Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI1 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw
i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater 19. PROBLEMY STATECZNOCI
19.1. WIADOMOCI WSTPNE 19.1.1. Bifurkacja stanu rwnowagi
Zagadnieniastatecznocinaledonajtrudniejszych,azarazemkluczowychproblemw
mechaniki.Naszkicujemyjewstpnienaprzykadzieidealniesprystegoprtapryzmatycznego
poddanegodziaaniuosiowejsiyciskajcej(rys.19.1a).Podwpywemdostateczniemaejsiy
ciskajcej prt ulega jedynie skrceniu, a o prta pozostaje
prostoliniowa (odcinek OB na rys. 19.1b). Z
dowiadczeniawiemyjednak,eprzywikszymobcieniupojawiasipewienstanrwnowagi
chwiejnej,kryjcywsobieniebezpieczestwo,ewskutekjakiejdrobnejprzyczyny(wstrzs,
przypadkoweuderzenie)prtzmieninagleswprostoliniowpostaiprzyjmujepooeniewygite.T
nag zmian nazywamy wyboczeniem prta. Zjawisko wyboczenia jest jedn
z form utraty statecznoci.
Utratastatecznocimoenastpiwwczas,gdysiaosiowaPosigniepewnwartokrytycznPkr..
Wartocitejtowarzyszzatemdwastanyrwnowagiodpowiadajceprostoliniowejlubkrzywoliniowej
osiprta.NawykresieP
(rys.19.1b)jesttopunktB.Wpunkcietymnastpujewicrozwidlenie stanu
rwnowagi, czyli tzw. bifurkacja. Rys. 19.1 19.1.2. Zagadnienie
Eulera
Podejmiemyprbwyznaczeniasiykrytycznejnapodstawieanalizywygitejpostacirwnowagi
prta.Jedynprzyczynwygiciaosiprtajestmomentzginajcy | |Mx P wx ( ) (
) = (rys.19.1a),
obliczonypoodstpieniuodzasadyzesztywnienia.Takustalonfunkcjmomentuwprowadzimydo
rwnania rniczkowego linii ugicia. Zaoymy dodatkowo, e: krzywizny
wygitej osi prta s mae, pomijamy wpyw si poprzecznych, pomijamy
wpyw skrcenia osi prta. Wszystkie wyej wymienione zaoenia
odpowiadaj teorii wyboczenia prta sprystego, zbudowanej przez
Eulera w poowie XVIII wieku. Rwnanie rniczkowe linii ugicia
przyjmuje zatem nastpujc posta: EJ w Mx P w = = ' ' ( ) ( ), skd
(a) w w ' ' , + = 2 2 gdzie2 = P EJ / ( ).Oglnym rozwizaniem tego
rwnania jest funkcja: wx C x C x ( ) cos sin . = + +1 2 Cz 419.
PROBLEMY STATECZNOCI2 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater Z warunkw brzegowych mamy: w
C Cw C( ) , , ,' ( ) , .0 0 00 0 01 12= + = = = = Wobec tego wx x (
) ( cos ). = 1 Poniewa na swobodnym kocu prta w(l) = , wic musi
zachodzi warunek: = cos . l
0Zrwnaniategowynika,ealbo=0,albocosl=0.Jeeli=0,tow 0,azatemniema
wyboczenia. Jeeli natomiast cosl = 0, to musi by speniona zaleno:
(b) l n n = = ( ) , , , ... 2 121 2 Z tego rwnania wyznaczymy
wartoci , dla ktrych moe wystpi wyboczenie. Ugicie pozostaje jednak
nieokrelone. Uwzgldniwszy, e2 = P EJ / ( ) , na podstawie rwnania
(b) otrzymujemy: PEJl nn ( )( ) , = 2 12 skd (c) Pn EJln ( )( ). =
2 142 22
Otrzymalimyzatemnieskoczeniewielerozwiza.Zpraktycznegopunktuwidzeniainteresujenas
jednak tylko najmniejsza sia P(n), wystpujca dla n = 1. Jest to
poszukiwana sia krytyczna: (d) P PEJlkr = =( ).1224 Wartoci tej
odpowiada tak zwana pierwsza posta wyboczenia (n = 1), ktr okrela
rwnanie: wxl( )cos .112= |\
|.| Trzy pierwsze postacie wyboczenia odpowiadajce wartociom n =
1, n = 2 i n = 3 ilustruje rys. 19.2. Rys. 19.2 Cz 419. PROBLEMY
STATECZNOCI3 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji
prtowych 2003r.Alma Mater 19.1.3. Uwzgldnienie duych przemieszcze
Opisanawyejuproszczonateoriawyboczeniapozwalaobliczyjedyniesikrytyczni
odpowiadajc jej posta wyboczenia. Jest to tak zwana liniowa teoria
wyboczenia, gdy zastosowano
liniowerwnanierniczkoweliniiugicia.Trzebajednakpodkreli,eproblemystatecznocis
zawszenielinioweinieobowizujetuzasadasuperpozycji.Odstpimyobecnieodzaoenia,e
krzywiznysmaeizastosujemydokadnywzrnaskoczonkrzywizn.Ugiciaprtamogby
wwczas dowolnie due. Rwnanie rniczkowe linii ugicia jest nieliniowe
i przybiera posta: (e)( )www' ''( )/123 22+= lub( )ttt' '',/123
22+= gdzie t w = (por. rys. 19.3a). Zauwamy, e zachodz tosamoci:
122dt t t dx t t dx ( ) ' ( ' ), =122dt t t dx t t dx ( ' ) ' ' ' '
' ( ' ). =Po pomnoeniu obu stron rwnania (e)2 przez t'dx
otrzymujemy: ( )dttdt( ' )'( ),/223 22 21+= skd po scakowaniu: (f)
( )11221/ 22 21+ = +t t C ' .
