Upload
veljko
View
236
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematika
Citation preview
1
4. Linearni modeli i matrična
algebra� Prednosti matrične algebre:
1. Sažet način pisanja sistema jednačina;
2. Dovodi do načina provjere postojanja rješenja računanjem determinante (usko povezana sa pojmom matrice)
3. Daje metodu pronalaženja rješenja (ako postoji)
4. Široka primjena ne samo u statičkoj već i u komparativnostatičkoj i dinamičkoj analizi)
� Ograničenje: može se primijeniti samo na sistemelinearnih jednačina – koliko linearne j-ne mogu opisati stvarne ekonomske veze?
2
• Nelinearna funkcija se može transformisati u linearnu: b
axy = xbay logloglog +=
3
4.1 Matrice i vektori� Tržišni model dva dobra, nakon eliminisanja varijabli
količina, može se napisati kao sistem 2 linearne j-ne:
� Uopšte, sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih:
02211
02211
χχχ −=+
−=+
PP
cPcPc
mnmnmm
nn
nn
dxaxaxa
dxaxaxa
dxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
....
...
...
2211
22222121
11212111
4
� Matrice kao šeme3 dijela: skup koeficijenata aij, skup varijabli x1,...,xn i skup konstanti d1,...,dm
Pr.
Matrica – pravougaona šema (tabela) brojeva, parametara ili varijabliElementi matrice – članovi šeme. Kod sistema: A matrica koeficijenata uz
nepoznate, x- matrica nepoznatih i d- matrica (kolona) slobodnih članova
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
...
21
22221
11211
=
nx
x
x
x...
2
1
=
md
d
d
d...
2
1
1054
1224
2236
321
321
321
=+−
=−+
=++
xxx
xxx
xxx
−
−=
514
241
136
A
=
3
2
1
x
x
x
x
=
10
12
22
d
5
• Vektori kao specijalne matrice
Broj vrsta i kolona u matrici definišu tip (red) matrice
pr. Matrica A ima m vrsta i n kolona, pa je tipa m*n (m puta n)
Ako je m=n, u pitanju je kvadratna matrica reda n (npr, 3*3)
Ako matrica sadrži samo jednu kolonu, zove se vektor kolona
(analogno i vektor vrsta)
Vektor – jedna uređena n-torka – tačka n-dimenzionog prostora
Matrica m*n – uređeni skup m vektora vrsta i n vektora kolona
Ax=d
[ ]nxxxx ...21'=
6
4.2 Operacije s matricama
Za dvije matrice i kažemo da su jednake akko imaju isti tip i akko imaju identične elemente na odgovarajućim mjestima u šemi (A=B akko je aij=bij za sve vrijednosti i i j)
Pr.
� Sabiranje i oduzimanje matrica
Dvije matrice možemo sabirati akko imaju isti tip.
Sabiranje se definiše kao sabiranje svakog para odgovarajućih el.
Pr.
[ ]ijaA = [ ]ijbB =
≠
=
34
02
02
34
02
34
=
4
7
y
x
4
7
=
=
y
x
=
++
++=
+
82
96
7102
0924
70
02
12
94
7
++
++
++
=
+
32323131
22222121
12121111
3231
2221
1211
3231
2221
1211
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
[ ] [ ] [ ]ijijij cba =+
[ ] [ ] [ ]ijijij dba =−
ijijij bac +=
ijijij bad −=
Množenje skalaromPomnožiti matricu brojem – skalarom – znači pomnožiti svaki njen element zadanim skalarom.
−=
−
350
721
50
137
8
� Množenje matricaUslov za množenje dvije matrice A i B je da broj kolona matrice A
(vodeće matrice) mora biti jednak broju vrsta matrice B (krajnje matrice).
Pr.
Uopšteno, ako je A tipa m*n i B tipa p*q, AB će biti definisan akko je n=p. AB će biti tipa m*q.
Postupak množenja:Svaki element matrice C je zbir proizvoda elemenata i-te vrste vodeće
matrice A i odgovarajućih elemenata j-te kolone krajnje matrice B.
[ ]121121 aaA =×
=×
232221
13121132
bbb
bbbB
[ ]131211 cccCAB ==
2112111111 babac +=
9
2212121112 babac +=
10
Skalarni proizvod dva vektora – ako su zadata 2 vektora u i v, svaki sa n elemenata, npr. (u1, u2,..., un) i (v1, v2,..., vn), uređeni ili kao dvije vrste ili kao dvije kolone ili kao jedna vrsta i jedna kolona, njihov skalarni proizvod u*v
definiše se:
u*v=u1v1+u2v2+...+unvn
Skalarni proizvod dva vektora je skalar – suma proizvoda odgovarajućih elemenata (pr. Troškovi kupovine –vektor kupljenih količina n dobara i vektor njihovih cijena).
Element cij u matrici C=AB je, dakle, skalarni proizvod i-te vrste vodeće matrice A i j-te kolone krajnje matrice B.
11
Primjer
=× 64
5322A
−=× 74
0122B
( )
( )
=
⋅+⋅⋅+−⋅
⋅+⋅⋅+−⋅=
4220
3517
76044614
75034513AB
• Pitanje dijeljenja
Matrice nije moguće dijeliti jednu s drugom. Ne može se pisati A/B.
Uvodi se pojam inverzne matrice o kojoj će kasnije biti riječi.
• Uzgred o oznaci ∑
Koristi se za kraći zapis sabiranja.
∑=
=++3
1321
j
jxxxx
12
4.3 O operacijama s vektorima
• Množenje vektora
Proizvod vektora kolone u tipa m*1 i vektora vrste v’ tipa 1*n je matrica uv’ tipa m*n.
