Funkcije

to su funkcije?to je domena, a to kodomena funkcije?Koje simbolike zapise koristimo pri zapisivanju funkcija? ...U potrazi za odgovorima,krenimo s primjerima iz svakodnevnog ivota...

Primjer 1.:

Kad smo bili malise zove koji dan u tjednu, 1. dan ponedjeljak, To moemo i ovako zapisati:1ponedjeljak2. dan utorak,itd.i kad su nas uili kako2utorak3srijeda4etvrtak5petak6subota7nedjelja3. je srijedaMoemo rei da je svakom broju od 1 do 7 pridruen po jedan dan.Time je zadana FUNKCIJA koja svakom broju od 1 do 7 pridruuje tono jednu rije.rekli su nam da je:Za poetak zapamtimo da funkcija neemu pridruuje neto.

Primjer 2.:U jednoj koli ima 6 viih razreda:5.a215.b196.267.258.a178.b18Moemo rei da je svakom razredu od 5.a do 8.b pridruen broj uenika.Time je zadana FUNKCIJA koja svakom razredu od 5.a do 8.b pridruuje tono jedan broj.Za svaki razred moemo izbrojati koliko uenika ima u njemu.Dakle, i u ovom primjeru funkcija neemu pridruuje neto.

Uoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svakaVratimo se na 1. primjer:funkcija !Kao prvo, ovdje imamo brojevekojima neto pridruujemo!Oni ine DOMENU .Dakle, u domeni su objekti kojima neto pridruujemo.Nadalje, imamo objektekoje pridruujemo!Oni ine KODOMENU .Dakle, u kodomeni su objekti koje pridruujemo.DOMENAKODOMENA

Uoimo kroz prole primjere od ega se sastoji svakaVratimo se na 1. primjer:funkcija !DOMENAKODOMENAI tree, imamo pravilo po kojem pridruujemo!To nam pravilo npr. kaea ne npr. etvrtak.PRAVILO PRIDRUIVANJASvaka se funkcija sastoji od:- domene- kodomene- pravila pridruivanjada broju 1 pridruujemo ba ponedjeljak,

Uoimo te pojmove i u 2. primjeru:to je ovdje domena?Domenu ine razredi 5.a, 5.b, 6., ... 8.b .Preciznije,domena je skup{ 5.a, 5.b, 6., 7., 8.a, 8.b } .to je kodomena?Kodomenu ine brojevi 21, 19, 26...Preciznije,kodomena je skup{ 21, 19, 26, 25, 17, 18 } .Po kojem pravilu se vri pridruivanje?Svakom razredu pridruuje se brojuenika tog razreda.

Zadatak 1.:U obitelji Jeli je etvero djece:Ivan9Ana7Mira6Joa5Svakog od njih moemo upitati koliko ima godina.Imamo li i ovdje funkciju? - Imamo.to joj je domena?Domenu ine djeca (tj. imena) Ivan,Ana, Mira i Joa.Dakle,domena je skup{ Ivan, Ana, Mira, Joa } .to je kodomena?Kodomenu ine brojevi 9, 7, 6 i 5.Dakle,kodomena je skup{ 9, 7, 6, 5 } .Po kojem pravilu se vri pridruivanje?Svakom djetetu se pridruuje brojkoji govori koliko ono ima godina.Moemo ga i ovako zapisati: { 5, 6, 7, 9 } .

Primjer 3.:Zadrimo se jo malo na obitelji Jeli:IvanplavaAnauta, naranastaMiracrvenaJoa- (nijednu boju ne voli posebno)Svako dijete moemo upitati koju boju najvie voli.Uoava li po emu se ovo pridruivanje razlikuje od prethodnih? Ani su pridruene dvije boje Joi nije pridruena nijedna bojaFunkcija ne doputa nijedno od toga !!!Funkcija uvijekStoga u ovom primjeru nemamo funkciju.(imamo pridruivanje, ali se ono ne naziva funkcijom)svakom elementu domenetono jedanelement kodomene !!!pridruuje

Zapamtimo to vrijediza svaku funkciju:Funkcijasvakom elementu domenepridruujetono jedan element kodomene.

Zadatak 2.:Provjerimo jesmo li dobro razumjeli:a)Je li time zadana funkcija? Je.to je ovdje domena?Domena je skup{ 1, 2, 3, 4, ... 12} .to je u ovom primjeru kodomena?Kodomena je skupMoe li uoiti po kojem pravilu se ovdje vre pridruivanja?Svakom broju od 1 do 12 pridruen jeodgovarajui naziv mjeseca u godini.{ sijeanj, veljaa, oujak, ... prosinac } .Po emu to znamo?Po tome to je svakom broju iz lijevog stupca pridruen tono jedan naziv iz desnog.

b)Imamo li i ovdje funkciju? Nemamo.Zato?Zato to Dugom Selu i Crikvenicinita nije pridrueno,a funkcija bisvakome iz lijevog stupca trebalapridruiti tono jedan objekt izdesnog.Zadatak 2.:Provjerimo jesmo li shvatili:Moe li uoiti po kojem pravilu se ovdje vre pridruivanja?Gradovima iz lijevog stupcapridruene su odgovarajue kraticesa registarskih tablica.

