1NAIZMENINE STRUJEOsnovni pojmovi

Naizmenine struje i naponi su elektrine veliine koje tokom vremena menjaju smer.

Prema vremenskoj zavisnosti jaine struje, naizmenine struje se mogu podeliti na sledei nain:

Aperiodina naizmenina struja:

Prostoperiodina naizmenina struja: Sloenoperiodina naizmenina struja:

Periodine naizmenine struje i naponi su periodino promenjive veliine, to znai da nekeodreene vrednosti dobijaju periodino (naizmenino) u toku vremena, po emu su i dobile naziv.Najee koriene su prostoperiodine naizmenine struje, odnosno elektrine struje kod kojih jainastruje harmonijski osciluje i iji je intenzitet opisan sinusnom ili kosinusnom funkcijom.

Sinusoidna elektromotorna sila, na osnovu Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije, generiese u kalemu koji rotira u homogenom magnetnom polju.

2Princip rada alternatora

Principijalna ema generatora jednofazne naizmenine struje (alternatora) prikazana je na sledeojslici.

Gusto namotani pravougaoni kalem od N navojaka, ije su stranice dimenzija a i b, postavljen je uhomogeno magnetno polje indukcije B tako da je osa kalema 0-0 upravna na pravac polja. Krajevi kalemavezani su za klizne prstenove P1 i P2 koji su koncentrino postavljeni na osovinu kalema i rotiraju zajednosa njom, ali su izolovani jedan od drugog i od osovine. Klizni kontakti, koji naleu na prstenove, povezujuobrtni kalem sa spoljanjim delom elektrinog kola.

Kada se kalem obre oko svoje ose konstantnom ugaonom brzinom , u njemu se indukuje ems,koja se moe izraunati pomou opteg izraza:

dtd

e .

U trenutku kada normala na ravan kalema n ini ugao sa pravcem magnetnog polja, magnetnifluks u jednom pravougaonom navojku jednak je:

cos SB ,

gde je baS povrina jednog navojka. Referentni smer obilaenja po konturi odreen jepravilom desne zavojnice u odnosu na usvojenu normalu. Brzina promene fluksa jednaka je:

dtdSB

dtd sin ,

gde je dtd

ugaona brzina obrtanja kalema.

Ako se pretpostavi da je ugaona brzina konstantna i da je za 0t i 0 , moe se pisati t ,pa je indukovana ems u jednom navojku jednaka:

tSBdtd

e sino .Kalem ima N navojaka, koji su vezani na red, ukupna indukovana ems jednaka je:

tSBNeNe sino ,odnosno, indukovana ems je prostoperiodina, sinusna funkcija vremena.

3U prethodnom izrazu, veliina

SBNE mpredstavlja amplitudu ems. Prema tome, trenutna vrednost ems moe se napisati u obliku:

tEe sinm .Zavisnost indukovane ems od vremena prikazana je dijagramom na sledeoj slici.

Veliina

2T

predstavlja periodu prostoperiodine ems.

Prostoperiodine naizmenine veliine

Opti izraz za intenzitet prostoperiodine struje, prema usvojenom referentnom smeru i poetnomtrenutku, je:

tfItIti 2sinsin)( mmili

tfItIti 2sin2sin2)(gde su: i - trenutna vrednost prostoperiodine struje

Im - maksimalna vrednost (amplituda) prostoperiodine struje (uvek pozitivna veliina),I - efektivna vrednost prostoperiodine struje - kruna uestanost prostoperiodine struje,f - frekvencija prostoperiodine struje, t + - faza prostoperiodine struje, - faza prostoperiodine struje u trenutku t = 0 (poetna faza struje).

Amplituda naizmenine struje (Im) - mera ekstremnih vrednosti veliine

4Uestanost ( f ) i kruna uestanost ( ) - mera perioda ponavljanja promena

Struja je periodina sa periodom 2T .