StaC1wyznaczymyzwarunkwbrzegowychnakocuutwierdzonym(x=0),gdziew=0iw'=0,
czyli = t 0 it'=0.Wynikastd,edlat =
pochodnat'=0.Uwzgldniwszytenwarunek stwierdzamy, eC12 21 2 = / .
Rys. 19.3 Dalsze zadanie polega wic na rozwizaniu nieliniowego
rwnania rniczkowego pierwszego rzdu: (g)( )1111222 2 2+ = tt' . Cz
419. PROBLEMY STATECZNOCI4 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater Po prostych przeksztaceniach
rwnanie to mona doprowadzi do postaci: ( )( ) ( )dxt dtt t=
((
((1121142 2 22 2 2 2 2 ,lub po wykorzystaniu rwnania wyjciowego
(g)2 do postaci: ( ) ( )111422 2 2 2 2+ =
((t dxdtt t' .
Lewastronategorwnaniaprzedstawiaelementdugocizdeformowanejosiprtadl
t dx = + 12' ,co po obustronnym scakowaniu prowadzi do zalenoci:
(h)( )dldtt tl= 2 2 2 2 20 0 114.Poniewa zaoenie o nieciliwoci osi
prta jest nadal aktualne, lewa strona rwnania (h) daje w wyniku
wartol.Prawstronmonabyprzedstawiwpostacinieelementarnejcakieliptycznej(por.np.
Timoshenko,Gere[48],Naleszkiewicz[30]).Wybierzemyjednakniecoinnadrog,prowadzcdo
postaci nadajcej si do bezporednich oblicze (por. np. Ballenstedt
[2]). W tym celu zauwamy, e (i)222= = |\
|.|PEJpl,gdziep P P = /kr,przyczymP EJ lkr = 2 22 / ( )
istosowniedowzoru(d)oznaczasikrytyczn(tzw. eulerowsk) obliczon
wedug teorii liniowej. Jeeli skadnik2 2 24 ( ) / tjest mniejszy od
jednoci, tzn. gdy( ) ( )14 412 2 222 2 = |\
|.| < t plt,to ( )( ) ( )1114112 41 32 4 42 2 222 2 242 22 =
+|\
|.| +|\
|.| + tplt plt ...Rozwinicie to pozwala kolejno scakowa skadniki
prawej strony rwnania (h). Po scakowaniu otrzymujemy: l plllplp = =
+|\
|.||\
|.|+|\
|.||\
|.|+
((( 2 2112 41 32 4 42 2 2 4 ... , skd (j)plplp = +|\
|.||\
|.|+|\
|.||\
|.|+ 112 41 32 4 42 2 2 4 ...Wzr (j) okrela zaleno midzy si P a
ugiciem . Jeeli=0,tosiaPjestrwnaeulerowskiejsilekrytycznej(p =
1).WikszymwartociomsiyP
odpowiadajcileokrelonedwiewartociprzemieszczenia.Dlanieduychwartoci/lszeregpo
Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI5 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
prawejstroniewzoru(j)jestbardzoszybkozbieny.Uwzgldniwszyjedyniedwawyrazytegoszeregu
otrzymamy: (k)lpp 8
1.Nietrudnosiprzekona,eniewielkiemuzwikszeniuobcieniatowarzyszznacznyprzyrostugii
katastrofalny wzrost napre normalnych. Naprenia te obliczamy ze
wzoru na mimorodowe ciskanie (por. rys. 19.3c, d): max, = = + =
+|\
|.| = +|\
|.|PAPWp PA rpr krkr1 1gdziekr kr= P A / , a r oznacza promie
rdzenia przekroju (r = W/A). Zatem (l)= = + |\
|.|max.krpllr1 Przyjmiemyprzykadowo,ewysokosupal = 5
m,aprzekrjsupajestrurorednicyzewntrznej 70 mmigrubocicianki3
mm.Promierdzeniaprzekrojur=1,606 cm,czylil/r=311,4.Dlatych danych
ze wzorw (k) i (l) obliczono wartoci zestawione w tablicy III.
Tablica III p = P/Pkr 11,0011,0021,0031,004 /l 0 1 0,0569 18,74
0,0804 26,10 0,0984 31,75 0,1136 36,52
WykreszalenociP()ilustrujerys.
19.3b.Charakterystycznejestto,ewrozwaanymprzypadku
wykrestenjestsymetrycznywzgldemosiP.Obserwowanyznacznywzrostnapreponiewielkim
przekroczeniuwartocisiykrytycznejpozwalastwierdzi,ewyboczenieprtajestrwnoznacznez
wyczerpaniem nonoci konstrukcji. Z punktu widzenia bezpieczestwa
konstrukcji naprenie krytyczne traktuje si zatem jako warto
niszczc. 19.1.4. Wpyw si poprzecznych i skrcenia osi prta Omwimy
obecnie konsekwencje odejcia od dalszych zaoe teorii Eulera.
