MA[INSKI FAKULTET UNIVERZITETA U NI[U KATEDRA ZA MEHANIKU Ispitni rok: decembarski (10 decembra) 2001 Predmetni nastavnik: Prof. dr. Katica (Stevanovi}) Hedrih, akademik Akademije nauka visokih {kola i univerziteta Ukrajine, akademik Akademije nelinearnih nauka - Moskva Predmetni asistent: Julijana Simonovi} dipl.ma{. ing Napomena: Kopirawe teksta re{ewa zadataka je dozvoqen samo za li~nu upotrebu studenata.. Autorska prava pripadaju predmetnom nastavniku i saradniku.

PISMENI DEO ISPITA IZ PREDMETA

ELASTODINAMIKA

ELASTODINAMIKA RE[ENJA

PRVI ZADATAK:

l,m l,m

l,mA B

O1 O2

ϕϕ

Slika 1

Sistem je, u prikazanom polo`aju, u ravnote`i i ima jedan stepen pokretljivosti pri prelasku u novu neravnote`nu konfiguraciju, zato ima jedan stepen slobode oscilovanja. Za generalisanu koordinatu usvojimo otklon {tapova AO1 i BO1 od

njihovog vertikalnog polo`aja, i taj ugao ozna~imo sa ϕ . Promena potencijalne energije sistema, pri njegovom izvodjenju iz ravnote`nog polo`aja, je: pABBpOApOp EEEE ++=

21=

2

222

21

41

41

ϕ

ϕϕϕ

mglE

mglmglmglE

p

p

=⇒

++=

Za male uglove zaokretenja od vertikale {tapova AO1 i BO1 , {tap AB vr{i translaciju, pa je

pABE ( )2

cos12ϕϕ mglmglmghT =−== ;

Promena potencijalne energije {tapa mase m je pozitivna, jer se vr{i negativan rad podizanja centra mase {tapa za

( )2

cos12ϕϕ llhT ≈−= .

Kineti~ka energija sistema je:

ksBkOAkOk EEEE ++=21

⇒ •

= 22

65 ϕmaEk ;

gde su:

••

== ;61

21 222

11ϕϕ mlJE OAkO

kineti~ka energija {tapa O1A, a JO1 je aksijalni moment inrcjie mase {tapa za osu obrtanja kroz O1: 2

31

1mlJO =

••

== ;61

21 222

22ϕϕ mlJE OBkO

kineti~ka energija {tapa O2A, gde je JO2 aksijalni moment inrcjie mase {tapa za osu obrtanja kroz O2: 2

31

2mlJO = ,

•

== 222

21

21 ϕmlmE vks ,

kineti~ka energija {tapa mase m , gde je ϕ&lv = brzina ta~ke A {tapa.

Lagrang-eova jedna~ina druge vrste za generalisanu koordinatu ϕ je:

0

02350

2

2

=+

=+⇒=∂

∂+

∂∂

−∂

∂

••

••

•

ϕωϕ

ϕϕϕϕϕ

mglmlEEE

dtd pkk

Kru`na frekvencija malih oscilacija sistema oko polo`aja stabilne ravnote`e onda je: lg

562 =ω .

Re{avanjem ove diferencijalne jedna~ine dobija se zakon oscilovanja u obliku:

tBtA ωωϕ sincos += ,

gde su A i B integracione konstante, koje odre|ujemo iz po~etnih uslova:

( )rad120πϕ =

i ( )srad /

480πϕ =& ,

odakle dobijamo:

120πϕ ==A i

glB

65

480 π

ωϕ

==&

Sada se dobija zakon oscilovanja u obliku:

+=

lgt

gl

lgt

56sin

65

56cos4

48πϕ ,

Za zadate vrednosti parametara sistema )(1 ml = i 2/81.9 smg = dobijamo zakon oscilovanja u obliku: tt 43.3sin019.043.3cos262.0 +=ϕ

kao i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje u obliku:

tt 43.3cos065.043.3sin899.0 +−=ϕ& tt 43.3sin224.043.3cos084.3 −−=ϕ&& ,

Kinemeti~ki dijagrami oscilatornog mehani~kog sistema prikazani su na slede}im slikama a* i b*:

a* b*

t t

ϕ ϕϕ& ϕ&ϕ&& ϕ&&

0 2 4 6 8 10

4

2

2

44

4−

f1 t( )

f2 t( )

f3 t( )

