspänning σ eller γ (enhet: N/m) kvantifierar denna kraft:

För vatten-luft vid ~ 20°C γ = 0,073 N/m. Fenomen som är en följd av ytspänning är kontaktvinkel, kapillär stigning och bubbel- och droppbildning.

Ett dimensionslöst tal namngivet efter M. Weber ger förhållandet mellan tröghets- och ytspänningskrafter, för en karakteristisk hastighet v för ett system som innefattar fluider i rörelser, till exempel i en spraynings process:

6.2 Fluid dynamik

6.2.1 Intern friktion, viskositet

Fluider kommer (att försöka) motstå en formförändring, vilket sker i fluidflödes-situationer där olika fluidelement har olika hastigheter.

I själva verket ger detta definitionen av "fluid": en fluid är en substans som deformerar kontinuerligt under påverkning av en skjuvspänning.

γ

ρ

γ

ρ 222 Lv

L

LvWe

LF γint

Fig. 6.7 Shear stress τ on walls and fluid elements Skjuvspänning t vid väggen och på fluidumelement (T06)

(6-11)

(6-12)


6-7

Consider fluid flow between plates as in Fig. 6.7:

the no-slip condition 1 says that at the wall the velocity of the fluid is the same as the wall velocity, for a fixed wall vfluid = 0 at the wall;

between the plates a velocity profile exists: vx = vx(y);

shear stresses, τfluid, arise due to velocity differences between different fluid elements.

Refer to Fig. 6.8 for a fluid between plates with width W (m), distance d (m). The shear force F = (Fx,Fy,Fz) = (Fx,0,0) (unit: N) to pull the fluid at velocity v = (vx,vy,vz) = (vx,0,0) gives a shear stress τyx = shear force per surface (unit: N/m2) in the fluid at y = d that is equal to: Here τyx is the shear stress in direction ”x” in a plane for constant ”y”. This in fact defines the dynamic viscosity η (unit: Pa·s = kg·m-1·s-1).

It is very important to observe the sign convention: τyx at y = y0 is the shear stress of fluid elements with y < y0 on the fluid elements with y > y0. As a result Fx > 0 if dvx/dy < 0, hence the “–“ sign in the expression for τyx.

1 This applies always except for very low pressure gases, for example in the upper atmosphere

Betrakta fluidflöde mellan plattor som i fig. 6.7:

• no-slip tillståndet 2 säger att vid väggen är fluidens hastighet densamma som väggens hastighet, för en fast vägg vfluid = 0 vid väggen;

• mellan plattorna finns en hastighetsprofil: vx = vx(y);

• skjuvspänningar, τfluid, uppstår på grund av skillnader i hastighet mellan olika fluidelement.

Se fig. 6.8 för en fluid mellan plattor med bredden W (m) och längden d (m). Skjuvkraften F = (Fx, Fy, Fz) = (Fx, 0,0) (enhet: N) för att dra fluiden med hastigheten v = (vx, vy, vz) = (vx, 0,0) ger en skjuvspänning τyx = skjuvkraft per yta (enhet: N/m2) i fluiden vid y = d som är lika med: Här är τyx skjuvspänningen i riktning "x" i ett plan med konstant "y". Detta är i själva verket definitionen för dynamisk viskositet η (enhet: Pa·s = kg· m-1· s-1). Det är mycket viktigt att observera överenskommelsen om att tecknet: τyx vid y = y0 är skjuvspänningen av fluidelementet med y < y0 för fluidelementen med y > y0. Som ett resultat Fx > 0 om dvx / dy <0, därför "-" tecknet i uttrycket för τyx.

2 Detta gäller alltid förutom för mycket låga gas tryck, till exempel i den övre atmosfären

y

v

dy

dv

LW

F

surface

Fxx

dy

fluidwallxwallfluidx

yx

, ,

Fig. 6.8 Velocity profile for flow between two parallel plates Hastighetsprofil för strömning mellan två parallella plan http://www.physics.uc.edu/~sitko/CollegePhysicsIII/9-Solids&Fluids/Solids&Fluids.htm

(6-13)



6-8

The linear relation between τyx and dvx/dy

is referred to as Newton’s Law which holds for so-called Newtonian fluids.

For non-Newtonian fluids other, more complicated relations between shear force and velocity gradient hold: for example, Bingham fluids (toothpaste, clay) or pseudo-plastic (Ostwald) fluids (blood, yoghurt). For those, viscosity is a function of the velocity gradient: Fig. 6.9 illustrates this.

Note that the flow of a fluid between plates, or in a tube or on a surface doesn’t necessarily require moving walls: usually the driving force is gravity or a static pressure difference. (The latter can be created by a pump or compressor.)

Viscosity, which is a material property for a fluid, is a measure for a fluid’s resistance to flow. It determines the internal friction of a moving fluid (which eventually results in lower velocities and/or pressure drop). Also widely used besides dynamic viscosity η (or µ) is the kinematic viscosity ν = η/ρ (unit: m2/s). (See also section 5.2.1). Figure 6.10 gives some data for viscosity of several gases, liquids and oils.3 For gases the viscosity increases with temperature, ~T(K)1.5-2, for liquids it decreases with temperature. (The values for gas and liquid become identical at the critical point for a given substance.) 3 SAE = Society of Automotive Engineers

Det linjära sambandet mellan τyx och dvx/dy kallas Newtons lag som gäller för så kallade newtonska fluider. För icke-newtonska fluider gäller andra mer komplicerade förhållanden mellan skjuvkraft och hastighetsgradient: exempelvis Bingham fluider (tandkräm, lera) eller pseudo-plastiska (Ostwald) fluider (blod, yoghurt). För dem, är viskositeten en funktion av hastighets-gradienten:

fig. 6.9 illustrerar detta.

Observera att flödet av en fluid mellan plattor, eller i ett rör eller på en yta kräver nödvändigtvis inte rörliga väggar: vanligtvis är tyngdkraften drivkraften eller en statiskt tryckskillnad. (Det senare kan skapas med en pump eller kompressor.)

Viskositet, vilket är en väsentlig egenskap för en fluid, är ett mått på en fluids motstånd till flöde. Den bestämmer den inre friktionen hos en rörlig fluid (som så småningom resulterar i lägre flödeshastigheter och / eller tryckfall). Ofta används förutom dynamisk viskositet η (eller μ) även den kinematiska viskositeten ν = η / ρ (enhet: m2 / s). (Se även avsnitt 5.2.1).

Figur 6.10 ger några uppgifter om viskositet för flera gaser, vätskor och oljor.3 För gaser ökar viskositeten med temperaturen, ~ T(K)1,5-2, för vätskor minskar den med temperaturen. (Värdena för gas och vätska blir identiska vid den kritiska punkten för ett visst ämne.)

dy

dv

dy

dv xxyx )(

Fig. 6.9 Newtonian and non-Newtonian liquids Newtonska och icke-Newtonska vätskor (BMH99)

(6-14)


6-9

6.2.2 Shear stress and viscous work Internal friction in a fluid flow is the result of viscosity and velocity gradients giving shear and compressive stresses as shown in Fig. 6.11. These can either deform, or rotate a small fluid element. In a 3-dimensional system, nine stresses occur of which six are shear stresses: τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz and three or compressive stresses (i.e. pressure): τxy, τyy and τzz (for a Cartesian x,y,z coordinate system 4). Again, note that τxy is a stress in direction y in an x-plane.

The expressions for the stresses can be given either with dynamic viscosity or kinematic viscosity:

4 Likewise, nine stresses in 3-D cylindrical or spherical coordinates give τrz , τrθ etc.

6.2.2 Skjuvspänning och visköst arbete Inre friktion i ett fluidflöde är resultatet av viskositets- och hastighetgradienter vilka orsakar skjuvnings- och tryckspänningar som visas i fig. 6.11. Dessa kan antingen deformera eller rotera ett litet fluidelement. I ett 3-dimensionellt system förekommer nio spänningar varav sex är skjuvspänningar: τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz och tre tryckspänningar (dvs. tryck): τxy, τyy och τzz (för en kartesisk x,y,z- koordinat-system 5 ). Återigen, observera att τxy är en spänning i riktning ”y” i ett ”x”-plan.

Uttrycken för spänningarna kan ges antingen med dynamisk viskositet eller kinematisk viskositet:

5 Likaså nio spänningar i 3-D cylindriska eller sfäriska koordinater ger τrz, τrθ o.s.v.

Fig. 6.10 Dynamic viscosity for several liquids and gases Dynamiska viskositet för några vätskor och gaser

Fig. 6.11 Shear stresses and compressive stresses on a fluid volume element Skjuvspänningar och tryckspänningar på ett vätskevolymelement (SSJ84)

etc. ;;dy

vd

dy

dv

dy

vd

dy

dv zzyz

xxyx

ρνντ

ρνητ (6-15)



6-10

where the expressions with kinematic viscosity in fact give expressions for momentum transfer.6 The so-called nabla (vector) operator allows for compact notation for (∂ /∂x, ∂ /∂y, ∂ /∂z) (in Cartesian coordinates); full notation for grad v = v and div v = ·v are: Thus, for fluid flow with velocity vector v the description is more complicated than that for temperature T or concentration c, which are scalars with 3-dimensional gradients T = (∂T/∂x, ∂T /∂y, ∂T /∂z), etc. – see section 5.6.

For more detail see material on vector calculus; to finalise it suffices here to note that gradients of a scalar property give a vector (or 1st order tensor); gradients of a vector property give a 2nd order tensor, etc; the vector product ·v is a scalar. A 2nd order tensor (like the shear stress tensor τ) is usually noted with double underline, τ , and is a vector.

Although tensor calculations can be complicated (and simplification to vectors or even scalars is often possible) it can be used to elegantly calculate7 the work needed to overcome viscous friction forces in a moving fluid. See for example Fig. 6.7: with the shear stresses on a fluid volume element expressed as tensor τ ,

the viscous shear force on a certain area A of the volume element is equal to Fvisc = Ατ , with A = An for normal vector

n. If the velocity equals v at surface A then the rate of viscous work done by the fluid at surface A equals Wvisc = Fvisc·v = τ ·A·v.

For a certain volume element of the volume (inside which v and τ can vary)

6 Or, ”diffusion” of momentum, with ”diffusion” coefficient ν (m2/s); similar to Fourier’s and Fick’s expressions for heat and mass transfer. 7 Outside the scope of this course, nonetheless see Exercise 6.3.

där uttryck med kinematisk viskositet faktiskt ger uttryck för impulsöverföring8. Den så kallade nabla (vektor) operatören tillåter kompakt notation för (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) (i kartesiska koordinater); full notation för grad v = v och div v = ·v är: Således för vätskeflöde med hastighets-vektor v beskrivningen är mer komplicerad än för temperaturen T eller koncentration c, som är skalärer med 3-dimensionella gradienter T = (∂T/∂x, ∂T/∂y, ∂T/∂z) etc. - se avsnitt 5.6. För mer information se material på vektoranalys, för att sammanfatta räcker det här att konstatera att gradienter med skaläregenskaper ger en vektor (eller 1:a ordningens tensor), gradienter med vektoregenskaper ger en 2:a ordningen tensor, etc. vektor produkten ·v är en skalär. En 2:a ordningens tensor (som skjuvspänningen tensor τ) noteras vanligtvis med dubbel understrykning, τ ,

och är en vektor.

Även om tensorberäkningar kan vara komplicerade (och förenkling till vektorer eller ens skalärer är ofta möjligt) kan de elegant användas för att beräkna9 det arbete som krävs för att övervinna de viskösa friktionskrafterna i en strömmande fluid. Se fig. 6.7 som ett exempel på skjuvspänningar på ett volymelement fluid uttryckt som en tensor τ , den viskösa

skjuvkraften på ett visst område A av volymselementet är lika med Fvisc = Ατ ,

med A = An för normala vektor n. Om hastigheten v är lika vid ytan A då är andelen visköst arbete utfört av vätskan vid ytan A är lika Wvisc = Fvisc·v = τ ·A·v. För

ett visst volymelement av volymen (inuti vilken v och τ kan variera) med den totala

8 Eller "diffusion" av impuls, med "diffusions" koefficient ν (m2/s), som liknar Fouriers och Ficks uttryck för värme- och masstransport. 9 Utanför ramen för denna kurs, se ändå Övning 6.3.

z

v

z

v

z

vy

v

y

v

y

vx

v

x

v

x

v

v

zyx

zyx

zyx

z

v

y

v

x

vv zyx

(6-16,a,b)


6-11

with total outside surface A, the rate of work done can be found by integrating over the total surface: The calculated friction work gives a heat effect that typically is dissipated. Fortunately, the equations are simplified by regions where v = 0 so no work is done (at the wall); also at points where velocity and shear are perpendicular τ ·v = 0 and

no work is done (and ∫A simplifies). 6.2.3 Laminar versus turbulent flow (See also section 5.2) At low velocities a fluid flow can be visualised as layers (“lamina”), each with a certain velocity, that interact via so-called shear stresses (besides compressive forces) that deform them. Viscous forces between such layers imply maintaining this layered structure while dampening oscillations. With increasing velocities the shear forces cannot prevent that oscillations result in rotations and swirl occurs – see also Fig. 5.10: so-called turbulent eddies are produced.

