第二章 平面汇交力系与平面力偶系

解析法

几何法1.平面汇交力系的合成与平衡

内容

2.平面力对点之矩

3.平面力偶

公理 3 （力的平行四边形法则）

作用于物体某一点的两个力的合力，亦作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所构成的平行四边形的对角线来表示。

或或A

§2-1 平面汇交力系平衡的几何法

一、合成

RF

1F

2F1F

RF

1FRF

1F

2F

2F

2F

21 += FFFR

合力封闭了由 n 个力组成的折线。

A

汇交力系

汇交力系

汇交力系的合力等于各力的矢量和。

●

4321 FFFF 、、、RF有合力

即： ∑4

14321

i=iR FFFFFF =+++=

ni FFFF 、、、、、 ……21 RF有合力

即： ∑n

i=iniR FFFFFF

121 =+…++…++=

1F

4F

2F

3F

12F

123F

RF

合力封闭了由 4 个力组成的折线。

四力自行封闭

二、平衡

·O

组成封闭的 n 边形n 个力

RF

2F1F

3F

4F

RFF －=4 0=+4 RFF即：

也就是： 0=+++ 4321 FFFF

∑4

1

0==i

iF

∑n

=iiF

1

0=

求：圆柱对墙及夹板的压力。例 1. 已知： P =500 N ，各面光滑。

B

A

N7288=30= .tanPFA

N4577=30

= .cos

PFB

解：

┐

30°

（

P

P

⌒60° B

A

P

AF

BF

AF

BF

┐

∴

）45°

例 2. 已知：物重 P ，尺寸如图。不计各杆自重。求：绳的拉力；铰链 A 的约束力。

A

B

PFFF TBTBA ==′= P=F F TBTC 22= ′

解：

a

A

B

C

D

a

aa

P

P

TBF

TBF′

TBF′

TCF

AFTCF

AF

机构如图，不计杆重。求铰链 A 、 E 处的约束力。例 3.

A

4BC

D

E

866

D

E

4

4

3

3

A

BC

FFFF ADE 6

5===

解：F

F

F

EF

DF

DF′

DF′AF

AF

§2-2 平面汇交力系解析法

oxy 系

x

y

φo Fx

Fy

2y

2x F+F=F

x

y

F

Fφtan =

一、合成

ji、 F

ji

F

xF=• iF yF=• jF jiF yx FF +=

Fcosφ=Fx

Fsinφ=Fy

同理

合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的 代数和。

（汇交力系合成的解析法）

—— 合力投影定理

汇交力系 ni FFFF 、、、、、 ……21 RF有合力

∑1

21 =+++++=n

=nR FFFFFF

iii

∑∑∑1= 1=1=

=)•(=•)(=•=n

xi

n

i

n

iR iFiFiFi

ii

Rx FF

∑1=

=n

yi

iRy FF

∑Fx = 0

可解两个未知数

∑Fy= 0

二、平衡

0=RF

杆 AB 、 AC 在 A 处铰接，另一端铰接与墙上。 F2=535N ，均作用于销 A 。求：两杆受力。

y

x

销 A:

解：

例 4.

43

A

1F

2F

BF

CF

:0=Σ xF

:0=Σ yF 0=5

4+° 30 21 F－FcosFC

N207=∴ CF

0=° 305

31 sinFFF CB－－ N164=∴ BF

┌

B

C

A

43

1F

2F

)

30°

例 5. 相同两球放置于光滑筒内， P=120N, 筒径 R=45cm,球径 r=25cm 。求：筒对球及两球间的作用力。

1.球 O1:解：O1

B

A

B

D

CO2

AFBF

N160=3

4== P

tan

PFA

2. 球 O2:

BF ′

x

y

(αCF

:0=Σ xF

:0=Σ yF

0= ′ αcosFF BC－

N160= ′=∴ αcosFF BC

0= ′ αsinFPF BD －－

N240= ′+=∴ αsinFPF BDDF

5

3= αsin

P

P

O1

D

C

B

A

O2

P

P

(αAF

BFP

N200=3

5== P

sin

PFB

y●

解：

x

例题 2-3 。起重机 ABC ， A 为滑轮， B 、 C 铰接。 P=20kN 。求： AB 、 AC 杆的受力。

例 6.