100 t

0 2 4 6 8 10

5

53.15

3.15−

g1 t( )

g2 t( )

g3 t( )

100 t

f1 t( ) 0.262 cos 3.43 t⋅( )⋅ 0.019 sin 3.43 t⋅( )⋅+:=

f2 t( ) 0.899− sin 3.43 t⋅( )⋅ 0.065 cos 3.43 t⋅( )⋅+:=

f3 t( ) 3.084− cos 3.43 t⋅( )⋅ 0.224 sin 3.43 t⋅( )⋅−:=

g1 t( ) πcos 2 t⋅ 3⋅( )

12⋅ π

sin 2 t⋅ 3⋅( )48 2⋅ 3⋅

⋅+:=

g2 t( ) 2 3⋅ π−sin 2 t⋅ 3⋅( )

12⋅ π

cos 2 t⋅ 3⋅( )48 2⋅ 3⋅

⋅+

:=

g3 t( ) 22− 3( )2

⋅ πcos 2 t⋅ 3⋅( )

⋅ πsin 2 t⋅ 3⋅( )

⋅+

:=

Na slici br. b* prikazan je dijagram za numeri~ke vrednosti kada je umesto “ta~ne” vrednosti za

ubrzanje zemljine te`e uzeta pribli`na vrednost [ ]2sec/10 mg ≈ , te je za kru`nu frekvenciju malih oscilacija sistema oko ravnote`nog polo`aja umesto [ ]1sec43,3 −=ω uzeta druga pribli`na vrednost [ ]1sec32 −=ω . DRUGI ZADATAK

Mehani~ki sistem prikazan tekstom i slikom formulisanog zadatka je slo`eno fizi~ko klatno. Prikazana konfiguracija delova sistema na slici odgovara polo`aju ravnote`e, za koji pretpostavljamo da je stabilan. Uslove te stabilnosti }emo kasnije odrediti, a sada to prihvatimo kao pretpostavku. Pod tom pretpostavkom mogu}e su male oscilacije tog sistema oko tog stabilnog polo`aja ravnote`e. Sistem ima dva stepena pokretljivosti, i to nas upu}uje na zaklju~ak da se radi o sistemu sa dva stepena slobode oscilovanja. Za generalisane koordinate biramo uglove ϕ1 i ϕ2 zaokretanja diska oko ose kroz zglob upravno na ravan diska, mere}i ugao ϕ1 kao otklon pre~nika od njegovog vertikalnog polo`aja u konfiguraciji ravnote`e, i otklon {tapa od njegovog vertikalnog polo`aja, obrtanjem oko relativnog pola-zgloba B .

Izraz za kineti~ku energjiu sistema, dobijamo sumiranjem ~lanova, koji odgovaraju kineti~koj energiji rotacije diska oko zgloba O ugaonom brzinom 1ϕ& , i kineti~koj energiji translacije {tapa brzinom centra masa Tv i kineti~koj energiji relativne rotacije {tapa oko ose kroz njegov centar masa T ugaonom

brzinom 2ϕ& sopstvenog obrtanja, te na osnovu toga: 21

22

22 ϕϕ && oTTk JJmvE ++= , gde su:

JT=3

)2(121 2

2 mllm = moment inercije mase {tapa za te`i{nu osu upravnu na ravan oscilovanja, a vT

brzina centra mase (te`i{ta) {tapa, koju odre|ujemo pomo}u komponenata u pravcima koordinatnih osa, kao:

222TTT yxv && += ,

Koordinate te`i{ta {tapa i njihovi izvodi su:

221121 coscos2;sinsin2 ϕϕϕϕϕϕ &&& llxllx TT +=+=

2211121 sin2sin22;coscos2 ϕϕϕϕϕϕ &&& llylly TT −−=+= . Na osnovu prethodnih izraza odre|ujemo:

)cos(44 212122

222

122 ϕϕϕϕϕϕ −++= &&&& lllvT

Kako smo uveli pretpostavku da se radi o malim oscilacijama sistema oko stabilnog ravnote`nog polo`aja, odnosno da su koordinate male, to posle razvijanja funkcije )cos( 21 ϕϕ − u Taylor-ov red u okolini nultih vrednosti generalisanih koordinata, koje odgovaraju polo`aju stabilne ravnote`e, i zanemarivanja kvadratnog i ostalih ~lanova vi{eg stepena od dva, kao malih veli~ina vi{eg reda prihvatljiva je aproksimacija 1)cos( 21 ≈−ϕϕ , sledi da je:

2122

222

122 44 ϕϕϕϕ &&&& lllvT ++≈ .