The transition from laminar flow to turbulent flow is determined by dynamic viscosity η, the velocity v of the flow, a length dimension L of the flow (for example, tube diameter) and the density ρ of the fluid. It was observed by O. Reynolds in 1883 in a well-known dye-streak experiment – see Fig. 6.12 – that the flow of fluid in a circular tube changes

yttre ytan A, kan graden av utfört arbete hittas genom att integrera över den totala ytan: Det beräknade friktionsarbete ger en värmeeffekt som vanligtvis försvinner. Lyckligtvis kan ekvationerna förenklas i områden där v = 0 där inget arbete utförs (på väggen), även på ställen där hastighet och skjuvning är vinkelräta τ ·v = 0 utförs

inget arbete (och ∫A förenklas). 6.2.3 Laminär kontra turbulent strömning (Se även avsnitt 5.2) Vid låga hastigheter kan fluidflöde visualiseras som skikt ("lamina"), var och ett med en viss hastighet, som samverkar genom så kallade skjuvspänningar (förutom tryckkrafter) som deformerar dem. Viskösa krafter mellan sådana skikt innebär upprätthållande av denna skiktade struktur medan svängningar dämpas. Med stigande hastigheter kan inte skjuv-krafterna dämpa svängningarna som i tur leder till att rotationer och virvlar uppkommer - se även fig. 5.10: så kallade turbulenta virvlar uppstår.

Övergången från laminär strömning till turbulent strömning bestäms genom dynamisk viskositet η, hastigheten v hos flödet, en längddimension L av flödet (till exempel, rördiameter) och densiteten ρ hos fluiden. Det observerades av O. Reynolds 1883 i ett välkänt färg-strimme-experiment - se fig. 6.12 - att flödet av en fluid i ett cirkulärt rör förändras från

A

visc AdvτW )(

Fig. 6.12 O. Reynolds laminar – turbulent flow transition measurement in 1883 O. Reynolds laminar – turbulent strömning övergångsmätning i 1883 (T06)

(6-17)



6-12

from laminar to turbulent at Reynolds’ number Re ~ 2300 (being fully turbulent at Re = 4000), where the dimensionless Reynolds number is defined as For volume flow V (m3/s) through a cross section A (m2), velocity |v| can be taken to be the cross-sectional average velocity <v> = V /A (m/s) in the flow direction. 6.2.4 Boundary layer flow (See also section 5.2) For flow along a surface, the zero-slip condition results in a thin interface layer (~ 0.01 – 1 mm) of fluid where the velocity increases from v = 0 at the surface to the free-flow velocity further away from the surface. Indicated in Fig. 6.13 is the thickness, δ(m) of the so- called boundary layer which is typically taken as the position where the flow velocity is 99% of that of the undisturbed flow: v(x) = 0.99·V∞. In the boundary layer – the theory of which dates back to the work of L. Prandtl in 1904 – all the viscous effects of the surface are assumed concentrated. As also shown in Fig. 6.13, a boundary layer can develop from laminar to turbulent flow (for a plane surface at Re ~ 500000). As discussed in Chapter 5 this hydrodynamic boundary layer thickness is different from the thermal boundary layer thickness that controls convective heat transfer. 10

10 For an extensive analysis of boundary layer fluid dynamics, see “Boundary Layer Theory” by H. Schlichting (1951, first English edition 1979).

laminärt till turbulent vid Reynolds tal Re ~ 2300 (som är helt turbulent på Re = 4000), där det dimensionslösa Reynolds talet definieras som

För volymflödet V (m3/s)) genom ett tvär-snittet A (m2), hastigheten |v| kan antas vara medelhastigheten över tvärsnitts-arean <v> = V /A (m/s) i flödes-riktningen. 6.2.4 Gränsskikts flöde (Se även avsnitt 5.2) För flöde längs en yta resulterar s.k. zero-slip tillståndet i ett tunt gränsskikt (~ 0,01 till 1 mm) fluid där hastigheten ökar från v = 0 vid ytan till den fria flödeshastigheten längre bort från ytan. I fig. 6.13 visas tjockleken δ(m) för det så kallade gränsskiktet som typiskt tas som position där flödeshastigheten är 99% av den för ett obehindrat flöde: v(x) = 0.99·V∞. I gränsskiktet – i teorin som går tillbaka till arbetet av L. Prandtl i 1904 – antas alla viskösa effekter av ytan vara koncentrerade. Såsom också visas i fig. 6.13, kan flödet i gränsskiktet utvecklas från laminärt till turbulent (för en plan yta på Re ~ 500000). Som diskuterats i kapitel 5 skiljer detta hydrodynamiska gränsskikts tjocklek sig från det termiska gränsskiktets tjocklek som styr konvektiv värmeöverföring.11

11 För en omfattande analys av gränsskikts-fluiddynamik, se " Boundary Layer Theory" av H. Schlichting (1951, första engelska upplagan 1979).

aft)(viskös kr

raft)(tröghetsk

L

v

vv

force viscous

force inertial L

Lv Re

2

η

ρ

η

ρ

η

ρ~

Fig. 6.13 A laminar + turbulent boundary layer Ett läminärt + turbulent gränsskikt (KJ05)

(6-18)


6-13

6.2.5 Laminar film flow The description of fluid flow using the concepts viscosity and shear stress allows for describing laminar fluid flow analytically. If turbulence features (that give additional friction besides those described by viscosity) are absent the relation between velocity gradients and shear stresses can be directly applied. This is illustrated by the case12 of stationary laminar flow of water running down a vertical surface (with given width) as a film with thickness d – see Fig. 6.14a.

Given: a steady-state flow rate V = 1.2 m3/h; surface width W = 1 m, water dynamic viscosity η = 0.001 Pa·s and density ρ = 1000 kg/m3; gravity acceleration g = 9.8 m/s2.

The expression for the shear stress distribution allows for producing and the expression for the velocity profile: the vertical force balance for a volume element with length dy as shown gives Fgravity = Fshear, i.e. using the definition of shear stress as to obtain velocity gradient information. The maximum velocity vy = vy,max occurs at the free surface x = d, where vy,max = ½ρgd2/η. 12 Source/källa: SSJ84

6.2.5 Laminärt filmflöde Beskrivningen av fluidflöde med begreppen viskositet och skjuvspänning tillåter en analytisk beskrivning av laminära fluidflöden. Om turbulenta egenskaper (som ger ytterligare friktion förutom de som beskrivits av viskositet) är frånvarande kan förhållandet mellan hastighetsgradienter och skjuvspänningar direkt tillämpas. Detta illustreras med fallet12 där ett stationärt laminärt flöde av vatten rinner ner längs en vertikal yta (med given bredd) bildar en film med tjockleken d - se fig. 6.14a.

Givet: ett steady-state flöde V = 1.2 m3/h, ytbredd W = 1 m, vattnets dynamiska viskositet η = 0,001 Pa·s och densitet ρ = 1000 kg/m3 och tyngdaccelerationen g = 9,8 m/s2. Uttrycket för skjuvspänningsfördel-ningen gör det möjligt att ställa fram och uttrycka hastighetsprofilen: den vertikala kraftbalansen för ett volymelement med längd dy såsom visas ger Ftyngd = Fskjuv, dvs där definitionen av skjuvspänningen används för att få information om hastighetsgradienten. Den maximala hastigheten vy = vy,max inträffar vid den fria ytan x = d, där vy,max = ½ρgd2/η.

a) b)

)½()(

)(

,)(

)(

)()(

2

00 η

ρ

η

ρ

η

ρρητ

0τ0τ

xxdg

dxgxd

dxdx

dvxv

gxd

dx

dvgxd

dx

dv

gxdρdyWgdyWxdρ

xxy

y

yyxy

xyxy

:nintegratio / gintegratin

with/med

Fig. 6.14 Laminär liquid film flow a) forces and geometry, b) velocity and shear stress profiles Laminär vätskeskiktströmning a) krafter och geometri, b) hastighet och skjuvspännings-profiler (SSJ84)

(6-19a)



6-14

From this, an average value <vy> can be calculated by integration over thickness d, and the volumetric flow rate V can be found, as well as fluid layer thickness d: With the given data this gives: vy,max = 1.07 m/s, <vy> = 0.71 m/s; d = 0.47 mm. The resulting velocity and shear stress profiles are given in Fig. 6.14b. 6.3 Fluid flow: internal flow 6.3.1 Internal flows, velocity profiles At mentioned above, the flow of fluid in a tube or other confinement (also referred to as “internal flow”, distinguished from “external flow” around objects or structures) is characterised by: zero velocity (the no-slip condition) at

the walls; and maximum velocity furthest from the

walls (i.e. at a tube flow centre line or at a free surface).

The velocity profile is the result of viscous friction, and for turbulent flow also ”eddy” currents. Viscosity as experienced is a combination of molecular viscosity (a fluid property) and so-called ”eddy viscosity” (a flow property): η = ηviscous + ηeddy, as illustrated by Fig. 6.15.

In many applications a plug flow idealisation may be assumed, described by an average velocity <v> for all positions (except, of course, at the wall).

Från detta, kan ett medelvärde <vy> beräknas genom integration över tjockleken d och den volymetriska

flödeshastigheten V kan hittas samt fluidskiktets tjocklek d: Med given data fås följande: vy,max = 1.07 m/s, <vy> = 0.71 m/s; d = 0.47 mm. De resulterande hastighets- och skjuv-spänningsprofilerna ges i fig. 6.14b. 6.3 Fluidflöde: interna flöde 6.3.1 Interna flöden, hastighetsprofiler Som nämnts tidigare, är flödet av fluid i ett rör eller annan inneslutning (även kallad "internt flöde", skiljer sig från "yttre flöde" runt objekt eller strukturer) kännetecknat av: • hastigheten noll (no-slip tillstånd) vid väggarna, och • maximal hastighet längst bort från väggarna (dvs. vid ett rör flöde vid mittlinjen eller vid en fri yta). Hastighetsprofilen är resultatet av viskös friktion, och för turbulent flöde även "virvelströmmar”. Erfaren viskositet är en kombination av molekylär viskositet (en vätske-egenskap) och så kallade "virvelviskositet" (en flödesegenskap): η = ηviscous + ηeddy, vilket illustreras i fig. 6.15. I många tillämpningar antas idealt kolvströmning som kan beskrivas med en medelhastighet <v> för alla positioner (utom naturligtvis vid väggen).

3

0

22

0

ρ

η3

η3

ρ

η

ρ11

g

Vd

dW

Vv

gddxxxd

g

ddxxv

dv

y

dd

yy

gives/ger and/och

)½()(

Fig. 6.15 Plug flow idealisation (left); velocity profile (centre); turbulent eddies (right) Kolvströmningidealisering (vänster); hastighetprofil (mitten); turbulenta virvlar (höger)

(6-19b)


6-15

6.3.2 Laminar, turbulent velocity profiles

For a steady-state fluid flow between two stagnant parallel plates – see Fig. 6.16 (left) – the forces on a volume element between point ”1” and ”2” and between y=0 (centre line) and y=y are (for plate width W) : The force balance gives: Note: τyx acts on fluid y > yelement, so -τyx acts on fluid y < yelement (the fluid element). Calculation of the velocity profile and maximum velocity by integration gives:

Calculation of the flow rate, V (m3/s): for plate spacing d gives also averaged velocity <vx>. The shear stress (straight line) and velocity profile (parabola) are shown in Fig. 6.16 (right). A very important laminar fluid flow case for technical applications is that in a circular tube, known as Hagen-Poiseuille flow (named after two researchers who described it at about the same time) – see Fig. 6.17. It’s description follows the same lines as the previous case: from force balance via velocity gradient to velocity profile.