Przedstawimy wpyw si poprzecznych i skrcenia osi prta na warto siy
krytycznej. Wpyw siy poprzecznej przeanalizujemy na gruncie teorii
liniowej. Z rwnania rwnowagi elementu dl, wycitego w konfiguracji
odksztaconej (rys. 19.4b) wynika, e Q P Pw x = sin ' ( ), gdzie wx
w x w xM Q( ) ( ) ( ). = + Rys. 19.4 Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI6
Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych
2003r.Alma Mater Funkcjaw xM( )spenia rwnanie rniczkowe w xMEJM"( )
, = a pochodna funkcjiw xQ( ) jest rednim ktem cinania: w xkGAQQ' (
) , = skd w xkGAdQdxkGAPwQ"( ) ' ' . = = Poniewaw w wM Q" " ", =
+wic w xMEJPkGAw ' ' ( ) ' ' . = +Po uwzgldnieniu, e M = P( w),
otrzymujemy rwnanie rniczkowe: (m)w w ' ' , + = 1212gdzie
121=|\
|.|PEJkPGA.Postpujc podobnie jak w zadaniu Eulera otrzymujemy
warunek: 12 121 2 l n n = = ( ) , , , ... Dla n = 1PEJkPGAl( )(
).112214|\
|.||= Uwzgldniajc, e sia eulerowska krytyczna wynosiP EJ lE = 2
22 / ( )dostajemy: P PkPGAE( )( ),111 = |\
|.|| skd (n)P PPkGAPEEkr = =+ ( ).11
Zewzoru(n)wynika,euwzgldnieniewpywusipoprzecznychpowodujezmniejszeniewartocisiy
krytycznej. Warto ta jest zazwyczaj niewiele mniejsza od PE.
Istotne rnice mog wystpi w prtach zoonych poczonych przewizkami lub
krzyulcami. Warto doda, e wzr (n) obowizuje rwnie dla innych
warunkw podparcia prta.
Wprzypadkustosunkowokrtkichprtwwykonanychzmateriauobardzowysokiejgranicy
sprystociistotnywpywmoemieskrcenieosiprtaprzedutratstatecznoci(por.yczkowski,
[57]). Ostateczny wzr na si krytyczn uwzgldniajcy to skrcenie ma
posta: Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI7 Andrzej Gawcki- Mechanika
materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater (o) PPPEAEEkr =+
21 14,gdziePEoznacza si krytyczn obliczon wedug teorii Eulera.
Odnotowa trzeba, e dlaP EAE > / 4wyboczenie prta w ogle nie
wystpuje. 19.1.5. Wpyw imperfekcji Do tej pory zakadalimy, e
obcienie prta jest przyoone idealnie osiowo, a o prta jest idealnie
prosta.Wpraktycezaoeniatenigdyniesspenione.Wobectegokoniecznejestwyrobieniesobie
pogldu na wpyw wyej wymienionych imperfekcji.
Przyjmijmyprzykadowo,esiaPdziaanapewnymmimorodziee(por.rys.
19.5a).Jeli ograniczymy si do bardzo maych ugi, otrzymamy nastpujce
rwnanie rniczkowe linii ugicia: EJw P e w ' ' ( ). = + Rozwizanie
tego rwnania ma posta: wx exx( )coscos, = 1 gdzie = P EJ / ( ).Dla
x = l sum maksymalnego ugicia i wstpnego mimorodu e wyraa wzr: (p)|
| cP e eP le f P = + = = ( )cos ( )( )1. Wykresy funkcji (P)
ilustruje rys. 19.5b (linie przerywane). Rys. 19.5 atwo zauway, e
dy do nieskoczonoci, gdy cos(l) dy do zera, czyli gdy l dy do /2.
Widzimyzatem,easymptotfunkcjiP()jestwartosiyPwynikajcazwarunku:l=/2,skd
P P EJ lE= = 2 22 / ( ) .
Zpowyszegowynika,egdysiaPdziaajcanapewnymmimorodziejest Cz 419.
PROBLEMY STATECZNOCI8 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
bliskaeulerowskiejwartocikrytycznej,nastpujegwatownyprzyrostpoprzecznegougicia.Zwrmy
uwag na to, e cakowite ugicie c mona przedstawi jako iloczyn
wstpnego mimorodu e i pewnej funkcji f(P) uzalenionej od aktualnej
wartoci siy ciskajcej. Powikszanie mimorodu powoduje
jedy-niewikszeugicie,niewpywaonojednaknapooenieasymptoty(por.rys.19.5b).Bardziejcise
rozwizanienielinioweilustrujwykresyzaznaczonenarys.
19.5bliniamicigymi.Wartododa,e analogiczne wnioski wypywaj z
analizy ciskania prta o pocztkowej krzywinie (por. rys. 19.5c).
19.1.6. Wpyw obcie poprzecznych Omwimy jeszcze wpyw obcienia
poprzecznego na charakter wykresw P(). Rys. 19.6
Nawstpiewyprowadzimyrwnanierniczkoweliniiugiciadlaprtaciskanegoijednoczenie
obcionegopoprzecznie.Wtymcelurozpatrzymyrwnowagwycitego elementu
belki o dugoci dx (rys. 19.6b): warunek rwnowagi si pionowych Q qdx
Q +dQ = 0,skd qdQdx= ,(19.1) warunek rwnowagi momentw M qdxdxQ dQ
dx M Md Pdw + + + + + =20 ( ) ( ) .Po pominiciu maych wartoci
drugiego rzdu otrzymujemy: dMdxQ Pdwdx= + .(19.2) Rwnanie rniczkowe
linii ugicia ma posta: EJw M " . = (19.3) Zrniczkowanie tego
rwnania wzgldem x oraz wykorzystanie rwnania (19.2) prowadzi do
rezultatu: ( ")' ' . EJw Pw Q + = (19.4) Po ponownym zrniczkowaniu
powyszego rwnania i wykorzystaniu zalenoci (19.1) otrzymujemy: (
")" " . EJw Pw q + = (19.5)
Wzory(19.3),(19.4)i(19.5)przedstawiajtrzypostacierwnaniarniczkowegoliniiugiciaprta
mimorodowociskanegoodowolnychwarunkachbrzegowych.Sonesusznerwniedla
mimorodowego rozcigania, jeeli zmienimy znak siy P. Cz 419.
PROBLEMY STATECZNOCI9 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater Dla ilustracji powyszych
wywodw wyznaczymy funkcj ugicia prta wspornikowego obcionego
naswobodnymkocudwomasiami:pionowPipoziomH(rys.19.7).Przyjmijmy,ewczasie
obcienia stosunek obu si jest stay i e Rys. 19.7 = H P / .
Wykorzystamy tu rwnanie rniczkowe linii ugicia (19.3), gdy funkcja
momentw zginajcych jest znana: (r) EJw Hl x P w " ( ) ( ). = +
Rwnanie to po przeksztaceniu mona zapisa nastpujco: | |w w l x " (
) , + = + 2 2gdzie2 = P EJ / ( ).Rozwizaniem tego rwnania jest
funkcja (por. Ballenstedt [2]): | |wx xl l xl( )sin( ) sin ( )cos(
). = +
(( Najwiksze ugicie = w(l) okrela wzr: ( )( ). P lll=
((tg1RwnanietoopisujezalenomidzyprzemieszczeniemasiP.Przedstawimyjewpostaci
bezwymiarowej, uwzgldniwszy stosownie do wzoru (i), el P P p = = (
/ ) / ( / ) 2 2kr: ( ) , ppp= |\
|.|
(((((tg221gdzie = / . l
Nietrudnozauway,edlap=1,czylidlaP=Pkr,przemieszczenie .Widzimy
zatem, e obecno obcienia poprzecznego nie wpywa na warto krytyczn
siy ciskajcej P. Wpyw obcienia poprzecznego na przebieg wykresw P()
jest podobny do wpywu imperfekcji. Stwierdzenie to ilustruj
dodatkowe wykresy funkcji p() zamieszczone na rys. 19.7b. Na koniec
wyprowadzimy jeszcze jeden bardzo uyteczny wzr przybliony na
obliczanie ugi prta
zginanegoiciskanego.WrozwaanymwyejzadaniudlaP=0maksymalneugicieprta
wspornikowego Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI10 Andrzej Gawcki-
Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
033=HlEJ.Wobec tego = = = H PEJl pP pkr/ ,3 123020 gdzie0 0= / .
lPo podstawieniu tej wartoci do wzoru na (p) otrzymujemy: ( ) .
pppp= |\
|.|
(((((0212 221tg Wyraenie w nawiasie mona zapisa w sposb
przybliony, jeeli uwzgldnimy trzy wyrazy rozwinicia funkcji tg w
szereg potgowy: tg + +132153 5.Wwczas otrzymujemy: tg 221 112
16215112110 12112 4 2 2 2 2pppp p p pp|\
|.| + + = +|\
|.|| .Po uwzgldnieniu uzyskanego rezultatu we wzorze na (p)
otrzymujemy przyblion formu suc do obliczania ugi prta z
uwzgldnieniem siy ciskajcej: ( ) pp 011. (19.6) atwo sprawdzi, e
wzr (19.6) daje bardzo dobre przyblienie nawet dla duych wartoci
p.Na podstawie oglnej analizy mona pokaza, e wzr (19.6) ma
charakter uniwersalny i obowizuje
dladowolnychwarunkwbrzegowych(por.Timoshenko,Gere[48]). Symbol 0
oznacza tu ugicie bez udziausiosiowych,adrugiczonf p p ( ) / ( ) =
1 1 oznaczawspczynnikzwikszajcy,ktryzaley odstosunkup P P = /
.krWartododa,ewspczynniktenmonarwniestosowadoszacowania wpywu
imperfekcji, jakkolwiek dokadno takiego oszacowania bywa nieco
gorsza (por. np. wzr (p)). 19.1.7. Rozciganie mimorodowe Utrata
statecznoci wystpuje si z reguy w prtach ciskanych. Siy rozcigajce
na og stabilizuj
ugicia.Ilustracjtegozjawiskamogbywykresypodanenarys.
19.8a.Wykresyteodpowiadaj rozwizaniu rwnania rniczkowego (r), w
ktrym zmieniono znak siy P. Rys. 19.8 Cz 419. PROBLEMY
STATECZNOCI11 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji
prtowych 2003r.Alma Mater 19.1.8. Definicja statecznoci. Punkty
graniczne i punkty bifurkacji
Przedmiotemdotychczasowychrozwaabyozjawiskobifurkacjistanurwnowagi.problem
statecznocijest jednak rozumiany znacznie szerzej. Niestateczno
definiuje si na og jako proces, w
ktrymniewielkazmianaprzyczynypowodujebardzoduzmianskutku.Wdefinicjitejmiecisi
zjawiskowyboczenia,kiedyniewielkazmianasiy(przyczyny)powodujeduzmianpoprzecznego
ugicia(skutku).Zjawiskoszerzejpojtejutratystatecznociobserwujemyrwniewczasiedziaania
siypionowejnawzekratownicyMisesa(por.p.
17.2).Zbliajcsibowiemdopunktugranicznego rejestrujemy coraz wiksze
przemieszczenia pionowe. W chwili osignicia obcienia odpowiadajcego
punktowigranicznemu,wktrymdP d / =
0,nastpujegwatownyprzyrostwartociprzemieszczenia
wiadczcyoutraciestatecznoci.Dalszywzrostsiypoprzeskokuodpowiadajednakprocesowi
statecznemu.Winnychprzypadkachosigniciepunktugranicznegomoeoznaczacakowite
wyczerpanie nonoci konstrukcji. Rys. 19.9 Oglnie biorc, utrata
statecznoci wystpuje bd w punkcie bifurkacji, bd w punkcie
granicznym. Ilustracj tych uwag jest rys. 19.9, na ktrym
przedstawiono punkt graniczny i dwa przypadki bifurkacji stanu
rwnowagi. Odnotowa trzeba, e osignicie punktu bifurkacji nie zawsze
oznacza utrat nonoci konstrukcji.Sytuacjtakilustrujerys.
19.9c,stanpobifurkacyjnyjesttutajnadalstateczny,gdy dP d / > 0 .
Zagadnienia te omwimy dokadniej w dalszych czciach tego rozdziau.
19.2. PODEJCIE ENERGETYCZNE 19.2.1. Uwagi wstpne Rozwamy konstrukcj
idealnie spryst bdc pocztkowo w stanie rwnowagi, poddan dziaaniu
obcieniakonserwatywnego.Ukadmoeodejodtegostanurwnowagi,jeeliwystpipewnesiy
zakcajce,wnastpstwiektrychpojawisiprzemieszczeniarozwijajcesizokrelonymi
prdkociami.Zzasadyzachowaniaenergiiwiadomo,esumaenergiipotencjalnejukaduienergii
kinetycznej Ek jest staa: + =
Ekconst.Stanrwnowagiukaduzachodzi,gdyenergiapotencjalnaosigaekstremum.Przyjmijmy,eukadjest
pierwotniewstanierwnowagicharakteryzujcymsiminimalnwartocienergiipotencjalnej.
Nadajmyukadowipewnmaprdkopocztkow.Wartoenergiipotencjalnejmoejedynie
wzrasta,czemutowarzyszyzmniejszeniesienergiikinetycznej,stosowniedozasadyzachowania
energii.Przypadektenodpowiadastanowirwnowagistatecznej.Rwnowagstatecznmona
zobrazowanaprzykadzieanalogii,zilustrowanejnarys.
19.10a,naktrymprzedstawionokulk toczc si po zakrzywionej
powierzchni. Pierwotny stan rwnowagi Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI12
Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych
2003r.Alma Mater Rys. 19.10
odpowiadaminimumenergiipotencjalnej;kulkaznajdujesiwzagbieniu.Powyprowadzeniukulkiz
pierwotnego pooenia rwnowagi przez nadanie jej maej prdkoci
pocztkowej obserwujemy oscylacje
kulkiwotoczeniupooeniarwnowagi.Wpooeniutymenergiapotencjalnaosigaminimum,a
prdko kulki jest najwiksza. Prdko ta zmniejsza si w miar
odchodzenia od pierwotnego pooenia rwnowagi.
Rozwamyterazsytuacj,gdypocztkowepooenierwnowaginieodpowiadaminimumenergii
potencjalnej.Wwczas,stosowniedozasadyzachowaniaenergii,impulspowodujewzrostenergii
kinetycznej.Pojawiajsidueprzemieszczenia,rozwijajcesizeznacznymiprdkociami.Opisany
przypadekodpowiadaniestatecznemustanowirwnowagi,ajegoilustracjsrys.
19.10b, c.Stan rwnowagi obojtnej odpowiada toczeniu si kulki na
paszczynie poziomej (rys. 19.10d).
Bardziejzoonsytuacjprzedstawiarys.
19.11,naktrymdlamaychzaburzepooenie pocztkowe mona uzna za
stateczne. Jeli jednak zakcenie jest dostatecznie due, to kulka moe
zaj pooenie rwnowagi o niszym poziomie energetycznym. Problem ten
wystpuje w zjawisku przeskoku. Rys. 19.11 Powysze uwagi pozwalaj
zmodyfikowa nieco zasad minimum energii potencjalnej: Ukad
konserwatywny jest w stanie rwnowagi statecznej tylko wtedy, gdy
warto energii potencjalnej osiga minimum wzgldne. 19.2.2.
Matematyczna interpretacja zasady minimum energii
potencjalnej*)
Rozwamykonstrukcjspryst,ktrejstanodksztaceniajestcakowicieokrelonyprzezparametr
T, a obcienie stanowi staa sia P. Wwczas energi potencjaln mona
zapisa jako funkcj parametru T: = ( ). TFunkcj t obrazuje wykres na
rysunku 19.12. Naszym celem jest znalezienie Rys. 19.12 *)Por. [14,
38, 40, 45, 50]. Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI13 Andrzej Gawcki-
Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
punktwrwnowagiiokrelenie,czysonestateczneczyniestateczne.Wybieramydowolnypunkt
krzywej(T)owsprzdnych0,T0.Zbadamy przyrost energii potencjalnej po
zmianie wsprzdnej T0 o ma warto t, z wykorzystaniem rozwinicia w
szereg Taylora: ( ) ( ) ... T t TTtTt0 022212+ = + + + gdzie
pochodne funkcji odnosz si do punktu T = T0. Rozwinicie to mona
zapisa nieco inaczej: 0 02+ = + + + ...,(19.7) gdzie ,
2,...oznaczaj kolejne wariacje energii potencjalnej. Warunkiem
koniecznym ekstremum (maksimum lub minimum) energii jest znikanie
pierwszej wariacji . Wobec tego warunek rwnowagi ma posta: T= = 0 0
lub ,(19.8) a warunkami minimum energii s zalenoci: TT= > = >
0 0 0 0222, lub ,(19.9) dla wszystkich kinematycznie dopuszczalnych
wartoci t. Wynika std kryterium statecznoci konstrukcji 2220 0T>
> lub .(19.10) Jeeli 2 20 / T < , ukad jest niestateczny, a
jeli 2 20 / T = , to w celu ustalenia statecznoci
ukadutrzebazbadaznakiwyszychpochodnych(wariacji)energiipotencjalnej.Naprzykad,gdy
/ T = 0 ijednoczenie 2 20 / T = ,to 3 30 / T <
oznaczaukadniestateczny.Jeeli 3 3 / T byobyrwnierwnezeru,wtedy 4 40
/ T > oznaczaobyukadstateczny,a 4 40 / T =kr II/ , ( , ) , 0 0
czylienergiapotencjalnaosigaminimumi rwnowaga jest stateczna. Dla P
> Pkr, rwnowaga jest niestateczna, boII( , ) . 0 0
PWidzimywic,efunkcja( , ) TP
napokrytycznejciecerwnowagirzeczywicieosigalokalne
minimum.Dotegosamegowynikudojdziemy,rozwijajcfunkcj( , ) TP
wszeregTaylora.Godne
uwagijestto,epodobnyjakociowowynikuzyskalimywp.19.1.3(rys.19.3),gdziebadalimy
due przemieszczenie sprystego prta wspornikowego. Rys. 19.16 Cz
419. PROBLEMY STATECZNOCI19 Andrzej Gawcki- Mechanika materiaw i
konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
Rozwamyobecnieniecoinnezadanie,przedstawionenarys.
19.16.Zbadamydeformacjeukadu
zoonegozpionowegoidealniesztywnegoprtapoczonegonajednymkocuzfundamentemzapo-rednictwemprzegubu.Drugikoniecjestpodpartyidealniesprystymprtempoziomymosztywnoci
podunejrwnejc.Prtsprystyprzenosizarwnociskanie,jakirozciganie,ajegoopodczas
deformacjijestzawszepozioma.CakowiteprzemieszczeniepoziomepunktuprzyoeniasiyPwynosi
Tl. Energi potencjaln ukadu zdeformowanego wyraa wzr: ( , ) . TP cl
T Pl T = |\
|.|121 12 2 2 (19.24) Otrzymujemy std warunek rwnowagi: I( , )
TP cl T PTlT= =2210(19.25) oraz drug pochodn: II( , ) . TP cl
PlTPTlT= |\
|.|22223111(19.26) Z warunku rwnowagi (19.25) wynika, e T
clPT|\
|.|| =102.Wobec tego albo T = 0,(19.27) albo P P T cl T = = ( )
. 12(19.28) Obie ciekik (19.27) i (19.28) przecinaj si w punkcie
krytycznym, gdzieP = Pkr = cl. W punkcie tym II( , ) . 02P cl Pl =
Widastd,epionowepooeniesupajeststateczne,jeliPkr rwnowaga
niestateczna. Rys. 19.17 Warunek rwnowagi (19.30) jest speniony
take, jeeli sia P zmienia si wedug zalenoci: P TclTT T ( ) . =
|\
|.| 1 12(19.31) Rwnanie to okrela ciek pokrytyczn. Trzecia
pochodna energii potencjalnejw punkcie bifurkacji (T = 0,P P =kr)
III kr( , ) , 03402P cl = M/ . EJWarunki brzegowe funkcji v(x) i
w(x) przyjmuj posta: v(0) = v(l) = w(0) = w(l) = 0. Za pomoc
rniczkowania ukad (19.71) mona sprowadzi do dwch oddzielnych rwna:
(a)v vw w' ' ' '' ' ' ' .+ =+ =424200 Po scakowaniu tych rwna
otrzymujemy: vx A x B x C ( ) sin( ) cos( ) , = + +1 4 1 4 1 wx A x
B x C ( ) sin( ) cos( ) . = + +2 4 2 4 2 Funkcje te musz spenia
tosamociowo rwnania (19.71): + = A x B x A x B x2 424 2 424 1 424 1
4240 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) , + = A x B x A x B x1 424 1 424 2
424 2 4240 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) ,skd A2 = B1, B2 = A1. Wobec
tego funkcje v(x) i w(x) zawieraj cztery stae cakowania: (b)vx A x
B x Cwx B x A x C( ) sin( ) cos( ) ,( ) sin( ) cos( ) .= + += +1 4
1 4 11 4 1 4 2 Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI47 Andrzej Gawcki-
Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater Po
podstawieniu warunkw brzegowych otrzymujemy: v(0) = 0:B1 + C1 = 0,
v(l) =0:A l B l C1 4 1 4 10 sin( ) cos( ) , + + =w(0) = 0: A1+ C2 =
0, w(l)=0: B l A l C1 4 1 4 20 sin( ) cos( ) . + =Warunek
statecznoci przybiera posta: 0 1 1 01 01 0 0 10 104 44 4sin( ) cos(
)cos( ) sin( ) l ll l
((((( =lub po rozwiniciu wyznacznika: | | = 2 1 04cos( ) .
lRwnanie to ma pierwiastki( ) 42 l n = (n = 1, 2, ...), czyli Mkr(
)/ .nEJn l = 2(19.72) Najmniejsz warto momentu krytycznego
otrzymujemy dla n = 1: M Mkrkr= =( )/ .12EJ l(19.73)
Postaciewyboczeniamonaokrelizdokadnocidostaej.Zwarunkwbrzegowychmona
wyznaczy stosunki staych cakowania. Ostatecznie po podstawieniu
wartoci stosunkw tych staych do rwna (b) otrzymujemy: vx Bllx x (
)cos( )sin( )sin( ) cos( ) , = +
(( 1444 411 | |wx B xllx ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) . = `)1
444411 Po uwzgldnieniu, e[ cos( )] / sin( ) ( ), 14 4 = l l n tg
rwnania powysze mona przedstawi w postaci: | |vx B xwx B x( ) cos(
) ,( ) sin( ).= = `)1 41 41 (19.74) Z rwna (19.74) wynika, e wygita
o prta po wyboczeniu jest lini rubow.Na zakoczenie warto doda, e
rozwaane zadanie stanowi przypadek obcienia niekonserwatywnego,
poniewa praca momentu skrcajcego zaley od sposobu, w jaki styczna
do osi na kocu prta porusza si podczas wyboczenia. Ilustruje to
rys. 19.33b. Styczna do nieznacznie wyboczonego prta moe zaj swe
kocowe pooenie przez obrt dookoa osi y (od punktu 1 do punktu 2), a
potem dookoa osi z (od
punktu2dopunktu3).Natejdrodzemomentskrcajcyniewykonaadnejpracy.Dokocowego
pooeniastycznejmonajednakdojwinnysposb:najpierwwykonujemyobrtwokosiy(od
punktu1dopunktu2'),anastpniewokosix(odpunktu2'dopunktu3).Wtymdrugimwypadku
momentskrcajcywykonujepracrnodzera.Widzimywic,epracaobcieniazewntrznego
zaleyodsposobuprzejciaodkonfiguracjipierwotnejdokonfiguracjiaktualnej.Obcieniewtakim
wypadku nie jest konserwatywne i w konsekwencji nie obowizuj
kryteria energetyczne (twierdzenie o
energiipotencjalnej).Niezawszetewolnostosowarwnaniarniczkowe(19.53)wynikajcez
rwnowagistatycznejukadu.Rozwaanyprzypadeknaleyjednakdotejgrupyobcie
niekonserwatywnych,wktrychmetodastatycznadajewynikpoprawny.Woglnymprzypadku
obcienianiekonserwatywnegotrzebastosowatzw.dynamicznekryteriumstatecznoci,ktrepolega
na badaniu maych drga ukadu. Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI48 Andrzej
Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
19.4.4. Stateczno przy obcieniach zoonych 19.4.4.1. ciskanie ze
zginaniem Do tej pory rozwaalimy oddzielnie osiowe ciskanie,
zginanie i skrcanie. W praktyce bardzo czsto wystpuj jednak
obcienia zoone. W celu wyrobienia sobie pogldu na problem obcie
zoonych omwimy dwa najprostsze przypadki: ciskanie ze zginaniem
oraz ciskanie ze skrcaniem.
RozwaymyprtpryzmatycznyodugocilpoddanyjednoczesnemuciskaniusiPizginaniu
momentem My = M. Przekrj prta jest wyduonym prostoktem (b < h),
a oba koce prta s podparte widekowo (rys. 19.34). Rwnania (19.53)
przyjmuj posta: + = + + = + + =`)GJ MvEJ w M PwEJ v M Pvsyz' ' ,' '
,' ' .000(19.75) Rys. 19.34
Drugieztychrwnaopisujedeformacjeprtawpaszczynie(x,
z),apierwszeitrzecieopisuj deformacj przestrzenn. Rozwizanie
drugiego rwnania jest nastpujce: wxMPllxl( )coscos cos , =|\
|.||\
|.| |\
|.|
((22 2(19.76) gdzie2 = P EJy/ ( ).Maksymalne ugicie w poowie
rozpitoci prta (a)| | =|\
|.| = wl MlEJll l y2 82 1 22 222cos( / )( / ) cos( / ) i
przybiera warto nieskoczon dlal / / , 2 2 = czyli dla siy (b) P P
EJ ly y kr = = 2 2/ (
).Cechycharakterystycznezalenoci(a)przedstawionojuwp.19.4.2przyokazjiomawianiawpywu
obcienia poprzecznego na przebieg zalenoci P() (por. rys.
19.35a).Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI49 Andrzej Gawcki- Mechanika
materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater Rys. 19.35
Noweefektyobserwujemynatomiastanalizujcdwapozostaerwnaniaukadu.Rwnaniate,po
zrniczkowaniu pierwszego z nich wzgldem x, zapiszemy nastpujco: ' '
' ' ,' ' . =+ + =`)MGJvvMEJPEJvsz z00(19.77) Funkcje v(x) i (x)
przyjmiemy w postaci: (c) vx Cxlx Cxl( ) sin , ( ) sin , =|\
|.|=|\
|.|1 2 co gwarantuje spenienie warunkw brzegowych: (d) v vl l (
) ( ) ( ) ( ) . 0 0 0 = = = = Po podstawieniu zalenoci (c) do rwna
(19.77) uzyskujemy ukad rwna na stae cakowania: (e)MGJC
ClPEJCMEJCsz z = +|\
|.|| + =1 2221 200,. Po przyrwnaniu do zera wyznacznika tego
ukadu otrzymujemy: (f) MGJEJPEJls z z2 22+ = .Poniewa zwichrzenie
belki poddanej wycznemu dziaaniu momentu zginajcego zachodzi dla
(por. p. 19.4.3.2) M MlGJEJs z= = kr,a eulerowska sia krytyczna P P
EJ lz z kr = = 2 2/ ( ),wic wzr (f) mona zapisa w bardziej oglnej
postaci: MMPPkr kr|\
|.|+|\
|.| =21. (19.78) Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI50 Andrzej Gawcki-
Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
Widzimyzatem,eobecnosiyciskajcejzmniejszawartomomentu,przyktrymwystpujezwi-chrzenie
belki, i na odwrt: obecno momentu zginajcego zmniejsza warto siy
ciskajcej, przy
kt-rejwystpujewyboczenieeulerowskie.Wzr(19.78)ilustrujeinterakcjobuformutratystatecznoci
wyboczenia eulerowskiego i zwichrzenia. Obrazem rwnania (19.78)
jest linia interakcji przedstawiona na rys. 19.35b. Ze wzoru
(19.78) wynika
ponadto,edlaujemnychwartocisiyP,tzn.dlarozcigania,statecznoukadunazwichrzeniejest
wiksza.Pozatymstwierdzamy,eznakmomentuzginajcegoniewpywanawartokrytycznsiy
ciskajcej. 19.4.3.2. ciskanie ze skrcaniem *)
Wprzypadkujednoczesnegociskaniaiskrcaniaprtapryzmatycznegooprzekrojuzwartym,nie
cienkociennym (rys. 19.36), w ktrym gwne momenty bezwadnoci s rwne
(Jy = Jz = J), rwnania (19.53) przyjmuj posta: + = + =+ + =GJEJw v
PwEJv w Pvs' ,' ' ' ,' ' ' .MMM000 Do dalszych rozwaa wykorzystamy
tylko dwa ostatnie rwnania, ktre zapiszemy nastpujco: w v wv w v' '
' ,' ' ' , + = + =`) 2 122 1200(19.79) gdzie 1 2= = P EJ EJ / ( ),
/ ( ). MZa pomoc rniczkowania i po wyeliminowaniu pochodnych
rwnania te mona sprowadzi do dwch oddzielnych rwna rniczkowych
czwartego rzdu na funkcje v(x) i w(x): ( )( )v v vw w wIVIV+ + + =+
+ + =2 02 0122214122214 ' ' ,' ' . (19.80) Rys. 19.36
Podstawienievx rrx( ) =prowadzi do rwnania charakterystycznego
czwartego stopnia: ( )r r41222 2142 0 + + + = ,o pierwiastkach
urojonych: r i r i r i r i1 1 2 1 3 2 4 2= = = = , , , ,gdziei = 1
oraz 1 212221212222221 122,. =+ +|\
|.||
(((( *)Por. [30, 48, 54] Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI51 Andrzej
Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
Identyczne pierwiastki ma rwnanie charakterystyczne na funkcj w(x).
Wobec tego caki oglne rwna (19.80) s funkcjami trygonometrycznymi
argumentw1xoraz2x : vx C x C x C x C xwx C x C x C x C x( ) sin( )
cos( ) sin( ) cos( ),( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ).= + + += + +
+`)1 1 2 1 3 2 4 25 1 6 1 7 2 8 2 (19.81) Mamy zatem osiem staych
cakowania, a tylko cztery warunki brzegowe: v vl w w l ( ) ( ) ( )
( ) . 0 0 0 = = = =(19.82) Dodatkowe zalenoci midzy staymi
cakowania wynikaj z wymagania, by funkcje (19.81) speniay
tosamociowo ukad rwna wyjciowych (19.79). Zalenoci te przyjmuj
posta: dla rwnania dla rwnania ( . ) : ( . ) :, ,, ,, ,19 79 19 721
2112121 26 11 212126212121 25 21 212125322122 28 32 222128422122 2C
C C CC C C CC C C CC= = = == = = C C C7 42 222127, . = (19.83) Ze
zwizkw (19.83) wynika, e 12121 21= , 22122 21= , (19.84) orazC C C
C C C C C1 6 2 5 3 8 4 7= = = = , , , . Budowa rwna (19.84)
wskazuje, e1 i2 s pierwiastkami rwnania kwadratowego: 22 120 =
,(19.84a) przy czym znak w drugim skadniku nie wpywa na warto
argumentu funkcji trygonometrycznej; moe jedynie zmieni znak staych
cakowania. Stwierdzamy zatem, e rozwizania ukadu rwna (19.79) s
nastpujce: vx C x C x C x C xwx C x C x C x C x( ) sin( ) cos( )
sin( ) cos( ),( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ),= + + += + + +`)1 1 2
1 3 2 4 22 1 1 1 4 2 3 2 (19.85) gdzie1 i2 s pierwiastkami rwnania
kwadratowego 22 120 = o rozwizaniach: 1 2 22122 2 221244= + +=
+`),.(19.86) Wykorzystanie warunkw brzegowych (19.82) prowadzi do
kryterium statecznoci: Cz 419. PROBLEMY STATECZNOCI52 Andrzej
Gawcki- Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r.Alma Mater
0 1 0 11 0 1 001 1 2 21 1 2 2sin( ) cos( ) sin( ) cos( )cos( ) sin(
) cos( ) sin( ). l l l ll l l l
((((( = Po rozpisaniu wartoci wyznacznika dochodzimy do rwnania:
| | | |sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) , 1 221 220 l l l l =(19.87)
ktre jest spenione, gdy sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) 1 2 1 20 l l l
l + = (19.87a) albo gdy sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) . 1 2 1 20 l l
l l + =(19.87b)
Znalezienieparynajmniejszychpierwiastkwrwnania(19.87)wbrewpozoromniejestatwe.
Najprostszymsposobemuzyskaniawaciwegorozwizaniajestzastosowaniewzorunasumfunkcji
trygonometrycznych wystpujcych w rwnaniu (19.87b): sin( ) cos( )
sin( )) cos( ), 1 1 2 2l l l l + = +czyli |\
|.| |\
|.| =|\
|.| |\
|.|24 424 41 2sin cos sin cos , l lskd 1 22 1 2 l l n n = + = ,
, , ... (19.88) Po podstawieniu n = 1 oraz wykorzystaniu wzoru
(19.86) na1 i2 otrzymujemy: M( ) EJPEJl2224 4+ =, lub M22
2221EJlPEJl|\
|.|+ = .(19.89) Wartoci mianownikw umieszczone w nawiasach
oznaczaj odpowiednio krytyczny moment skrcajcy Mkr (wzr (19.73)) i
krytyczn si eulerowsk Pkr. Zaleno (19.89) mona zatem zapisa
nastpujco: MMkr kr|\
|.|+|\
|.| =21PP.(19.90) Uzyskana krzywa interakcji jest analogiczna do
zalenoci (19.78), obowizujcej przy jednoczesnym
zginaniuiciskaniu.Zewzoru(19.90)wynika,erozciganieprta(P