22220 322

212 mlmlmlmlJJ c =+=+= , je moment inercije mase diska za osu, kroz ta~ku O,

upravnu na ravan diska.

c C

2l

c

m,2l

B

O

ϕ1

ϕ2

2m,l

ll

l

Slika 2

Na osnovu prethodne analize dinamike delova sistema, za kineti~ku energiju celog sistema mo`emo da napi{emo slede}i izraz

)41221(

32 2

22121

2

ϕϕϕϕ &&&& ++=mlEk

koji je homogena kvadratna forma dve generalisane koordinate, jer sistem ima dva stepena slobode kretanja. Pomo}u te kvadratne forme, odnosno njenih koeficijenata sastavljamo matricu inercijskih koeficijenata, ranga dva puta dva, u slede}em obliku:

=

46621

3

2mlA .

Promena potencijalne energije sistema, pri izvodjenju sistema iz ravnote`nog polo`aja je rezultat promene potencijalne energije sistema usled spu{tanja centra masa diska i {tapa, i deformisanja opruga, koje su u polo`aju ravnote`e nenapregnute i mo`e se napisati u obliku:

pmmppCcpBcp EEEEE +++= 2 ,

Promena potencijalne energije {tapa je negativna, jer se centar mase {tapa spu{ta, sila te`ine {tapa vr{i pozitivan rad, ali se potencijal smanjuje, pa je:

[ ] )21(3 2

221 ϕϕ mglmglylmgE Tpm +−≈−−= ,

gde smo uzeli u obzir pribli`nu vrednost izraza u okolini nulte vrednosti argumenta

22sin2)cos1(

22

ϕϕϕ ≈=− .

Promena potencijalne energije opruge, usled njenog deformisanja sabijanjaem, a koja je vezana jednim krajem za zglob B, je:

21

2421 ϕlcE pBc = ,

a promena potencijalne energije opruge, takodje, usled njenog deformisanja sabijanjem, a koja je vezana jednim krajem u ta~ki C {tapa, je:

221

2 )(421 ϕϕ += lcE pCc .

Promena potencijalne energije diska koja je negativna, jer se centar mase diska spu{ta, je: [ ] 2

112 cos12 ϕϕ mglmglE mp −≈−−= ,

gde smo, tako|e, uzeli u pribli`nu vrednost izraza 22

sin2)cos1(2

2ϕϕ

ϕ ≈=− .

Sada, izraz za ukupnu promenu potencijalne energije izu~avanog sistema pri izvo|enju iz ravnote`nog polo`aja za male otklone, mo`emo napisati u slde}em obliku:

2122

222

12 4)2

21()42(2 ϕϕϕϕ clclmglclmglEp ++−++−= ,

i predstavlja homogenu kvadratnu formu generalisanih koordinata. Pomo}u koeficijenata uz kvadratne ~lanove te homogene kvadratne forme, sastavljamo matricu kvazielasti~nih i elasti~nih koeficijenata, ranga dva puta dva, jer sistem ina dva stepena slobode kretanja. Na osnovu toga pi{emo tu matricu :

−

−=

kk

cl44

4)2(42C

u kojoj smo radi jednostavnijeg pisanja uveli zadatu oznaku za kvazielasti~ni parametar sistema: clmgk = .

Kako smo u po~etku analize dinamike sistema, radi sastavljanja izraza za kineti~ku i potencijalnu energiju uveli pretpostavku da su u sistemu mogu}e male oscilacije oko stabilnog ravnote`nog polo`aja, kao i da je prikazan polo`aj stabilan, i na osnovu toga uveli pretpostavku da su generalisane koordinate male veli~ine i na osnovu toga uvodili aproksimacije izraza pomo}u Taylor-ovog razvoja funkcija koordinata u red i zadr`avanjem prvih ~lanova toga reda i zanemarivanjem ostalih ~lanova, da bi smo u izrazima za kineti~ku i potencijalnu energiju zadr`ali samo kvadratne ~lanove sa generalisanim koordinatama, odnosno napisali ih u obliku homogenih kvadratnih formi, to je potrebno da odredimo uslovo pod kojima je to dopu{teno i mogu}e ili nemogu}e. Zna~i da je potrebno odrediti uslove pod kojima je uspunjena pretpostavka o stabilnosti polo`aja ravnote`e, i dopu{tenost uvedenih aproksimacija pojedinih izraza odnosno opravdanost linearizacija koje smo izvodili. Da bi polo`aj ravnote`e bio stabilan, potrebno je da je izraz za potencijalnu energiju pozitivno definitna homogena forma generalisanih koordinata za vrednosti koordinata u dovoljno velikoj okolini posmatranog polo`aja ravnote`e, odnosno da sistem ima potencijalnu energiju sa lokalnim minimumom u polo`aju ravnote`e. To povla~i za sobom i zna~i da matrica kvazielasti~nih koeficijenata mora da zadovoljava uslov pozitivne definitnosti forme, koja joj odgovara, pa sledi da su uslovi, koje parametri sistema moraju zadovoljiti, da bi prikazani polo`aj bio polo`aj stabilne ravnote`e su:

( ) ( )∞+∪−∞−∈⇒>+−⇒>−

−<⇒>−<⇒>− ,5353,0460

44448

404,2048 2 kkkk

kikkkk ,

a presek ova tri skupa za parametar kvazielasti~nisti sistema k, daje vrednosti, koje k mo`e imati da bi polo`aj sistema bio satabilan:

( )53,0 −∈k . To se mo`e videti sa skice:

0 253 − )35( +

+

+ +

+

+ +

+

+

+

+

4

+

02 >− k

04 >− k

0462 >+− kk

Lagrange-eove jedna~ine druge vrste za generalisane koordinate ϕ1 i ϕ2 u matri~nom obliku su:

02

1

2

1 =

+

••

ϕϕ

ϕϕ

CA&&

;

Pretpostavimo re{enja uobliku:

( ) ( )

( ) ( )αωωϕαωϕ

αωωϕαωϕ

+−=+=

+−=+=

••

••

tAtA

tAtA

cos;cos

cos;cos

22

222

12

111;

Sada se sistem Lagrange- ovih jedna~ina, posle deljenja sa ( )αω +tcos , svodi na sistem homogenih algebarskih jedna~ina po nepoznatim amplitudama A1 i A2, koji se u matri~nom obliku mogu izraziti kao:

( ) 02

12 =

+−AA

CAω .

Da bi prethodni sistem homogenih algebarskih jedna~ina imao netrivijalna re{enja, potrebno je da determinanta sistema bude jednaka nuli. Iz tog uslova se dobija frekventna jedna~ina u obliku:

( ) 02 =−= AC 2ωωf

odnosno u razvijenom obliku:

04464

6421483

2

=−−−

−−−=

=

ukuuuk

cmuf ω ; ⇒ 048374682416 22 =+++−− ukukuk

Koreni ove frekventne jedna~ine su karakteristi~ni, sopstveni brojevi:

.3

6014241552961

9637

2417 2

22,1 c

mkkku ω=

+−±−=

pomo}u kojih odre|ujemo i sopstvene kru`ne frekvencije sistema:

.6014241552961

9637

241733 2

2,12

2,1

+−±−== kkkmcu

mcω

f1 k( )68 37.k−( )

96196

1552 424 k⋅− 601 k2⋅+( )+:=

f2 k( )68 37.k−( )

961−

961552 424 k⋅− 601 k2

⋅++:=

0 0.26 0.52 0.78 1.04 1.3

1

0.25

0.5

1.25

2

f1 k( )

f2 k( )

k

Sa nazna~enog dijagrama se vidi da jedan od korena frekventne jedna~ine postaje negativan, {to

zna~i da bi za vrednosti izvan intervala ( )53,0 −∈k kru`na frekvencija bila imaginarna, a to zna~i da bi polo`aj ravnote`e oko koga se vr{i kretanje bi nestabilan. Sa slike se vidi da kriva ozna~ena sa f2(k) pstaje negativna za krednosti 78,053 ≈−>k .

k

( )ku 2,1

( )53,0 −∈k

^ETVRTI ZADATAK: Najve}e uzdu`no pomeranje, koje je ostvareno pod dejstvom sile F u preseku na sredini raspona

konzole, u stanju stati~ke ravnote`e {tapa je: EAlw

20F

= . Zakon promene uzdu`nog pomeranja popre~nih

preseka za ovako ukle{ten {tap prikazan je na slici br. 4, u stati~kim uslovima aksijalnog naprezanja silom na polovini raspona konzolnog {tapa je:

2/l

A BC F

G,,, AE ρ

2/l

w w0

z

Slika 4

≤≤

≤≤===

lzlw

lzzlw

zfozww

2;

20;2

)(),(

0

0

0 (A*)

Parcijalna diferencijalna jedna~ina longitudunalnih oscilacija homogenog {tapa je:

( ) ( )ρEc

ztzwc

ttzw

=∂

∂=

∂∂ 2

2

22

2

2

,,,, (1)

gde je ( )tzw , uzdu`no pomeranje du` ose z {tapa.