Vae sledei odnosi: 2f

fT1

Poetna faza ( o ) - pokazuje poloaj sinusoide du vremenske ose, u odnosu na referentni poetnitrenutak posmatranja.

Ako dve naizmenine, prostoperiodine veliine nemaju istovremeno vrednost 0 i ekstremnevrednosti, kae se da nisu u fazi, da su fazno pomerene, odnosno da meu njima postoji fazna razlika.

Za primer na slici, kae se da struja i2 prethodi struji i1 za ugao , ili da struja i1 zaostaje za strujomi2 za ugao .

Isto vai i za napone.

51. Odrediti trenutnu vrednost struje i u trenutku kada protekne vreme t = 0,002s od poetka posmatranjaove struje, koja se menja po zakonu tIi sinm , gde je Im = 200 A, f = 50 Hz, = 45.Reenje:

tfIi 2sinm

45

180002,0502sin200ti [A]

4536sin200ti [A] 9sin200ti [A]156,0200t i [A]

3,31t i [A]

2. Odrediti amplitudu napona, ako se njegova promena u toku vremena moe prestaviti izrazom 6sinm tUu . Poznato je da je u = 200 V u trenutku t = 0.Reenje:

60sin200 m U [V]

V4005,0V200

30sinV200

6

sin

V200m U

V400m U

3. Amplituda naizmenine elektromotorne, sile koja se menja po sinusnom zakonu, iznosi 85 A, a njenauestanost 100 Hz. Odrediti trenutnu vrednost naizmenine elektromotorne sile nakon vremena 0,001 sod prolaska kroz nulu.

Reenje:

tEe sinmMoe se pretpostaviti da je trenutak prolaska kroz nulu

01 t : 0sin0 mE 0 ,

tEe sinm Za t2 = 0,001 s dobija se: 2m2 2sin tfEe

001,01002sin852 e

1802,0sin852e

36sin852eV502 e

64. Odrediti vremenski razmak izmeu pojava maksimalnih vrednosti napona, koji se menjaju pozakonima: 15sin1m1 tUu i 30sin2m2 tUu ako je frekvencija f = 50 Hz.

Reenje:

u1 dostie maksimum za: u2 dostie maksimum za:

115sin 1 t 130sin 2 t1

12sin 1

t 1

6sin 2

t

2121 t

262 t

125

1 t

32

2 t

1252 1 tf

322 2 tf

s1200

51 t s150

12 t

s00417,01 t s00668,02 t

s00251,012 ttt

7Efektivna i srednja vrednost naizmenine strujeNaizmenina struja menja smer i veliinu, te je teko praktino izmeriti njenu vrednost u ma kojem

trenutku. Meutim, njeno dejstvo se moe uporediti sa dejstvom jednosmerne struje. Najprostije jeuporediti njihovo toplotno dejstvo. Naime, naizmenina struja proizvodi odreenu koliinu toplote zaodreeno vreme, za isto vreme istu koliinu toplote proizvodi odreena jednosmerna struja, u istomotporniku. Zato se uvodi efektivna vrednost naizmenine struje i to kao veliina one jednosmerne strujekoja u odreenom vremenskom intervalu razvije istu koliinu toplote kao i posmatrana naizmenina strujau istom otporniku.

Ukoliko se usvoji da je to vreme jedan period i oznai ta jednosmerna struja sa I, onda je koliinatoplote razvijene u kolu otpornosti R jednaka:

TIRQ 2 . (1)

Kliina toplote, koja se u istom periodu vremena T, razvija pri proticanju odgovarajue naizmeninestruje jednaka je:

T

dttiRQ0

2)( . (2)

Izjednaavanjem (1) i (2) za efektivnu vrednost prostoperiodine naizmenine struje dobija se:

T

dttiT

I0

22 )(1 .

odnosno:

T

tdtIT

I0

22m

2 sin1

T

dttT

II

0

2m2

22cos1

Tt

tT

II

0

2m2

22sin

2

22sin

2

2m2 TTT

II

4sin422

m2

m2

TII

I

2

2m2 II

Efektivna vrednost sinusne naizmenine struje, prema tome, je: mm 707,02I

II

Na slian nain uvode se efektivne vrednosti elektromotorne sile:2mEE i napona

2mUU .

