ВекториВектори та та їх їх властивостівластивості

Створили Створили Гурко Катерина та Гурко Катерина та

Зінченко ІринаЗінченко ІринаІсторична довідка

означення вектора

Рівні векториДовжина вектора

Додавання векторів

теорема

Способи побудови суми векторів

віднімання векторів

Множення вектора на число

Скалярний добуток векторів

задача

фото

Інтерес до векторів і векторного методу виник у математиків у Інтерес до векторів і векторного методу виник у математиків у

19ст. через потреби фізики й механіки. Але витоки числення з 19ст. через потреби фізики й механіки. Але витоки числення з напрямленими відрізками знаходимо ще в далекій давнині, в напрямленими відрізками знаходимо ще в далекій давнині, в роботах піфагорійців і геометричній теорії Евдокса (408-355 до роботах піфагорійців і геометричній теорії Евдокса (408-355 до н. е). У геометричному численні, що його виклав Евклід, н. е). У геометричному численні, що його виклав Евклід, додавання і віднімання чисел зводилося до відповідних додавання і віднімання чисел зводилося до відповідних операцій з відрізками, а множення - до побудови прямокутника операцій з відрізками, а множення - до побудови прямокутника зі сторонами, довжини яких дорівнюють множникам.зі сторонами, довжини яких дорівнюють множникам.

У 14-16 ст. геометрична алгебра через обмеженість засобів У 14-16 ст. геометрична алгебра через обмеженість засобів дослідження майже не розвивалася. Однак у дослідження майже не розвивалася. Однак у 1587р.фламандський учений Симон Стевін (1548-1620), 1587р.фламандський учений Симон Стевін (1548-1620), розглядаючи додавання двох сил у роботі “ Початки статики “, розглядаючи додавання двох сил у роботі “ Початки статики “, дійшов висновку, що для визначення рівнодійної слід дійшов висновку, що для визначення рівнодійної слід скористатися так званим “ паралелограмом сил “. Для скористатися так званим “ паралелограмом сил “. Для позначення сил Стевін першим увів відрізки зі стрілками. позначення сил Стевін першим увів відрізки зі стрілками. Значно пізніше, у 1803р., французький математик Луї Пуансо Значно пізніше, у 1803р., французький математик Луї Пуансо (1777-1859) розробив загальну теорію векторів, узагальнивши (1777-1859) розробив загальну теорію векторів, узагальнивши дослідження попередників.дослідження попередників.

назад

Вектор – це напрямлений відрізок Вектор – це напрямлений відрізок А а В А а В Нульовий вектор – це вектор початок и Нульовий вектор – це вектор початок и

кінець якого збігаютьсякінець якого збігаються

АА..А А

продовжень назад

Ненульові вектори називаютьсяНенульові вектори називаються колінеарнимиколінеарними, , якщо вони лежать на одній якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямихпрямій або на паралельних прямих. .

А В А В F F E E А ВА В Вектори АВ і СВектори АВ і СD D називаютьсяназиваються спів спів

напрямлениминапрямленими (або(або однаковооднаково напрямлениминапрямленими), якщо промені АВ і С), якщо промені АВ і СDD співнапрямлені .співнапрямлені .

Вектори АВ і СВектори АВ і СD D називаютьсяназиваються протилежно протилежно напрямлениминапрямленими, , якщо променякщо променіі АВ і С АВ і СDD протилежно напрямлені.протилежно напрямлені.

назад

Два вектори називаються Два вектори називаються рівнимирівними, якщо вони , якщо вони суміщаються паралельним перенесенням.суміщаються паралельним перенесенням.

Властивості й ознаки рівних векторів:Властивості й ознаки рівних векторів: 1)1) Рівні вектори співнапрямлені і мають рівні Рівні вектори співнапрямлені і мають рівні

довжини.довжини.2)Якщо вектори співнапрямлені мають рівні 2)Якщо вектори співнапрямлені мають рівні

довжини, то вони рівні.довжини, то вони рівні.3)Від будь-якої точки можна відкласти вектор 3)Від будь-якої точки можна відкласти вектор

що дорівнює даному, і притомущо дорівнює даному, і притому тільки один. тільки один.