c)Je li time zadana funkcija? Nije.Zato?Jer su veljai pridruena dva broja,Moe li uoiti po kojem pravilu se ovdje vre pridruivanja?Svakom mjesecu pridruen jebroj dana u tom mjesecu.Zadatak 2.:Provjerimo jesmo li shvatili:a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridruiti tono jedan objekt iz desnog.

d)Je li time zadana funkcija? Je.to je ovdje domena?Domena je skup{ 1, 2, 3, 4, 5 } .to je ovdje kodomena?Kodomena je skupPo kojem pravilu se ovdje vre pridruivanja?Svakom broju od 1 do 5 pridruen jenaziv ocjene koju predstavlja taj broj.{ nedovoljan, dovoljan, Po emu to znamo?Po tome to je svakom broju iz lijevog stupca pridruen tono jedan naziv iz desnog.dobar, vrlo dobar, odlian } .Zadatak 2.:Provjerimo jesmo li shvatili:

Nadam se da nakon ovih primjeramoe razumjeti reenicu:Funkcija iz skupa D u skup Ksvakom elementu skupa Dpridruujetono jedan element skupa K.je pravilo po kojem seSkup D nazivamodomena.Skup K nazivamokodomena.Prepii sve sa ovestranice u biljenicu!

Ali matematiari kao matematiari......oni vole brojevima pridruivati brojeve...Pa krenimo na primjere s brojevima...

Je li time zadana funkcija? Je.Zato?Jer je svakom broju iz lijevog stupca pridruen tono jedan broj iz desnog stupca.Moe li uoiti po kojem pravilu se ovdje vre pridruivanja?Svakom broju iz lijevog stupca pridruen jedva puta vei (tj. dvostruki) broj.Primjer 4.:to je ovdje domena?Domena je skup{ 1, 2, 5, 8, 10, 14 } .to je ovdje kodomena?Kodomena je skup{ 2, 4, 10, 16, 20, 28 } .

Upoznajmo simbolike zapisekoje koristimo kod funkcija,a koji nam olakavaju zapisivanje !Primjer 4.:

Primjer 4.:Ako bismo eljeli opisati pravilo pridruivanjaOva funkcija svakom broju pridruuje dva puta vei broj.ove funkcije,rekli bismo:Evo kako to krae moemo zapisati:f (x) = 2xObjasnimo taj zapis!f je ime funkcijeIme funkcije moe bitibilo koje slovo.Mi emo najee koristitislova f, g, h.x u zagradipredstavlja bilo koji broj kojem neto pridruujemo(bilo koji broj iz domene)izraz 2x nakon znaka =govori nam to se pridruujeonom broju x iz zagradeU ovom primjeru pridruujemomu 2x , tj. 2 puta vei broj.

Primjer 4.:Ako bismo eljeli opisati pravilo pridruivanjaOva funkcija svakom broju pridruuje dva puta vei broj.ove funkcije,rekli bismo:Ovaj zapis itamo:" ef od iks jednako je dva puta x "Dakle, f(x) itamo:" f od x "f (x) = 2xEvo kako to krae moemo zapisati:

Primjer 4.:U zapisu f(x) = 2xf : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } Vjerojatno i sam nasluujekoji dio zapisa to govori...ime funkcijedomenane pie to je domena,a to kodomena funkcije.kodomenaMatematiari su i za to smislili kratki zapis:

Primjer 4.:f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } itamo:Funkcija fide saskupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 uskup 2, 4, 10, 16, 20, 28 .U zapisu f(x) = 2xne pie to je domena,a to kodomena funkcije.Matematiari su i za to smislili kratki zapis:

Primjer 4.:Dakle,s ova dva retka:f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } funkcija je u potpunosti zadanaf (x) = 2xU prvom retku pie namdomenai kodomena.ime funkcije, U drugom retku piepravilo pridruivanja.

Primjer 4.:Dakle,s ova dva retka:f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } funkcija je u potpunosti zadanaf (x) = 2xSjea li se kako itamo ta dva retka?Funkcija f ide sa skupa 1, 2, 5, 8, 10, 14 u skup 2, 4, 10,16, 20, 28.f od x jednako je 2x .

Primjer 4.:Dakle,s ova dva retka:f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 } funkcija je u potpunosti zadanaf (x) = 2xto ta funkcija pridruuje broju 5 ?510To moemo i ovako zapisati:f (5) = 10i to itamo:f od 5 jednako je 10 .Dopunimo:f (1) =2f (2) =4f (8) =16f (10) =20f (14) =28Kako to itamo?f od 1 jednako je 2to to znai?To znai da ova funkcija broju 1pridruuje broj 2 .(sjeti se pravila pridruivanja...)(sjeti se to ova funkcija pridruuje broju 1...)

Primjer 4.:Dakle,s ova dva retka:funkcija je u potpunosti zadanaf (x) = 2xRazjasnimo jo jedan detalj u vezi kodomene:U kodomeni su brojevi koje pridruujemo brojevima iz domene,ali u njoj smiju biti i brojevi koji niemu nisu pridrueni.Dakle, kodomenu moemo zadati i "ire".