Re{enje prethodne parcijalne diferencijalne jedna~ine uzdu`nih (longitudinalnih) oscilacija konzolnog {tapa predpostavljamo, prate}i ideju Danijel-a Bernoulli-ja u obliku proizvoda dveju funkcija:

)()(),( zZtTtzw = ,

koje smo odredili u slede}em obliku (vidi teoriju iz ud`benika D. Ra{kovi}: Teorija oscilacija):

tBtAtT nnnn ωω sincos)( +=

zCzCzZ λλ sincos)( 21 += , Sada je:

w(z,t)= ∑∞=

=

n

n 1sin(

ln

2)12( π−

z)[Ancosωnt+Bnsinωnt] ,

gde je

)2

)12(sin()( zl

nzZnπ−

=

sopstvena, ortogonalna funkcija za konzolni {tap, ukle{ten na jednom kraju, a slobodan na dugom kraju. Ona se dobija iz grani~nih uslova za takav oblik oslanjanja:

* uzdu`no pomeranje preseka u ukle{tenju je jednako nuli, dok je sila u preseku na slobodnom kraju jednaka nuli:

l

nlClZzwEAFlz

CZtwz

nlz

t 2)12(0cos)('0

00)0(0),0(0

2

1

πλλλ −=⇒==⇒=

∂∂

==

=⇒=⇒==

=

Po~etni uslovi su zadati pomo}u prethodnog naprezanja konzole: zatezanja konzole, u aksijalnom pravcu, silom raspodeljenom po pore~nom preseku na polovini raspona konzole, na osnovu ~ega smo dobili izraz (A*) , a iz uslova da su sve ta~ke konzole bile u miru u po~etnom trenutku, sledi da su po~etne brzine jednake nuli. Na osnovu toga po~etne uslove pi{emo u obliku:

Za t=0 sledi:

tw

∂∂

(z,0)=0= 02

)12(sin1

=⇒−

∑∞

=n

nn Bz

lnB π

;

≤≤

≤≤===

lzlw

lzzlw

zfozww

2;

20;2

)(),(

0

0

0

w(z,0)= Σ∞

=1nAnsin

lnπ

z=f(z)

Nepoznati koeficijenti partikularnog re{enja su:

An=

∫

∫−

−

l

l

zdzln

zdzlnzf

0

2

0

212sin

212sin)(

π

π

=l2

−+

−∫∫ zdz

lnwzdz

lnz

lw l

l

l

2)12(sin

2)12(sin

2

2/0

2/

0

0 ππ,odakle sledi:

=nA 4)12(sin

)12(16

220 π

π−

−n

nlw

=4

)12(sin)12(

822

2 ππ

−−

nnEAFl

I iz tih po~etnih uslova smo odredili nepoznate koeficijente razvoja pretpostavljenog re{enja. Zna~i da za zadate po~etne uslove zakon longitudinanih oscilacija ima oblik:

tEl

nzl

nnnEA

Fltzwn ρ

ππππ 2

)12(cos2

)12(sin4

)12(sin)12(

18),(1

22

2 −−−−

= ∑∞

=

Koriste}i analogiju izme|u longitudinalnih i torzijskih oscilacija homogenog vaqkastog {tapa datu slede}om tabelom:

Torzijske oscilacije

Longitudinalne oscilacije

θ(z,t) → w(z,t) G → E Jz → m

ct → c

I0 → A ρ → ρ

M → F 0GI=T → EA=A

direktno mo`emo pisati zakon torzijskih oscilacija vaqka posle prestanka dejstva na slobodnom kraju sprega momenta Mo :

tGnznnnGI

tzn ρ

ππππ

θll

l

2)12(cos

2)12(sin

4)12(sin

)12(18),(

122

0

2 −−−−

= ∑∞

=

0M

Za zadate konkretne dimenzije konzole i karatteristike materijala od koga je konzola: [ ]ml 3= i

[ ]24 /102 cmkNE ⋅= , [ ]33 /1085.7 mkg⋅=ρ odre|ujemo da je:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]11

