数学人教 A 必修 2· 第二章点、直线、平面之间的位置关系

作者／ 制作／ 授课： 程小全作者／ 制作／ 授课： 程小全

1 、平面与平面垂直的定义

2 、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。符号表示：

b

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

b b

二、提出问题：

该结论正确吗？

1. 观察实验（ 1 ）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？

（ 2 ）观察长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AA1D1D与平面 ABCD 垂直， AA1 垂直交线 AD ，平面 AA1D1D 内的直线 AA1 与平面 ABCD 垂直吗 ？ D1D 呢？

两个平面垂直，其中一个平面的直线不一定垂直于另一个平面。

两个平面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

A B

CD

A1 B1

C1

D1

b

2. 概括结论

l lb

b

lb

A

O

.,,, BCDABABCD 于已知

.: AB求证

则∠ ABE 就是二面角 -CD- 的平面角 ∵ , ∴AB⊥BE( 平面与平面垂直的定义 )

又由题意知 AB⊥CD,且 BE CD=B

E

证明 : 在平面 内作 BE⊥CD,垂足为 B.

∴ AB⊥ ( 直线与平面垂直的判定定理 )

D

C

A

B

3. 严格证明

l

b

l lb

b

b

两个平面垂直 , 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 .

简述为：面面垂直 线面垂直

符号表示：

1. 平面与平面垂直的性质定理：

b

b

β

α

P

a

2. 思考 : 设平面 ⊥平面 ，点 P 在平面 内，过点 P 作平面 的垂线 a ，直线 a 与平面 具有什么位置关系 ?

β

α

P

a

直线 a 在平面 内注：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。

CC

×

×

1 例 、已知：两个平面 与 互相垂直，判断下列命题是否正确：

（1）若b ,则b 。

l b l b （2）若 =, 则 。

l

例 2 、 , , ,a a a 判断 与 位置关系

解：设 α

β

a

l

l b在 α内作直线 b⊥l

l

b

b l

b a 又

//a bb

a

//a

1: 已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个

① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；

② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

C

2: 如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是圆周上不同于 A， B 的任意一点，平面 PAC⊥ 平面ABC ，

BO

P

A

C

(2) 求证：平面 PBC ⊥ 平面 PAC(1) 求证： BC ⊥ 平面 PAC

(1) 证明：∵ AB 是⊙ O 的直径， C 是圆周上不同于 A， B 的任意一点 ∴∠ ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面 PAC⊥ 平面 ABC ，平面 PAC∩平面 ABC＝ AC, BC 平面 ABC ∴BC⊥ 平面 PAC

(2) 又∵ BC 平面 PBC ，∴平面 PBC⊥平面 PAC

1 、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2 、空间垂直关系有那些？

请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？

① 线面垂直的判定定理 ② 线面垂直的定义

③ 面面垂直的判定定理 ④ 面面垂直的性质定理

④

③

②

①线线垂直 线面垂直 面面垂直

P73 习题 2.3A 组：5.P74 习题 2.3B 组：4.

, , ,

// , ,

a AB

a a AB a

探究（P72）：已知平面 ， ，直线 且试判断直线 与平面 的位置关系。

α

β

a

B

A

b