6.3.2 Laminära och turbulenta hastighetsprofiler

För ett steady-state fluidflöde mellan två stillastående parallella plattor - se fig. 6.16 (vänster) - är krafterna på ett volym-element mellan punkterna "1" och "2" och mellan y = 0 (mittlinje) och y = y är (för en plåt med bredden W): Kraftbalansen ger: Notera: τyx verkar på fluiden y > yelement, och därmed verkar τyx på fluiden y < yelement (fluidelementet). Beräkning av hastighetsprofilen och den maximala hastigheten genom integrering ger:

Beräkning av flödet, V (m3/s): för plattavståndet d ger också genomsnittshastigheten <vx>. Skjuvspän-ningen (rak linje) och hastighetsprofilen (parabel) visas i fig. 6.16 (höger). En mycket viktig typ av laminärt fluidflöde för tekniska tillämpningar är det i ett cirkulärt rör, ett så kallat Hagen-Poiseuille flöde (uppkallat efter två forskare som beskriv det ungefär samtidigt) - se fig. 6.17. Dess beskrivning följer samma linjer som det tidigare fallet: från kraftbalans via hastighetsgradient till hastighetsprofil.

½d y@ 0v and/och with/med

0

ntvolymeleme på ningskjuvsspän / element volume on force shear

tryckkraft / force pressure"2" @

; tryckkraft / force pressure"1" @

x21

2121

2

1

yL

pp

dy

dv

dy

dv

yL

ppLypyp

WL

Wyp

Wyp

xxyx

yxyx

yx

max x,x321

½

½

221max x,

22

21

v3

2v ,

12WV

0 y@ 8

42

x

d

d

x

x

vdWdL

ppWdyv

dL

ppvand/och y

d

L

ppv

Fig. 6.16 Laminar fluid flow between two flat plates Laminär vätskeströmning mellan två plana ytor (BMH99)

(6-20a)

(6-20b)

(6-20c) (6-20d)



6-16

Fig. 6.17 (left) shows the system with a fluid element and the forces on it:

Note the – sign for τrx: the shear stress on the volume element act from r > relement to r ≤ relement! The pressure gradient is written as (-dp/dx), a positive number if p1 > p2.

Calculation of the velocity profile and maximum velocity by integration gives:

Calculation of the flow rate, V (m3/s): gives also averaged velocity <vx>. The shear stress (straight lines) and velocity profile (parabola) are shown in Fig. 6.17 (right).

Of special interest are the shear stresses at the wall and at the centre line:

Figur 6.17 (vänster) visar systemet med ett fluidelement och krafterna på det:

Notera - tecknet för τrx: skjuvspänningen verkar på volymelementet från r > relement till ≤ relement! Tryckgradienten skrivs som (-dp/dx), ett positivt tal om p1 > p2. Beräkning av hastighetsprofilen och den maximala hastigheten genom integrering ger:

Beräkning av flödet, V (m3/s): ger också i genomsnittshastigheten <vx>. Skjuvspänningen (raka linjer) och hastighetsprofilen (parabel) visas i fig. 6.17 (höger). Av speciellt intresse är skjuv-spänningarna vid väggen och mittlinjen:

Fig. 6.17 Laminar fluid flow in a circular tube Laminär vätskeströmning i ett sfäriskt rör (BMH99)

Rr @ 0v and ½

with

½)(2

02)( : balance force

2)( element volume on force shear

force pressure "2" @

; force pressure "1" @

x

12

21

122

22

1

12

22

21

/ ochdx

dpr

dr

dv

dr

dv/ med

dx

dprr

xx

pp

rxxrprpans/ kraftbal

rxxent volymelempånning / skjuvspä

rpft/ tryckkra

rpft/ tryckkra

xxrx

rx

rx

rx

max x,x

max x,

vv , V

0r @

and

½

)(

x

R

x

x

vRdx

dpRdrvr

Rdx

dpv

/ ochrRdx

dprv

24

0

2

22

πη8

ππ2

η4

1

η4

1

vätskevägfluidwallvägvätskewallfluid

xrx

rx

R

v

dx

dpR

//

½

ττ

η4τ

0τ

:väggen vid / wallthe at

: center rörets vid /line centre the at

(6-21a)

(6-21c) (6-21d)

(6-21e)

(6-21b)


6-17

For high Reynolds numbers fluid flows become turbulent: for circular tubes this implies Re > 4000. (The transition range Re = 2100 – 4000 will be discussed later in more detail). Turbulent eddies and swirls result in a flattening of the velocity profile as shown in Fig. 6.18:

These profiles can be described by the following expressions13: For the turbulent flow the transition from a laminar boundary layer to the flattened turbulent core region is seen in Fig. 6.18. Cross-sectional average velocity <v> for a given velocity profile is defined as: It is also used in dimensional analysis and the resulting dimensionless groups (Re, and several others). 6.3.3 Tube flow entrance region For the entrance region of a tube flow a certain distance is required to produce a so-called ”developed flow” with a stable velocity profile where the laminar boundary layers are in place – see Fig. 6.19. For laminar tube flow, the Graetz number quantifies for the boundary layer build-up (see also section 5.2).

13 Sometimes exponent 1/8 or 1/6 is used for the turbulent velocity profile.

För höga Reynolds tal blir fluidflöden turbulenta: för cirkulära rör innebär detta Re > 4000 (övergångsområde Re = 2100 - 4000 kommer att diskuteras mer i detalj senare). Turbulenta virvlar resulterar i en tillplattning av hastighetsprofilen som visas i fig. 6.18:

Dessa profiler kan beskrivas med följande uttryck14: Övergången från ett laminärt gränsskikt till den tillplattade turbulenta kärnregionen för ett turbulentflöde visas i fig. 6.18. Medelhastigheten vid ett tvärsnitt <v> definieras för en given hastighetsprofil som: Den används också i dimensionsanalys och de resulterande dimensionslösa grupperna (Re, och flera andra). 6.3.3 Inloppsregionen för rörflöden För ett rörflöde vid inloppsregionen krävs ett visst avstånd för att producera ett s.k. "utvecklat flöde" med en stabil hastighetsprofil där de laminära gränsskikten är på plats - se fig. 6.19.

För ett laminärt rörflöde kvantifierar Graetz numret uppbyggnaden av gränsskikt (se även avsnitt 5.2).

14 Ibland används exponenten 1/8 eller 1/6 för den turbulenta hastighetsprofilen.

Laminar / laminär: vx(r) = (1 - r²/R²)·vmax (Hagen-Poisseuille) cross-sectional average / tvärsnittmedelvärde <v> = ½·vmax

Turbulent: vx(r) ≈ (1 - r/R)1/7·vmax

cross-sectional average / tvärsnittmedelvärde <v> = 0.875·vmax

Fig. 6.18 Laminar versus turbulent fluid flow in a circular tube Laminär versus turbulent vätskeströmning i ett sfäriskt rör (BMH99)

)(mπR

/s)(mV

πR

drrπ2(r)v

v22

3

2

R

0

x

(6-22a) (6-22b)

(6-23)



6-18

The entrance length Lent for a hydro- dynamically developed tube flow (tube diameter D) can be approximated by: Using the concept of hydraulic diameter (see next section) these expressions can also be used for non-circular tubes. 6.4 Fluid flow: pressure drop and

energy dissipation in tube systems 6.4.1 Tube and pipeline systems In a tube or tubing system, pressure drop losses resulting from fluid internal friction and wall friction in straight and curved tube sections, valves, inlet/outlet sections, diameter changes etc. must be compensated for. This is accomplished by adding mechanical energy via pumps, compressors, turbines or ventilators. Additional effects that must be compensated for are kinetic energy (if flow velocities change) and potential energy (for non-horizontal tube sections, as to overcome height differences). Two typical illustrations15 are given in Fig. 6.20. 15 Sources / källor: http://www.raneng.com/Arco%20EH.htm; http://www.pharmaceutical-technology.com/ contractors/water_treatment/fischer/fischer2.html

Inloppslängden Lent för ett utvecklat hydro-dynamiskt rörflöde (rördiameter D) kan approximeras med: Med hjälp av begreppet hydraulisk diameter (se nästa avsnitt) kan dessa uttryck även användas för icke-cirkulära rör. 6.4 Fluidflöde: tryckfall och energiförlust i rörsystem 6.4.1 Rör och rörsystem I ett rör eller rörsystem måste tryckfalls-förluster orsakade av inre friktion i fluiden, väggfriktion i raka och böjda rörsektioner, ventiler, ingående/utgående sektioner och diameterförändringar etc. kompenseras för. Detta åstadkommes genom tillsats av mekanisk energi med hjälp av pumpar, kompressorer, turbiner eller fläktar. Ytterligare effekter som måste kompenseras för är kinetisk energi (om flödeshastigheten förändras) och potentiell energi (för icke-horisontella rörsektioner, för att övervinna höjdskillnader). Två typiska illustrationer15 ges i fig. 6.20.

Lent ≈ 0.065·Re·D laminar/läminar Re < 2100 Lent ≈ 4.4·Re1/6·D turbulent Re > 4000

Fig. 6.19 Tube flow entrance region Rörströmningens inträdesområde (KJ05)

Fig. 6.20 Tube systems / Rörsystem (www)

(6-24a) (6-24b)


6-19

As reference points for determining the energy input needs for transporting a fluid in a tube network, consider a flow tube system from point ”1” at height z1, average

velocity <v1>, pressure p1, volume flow 1V

to point ”2” at height z2, velocity <v2>,

pressure p2, volume flow 2V . Pumping power Ppump compensates for flow friction losses Plosses (in fact, as useless heat). A general energy balance (see

Chapter 3) with heat input Q and work

input W , besides potential energy, kinetic

energy and “flow work” ( Vp ) energy gives

where ṁ·u + Vp is an enthalpy stream, Ḣ. For isothermal flows with no heat or work in/output effects it simplifies to: which is a special case, for inviscid (no viscous friction) flow, as described by Bernoulli in 1738 for incompressible flow.

With work (or power) input to compensate for friction losses

lossespump P PW and lossesQlossesP :

A yet more general approach

considers also for the non-uniform velocity profiles for a cross-section of the flow, with kinetic energy correction factor ξ. For laminar flows ξ = 2, while ξ = 1.05 .. 1.10 for turbulent flows. It follows from the fact that for a cross-sectional averaged velocity <v> there is a difference between ½·ṁ·<v>2 and the kinetic energy of the stream, Ėkin, defining ξ as for a velocity profile for v for flow cross-sectional area A. A design calculation for a tube, a tube section, or a tube network system with bends, curves, diameter changes, height differences etc. typically involves one of the following three cases:

Som referenspunkter för att fastställa energibehovet för att transportera en fluid i ett rörsystem, betrakta ett flöde i ett rör-system från punkt "1" på höjd z1, medelhastigheten <v1>, trycket p1, volym-

flöde 1V till punkt "2" på höjd z2, hastighet

<v2>, tryck p2 och volymflöde 2V . Pump-effekten Ppump kompenserar för friktions-förluster orsakade av flödet Plosses (i själva verket som oanvändbar värme). En allmän energibalans (se kapitel 3)

med värmetillförseln Q och arbetsin-

satsen W , förutom lägesenergi, rörelse-

energi och "flödesarbets" ( Vp ) energi ger

där ṁ·u + Vp är en entalpi ström Ḣ. För isotermiska flöden utan värme- eller arbets- input/output kan det förenklas till: vilket är ett specialfall, för friktionsfria (ingen viskös friktion) flöden, som beskrevs av Bernoulli i 1738 för icke- komprimerbara flöden. Med arbets- (eller effekt) tillsats för att kompensera för friktionsförluster

lossespump P PW och lossesQlossesP :

En ännu mer allmän strategi tar också oregelbundna hastighetsprofiler för ett flödestvärsnitt i beaktande, med kinetisk -energi korrektionsfaktorn ξ. För laminära flöden är ξ = 2 och ξ = 1,05 .. 1,10 för turbulenta flöden. Detta följer av faktumet att för genomsnittliga hastigheten för ett tvärsnitt <v> finns det en skillnad mellan ½·ṁ·<v>2 och strömmens kinetiska energi, Ekin, som definierar ξ som

för en hastighetsprofil för v för tvärsnittsarean A för flöde. En design beräkning för ett rör, ett rör avsnitt eller ett rörsystem med krökar, kurvor, förändringar i diameter, höjd-skillnader osv. innebär vanligtvis ett av följande tre fall:

lossespump PVpvgzmPVpvgzm

VpvgzmVpvgzm

VpvgzumWQVpvgzum

222

222112

111

222

2222112

111

222

2222112

1111

)½()½(

)½()½(

)½()½(

3

3

3

3

3

2

2

1

ρ

ρ

ρξ

v

dAvA

vA

dAv

vA

dAvm

vm

E AAAkinetic

½

½

½

½

½

(6-25)

(6-26)

(6-27)

(6-28)



6-20

Calculation of power losses, primarily pressure drop losses that must be compensated for with pumps etc. in a given process tubing situation;

Calculation of flow velocities or volume streams that will result when applying a certain pumping power to a certain tube system flow situation; or

Calculation of tube diameters, lengths and tubing lay-out for a certain process situation, often based on given pumps or pressure drop data etc.