назад

Довжиною вектора АВ називається Довжиною вектора АВ називається відрізок АВ , що зображає вектор.відрізок АВ , що зображає вектор.

Довжина вектора а ( а Довжина вектора а ( а ;; а а )) обчислюється обчислюється за формулою:за формулою:

а = а + а а = а + а

22

21

21

22

задачаназад

В С С1В С С1 Дано: АВСДано: АВС D –D – паралелогрампаралелограм А1ВС1А1ВС1D-D- паралелограм паралелограм Довести:АА1=С1СДовести:АА1=С1С А1 А А1 А DD

Доведення Доведення За правилом трикутника: За правилом трикутника: BC+CC1+C1D=BDBC+CC1+C1D=BD BA1+A1A+AD=BD BA1+A1A+AD=BD BC+CC1+C1D=BA1+A1A+AD.BC+CC1+C1D=BA1+A1A+AD.Оскільки АВСОскільки АВСD- D- паралелограм, то ВС=Апаралелограм, то ВС=АDDA1BC1D-A1BC1D- паралелограм, тому ВА1 паралелограм, тому ВА1==C1DC1D,тому СС1=А1А,тому СС1=А1А; AA1=C1C; AA1=C1CЩо й треба було довести.Що й треба було довести.

назад

Сумою векторів а(а1;а2) і Сумою векторів а(а1;а2) і b(b1;b2)b(b1;b2) називається вектор с(с1;с2) з називається вектор с(с1;с2) з координатами скоординатами с11==a1+b1, c2=a2+b2.a1+b1, c2=a2+b2.

Властивості додавання векторів:Властивості додавання векторів:Для будь-яких векторів а(а1;а2), Для будь-яких векторів а(а1;а2), b(b1;b2), b(b1;b2),

c(c1;c1):c(c1;c1):1)a+b=b1)a+b=b +a;+a;2)(a+b)+c=a2)(a+b)+c=a +(b+(b +c);+c);3)a+0=a3)a+0=a

назад

Для будь - яких точок Для будь - яких точок А,В і С справджується векторна рівність: А,В і С справджується векторна рівність:

АВ+ВС=АС. АВ+ВС=АС.

Доведення Доведення Нехай дано точки А(х1;у), В(х2;у2) і С(х3;у3). Виразивши координати Нехай дано точки А(х1;у), В(х2;у2) і С(х3;у3). Виразивши координати

векторів-доданків, маємо АВ(х2-х1;у2-у1), ВС(х3-х2;у3-у2). За векторів-доданків, маємо АВ(х2-х1;у2-у1), ВС(х3-х2;у3-у2). За означенням суми векторів для визначення координат вектора-суми означенням суми векторів для визначення координат вектора-суми додамо відповідні координати векторів АВ і ВС: додамо відповідні координати векторів АВ і ВС:

х2-х1+х3-х2=х3-х1, х2-х1+х3-х2=х3-х1, у2-у1+у3-у2=у3-у1. у2-у1+у3-у2=у3-у1. Отже, координати вектора-суми збігаються з координатами вектора Отже, координати вектора-суми збігаються з координатами вектора

АС, тобто вектори АВ+ВС і АС рівні. Теорему доведено.АС, тобто вектори АВ+ВС і АС рівні. Теорему доведено.

назад

А(х1;у1)А(х1;у1)С(х3;у3)С(х3;у3)

В(х2;у2)В(х2;у2)

назад

1) Правило трикутника: 2) Правило паралелограма:

3) Правило многокутника:

ab

a+b a

ba+b

bc

dk

f

A

B

Різницею векторів Різницею векторів aa (a(a1;а2) і 1;а2) і b (b1b (b1;;b2) b2) називається називається такий вектор с (с1;с2), який у сумі з вектором такий вектор с (с1;с2), який у сумі з вектором b b дає дає вектор а вектор а

Протилежними векторами Протилежними векторами називаються два протилежно називаються два протилежно

напрямлені вектори однакової довжини.напрямлені вектори однакової довжини.