A

●●

1TF

2TF

CF

BF

:0=Σ xF

:0=Σ yF

0=° 30 ° 60+ 21 cosFcosFFB TT －

kN327=) 13(2

=∴ .P

FB －

0=° 60 ° 30 21 cosFcosFFC TT －－

kN3227=) 1+3(2

=∴ .P

FC

PFF TT == 21

A

C

B60°

30°

P

2.PA=300N ， θ=0 ，求： PB=?

1. 两轮重 P, 置于光滑斜面上，杆重不计。求： θ= ？

PA=300Nθ=0°2.

1.

∴PB=100 N

例 7.

解：B

A θ

30° 60°A

B

F

F ′

AP

F

APAFAF

° 30=

)° 60( sin

F

θsin

PA

－

BPBF

F ′

BPBF

30°

60° ° 60

′=

)+° 30( sin

F

θsin

PB

3

3=tanθ

° 30=∴ θ

)3(3=)3+( θsinθcosPθsinθcosP BA －

轮 A 和 B ，各重 PA=2P ， PB=P ，杆 AB=l ，不计杆重，斜面光滑。

1. 轮 A:

例 8.

解：A

B

F

F ′

试求系统平衡时杆 AB 与水平面的夹角 α= ？

AP AF

θ

αα

B

A θ 90°-θ

θ

2. 轮 B:

BP

90°- （ θ+α ）

BF

)+(

2=∴

θαcos

θsinPF

θcosθin

θcosαtan

s3

23= ∴

2 －

FAP

AF

F ′

BPBF

)+(

=′∴

θαsin

θcosPF

求：平衡时的角 θ= ？

均质杆 AB 置于半径为 R 的槽内。 AB=l=3R, 不计摩擦。

O´

例 9.

解：

A

B

O CD θ

P

AF

DF

cosθl

θRcos2

=22

θθ

9190= .cosθ

21312322.23θ

●

已知：均质杆 AB=l ，重 P=100N ，面光滑。

┌

O

例 10.

解：

40°

求：平衡时 A 、 B 两端的受力， θ= ？

θ B

A

40°P

●AF

BFP

AF

BFN983=40= .°tanPFA

N513040

.=°

=cos

PFB

50°tancosθl

lsinθ 2

=

0.595950°2

=1

= tantanθ

427430=°30.79=θ

§2-3 力对点之矩

一、力矩的概念

· A

.O

矢量

大小┌

d

⌒

α

平面问题标量

大小 旋向 :

⌒－⌒+逆 + 顺 -

单位：

二、力矩的性质1. 力滑移后对同一点的矩不变。2. 力过矩心时，矩为零。3. 平衡力系的矩为零。

定义F r

FrFmo ×=)(

αrFsin=)(Fmo

Fdm ±=)(Fo

N.m ； kN.m

Fd=

三、合力矩定理

汇交力系的合力对某点的矩等于力系中各分力对同一点力矩的代数和。

O .

即

.

…

A

…

∑1=

=n

R FFi

i

1F

2F

iF

nF

RF

r∑∑

1=i

1=

)(=×=×=)(n

o

n

RRo FmFrFrFmii

i

∑1=

i )(=)(n

oRo FmFmi

)( 21 nF…FF 、、、力系 汇交于 A 点，且有合力 RF

Fn=1000N ， Dn =160mm ， α=20°

t

r

解：

求：

解法Ⅰ： 力臂 αcosD

rd 2

== no

N.mn

non 75.2=2

= －－－ α cosD

FrF

解法Ⅱ：mo( Fr)mo( Ft)+

N.m n

n 75.2=0+2

= －－D

α cosF

例 11.

?=)( no Fm

=)( no Fm

=)( no Fm

例 12.

解：－ F1b cosα － F1a sinα

已知： a 、 b 、 α 、 、

b

a

Aα（

α sinbFαcosaF 2

1－

2

122

F2sinαF2cosα

F1sinα

F1cosα

A

求：

1F

2F?=)( 1A Fm ?=)( 2A Fm

=)( 1FAm

=)( 2FAm

1F

2F

1F

2F

例 13.

