Predavanje 2 - VEKTORI

8/17/2019 Predavanje 2 - VEKTORI

1/34

KOLINEARNOST VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA

A

B

a

a

0

Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac. Dva vektora i su kolinearni ako i

samo ako je za neko

, . 0, R ab

a

b

z y x bbbb ,,

z y x aaaa ,,

z y x z y x aaabbb ,,,, ab

z

z

y

y

x

x

a

b

a

b

a

b Uslov kolinearnosti dva vektora


2/34

PRIMER

)3,2,1( a

)6,4,2( b

Vektori

Su kolinearni zato što je

23

6

2

4

1

2

)3,2,1( a

)3,4,2( b

Vektori

nisu kolinearni zato što je

3

3

2

4

1

2


3/34

Odrediti vrednosti parametre i tako da su vektori

kolinearni.

)2,3,( a

i ),6,4( b

4,223

64

PRIMER


4/34

Ugao izmedju dva vektora je ugao za koji treba zarotirati jedan od njih da bi se poklopio po pravcu I smeru sa drugim vektorom.

a

b

a

b

),( ba

),( ab

UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA


5/34

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA

Skalarni proizvod dva

vektora i

je skalar, koji je jedanak proizvodu intenziteta vektora i kosinusa ugla izmedju njih.

a

b

ba

O

x

y

z

A

a

B

b

cos baba

a

b


6/34

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA

O

x

y

z

A

a

B

b

cos baba

Osobine skalarnog proizvoda

abba

bababa

cabacba

022

aaaa

00 aaa


7/34

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA

O x

y

z

A

a

B

b

z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

z z y y x x babababa

k a jaiaa z y x

k b jbibb z y x

1 0 0

0 1 0 0 0 1

i

j

k

i

j

k


8/34

PRIMER

)2,1,1( a

)4,1,1( b

84)2()1(111 ba

)2,5,1( a

)4,1,1( b

124)2()1(511 ba

)2,2,1( a

)3,1,1( b

33)2()1()2(11 ba

Izračunati skalarni proizvod datih vektora:


9/34

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐USLOV ORTOGONALNOSTI DVA VEKTORA

O

x

y

z

A

a

B

b

cos baba

Dva nenula vektora su ortogonalni ako I samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli.

0900 ba

z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

00 z z y y x x babababa

Uslov ortogonalnosti vektora zadatih pomoću koordinata


10/34

)2,3,3(a

)3,6,4( b

Vektori

Su ortogonalni zato sto je

061812)3(2634)3( ba

)2,3,3(a

)2,6,4( b

Vektori

nisu ortogonalni zato sto je

0241812)2(2634)3( ba

PRIMER


11/34

)2,3,( a

),6,4( b

3

PRIMER

Odrediti vrednost parametra tako da su vektori

ortogonalni. i

02634 ba

0 baba

0186


12/34

SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA

O

x

y

z

A

a

B

b

ba

ba

cos

z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

z z y y x x babababa

cos baba

222222cos

z y x z y x

z z y y x x

bbbaaa

bababa


13/34

PRIMER

Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. OB je dijagonala donje osnove te kocke. Odrediti kosinus ugla izmedju vektora i

1a

OA OB

i

j

k

O x

y

z

C

A

E

D B

a

xa

ya

za )1,1,1(OAa

)0,1,1(OBb

2b

3a

ba

ba

cos

3

6

32

011111cos


14/34

PRIMER

)1,0,1(a

)1,1,0( b

Odrediti ugao izmedju vektora i .

ba

ba

cos

21

221

1)1(010111)1(001cos 222222

0

603


15/34

ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA

O

x

y

z

a

B

b

bort aaab

cosPr bbbort

0Pr ab

A

A


16/34

ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA

O x

y

z

a

B

b

bort aaab

cosPr bbbort

0Pr ab

A A


17/34

VEKTORSKI PROIZVOD

a

b

bac

Vektorski proizvod vektora i je vektor

čiji je intezitet jednak površini paralelograma konstruisanog nad

vektorima i ,

pravac normalan na ravan odredjenu tim vektorima,

a smer je takav da vektori

, , čine trijedar iste orjentacije kao i koordinatni sistem.