The type of calculation depends on production data and capacity needs, combined with specific requirements given by the fluid (or dispersion) to be transported, and the fact that certain equipment is available only in certain sizes. Often this results in an iterative procedure where for example a given pump is assumed, which for a given case will give certain pressure levels and velocities that allow for adjusting the iteration parameters until a feasible solution is found. 6.4.2 Pressure drop in tube flows As shown above (and made use of for describing laminar flows such as Hagen-Poisseuille flow) the pressure drop in a tube flow system can be predicted if the shear force at the wall, τw = τfluid→wall, is known. Pressure drop can be related to τw which then in turn can be related to velocity profiles across cross-sections. For turbulent flow such information is not available, since viscous effects become affected (increased) by turbulent eddies. Returning to the underlying physics shows three forces acting on a flow volume element: two surface forces (pressure and surface shear), and body force (gravity). These can change the kinetic energy Ėk = ½ṁv2 and potential energy Ėp = ṁgz. For a horizontal tube the body forces cannot change but surface forces will change the kinetic energy. Consider a volume element with length L (m) in a tube flow with cross-section A (m2), circumference or perimeter S (m) for a fluid with density ρ and viscosity η, as in Fig. 6.21.

• Beräkning av effektförluster, främst tryckfallsförluster som måste kompenseras med pumpar osv. i ett givet rörsystem; • Beräkning av flödeshastigheter eller volymströmmar som kommer att resultera vid tillsättning av en viss pumpeffekt till ett visst rörsystems flödessituation, eller • Beräkning av rördiametrar, längder och rör layout för en viss process situation som ofta är baserade på givna pumpar eller tryckfallsinformation osv. Typen av beräkning beror på produktionsdata och kapacitetsbehov i kombination med särskilda krav som anges av fluiden (eller dispersion) som skall transporteras, och faktumet att viss utrustning är endast tillgänglig i skärskilda storlekar. Ofta resulterar detta i en iterativ procedur där till exempel en given pump antas, som för ett givet fall kommer att ge vissa trycknivåer och hastigheter som möjliggör justering av iterations-parametrarna tills en praktiskt genomförbar lösning hittas. 6.4.2 Tryckfall för flöden i rör Som framgått tidigare (och utnyttjats för att beskriva laminära flöden såsom Hagen-Poisseuille flöde) kan tryckfallet i ett rörflödessystem förutsägas om skjuv-kraften vid väggen, τw = τfluid→wall är känd. Tryckfall kan relateras till τw som sedan i sin tur kan relateras till hastighetsprofiler över tvärsnitt. För turbulenta flöden är sådan information inte tillgänglig eftersom de viskösa effekterna påverkas (i ökande grad) av turbulenta virvlar. Genom att återgå till den underliggande fysiken visas tre krafter som verkar på ett volymflödeselement: två ytkrafter (tryck och ytskjuvning) och en kroppskraft (gravitation). Dessa kan ändra den kinetiska energin Ėk = ½ṁv2 och den potentiella energi Ėp = ṁgz. För ett horisontellt rör kan kroppskrafterna inte ändra men ytkrafter kommer att förändra den kinetiska energin. Betrakta ett volymelement med längden L (m) i ett rörflöde med tvärsnittet A (m2), omkrets eller periferi S (m) för en fluid med en densitet ρ och viskositet η, såsom i fig. 6.21.


6-21

The approach followed (for example by H Blasius in 1908, using new understanding of laminar and turbulent boundary layers) was to relate the wall friction τw to the kinetic energy of the flow, using an empirical friction factor ƒ: where kinetic energy “concentration” ½ρ<v>2 is also known as the “thrust” or dynamic pressure of the flow. Applying this to the force balance for the volume element in Fig. 6.21 gives defining the friction factor ƒ. Note that in the literature two definitions are followed that differ by a factor 4 (four); besides the Fanning friction factor ƒ also the Darcy or Blasius friction factors 4ƒ are used16. In this text the factor 4ƒ is used, also often denoted by the symbol ζ 17. The above-given relations can also be derived using so-called dimensional analysis, assuming that τw is a function of fluid density, viscosity, fluid velocity and a tube geometry factor, say, diameter, D: Clearly ƒ = f(Re), besides tube wall roughness as will be discussed below.

16 Also other names are sometimes used. 17 This was also used in material for predecessor ÅA course Introduction to Heat Engineering (“VTG”), until 2005, see ÖS96.

Det påföljande tillvägagångssättet (exempelvis av H Blasius 1908, med ny förståelse av laminära och turbulenta gränsskikt) var att relatera väggfriktion τw till flödets kinetiska energi med hjälp av ett empiriskt motståndstal ƒ:

där kinetisk energi "koncentration" ½ρ<v>2 är också känd som "dragkraft" eller som flödets dynamiska tryck. Tillämpning av detta i kraftbalansen för volymelementet i fig. 6.21 ger vilket definierar motståndstalet ƒ. Observera att i litteraturen två definitioner förekommer som skiljer med en faktor på 4 (fyra), förutom Fanning motståndstalet ƒ används även Darcy eller Blasius motsåndstal 4ƒ 18. I denna text används faktorn 4ƒ som också ofta betecknas med symbolen ζ 19. De ovan givna sambanden kan också härledas med hjälp av så kallade dimensions analys, förutsatt att τw är en funktion av fluid densitet, viskositet, fluidens hastighet och ett rörs geometriska faktor, t.ex. diametern D:

Detta visar klart att ƒ = f(Re) och rörets väggskrovlighet såsom kommer att diskuteras nedan.

18 Ibland används även andra namn. 19 Detta även användes i material för föregångende ÅA kursen Värmeteknikens grunder ("VTG"), fram till 2005, se ÖS96.

Fig. 6.21 Circular tube flow: forces and geometry Cirkulär rörströmning: krafter och geometri

2ρτ vw ½ ƒ

(volym) volume

rgi)(rörelsene energy kinetictal)(motstånds factor friction

p1·A – p2·A -τw·S·L = 0, with/med τw = τfluid/fluidum → wall/vägg = -τwall/vägg→fluid/fluidum

→ (p1 - p2 ) = τw ·L·S/A = ƒ·½·ρ·<v>2 ·L·S/A = -∆p

2

2ρτ

ρ

τηρττ v

vDv w

www

ƒ or/eller ,f( ½Re)),,,(

(6-29)

(6-30)

(6-31)



6-22

6.4.3 Hydraulic diameter At this point, flow geometries different from completely filled round tube flows must be addressed, for which one length parameter is needed to describe the geometry. Examples are partly filled or open channels or ducts, flows in gaps, etc. For these, the so-called hydraulic diameter, Dh, is defined as This applies the simple fact that there won’t be zero-slip and friction (causing pressure drop) between wall and fluid where is no contact surface, such as in open or partly filled channels. The equation also gives the factor 4 that gives the difference between ƒ and 4ƒ = ζ. See Fig. 6.22 for several geometries.

For example, for a round tube with diameter D, completely filled with fluid: Dh = D; for a square channel with width W, fluid height H: Dh = 4·A/S = 4·(H·W)/(2H+W). 6.4.4 Laminar tube flow Expressions that relate tube flow pressure drop to the flow via a friction factor must be applicable to laminar flow as well. For laminar flow in a round tube this gives:

6.4.3 Hydraulisk diameter Vid det här skedet måste flödesgeometrier som skiljer sig från helt fyllda runda rör behandlas för vilka en längd parameter behövs för att beskriva geometrin. Exempel är delvis fyllda eller öppna kanaler, flöden i öppningar osv. För dessa är den så kallade hydraulisk diameter, Dh, definierad som

Detta gäller på grund av det enkla faktum att det inte kommer att vara zero-slip eller friktion (som orsakar tryckfall) mellan väggen och vätska där är ingen ytakontakt sker, såsom i öppna eller delvis fyllda kanaler. Ekvationen innehåller även faktorn 4 som är skillnaden mellan ƒ och 4ƒ = ζ. Se fig. 6.22 för flera geometrier.

Till exempel, för ett runt rör med diametern D, helt fylld med fluid: Dh = D, för en fyrkantig kanal med bredden W, fluid höjd H: Dh = 4·A/S = 4·(H·W)/(2H+W). 6.4.4 Laminär rörströmning Uttryck som relaterar rörströmnings-tryckfallet till ett flöde via ett motståndstal måste även gälla för laminära flöden. För laminärt flöde i ett runt rör ger detta:

S

A

)ed fluidum kontakt m(omkrets i

)(tvärsnitt

4

fluid withcontact in perimeter

sectioncrossflow 4Dh

Fig. 6.22 Hydraulic diameter – some examples Hydraulisk diameter – några exempel (BMH99)

2100Re 64

4ƒ 1616

ƒR2D

½ƒ

Re,

Re

)(½

and/ochDv

ePoisseuillHagenR

v

L

pRand/och

pA

SLv

A

SLpp

w

w

ρ

η

η4Δτ

Δρτ2

21

(6-32)

(6-33)


6-23

For non-circular tubes another proportionality constant applies. 6.4.5 Turbulent tube flow – smooth tube For the turbulent flow of fluid in tubes it was found (experimentally, and using boundary layer analysis) that ƒ is related to the flow Reynolds number as ƒ ~ Ren, with exponent n ranging from 0 to -0.25. This gives for smooth tubes: which is known as Blasius’ equation. Note that it can be used for any flow geometry, with hydraulic diameter Dh used in Re. As a result, pressure drop ∆p ~ <v>1.75....2.0. 6.4.6 Wall roughness For rough pipes, wall surface roughness

x (or k) is important if it is of the same order as the thickness of the laminar boundary layer, δ – see Fig. 6.23.

It is little importance for laminar flows. For large wall roughness or high Re numbers, however, δ can become of the same order

as x , as shown in Fig 6.23. It is typically used as the relative (dimensionless)

roughness x /D, with tube diameter D; together with the Reynolds number Re it determines the friction coefficient 4ƒ as shown below.

Roughness data for materials is typically found in tables such as Table 6.1.

För icke-cirkulära rör gäller en annan proportionalitetskonstant. 6.4.5 Turbulent rörströmning - släta rör

För ett turbulent flöde av en fluid i ett

rör upptäcktes det (experimentellt, och med hjälp av gränsskiktsanalys) att ƒ är relaterat till flödets Reynoldstal som ƒ ~ Ren, med exponenten n som är mellan 0 och -0,25. För släta rör ger detta:

som är känd som Blasius ekvation. Observera att den kan användas samtliga flödes-geometrier där den hydrauliska diametern Dh används för att beräkna Re. Detta resulterar i att tryckfallet ∆p ~ <v>1.75....2.0.

6.4.6 Väggskrovlighet

För skrovliga rör är väggskrovligheten x(eller k) viktigt ifall den är av samma storleksordning som tjockleken på det

laminära gränsskiktet, δ - se Fig. 6.23. Väggskrovligheten är av liten betydelse för laminära flöden. För stor väggskrovlighet eller höga Re-tal, kan δ bli av samma storleksordning som x , såsom visas i fig. 6.23. Den används vanligen som en relativa (dimensionslös) grovhet x /D, med rördiameter D, som tillsammans med Reynolds talet Re bestämmer motståndstalet 4ƒ som visas nedan. Väggskrovlighetsdata för olika material kan vanligen hittas tabellerat t.ex. som tabell 6.1.