Fx=Fcosα

求：力 F 对 A 点的力矩。

解：

已知： 、 R 、 r 、 α 。

⌒α

Rr

A·

OFx

⌒

Fy

αFy=Fsinα

( ) ( ) ( )yxF FmFmm AAA +=

sinαr•Fsinαcosα r(RαcosF +)= －－

α sinFrαcos FrFRcosα 22 ++=－

)( = RcosαrF －

F

F

§2-4 力偶系

一、力偶的概念

等值、反向、不共线的两个平行力的组合定义 :

平面力偶 标量

效果 ： 转动

作用面 :

力偶臂： d

两力所确定的平面

d

大小 m=Fd

方向 ⌒－⌒+ ⌒m ⌒ m

矢量

F

F ′力偶矩矢

m

2. 不平衡、且无合力。

1.矩 m 不变，力偶可平移、滑移、转动。

合成后仍为一力偶

2.当力偶矩相等时，两力偶等效。

四、力偶系的合成

二、性质

1.力偶对任何点的矩都等于其力偶矩。

∑1=

=n

mMi

i

（不能与力平衡）

三、等效定理

m

一、合成

∴平衡方程

二、平衡

可解一个未知数

§2-5 平面力偶系的平衡

∑M=0

∑1=

=n

iimM

0== ∑1=

n

iimM

求： A 、 C 处约束力。已知： m ，不计自重。

解：

例 15.

C

B

B

A

∑ 0M 0=32

2

2

2aFaFm AA －－

a

m.m

aFA 35360=

4

2=

BF BF ′

CF

AFCBA FFF ==

m

A

a

3a

a

a

B

C

m

m1 m2m3

例 14.

解：

圆棒上作用有力偶 m1 、 m2 、 m3 而处于平衡，其中 m1=m2=m,

求： m3= ？

∑ M = 0:

∴ m3 = m2 + m1 = 2 m

m1 － m3 + m2 = 0

直角弯杆 ABCD 与直杆 CD 及 CE 铰接如图， m=40kN·m ，不计杆重及摩擦。求： A 、 B 处约束力及 CE 杆受力。

例 16.( 习题 2-15)

解： m ·

E

D

C ·

E

m

2m

E

BA

C

D

30°

·

·

2m

2m

4m

1. CE 杆：2. DE 杆：

3. 弯杆 ABCD ：

B

D

A

C·

·

kN 210=4

2===∴

mFFF DEC

0=22 DFm－:0=Σ M

:0=Σ M 0=2

3422 AD FF －

kN 3

320==∴ AB FF

CF

EFEF ′DF

DF ′

CF ′

BFAF

m

2m

E

BA

C

D

·

·

2m

2m

4m BF

AF

:0=Σ M

解：

0=2

34 AFm－ kN

3

320==∴ AB FF

直角弯杆 ABCD 与直杆 CD 及 CE 铰接如图， m=40kN·m ，不计杆重及摩擦。求： A 、 B 处约束力。

例 17.

m

2m

E

BA

C

D

30°

·

·

2m

2m

4m

习题 2-7

图示机构。 D 固定铰链， B 、 C 、 E 活动铰链。已知力F，尺寸如图，不计杆重。求此时工件 H所受的压紧力。

A

E

DB

C

F

θ

H

θ

θ

习题 2-9 四连杆机构如图，力 F1 、 F2 分别作用在铰链 A 、 B处。平衡。求力 F1 、 F2 的关系。

30°A

DC

B

1F2F

45°60°

30°

第三章 平面一般力系

内容 1.力系的简化

2.物体系统的平衡

—— 作用线在同一平面内的任意力系平面一般力系

§3-1 力的平移定理

证明

作用于刚体上的已知力可以向该刚体上任意一点平行移动，平移时将产生一附加力偶，其矩等于原力对平移点的矩。

O· ·A⌒m

( )Amm Fo=

AFOF

OF ′

·A

AF

AOO FFF =′=－

⌒

⌒ ⌒M·O⌒

m2

§3-2 平面任意力系的简化一、简化

力系

(m1 、 m2 、……、 m

n)