Tako npr. u nju bismo mogli dopisati i brojeve npr. 37 i 100i time ne bismo uinili nita pogreno.f : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } { 2, 4, 10, 16, 20, 28 , 37, 100 } A moemo dodati i sve preostale prirodne brojeve,pa time dobivamo skup N.N }

Primjer 4.:Dakle,s ova dva retka:funkcija je u potpunosti zadanaf (x) = 2xf : { 1, 2, 5, 8, 10, 14 } Zato N ne piemo u vitiastoj zagradi?N Vitiastu zagradu koristimo kad nabrajamo elemente skupa,npr. { 1, 2, 3, 4, 5... } .No, ako imamo oznaku za cijeli skup (npr. N, Z, Q...),nju piemo bez vitiaste zagrade.

Istaknimo jo jednom:Domenu ne moemozadati "ire"!U njoj su tono oni brojevikojima neto pridruujemo.Kodomenu moemozadati "ire"!U njoj su oni brojevikoje pridruujemo,a mogu biti i jo neki(koji nisu niemu pridrueni).

Moe li uoiti po kojem pravilu se brojevimaiz 1. stupca pridruuju brojevi iz drugog?Svakom broju pridruen je za 3 manji broj.Zadatak 3.:to je ovdje domena?Domena je skup{ ... 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2...},to je ovdje kodomena?Kodomena je takoer skup Z .. . .. . .tj. skupcijelih brojeva,skup Z.Simboliki zapiimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g):gg (x) =ZZx - 3:Kako to itamo?Funkcija g ide sa skupa Z u skup Z.g od x jednako je x minus 3

Dopunimo:g (4) =Zadatak 3.:. . .. . .Simboliki zapiimo kako je zadana ova funkcija (nazovimo je g):gg (x) =ZZx - 3:1Kako to itamo?g od 4 jednako je 1 .to to znai?To znai da ova funkcijabroju 4 pridruuje broj 1 .g (-2) =-5Kako to itamo?g od -2 jednako je -5 .to to znai?To znai da ova funkcijabroju -2 pridruuje broj -5 .g (0) =-3Kako to itamo?g od 0 jednako je -3 .to to znai?To znai da ova funkcijabroju 0 pridruuje broj -3 .

Dopuni sljedee zapise ako elimo da funkcija:Zadatak 4.:f (x) =5 xa) svakom broju pridruuje 5 puta vei brojf (x) =5 xilif (x) =x + 7b) svakom broju pridruuje za 7 vei brojf (x) =c) svakom broju pridruuje 3 puta manji brojf (x) =xd) svakom broju pridruuje isti taj brojf (x) =-xe) svakom broju pridruuje suprotni brojf (x) =8f) svakom broju pridruuje broj 8

Primjer 5.:h : { -1, 3, 5 } Zh (x) = 2x - 7Kako to itamo?Funkcija h ide sa skupa -1, 3, 5 u skup Z.h od x jednako je 2x-7 .Zadana je funkcija:

Primjer 5.:h : { -1, 3, 5 } Zh (x) = 2x - 7to joj je domena?Domena je skup { -1, 3, 5 }.to je kodomena?Kodomena je skup Z .Koje je pravilo pridruivanja?h(x) = 2x - 7Zadana je funkcija:Kako se zove ova funkcija?funkcija h

Primjer 5.:h : { -1, 3, 5 } Zh (x) = 2x - 7Kojim brojevima funkcija h neto pridruuje?Brojevima -1, 3 i 5 .Izraunaj to im pridruuje!h (-1) = 2(-1)-7h (-1) = -2-h (-1) = -9Zadana je funkcija:Dakle, trebamo izraunati h(-1), h(3) i h(5) . Krenimo od h(-1) ! Da bismo izraunali h(-1) , trebamo koristiti pravilo pridruivanja.h (x) = 2x - 7Poto nas zanima h(-1), umjesto x uvrstimo -1 !I u nastavku umjesto x uvrstimo -1, a sve ostalo redom prepiimo !7Time smo izraunali to ova funkcija pridruuje broju -1 .Pridruuje mu broj-9 !

Primjer 5.:h : { -1, 3, 5 } Zh (x) = 2x - 7Kojim brojevima funkcija h neto pridruuje?Brojevima -1, 3 i 5 .Izraunaj to im pridruuje!h (-1) = 2(-1)-7h (-1) = -2h (-1) = -9h (3) = 23-7h (3) = 6-h (3) = -1h (5) = 25-7h (5) = 10-h (5) = 3Zadana je funkcija:Dakle, trebamo izraunati h(-1), h(3) i h(5) . Sad izraunajmo h(3) ! Opet kreemo od pravila pridruivanja.Sad u njega umjesto x uvrstimo 3.-777Krenimo od h(-1) ! h (x) = 2x - 7

Nadam se da si shvatioosnovne stvari o funkcijamai da e nakon ove prezentacijes lakoom rjeavati zadatke!