2. Opis Proracuna i Primjeri

OPIS PRORAUNA POJAANJA ARMIRANOBETONSKIH

KONSTRUKCIJA PROIZVODIMA OD

FRP-A S PRIMJERIMA PRORAUNA

Pripremili:

Doc.dr.sc. Josip Gali, dipl.ing.gra.

Prof.dr.sc. Tomislav Kiiek, dipl.ing.gra.

Zagreb, studeni 2013.

Stranica:

0

Sadraj

1 PROCJENA POVEANJA DUKTILNOSTI I VRSTOE BETONA ............................................ 1

1.1 Primjer prorauna .............................................................................................................................. 5

2 PROCJENA POVEANJA POSMINE NOSIVOSTI ...................................................................... 9

2.1 Primjer prorauna ............................................................................................................................ 14

3 PROCJENA POVEANJA NOSIVOSTI NA SAVIJANJE ............................................................. 17


4. ANALIZE PONAANJA PRI GRANINIM STANJIMA UPORABLJIVOSTI: OGRANIENJA

VLANIH NAPREZANJA ............................................................................................................ 25


Stranica:

1

Osim ako nije drugaije naznaeno, sljedei tekst odnosi se na Smjernice za projektiranje,

izgradnju i ispitivanje pojaavanja konstrukcija od armiranog ili prednapetog betona i zia sa

FRP-om (Fiber Reinforced Polymer) odobrene 24/07/2009 od Assemblea Generale Consiglio

Superiore LL.PP (Vrhovno ope vijee za javne radove u Italiji).

1 PROCJENA POVEANJA DUKTILNOSTI I VRSTOE BETONA

Modeliranje* mehanikog ponaanja ovijenih armiranobetonskih elemenata s FRP-om zahtjeva

prethodno definiranje odgovarajueg konstitutivnog odnosa , koji se odnosi na mehaniko

ponaanje pri jednoosnom tlanom naprezanju (pozitivno osno tlano naprezanje,

relativna deformacija koja se takoer uzima kao pozitivna).

U tom smislu, kao alternativa modelu parabola + horizontalni pravac, mogue je postaviti

nelinearni odnos kao to je prikazan na sljedeoj slici, kojeg ine parabola i rastui pravac. Na

prijelazu iz parabolinog u linearni dio pretpostavlja se kontinuitet prve derivacije funkcije ).

Slika 1. Model naprezanje-deformacija ovijenog betona sa FRP.

* Smjernice CNR DT 200/2004 DODATAK D

Stranica:

2

Predloeni odnos se analitiki moe izraziti na sljedei nain:

- (parabolini dio) 2

cd

c af

f

za 10 , (0.1)

- (linearni dio) bf

f1

cd

c za

c0

ccu1

. (0.2)

U izrazima (0.1) i (0.2) uvedeni simboli imaju sljedee znaenje:

- je bezdimenzijski koeficijent:

c0

c

; (0.3)

- fcd i c0 su proraunska vrstoa neovijenog betona i pripadajua relativna deformacija betona

(pretpostavljeni iznos relativne deformacije je 0.002);

- ccu je stvarna konana relativna deformacija ovijenog betona, koja odgovara proraunskoj

vrstoi ovijenog betona, fccd

- koeficijenti a i b su:

1a , 1 b , (0.4)

te, takoer:

cd

c0tcd

f

Ef

, (0.5)

ccu

cdccdt

ffE

. (0.6)

Stranica:

3

Sposobnost betona da podnese vee relativne deformacije omoguuje presjeku veu konanu

zakrivljenost pa time i troenje (disipiranje) vie energije u sluaju seizmikih djelovanja zbog

ega se poveava sigurnost elementa s takvim poprenim presjekom. Ne moe se zanemariti i da

ovijeni beton ima jo i veu konanu vrstou.

Nadalje se prikazuje uinak ovijanja na sve vrste poprenih presjeka zahvaenih intervencijama.

U tom smislu prikazuje se serija grafova koji prikazuju konanu relativnu deformaciju betona i

dimenzije ovijenog pravokutnog poprenog presjeka. Vano imati u vidu da poveanje konane

deformacije betona, koje nastaje uslijed ovijanja, obrnuto je proporcionalna vrstoi betona,

unato odnosima izmeu geometrijskih dimenzija poprenog presjeka.

Materijal koji se koristi za pojaavanje je tkanina s jednosmjernim ugljinim vlaknima

MAPEWRAP C UNI-AX 300. Geometrija pojaanja je jednaka onoj koja se uobiajeno koristi,

tj. kontinuirano ovijanje s jednim slojem tkanine od ugljinih vlakana.

Graf u nastavku pokazuje poveanje konane relativne deformacije koja se moe postii na

poprenom presjeku betona prosjene vrstoe od 20MPa, koja varira ovisno o njegovim

dimenzijama.