510 .... 4000 Re , 0.316

4ƒ and 0.0791

ƒ

η

ρ250250

hDv/och

.. Re,

Re

Fig. 6.23 (Relative) wall roughness and laminar boundary layers (Relativt) väggskrovlighet och laminära gränsskikt (right/höger: MSH93)

(6-34)



6-24

6.4.7 Moody chart Of great use for engineering calculations on fluid (and even dispersions) flow in tubes is the so-called Moody chart. It gives the relation between flow Re number, wall roughness and friction coefficient 4ƒ or ƒ, as given in Fig. 6.24.

Note the chart region “completely turbulent” where the friction coeffient becomes independent of Re.

6.4.7 Moody diagram För tekniska fluidströmmingsberäkningar (och även dispersioner) i rör är det så kallade Moody diagrammet till stor nytta. Det ger förhållandet mellan flödets Re-nummer, väggskrovlighet och motstånds-talet 4ƒ eller ƒ, som ges i fig 6.24.

Notera området i diagrammet “completely turbulent” där motståndstalet blir oberoende av Re.

Fig. 6.24 Moody chart Moody-diagram (BMH99)

Tab. 6.1 Wall roughness data Väggskrovlighetsdata

(T06)


6-25

The following expression can be used to describe the results the Moody chart gives graphically 20 - for turbulent flows:

For the intermediate region with Re = 2100 - 4000 flows show badly understood and complicated transition behaviour, as illustrated in Fig. 6.25. Problematic situations may arise when entering or crossing the transition region unexpectedly as a result of flow velocity changes.

6.4.8 Tube network elements (valves, fittings, bends, ....) Similar to the approach given above for tubes and tube section, the sudden and local pressure drop caused over a very short distance, for example a change in tube diameter, or a bend,

or curve, or a T-junction, a valve or other fitting, or an inlet or outlet (sharp or smooth), can be assessed. For these, pressure drop can be expressed as

20 Source/källa: T06

Följande uttryck kan användas för att beskriva de resultat Moody-diagramet ger för turbulenta flöden grafiskt 20: För det mellanliggande området med flöden med Re = 2100 - 4000 förekommer ett dåligt förstått och komplicerat övergångsbeteende som visas i fig. 6.25. När flödet kommer in i eller korsar övergångsregionen på grund av oväntade förändringar i flödeshastigheten kan problematiska situationer uppstå.

6.4.8 Rörnätselement (ventiler, kopplingar, böjar, ....) I likhet med den metod som anges ovan för rör och rördelar kan det plötsliga och lokala tryckfallet under en mycket kort sträcka bedömas som orsakas till exempel av • en förändring i rördiameter, eller en böj, eller kurva, eller en T-korsning, • en ventil eller annan koppling, eller • ett inlopp eller utlopp (skarpt eller avrundat). För dessa kan tryckfall uttryckas med

2-6-8

2

0.910

10x

10 and 10Re5000

Re5.74

3.7Dx

log

0.25ζ4ƒ

D/och

Fig. 6.25 Moody chart transition region Moody-diagram övergångsregim (CEWR10)

-∆p = Kw·½·ρ·<v>2 or/eller -∆p = ζ´·½·ρ·<v>2

(6-35)

(6-36)



6-26

with coefficients Kw 21 or ζ´, taken independent of the flow Reynolds number for Re > 105. Examples for such data are given as the Appendix to this chapter. Thus, values for ζ´ should be added to ζ·L/D values for tubes or tube sections. As an example, consider the system in Fig. 6.26:

For the friction coefficients Kw or ζ´ for several tube sections and fitting elements:

a) Bend 90°, R/d =1 ζ´ = 0.5 b) Sharp bend 90° ζ´ = 0.98 or elbow

ζ´ = 1.2 c) Tube inlet, sharp ζ´ = 0.5 or

smooth ζ´ = 0.20 d) Diameter increase, sharp

ζ´ = (1-d2/D2)2 e) Diameter decrease, sharp

ζ´ = 0.45·(1-d2/D2) f) Diameter increase, diffusor with

θ/2 < 10° ζ´ ≈ 0 g) Tube outlet, turbulent ζ´ = 1 or

laminar ζ´ = 2 This gives, if for example, D = 80 mm, d = 50 mm, for turbulent flow: ∑ζ´ = 0.50 + 0.50 + 0.98 + 0.37 + 0.27 + 0 + 1.1 = 3.72 for the fittings, bends and diameter changes only. 6.4.9 Pressure drop, power loss

calculations Combining the information compiled in this section the power loss for a given tubing network can be calculated. For incompressible (i.e. constant density) fluid flow with viscous friction through a channel the power loss (energy dissipation) Ploss is related to pressure loss

-∆ploss for a given volume stream V by the simple relation:

21 From German ”Widerstands-Koeffizient”

koefficienterna Kw 22 eller ζ´, oberoende av flödets Reynoldstal för Re > 105. Exempel på sådan data ges i bilagan till detta kapitel. Därför bör värden för ζ´ läggas till ζ·L/D -värden för rör eller rördelar. Betrakta systemet i fig. 6.26 som ett exempel:

Motståndstalen Kw eller ζ´ för flera rördelar och beslag: a) Böj 90°, R / d = 1 ζ '= 0,5 b) Skarp böj 90 ° ζ '= 0,98 eller armbåge ζ' = 1,2 c) Rörinlopp, skarpt ζ '= 0,5 eller avrundat ζ' = 0,20 d) Diameter ökning, skarpt ζ '= (1-d2/D2) 2 e) Diameter minskning, skarpt ζ '= 0,45 · (1-d2/D2) f) Diameter ökar, diffusor med θ/2 <10 ° ζ '≈ 0 g) Rör utlopp turbulent ζ '= 1 eller laminärt ζ' = 2 Exempelvis ger detta med D = 80 mm och d = 50 mm för turbulent flöde: Σζ '= 0,50 + 0,50 + 0,98 + 0,37 + 0,27 + 0 + 1,1 = 3,72 för endast beslag, böjar och förändringar i diameter. 6.4.9 Tryckfall – beräkning av effektförlust Med hjälp av informationen tidigare i detta avsnitt kan effektförlusten för ett givet rörnätverk beräknas. För ett icke- komprimerbart (dvs. konstant densitet) fluidflöde med viskös friktion med en given volymström genom en kanal kan effekt-förlusten (energiavledningen) Pförlust

relateras till tryckfallet –∆pförlust med hjälp av det enkla sambandet:

22 Från tyskans ”Widerstands-Koeffizient”

Fig. 6.26 Tubing network with tube elements Rörsystem med rörelement (ÖS96)

V

Pp förlustlosses

förlustloss /

/ Δ (6-37)


6-27

Note that this is equal to the pressure difference pin – pout only for a horizontal tube without diameter changes! The energy equation given above for

a tube system (with Q = 0), dividing by V

(noting that ṁ = ρ· V , which requires density ρ = constant) gives Here, –∆ppump is the pressure drop to be overcome by a pump, that may in addition have to provide for the power to overcome height difference z2-z1 and a kinetic energy difference if <v1> ≠ <v>2. See Fig. 6.27 for a simple pump + tubing system.

If density changes are significant (typical

for gases) then inV ≠ outV and that must be

accounted for: Using pumps in series or in parallel allows for increasing volume flows or for overcoming larger pressure (and height) differences – see ÅA course 414514 Fluid and particulate systems. For tubes and tube sections, with pressure drop ∆p ~ shear force it follows that ∆p ~ velocity for laminar flow, and ∆p ~ velocity1.75....2 for turbulent flow. For laminar flow: ∆p ~ v since 4ƒ ~ 1/Re ~ 1/v. As a result, with viscous work ~ shear

force × velocity, Ploss ~ ∆p·V ~ ∆p· velocity. This gives Ploss ~ velocity2 for laminar flow, and Ploss ~ velocity2.75....3 for turbulent flow.

Observera att detta är lika med tryckskillnaden pin – put endast för ett horisontell rör utan förändringar i rör-diameter! Energiekvationen ovan för ett

rörsystem (med Q = 0), dividerad med V

(notera att ṁ = ρ·V , vilket kräver att densiteten ρ = konstant) ger Här är -∆ppump tryckfallet som måste över-vinnas av en pump, som kan dessutom behöva ge kraften för att övervinna höjdskillnaden z2-z1 och skillnaden i kinetiskenergi ifall <v1> ≠ <v2>. Se fig. 6.27 för ett enkelt pump + rörsystem.

Ifall densitetsförändringarna är betydande

(typiskt för gaser) så att inV ≠ inV bör detta beaktas:

För användning av pumpar i serie eller parallellt för att öka volymflöden eller för att övervinna större tryck (och höjd) skillnader - se ÅA kurs 414514 Fluid and particulate systems.

För rör och rördelar med tryckfallet ∆p ~ skjuvkraften följer att ∆p ~ hastigheten för laminärt flöde, och ∆p ~ hastigheten1.75 .... 2 för turbulent flöde. För laminärt flöde: ∆p ~ v eftersom 4ƒ ~ 1/Re ~ 1/v. Detta resulterar i att med visköst arbete ~ skjuvkraft × hastighet, Pförlust ~

∆p·V ~ ∆p·hastighet. Detta ger att Pförlust ~ hastighet2 för laminärt flöde och Pförlust ~ hastighet2.75 .... 3 för turbulent flöde.

förlustlossespump ppppvvzzg /)()()()½()( ΔΔρξρξρ 21

2

22

2

1121

Fig. 6.27 System for pumping liquid from a reservoir System för att pumpa en vätske från en reservoar (MSH93)

2

1

2

1

ρΔ förlustlossförlustlossesförlustlosses

förlustloss dpdm

P

V

Pp /

///

förlustlossespump ppdp

vvzzg /)()()½()( ΔΔρ

ξξ2

1

2

22

2

1121

(6-38)

(6-39a) (6-39b)



6-28

Summarising: for the power loss (energy dissipation) for a flow channel with total pressure losses ∆ploss, composed of ∆ploss(ζ,L,D) for straigth sections, and ∆ploss(ζ’) for the fittings, valves,

diameter changes, in-/outlet, etc., and the two expressions for the friction coefficients for these are: which gives for the total tubing system including fittings, etc:

Observe that the kinetic energy

correction factor ξ (eq. 6-28) is included in the friction factors ζ, 4ƒ or ƒ and therefore hardly is a problem. 6.4.10 Calculation of volume flow or tube

diameter In some cases it is not pressure drop or pumping power but instead volume flow or a tube diameter that must be determined. This is more complicated and typically is accomplished through an iterative method: (see also ÖS96) where ζ (or 4ƒ) and ζ´ (or Kw) are functions of <v>, D and/or Re for round tubes. Alternatively, two expressions given in the literature 23 can be used (with caution, given the limitations!):

23 Source/källa: CEWR10

Sammanfattningsvis: består effekt-förlusten (energiavledning) för en flödeskanal med totala tryckförlusten ∆pförlust av • ∆pförlust (ζ,L,D) för raka sektioner och • ∆pförlust(ζ’) för beslag, ventiler, förändringar i diameter, in-/utlopp osv, och uttrycken för motståndstalen för dessa två är: vilket leder till att för det totala rörsystemet inklusive beslag osv: Observera att korrektionsfaktorn för den kinetiska energin ξ (ekv. 6-28) ingår i motstånds-talet ζ, 4ƒ eller ƒ och är därför knappast ett problem. 6.4.10 Beräkning av volymflöde eller rördiameter I vissa fall är det inte tryckfall eller pumpeffekt utan volymflöde eller en rördiameter som måste bestämmas. Detta är mer komplicerat och åstadkoms typiskt med hjälp av en iterativ metod: (se även ÖS96) där ζ (eller 4ƒ) och ζ´ (eller Kw) är funktioner av <v>, D och/eller Re för runda rör. Alternativt kan två uttryck som ges i litteraturen 23 användas (med försiktighet, med tanke på begränsningarna!):

ntndra elemeiler och a/ för ventVv

P

v

pK

segment / för rörL

D

vm

P

L

D

Vv

P

L

D

v

p

förlustlossesförlustlossesw

hförlustlosseshförlustlosseshförlustlosses

elements other and valves for ´

sections tube for ƒ

22

222

ρρ

Δζ

ρρ

Δζ4

½½

½½½

//

///

´ and ´

ζζρζζρΔ

22

hförlustlosses

hförlustloss D

LvV P/och

D

Lv p ½½ //

4

2

242

Δπ

ζζρ8

ζζρ8

Δπ

förlustloss

förlustloss

pDL

VD/ och

DL

DpV

/

/

)(

´

´

)(

and

0.02D

x

LVLx

1.78

D3.7

x log

2

,Re/

.