назадзадача

aa

bb +c+c = а= а

bb

MM NNOO ..аа -- аа АА ВВ

a-ba-b

назадВВ

АА СС

xx≤

уу

хх х+ух+у

x +yx +y

Довести:Довести: хх уу

Дано: Дано: Вектори Вектори та їх властивості та їх властивості

ДоведенняДоведення 1) х і у не колінеарні. 1) х і у не колінеарні. х+у х + у , інакше трикутника не існує. х+у х + у , інакше трикутника не існує. 2) х у2) х у АВ= х+у, х + у = х + у АВ= х+у, х + у = х + у 3) х у АВ = х, ВС = у 3) х у АВ = х, ВС = у х + у = АС, х+у х + ух + у = АС, х+у х + у

АА хх уу ВВ

СС АА ВВххуу

назад

Добутком вектора Добутком вектора a(a1a(a1;а2) ;а2) на число на число k k називається називається вектор вектор ka=(ka1ka=(ka1;;ka2)ka2). .

Властивості множення вектора на число:Властивості множення вектора на число: Для будь-яких векторів Для будь-яких векторів a a іі b b та чисел та чисел kk,,mm:: 1) 1) ka= akka= ak;; 2) (km) a=k (ma)2) (km) a=k (ma);; 3) 3) k0=0k0=0;; 4) 0a=04) 0a=0;; 5) (k +m) a= ka +ma5) (k +m) a= ka +ma;; 6) k6) k (a(a +b)=ka+b)=ka +kb+kb;; Довжина вектора Довжина вектора ka ka дорівнює дорівнює k ak a . . Якщо аЯкщо а 0, то 0, то

вектор вектор ka ka співнапрямлений з вектором а за умови співнапрямлений з вектором а за умови kk 0 0 і протилежно напрямлений з вектором а за умови і протилежно напрямлений з вектором а за умови kk 00..

≠

Скалярним добутком Скалярним добутком векторіввекторів а(а1;а2) і а(а1;а2) і b(b1b(b1;;b2) b2) називається число називається число a1b1+a2b2a1b1+a2b2..

Властивості скалярного множення векторів: Властивості скалярного множення векторів: Для будь-яких векторів Для будь-яких векторів aa, , bb, с та число , с та число kk:: 1) 1) ab=baab=ba ; В ; В 2) (2) (ka) b=k (ab)ka) b=k (ab);; 3) (3) (a +b) c=ac+ bca +b) c=ac+ bc; ; A A C C Кутом між довільними ненульовими векторами Кутом між довільними ненульовими векторами aa і і b b

називається кут між векторами, що дорівнюють називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. даним і мають спільний початок.

Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: довжин на косинус кута між ними:

ab= a b cos (aab= a b cos (a,,b)b) назад

B B Дано: трикутник АВС Дано: трикутник АВС АА1-медіанаАА1-медіана ВВ1-медіанаВВ1-медіана СС1-медіана СС1-медіана

Довести: Довести:

Доведення Доведення А) АА1= (АВ+АС), ВВ1= (ВА+ВС), СС1= (СВ+СА); А) АА1= (АВ+АС), ВВ1= (ВА+ВС), СС1= (СВ+СА); АА1+ВВ1+СС1= (АВ+АС+ВА+ВС+СВ+СА)=0 АА1+ВВ1+СС1= (АВ+АС+ВА+ВС+СВ+СА)=0 Б)МА = А1А; МС= С1С; МВ = В1В Б)МА = А1А; МС= С1С; МВ = В1В МА+МС+МВ= (-АА1-ВВ1-СС1)=- (АА1+ВВ1+СС1)=0 МА+МС+МВ= (-АА1-ВВ1-СС1)=- (АА1+ВВ1+СС1)=0

назад

MM

CC AA

A1A1

B1B1

C1C1

АА1+ВВ1+СС1=0АА1+ВВ1+СС1=0 а)а)б) МА+МВ+МС=0б) МА+МВ+МС=0

2

12

1

2

1

2

1

3

23

2

3

2

3

23

2

назад