U nastavku ćemo vidjeti kako je moguće predstaviti signal sumom njegovih komponenti. U ovom pogledu su signali veoma slični vektorima.

Posmatrajmo signal f(t) i aproksimirajmo ga najprije pomoću drugog signala x(t) na intervalu [t1, t2].

Gornja aproksimacija unosi sljedeću grešku:

Kada za aproksimaciju kažemo da je dobra?

1 2( ) ( ), [ , ]f t Cx t za t t t

1 2( ) ( ), [ , ]( )

0, f t Cx t za t t t

e tdrugdje

Najbolja aproksimacija je ona kojom se minimizujegreška e(t).

Kako je e(t) takođe signal, njegovo mjerilo (tj. mjerilonjegove veličine ili jačine) može biti njegovaenergija, Ee. Drugim riječima, najbolja aproksimacijadaje minimalnu energiju signala greške.

Minimizacija Ee po C (koeficijent aproksimacije):

2

1

20 ( ( ) ( )) 0t

e

t

dE d f t Cx t dtdC dC

2 2 2

1 1 1

2 2 2

0 ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0t t t

t t t

nema C

d d df t dt C f t x t dt C x t dtdC dC dC

2 2

1 1

22 ( ) ( ) 2 ( ) 0 / :2t t

t t

f t x t dt C x t dt

2

21

21

1

1 2

2

( ) [ , ]( )

( ) ( )1 ( ) ( ) .....................(1)

( )

t

ttt

x tenergija skalarni proizvod signalasignala kojimt f t i signala kojim se onse predstavlja predstavlja na t tf t

f t x t dt

C f t x t dtE

x t dt

Definicija 1: Skalarni proizvod ili unutrašnji proizvod signala f(t) i x(t):

Uočimo da je energija signala skalarni proizvod signala samog sa sobom:

Definicija 2: Signali se nazivaju ortogonalnim ako je njihov skalarni proizvod 0. Dakle, ako važi da je:

za signale f(t) i x(t) kažemo da su ortogonalni.

2

1

( , ) ( ) ( )t

t

f x f t x t dt

2

1

2 ( ) ( , )t

xt

E x t dt x x

2

1

( , ) ( ) ( ) 0t

t

f x f t x t dt

Naći komponentu signala f(t) oblika signala x=sin(t) sa minimalnom greškom aproksimacije.

( ) sin( ), 0 2f t C t za t 2 2 2

2

0 0 00

1 1sin ( ) (1 cos2 ) 2 cos22 2xE t dt t dt tdt

Odnosno:

Stoga, zaključujemo da je najbolja aproksimacija:

2

0

1 ( )sin( )C f t t dt

2

0

21 1 1 4sin( ) sin( ) cos cos (2 2)0

C t dt t dt t t

( ) sin( )f t C t 4( ) sinf t t

Čemu je jednaka energija dva ortogonalna signala?

Neka su x(t), y(t) ortogonalni signali, a z(t)= x(t)+y(t), Ez=?

2 2( ) ( ( ) ( ))zt t

E z t dt x t y t dt

2 2

0

( ) 2 ( )z x yt t t

E x t dt xydt y t dt E E

Pretpostavimo da su x1(t), x2(t),..., xn(t) ortogonalni signali i da čine jedan skup:

Definicija: Ako je energija signala xn(t), En=1, za svako n, skup je normalizovan i naziva se ortogonalnim.

Napomena: Bilo koji ortogonalni skup se može normalizovati dijeljenjem signala xn(t) sa . Tada je njegova energija:

2

1

0,( ) ( ) ( ), ( )

,

t

m n m nnt

m nx t x t dt x t x t

E m n

,nE n

2' 2( ) 1 ( ) 1n

n nn

n nnt t

x t EE dt x t dtE EE

Posmatrajmo skup signala:

Definicija: Sinusoida na frekvenciji nω0 se naziva n-ti harmonik, gdje je ω0 fundamentalna frekvencija, a n cio broj.

