Универзитет Св.Климент Охридски – Битола

Рударски факултет- Прилеп

Семинарска работа по математика:

Тема: Вектори

Прилеп 2011

A

B

1. Вовед

1.1. Скаларни и векторски големини

Во математиката и природните науки се сретнувамесо два типа на големини :

Скаларни големини (скалари ) се големини што се определени само по својата бројна вредност.

Пример: должина на отсечка, волумен и маса на тело и др.Тие можат да бидат позитивни и негативни.

Вектори или векторски големини се големини кои покрај бројната вредност се определени со правец и насока.

Пример: сила, брзина, забрзуванје и др.Геометриски вектор претставува отсечка од права со определена

должина, правец и насока.Значи кај секој вектор се познати почетната и крајната точка.

На сликата е претставен вектор со определена

должина , неговата почетна точка е обележана со А а

последната со B.

Векторите графички ги прикажуваме со стрелка што почнуваат во почетната, а завршуваат во последната точка. Обично тие се обележуваат

со малите латински букви со стрелка над нив … или пак ги

пишуваме по ред почетната и крајната буква со стрелка над нив .Правецот на векторот од сликата е претставен со правата p која уште

се вика и носач на векторот, а насоката со стрелката во крајната точка.

Растојанието меѓу почетната и крајната точка се нарекува должина

на векторот и се обележува со . Должината на векторот се

вика апсолутна вредност, модул или интензитет на векторот.

Вектор со интензитет нула се вика нула вектор.Вектор чиј интензитет е единица се вика единичен вектор или орт.

1.2. Еднаквост и класификација на вектори

Два вектори се еднакви ако имаат ендакви должини и ист правец и насока.

Ако векторите имаат еднаков интензитет и правец, но спротивна насока тогаш тие се викаат спротивни вектори. (на сликата

Вектор за чиј почеток може да се земе било која точка од просторот се вика слободен вектор.

Два вектори кои лежат на иста права или на две паралелни прави велиме дека се колинеарни вектрои.

На сликата векторите се еднакви , се спротивни , а сите три вектори се колинеарни.

2. Линеарни операции со вектори

2.1. Графичко собирање на вектори

Правило на триаголник

Нека се дадени векторите , нивното собирање по грфички пат по правилото на триаголник се прави на следниот начин. На крајот од

векторот го нанесуваме почетокот на векторот . Векоторот се

добива со поврзување на почетната тока на векоторот , која точка ќе

претставува и почеток на збирниот вектор, и крајната точка на векторот .

Правило на паралеограм

Векторите ги нанесуваме во иста точка О. Над векторите

конструираме паралелограм OACB. Дијагоналата на овој паралелограм

претставува збира на векторите . Почетокот на тој вектор е во заедничкиот почеток на двата вектори.а завршетокот во спротивното теме на паралелограмот.

о

Правило на паралелопипед

Ова правило за собирање на векотри се користи ако се собираат

векотир кои не лежат во иста рамнина. На пример ако векторите лежат во различни рамнини тогас нивниот збир се добива така што тие се нанесуваат во иста точка и над нив конструираме паралелопипед. Векторот на паралелопипедот чиј почеток е во заедничкиот почеток на векторите а крај во спротивното теме на праралелопипедот е збир на трите вектори.

Правило на полигон

Ако се дадени конечен број на вектори

Ако на крајот на првиот вектор го надоврзиме вториот, на крајот на вториот го надоврзиме третиот и.т.н. се до последниот вектор. Ако почетокот на првиот векотор е поставен во точката О тогаш збитор на овие вектори ке претставува векоторот помеѓу почетната точка О и крајната точка на поледниот вектор.

2.2. Својства на собирањето на вектори

Комутативност

Асоцијативност

Неутрален елемент

За секој вектор постои еднозначно определен вектор таков што :

2.3. Одземање на вектори

Одземањето на вектори се извршува на ист начин како и

собирањето, така што разликата на векторите всушност претставува

збир на векотрите . Геометриски се определува како вектор

формиран меѓу крајните точки на векторите , кои се доведени до

заеднички почеток и со насока од крајот на векторот кон крајот на

векторот

2.4. Множење на вектор со број

Производот на векотроот со скаларот k е векотрот =

- интензитет

- правец кој е ист со правецот на векторот

- насоката е иста со насоката на векторот ако k>0, или е со спротивна

насока од ако k<0.

2.5. Својства на множењето на вектор со број

Операцијата на множење на векотро со број ги има следните својства:

; ; 0

- множењето на број со вектро е асоцијативно

- множењето на број со вектор е дистрибутивна операција во однос на збирот на броевите.

– множењето на вектор со број е

дистрибутивно и однос на збирот на вектори.

3. Множење на два вектори

Дефиницијa. Векторски производ на векторите е вектор кој се означува со :

Или тоа уште се обележува и како

Производот на овие два вектори е определен со :

Должина

Правец кој е нормален на рамнината во која лежат векторите

, односно и ;

насоката на таква што векторите , и образуваат десна тројка вектори, односно се однесуваат по правилото на десен винт (слика)

3.1. Својства на векторскиот производ

I. Векторскиот производ на два вектори е нула, ако и само ако еден од векторите е нула вектор или ако се тие колинеарни.

II. Интензитето на векторскиот производ е :

III. За производ на два вектори не важи комутативен закон

IV. За векторски производ важи асоцијативниот закон во однос на множење со скалар:

V. За векторскиот производ важи дистрибутивниот закон:

VI. Векторски производ на ортовите

за векторски производ на ортовите можи да се состави табелата :

0

0

0

3.2. Векторски производ во координати

Ако векторите се дадени со нивните правоаголни координати:

или

Тогаш е :

Користејќи се со најдените векторски производи за ортовите и со групирање на собироците од ист единичен вектор се добива :

Или во вид на детерминанта :

4. Содржина:

1. Вовед1.1. Скаларни и векторски големини1.2. Еднаквост и класификација на вектори

2. Линеарни операции со вектори2.1. Графичко собирање на вектори2.2. Својства на собирањето на вектори2.3. Одземање на вектори2.4. Множење на вектор со број2.5. Својства на множењето на вектор со број

3. Множење на два вектори3.1. Својства на векторскиот производ3.2. Векторски производ во координати

4.

5. Литература:Скрипта по математикаИнтернет