Pr.
=
2
3u [ ]541'=v
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅=
1082
15123
524212
534313'uv
13
Geometrijska interpretacija operacija s vektorima
• Radijus vektor – orjentisana duž koja polazi iz koord.poč.
• (a) množenje vektora uskalarom k (k>1, 0<k<1, k=0)(b) množenje negativnim skalarom(c) sabiranje vektora(d) razlika vektora
• Linearna kombinacija vektora
14
Linearna zavisnost
• Skup vektora je linearno zavisan akko se bilo koji od njih može izraziti kao linearna kombinacija preostalih vektora. U protivnom su linearno nezavisni.
Pr.
=
7
21v
=
8
12v
=
5
43v
321 5
4
16
2
21
623 vvv =
=
−
=−
023 321 =−− vvv
=
0
00
15
• Skup n vektora v1, v2,..., vn je linearno zavisan akko postoji skup skalara k1, k2,..., kn (gdje je barem jedan različit od nule) takvih da je
• S druge strane, ako se ta j-na može zadovoljiti samo kad je ki=0, za svako i, onda su ti vektori linearno nezavisni.
• Geometrijski, zavisni vektori leže na jednom pravcu, a nezavisni ne.
• Zaključak: ako se u dvodimenzionom prostoru nađu dva nezavisna vektora u i v, onda se svi ostali vektori tog prostora mogu izraziti kao njihova linearna kombinacija.
• Svaki skup od barem tri dvodimenzionalna vektora mora biti linearno zavisan.
∑=
×=n
i
niivk1
10
16
Vektorski prostor
• Skup svih dvodimenzionih vektora koji generišu različite linearne kombinacije dva nezavisna vektora u i v čini dvodimenzioni vektorski prostor (R2).
• Dva linearno nezavisna vektora u i v čine jednu bazu
dvodimenzionog prostora. Npr, jedinični vektori [1,0] [0,1]
• Trodimenzionalni vektorski prostor
≡
0
0
1
1e
=
0
1
0
2e
=
1
0
0
3e
17
• Uopštenje: n-dimenzioni prostor je skup svih n-dimenzionih vektora (realnih brojeva) – Euklidski
prostor.
• Udaljenost između 2 vektora u i vili tačke (a1,a2,...,an) i (b1,b2,...,bn):
(za u=v)
(za u≠v)
(za w ≠u,v)
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )vwdwudvud
uvdvud
vud
,,,
0,,
0,
+≤
>=
=
( ) ( ) ( ) ( )2222
211 ..., nn bababavud −++−+−=
( ) ( ) ( )vuvuvud −−=',
18
Zakoni komutacije, asocijacije i distribucije
• U skalarnoj algebri operacije sabiranja i množenja zadovoljavaju zakone komutacije, asocijacije i distribucije:
Komutacija: a+b=b+a; ab=ba
Asocijacija: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)
Distribucija: a(b+c)=ab+ac
• Sabiranje matrica
Zakon komutacije A+B=B+A
Zakon asocijacije (A+B)+C=A+(B+C)
• Množenje matrica
Množenje nije komutativno: AB≠BA, ali množenje skalarom jeste kA=Ak
Zakon asocijacije (AB)C=A(BC)=ABC
Zakon distribucije A(B+C)=AB+AC (množenje s lijeva s A)
(B+C)A=BA+CA (množenje s desna s A)
qppnnm CBA ×××
19
Jedinična i nulta matrica
• Jedinična matrica je kvadratna matrica s jedinicama na glavnoj dijagonali i nulama na svim ostalim mjestima. Označava se sa I ili In, gdje je n red matrice.
• Igra sličnu ulogu kao skalar 1 u skalarnoj algebri: IA=A, AI=A
•
• Idempotentna matrica – matrica koja ostaje ista bez obzira koliko je puta pomnožimo sa samom sobom.
• Nula matrica – matrica čiji su svi elementi nule (ne mora biti kvadratna)
=
10
012I
=
100
010
001
3I
( ) pnnmpnmnnm BABAIBIA ××××× ==
20
Osobine matrične algebre
• Jednačina ab=0 ne implicira uvijek da je ili aili b jednako nuli.
• Jednačina cd=ce (c≠0) ne implicira da je d=e.
• To se javlja kod specijalne klase matrica – singularne matrice
(sadrže red koji je djelilac drugog reda).
000
00
21
42
21
42=
=
−
−
=AB
=
96
32C
=
21
11D
−=
23
12E
==
2415
85CECD
21
Transponovana i inverzna matrica
• Transponovana matrica matrice A – matrica kojoj su vrste kolone matrice A i kolone vrste matrice A. Označava se sa A’ ili AT.
• Svojstva transponovanja:
1. (A’)’=A
2. (A+B)’=A’+B’
3. (AB)’=B’A’
• Inverzna matrica postoji samo za kvadratnu matricu A. Označava se sa A-1 i zadovoljava uslov:
AA-1=A-1A=1
1. Svaka kvadratna matrica A nema inverznu matricu. Ako je ima, kaže sa da je A nesingularna ili regularna matrica. Ako nema, onda je A singularna.
22
2. Ako A-1 postoji, onda je njoj inverzna matrica A.
3. Ako je A reda n (tipa n*n), onda je i A-1 istog reda.
4. Ako inverzna matrica postoji, onda je ona jedinstvena. Dokaz.
5. Dva dijela uslova inverzne matrice, AA-1=I i A-1A=I impliciraju jedan drugog. I to se može dokazati.
Inverzna matrica i rješenje sistema linearnih jednačina
131333 ××× = dxA
dAAxA11 −−
= 1313313 ×
−×× = dAx