8Osim efektivne vrednosti, definie se i srednja vrednost naizmenine struje, na osnovu koliineelektriciteta koja protekne kroz popreni presek provodnika pri prolasku naizmenine struje

tiq .Za odreeni vremenski interval iji je poetak oznaen sa t1, a kraj sa t2, ukupna koliina

elektriciteta jednaka je:

21

)(t

t

dttiQ

odnosno, srednja vrednost struje definie se na sledei nain:

2

1

)(112

SR

t

t

dttitt

I .

Srednja vrednost sinusne struje za jedan odreeni vremenski period moe se definisati kao onavrednost jednosmerne struje, pri kojoj kroz presek provodnika, u definisanom vremenskom intervalu,protekne ista koliina elektriciteta kao i pri odgovarajuoj naizmeninoj struji, ija je to srednja vrednost.

Ako je struja, ili naizmenina veliina uopte, sinusna funkcija vremena, za vreme jednepoluperiode kroz presek provodnika protekne odreena koliina elektriciteta u jednom smeru, za vremesledee poluperiode ista tolika koliina elektriciteta u suprotnom smeru, pa je i otuda srednja vrednostprostoperiodine struje u toku cele periode jednaka nuli. Zbog toga se kod sinusnih i periodinih funkcijasrednja vrednost obino definie za vreme poluperiode, odnosno:

2

0SR )(2

1 T dttiT

I .

U sluaju sinusne zavisnosti od vremena bie

2

0mSR sin

2 T dtIT

I 2

0

mSR cos

2 Tt

TI

I

mmSR 637,02 III

Dobijena vrednost je neto manja od efektivne vrednosti, odnosno:II 9.0SR

Prema navedenoj definiciji, jasno je da je povrina pravougaonika osnove T/2 i visine ISR jednakapovrini izmeu sinusoide i dela apscisne ose od 0 do T/2.

9Opisivanje prostoperiodinih veliina

Prostoperiodinu veliinu odreuju sledei parametri: amplituda (efektivna vrednost), uestanost (kruna uestanost) i poetna faza.

U kolima prostoperiodine struje sve veliine imaju istu frekvenciju, odnosno, svaka naizmeninaprostoperiodina veliina opisana je sa dva parametra:1. amplitudom (efektivnom vrednou) i2. poetnom fazom.

Metode opisivanja naizmeninih veliina:o vremensko (trigonometrijsko),o fazorsko (geometrijsko) io kompleksno (aritmetiko).

Vremensko opisivanje prostoperiodinih veliina podrazumeva analitiki prikaz trigonometrijskimfunkcijama. Kao primer nedostatka primene ove metode u optem sluaju moe posluiti sabiranje dveprostoperiodine struje (Kirhofovi zakoni):

11m1 sin)( tIti 22m2 sin)( tIti)()()( 21 tititi

22m11m sinsin)( tItIti ]sincoscos[sin]sincoscos[sin 222m111m ttIttI

]sinsin[cos]coscos[sin 22m11m22m11m IItIIt

Fazorsko opisivanje prostoperiodinih veliina podrazumeva geometrijski prikaz vektorima. Usfernom koordinatnom sistemu, svakoj naizmeninoj veliini moe se jednoznano pridruiti jedan vektor(fazor) iji je intenzitet odreen efektivnom vredou prostoperiodine veliine, a iji je poloaj u odnosuna referentnu osu odreen poetnom fazom te veliine.

U ovom sluaju, reavanje sloenimh kolanaizmenine struje svodi se na svodi se na crtanje ireavanje fazorskog dijagrama. (Na primer, sabiranje dveprostoperiodine veliine svodi se na sabiranje dvavektora)

Kompleksno opisivanje prostoperiodinihveliina svodi se na prikaz fazora kompleksnimbrojevima. Svaki fazor u koordinatnom sistemupredstavlja se dvema svojim koordinatama,realnom i imaginarnom.

yx IjII sincos IjII

10

Prosto kolo sa termogenom otpornu R

Prosto kolo naizmenine struje sastoji se od izvora naizmenine elektrine struje i jednog potroaa.Neka je potroa termogena omska otpornost R.

)sin(m tIiiRu

)sin(m tIRu (1))sin(m tUu (2)

Uporeivanjem izraza, za efektivnu vrednost napona U i za faznu razliku napona i struje (ugao zakoji fazor napona prednjai u odnosu na struju) dobija se, respektivno:

mm IRU 2/IRU

0 NAPON I STRUJA SU U FAZI

Vremenski dijagram:

Fazorski dijagram:

11

Prosto kolo sa kalemom induktivnosti L

Neka se prosto kolo naizmenine struje sastoji od izvora naizmenine elektrine struje i kalemainduktivnosti L.

)sin(m tIi

dtdi

Lu LL

dttId

Lu))sin(( m

)cos( tLu)

2sin( tLu (1)

)sin(m tUu (2)mm ILU 2/

IXU L LX L

90 NAPON PREDNJAI U ODNOSU NA STRUJU ZA 90

Vremenski dijagram:

Fazorski dijagram:

12

Prosto kolo sa kondenzatorom kapacitivnosti C

Neka se prosto kolo naizmenine struje sastoji od izvora naizmenine elektrine struje i konenzatorakapacitivnosti C.

)sin(m tIi

dtduCi CC

t

idtC

u

0C

1

t

dttIC

u

0mC )sin(

1

)2

sin(1))cos((11C tCtCu (1)

)sin(m tUu (2)

mm

1 IC

U 2/

IXU C CX 1

C

90 NAPON ZAOSTAJE U ODNOSU NA STRUJU ZA 90

Vremenski dijagram:

Fazorski dijagram:

13

Veze izmeu napona i struje potroaa u prostim kolima naizmenine struje:

Vrsta elementa Trenutne vrednosti Efektivne vrednosti Fazni stav

R iRu IRU 0

LdtdiLu

IXU LLX L

90

CdtduCi

IXU C

CX

1C

90

14

Redno RLC strujno koloNeka su termogena omska otpornost R, kalem induktivnosti L i kondenzator kapacitivnosti C vezani

na red u strujno kolo kao na slici i neka je ems izvora: tEe m sin .Neka se pretpostavi da provodnici za vezu imaju zanemarljivo

malu otpornost, samoindukciju i kapacitet. Kroz kolo e tada teiizvesna naizmenina struja i, a ukupni pad napona u raspodelie sena R, L i C, odnosno svaki od njih e prouzrokovati odgovarajui padnapona: uR, uL, i uC, respektivno. U svakom trenutku vaie:

CLR uuuu .Ems izvora bie uravnoteena naponom u: tUu m sin .Struja u zatvorenom kolu bie: tIi m sin .Vai: iRu R

dtdiLu L t idtCdtdiLiRu 0

1.

tC idtCu 01

Zamenom prostoperiodinih funkcija za struju i napon, dobija se:

tICtILtIRtU mmmm cos1

cossinsin 2/

tICtILtIRtU cos1

cossinsin

Rastavljanjem sin i cos razlike uglova, dobija se: sinsincoscos

1sincoscossinsin

ttI

CLttIRtU

Grupisanjem i uporeivanjem lanova uz tsin i tcos , dobija se:I

CLRU

sin

1cos (1)

IC

LR

cos1

sin0 (2)

(1)2 + (2)2 IC

LRU

2

2 1

22 1

CLRZ

IZU Z - prividna otpornost (impedansa)

CLX

1- reaktivna otpornost (reaktansa)

LX L - induktivna otpornost (reaktansa)

CX C

1- kapacitivna otpornost (reaktansa)

Iz jednaine (2) R

XXR

CL

CL

1

tg

- fazna razlika rezultujueg napona istruje u kolu

15

5. Kalem induktivnosti 0,2 H i zanemarljive omske otpornosti prikljuen je na izvor naizmenine struje,iji je efektivni napon 100 V.a) Ako je frekvencija 30 Hz, izraunati struju u tako obrazovanom kolu.b) Kolika je struja u sluaju da frekvencija iznosi 500 Hz?

Reenje:

a) Hz30fLX L

LfX 2L 68,372,03014,32LX

A65,268,37

100L

XUI

b) Hz500fLX L

LfX 2L 6282,050014,32LX

A159,0628100

L

XUI

fI1

~ , odnosno sa poveanjem frekvencije, struja kroz kalem se smanjuje

6. Kondenzator kapaciteta 30 F prikljuen je na izvor naizmenine struje. Efektivna vrednost naponaiznosi 400 V, a frekvencija je 50 Hz. Odrediti:a) reaktansu kondenzatora ib) efektivnu vrednost struje u kolu.

Reenje:

a)C

X 1

C

CfX 21

C

10610305014,321

6CX

b) A77,3106400

C

XUI

16

7. Odrediti napon na prikljunicama kalema iji je aktivni otpor R = 5 , a reaktivni XL = 7 , ako jestruja kroz kalem data kao: i = Imsin( t+1), gde je Im = 9 A, 1 = 38,5.

Reenje:

6,875 222L2 XRZ

A4,62m II

V556,84,6 ZIU

4,157

tg L R

X 5,54 je fazna razlika napona i struje (odnosno ugao za koji napon prednjai u odnosu na struju).Neka su: 1 - poetna faza struje i 2 - poetna faza napona,bie: 12 odnosno: 935,545,3812

)sin( 2m tUu

)sin(2 2 tUu

]V[)93sin(78 0 tu

17

8. Odrediti struju u kolu ija je aktivna otpornost 8 , induktivna 4 , ako je na prikljunicama kolasinusni naizmenini napon efektivne vrednosti 128 V i poetne faze od 51.5.

Reenje:

94,82L2 XRZ

A3,1494,8

128 ZUI

5,084

tg L R

X 5,26Poetna faza napona: 5,512Fazna razlika napona i struje: 12 Poetna faza struje bie:

255,265,5121 )sin(2 1 tIi

]A[)25sin(2.20 ti

18

9. Omska otpornost od 50 vezana je redno sa kondenzatorom kapaciteta 40 F na naizmenini napon od230 V, frekvencije 50 Hz. Odrediti struju i njen fazni pomeraj prema primenjenom naponu.Nacrtati odgovarajui vektorski dijagram.

Reenje:1s3145014,322 f

5,79104031411

6C CX

92,93)5,79(50 222C2 XRZA45,2

92,93230

ZUI

59,150

5,79tg C

RX 58

Struja redne veze otpornika i kondenzatora fazno prethodi naponu za ugao 58 .Ako pretpostavimo da je poetna faza napona 0U , bie:

tUu sin2)sin(2 tIi

]A[)58sin(46,3 ti Vektorski dijagram struje i napona u kolu:

19

10. Sijalica sa metalnim vlaknom nominalne snage 750 W i napona 100 V vezuje se na red sakondenzatorom preko izvora ems 230 V, frekvencije 60 Hz, kao na slici. Odrediti:a) kapacitivnost kondenzatora,b) fazni pomeraj izmeu struje i napona napajanja.

Reenje:

a) IUP SS A5,7100750

S

S UP

I

35,135,7

100SS I

UR

2

S1

CR

EI

2

222

S1

IE

CR

76235,135,7

2301 22

22

S2

22

R

IE

C

5,271C

F0000965,05,27602

1 C

F5,96C

b)S

CtgRX

S

1

tgR

C

06,235,13

5,27tg

64