两个平面垂直的判定

和性质

1 、定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直。

性质 : 1 、凡是直二面角都相等2 、两个平面相交 , 可引成四个二面角 ,如果其中有一个是直二面角 , 那么其他各个二面角都是直二面角

记作 α⊥β

两个平面相交，如果其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，能否得到两个平面垂直？

想一想

已知： AB┴β AB

求证： ┴ β

aAB aAB aAB aAB

a a

A

BC

D

证明： CD 设 ＝

AB ┴ CD AB AB CD 、 共面

┴ CDAB

设垂足为 B ，过 B 点在平面 内作 BE ┴ CD

则∠ ABE 是二面角 的平面角

又 AB ┴

-CD- 是直二面角

┴

CD

A

BC

D

E

∴∠ABE 是直角

两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

已知： AB α ， AB β⊥

∪

求证： α β⊥α

βC

D

A

B E

例 1 、设 AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆 O 所在平面， C 是圆周上的任意点，求证：面 PAC ⊥面 PBC

P

A B

C

O

例 2 、空间四边形 ABCD 中，已知 AB=3 ， AC=AD=2 ， ∠ DAC = BAC = BAD = 60∠ ∠ 0 ，

求证：平面 BCD ⊥平面 ADC

A

C

B D

O

例 3 、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直

α

β

γa

已知： a // α ， a β⊥

求证： α β⊥b

例 4 、已知 PA ⊥平面 ABCD ， ABCD 为矩形， PA = AD ， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点，

求证：（ 1 ） MN // 平面 PAD ；

（ 2 ）平面 PMC ⊥平面 PDCP

A

B C

D

M

N

Q

练习1 、已知△ ABC 中， O 为 AC 中点， ∠ ABC=900 ， P 为△ ABC 所在平面外一点， PA=PB=PC ，求证：平面 PAC ⊥平面 ABC

P

A

B

CO

2 、 PD ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 为正方形，在所有的平面中共有多少对互相垂直的平面？

P

D

A B

C

2 、判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线面垂直 面面垂直

A

BC

D

在如图长方体 AC1 中，判断下列结论的正误并说明理由

① 平面 ADD1A1 ┴ 平面 ABCD

②D1A ┴ AB

③D1A ┴ 平面 ABCDA B

CD

A1B1

C1D1

练习：

想一想： 平面 ADD1A1 ┴ 平面 ABCD ，过点 A在平面 ADD1A1 内的直线满足什么条件才能与平面 ABCD 垂直呢？

3 、性质定理 (1) ： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

C

D

A

B

面面垂直 线面垂直

E

在 β 内引直线 BE⊥CD, 垂足为B,

由 α⊥β 知 ,AB⊥BE

又 AB⊥CD 而 BE 和 CD 是 β 内的两条相交直线所以 AB⊥β

则∠ ABE 是二面角 α-CD-β 的平面角

面面垂直的性质定理（ 2 ）：

如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

A

C

DO

O

bc

小结：面面垂直 线面垂直

关键

在一平面内找另一平面的垂线

例 1 、已知：四面体 ABCD ， AB=AD ， AB BC⊥ ， AD DC⊥ ， E 为 BD 中点；求证：（ 1 ）平面 AEC⊥平面 ABD ； （ 2 ）平面 AEC⊥平面 BCE 。

A

B C

DE

例 2 、 已知矩形 ABCD 中 AB=2AD ， E 为 AB 的 中点，将△ AED 沿 DE 折起， （ 1 ）如果 AB=AC ，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE 。 （ 2 ）如果二面角 A-DE-C 是直二面角， 求证： AB=AC 。

AB B

CC

D

D

A

E E

P Q

例 4. 如图： AD 为锐角三角形 ABC 的高， E 是 AD 上一点，且 AE=1/2ED ，过 E 作直线 MN//BC ，交 AB ， BC 于 M ， N ，沿 MN 将 AMN 折起到 AMN , 使 AED=60 ，求证：平面 AMN 平面 ABC

A

B

C

D

EM

N

A

例 4. 如图： AD 为锐角三角形 ABC 的高， E 是 AD 上一点 , 且 AE= 1/2 ED ，过 E 作直线 MN//BC ，交 AB ， BC 于 M ， N ，沿 MN 将 AMN 折起到 AMN , 使 AED=60 ，求证：平面 AMN 平面 ABC

A

B

C

D

EM

N

A

面面垂直 线面垂直 线线垂直

例 5. 如图，平面平面 =a ，平面， 平面，和又同时平行直线 b ，求证：（ 1 ） a (2)b

Am

nBC

12

c d

如图， ABCD 是正方形， PA 平面 AC ， BE PC ，E 为垂足。

（ 1 ）求证：平面 BDE 平面 PBC ；

（ 2 ）当 PA=a PB= a 时，求二面角 E-BD-C 的正切值

7

O（ 5 ）试问平面 PBC 是否与

平面 PDC 垂直？

(3) 若求二面角 B-PC-D又如何求？

（ 4 ）试求 PC 与 BD 的距离

如图，平面平面 =a ，平面， 平面，和又同时平行直线 b ，求证：（ 1 ） a (2)b

Am

nBC

12

c d

AB

CD

M N

O

A B

CD

M NO

南师讲义 P.103 6题

1 、两个平面互相垂直的定义

小 结：

2 、两个平面互相垂直的判定定理

3 、两个平面互相垂直的性质定理

作业 :

1 、书 P40 习题 12 、 13 、 14

2 、教测 P119 例 1 、例 2