力偶系汇交力系

合力偶 M

主矢 主矩

简化中心 O

任选

合力

⌒m1

mn

n21 …… FFFF 、、、、、 i

∑∑11=

=′=n

=

n

R FFFi

ii

i

1F2F

iF

nF

1′F

2′F

iF ′

nF ′

mi

n21 …… FFFF 、、、、、 i

( )∑∑1=1=

==n

iio

n

ii FmmM

RF

RF

二、结果讨论

1.力系的等效

两力系等效2.讨论

⑶ 计算⑵ M 与 O 的位置有关。

∑1=

=n

iixRx FF ∑

1==

n

iiyRy FF

22 += yx RRR FFF

R

Rx

F

Fcosα =

R

Ry

F

Fcosβ =

力系 1： 、 M11RF 力系 2： 、 M

2

2RF

当 ; M1=M2

21 = RR FF

( )∑=∑=1=1=

n

iio

n

ii FmmM

⑴ 作用于 O 点，但 与 O 无关。RFRF

·O ·O´

⑷ 结果讨论

与 O 无关力系简化为合力偶

M´= FRd = M

⌒MM´⌒d

≠① 0, M=0RF

RF ′

≠② 0, M≠0RF

RF

③ = 0, M≠0RF

—— 合力RF

合力 作用于 O´ 点RF ′

3. 平面任意力系合力矩定理

方程平衡

∑ 0== xRx FF

∑ 0== yRy FF

( ) 0== ∑ FomM

( ) ( )∑1=

=n

oo FFi

iR mm

4. 固定端

A

A

A Fx

Fy

⌒

mA

④ = 0, M = 0RF

§3-3 平面一般力系的平衡方程及其应用

可解三个未知数方程∑ 0=xF

∑ 0=yF

( ) 0=∑ Fom

⌒

例 1. 已知： F 、 α 、 L

解：

求： A 端约束力。

解法Ⅰ A

BmA

FAy

FAx

解法Ⅱ

∑ :0=AM

∑ 0= :Fy

∑ 0= :Fx

0= LsinαF－mA LsinαFm A = ∴

0= cosαFFAx－ cosαFF Ax = ∴

0= sinαFFAy－ αsinFF Ay = ∴

mA

FA = F

∑ 0= :M 0= LsinαFmA－ LsinαFmA = ∴

）αA

LB

F

）αF

A

B）α

F

AF

已知： F = 2 kN ， m = 1.5 kN·m ， L = 2 m

例2.

求： A 、 B 处的约束力 解：

⌒m （45°C

BA

FAy

FAx

∑ 0= :M A

∑ 0= :Fy

∑ 0= :Fx 0=45+ cosFFAx

kN4141=2

2= ∴ .FFAx －－

0=－3•2

2－2• mLFLFB

kN52=24

3+

2= ∴ .FL

L

mFB

02

2 FFF BAy － kN08.1

2

2 ∴ －－ BAy FFF

L

C

⌒ （45°BAm

2L

F

F

BF

例3.

解：

已知：相同圆柱 O1 、 O2 ， P= 100 kN ， α=30°

求： A 、 B 、 C 处的约束力。

B

CA

O2

O1

∑ 0=2

:M O

∑ 0= :Fy

∑ 0= :Fx

yx

0=2－ PsinαcosαFC

kN182=302= ∴ .tanPFC

0=2－2 RcosPRFA α•

kN 686=30= ∴ .cosPFA

0=2+ sinFcosPFF CBA －－

kN 121=36

5= ∴ PFB

PP

）α B

CA

O2

O1

PP

CF

BFAF

关 于 分 布 载 荷 的 问 题 向上： +

2. 求力矩：

1.求合力：

3. q(x) = q = c.

集度： q(x)

( ) dx•xqdFQ =

∫ =B

AQQ dFF

A

q(x)

x

y

dxxLa

BO

( ) ( ) xdxxqxdx•xqdm =• =

( ) dxxxqdmmaL+

a

B

AO ∫∫ = =

( ) dxxxqmL

0A ∫ = ( ) dxxxqm

L

0B ∫ =－

qA B

LaO

FQ = qL

)(2

+=L

aqLmO －2

2

1= qLmB

2

2

1= qLmA －

单位： kN/m

A

q(x)

x

y

dxxL

BO

A

B C

例4. 求： A 处约束力。

已知： F = 5 kN ， q = 4 kN/m ， a = 4 m ， b = 3 m 。

解：q

mA

FAy

FAx

0=2

1 2qbbFmA －－ m•kN 2 33=

2

1+= qbbFmA∑ 0= :M A

∑ 0= :Fy

∑ 0= :Fx

0=FqbFAy －－

kN 17=+= FqbFAy

0=AxF

a

A

BC

b

q F F

例 5.起重机除平衡重 W外的全部重量为 500kN,最大起重 200kN ，求保证空载、最大载荷时都不倾倒的 W 及 x 。

解：G

PW6m1.5mx

A B

1.满载

……①

G

PW

A B

AF BF

:Σ 0=M B

:0=Σ AM

0=516750+51+( AF.PG.).xW －－0 ≥AF

0 ≥6750+51+ PG.W.Wx －

0=75051+ G.F.Wx B－ 0 ≥BF

0 ≤750 G.Wx－

G.Wx 750 ≤ ……②

②代入①： kN 300 ≥W m 251≤ . x

2.空载

2l

4l

αG

PD

CB

o

rA

r

例 6.