.

..

.

..

/

/

3000

Δ

ρ

ρ

η

Δ

ρ660

ρ

Δρ

η

ρ

Δ222

04025

49

754251

23

1025

förfor

pV

pD

L

pD

L

pDV

lossloss

loss

loss

(6-40a,b)

(6-41a,b)

(6-42a,b)

(6-43a) (6-43b)


6-29

with variables as defined above, hydraulic diameter Dh. 6.4.11 Cavitation Cavitation occurs if fluid pressure is reduced to the vapour pressure (at the given temperature) so that boiling occurs. For example, for water at ~20°C this implies a pressure of ~ 2.5 kPa.

As shown in Fig. 6.28, the formation and collapse of bubbles gives shock waves, noise, and other problematic dynamic effects that can result in reduced performance, failure and damage. Typically it occurs at high velocity locations in (for example) pumps or valves, but it can damage also tube walls.

6.5 Special flow systems 6.5.1 Flow systems with negligle losses Often the energy dissipation Ploss resulting from viscous friction can be neglected in comparison with the (mechanical) energy changes in a flow system. If moreover the fluid density can be considered constant this gives the earlier mentioned Bernouilli’s equation, which can be written as

med variabler såsom de definierats tidigare, hydraulisk diameter Dh. 6.4.11 Kavitation Kavitation uppstår då fluidtrycket minskar till ångtrycket (vid den givna tempera-turen) så att vätskan börjar koka. Till exempel, för vatten vid ~ 20°C innebär detta ett tryck på ~ 2,5 kPa.

Såsom visas i fig. 6.28 orsakar bildningen och hopfallandet av bubblor tryckvågor, buller och andra problematiska dynamiska effekter som kan resultera i minskad prestanda, fel och skador. Typiskt sker detta vid platser med hög hastighet (t.ex.) i pumpar eller ventiler men kavitation kan även skada rörväggarna. 6.5 Särskilda flödessystem 6.5.1 Flödessystem med försumbara förluster Ofta kan energavledningen Pförlust som orsakas av viskös friktion försummas i jämförelse med (mekaniska) energi-förändringarna i ett flödessystem. Om dessutom vätskans densiteten kan anses vara konstant ger detta den tidigare nämnda Bernouilli ekvationen, som kan skrivas som constant

g

vz

g

p 2

ρ

½

Fig. 6.28 Cavitation / Kavitation (CEWR10)

Fig. 6.29 Dynamic pressure components Dynamiska tryckkomponent (BHM99)

(6-44)



6-30

where the three terms (with unit: m) are referred to as pressure head, static head, and velocity head, respectively.

This decomposition of dynamic pressure into three components is illustrated by Fig. 6.29. 6.5.2 Flow measurement The features of inviscid (i.e. negligible viscosity) flows are made use of in fluid flow velocity measurement.

In a so-called Pitot tube as in Fig. 6.30

(left), the balance equation gives: from which <v> and the volume flow for a given tube cross-section can be readily determined. In a so-called venture flowmeter the pressure difference between main flow and the throat as shown in Fig. 6.30 (right) equals: Using mass balance with <v>1·A1 = <v>2·A2 and Bernoulli’s equation p@A1 –

p@A2 = ρhg the flow V at throat A2 can be calculated for a liquid with density ρ: For gases, where density depends on pressure, this must be corrected for using p·ρ-γ = constant, γ = cp/cv, and assuming an adiabatic process.

där de tre termerna (med enhet: m) hänvisar till ”tryckhöjd”, ”statiskt höjd” och ”hastighetshöjd”, resp. Denna indelning av dynamiskt tryck i tre komponenter illustreras i fig. 6.29. 6.5.2 Flödesmätning Funktionerna för friktionsfria (dvs. försumbar viskositet) flöden utnyttjas i hastighetsmätning för fluidflöden.

I ett så kallat Pitot-rör som i fig. 6.30 (vänster), ger balansekvationen: från vilken <v> och volymflödet för ett givet rörtvärsnitt enkelt kan bestämmas. I en så kallad venturirörsflödesmätare är tryckskillnaden mellan huvudflödet och halsen, såsom visas i fig. 6.30 (höger) lika med: Med massbalansen <V>1·A1 = <v>2·A2 och med Bernoullis ekvation p@A1 – p@A2 = ρhg

kan flödet V vid halsen A2 beräknas för en vätska med densitet ρ: För gaser där densiteten är beroende av trycket måste detta korrigeras för genom att använda p·ρ-γ = konstant, γ = cp/cv, samt förutsätta att det är en adiabatisk process.

p@b – p@a = ½ρ<v>2 = ρgh

Fig. 6.30 Pitot tube (left) and venturi (right) flow meters Pitot-rör (vänster) och venturi (höger) strömningsmätare http://www1.uts.com/Physics/flowmetering/flowmeter.htm

p@A1 – p@A2 = ½ρ<v>2@A2 - ½ρ<v>2

@A1 with / med p@1 > p@2 !

21

2221

2 1ρ

2AApp

AV

)(

(6-45)

(6-46)

(6-47)


6-31

6.5.3 Inviscid flows through orifices

For flow of liquid from an orifice – see Fig. 6.31 – viscous friction losses can typically be neglected. Velocity estimates can be made based on that. At some distance from the opening, (at cross-sectional area A1), the velocity is much smaller than the velocity <v> in the opening (area A1´): with orifice friction factor Cf. Cf ≈ 1 for a sharp edge (Fig. 6.31, left, a), Cf ≈ 0.95-0.99 for a rounded outlet (b), while for a diffusor (c) with angle < 8°, Cf ≈ 1. Again, calculations for (compressible) gases are somewhat more complicated. 6.6 Pumps, compressors, fans 6.6.1 General features Creating a flow and/or increasing the pressure of a fluid, or compensating for pressure losses is accomplished with pumps for liquids, or with compressors or fans for gases. Usually a fan creates a gas flow with minimal pressure change; if a fan creates a higher outlet pressure then it is generally referred to as a blower. Pumps, compressors and fans can be divided into two major categories: Positive displacement devices based

on ”pushing” the fluid through the device, and

Dynamic devices based on transfer of energy as momentu from rotary blades or vanes, or from a high-speed fluid

6.5.3 Friktionsfria flöden genom öppningar

För flöde av vätska från en öppning - se fig. 6.31 – kan viskösa friktionsförluster normalt försummas. Utifrån det kan hastighetsuppskattningar göras. På ett avstånd från öppningen, (vid tvärsnitts-area A1), är hastigheten mycket mindre än hastigheten <v> i öppningen (area A1'): med öppning elementmotståndstalet Cf. Cf ≈ 1 för en skarp kant (fig. 6.31, vänster, a), Cf ≈ 0,95-0,99 för ett rundad utlopp (b), med en diffusor (c) med vinkeln < 8°, Cf ≈ 1. Återigen är beräkningar för (kompri-merbara) gaser något mer komplicerat. 6.6 Pumpar, kompressorer, fläktar 6.6.1 Allmänna egenskaper Skapandet av ett flöde och / eller ökning av trycket av en fluid, kompensering för tryckförluster åstadkommes med vätske-pumpar och med kompressorer eller fläktar för gaser. Vanligtvis en fläkt skapar ett gasflöde med minimalt tryckförändring, om en fläkt skapar ett högre utloppstryck så är det allmänt som en fläkt.

Pumpar, kompressorer och fläktar kan delas in i två huvudkategorier: • Förträngningsenheter fungerar genom att "trycka" fluiden genom enheten, och • Dynamiska enheter som bygger på överföring av rörelse energi från roterande blad eller skövlar, eller från

Fig. 6.31 Inviscid flow from orifices Icke-viskös strömning från mynnigar (BHM99)

ρ

2

ρ2ρ

0111

011

2

0

)(

½

' ppACvAV

ppvpvp

f

(6-48a) (6-48b)



6-32

stream (for example, centrifugal pumps and rotodynamic compressors and fans).

Fig. 6.32 gives examples of these devices.

6.6.2 Pump performance and selection The task of a pump is to overcome pressure drop and other dynamic pressure differences that occur when transporting a liquid (or a liquid-based dispersion like a slurry) through a tube network.

The general relation between necessary pump power and the pressure difference ∆ppump for a given flow situation follows from the mechanical energy balance, assuming also that ∆Ėkinetic = 0.

As a rule, Q = 0 is assumed, with no heat transfer or significant temperature changes. The “pump head” (unit: m) is the pressure rise across the pump expressed as equivalent height of the pumped fluid.

en hög fluid ström med hastighet (t.ex. centrifugalpumpar och rotodynamiska kompressorer och fläktar). Fig. 6.32 ger exempel på sådana enheter.

6.6.2 Pumpprestanda och val av pump Uppgiften för en pump är att övervinna tryckfallet och andra dynamiska tryck-skillnader som uppstår vid transport av en vätska (eller en vätske-dispersion till exempel slam) genom ett rörnätverk. Den allmänna relationen mellan nödvändig pumpeffekt och tryckskillnaden ∆ppump för ett givet flöde följer den mekaniska energibalansen, förutsatt att också ∆Ėkinetisk = 0.

I regel antas att Q = 0 vilket betyder ingen värmeöverföring eller betydande tempera-turförändringar. Lyfthöjden (enhet: m) är tryckökningen över pumpen, uttryckt som ekvivalent höjd på den pumpade vätskan.

Fig. 6.32 Positive-displacement pumps (left); centrifugal pump (right) Positiv-överföringspumpar (vänster); centrifugalpumpar (höger) (T06)

pumppumppump

pump

hpump

z/ medzghhV

HH

V

Pp

A

Vv/ med

D

Lvzzgpp p

ΔΔρρΔ

ζζρρΔ

1212

2

222

1212

head" pump" with

with´

,)(

½)()(

(6-49a) (6-49b)


6-33

Consider a pump/tube network system as in Fig. 6.33.

The relation between –∆ppump needed and

the volume flow V is a characteristic for the flow tubing system (see section 6.4) – the typical shape for this is given in Fig. 6.34 (left). A height difference (z2-z1) is included in what the pump must achieve.

The so-called pump characteristic – see Fig. 6.34 (right) – gives the performance

–∆ppump versus flow rate V . For a pump/tube network system

combining the two lines in one diagram gives the working point at the point where the lines coincide. This is illustrated in Fig. 6.35 for three cases: adjusting (for example) a valve gives a higher (“>”), or smaller (“<”) flow rate than a given set-point (“0”).

Beakta ett pump/rörnätverk som i fig. 6.33.

Förhållandet mellan -∆ppump som behövs

och volymflödet V är en karakteristiska för flödet i ett rörsystem (se avsnitt 6.4) - den typiska formen för detta ges i fig. 6.34 (vänster). En höjdskillnad (z2-z1) ingår i vad som måste uppnås av pumpen.

Den så kallade pump karakteristikan - se fig. 6.34 (höger) - ger prestandan för

-∆ppump versus flödet V . För ett pump/rörnätverk för vilket man kombinerar de två linjerna i ett diagram ges arbetspunkten vid den punkt där linjerna sammanfaller. Detta illustreras i fig. 6.35 för tre fall: justering (till exempel) en ventil ger ett högre (">"), eller mindre ("<") flöde än ett visst börvärde ("0").

Fig. 6.33 A simple pump system with two reservoirs Ett enkelt pumpsystem med två reservoar (ÖS96)

Fig. 6.34 Tube system (left) and pump (right) characteristics Rörlednings- (vänster) och pump- (höger) karakteristiska (ÖS96)

0

>

V (m3/s)

<

.

-∆p

pum

p(P

a)

Fig. 6.35 Three operation points for a pump + tube system Tre driftpunkter för en pump + rörsystem kombination



6-34

The pump itself generates a viscous friction effect in the fluid, and as a result not all pump power Ppump will be available to give a pressure increase -∆ppump in flow

V . The pump efficiency ηpump, defined as quantifies for this. For a given pump the efficiency, η, depends on the fluid that is

pumped and the volume stream V , as illustrated in Fig. 6.36.

The graphs in Fig. 6.37 gives combined pump characteristic and efficiency data for a certain pump 24:

6.6.3 Compressors A compressor increases pressure of a gas. Most important are (a) reciprocating, (b) centrifugal and (c) axial flow types, as

24 NPSH = net positive suction head, which is the minimum pressure head needed at the pump intake to operate without cavitation.