Zapažanje: Pokazuje se da je na intervalu [t1, t1+T0], zaproizvoljno t1:

0 0 0 0 0 0{1,cos ,cos2 ,...,cos ,...;sin ,sin2 ,...,sin ,...}t t n t t t n t

1 0

1

0 00

0, cos cos

/ 2, 0

t T

t

m nn t m tdt

T m n

1 0

1

0 00

0, sin sin

/ 2, 0

t T

t

m nn t m tdt

T m n

1 0

1

0 0sin cos 0, ,t T

t

n t m tdt n m

posmatrani skup signala ortogonalan:

gdje su, po analogiji sa (1):

0 1 0 2 0 1 0 2 0( ) cos cos2 ... sin sin2 ...f t a a t a t b t b t

0 0 01

cos sin ,n nn

a a n t b n t

0 0 1 1 02 / na intervalu T t t t T

1 0

11 0

1

0

20

( )cos

cos

t T

tn t T

t

f t n tdt

a

n tdt

1 0

1

20 0cos cos

t T

t

n tdt E n t

1 0 1 01 0

11 1

0

00 0

0 jer je cos2 periodična na intervalu integraljenja

1 1 1(1 cos2 ) cos22 2 2 2

t T t Tt T

tt t

n t

Tn t dt t n tdt

1 0

1

00

2 ( )t T

t

a f t dtT

1 0

1

00

2 ( )cos , 1,2,...t T

nt

a f t n tdt nT

1 0

1

00

2 ( )sin , 1,2,...t T

nt

b f t n tdt nT

Za identitet:

gdje su:

Moguće je zapisati:

0 0 0cos sin cos( )n n n na n t b n t c n t

2 2n n nc a b ( / )n n narctg b a 0 0c a

0 01

( ) cos( ),n nn

f t c c n t

1 1 0t t t T

Razviti u trigonometrijski Fourier-ov red na intervalu funkciju:

Prisjetimo se najprije Ojlerovih formula:

Fundamentalna frekvencija i perioda su:

/2( ) tf t e[0, ]t

1cos( ) ( )2

jx jxx e e 1sin( ) ( )2

jx jxx e ej

0 00

2 2= 2; TT

/2 /2 /20 0 0

0

2 2 4( 2) ( 1)t t tc a e dt e e

Ostali koeficijenti su:

0 0/2 /20

0 0

2 2 1cos( ) ( )2

jn t jn tt tna e n t dt e e e dt

1( )00 2

1( )2

0

1 ( )jn tjn t

e e dt

1( )00 21( )2

0 0

0 0

1 1 1( )1 12 2

jn tjn te e

jn jn

1( 2 )2

1( 2 )21 2 2( ( 1) ( 1))

1 4 1 4

j nj ne e

j n j n

Imajući u vidu da je:

jednačina za an se svodi na:

Analogno se dobija:

I na kraju:

1( 2 ) 22 2 2 2

1 0(cos2 sin2 )

j n j ne e e e n j n e

2 2 21 2 2 2 1 4 ( 1 4 )( ( 1) ( 1)) ( 1)1 4 1 4 ( 1 4 )( 1 4 )n

j n j na e e ej n j n j n j n

0 0

02 22 2 2

2 2 4 1( 1) ( 1)1 16 1 16 1 16

a c

ce en n n

020 2

0

42 sin ...1 16

t

nncb e n tdtn

2 2 2 22 2 0 0 0

02 2 2 2 2 2 2

16 1 16(1 16 ) (1 16 ) (1 16 ) 1 16

n n nc n c cnc a b cn n n n

Neka je:

Tada je:

pošto su koeficijenti periodični sa periodom T0. Napomena: Ako je f(t) periodična funkcija, onda je

njen Fourier-ov red predstavljen svuda, a ne samo na intervalu t1≤ t ≤t1+T0.

0 01

( ) cos( )n nn

t c c n t

0( ) ( )t T t

Periodični signal f(t) može biti izražen kao suma sinusoida na frekvencijama 0, ω0, 2ω0,... sa amplitudama C0, C1, C2, ... i fazama ϴ0, ϴ1, ϴ2,...

Razlikujemo amplitudski i fazni spektar.

Napomena: Ukoliko je signal f(n) simetričan, integrali se mogu računati na polovini perioda, odnosno na T0/2.

Amplitudski spektar Fazni spektar

( / )n n narctg b a 2 2

n n nc a b

Krenimo od trigonometrijskog Fourier-ovog reda:

Imajmo u vidu da je:

i:

tada možemo i uvesti oznake:

0 01

( ) cos( )n nn

f t c c n t

0 0( ) ( )0cos( ) ( )

2n nj n t j n tn

n ncc n t e e

0 0( ) ( )2 2

jn t jn tj n j nn nc ce e e e

2 2n n nc a b 2 2( )n n nc a b

2j nn

ncD e

2j nn

ncD e

Uzimajući u obzir prethodne oznake, kao i činjenicu da je c0=D0, dobijamo definiciju eksponencijalnog Fourier-ovog reda:

Napomena:

Dakle, skup eksponencijalnih funkcijaje ortogonalan na bilo kom intervalu trajanja T0.Uočimo da je odgovarajući Fourier-ov par:

0 0 00

1( ) ( )jn t jn t jn t

n n nn n

f t c D e D e D e

1 0 1 00 0 0

1 1

( )*

0

0, ( )

,

t T t Tjm t jn t j m n t

t t

n me e dt e dt

T n m

0 , 0, 1, 2,...jn te n

0( ) jn tn

nf t D e

1 00

100( )

1 ( )t T

jn tn

tF jn

D f t e dtT

Prednosti eksponencijalnog Fourier-ovog reda:› Kompaktna forma› Lakša za analizu signala (sistema)

je amplituda, a faza koeficijenata eksponencijalnog reda.

Napomena 1: Za realni signal f(t), je parna funkcija po ω, a neparna funkcija po ω.

Napomena 2: Stvarna frekvencija je uvijek pozitivna! Ovdje se javlja i negativna frekvencija, ali samo formalno, zbog matematičkog aparata.

nD nD

nD

nD

Podsjećanje 1: Periodični signal smo Fourier-ovim redom izrazili sumom eksponencijalnih funkcija.

Podsjećanje 2: Odziv linearnog sistema sa prenosnom funkcijom H(s) na eksponencijalnu pobudu je takođe eksponencijalna funkcija .

Imajući u vidu prethodno, zaključujemo da je odziv na pobudujednak .

Za pobudu zapisanu u obliku Fourier-ovog reda:

odziv sistema sa prenosnom funkcijom H(jω) je:

Odziv je očigledno forme eksponencijalnog Fourier-ovog reda takođe, pa je odziv periodična funkcija sa istom periodom kao i pobuda f(t).

ste( ) stH s e

j te ( ) j tH j e

0( ) jn tn

nf t D e

00( ) ( ) jn t

nn

y t D H jn e

Periodični signal f(t) ima mogućnost dvostranog posmatranja:› Vremenski domen f(t)› Frekvencijski domen F(jω)

Korisno je poznavati signal u oba domena, jer se iz svakog od njih može zaključiti nešto jedinstveno.

Ograničenja Fourier-ovog reda:› Koristi se samo za analizu periodičnih signala, a poznato je da su

gotovo svi signali u praksi aperiodični;› Koristi se samo za asimptotski stabilne signale.

Prevazilaženje ograničenja:› Uvođenje Fourier-ove transformacije umjesto reda› Generalizacija Laplace-ovom transformacijom.

cos2 1 sin2 0

cos ( 1) sin 0n

n n

n n

/2 ( 1)/2( 1) , parno ( 1) , neparnocos sin2 20, neparno 0, parno

n nn nn nn n

/22 /2

( 1)/2

( 1) , parno1 1

( 1) , neparno

nj n jn jn

n

ne e e

j n

cos sin sin cos

1 1cos sin sin cos

xdx x xdx x

axdx x axdx xa a