设： OC=a

解：

均质杆 AB长 l, 重 G, 置于光滑半圆槽内 , 圆槽半径 r ，载荷 P铅锤作用于 D 处，求：平衡时 α= ？

AF

BF

:0Σ =MO

0=4

+ Pcosαl

aPsinαGasinα －

2222 42

1=

2= lr)

l(ra －－

2242+=∴

lr

l

GP

Ptanα

－

作业：习题 3-6、 3-10 第六版

作业：习题 2-14 、 2-18第七版

§3-4 静定与静不定问题 物体系的平衡

一、静定与超静定

n = m 静定未知数： n ， 独立平衡方程： m

如：

n ＞ m 超静定 n ＜ m 条件平衡

A Bq⌒ m

⌒ mA BF

mA BC

⌒F

⌒ mA B

F

A B

2F1F

A B

1F 2F

A B

1F 2F

⑴单个物体1.分离体的选择

2.选分离体的思路

⑴未知数不大于 3个，否则，不可全解。

⑵特殊情况：

②只列未知数的关系方程

①只求某个未知数

二、物体系统的平衡

⑵ 几个物体组合 ⑶整体

例 7. 图示三种结构，不计自重和摩擦。问 A 处反力是否相同？

解：

A

C

B

D60°

F

A

C

B

D

F

·

D

C

FB

A

·C

60° D

C

B

A

F

D

C

C

B

A

F

●

AFDF DF

CF

CF ′

AF

●

CF

CF ′AF

DFDm

●

D

C

B

A 60°

F

·

例 8. 求： A 、 B 、 C 处约束力。

解： AB 杆已知： F 、 m 、a

A B

B Cm⌒

∑Fx= 0:

BC 杆

∑MB= 0:

0=BxF

∑Fx= 0:

∑Fy= 0:

∑Fy= 0:

0=2 aFaFAy－FFAy 2

1=∴

0=+ FFF ByA － FFBy 2

1=∴

mc

⌒

0=CxF

0=′ByCy FF － FFCy 2

1=∴

0=′2++ Byc Famm aFmmc －－= ∴:0=Σ CM

FAm⌒B C

a a 2a

F

AF

BxF

ByF

ByF ′

CyF

CxF

例 9.求：地面及绳的受力。人重 P=60 KN 置于梯上，梯长 L=3m ，不计梯重。 α=45°

解： 1 、整体

2 、 CB杆 A B

C

ED

B

C

E

∑MA= 0:

∑Fy= 0: 0=+ PFF NBNA － kN 40=NAF

0=3

22 cosαLPcosαLFNB －

kN 20=3

1= PFNB

∑MC= 0:

0=3

2ENB FsinαLcosαLF －

kN 30=2

3= BE FctnαF

NAF

A

3

L

3

L

3

L

B

C

D Eα（

（

α

P

P

NBF

NBF

TEF

CyF

CxF

已知：例 10.求：绳的拉力；铰链 A 的约束力。

球

AB 杆

解：

PP3

4=1 LAD

3

2= °30=α

PFD 2 ）α┐

A

B

D

∑MA= 0:

∑Fy= 0:

∑Fx= 0:

0=2

1

3

21 αsinPLLFαcosLF DB －－

P.PFB 9251= 39

10=

0=+ αcosFFF DBAx－ P.PFAx 1930=9

3=

0=1 αsinFPF DAy －－ P.PFAy 332=3

7=

A

）α

BC

D

P

1PP

1P

P

DFDF

DF ′

F

F

AyF

AxF

BF

例 11. 已知： F 、 a 。 求： A 、 B 处约束力。1. AC 杆解：

2. 整体

A C

B

A C

∑MC= 0:

∑Fy= 0:

∑Fx= 0:

∑MB= 0:

0=2 aFFa Ay－ FFAy 2

1=∴

0=+ FFF ByAy － FFBy 2

1=

0=243+ AyAx aFaFaFFa －－ FFAx 3

4=

0=+ AxBx FFF － FFBx 3

1=

F F

F

a

A

a

a3a

B

C

FFCyF

CxF

AyF

AxF

AyFAxF

BxF

ByF

已知： A 、 C 、 E 处铰接 ,AE=BE=CE=DE=1cm,F=1kN 。

例 12.

解：求： AC 杆的内力及 B 处的约束力。各杆自重不计。

AC —— 二力杆2. CD 杆：

1.整体：

.DC E

B

A

F

.DC E

F

BF

Bm

:0=Σ BM

kN 1== FFB

0=× EDFmB－

m•N 10=∴ Bm

EyF

ExF

CF:0=Σ EM 0=××·F2

2C DEFCE－

kN 4141=2=∴ .FFC

求： BE 杆的内力。均质球重 P=450N ， AB=l ， AD=0.4l ，不计摩 擦及杆重。

1. 球：

2.AB 杆：

解：

例 13.

DA

B

●

●

●

D

C● O

DF

CF

DF

CFN 3300=3

3

2= PFD

BF

DF ′

A xF

AyF

:0=Σ AM 0=40° 30 DB Fl.Fcosl －

N 240=° 30

40=∴

cos

F.F W

B

P

O

E

D

A

B

●

●C ●

30°

PP

作业

习题： 3-12 、 3-19 第六版习题： 2-20 、 2-30 第七版

平 面 物 系 平 衡 习 题 课

A 、 B 连线与 x 轴不垂直

A 、 B 、 C 三点不共线

平 面 力 系 平 衡 方 程 的 形 式一、任意力系

标准形式∑Fx= 0

∑Mo= 0

∑Fy= 0

两矩式∑Fx= 0

∑MA= 0

∑MB= 0

x

A B··

CBA···

∑MC= 0

∑MA= 0

∑MB= 0三矩式

F

F

二、平行力系

（常用）

三、汇交力系的平衡方程

x 轴与诸力不垂直

A 、 B 连线不与诸力平行

1.∑Fx= 0

∑Mo= 0

2. ∑MA= 0

∑MB= 0

1.∑Fx= 0

∑Fy= 0

2. ∑Fx= 0

∑Mo= 03.

∑Mo= 0

∑Fy= 0

解： 三角板

例 1.边长为 a 的正三角形板 ABC 在铅垂平面内，重 P ，受力偶 m 作用。不计杆重。求：三杆受力。

m⌒B

A

C

∑MC= 0:

∑MA= 0:

∑MB= 0:

0=－2

3mFC

a

mFC 3

3

2=

0=22

3P

am－aFA － P

a

mFA 3

3+

3

32=

0=2

+2

3P

amaFB－

Pa

mFB 3

33

3

2= －

P

A

m⌒BC

D

H

E

P

AF

BF

CF

例 2.求： A 、 B 、 E 处约束力。1.CE 杆

已知： a =1m ； F = 500KN ； q = 250 kN/m ； m =500 kN.m

解：

AB

C

M

C D

E

解法Ⅰ

2.AC 杆

∑MA= 0:

∑Fy= 0

∑Mc= 0:

∑Fx= 0:

0=CxF

∑Fy= 0:

∑Fx= 0:

0=4+2 2 aFaqm E－－ KN 250=EF

0=+2 ECy FqaF － KN 250=CyF

0=AxF

0=462 2CyB aFqaaFaF －－－

KN 1500=BF

0=2 aqF－ －F+F－F BCyAyKN 250=－AyF

F q

mA

a

B

C D

E

a 2a 2a 2a

F q

EFCyF

CxF

CyF ′BFAyF

AxF

q

解法Ⅱ

2.整体

1.CE 杆

∑Mc= 0:

0=4+2 2 aFaqm E－－KN 250=EF

∑MA= 0:

∑Fy= 0:

∑Fx= 0:

0=168+2 2qaaFmFaaF EB －－－

0=AxF

KN 1500=BF

KN 250=－AyF0=4－－++ aqFFFF EBAy

mA

a

B

C D

E

a 2a 2a 2a

F qm

C D

E

EFCyF

CxF

q

mA B

C D

EF q

EFBFAyFAxF

求 : A 、 C 处约束力F = 6 kN ， m = 2 kN.m ， a = 1 m 。

2.整体

例 3.

1. AB 杆 + 销B

解：

m⌒A B

C

A B∑MB= 0:

∑Fx= 0:

∑Mc= 0:

∑Fy= 0:

0=AF

mC

0=CxF

0=F－FCy

KN 6=F=FCy

0=2+ aFm+mC－ KN 14=2+ aFm=mC

mA

⌒

BC

aaa

F

F

F

AFBF

CyF

CxF

（α

例 4.

2. 球：

1.AB 杆

已知： F=P ， α=30° ，

解：

求： C 、 E 处约束力a=ABAD

4

1=

（α

A

B

D

∑Fx= 0:

∑MA= 0: 0=4 asinαF－aFD

PFD 2= ∴

0=ED FαcosF －

PF E 3= ∴

0=2

1P－FF DC－∑Fy= 0: PFC 2=

C

（α

A

B

DE

F

P

F

P

AyF

AxF

DF

DF ′

CF

EF

1.DE 杆解：

已知： F1=F2=400N ， m=300N.m ， L=400mm ， a=300 mm, α= 45° 。不计杆重。求： A、 D处约束力。

2.AC 杆

B

D Em

A

B

C

mA

∑Fx= 0:

∑MD= 0:

∑Fy= 0:

∑MA= 0:

∑Fy= 0:

0=2 1 maFaFC －－ N 1800=CF

0=1CD F－F+F N 1400=－DF

0=2 αcosF－FAxN 2200=FAx

0=2 αsinF－F－F CAy N 2083=AyF

0=2 AC2 MαcosLFL+F － N 11178= .mA

∑Fx= 0:

FDx= 0

例 5.

1F

2F

CF

DyF

DxF

CF ′

AyF

AxF

（

αCD E

L

aaL

m 2F

1F

A

已知： AB=BC=1m ， DE=KE ， F1=1732kN ， F2=1000kN 。 求：外约束力。 α=30°

2.AC 杆

CD 二力杆解：1.DK 杆

K

α（

E

D

∑MA= 0:

CA Bb b

∑Fy= 0:

∑Fx= 0: mA0=AxF

0=2－－ C2A bFbFm KN.m 3000=Am

0=－－ C2Ay FFF KN 2000=AyF

1k FcosαF2

1=

kN1 1000=3

=F

F=F kD

例 6.

1F

2F

K

α （E

D

CA B

2F

1F

KF

1F

KF

DFCFAyF

AxF

DF

CD F=F

mA

已知： m=3qa2 ， q ， a 。各杆自重不计。求 A 、 E 处约束力

A

⌒

q

BC

DE m

a2a

a 3

B C

D

BD 二力杆解：1.ED 杆

2.AB杆 DF

BF

⌒

DE

m DF ′60°(

EF

∑M= 0: 0=2

33 EFam－

qaF=F=F EDB 33

2=∴

q

A B

BF ′

∑MA= 0:

∑Fy= 0:

∑Fx= 0:

∴FAy= qa

0=2

1BAx F－F qaFAx 3

3=∴

0=22

12

2

3+ 2a)q(aFm BA －

0=∴ Am

0=22

3+ qa－FF BAy

例 7.

AyF

AxF

求：平衡时 m=?已知： AB=600mm ， F=1000N ， OE=100mm ， BC=CD=600mm 。

A

B

30°

30°C

α ）

）30°（

⌒ EO

m3. 轮 O

x

2. 销 C

400F － 600FB=0

1.AB 杆解：

BF∑MA= 0: FFB 3

2=∴

BF ′DF

EF

30° ┐

111=αtan 195= .α

0=30)+30( cosFαcosF BE －∑Fx= 0:

N65706=∴ .FE

EF ′

∑MO= 0:

0=100 cosFm E－m•N 37570=∴ .m

））

例 8. 习题 3-15

30°

400

┐

A

30° （）

⌒

BC

D

Em O

800

α

）

┐

F

F

AyFAxF

OyF

OxF

已知： F=10kN ， AD=DC=CE=EB ，不计杆重。

1.铰 H:

2.整体： 3. 杆 BC ：

求：铰 C 处的约束力。解Ⅰ：

例 8.

:0=AMΣ

:0=Σ yF

D

C

H

E

BA

┐

30° 30°

┐

FH

FC

B

F

FF=F 21 3

3=

D

C

H

E

BA

F

0=2 FlFl By－

FFBy 2

1=∴

:0=Σ BM

0 30 =°cosF－F+F 2ByCy

0=∴ CyF

0=° 302

12 sinlFFl Cx－

kN 775=3

3==∴ 2 .FFFCx

CyF

CxF

BxF

ByF

BxF

ByF

1F 2F 1F

2F

2′FAyF

AxF

已知： F=10kN ， AD=DC=CE=EB ，不计杆重。

1. 铰 H:

2. 杆 BC ：

求：铰 C 处的约束力。解Ⅱ：

例 8.

:0=Σ BM

D

C

H

E

BA

┐

30° 30°

┐

F

FF=F3

3=21

0=′22

1+

2

32F

llFlF Cx －Cy

0=CyFkN 775=3

3= .FFCx

H

F

1F 2F

F

1F

2F

C

B

CyFCxF

BxFByF

2′F

3. 杆 AC ：

DC

A

CxF

CyFAyF

AxF 1′F

设：杆 BC=AC=l

:0=Σ AM 0=′22

1′+

2

3′ 1F

llFlF Cx －－ Cy

①

②

① ②由 得：

作业

习题： 3-22 、 3-27

桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构

节点——桁架中杆件的铰链接头

1.桁架的杆件都是直的；

3.桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架的平面内 ;

平面桁架——所有杆件都在同一平面内的桁架

假设：

2.杆件用光滑铰链连接；

优点：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用， 节约材料，减轻结构的重量。

4.各杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。

§3-5 桁 架

1. 点 A

一、节点法

D

C

B

2m

130°2

34

5F2m

A

A

AF BF

AF

:0=Σ BM 0=42 AFF－

FFA 2

1=∴ FFB 2

1=∴

1F

2F AF1F

2FFF －=1

FF 3=2

2. 点 C

3. 点 D

C1′F

3F4F

1′F3F

4F

FF =3 FF －=4

DF

3′F

2′F 5F FFF 3== 25

求各杆受力

E

G

DB F

CA2

P

3

4

5

6

7

89

10

111

E

G

D

A

P

10F11F

0== 1110 FF

9F

8F

0=8F

5F4F 6F

0=5F

1F

2FAF

0=1F

零力杆

解：各杆长度为 a 。求： 1、 2、 3杆受力。

二、截面法GE

BFD

A 3

C

2

1

P PAF BF

:0=Σ BM

0=32+ AaFPaPa －

P=FA∴

:0=Σ DM 0=+2

31 AaFaF

PF 33

2=∴ 1 －

:0=Σ EM 0=2

1+

2

3

2

33 aPaFaF A－ PF 3

3

2=∴ 3

:0=Σ yF 0=2

3+－ 2FPFA

0=∴ 2F

E

DA 3

C

2

1

P

1F

2F

3F

AF

例 10. 求： 1 、 2 、 3 杆的内力。 P=20kN 。解：

1

3

2

1F

2F

3F

:0=Σ AM

:0=Σ BM

:0=Σ xF

0=6+3+4 3 PPF

PF4

9=∴ 3 －

0=6+3+45

3+6

5

422 PPFF

PF4

5=∴ 2 －

0=52

6+

5

3+ 123 FFF

PF2

52=∴ 1

4×3

1

3

2

8

PPPP

A

B

P P P

已知： P1=60kN ， P2=40kN ， P3=70kN 。求：各杆受力。1.整体：解：

例 9.

:0=Σ AM

3P

DHB

F

F

1P 2P 3P

DC H

B

A

FE NBF

0=106314 321 PPPFNB －－－ kN 80=∴ NBF

2.BDHF ：

NBF

:0=Σ HM

1 5432

3m

DC HBA 1P 2P 3P

3m

4m

4m

4m

4m

6m

FE

3 m

3F

0=337 33 PFFNB －－

kN 7116=∴ 3 .F

3. 销 E ：

E

4. 销 F ：

3′F

2F

1′F

3′F

2F

4F

1′F3F

5F

kN 146=4

5= 31 FF

kN 587=4

3= 32 .FF

4F

3F

5F

kN 146=4

5= 35 FF

kN 587=4

3= 34 .FF

AyF

AxF

HyF

HxF

作业：习题 3-38