Pumpen själv genererar en viskösfriktions effekt i vätskan vilket resulterar i att alla pumpeffekt Ppump inte kommer att finnas tillgänglig för att ge en tryckökning -∆ppump

i flödet V . Pumpens verkningsgrad ηpump

definierad som kvantifierar detta. För en given pump effektivitet η är beroende av vätska som

pumpas och volymen strömmen V , såsom illustreras i fig. 6.36.

Diagrammen i fig. 6.37 ger kombinerad data för pump karakteristiska och verkningsgraden för en viss pump 25:

6.6.3 Kompressorer En kompressor ökar trycket hos en gas. Viktigaste typerna är (a) förträngnings (kolv), (b) centrifugal- och (c) axialflödes

25 NPSH = Net Positive Suction Head, som är den minsta tryckhöjden som behövs vid pumpinloppet för att undvika kavitation.

in

pumppump

W

Vp

(kraft in)

Δη

in Power

Ppump

Fig. 6.36 Pump efficiency Pumpverkningsgrad (ÖS96)

Fig. 6.38 Performance data for a centrifugal pump Pumpprestande för en centrifugalpump (CEWR10)

(6-50)


6-35

shown in Fig. 6.39.

If pout ≤ 1.1 × pin the device is referred to as a ventilator or blower, the goal being volume flow rather than pressure increase. For these cases the calculations are similar to those for a pump. Otherwise, gas compressibility must be considered and power input Pcompressor is calculated as for a polytropic process, using for compressor efficiency ηcompressor. Similar to pumps, also compressor performance can be given as characteristic lines in a diagram – see Fig. 6.40:

6.7 Fluid flow: external flow 6.7.1 Fluid flow around objects In this final section the cases of an object moving through a fluid or a fluid flow

kompressorer, som illustreras i fig. 6.39.

Ifall pout ≤ 1,1 × pin kallas enheten en ventilator eller fläkt, målet är volymflödet snarare än tryckökning. För dessa fall är beräkningarna liknande till de för en pump. I andra fall måste gasens kompres-sibilitetsfaktorn beaktas och den inmatade effekten Pcompressor beräknas som en polytropic process, med för kompressor verkningsgraden ηcompressor. I likhet till pumpar, kan även kompressorns prestanda ges som karakteristiska linjer i ett diagram - se fig. 6.40:

6.7 Vätskeflöde: externt flöde 6.7.1 Vätskeflödet runt objekt I detta sista avsnitt behandlas fall där ett objekt rör sig genom en fluid eller ett

Fig. 6.39 Compressors Kompressorer (KJ05)

v

p

c

c and

κ11κ

κ

η

κ

1κ

/ochp

ppVPW

HHWP

in

outinintheorcompressorin

inoutincompressorcompressor

,)(,

Fig. 6.40 Compressor characteristic lines Kompressorkarakteriska linjer

http://www.mech.kuleuven.be/micro/topics/turbine/

(6-51a) (6-51b)



6-36

around an object are considered, as these are important for many engineering applications. Examples are the well known “streamlining” of vehicles (aiming at reducing fuel or power use) but also transport lines for solids, reactors with dispersed particles, droplets, bubbles etc. The velocity difference between the fluid (moving or standing still) and the object dispersed or moving in it generates two types of forces – see Fig. 6.41: forces acting parallel to the flow

direction are drag forces; forces acting perpendicular to the flow

direction are lift forces.

The flow field around an object can be divided in two parts: the boundary layer (see section 6.2), where the viscous forces are active, and the free-stream velocity (or the stagnant surrounding fluid) that is unaffected by the presence of the object. 6.7.2 Flow around a plate

This case which is best known from aeroplane wing hydrodynamics is illustrated by Fig. 6.42. For flow along a flat plate, the forces on the plate are friction forces. The shear stress on each side of the surface is equal to:

fluidflöde omkring ett föremål, eftersom dessa är viktiga för många tekniska tillämpningar. Exempel är den välkända "strömlinjeförmering" av fordon (syftar till att minska bränsle- eller effekt-förbrukningen) och även transportlinjer för fasta ämnen, reaktorer med dispergerade partiklar, droppar, bubblor mm. Hastigheten mellan fluidum (rörlig eller stillastående) och objektet som är dispergerad eller rör sig i den genererar två typer av krafter - se fig. 6.41: • krafter som verkar parallellt med strömningsriktningen är motstånds- krafter; • krafter som verkar vinkelrätt mot flödesriktningen är lyftkrafter.

Strömningsfältet kring ett föremål kan delas upp i två delar: gränsskiktet (se avsnitt 6.2), där de viskösa krafterna är aktiva, och den fria strömhastigheten (eller den stillastående omgivande vätska) som inte är påverkad av närvaron av föremål. 6.7.2 Flöde runt en platta

Fallet som är mest känt från hydrodynamiken för en flygplansvinge illustreras i fig. 6.42. För flöde utmed en plan platta är krafterna på plattan friktionskrafter. Skjuvspänningen på vardera sidan av ytan är lika med:

Fig. 6.41 Forces on an object with velocity relative to a medium Krafter på ett objekt med hastighet relativ till ett medium

http://www.weirdrichard.com/images/forces.jpg

Fig. 6.42 Flow around a (stagnant) flat plate Strömning runt ett (stagnant) plan (BMH99)


6-37

with relative velocity vr = vfluid – vobject and (laminar) boundary layer thickness δ.

The drag force on each side of a plate with length L and width b is then given by: The pressure (difference) term ½ρv2 is known as “thrust”. This defines the (length-averaged) drag coefficient CD as where A (m2) is the area (one side) of the plate, and for laminar flow.

For turbulent cases, experimental results give

For a flat surface with a laminar region followed by a turbulent region, a ”composite” drag composition can be calculated with For a flate plate perpendicular to a fluid – see Fig. 6.43 – the drag coefficient equals CD~2, largely independent of Re.

6.7.3 Flow around cylinders, spheres Also these are very common engineering cases. For a general surface area A┴ (m2) perpendicular to the flow, the drag force is where ½ρvr

2 is actually the pressure difference between the front and the back

med relativ hastighet vr = vfluid - vobjekt och (laminära) gränsskiktets tjocklek δ.

Dragkraften på båda sidorna av en platta med längd L och bredd b ges då av: Tryck(skillnad) termen ½ρv2 är känd som "stöt". Detta definierar (längdgenom-snittliga) CD motståndskoefficient som där A (m2) är arean (ena sidan) av plattan, och för laminärt flöde. För turbulenta fall ger experimentella resultat För en plan yta med en laminärt område följt av en turbulent region kan ett ”sammansatt” motstånd beräknas med För en plan platta vinkelrätt mot en vätska - se fig. 6.43 – är dra koefficienten lika med CD~2, i stort sett oberoende av Re.

6.7.3 Flöde runt cylindrar, sfärer Också dessa är mycket vanliga fall inom tekniken. För en allmän yta A┴ (m2) vinkelrätt mot flödet, är dragkraften där ½ ρvr

2 faktiskt tryckskillnaden mellan den främre och den bakre av föremålet.

5

fluid

fluidrx 103

η

xρvRe for ,

/förv½ρ

xvvrfluid

fluid

fluidrrfluidwyyx

2

0 η

ρ6640

δηττ

½

.

5

fluid

fluidrL

2 103η

ρLv Re for/

förv½bLη

LρvdxbFF rfluid

½

fluid

fluidrL

wDdrag ρ331τ0

.

5L

L

D 103Re forRe

1.33 C with/ /för medvACF rDD

2ρ½

9L

72.58

L10D

7L

51/5L

D 10Re10 for )log(Re

0.445 C ;10Re10 for

Re

0.074 C /för/för

Re

1740

Re

0.074 C

L1/5L

D

Fig. 6.43 Flow around a plate perpendicular to the flow Strömning runt ett plan vinkelrätt mot strömningen

FD = CD·A┴·½ρvr2

(6-52)

(6-53)

(6-54)

(6-55)

(6-56)

(6-57)



6-38

of the object.

For a cylinder with length L (m), diameter D (m), A┴ = L·D (m2), the drag coefficient depends on Reynolds’ number. As is also the case for a sphere (or any particle shape for that matter), with increasing Re-numbers, boundary layer separation occurs, and a wake region arises where kinetic energy is only partly converted into pressure. Fig. 6.44 illustrates this for flow around a cylinder, for five Re number ranges. The wake region where the boundary layer has detached from the surface results in a sharp drop of the drag coefficient CD. A graph that illustrates it for smooth (!) cylinders and spheres is given in Fig. 6.45. Points (a) .. (e) correspond to Fig. 6.44 (a)..(e).

For spherical particles the drag coefficient depends on Re-number as:

För en cylinder med längden L (m),

diameter D (m), A┴ = L·D (m2), beror motståndskoefficient på Reynolds tal. Vilket också är fallet för en sfär (eller vilken annan partikelform som helst), med ökande Re-nummer sker gränsskikts separation och till följd uppstår ett område där kinetisk energi endast delvis omvandlas till tryck. Fig. 6.44 illustrerar detta för flöde runt en cylinder för fem intervall av Re nummer. I svallvågsregionen där gränsskiktet har lossnat från ytan uppkommer i en kraftig minskning av motståndet CD. Ett diagram som illustrerar det för släta cylindrar (!) och sfärer ges i fig. 6.45. Punkterna (a) .. (e) motsvarar de i fig. 6.44 (a) .. (e).

För sfäriska partiklar beror motsånds-koefficienten på Re-nummer enligt:

Fig. 6.44 Flow around a cylinder perpendicular to the flow Strömning runt en cylinder vinkelrätt mot strömingen (KJ05)

Fig. 6.45 Drag coefficient for flow around spheres and cylinders perpendicular to the flow Motståndskoefficienten för strömning runt sfärer och cylindrar vinkelrätt mot strömningen (KJ05)


6-39

A special case is the low-Reynolds number region Re < 0.2: the relation CD = 24/Re follows also from Stokes’ law for a sphere with diameter D and relative velocity vr.

26 This is a very important expression that has a wide range of application, for example in aerosol technology. 6.7.4 Boundary layer separation Two cases where boundary layer separation is of great importance are illustrated in Fig. 6.46. The first is the boundary layer detachment on a golf ball that results in further distances travelled as a result of smaller drag forces. Boundary layer detachment occurs at Re ~ 6·104 (compared to Re ~ 3·105 for smooth spheres).

26 More detail: J. Happel, H. Brenner “Low Reynolds Number Hydrodynamics: with special applications to particulate media” (1963)

Ett specialfall är regionen med låga Reynoldstal Re <0,2: relationen CD = 24/Re också följer Stokes lag för en sfär med diametern D och relativa hastigheten vr.

27 Detta är ett mycket viktigt uttryck som har ett brett tillämpningsområde, till exempel i aerosol teknik. 6.7.4 Gränsskiktseparation Två fall där gränsskiktseparation är av stor betydelse illustreras i fig. 6.46. Det första fallet är när gränsskiktet lossnar på en golfboll som resulterar i längre flylängd som ett resultat av lägre dragkrafter. Gränsskiktseparation inträffar vid Re ~ 6·104 (jämfört med Re ~ 3·105 för släta sfärer).

27 Ytterligare detaljer: J. Happel, H. Brenner “Low Reynolds Number Hydrodynamics: with special applications to particulate media” (1963)

5D

32

D

D

D

10Re800 for 0.44 C

800Re2 for Re6

11

Re

24 C

2Re0.2 for Re16

31

Re

24 C

0.2 or 1Re for Re

24 C

Fdrag = 3·π·η·vr·D

Fig. 6.45 Boundary layer detachment on golf balls (left) and around stack outlets (right) Gränsskiktet lossnar på golfbollar (vänster) och runt skorstensutlopp (höger) http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0215.shtml (accessed 2012)

http://www.structural.net/news/Media_coverage/media_plant_services.html (accessed 2006)

(6-58a) (6-58b) (6-58c) (6-58d)

(6-59)



6-40

The second case is air flow around a stack outlet, where boundary layer detachment leads to lower pressures around the stack outlet. This “sucks” part of the flue gas to the outside of the stack outlet where (mixed with air) it can give corrosion. Changing wind directions make this occur all around the stack outlet. 6.7.5 Final remarks More detail on flow in and around structures like grids, heat exchanger tube bundles, and momentum transfer processes in wind turbines etc.., as also compressible and two-phase/multi-phase flows will be addressed in ÅA course 424514 Fluid and particulate systems. 6.8 Exercises

1 Two piston-cylinder assemblies are connected by a tube filled with mercury (Hg) at 20°C (density 13546 kg/m3). The diameter of each piston is 0.08 m, the mass of each piston is 0.40 kg. Mass m1 = 5.00 kg. Use the data to calculate mass m2.