bac

a

b

a

b

a

b

c


18/34

VEKTORSKI PROIZVOD

bac

bababacP

,sin

bcac

,a

b

P


19/34

VEKTORSKI PROIZVOD ‐OSOBINE

a

b

bac

baab

bababa

cabacba


20/34

VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE

i

j

k

0

0

0

i

i

j

j

k

k

k

k

j

j

i

i

i

j

k

z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

k a jaiaa z y x

k b jbibb z y x

x y y x x z z x y z z y z y x z y x

babak baba jbabaibak b jbibk a jaiaba


21/34

VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE

z y x

z y x

y x

y x

z x

z x

z y

z y

bbb

aaa

k ji

bbaak

bbaa j

bbaaiba

y x

y x

z x

z x

z y

z y

z y x

z y xbb

aak

bb

aa j

bb

aai

bbb

aaa

k ji

ba


22/34

Izracunati determinantu, drugog I treceg reda

191072243

312

13

21

14

232

143

231

212

5)3(34)1(43

31

221222112221

1211

aaaaaa

aa

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

333231

232221

131211

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA


23/34

PRIMER

a

b

bac

Izračunati vektorski proizvod vektora

)2,1,1( a

)0,1,1(b

11

11

01

21

01

21

011

211

k ji

k ji

ba

jiba

22

)0,2,2( ba


24/34

PRIMER

Za date vektore )2,1,1( a

)2,0,1(b

)1,4,2( ba

01

11

21

21

20

21

201

211 k ji

k ji

ba

k jiba

42

)1,4,2()1,4,2( baab

Izračunati i . ba

ab


25/34

PRIMER

Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima:

a

b

P

)2,5,1( a

)2,0,1( b

201

251

k jiba

k iba

510 )5,0,10( ba

01

51

21

21

20

25k jiba

55125)5(010 222 baP


26/34

PRIMER

a

b

P

Izračunati površinu trougla konstruisanog nad datim vektorima:

)2,5,1( a

)2,0,1( b

201

251

k jiba

k iba

510 )5,0,10( ba

01

51

21

21

20

25k jiba

2

55125

2

1)5(010

2

1

2

1 222 baP


27/34

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA

Mašoviti proizvod tri vektora

je skalarni proizvod

vektora i vektora :

cba

,,

ba

c

cbacba

)(],,[

O

a

b

c

V H Bcbacbacba cos,,


28/34

Mešoviti prozvod tri vektora je skalar, čija je apsolutna vrednost jednaka zapremini paralelopipeda

konstruisanog nad tim vektoraima.

Znak mešovitog proizvoda označava orjentaciju trijedra koji grade ti vektori u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. Pozitivan rezultat označava da

je trijedar orjentisan isto kao i koordinatni sistem, a negativan rezultat označava da je njegova orjentacija suprotna od orjentacije koordinatnog sistema.

cba

,,



29/34


Cikličkom permutacijom vektora, vrednost mešovitog proizvoda se ne menja.

bacacbcba

)()()(

],,[],,[],,[ bacacbcba


30/34


z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

z y x cccc ,,

z y x

z y x

z y x

ccc

bbb

aaa

cba ],,[


31/34

Tri vektora su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli.

cba

,,

0)(],,[ cbacba

USLOV KOMPLANARNOSTI TRI VEKTORA

MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA – USLOV KOMPLANARNOSTI

0],,[

z y x

z y x

z y x

cccbbb

aaa

cba

z y x aaaa ,,

z y x bbbb ,,

z y x cccc ,,


32/34

PRIMER

)2,2,2( b

)1,2,1( a

)1,2,0( c

2],,[ cba

Vektori

su nekomplanarni zato sto je

02682221

22112

120

222

121

],,[

cba

)3,2,1( a

)2,3,2( b

)1,1,3(c

021165],,[ cba

Vektori

su komplanarni zato sto je

13

323

13

222

11

231

113

232

321

)(],,[

cbacba


33/34

O

a

b

c

PRIMER

Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima

)2,1,1( a

)0,1,1(b

)0,2,1(c

63221

112],,[

cba

i odrediti orjentaciju u odnosu na orjentaciju

koordinatnog sistema.

Trijedar suprotne orjentacije u odnosu na koordinatni sistem.

021

011

211

)(],,[

cbacba

66],,[ cbaV

06],,[ cba

cba

,,


34/34

PRIMER

O a

b

c

],,[ cbaV peda paralelopi

],,[3

1

3

1

3

1cbaV BH V

peda paralelopi piramide

BH V peda paralelopi

],,[6

1

6

1

2

1

3

1

3

11

cbaV BH H BV peda paralelopitetraedra

O a

b

c

Documents

Predavanje 2 - VEKTORI