Konane deformacije za beton Rm = 20 Mpa

*(deformazione massima cls= maksimalna deformacija betona; dimensione del pilastro=

dimenzija poprenog presjeka)

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

30 35 40 45 50 55 60 65 70Dimensione del Pilastro [cm]

Def

orm

azio

ne

Mas

sim

a C

ls [

]

30cm

70cm

+ 5

cm

Stranica:

4

Na osi apscisa pokazuje se vrijednost jedne od dimenzija poprenog presjeka dok se na osi

ordinata prikazuje vrijednost konane relativne deformacije betona. Poetna vrijednost na ovim

osima je 3.5 , tj. vrijednost krajnje relativne deformacije neovijenog betona (po dogovoru). Za

procjenu maksimalne relativne deformacije betona potrebno je pronai, meu krivuljama

prikazanih u grafu, onu koja se odnosi na odgovarajuu drugu dimenziju promatranog poprenog

presjeka. Prva krivulja s vrha predstavlja presjek dimenzije 30 cm dok zadnja krivulja predstavlja

presjek dimenzije 70 cm. Svaka krivulja oznaava presjek s poveanjem promatrane dimenzije za

5 cm.

U sljedeim prikazima dani su drugi razni grafovi koji se odnose na betone s razliitim

vrijednostima prosjene vrstoe:

Konane relativne deformacije za beton Rm = 15 MPa Konane relativne deformacije za beton Rm = 18 MPa

Konane relativne deformacije za beton Rm = 22 MPa

Konane relativne deformacije za beton Rm = 25 MPa

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5


Def

orm

azio

ne

Mas

sim

a C

ls [

]

30cm

70cm

+ 5

cm

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Dimensione del Pilastro [cm]

Def

orm

azio

ne

Mas

sim

a C

ls [

]

30cm

70cm+

5 c

m

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

30 35 40 45 50 55 60 65 70


Def

orm

azio

ne

Mas

sim

a C

ls [

]

30cm

70cm

+ 5

cm

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5


Def

orm

azio

ne

Mas

sim

a C

ls [

]

30cm

70cm

+ 5

cm

Stranica:

5

U nastavku su tabelarno prikazane vrijednosti rasta duktilnosti koje su prethodno ilustrirane za

tlanu vrstou betona od 20 MPa.

20 MPa IRINA PRESJEKA [cm]

30 35 40 45 50 55 60 65 70

VIS

INA

PR

ES

JE

KA

[c

m]

30 7.53 7.31 7.08 6.86 6.64 6.41 6.18 6.04 5.77

35 7.31 7.14 6.97 6.80 6.63 6.45 6.28 6.09 5.90

40 7.08 6.97 6.85 6.71 6.57 6.43 6.29 6.15 6.00

45 6.86 6.80 6.71 6.61 6.50 6.39 6.27 6.15 6.03

50 6.64 6.63 6.57 6.50 6.41 6.32 6.23 6.13 6.03

55 6.41 6.45 6.43 6.39 6.32 6.25 6.17 6.09 6.01

60 6.18 6.28 6.29 6.27 6.23 6.17 6.11 6.04 5.97

65 6.04 6.09 6.15 6.15 6.13 6.09 6.04 5.99 5.93

70 5.77 5.90 6.00 6.03 6.03 6.01 5.97 5.93 5.88

KONANA RELATIVNA DEFORMACIJA OVIJENOG BETONA (VRIJEDNOSTI U )

1.1 Primjer prorauna

U skladu s proraunom svojstava betona pojaanog FRP-om, kao primjer uzima se pravokutni

popreni presjek dimenzija 32 50 cm i vrstoe Rcm = 20 MPa, armiran s 8 elinih ipki 20 s

granicom poputanja od 300 MPa. Popreni presjek, za kojeg je faktor sigurnosti jednak 1,00,

oblae se na vrhu i dnu sa slojem tkanine s jednosmjernim ugljinim vlaknima vrste

MAPEWRAP C UNI-AX 300, ija su svojstva:

debljina: tf = 0.166 mm

broj slojeva: nf = 1

irina tkanine: bf = 300 mm

karakteristina vrstoa FRP-a: ffk = 4830 MPa

modul elastinosti FRP-a : Ef = 230000 MPa

Stranica:

6

krajnja (granina) deformacija FRP-a: 0210230000

4830.

E

f

f

fk

fk

rc * = polumjer zakrivljenosti : 20 mm

Slika 2. Presjek 32 50 cm

Primjeuje se da se doprinos ovijanja oituje u smislu konane relativne deformacije ako se

presjek savija sa velikim ekscentricitetom, a u smislu poveanja vrstoe ako na presjek djeluje

normalna centrina ili mala ekscentrina sila.

Postupak za utvrivanje doprinosa (duktilnosti ili vrstoe) jednak je u oba sluaja osim za

proraunsku reduciranu relativnu deformaciju koji je objanjen u nastavku.

Primjena neka bude pojaanje stupa u unutarnjem prostoru bez posebne izloenosti agresivnom

djelovanju, a ovijanje je ostvareno ugljinim vlaknima i epoksidnom smolom. Stoga se dobiju

sljedee vrijednosti:

Koeficijent sigurnosti FRP-a 1.1fd

Koeficijent utjecaja okolia ha = 0.95

Optimalno (uinkovito) naprezanje ovijanja dobije se po formuli:

leffeffl, fkf

Dok se naprezanje ovijanja moe prikazati kroz odnos:

l f f fd,rid

1

2f E

* U sluaju konstantnog ovijanja provokutnog presjeka, prethodno se trebaju zaobliti bridovi elementa koji se

ojaava, s polumjerom zakrivljenosti ne manjim od 20 mm, kako bi se izbjegla deformacija vlakana.

32cm

50cm

Stranica:

7

gdje je :

f = geometrijski koeficijent pojaanja (armature)

Ef = normalni modul elastinosti FRP-a u smjeru vlakana

fk

fd,rid fk

f

min ;0.6a

reducirana proraunska relativna deformacija kompozita ojaanog

vlaknima

U sluaju da je presjek pritisnut s malim ekscentricitetom (poveanje vrstoe) reducirana

relativna deformacija se proraunava kao:

0040f

fkridfd, .;min

a

Koeficijent uinkovitosti ovijanja keff dobije se kao:

eff H V

k k k k

kV = 1 u sluaju kontinuiranog ovijanja

k = 1 koeficijent razliit od jedinice samo u sluaju spiralnog ovijanja

C

''

A3

db1k

22

H

u kojima su b i d dimenzije poprenog presjeka vezane uz luno djelovanje

ovijanja, a Ac je plotina poprenog presjeka.

Geometrijski koeficijent ovijanja proraunava se kao:

ff

2 ( )t b d

b d

[gdje su d i b dimenzije presjeka].

Zamijenivi ope oznake dobiva se:

2 ( ) 2 0.166 (320 500)0.0017

320 500

f

f

t b d

b d

b' 2 320 (2 20) 280cb r mm ; d ' 2 500 2 20 460cd r mm

2 2 2 2b ' d ' 280 460k 1 1 0.40

3 A 3 160000H

C

eff H V0.40 1 1 0.40k k k k

Stranica:

8

fk

fd,rid fk

f

0.95 0.021min ;0.6 min ;0.6 0.021 0.012

1.1

a

l f f fd,rid

1 10,00175 390000 0,0068 2,32

2 2f E MPa

10.0017 230000 0.012 2.47

2MPa

MPa,,,fkf 880322380leffeffl, 0.40 2.47 0.98MPa

l,eff

ccu

cd

0 880 0035 0 015 0 0035 0 015 0 0077

11 0

f .. . . . .

f .

0.980.0035 0.015 0.0068

20.00

elei uzeti u obzir poveanje vrstoe presjeka potrebno je izraunati reduciranu proraunsku

relativnu deformaciju jednaku:

fk

fd,rid

f

0.95 0.021min ;0.004 min ;0.004 0.004

1.1

a

l f f fd,rid

1 10,00175 390000 0,0068 2,32

2 2f E MPa

10.0017 230000 0.004 0.78

2MPa

l,eff eff l 0.40 0.78 0.31f k f MPa

Stvarna vrstoa ovijenog betona, fccd, moe biti procijenjena sljedeim izrazom:

2 3

l,effccd

cd cd

1 2 6

/ff

.f f

2 3 2 3 2 3

l,eff l,effccdccd cd cd

cd cd cd

0 311 2 6 1 2 6 1 2 6 23 23

20 00

/ / /f ff .

. f . f . f . MPaf f f .

Konana (granina) normalna nosivost proraunava se kao:

101uz1

Rdydsccdc

Rd

dRcc, .fAfAN

Proraunavajui dvije vrijednosti normalne nosivosti dobije se:

R cd yd 3954c sN A f A f kN

Rcc,d ccd yd

14133

1 10c sN A f A f kN

.

Stranica:

9

2 PROCJENA POVEANJA POSMINE NOSIVOSTI

Poveanje posmine nosivosti elemenata pojaanih vlaknima u sluaju pravokutnog presjeka

moe se proraunati pomou izraza za Rd,fV , koji se temelji na principu Mrschove reetke:

f

Rd,f fed f

Rd f

10.9 2 (cot cot )

wV d f t

p

gdje je:

Rd parcijalni koef. sigurnosti za nosivost, iznosi 1.20

d statika visina presjeka

hw ukupna visina presjeka

ft debljina pojaanja FRP-om

kut nagiba vlakana od pojaanja u odnosu na os elementa

kut nagiba spona (pukotina) u odnosu na os elementa ( oko 45)

wf irina pojaanja FRP-om (spona)

pf razmak pukotina (spona)

Vrijednosti wf i pf moraju se mjeriti okomito na smjer vlakana, a u sluaju pojaanja

postavljenog jedno uz drugo odnos f

f

w

p iznosi 1.0 (slika dolje).

P

P'w

b

hw d

A's

As

d1 tf

hrinf

Stranica:

10

Proraunska efektivna vrstoa FRP, fedf , dana je izrazima:

u sluaju ovijanja u obliku slova U :

e

fed fdd

w

sin11

3 min 0.9 ;

lf f

d h

u sluaju potpunog ovijanja poprenog presjeka :

e e

fed fdd fd fdd

w w

sin sin1 11 1

6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R

l lf f f f

d h d h

gdje se izraz

e

fd fdd

w

sin11

2 min 0.9 ;R

lf f

d h

uzima u obzir samo ako je pozitivan pa je:

0.2 1.6 c

R

w

r

b

Stvarna vrstoa pojaanja FRP-om, fdd, tj. vrijednost maksimalne vrstoe FRP-a za slom zbog

gubitka prionljivosti (sheet and debonding), iznosi:

f b ck ctm

fdd

ff,d c

0 24 E k f f.f

t

fd ( parcijalni koeficijent za materijale) = 1.2

c (koeficijent sigurnosti betona) = 1.5

fctm srednja vlana vrstoa betona na kojem se sidri FRP

fck karakteristina tlana vrstoa betona

dok je:

f

bf

2

1

1400

b

bkb

Stranica:

11

Pri emu je u sluaju kontinuirane armature, f w

sin( )min{0.9 ; }

sinb b d h

, a wh je ukupna

visina presjeka.

Vrijednost le , koja se pojavljuje u formuli za efektivno proraunsko naprezanje armature, moe

se izraunati pomou sljedeeg izraza:

ctm

ffe

2 f

tEl

(duine uvrtavati u mm)

U nastavku je prikazano nekoliko dijagrama koji pokazuju poveanje posmine vrstoe

pravokutnog poprenog presjeka pojaanog jednim slojem FRP-a. Na osi apscisa se prikazuje

vrijednost dimenzije presjeka, izmjerene okomito na smjer poprene sile, dok je na ordinatnoj osi

prikazana vrijednost poveanja vrstoe u [kN]. Svaka krivulja odgovara jednoj vrijednosti

odgovarajue druge dimenzije promatranog poprenog presjeka. Prikazane su krivulje za svakih

5 cm promjene dimenzije presjeka.

Prvi prikazani graf odnosi se na beton vrstoe 20 MPa.

Poveanje posmine vrstoe kod betona Rm =20 MPa (incremento di resistenza taglio= poveanje posmine vrstoe)

U nastavku su prikazani grafovi koji se odnose na betone s razliitim vrijednostima prosjenih

tlanih vrstoa:

0

20

40

60

80

100

120

30 35 40 45 50 55 60 65 70Incr

emen

to d

i Res

iste

nza

a T

agli

o [k

N]


70

65

60

55

50

45

40

35

30

Stranica:

12

Poveanje posmine vrstoe za

beton Rm = 15 MPa


beton Rm = 18 MPa


beton Rm = 22 MPa


beton Rm = 25 MPa

Prema kriterijima za ocjenjivanje otpornosti, pojaavanje poprenog presjeka i poveanje njegove

duktilnosti preuzimaju primarnu vanost u procjeni uinkovitosti poboljanja seizmikog

ponaanja konstrukcija.

U nastavku, kao primjer, su tabelarno prikazane vrijednosti poveanja vrstoe prethodno

ilustrirane za vrstou betona od 20 MPa.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 35 40 45 50 55 60 65 70


Res

iste

nza

a T

agli

o [

kN

]

70

65

60

55

50

45

40

35

30

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 35 40 45 50 55 60 65 70


Res

iste

nza

a T

agli

o [

kN

]

70

65

60

55

50

45

40

35

30

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 35 40 45 50 55 60 65 70


Res

iste

nza

a T

agli

o [

kN

]

70

65

60

55

50

45

40

35

30

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

30 35 40 45 50 55 60 65 70


Res

iste

nza

a T

agli

o [

kN

]

70

65

60

55

50

45

40

35

30

Stranica:

13

20 MPa IRINA PRESJEKA [cm]

30 35 40 45 50 55 60 65 70 V

ISIN

A P

RE

SJE

KA

[cm

]

30 41.04 39.87 39.00 38.32 37.77 37.32 36.95 36.64 36.37

35 51.50 49.93 48.76 47.85 47.12 46.52 46.03 45.60 45.24

40 61.95 60.00 58.53 57.38 56.47 55.72 55.10 54.57 54.12

45 72.41 70.06 68.29 66.92 65.82 64.92 64.17 63.54 62.99

50 82.87 80.12 78.06 76.45 75.17 74.12 73.24 72.50 71.87

55 93.33 90.18 87.82 85.98 84.52 83.31 82.31 81.47 80.74

60 103.78 100.24 97.58 95.52 93.87 92.51 91.39 90.43 89.61

65 114.24 110.30 107.35 105.05 103.21 101.71 100.46 99.40 98.49

70 124.70 120.36 117.11 114.59 112.56 110.91 109.53 108.36 107.36

POVEANJE POSMINE VRSTOE ZA OVJENI BETON (VRIJEDNOSTI U KN)

Stranica:

14


Promatra se pravokutni popreni presjek dimenzija 32 50 cm pojaan ovijanjem sa slojem

tkanine s jednosmjernim ugljinim vlaknima MAPEWRAP C UNI-AX.

Slika 3. Presjek 3250 cm Posmina vrstoa

Neka su svojstva tkanine ista kao u prijanjim primjerima:

debljina tkanine : tf = 0.166 mm

broj slojeva : nf =1

irina tkanine : bf = 300 mm


modul elastinosti FRP-a: Ef = 230000 MPa

konana (granina) deformacija FRP-a: fk = ffk / Ef = 4830/230000 = 0.021

rc * = radijus zakrivljenosti = 20 mm

U konkretnom sluaju, kad se radi o pojaavanju ovijanjem, vrijede slijedei izrazi:

230000 0.166110

2 2 1.57

f f

e

ctm

E tl mm

f

* U sluaju konstantnog omotavanja pravokutnog presjeka, prethodno se trebaju zaobliti bridovi elementa koji se

ojaava sa polumjerom zakrivljenosti ne manjim od 20 mm, kako bi se izbjegla deformacija vlakana.

32cm

50cm

44cm

Stranica:

15

22 1

0.91320

11400400

1

f

bf

b

bkb

f b ck ctm

fdd

ff,d c

0 24 0 24 230000 1 12 1 57400 6

0 1661 2 1 5

E k f f. . .f . MPa

t .. .

e e

fed fdd fd fdd

w w

sin sin1 11 1

6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R

l lf f f f

d h d h

1 110 sin(90 ) 1 110 sin(90 )

400.6 1 0.31 4171.4 400.6 1 697.86 423 2 423

MPa

f

Rd,f fed f

Rd f

1 10.9 2 (cot cot ) 0.9 470 697.8 2 0.166 (cot 45 cot 90 ) 81.66

1.2

wV d f t kN

p

Uzimajui u obzir stup presjeka 4040 cm, kao to je prikazan na Slika 4., i pojaanje s dva sloja

tkanine od ugljikovih vlakana, vrijedi:

Slika 4. Stup 4040 cm

230000 0.332156

2 2 1.57

f f

e

ctm

E tl mm

f

40cm

40

cm

Stranica:

16

22 1

0.25400

11400400

1

f

bf

b

bkb

f b ck ctm

fdd

ff,d c

0 24 0 24 230000 1 12 1 57283 3

0 3321 2 1 5

E k f f. . .f . MPa

t .. .

e e

fed fdd fd fdd

w w

sin sin1 11 1

6 min 0.9 ; 2 min 0.9 ;R

l lf f f f

d h d h

1 156 sin(90 ) 1 156 sin(90 )

283.3 1 0.28 4171.4 283.3 1 496.66 333 2 333

MPa

Odakle je poveanje posmine vrstoe uslijed ovijanja:

f

Rd,f fed f

Rd f

1 10.9 2 (cot cot ) 0.9 360 496.6 2 0.332 (cot 45 cot 90 ) 91.5

1.2

wV d f t kN

p

Stranica:

17

3 PROCJENA POVEANJA NOSIVOSTI NA SAVIJANJE

Nove tehnike norme za proraun konstrukcija uvode bitne promjene proraunskih dijagrama

materijala u poprenim presjecima, osobito u provjeri presjeka izloenih ubrzanom savijanju i

izvijanju gdje se pretpostavlja da je lom uvijek uzrokovan dosezanjem maksimalne relativne

deformacije betona koji u tom sluaju ima proraunski dijagram oblika parabola + horizontalni

pravac.

U proraunu nosivosti nepojaanog poprenog presjeka izloenog savijanju i izvijanju

jednostavno je proraunati konani moment koristei dvije jednadbe ravnotee, jednadbu

ravnotee horizontalnih sila du uzdune osi grede te jednadbu ravnotee momenata savijanja

oko paralelne osi koja prolazi vlanom armaturom a paralelna je s neutralnom osi poprenog

presjeka.

Te dvije jednadbe su:

0 - + b s11s22 sssscd EAEAfx

)-(d b= M 2s22u )dd(EAxfx sscd

U tim jednadbama ravnotee, koeficijenti i predstavljaju koeficijent punoe dijagrama

tlanih naprezanja u betonu i udaljenost teita dijagrama tlanih naprezanja od tlanog ruba

poprenog presjeka, a x je udaljenost neutralne osi od tlanog ruba presjeka (Napomena: na Slici

5. oznaeno je kao h*). Nakon to je proraunom pretpostavljeno da beton dosee konanu

deformaciju, ovi koeficijenti imaju vrijednosti od 0.809 i =0.416.

Budui da je u veini sluajeva realne upotrebe vlana i tlana armatura dosegla granicu

poputanja, prethodne se jednadbe mogu pojednostaviti u:

0 - + b yd1yd2 fAfAfx sscd

)-(d b= M 2yd2u )dd(fAxfx scd

Nakon proraunavanja poloaja neutralne osi potrebno je, meutim, provjeriti veliinu

naprezanja u elinoj armaturi. Ako vlana armatura nije dosegla granicu poputanja njezino

naprezanje nije jednako ydf ve se proraunava kao s1 sE .

Stranica:

18

Slika 5. Poloaj neutralne osi

U presjecima koji su pojaani vlaknima koriste se dvije druge jednadbe ravnotee za rjeavanje

problema, jednadba ravnotee horizontalnih sila du uzdune osi grede te jednadba ravnotee

momenata savijanja oko osi paralelne koja prolazi vlanom armaturom, a paralelna je s

neutralnom osi poprenog presjeka.

0 - - + b fs11s22 ffsssscd EAEAEAfx

1f2s22u A )-(d b= M dE)dd(EAxfx ffsscd

Lom se moe pojaviti zbog dostizanja maksimalne relativne deformacije pojaanja FRP-om

(zona 1) ili maksimalne tlane relativne deformacije betona (zona 2) kao to je prikazano na

sljedeoj slici.

x = d

fd

d

dh

b

d

Af

t

As1

As2

s2 s2

y,ds1f

2

1

M

cu c

1

2

0

c0

f

bf

s >yd

co >

yd

cu >

yd

o >

fd

s2 >

yd

x = d >yd

s2 >yd

c >

yd

fyd >

yd

f >

yd

s2 >yd

s1 >yd

d >

yd

h >

yd

b>

Af >

bf >

yd

Slika 6. Nain sloma presjeka betona pojaanog izvana sa lamelom od FRP

Stranica:

19

U zoni 1 relativna tlana deformacija FRP lamele jednaka je elastinoj graninoj relativnoj

deformaciji: bilo koji dijagram relativnih deformacija koji odgovara takvom nainu sloma ima

kao fiksnu toku vrijednost granine relativne deformacije FRP lamele, fd.

Normalne relativne deformacije koje pripadaju razliitim vlaknima presjeka, koja lee paralelno s

neutralnom osi, mogu se proraunati, pozivajui se na linearnost dijagrama relativnih deformacija

po visini poprenog presjeka, pomou slijedeih izraza:

- (FRP) f fd ,

- (tlani rub betona) c fd o cu( )

( )

x

h x

,

- (tlana armatura) 2s2 fd o( )

( )

x d

h x

,

- (vlana armatura) s1 fd o( )

( )

d x

h x

,

u kojima je cu granina relativna deformacija koju beton moe dosei u tlaku (granina

relativna deformacija). Veliina, x, je udaljenost neutralne osi od tlanog ruba poprenog

presjeka.

Openito je nepotrebno provjeravanje iznosa relativne deformacije vlane armature kod

graninog stanja nosivosti (GSN), ali samo ako za uobiajene vrijednosti relativnih graninih

deformacija FRP-a, fd, i betona, cu, granina relativna deformacija vlane armature ne bude

nikad postignuta. U sluaju da je granina deformacija elika utvrena vaeim normama

premaena, tada se kod izrauna mora uzeti u obzir poloaj neutralne osi za takav sluaj.

U zoni 2 lom se stvara zbog drobljenja tlano napregnutog betona, dok granina relativna

deformacija FRP-a nije jo dostignuta: u tom sluaju je fiksirana maksimalna relativna

deformacija tlano napregnutog betona, cu, zbog koje se dobivaju, zbog linearnosti, normalne

relativne deformacije u ostalim materijalima. Jo jednom se normalne relativne deformacije koje

pripadaju raznim vlaknima ravnog dijela presjeka elementa, koje se proteu paralelno s

neutralnom osi, mogu proraunati pozivajui se na linearnost dijagrama relativnih deformacija po

Stranica:

20

visini poprenog presjeka pomou sljedeih izraza:

- (FRP) cuf 0 fdh xx

,

- (tlani rub betona) c cu ,

- (tlana armatura) 2s2 cux d

x

,

- (vlana armatura) s1 cud x

x

,

U prethodnim jednadbama, ako armatura jo nije dosegla granicu poputanja (ponaa se

elastino), njezino se naprezanje dobiva mnoenjem odgovarajue relativne deformacije s

normalnim modulom elastinosti elika; inae se uzima kao vrijednost proraunske vrstoe

(granice poputanja) elika, fyd. U zonama 1 i 2 relativna deformacija vlane armature je uvijek

vea od proraunske relativne deformacije kod poputanja armature, yd.

Budui da se ojaanje FRP-om ponaa elastino do sloma, njegovo se naprezanje moe

proraunati kao umnoak relativne deformacije i normalnog modula elastinosti FRP-a (u smjeru

osi grede).

Kako bi se izbjeglo da u GSN vlana armatura bude u elastinom podruju,

bezdimenzionalni koeficijent =x/d ne smije prei graninu vrijednost lim danu sljedeim

izrazom:

culim

cu yd

.

U sluaju da je presjek koji treba provjeriti izloen i osnoj sili (savijanje), tad vrijede principi

opisani u prethodnom odjeljku, ali uzimajui u obzir ovisnost proraunskog momenta nosivosti

armiranog presjeka, MRd, o proraunskoj uzdunoj sili, NSd.

U ovom sluaju jednadbe ravnotee postaju:

ffsssscd EAEAEAfx - - + b= N fs11s22sd

2

- A )-(d b= M 11f2s22u )dH

(NdE)dd(EAxfx sdffsscd

Stranica:

21

Polazei od grede dimenzija 40 60 cm armirane u sreditu s 210+516 (11.6 cm2) pri dnu i

210 (1.57 cm2) pri vrhu te sa zatitnim slojem od 40 mm, moment nosivosti poprenog presjeka

se proraunava za nepojaani i pojaani popreni presjek.

Pojaanje je izvedeno tkaninom od jednosmjernih ugljinih vlakana s visokom izdrljivou te

debljine od 0.166 mm i irine od 400 mm. Beton ima vrstou Rcm = 20 MPa, a elik fym = 300

MPa.

Za nepojaani presjek, za slom preko betona i cu = 0.0035 (3.5), u jednadbi ravnotee u kojoj

se ne uzima u obzir doprinos pojaanja, dobiva se x = 51 mm i 187.1uM kNm

Za presjek pojaan FRP-om poloaj neutralne osi mora biti dobiven iterativnim postupkom ako je

potrebno provjeravati koji od dvaju materijala, beton ili FRP, prvi dostie konanu deformaciju.

Poloaj neutralne osi za koju se istovremeno dostie konana deformacija za oba materijala je

jednak (udaljenost neutralne osi od tlanog ruba poprenog presjeka):

mmmm..

.hx

fdcu

culim 240600

00523000350

00350

Za vrijednosti neutralne osi manje od ove granice, lom nastaje zbog dosezanja krajnje relativne

deformacije FRP-a, a za vee vrijednosti zbog dosezanja krajnje relativne deformacije betona. U

ovom sluaju se iz sume horizontalnih sila dobiva, za poloaj neutralne osi yc = 65.56mm, a iz

sume momenata savijanja, 231uM kNm

Relativna deformacija i naprezanje tkanine od ugljika iznose:

MPa. ff 1202i005230

Treba imati na umu da je u sluaju nepojaanog presjeka udio betona pod tlakom manji u odnosu

na sluaj s pojaanim presjekom kad se u ravnoteu poprenog presjeka uraunava vea koliina

vlano napregnutog materijala i stoga vea koliina materijala bude pod tlakom zbog

uravnoteenja unutarnjih sila.

Stranica:

22


Promatra se strop sa Slika 7 sa ploom debljine 4 cm i gredama od 12 cm, s jednakom gornjom i

donjom armaturom plotine 15.70 cm2. Beton ima srednju tlanu vrstou od Rcm = 20 MPa dok

elik ima vrstou fym = 300 MPa.

Slika 7. Strop

Slika 8. Strop presjek za proraun

Nepojaani presjek ima moment nosivosti jednak 92.09 kNm kad je udaljenost neutralne osi od

gornjeg ruba 32.01 mm. S takvim parametrima translacijska jednadba ravnotee je:

b

0= 300 1570- 210000 000220 1570 + 20 0132100062280

1s22 ydssscd AEAfx

...

24 c

m

50 cm25cm 25cm

12 12

24 c

m

24cm

100cm

20cm

Stranica:

23

)dd(EAxfx

.....

sscd 2s22 )(d b

kNm92.09= 30210210000000220 1570 + 0132368021020 0132100062280

Izvodei proraun stress block metodom, odnosno sa = 0.8 i = 0.416, vrijednost momenta

nosivosti je 93.18 kNm, a udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba je 30 mm.

Primjenjujui pojaanje sastavljenu od tkanine ugljinih vlakana (MapeWrap C UNI-AX 300)

suhe irine (dry film thickness DFT) 0.166 mm i modula elastinosti 230 GPa za irinu od 100

mm dobije se moment nosivosti jednak 97.3 kNm.

Koristei pojaanje istog materijala ali irine 200 mm dobije se moment nosivosti 101.5 kNm s

udaljenou neutralne osi od gornjeg ruba 35.09 mm.

U tom sluaju, jednadbe ravnotee su:

ffydssscd AAEAfx

...

b

0= 127233300 1570- 210000 000140 1570 + 20 0935100066670

1s22

22s22 )(d b

kNm101.50= 30127233 + 302102100000001401570 + 09353750210200935100066670

dA)dd(EAxfx

.....

ffsscd

Izvodei proraun stress block metodom, odnosno sa = 0.8 i = 0.416, vrijednosti momenta

nosivosti i udaljenosti neutralne osi od gornjeg ruba su:

- uM = 97.78 kNm i x= 30.5 mm ( irina armature 100 mm );

- uM = 101.66 kNm i x= 31.27 mm ( irina armature 200 mm ).

U nastavku su priloene vrijednosti momenta nosivosti za gore spomenuti strop s obzirom na

razliite tipove pojaanja. Osim ovdje navedene tkanine od ugljinih vlakana koriteni su i

sljedei materijali:

Stranica:

24

1. FRP lamela (lamina pultrusa - eng: pultrusion plate) s ugljinim vlaknima Carboplate E

170, modul elastinosti 170 GPa, vlana vrstoa 3100 MPa, debljina 1.4 mm

2. FRP lamela (lamina pultrusa - eng: pultrusion plate) s ugljinim vlaknima Carboplate E

250, modul elastinosti 250 Gpa vlana vrstoa 2500 MPa, debljina 1.4 mm

3. Tkanina s jednosmjernim ugljinim vlaknima MapeWrap C UNI-AX HM 300

Materijal irina Broj

slojeva

Moment

nosivosti

Carboplate E 170 100 1 104.3

Carboplate E 170 200 1 115.1

Carboplate E 170 100 2 109.6

Carboplate E 250 100 1 107.1

Carboplate E 250 200 1 120.4

Carboplate E 250 100 2 113.5

MapeWrap C

UNI-AX HM 300 100 1 98.3

MapeWrap C

UNI-AX HM 300 200 1 104.3

MapeWrap C

UNI-AX HM 300 100 2 101.4

Stranica:

25

4. ANALIZE PONAANJA PRI GRANINIM STANJIMA UPORABLJIVOSTI:

OGRANIENJA VLANIH NAPREZANJA

Za uporabna optereenja potrebno je provjeriti da razine vlanih optereenja u materijalima

zadovoljavaju granine vrijednosti kako bi se izbjeglo poputanje elika te umanjila pojave

puzanja kod betona i kod vanjskog pojaanja.

Ispitivanja pod uporabnim optereenjima se mogu provoditi u elastino-linearnom polju imajui

na umu i ponaanje neraspucanog te raspucanog poprenog presjeka, kao i eventualne relativne

deformacije koje se javljaju u trenutku pojaavanja konstrukcije. Naprezanja u materijalima se

odreuju superpozicijom utjecaja.

Pretpostavke na kojima se temelji proraun:

homogeno linearno elastino ponaanje materijala;

Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka;

nema proklizavanja (savreno prianjanje) izmeu betona i eline armature te betona i pojaanja

FRP-om.

Smjernice u toki 3.2.3.2 predviaju da kod graninih stanja uporabljivosti, naprezanja u

kompozitu ojaanom vlaknima (FRP), proraunate za nazovistalna optereenja, moraju

zadovoljiti ogranienje:

gdje je karakteristina vlana vrstoa FRP-a pri slomu, a je faktor promjene.

Naprezanja u betonu i eliku se ograniavaju u skladu sa vaeim normama (NTC 2008), prema

kojima, nakon procjene unutarnjih djelovanja u raznim dijelovima konstrukcije, usljed

karakteristinih i nazovistalnih optereenja, proraunavaju se maksimalna naprezanja i za beton i

za armaturu; mora se provjeriti da vrijednosti takvih naprezanja budu manje od maksimalno

doputenih vrijednosti.

Za beton mora biti:

< 0,60 za karakteristina optereenja (rijetka)

< 0,45 za nazovistalna optereenja.

Stranica:

26

U sluaju ravnih elemenata (ploe, zidovi, ...) izvedenih (betoniranih) in situ sa obinim betonom

te debljinama manjih od 50 mm, gore navedena ogranienja se smanjuju za 20%.

Maksimalno naprezanje elika , usljed karakteristinog optereenja, mora zadovoljiti sljedei

uvjet:

< 0,80

Kad se procijene razine naprezanja u materijalima pod uporabnim optereenjima, poznavajui

geometrijske karakteristike presjeka, mehanika svojstva i vrstou materijala te vrstu pojaanja

FRP-om, potrebno je odrediti:

Slika 9. Presjek za izraun

1. Udaljenost neutralne osi od tlanog ruba AB presjeka, yc, prije i nakon pojaavanja FRP-

om, postavljajui jednadbu sume statikih momenata plotina u odnosu na neutralnu os

(zanemarujui doprinos betona u vlaku):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

gdje je:

omjer modula elastinosti eline armature i betona, koji, u sluaju zanemarivanja

utjecaja vremena na svojstva materijala, iznosi 15;

H

tl

d1

bAf

As1

fs1

yc

n n

c

As2

d2

M

f/nfs1/n

c

s2 s2

d

Af

yc

Stranica:

27

omjer modula elastinosti pojaanja FRP-om i betona (za t=).

2. Moment inercije In za AB presjek prije i nakon pojaavanja FRP-om, u odnosu na

neutralnu os (zanemarujui doprinos betona u vlaku) pomou izraza:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

3. Naprezanje materijala u poprenom presjeku zbog optereenja prije i nakon pojaanja

FRP-om i naknadne provjere nametnute trenutnim Normama, pomou izraza:

{

( )

( )

( )

Gdje je:

- M je vrijednost momenta savijanja koji djeluje u tom poprenom presjeku;

- je faktor konverzije koji uzima u obzir specijalne probleme prorauna, opisan u toki

2.5.2 :

Tabela 2.4 Faktor promjene za dugotrajne efekte 1 za razne sustave pojaanja FRP-om

(uporabna optereenja)

Vrsta optereenja Vrsta vlakna 1

Stalno staklo/epoksidni 0.30

(puzanje i oputanje) aramidni/epoksidni 0.50

ugljik/epoksidni 0.80

Cikliko (zamor) sve 0.50

Stranica:

28


Promatra se popreni presjek 30 60 cm srednje vrstoe betona fcm = 20 MPa armiran s 8 ipki

20 od elika sa granicom poputanja 300 MPa. Popreni presjek, za kojeg se faktor sigurnosti

uzima 1, pojaan je na savijanje sa svoje donje strane (vlani rub) primjenom FRP lamele (lamina

pultrusa eng: pultrusion plate) od ugljinih vlakana Carboplate E 170, ija su svojstva:

debljina : tf = 1,4 mm

broj slojeva : nf = 1

irina lamele : bf = 300 mm


modul elastinosti FRP lamele : Ef = 170000 MPa

d1 = d2 = 30 mm

As2 = 3 20 = 942 mm2 (zanemarujui bonu armaturu)

As1 = 3 20 = 942 mm2

Af = nf bf tf = 1 300 1,4 = 420 mm2 Slika 10. Presjek 3060

Beton:

fcm = 20 MPa

( )

(

)

fck = fcm 8 = 20 8 = 12 MPa

elik:

fym = 300 MPa

Es = 210000 MPa

ns = 15

Pretpostavlja se da je prije pojaanja FRP-om, AB presjek optereen momentom savijanja uslijed

Stranica:

29

stalnog optereenja (vlastita teina) i iznosi M1 = 10 kNm.

Udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba i moment inercije AB presjeka iznose:

( ) ( )

( ) ( )

Naprezanja u betonu i eliku iznose :

( )

( )

Pretpostavlja se da je nakon pojaanja s FRP-om presjek optereen momentom savijanja od

nazovistalnog optereenja te iznosi M2 = 100 kNm.

Udaljenost neutralne osi od gornjeg ruba i moment inercije pojaanog presjeka su:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Stranica:

30

Naprezanja u betonu, eliku i u FRP-u zbog optereenja iznose:

( )

( )

( )

( )

Smatra se, osim toga, da se mehanika svojstva sustava baziranog na FRP-u smanjuju zbog

efekta viskoznosti i relaksacije (dugotrajni efekti) i stoga se uzima u obzir faktor pretvorbe

(konverzije) :

Modalitet optereenja Vrsta vlakna/smole

Trajno

(viskoznost i relaksacija) Ugljik/Epoksidna 0,80

Uzima se u obzir i da se provjera naprezanja na granina stanja uporabljivosti provodi za

nazovistalno optereenje i naprezanja u materijalima pojaanog poprenog presjeka moraju

zadovoljiti ogranienja iz normi:

( )

( )

( )

Documents

2. Opis Proracuna i Primjeri