(KJ05) (answer: 2.96 kg) 2 The tip of a certain iceberg (which is the volume of the iceberg above the water surface) is Vtip = 79 m3, in seawater of with density ρsea = 1027 kg/m3. Calculate the submerged (i.e. under water) volume of the iceberg. For ice the density is ρice = 920 kg/m3. (answer: 679 m3). 3 Oil with viscosity η = 0.05 Pa·s fills a 0.4 mm gap between two cylinders of which the inner one rotates whilst the outer one is fixed. The diameter of the inner cylinder is 8 cm, the length is 20 cm. How much power is required to rotate the inner cylinder at 300 rpm? (KJ05, ÖS96)

Det andra fallet är luftflödet runt ett skorstensutlopp, där gränsskiktseparation leder till ett lägre tryck runt skorstens-utloppet. Detta "suger" en del av rökgasen till utsidan av skorstensutloppet där det (blandat med luft) kan orsaka korrosion. Förändringar i vindriktningen gör detta inträffar runt hela skorstensutloppet. 6.7.5 Slutliga anmärkningar Mer information om flödet i och runt strukturer som galler, rörknippen i värme-växlare och impulsöverföring i vindkraft-verk osv., och även komprimerbara och två- och flerfas flöden kommer att tas upp i ÅA kurs 424514 Fluid and particulate systems. 6.8 Övningar 1 Två kolv-cylinder-aggregat är samman-

kopplade med ett rör fyllt med kvicksilver (Hg) vid 20°C (densitet 13546 kg/m3). Diametern för varje kolv är 0,08 m och massan för varje kolv 0,40 kg. Massan m1 = 5,00 kg. Använd given data

för att beräkna massan m2. (KJ05) (svar: 2,96 kg) 2 Toppen av ett visst isberg (som är

volymen av isberget ovanför vattenytan) är Vtopp = 79 m3, i havsvatten med densiteten ρhav = 1027 kg/m3. Beräkna den nedsänkta (dvs. under vatten) volymen av isberget. Densiteten för is är ρis = 920 kg/m3.

(svar: 679 m3). 3 Olja med viskositeten η = 0.05 Pa•s

fyller en 0,4 mm hålighet mellan två cylindrar varav den inre en roterar medan den yttre en är fast. Diametern av den inre cylindern är 8 cm och längden är 20 cm.

Hur mycket effekt krävs det för att rotera den inre cylindern vid 300 varv per minut? (KJ05, ÖS96)


6-41

(svar: 992 W) 4 1 liter/s ethanol (density ρ =791 kg/m3) is pumped through a tube (diameter d = 25 mm) with a downwards slope. Pressure is measured at 2 points 100 m apart, as shown. Calculate the friction losses per meter tube, Plosses /length (W/m) (ÖS96) (answer: 38 W/100 m = 0.38 W/m) 5 A horizontal cast-iron pipe with diameter 4” carries 30000 (US) gal/h water at 70°F. Pipe length is 50 ft. Calculate the pressure drop. The water’s density is 62.2 lbm/ft3; dynamic viscosity is 65.8×10-5 lbm/(ft.s). Start with converting the information to SI units. (KJ05) (answer: 27730 Pa) 6 Calculate what the inner diameter d (in m) of a well heat-insulated steel tube should be for transporting ṁ = 3,2 kg/s steam with temperature 180°C and pressure 300 kPa (density ρ = 1,464 kg/m3, dynamic viscosity η = 15,1×10-6 Pa·s), if the pressure drop in straight tube sections may not be more than 250 Pa per

meter. Wall roughness is k = x = 0,4 mm. Note that for round tubes: Advice: develop an expression d = f(<v>, ζ, ...) and iterate a few times to find a result for d (m). (old exam question). (answer: d = 0,22 m). 7. A pump is used to remove water from a mine shaft – see Figure. How much pump power Ppump (in kW) is needed to remove water at a rate of 65.0 kg/s? Assume an ideal pump (efficiency 100%). Assume density ρ=997 kg/m3, viscosity η=1.12×10-3 Pa·s. (KJ05)(answer: 0.0652m3/s · 266 kPa =17.34 kW)

(answer: 992 W) 4 1 liter/s etanol (densitet ρ = 791 kg/m3) pumpas genom ett rör (diameter d = 25

mm) med en lutning nedåt. Trycket mäts vid 2 punkter 100 m från varandra, såsom visas. Beräkna friktionsförlusten per meter rör, Pförlust/längd (W/m) (ÖS96)

(svar: 38 W/100 m = 0,38 W/m) 5 Ett horisontellt gjutjärnsrör med diametern 4" transporterar 30000 (US)

gal/h vatten vid 70°C. Rörlängd är 50 fot. Beräkna tryckfallet. Vattnets densitet är 62,2

lbm/ft3, dynamiska viskositet är 65.8×10-5 lbm/(ft.s). Börja med att omvandla informationen till SI-enheter. (KJ05) (svar: 27730 Pa) 6 Beräkna vad den inre diametern d (i m) för en väl värmeisolerat stålrör bör vara för att transportera m = 3,2 kg/s ånga med temperatur 180°C och tryck 300 kPa (densitet ρ = 1,464 kg/m3, dynamisk viskositet η = 15,1×10-6 Pa·s), om tryckfallet i raka rörsektioner inte fårvara mer än 250 Pa per meter.

Väggskrovligheten k = x = 0,4 mm. Observera att för runda rör:

Tips: Utveckla ett uttryck d = f(<v>, ζ, ...) och iterera några gånger för att hitta ett resultat för d (m). (gammal tentfråga). (svar: d = 0,22 m).

7. En pump användes för att avlägsna vatten från ett gruv-schakt - se figur. Hur mycket pumpeffekt Ppump (i kW) behövs för att avlägsna vatten med en hastighet av 65,0 kg/s? Antag en ideal pump (verkningsgrad 100%). Antag densitet ρ = 997 kg/m3, viskositet η=1.12×10-3 Pa·s. (KJ05) (svar: 0.0652 m3/s·266 kPa =17.34 kW)



6-42

8 A 1 hp (746 W) electrical motor drives a centrifugal pump for which the catalogue gives some tabelised data. Calculate the pumping power and efficiency for pumping water (ρ = 996 kg/m3) with this pump, and plot these as a function of the flow rate. (T06) (answer: first data set: -∆ppump = 44672 Pa, Ppump = 141 W →ηpump = 19% and similar for the other data) 9 Cooling water must be pumped from a reservoir up to a process through a tube system with a few bends and a valve as shown in the figure. At both liquid surfaces the pressure equals ambient atmospheric pressure. The cooling water (20°C) flow is 135 m3/h. The height difference between reservoir and process is 105 m and the total tube length is 166 m, of which 16 m is upstream (“before”) of the pump. a) What tube diameter must be chosen so that the flow velocity does not exceed 2 m/s, and what is the Reynolds number of the flow then? b) What pressure head should the pump be able to produce so that the flow objective is achieved? c) Calculate the pump power that is needed for a pump with an efficiency of 80%. d) Is there a risk of so-called “cavitation” somewhere in this tube system? Assume that the friction coefficient for the valve is ζ´= 2,0,assume two 45° elbow bends (ζ´= 0,4) and an 90° elbow bend (ζ´= 0,9). Density water = 1000 kg/m3; dynamic viscosity water = 0,001 Pa·s. Water vapour pressure at 20°C is 2336,8 Pa. Assume the tube wall roughness to be

x = 4,7·10-4 m. (old exam question) (answers: a) 0.155 m; Re = 310000; b.) 111.65 m; c) 52.3 kW; d) No problem.)

8 En 1 hk (746 W) elektrisk motor driver en centrifugalpump för vilken katalogen ger några tabellerade uppgifter. Beräkna pumpeffekten och verkningsgraden för att pumpa vatten (ρ = 996 kg/m3) med denna pump, och plotta dem som en

funktion av flödeshastigheten. (T06) (Svar: Först datauppsättning: -∆ppump = 44672 Pa, Ppump = 141 W → ηpump = 19% och liknande för de andra data) 9 Kylvatten ska pumpas från en reservoar upp till en processanläggning i en rörledning med rörkrökar och en ventil

enligt nedanstående figur. Vid båda vattenytorna råder

atmosfärstryck. Kylvattenflödet (20° C) ska vara 135 m3/t (dvs m3/h). Höjdskillnaden är 105 m och den totala rörlängden är 166 m, varav 16 m före pumpen.

a) Vilken rördiameter ska man välja om vattenhastigheten i röret inte får överstiga 2 m/s och vad är Reynoldstalet? b) Vilken uppfordringshöjd måste pumpen ha för att den skall klara att pumpa vattnet och ge det önskade flödet? c) Beräkna effektförbrukningen (i kW) för pumpen om den har en verkningsgrad på 80% d) Finns det risk för sk. kavitation någonstans i rörsystemet? Antag att ventilens förlustkoefficient är ζ´= 2,0, Antag två 45°‐krökar (ζ´= 0,4) och en 90°‐krök (ζ´= 0,9). Densitet vatten = 1000 kg/m3; dynamiska viskositet vatten = 0,001 Pa·s. Vattnets ångtryck vid 20 °C är 2336,8 Pa. Uppskatta skrovligheten i röret

till x = 4,7·10‐4 m. (gammal tentfråga). (svar: a) 0.155 m; Re = 310000; b.) 111.65 m; c) 52.3 kW; d) Inget problem.)


6-43

10 An advertising banner (1 m x 20 m) is towed behind an aeroplane at 90 km/h, in air at 32°C. Calculate the power (in kW) needed to pull the banner. (KJ05) (answer: 0.875 kW)

Appendix Friction loss factors Kw (or ζ´) for flow tube elements. Downstream velocity, Re > 105. Sources: BMH99, KJ05

10 En reklam banderoll (1 m x 20 m) dras bakom ett flygplan i 90 km/t, i luft vid 32°C. Beräkna effekt (i kW) som behövs för att dra banderollen. (KJ05) (svar: 0,875 kW)

Motståndstal Kw (eller ζ’) för rörsystem-element. Hastighet nedströms, Re > 105. Källor: BMH99, KJ05

Litteratur References 6.

BMH99: W.J. Beek, K.M.K. Muttzall, J.W. van Heuven “Transport phenomena” Wiley, 2nd ed. (1999)

BSL60: R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot “Transport phenomena” Wiley (1960)

CEWR10: C.T. Crowe, D.F. Elger, B.C. Williams, J.A. Roberson”Engineering Fluid Mechanics”, 9th ed., Wiley (2010)

KJ05: D. Kaminski, M. Jensen “Introduction to Thermal and Fluids Engineering”, Wiley (2005)

MSH93: W.L. McCabe, J.C. Smith. P. Harriott “Unit operations of chemical engineering” 5th ed. McGraw-Hill (1993)

SSJ84: J.M. Smith, E. Stammers, L.P.B.M. Janssen “Fysische Transportverschijnselen I” TU Delft / D.U.M. (1984) (in Dutch)

T06: S.R. Turns “Thermal – Fluid Sciences”, Cambridge Univ. Press (2006)

ÖS96: G. Öhman, H. Saxén ”Värmeteknikens grunder”, Åbo Akademi University (1996) p. 34-52 (chapter 4). (in swedish)

)(corrected AA

Kw

2

2

11

Svensk text (2012): Martin Slotte



6-44

Entrance / exit flow conditions & loss coefficient: Inlopp / utlopp strömningsförhållanden & motståndstal: (a) reentrant, återinlopp entrance, inlopp Kw = 0.8, exit, utlopp Kw = 1.0 (b) sharp-edged, skarpkantad entrance, inlopp Kw = 0.5, exit, utlopp Kw = 1.0 (c) slightly rounded, lite rundad entrance, inlopp Kw = 0.2, exit, utlopp Kw = 1.0 (d) well-rounded, bra rundad entrance, inlopp Kw = 0.04, exit, utlopp Kw = 1.0

Documents

6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik Fluid ...users.abo.fi/rzevenho/PTG kap6-aug2013.pdf · 6. Strömningslära: hydrostatik, strömningsdynamik v. 2013 Fluid mechanics: