Embed Size (px)
Citation preview
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 1
17. VEKTORI I KVADRATNE MATRICE 17.1 Opcenito o vektorima Vektor je usmjerena duzina i zato ima: pocetak (hvatiste), kraj i smjer. Vektor se oznacava sa
oznakom na pr.: , ,
Duzina PQ ili r naziva se duzina vektora, intenzitet ili norma vektora P
a r PQ
Q ili .
Pravac na kojem lezi vektor je nosac vektora.
Kolinearni vektori su oni, koji leze na paralelnim pravcima. Za njih vrijedi ili ako su
suprotni vektori, tada vrijedi .
r
a k b
a k b
= ⋅
= − ⋅ Vrijednost je skalar. Skalar je kategorija , broj, koji nema karakteristike vektora.Nul-vektor je vektor sa duzinom 0 i kolinearan je sa svakim vektorom.
Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzite
k
0 0tom 1. 1
Dva vektora su jednaka ako imaju jednaku duzinu i smjer (orijentaciju).
Zbroj dva vektora je vektor: . Zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj prvog translacijo
aa aa
a b c
= ⇒ =
+ =m se doda pocetak drugog vektora. Rezultat je vektor koji ima duzinu od
pocetka prvog do kraja drugog vektora.
( )Oduzimanje vektora je dano izrazom: . Oduzimanje se izvodi tako sto
se na pocetak prvog vektora translacijom doda pocetak drugog vektora. Rezultat, vektor , ima duzinu od kraja dru
a b a b c
c
− = + − =
gog do kraja prvog vektora (vidi zadatak u nastavku)
1 1 2 22 3
Kolinerani vektori su linearno zavisni.
Linearno nezavisni vektori su oni vektori za koje vrijedi: 0
Linearno nezavisni vektori cine bazu vektorskog prostora: V za ravninu i V za prostor.
a aλ λ+ =
− −
3
Baza vektorskog prostora dana je sa tri uredjena jedinicna vektora , , koji su linearno nezavisni.Svaki vektor se moze rastaviti na komponente. Za prostor V ima oblik:
,x y z x
i j k
a a i a j a k a a a= + + ⇒ = ( )
( ) ( )
,
Skalarni umnozak vektora je skalar: cos ; kut izmedju vektor i .
Za 0 ili
1 0
y z
x y z x y z x x y y z z
a
a b a b a b
a b a i a j a k b i b j b k a b a b a b
i i j j k k i j j k k i
ϕ ϕ
ϕ
⋅ = ⋅ ⋅ −
= ⋅ = + + ⋅ + + = + +
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
( )Vektorski umnozak dva vektora je vektor: koji je okomit na i .
Vektori , i cine desni sustav. sin ,
a b c a b
a b c c a b a b a b
× =
= × = ⋅ ⋅
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 2
Vektorski umnozak jedinicnih vektora u desnom sustavu:
0 0 0
sin
Apsolutna vrijednost vektorskog pro
x y z
x y z
ixi jxj kxk ixj k jxk i kxi j
jxi k kxj i ixk j
i j k a ba b a a a S
a bb b bϕ
= = = = = =
= − = − = −
×× = = =
⋅
( ) ( )
( ) ( )
dukta dva vektora jednaka je povrsini paralelograma sto ga zatvaraju zadani vektori.
Mjesoviti umnozak vektora oznacava se sa , ,
sin cosx y z
a b c a b c a b c
a a aa b c a b c V a b c bϕ ψ
= ⋅ × = × ⋅
× ⋅ = ⋅ ⋅ = × ⋅ =
Apsolutna vrijednost mjesovitog umnoska vektora, jednaka je volumenu prizme koju zatvaraju vektori.
x y z
x y z
b bc c c
17.2 Osnovne operacije sa vektorima 1. Tocka S je sjeciste dijagonala paralelograma ABCD. Izracunaj vektorski zbroj
.
Iz slike je vidljivo, da je i 0Vektrorski zbr
SA SB SC SD
SA SC SB SD SA SB SC SD
+ + +
= − = − ⇒ + + + =oj zadanih vektora jednak je nuli.
2. U pravilnom sesterokutu ABCDEF, poznati su vektori i .
Izrazi vektore , , , , , i pomocu vektora i n.
Iz slike je vidljivo, da je
AB m BC n
CD DE EF FA AC AD AE m
= =
: =
=2 2
CD BS BA AS m n DE m EF n
FA CD m n AC m n AD n AE AD AD m n
= = + = − + ⇒ = − −
= − = − = + = + = −
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 3
3. Zadani su vektori prema slici. Izrcunaj zbroj vektora +
Vidljivo je, da je dijagonala pravokutnika ABCD
Prema tome je: AC
AB AC AD
AB AD AC
AB AD AC AC
+
+ =
+ + = + 2AC AC=
4. Zadana su tri jedinicna vektora koji zadovoljavaju uvjet + 0
Izracunaj zbroj Iz zadanog uvjeta proizilazi, da zadani vektori cine jednakostranican trokut. Kut izmedju vekt
a b c
a b b c c a
+ =
⋅ + ⋅ + ⋅
( )
( )
( )
ora je u tom slicaju 120 . Dalje slijedi: 1cos120 1 1 cos120 cos 90 30 sin 3021cos120 1 1 cos120 cos 90 30 sin 3021cos120 1 1 cos120 cos 90 30 sin 302
a b a b
b c b c
c a c a
a b b
⋅ = = ⋅ ⋅ = + = − = −
⋅ = = ⋅ ⋅ = + = − = −
⋅ = = ⋅ ⋅ = + = − = −
⋅ +1 332 2
c c a ⋅ + ⋅ = ⋅ − = −
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 4
5. Zadan je trokut ABC i teziste u tocki T. Odredi zbroj vektora +Nadopunimo li trokut ATC u paralelogram ATCD mozemo postaviti:
TD
TA TB TC
TA TB TC TA TC TB
+
+ + = + + 0
Vektori i su suprotni i njihov je zbroj nula.
TD TB
TD TB
= + =
6. Zadana si tri vektora koji cine trokut: , i . Izracunaj
vektore tezisnica trokuta , i
Iz imamo: Iz imamo: 2 2
a BC b CA c AB
AF BD CEa aABF BF AFC AF b c
= = =
= = −
+ = +2
Iz imamo: 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
a
bBCD BD a
b c a c a a cb c a BD a
c c a b a b b aCE b c a b CE b
= +
−= − − ⇒ = − − ⇒ = − − =
−= + = − − ⇒ = − − ⇒ = − − =
( )
7. Iz vrha C trokuta povucena je tezisnica CT na bazu trokuta ABC u tocki T.
Izrazi vektor tezisnice kao linearnu kombinaciju vektora stranica i .
Iz imamo: 1 +
CT CA CB
ABC CT CA AT= ( ) ( ) ( )2 + zbrojimo 1 i 2
2 + + iz slike vidimo:
2 2 2 2
CT CB BT
CT CA AT CB BT AT BT
CA CB CA CBCT CA CB CT
=
⋅ = + = −
+⋅ = + ⇒ = = +
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 5
8. Iz tocke C povucena su tri vektora , i . Krajevi vektora leze na pravcu p,
sa pripadajucim tockama A, B i T. Tocka T dijeli duzinu izmedju A i B u
omjeru : , uz uvjet da je 1. Dokazi da je
a b c
x y x y+ =
( )( ) ( )
. 1Iz zadatka 7. znamo, ako tocka T lezi na polovistu baze .2
U ovom slucaju je: 1
c xa yb
c a b
c CB BT b x a b xa x b xa yb
= +
⇒ = +
= + = + − = + − = −
9. Zadan je trapez ABCD. Dokazi da su vektori dijagonala i kolinearni
sa vektorom baze .
Iz slike je vidljivo: = + = +
AC DB
AB
AC AD DC AD AB DB AB AD
AC DB
λ ⋅ = −
+ ( )1AD AB AB AD ABλ λ= + ⋅ + − = +
( )10. Zadan je trapez ABCD. Dokazi da je sredisnjica trapeza jednaka polovici zbroja
1paralelnih stranica 2
Iz slike je vidljivo:
S AB DC
AP PQ QB AB AP DP
DP PQ QC
= +
+ + = = −
+ + zbrojimo 2 2
AB DCDC PQ AB DC PQ S += ⋅ = + = =
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 6
( )( )
2 2
2 2
11. Zadani su vektori 3 4 i 2 . Odredi intenzitet i smjer vektora , ,
i .
4 3 3Za 3 4 imamo: a = 3 4 = 25=5 tan cos =3 5
53.131Za 2 imamo: b = 2 1 = 5 tan
a i j b i j a b a b
b a
a i ja
b i j
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
= + = − +
−
= + + ⇒ = ⇒ =
=
= − + ⇒ = −
( ) ( ) 2 2
2 2cos =2 5
333.43
Za imamo: 3 4 2 5 3 ; 5 3 34
b
a b i j i j i j a b
ϕ
ϕ
⇒ =
=
+ + + − = + + = + =
( ) ( ) 2 2
3 5 5tan cos = 30.96 5 34
Za imamo: 2 3 4 5 ; 1 5 26
5 5 1tan 5 cos 258.691 26
a b
b a i j i j i j b a
b a
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ = ⇒ =+
− − − + = − − − = +
− −= = ⇒ = = ⇒ =− −
=
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
12. Vektori i su kolinearni. Odredi broj x tako, da vektori 1 i
3 1 budu kolinearni. Iz uvjeta kolinearnosti dobijemo:
21 3 1 0 +2 2 0
u v a x u v
b u x v
u vx u v u x v x u v v u x
u v
= − +
= + +
+− + + + + = ⇒ + + = ⇒ = − = −
+
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
Uvrstimo u zadani izraz:
2 1 3 3 2 1 3Za 2 imamo:
2 1 3 2 1 3 3 3
a u v u v b u v u v a a bx
a u v u v b u v u v a b a
= − − + = − + = + − + = − ⇒ − = −
=
= − + = + = + + = + ⇒ =
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 7
13. Vektor rastavi na vektorske komponente okomite i paralelne vektoru .
Rastasvimo vektor na komponente i : +
Iz uvjeta okomitosti: 0x y x y x
y y x
a b
a a a a a a a mb
a b a a a a m
= =
⋅ = ⇒ = − = −
( ) 2
2 2
2
0 odnosno:
Skalar je projekcija vektora na vektor .
y x
y
b
a b a ba b a mb b a b m b m a mb bb b
a b a ba a mb a b a bbb
⋅ ⋅⋅ = − ⋅ = ⋅ − = ⇒ = = =
⋅ ⋅= − = −
Vektor je vektorska projekcija vektora na vektor .a b b a bb b
⋅
( )( )
14. Vektori i su nekolinearni. Odredi realni broj tako, da vektori 2 i
2 1 postanu kolinearni suprotnog smjera.Iz uvjeta kolinearnosti: imamo: 1 i 2 odnosn
a b x m x a b
n xa x bm k n x x
= + +
= + −
= = − =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o; 1:
1 2 2 1 1 1 2 2 klinearni i suprotni 2 :
2 2 4 2 2 2 1 4 vektori su jednaki
Za x
m a b a b n a b a bZa x
m a b a b n a b a b
= −
= − + + = + = − + − − = − − ⇒
=
= + + = + = + − = + ⇒
( )
( )
1 2
2 2 2
1
2
15. Vektor 4 3 rastavi na vektore a paralelan i a okomit vektoru 3 .
4 3 3 1 15 3Iz ranijeg zadatka br.13 imamo 10 23 1
3 9 3Sada je: a 32 2 2
a
a i j b i
a bmb
mb i j i j
a
= + = +
⋅ ⋅ + ⋅= = = =
+
= = + = +
= ( )
j
19 3 1 3 a 4 32 2 2 2
i j i j i j − = + − + = − +
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 8
( )(( )( )
16. Odredi vektor tako, da za vektore 2 i 3 2 vrijedi: 7 i 7.
Oznacimo i upisimo skalarni umnozak dva vektora 2 :
2 2
k a i j b i j a k b k
k mi nj a k i j mi nj
a k i j mi nj m
= − = + ⋅ = ⋅ =
= + ⋅ = − +
⋅ = − + =
)
( )( )
1 0 0 1
1 0 0 1
2 2 7
Za drugi dio zadatka imamo:
3 2 3 3 2 2 3 2 7
Rijesim te dvije jednadzbe sa dvije nepoznanice: 2 73 2 7 3; 1
i i n i j m j i n j j m n
b k i j mi nj mi i n i j m j i n j j m n
m nm n m n
⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = − =
⋅ = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + =
− =+ = ⇒ = = −
Trazeni vektor ima oblik: 3 .k mi nj i j= + = −
( ) ( ) ( )( ) ( )
) ( )
3
17. Izracunaj umnozak 3 2 ako je =2, =3 i , =120 .
3 2 = 3 3 2 2 3 3 3 2 2
9
a b a b a b a b
a b a b aa ab ab bb a ab b
a b
− ⋅ +
− ⋅ + + − − = + − = ⋅ + − ⋅
+ =
3
( ) (13 3 cos 120 3 2 3 92
3 2
ab
a ab b ba ⇒= = ⋅ ⋅ ⋅ − = −
⋅ −
−
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 2
318. Odredi duzinu vektora 3 2 ako je =2, = 2 i , = .4
Da bi odredili duzinu vektora , moramo izracunati njegovu apsolutnu vrijednst:
3 2 = 3 2 3 2 2 9 12 4
9
k a b a b a b
k
k a b a a b b a ab b
π= +
= + + + = + + =
= ⋅ ( ) ( )
( )
2 3 212 124 2 cos 12 2 2 244 2
ab ab a b π = ⋅ = ⋅ ⋅ − = −2
2
122
36 8 20 20 2 524k k
+
= − + = ⇒ = =
+
( )
2 2
19. Odredi kut izmedju dijagonala paralelograma ABCD ako je 4 3 i
6 .Iz slike je vidljivo da je:
4 3 6 10 2 = 10 +2 104
6 4
AB a i j
AD b i j
AC a b i j i j i j AC
BD b a i j i
= = −
= = +
= + = − + + = − =
= − = + − ( )
( )
2 23 2 4 = 2 4 20
Iz skalarnog umnoska dobijemo: cos cos
10 2 2 4 20 8 12
12 12 3cos cos cos 74.74104 20 16 130 130
i i j j
j i j BD
a ba b a b ara b
AC BD AC BD AC BD
ar ar ar
ϕ ϕ
ϕ
− = + + =
⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =
⋅
⋅ = + = ⋅ + − ⋅ = − =
= = = =⋅
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 9
20. Vektori 7 5 i 3 , su medjusobno okomiti kao i 7 2 i 4 . Izracunaj kut
izmedju vektora i .
a b a b a b a b
a b
− + − −
( )( )( )( )
22
22
22
22
Iz uvjeta okomitosti: 7 5 3 7 5 21 15 =0 i
7 2 4 7 2 28 8 0 sredimo i zbrojimo
7 16 15 0
7 30 8 0 oduzmimo drugu od prve jednadzbe
46 23
a b a b a ab ab b
a b a b a ab ab b
a ab b
a ab b
ab
− + = − − −
− − = − − + =
+ − =
− + =
−2 2 21 10 cos cos 60
2 2b ab b ab a b bϕ ϕ= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
12
ϕ
( )( ) ( )22
21. Vektori i medjusobno su okomiti. Izracunaj faktor k ako je kut izmedju
vektora i , 120 i =2 .
Iz uvjeta okomitosti: 0 1 0
nakon zamjene =2 i
a kb a b
a b b a
a kb a b a k ab k b
b a
ϕ
+ −
=
+ − = ⇒ + − − =
( )
( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
cos120 2 0.5
21 4 0 1 4 = 2-5k 05
ab a b a a a
a k ab k a a k a k a a k
= = − = −
+ − − = ⇒ + − − − = ⇒ =
( )
2 2 2
2 2
22. Izracunaj i ako je poznat kut izmedju vektora , 60 i ako je
=5, =8.
= +2 15+2 +8 =109
= 109
= 2
a b a b a b
a b
a b a
a b
a b a
+ − =
+ ⋅
+
− − 2 22 +8 =695
= 69a b
− ⋅
−
2 22 2
2 22
cos 82
+2 =5
2 c s =o
b a b
b a b
ab a b
ab a b
ϕ
ϕ
+ = +
+ = − +
⋅ ⋅
5 182
⋅ ⋅
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 10
( )( )( )( )
( )( ) ( )
22 2 2
23. Izracunaj 4 2 3 ako je =2, =3 i kut izmedju i iznosi 120 .
4 2 3 8 +12 2 3 8 2 10 3 3
32 10 27
4 2 3 5 10 2 3 0.5 5 30 25
a b a b a b a b
a b a b a ab ab b
a b a b
− +
− + = − + = ⋅ + − ⋅ =
= − −
− + = − ⋅ ⋅ − = − = −
cos
ab
a b ϕ
2 1cos 2 5 523
ab
ab a b π = = ⋅ ⋅ − = −
( )
24. Zadani su vektori 3 2 i 7 4 . Dokazi da trokut ABC koji cine vektoripravokutan.
7 4 3 2 4 6
AB i j AC i j
BC AC AB i j i j i j
= − = +
= − = + − − = +
( )( )1 0 0 1
Iz uvjeta okomitosti: 0
3 2 4 6 12 18 8 12 12 12 0
Vektori su okomiti i trokut je pravokutan.
AB BC
AB BC i j i j ii ij ij jj
⋅ =
⋅ = − + = + − − = − =
( )
( ) ( )( ) ( ) 2
225. Zadani su vektori 17 i 3 uz 2, 5 i , . 3
Izracunaj koeficijent tako da vektori budu okomiti.
Iz uvjeta okomitosti: 0 17 3 0
17 3 3
m a b n a b a b a b
m n a b a b
a b a b a
πα
α
α
α α
= + = − = = =
⋅ = ⇒ + ⋅ − =
+ ⋅ − = − ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 251 17 3 2 51 17 5
68017 3 12 5 51 425 17 680 0 4017
ab ab b
a b a b
α α α
α α α α α
+ − = + − − ⋅
+ ⋅ − = + − − − = − = ⇒ = =
°
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 11
( )
( ) ( )
26. Zadani su vektori 2 1 i 2 . Izracunaj koeficijent tako da vektori budu okomiti.Iz uvjeta okomitosti:
0 0 2 1 1 1 2 0
3 3 1i i j j k k
a i j k b i j k
a b a b a b a b
α α
α α
α α
= + − − = + +
⋅ = ⇒ + + = ⇒ ⋅ + − ⋅ + − ⋅ =
= ⇒ =
α
( )( )
27. Vektor okomit je na vektore 2 i 2 . Izracunaj koeficijente i . Iz uvjeta okomitosti:
0 1 1 2 0
0 1 1 1i i j j k k
i i j j k k
a i j k b i j k c i j k
a b a b a b a b
a c a b a b a b
α βα β
α β
α
= + + = − + = − + +
⋅ = ⇒ + + = ⋅ + − + =
⋅ = ⇒ + + = ⋅ − + ⋅ 2 0
1 3 1Rijesimo te dvije jednadzbe: 1 2 05 5 5
β
α α β
+ =
− + = ⇒ = =
28. Izracunaj vektor koji je okomit na vektor 3 2 i vektor 4 3 .
Iz vektorskog umnoska imamo: = 3 1 2 4 1 3
Determinantu rijesimo skracenim postupkom
x y z
x y z
c a i j k b i
i j k i j kc axb a a a
b b b
= + − = − +
= = −−
j k
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
:
3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 4 2 3 1 1 4 1 2 3 34 1 3 4 1 3 4 1
17 7Sada mozemo ispitati okomitost parova vektora:
1 3 17 1 7 2 3 17 14 0
1 4i i j j k k
i i j j k k
i j k i j k i ji j k k i
i j k
c a c a c a c a
c b c b c b c b
− = − = + − + − − − − − − =− − −
= − −
⋅ = + + = ⋅ + − + − − = − + =
⋅ = + + = ⋅ + ( )( ) ( )17 1 7 3 4 17 21 0− − + − = + − =
j
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 12
29. Izracunaj povrsinu paralelograma odredjenog sa vektorima 3 2 i
2 .
Iz vektorskog umnoska imamo: = 3 2 1 1 1 2
Determinantu rijesimo skracenim post
x y z
x y z
a i j k
b i j k
i j k i j kc axb a a a
b b b
= − +
= − + −
= = −− −
( )( ) ( ) ( )( )
( ) 2 2 2
upkom:
3 2 1 3 2 1 3 2 2 2 1 1 1 2 1 1 11 1 2 1 1 2 1 1
3 2 3 5 = 3 5 1 = 35
Povrsina paralelograma iznosi 35 kvadratnih jedinica
i j k i j k i ji j k
j i j k axb
− = − − = − − + − + − − − ⋅− − − − −
− − = + + ⇒ + +
i −
( )1
2
30. Izracunaj kut izmedju dijagonala parelelograma kojeg cine vektori 2 i
3 .
Iz slike vidimo: 2 3 3 2
2 3 4
a i j k
b i j k
AC d a b i j k i j k i j
DB d a b i j k i j k i
= + −
= − +
= = + = + − + − + = −
= = − = + − − − + = +
1 2
1 2
2
Kut medju dijagonalama iznosi: sin
j k
d xd
d dϕ
−
=
( ) ( )
1 2
2 2 21 2
2 22 2 21 2
1 2
1 2
3 2 0 3 2 0 3 2 4 12 2 6 4 6 141 4 2 1 4 2 1 4
4 6 14 = 248
3 2 13 1 4 2 21
248 248 248sin = = arcsin =65.2813 21 273 273
i j k i j k i jd xd i k k j i j k
d xd
d d
d xd
d dϕ ϕ
= − = − − = + + + = + +− −
= + +
= + − = = + + − =
= ⇒ =
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 13
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
0
31. Izracunaj povrsinu parelelograma koji ima za dijagonale vektore i 3 4
i ako su i jedinicni vektori pod kutem od 30 .
12
= 3 4 3 4
d m n d m n
m n
d xdP
d d
d xd m n x m n mxm mx
ϕ
= − = −
=
= ⇒
− − = − ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
0
1 21 2
1 2
3 4 =
= 4 3
11 1 1 1 12sin 30 1 12 2 2 2 1 1 4
mxn
n nxm nxn
mxn nxm
d xdd xd mxn nxm n m P
d d
−
+ +
− +
= − = = = ⋅ ⋅ = ⇒ = = = ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00
32. Izracunaj povrsinu parelelograma koji ima stranice 2 i 3 i ako je 5 i 3 i kut medju njima 30 .
sin
2 3 3 2 6 3nx
a m n b m nm n
P axb a b
axb m n x m n mxm mxn nxm nxn mxn
α
ϕ
−
= + = −
= = =
= =
= + − = − + − = −( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3 2 5
m
nxm
axb nxm nxm nxm
+
= + =
( ) 1 755 5 sin 30 5 3 52 2
P axb nxm n m= = = = ⋅ ⋅ ⋅ =
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
33. Izracunaj ako je poznato: 3 2 i 2 3
i j k1 2 3 2 3 -1
3 1 2 i j k3 1 2 1 2 3
2 3 1
i 1 1 3 2 j 3 1 2 2 k 3 3 1 2 5 7 11
axb a i j k b i j k
c axb
c i
= − + = + −
−= = − = − + =
− −−
= − − − − ⋅ − − ⋅ + ⋅ − − = − + + kj
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 14
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
34. Izracunaj povrsinu trokuta sa vrhovima u A 2,3,5 , B(4,2,-1), C(3,6,4).1Povrsina trokuta jednaka je Stranice trokuta racunamo prema:2
AB 4 2 2 3 j 1 5 2 6
3 2 6 3 j 4
P axb
i k i j k
AC i
= ⇒
= − + − + − − = − −
= − + − + ( )
( )22 2
5 3
i j k1 6 2 6 2 11 1 1 2 1 6 i j k
3 1 1 1 1 32 2 21 3 1
1 1 119 4 7 19 4 7 4262 2 2
k i j k
P axb P
i j k P
− = + −
− − − − = = = − − = − + = − − −
= − + ⇒ = + − + =
35. Izracunaj volumen paralelopipeda sa stranicama 3 - ; 2 ; 5 4 .
Volumen prizme je jednak povrsini baze pomnozene sa visinom: Oznacimo li visinu sa vektorom a, tada je povrsin
a i j b j k c i j k= = + = +
( )
+
( )
a baze jednaka vektorskom produktu
vektora i .
Volumen iznosi: a Zamijenimo:
3 1 00 1 2 20 201 5 4
P ravilo vrijedi i kada
i j k
i j k i j k
i j k i j k
i j k
i j k
i j k
b c
i j k a a aV a b c b b b b b b
c c c c c c
a a aV a b c b b b
c c c
= ⋅ × ⇔ ⋅ =
−= ⋅ × = = = − =
( ) ( ) ( )vektori zamijene mjesta: a b c a b c c a b⋅ × = × ⋅ = ⋅ ×
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 15
36. Izracunaj jednadzbu plohe koja lezi na vrhovima radij-vektora. Vrhovi radij-vektora imaju koordinate: A(3,1,-2), B(-1,2,4), C(2,-1,-1).Vektori koji spajaju vrhove zadanih radij-vektora cine trokut
( )
1 2 2 1 1 3 3 1 1 1
1 1 2 1 3
1
koji lezi na trazenoj ravnini.
Oznacimo vektor, stranicu - ; - ; -
Posto vektori leze na ravnini, vrijedi: 0
-
a R R r r b R R r r c R R r r
R R R R R R
r r r
= = = = = =
⋅ × =
⋅ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 1 3 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
1 2 3
1
- - -
- - 0 - - -
- - -
Odredimo radij-vektore:
r r 3 2 r 2 4 r 2
- 3 -1
i j k
i j k
i j k
r r r r r r
r r r r r r r r r
r r r r r r
x x y y z zx x y y z zx x y y z z
xi yj zk i j k i j k i j k
r r x i y j
× = ⇔ ≡
− − −≡ − − −
− − −
= + + = + − = − + + = − +
= − + + ( )( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } { } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }
2 1
3 1
1 2 1 3 1
1 2 1 3 1
1 2 1 3 1
2
- 4 6
- 2 3
- - -
3 -1 2 4 6 2 3 0
- - - 3 -1 2 4 1 6 01 2 3
- - - 3 -1 2 15 6 9
z k
r r i j k
r r i j k
r r r r r r
x i y j z k i j k i j k
i j kr r r r r r x i y j z k
r r r r r r x i y j z k i j k
+
= − + +
= − − +
⋅ × =
= − + + + ⋅ − + + × − − + =
⋅ × = − + + + ⋅ − =− −
⋅ × = − + + + ⋅ + + =
( ) ( ) ( ){ } { } ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 1 2 1
0
3 -1 2 4 6 15 3 6 1 9 2 0
5 2 3 11 0 je trazena jednadzba ravnine.
Drugi nacin rjesavanja je koristenje ranije spomenute jednadzbe u obliku determinante:
x i y j z k i j k x y z
x y z
x x y y z zx x y y
− + + + ⋅ − + + ⇒ − + − + + =
+ + − =
− − −− −
( ) ( ) ( )
2 1
3 1 3 1 3 1
3 1 21 3 2 1 4 2 0
2 3 1 1 1 2
15 3 6 1 9 2 0 Jednadzba ravnine: 5 2 3 11 0
x y zz z
x x y y z z
x y z x y z
− − +− = − − − + =
− − − − − − +
− + − + + = ⇒ + + − =
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 16
1
2
37. Vektori 2 i 3 cine dijagnale pralelograma. Izracunaj kut medju dijagonalama.
Prva dijagonala: 2 3 3i 2 j
Druga dijagonala: 2 3
a i j k b i j k
d a b i j k i j k
d a b i j k i j
= + − = − +
= + = + − + − + = −
= − = + − − − +( )
( ) ( )1 2
1 2 2 22 2 21 2
2 2 21
4 2
3 2 0d 1 4 2
d sin sin = d d 3 2 1 4 2
4i+6j+14k 4 6 14 248 248sin tan 43.6213 21 273 273 273
k i j k
i j k
dd ab ϕ ϕ
ϕ ϕ −
= + −
−× −
× = ⇒ =+ − + + −
+ += = = ⇒ = = °
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
38. Zadani su vektori: ; 2 3 i 4 3 . Izracunaj: a ;
a i zakljuci jesu li ta dva produkta jednaka.
a 1 1 0 1 0 1 0 3 2 5 2 3 1
a 5
a i j b i j k c j k b c
b c
i j kb i j k i j k
b c i j
= + = − + = − × ×
× ×
× = = − − − + − − = − −−
× × = − −( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) (
( )
)
4 3 1 1 50 4 3
3 20 3 0 4 0 a 23 3 4
2 3 1 9 4 6 0 8 0 5 6 8 0 4 3
a 5 6 8 1 1 0 8 0 8 05 6 8
a 8 8
Za
i j kk j k
i j k b c i j k
i j kb c i j k i j k
i j kb c i j i j k i j k
b c i j k
× − = − − =−
= + − − − + − ⇒ × × = + +
× = − = − − − − + − = + +−
× × = + × + + = = − − − + −
× × = − +
( ) ( )kljucujemo da je : a ab c b c× × ≠ × ×
6 5
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 17
039. Izracunaj jedinicni vektor koji lezi na ravnini sto ga cine vektori i a okomit je na vektor a.
2 k ; 2 ; 2
Trazeni vektor: i j k lezi na ravx y z
p b
a i j b i j k c i j k
p p p p
= − + = + − = + −
= + +
( )
c
( ) ( ) ( )
nini koju cine a i . Znaci vrijedi:
0 0 1 2 1 01 1 2
4 1 2 1 1 2 3 0
Iz uvjeta slijedi: 0 2 1 1 0
Rijesimo sist
x y z x y z
x y z
x y z
x y z x y z
x x y y z z x y z
b
p p p p p pb c p b b b
c c c
p p p p p p p
p a p a a p a p a p p p p
× ⋅ = ⇔ = ⇒ − =−
= − + − − + + − = − + − =
⊥ ⋅ = ⇒ + + = − + =
2 2 2 2 2 20
0 0
3 0em jednadzbi : 0
2 1 1 0
Jedinicni vektor: 0 2 2
22
x y zx y
x y z
x y z y y y y
p p pp p
p p p
p p p p p p p p
j kp p
− + − = ⇒ = = − + =
= + + = + + = ⇒
+= ⇔ =
zp
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00
40. Za zadane vektore: 2 k ; 3 ; izracunaj a+
Zadatak mozemo izracunati na dva nacina:
1. a
a i j b i k c j k b b c c
a b b c c a b b c c c a b b c b c b b c
a
= − + = + = − + ×
+ + × = + × + × = + × = × + × =
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
1 2 1a 3 0 1
0 1 1
0 0 3 0 1 6 4
2. Uvedimo vektor: 2 2 4 2 2
2 2 3
Zamijenimo:
x y z
x y z
x y z
a a ab b c c b c b b b
c c c
u a b i j k i j k i j k
v b c i j k i j k i j
a b b c c u v
−+ + × = × = =
−
= − + − − − = −
= + = − + + + − = − +
= + = + − + + − = +
+ + × = ⋅ × ( )
( )
4 2 2 3 1 0
0 1 1
4 2 2 3 13 1 0 4 0 6 0 0 6 4
0 1 1
x y z
x y z
x y z
u u uc u v c v v v
c c c
u v c
−= ⋅ × = =
−
−⋅ × = − + + − − − = −
−
1 23 00 1
=−
4 2
0 1=
−
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 18
17.3 Opcenito o kvadratnim matricama
ijMatrica je uredjena tablica realnih brojeva. Sastoji se od elemenata a gdje je sa oznacen broj
retka a sa broj stupca. Kvadratna matrica drugog reda ima dva reda i dva stupca.
Matrica se oznacav
i
j
11 12
21 22
11 12
21 22
a na slijedeci nacin: A=
- je clan u prvom redu i prvom stupcu a - je clan u prvom redu i drugom stupcu - je clan u drugom redu i prvom stupcu a - je clan u drugom redu i dr
a aa a
aa
11 12 11 12
21 22 21 22
ugom stupcu
Matrica sa samo jednim stupcem naziva se vektor matrica: V=
Dvije matrice su jednake onda i samo onda ako su im odgovarajuci clanovi jednaki:
A= =
xyz
a a b bB
a a b b
( ) ( )
11 11 12 12 21 21 22 22
T T
T
, , ,
Transponirana matrica A , matrice A, se dobije tako, da se u matricu A upisu u redove clanovi
stupaca matrice A. Matrica A oblika postaje A oblikaTjiij
A B a b a b a b a b
A A mxn
⇒ = ⇒ = = = =
=
11 12 11 12 11 11 12 12
21 22 21 22 21 21 22 2
Zbroj matrica: Dvije matrice se zbrajaju tako, da se zbroje odgovarajuci clanovi matrice.
Rezultat se upisuje u matricu istog reda:
nxm
a a b b a b a ba a b b a b a b
+ + + = + + 2
11 12 11 12
21 22 21 22
Umnozak broja i matrice: Broj se mnozi matricom tako, da se svaki elemet matrice pomnozi sa
tim brojem. Rezultat je matrica istog reda:
Nul-matrica je m
a a a aa a a a
λ λλ
λ λ
=
0 0
atrica koja ima sve clanove jednake nuli. 00 0
Zbrajanje matrica istog reda, svodi se na poznate zakone zbrajanja uz uvjet, da se racunske operacije vrse sa istim clanovima matrice. Rezultat j
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
e uvijek matrica jednakog reda:A+BA B B A A B A B C A B C
A B A B A A A A Aλ λ λ λ µ λ µ λµ λ µ
+ = + − = + − + = + +
+ = + + = + =
11
Mnozenje matrica: Mnozenjem dviju matrica A i B dobije se opet matrica, C. Mnozenje se vrsi na slijedeci nacin:Prvi clan rezultantne matrice, c dobije se tako, da se clanovi prvog reda matrice A pom
12
noze skalarno sa prvim stupcem matrice B. Drugi clan c se dobije skalarnim mnozenjem prvog reda matrice A sa drugim stupcem matrice B, itd.
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 19
( ) ( )( ) ( )
11 12
21
11 12 12 1211 12
21 22
11 21 12 2211
22
12
11 21 1221 222 2221 221 22
Mnozenje matrica nije komutativno: AB nije jednako BARegularna ili invertibilna mat
a a a aa aa a a a
c b b b bb bb b b bcba a
ccb
+= = = = =
⋅+ +
+
-1 -1 1
rica je ona matrica za koju vrijedi: Ako nije invertibilna, matrica je singularnaInverzna matrica se oznacava sa A i zadovoljava uvjet: Inverzna matrica zadovoljava matricnu jedn
AB BA I
A A A A I−
= =
= ⋅ =adzbu
AX B= ( ) ( )-1 -1 -1 -1 -1 -1
Inverzna matrica za kvadratnu matricu drugog reda racuna se ovako:
1. Izracunamo determinantu detA i ako je A regularna, tj. detA 0, postoji inverzna matric
A A AX A B A A X A B X A B
a bA
c d
⇒ = ⇒ = ⇒ =
=
≠ -1
-1
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a A
12. Inverzna matrica jednaka je izrazu: Adet
Inverzna matrica za kvadratnu matricu treceg reda racuna se ovako:
1. Izracunamo determinantu de
d bc aAa a a
A a a aa a a
− = −
=
-1
22 2311
32 33
tA i ako je A regularna, tj. detA 0, postoji inverzna matrica A2. Izracunamo transponiranu maricu matrice A tako sto izracunamo pod-determinantu svakog
clana matrice A: Pdet Pdeta aa a
≠
=
21 23 21 22
12 1331 33 31 32
12 13 11 13 11 1221 22 23
32 33 31 33 31 32
12 13 11 13 11 1231 32 33
22 23 21 23 21 22
Pdet
a a Pdet Pdet Pdet
a a
Pdet Pdet Pdet
a a a aa a a a
a a a aa a a a
a a a a a aa a a a a a
= − =
= − = = −
= = − =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
-1
T
Pdet Pdet PdetTransponirana matrica ima oblik: Pdet Pdet Pdet
Pdet Pdet Pdet
13. Inverzna matrica jednaka je izrazu: Adet
4. A se dobije tako da se elementi matrice zami
T
T
T
A
AA
=
=
jene njesta preslikavanjem oko glavne dijagonalne osi.
B BAA ≠
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 20
17.4 Rjesavanje kvadratnih matrica
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1. Napisi matricu 3. reda kojoj je opci clan dan izrazom 1.
1 0 12 1 03 2 1
1 1 1 1 1 2 1 0 1 3 1 12 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1 03 1 1 3 3 2 1 2 3 3 1 1
ija i j
Aa a aa a aa a a
= − +
−
=
= − + = = − + = = − + = − = − + = = − + = = − + = ⇒ = − + = = − + = = − + =
( )( )
( )
1 2 3 2 1 11 2 2 1 3 12. Izracunaj
1 0 1 0 1 11 0 0 1 1 1
2 2 21 3 21 3 3 32 33. Izracunaj 6 4 83 2 2 46 4
33 3
4. Izracunaj
+ = + − =−+ = =
− + = − + =− −
− ⋅ − ⋅ − −− = =
−−− ⋅ − − ⋅
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 2 1 2 1 0 6 4 2 za A= 0 1 3 , 0 1 1 , 0 5 1
3 0 2 3 2 2 3 4 8
1 2 1 0 2 2 2 6 2 2 1 4 3 0 02 0 2 0 0 1 2 1 5 3 2 1 1 0 4 0
3 2 3 3 0 2 2 4 2 2 2 8 0 0 2
15. Izracunaj
A B C B C
A B C
+ − = − − = −
− −
+ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −
+ − = + ⋅ − + ⋅ − − − + ⋅ − − =
+ ⋅ − − − + ⋅ − + ⋅ − −
( )
3 31 0 4 0 1 60 0 1 4 6 7 83 2 2
1 0 0 1 0 8 3 3 1 1321 0 0 0 1 8
2 2
5 6 1 2 5 1 6 3 5 2 6 4 23 346. Izracunaj
7 8 3 4 7 1 8 3 7 2 8 4 31 46
− + ⋅ − + ⋅− + = =
− − −− − + ⋅ − − + ⋅
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= =
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 0 3 1 17. Izracunaj 1 1 2 2 1 4
2 3 1 2 5 3
1 3 2 2 0 2 1 1 2 1 0 5 1 1 2 4 0 3 1 3 71 3 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 4 2 3 1 10 112 3 3 2 1 2 2 1 3 1 1 5 2 1 3 4 1 3 10 6 17
−
− −
−
⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ −
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + + ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ = −
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ −
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 21
2
2
5 6 3 1 0 038. Izracunaj 5 3 ako je A= 2 1 0 1 0 jedinicna matrica2
0 0 13 1 2
35 5 6 2 3 3 5 6 6 3 1 5 3 6 1 3 25 6 3 5 6 3 23 3 3 3 3A 2 1 2 1 2 5 2 1 3 2 6 12 2 2 2 2
3 1 2 3 1 2
B A I I
A A
= − =
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +
2 2
31 2 3 1 1 22
33 5 1 2 2 3 3 6 1 2 1 3 3 1 1 2 22
46 42 27 46 42 27 1 0 0A 16 15.25 9.5 5 3 5 16 15.25 9.5 3 0 1 0
23 21.5 14 23 21.5 14 0 0 1
5 46 3 1 5 42 3 0 5 27 3
A A B A I
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = ⇒ = − = ⋅ − ⋅ =
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅=
227 210 1350 227 210 135293 955 16 3 0 5 15.25 3 1 5 9.5 3 0 80 73.25 47.5 804 2
5 23 3 0 5 21.5 3 0 5 14 3 1 115 107.5 67 215115 672
1 2 39. Izracunaj transponiranu matricu A za 1 0T A
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= −
11 2111 12 13
12 2221 22 23
13 23
21 1 1
1 2 3 1 1 11 0 2 2 0 1
1 1 1 3 2 1
3 12 0 1
10. Izracunaj 2A+B ako je A= 1 2 ,1 1 3
0 1
2 12 0 1
0 11 1 3
1 3
T
T
T
T
A
B
a aa a a
B B a aa a a
a a
−
− = − = − −
− = −
= = −= = = = = = = = − = = = =
3 1 2 1 8 12 2 1 2 0 1 2 5
0 1 1 3 1 5
TA B
−
+ = ⋅ − + = −
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 22
-1
2 311. Izracunaj inverznu matricu, matrice
1 2
Determinanta detA: det 2 2 3 1 4 3 1 0. Inverzna matrica postoji.
2 3 2 31 1Inverzna matrica A
1 2 1 2det 1
12. Izracunaj inve
A
A
d bc aA
=
= ⋅ − ⋅ = − = ≠
− − −= = =
− − −
-1
3 1rznu matricu, matrice
2 4
Determinanta detA: det 3 4 2 1 12 2 14 0.Inverzna matrica postoji.
2 14 11 1 7 14Inverzna matrica A2 3 1 3det 14
7 14
13. Izracunaj in
A
A
d bc aA
−=
= − ⋅ − ⋅ = − − = − ≠
−− −= = − =
− − −
( )
-1
2 3verznu matricu, matrice
1 4
Determinanta detA: det 2 4 3 1 8 3 11 0. Inverzna matrica postoji.
4 34 31 1 11 11Inverzna matrica A1 2 1 2det 11
11 11
14. Izracunaj inv
A
A
d bc aA
−=
= ⋅ − − ⋅ = + = ≠
−= = =
− −−
( ) ( )
( )
2 -
-1
2 1erznu matricu, matrice imaginatna jedinica, -1
0 1
Determinanta detA: det 2 1 0 2 2 2 2 2 1 0. A postoji.
12 11 11 1
Inverzna matrica A0 2det 2 1
iA i
i
A i i i i i i i i i
iid b i
c a iA i i
= =+
= ⋅ + − = + ⋅ = + = + ≠
+
+− + −= = =
− +
( )
1
( )( )( )
( )
( )( )
2
-1
12 2
20
2 1
11 1 1 12 2 2 1 2 2 1 1 2 4 A
12 1 00 012 1 1
sin cos15. Izracunaj inverznu matricu, matrice
cos sin
Determin
i i i
ii i
ii i i i ii i i i i i
iii i i
x xA
x x
−
+
+
+ + +⋅ ⋅ −− + − − += = =
++ +
=−
-1
anta detA: det sin sin cos cos 1 0. Inverzna matrica postoji.
sin cos sin cos1Inverzna matrica A 1
cos sin cos sindet
A x x x x
d b x x x xc a x x x xA
= ⋅ + = ≠
− − −= = =
−
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 23
-1 sin cos sin cos1Inverzna matrica A 1
cos sin cos sindet
d b x x x xc a x x x xA
− − −= = =
−
( )( )
22 2311
32 33
2 1
2 1 316. Izracunaj inverznu matricu, matrice 1 0 2
4 0 2
1 2Izracunajmo determinantu A: det det 1 2 2 8 10 0
4 24 2
Pod-determinante matrice izgleda
30 1
ju
ov
0
ako:
Pdet
A
A
a aa a
−
= −
−= − = − = + =
=
−
−
( )
( ) ( ){ }
( ){ }
21 2312
31 33
21 2213
31 32
12 1321
32 33
11 1322
31 33
0 20 2 2 0 0
0 2
1 2Pdet 1 2 2 4 10
4 2
1 0Pdet 1 0 0 4 0
4 0
a a 1 3Pdet 1 2 3 0 2
a a 0 2
Pdet
a aa a
a aa a
a aa a
−= = ⋅ − − ⋅ =
−= − = − = − ⋅ − − ⋅ = −
= = = ⋅ − ⋅ =
−= − = − = − − ⋅ = ⋅ = −
=
( ){ }
( )( )
( ){ }
11 1223
31 32
12 1331
22 23
11 1332
21 23
11 1233
21 22
2 32 2 3 4 8
4 2
2 1Pdet 2 0 1 4 4
4 0
1 3Pdet 1 2 3 0 2
0 2
2 3Pdet 2 2 3 1 7
1 2
Pdet
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
= = ⋅ − ⋅ = −
−= − = − = − ⋅ − − ⋅ = −
−= = = − − − ⋅ =
−
= − = − = − ⋅ − − ⋅ =−
=
( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T
2 12 0 1 1 1
1 0
Matrica prije transponiranja ima oblik:
Pdet Pdet Pdet 0 10 0Pdet Pdet Pdet 2 8 4Pdet Pdet Pdet 2 7 1
0 10 0Transponirajmo matricu A: A 2 8 4
2 7 1
A
−= = ⋅ − − ⋅ =
−
= = − −
−
= − −
0 28
01
40 7
1
T
−
−
= −
≠
2
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 24
-1 74
2 20
10 100 21 1 8
Inverzna matrica A 8 1det 10 10 10
0 1 4 10
10 10
210TA
A= = − =− −
−
−
−
7
22 2311
32 3
1 2 317. Izracunaj inverznu matricu, matrice 4 5 6
2 8 9
1 2 3 1 2Izracunajmo: det 4 5 6 4 5 1 5 9 2 6 2 3 4 8 3 5 2 1 6 8 2 4 9
2 8 9 2 8
det 15 0. Pod-determinante matrice izgledaju ovako:
Pdet
A
A
A
a aa a
=
= = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −
= ≠
=
{ }
{ }
3
21 2312
31 33
21 2213
31 32
12 1321
32 33
11 1322
31 33
5 645 48 3
8 9
4 6Pdet 36 12 24
2 9
4 5Pdet 32 10 22
2 8
a a 2 3Pdet 18 24 6
a a 8 9
1 3Pdet
2 9
a aa a
a aa a
a aa a
= = − = −
= − = − = − − = −
= = = − =
= − = − = − − =
= =
{ }
{ }
11 1223
31 32
12 1331
22 23
11 1332
21 23
11 1233
21 22
9 6 3
1 2Pdet 8 4 4
2 8
2 3Pdet 12 15 3
5 6
1 3Pdet 6 12 6
4 6
1 2Pdet 5 8 3
4 5
a aa a
a aa a
a aa a
a aa a
= − =
= − = − = − − = −
= = = − = −
= − = − = − − =
= = = − = −
⋅ ⋅ =
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 25
11 12 13
21 22 23
31 32 33
T
Matrica prije transponiranja ima oblik:
Pdet Pdet Pdet 3 24 22Pdet Pdet Pdet 6 3 4Pdet Pdet Pdet 3 6 3
3 22Transponirajmo m
24 34atricu
6 324 3 6
22 A : 3
3 36
6
T
A
− −
− −
= = −
− −
−
−
−−
− −
− =
4 3−
-1
3 6 3 1 2 315 15 15 5 5 5
1 1 24 3 2 8 1 A
det 15 15 15 15 5 5 522 4
3 6 324 3 6
3 22 410 15 15 15
22 4 3
15 5
TAA
− − −
= = = − = −
−
− −
−
−− −
−−
2
1
−
-1 -1
1
2 4 8 118. Rijesi matricnu jednadzbu ako je i
3 7 2 3
Rjesiti jednadzbu znaci: Odredimo naj prije A
722 4 7 41 1 2det det 14 12 2 0
3 7 3 2 3det 21
2
AX B A B
AX B X A B
d bA A
c aA−
= = =
= ⇒ =
−− −= = − = ≠ = = =
− −−
( ) ( )-1
7 7 7 52 8 2 2 1 2 3 248 12 2 2 2
3 2 3 3 3 31 8 1 2 1 1 3 10
2 2 2 2
X A B− ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ −
= = = =− − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −
1
1
2 1 3 2 -2 419. Rijesi matricnu jednadzbu ako je i C=
3 2 5 3 3 -1
Prvi korak rjesenja se svodi na:
2 1 2 1 2 11 1det det 4 3 1 0
3 2 3 2 3 2det 1
AXB C A B
AXB C XB A C
d bA A
c aA
−
−
−= = =
−
= ⇒ =
− −= = − = ≠ = = =
− − −
1
1
3 2 2 1 -2 4 4 3 8 1 7 95 3 3 2 3 -1 6 6 12 2 12 14
3 2 7 95 3 12 14
C
XB A C X
X X DC −
− − − − − + −= ⇒ = = =
− − + − − −
− −= ⇒ =
− −
−
D
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
Vektori i matrice 26
1
Inverzna matrica
7 9 7 3 9 5 7 2 9 3 24 1312 14 3 14 5 12 2 14 3 34 18
3 12 1 1
20. Pomnozi: AB= 2 1
31 0
X CD− − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅= = =
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − −
3 2 1 3 3 1 1 0 3 1 1 1 9 3 42 2 1 3 2 1 1 0 2 1 1 1 7 2 3
0 11 2 0 3 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
-1 13 2 3 2 3 21D : det 9 10 1 0
5 3 5 3 5 31
3 25 3 12
D D−− − −= = − = − ≠ ⇒
=
= =− − −−
