§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面一、实射影平面 (二维实射影空间 )

二、实射影平面的模型

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面三、射影坐标变换 定义 1.10 在射影平面上取定四点 A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取 A1, A2, A3, I 的齐次坐标 , 总成立下列关系式

1 2 3. ( 0)I A A A (1.7)则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系 , 记作 (A1A2A3 | I).

称 A1A2A3 为坐标三点形， I 为单位点 . 点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标 .

注 2: 原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义 1.9 中的 φ.

注 1: (1.7) 式：选取 A1, A2, A3, I 的齐次坐标时 , 必须满足)0().,0,0()0,,0()0,0,(),,(

注 3: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系 (A1A2A3|I) 为一个原始的射影坐标系 .

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面

证明 : 只要证对平面上任意一点 X, (PQR|E) 可惟一确定其点坐标映射 . 设 X 的原始坐标为 (x1

*, x2*, x3

*), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类 (x1, x2, x3)∈RP2, 满足

R

x

x

x

rqp

rqp

rqp

x

x

x

0.

3

2

1

333

222

111

*3

*2

*1

(1.9)

于是 (1.9) 惟一确定了点 X 在射影坐标系 (P,Q,R|E) 下的一个齐次射影坐标 (x1, x2, x3).

三、射影坐标变换 定理 1.11 在射影平面上任意取定四点 P, Q, R, E, 满足 (1) P, Q, R, E 中任何三点不共线 ; (2) 规定选取这四点的原始坐标 P(pi), Q(qi), R(ri), E(ei) 时 , 满足 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ). ( 0)e e e p p p q q q r r r (1.8

)则这四点构成一个射影坐标系 (PQR|E). 称 PQR 为坐标三点形 , E为单位点 .

注1

在 (PQR|E) 下 , P,Q,R,E 各有一组齐次坐标为 P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1). 因此 (PQR|E) 也可作为原始坐标系 .

注2

因为 P,Q,R 不共线，所以 | pi qi ri |≠0, 即 (1.9) 式为非奇异线性变换 , 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换 .

注3

在拓广平面上 , 笛氏齐次坐标是射影坐标的特例 . 从而 §1.2 讨论的结论全部在射影坐标下成立 , 今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标 .

R

x

x

x

rqp

rqp

rqp

x

x

x

0.

'3

'2

'1

333

222

111

3

2

1

注4

(1.10)

按坐标变换新、老坐标的书写习惯， (1.9) 式改写为

这是传统的坐标变换的逆式，今后可直接使用 .

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面三、射影坐标变换

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面四、实射影直线 (一维实射影空间 ) 定义 1.11 在射影直线上取定相异三点 P, Q, E, 选取其笛氏齐

次坐标 P(pi), Q(qi), E(ei) 使得

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ). ( 0) (1.11)e e e p p p q q q

则在射影直线上定义了以 P, Q 为基点 , E 为单位点的一个一维射影坐标系 , 记作 (PQ|E). 射影直线上任意一点 X(x1, x2, x3) 的齐次射影坐标 (λ, μ) 由下式确定

1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ). 0 (1.12)x x x p p p q q q R

注 2: 定义 1.11 的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的 .

注 1: 在射影坐标系 (PQ|E) 下 , P, Q, E 的坐标分别为 (1,0), (0,1), (1,1). 一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标 .

五、复射影平面、实 -复射影平面实射影平面 *22 )(,: RPRP三维实向量类

复射影平面将实射影平面嵌入到复射影平面中 (作为其子空间 )，即带有虚元素的实射影平面

*22 )(,: CPCP三维复向量类

实 -复射影平面

虚点实点

定义为则使得不存在为则使得若存在

),,(,,0

),,(,,012.1

321

321

xxxPRxC

xxxPRxC

j

j

注 2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线 .

注 3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭 .

注 1: 类似定义实直线与虚直线 . 于是在实 - 复射影平面上一个元素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变 .

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面

.).1( 上在上在直线点 uxux .)'.1( xuxu 过过点直线

)0( 即得结论两边取共轭对 jj xu

.

).2(

上在上在实直线虚点

u

xux .)'.2( xuxu 过过实点虚直线

(3). 实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点 .

(3)' . 过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线 .

(4). 两共轭虚点连线为实直线 . (4)'. 两共轭虚直线交点为实点 .

(5). 过一虚点有且仅有一条实直线 .

(5)'. 在一条虚直线上有且仅有一个实点 .

注 4: 在实 - 复射影平面上 , 下列结论成立 . ( 教材 P.28)

§§ 1.3 1.3 射影平面射影平面五、复射影平面、实 -复射影平面

§§ 1.1 1.1 射影平面射影平面六、图形的射影性质 (射影不变性 )

射影性质射影不变性

射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量

目前已知的射影性质：射影不变性： 点与直线的关联关系 ( 结合性 ) ；同素性；……

结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变

射影不变量： 有待探索 . 目前所知几何量均不是射影不变的

同素性：点 点；直线 直线

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.1

1. 如右图2. 如下图

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.1

3. 如右图4. 设 p 与两平面交线 x 的交点为 X, 则 p' 必定经过定点 X.5.

6. (4), (6), (10).

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.2

1-14. 应该独立熟练完成 . ( 如果有问题 , 望利用答疑 )

15. ( 略 ). 见本章 Desargues 定理的证明 .

16. ( 作业 ). 运用本节的 5 对结论 , 耐心计算即可 .

17. 提示 : 设定直线 x2–kx3=0 上的动点为 O(a, k, 1).

先计算 Q, R 的坐标得： Q(a, 0, 1), R(a, k, 0). 再求 QR 与 A2A3 的交点得： X(0, k, –1).

因为 X 的坐标与 a 无关 , 所以 X 为定点 . A1X 的方程为： x2+kx3=0.

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.2

18. lia+mib+nic 共线不全为 0 的数 p,q,r, 使得0)()()( 333222111 cnbmalrcnbmalqcnbmalp

0)()()( 321321321 crnqnpnbrmqmpmarlqlpl

( 因为 a,b,c 不共线 )

0

0

0

321

321

321

rnqnpn

rmqmpm

rlqlpl

( 因为 p,q,r 不全为 0)

.00

333

222

111

321

321

321

nml

nml

nml

nnn

mmm

lll

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.2

19.

20. 求出这两个无穷远点的坐标 , 写成 (1,λ, 0) 的格式 , 即可看出垂直 ( 斜率之积为– 1).

2 21 2 1 2( ) 0. ( ) 0.h h ab u au bu h h ab u 或

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题习题 1.2

20. 由非齐次关联关系 Ux+Vy+1=0, 过原点的直线和在无穷远直线上的点、原点和无穷远直线均没有非齐次方程！

22, 23. 请自行完成 .

习题 1.3. 要求熟练掌握第 3 题的类型 , 今后要用 .

今日作业 P.29: 3

The Class is over. Goodbye!课件作者：南师大数科院周兴和

下周一再见！下周一再见！

§§ 1.1, 2, 3 1.1, 2, 3 习题习题