33

2334

1 sec2643sec25,8415,504721085,7

/1010222

=⋅==

⋅

⋅⋅== πππ

ρπω m

mlmkgmN

lE

l

Prva za n=1 i tre}a za n=2 sopstvene kru`ne frekvencije kokim greda osciluje za zadate po~etne uslove osciluje su:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]11

33

2334

1 sec2643sec25,8415,504721085,7

/1010222

=⋅==

⋅

⋅⋅== πππ

ρπω m

mlmkgmN

lE

l

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]11

33

2334

5 sec13210sec25,84155,50472

51085,7

/1010222

5=⋅⋅==

⋅

⋅⋅== πππ

ρπω m

mlmkgmN

lE

l

Na slede}im grafi~kim prilozima, dsata je vizualizacija procesa longitudinalnih oscilacija konzolnog

{tapa. na prvoj i drugoj slici su date povr{i longitudinalnih pomeranja propre~nih preseka {tapa - njegovog

uzdu`nog oscilovanja. Koordinate svake od ta~aka tih povr{i predstavljaju longitudinalna pomeranja

popre~nih preseka {tapa w(z,t) , polo`aj preseka koordinatom z i vreme t.

Na slikama koje slede prikazane su dinami~ke povr{i promene uzdu`nih elongacija ( )tzw , popre~nih preseka u funkciji plo`aja preseka z od levog ukle{tenja za 0=z pa preko raspona do desnog slobodnog kraja za

l=z i trenutka vremena t za intervale vremena merene recipro~nim vrednostima kru`ne frekvencije

...3,2,1,1

=nnω .Sa povr{i se uo~avaju i grani~ni na levom kraju presek u ukle{tenju koji se ne pomera te je

( ) 0,0 =tw i presek na slobodnom kraju u ~ijim ta~kama je povr{inska sila jednaka nuli , te je

( ) ( ) 0,0, =∂∂

−= lwz

EAtzFe i po~etni uslovi: pomereni preseci od ukle{tenja do polovine rsapona po linearnom

zakonu, u funkciji rastojanja od ukle{tenja, i jednako pomereni svi ostali preseci od preseka na polovini konzole do njenog slobodnog kraja ( ) ( )zfzw =0, , i brzine u po~etnom trenutku jednake nuli {to se vidi iz

nagiba tangenti, odnosno tangencijalne ravni na tu povr{ u po~etnom trenutku: ( ) ( ) 00,==

∂∂ ztzw ϕ kako je

zadato na{im zadatkom, prethodnim aksijalnim zatezanjem {tapa raspodeljenim silama po popre~nom preseku na na sredini raspona. Presek u ukle{tenju prinudno miruje u svakom trenutku vremena {to se vidi sa prethodne, a i narednik vizuzlizacija procesa longitudinalnog oscilovanja..

N 40:= i 0 N..:= j 0 N..:=

xi 0 0.025 i⋅+:= y j 0 0.25 j⋅+:=

f x t,( )

1

40

n

sin 2 n⋅ 1−( )π

4⋅

sin 2 n⋅ 1−( ) π⋅x2

⋅

⋅cos 2 n⋅ 1−( ) t⋅[ ]

2 n⋅ 1−( )2⋅∑

=

:=

Mi j, f xi y j,( ):=

M M

( )tzw , ( )tzw ,

( ) ( )zfzw =0,

( ) 0,0 =tw ( ) 0,0 =tw

( ) ( )zfzw =0,

0=z 0=z

l=zl=zz

z

t t

N 40:= i 0 N..:= j 0 N..:=

xi 0 0.025 i⋅+:= t j 0 0.5 j⋅+:=

f x t,( )

1

80

n

sin 2 n⋅ 1−( )π

4⋅

sin 2 n⋅ 1−( ) π⋅x2

⋅

⋅cos 2 n⋅ 1−( ) t⋅[ ]

2 n⋅ 1−( )2⋅∑

=

:=

Mi j, f xi t j,( ):=

M

M

M

x1 0:= x216

:= x313

:= x412

:= x523

:= x656

:= x7 1:=

fi xi t,( )

1

50

n

sin 2 n⋅ 1−( )π

4⋅

sin 2 n⋅ 1−( ) π⋅xi2

⋅

⋅cos 2 n⋅ 1−( ) t⋅[ ]

2 n⋅ 1−( )2⋅∑

=

:=

0 5 10 15 201

0.5

0

0.5

10.618

0.618−

f1 x1 t,( )

f2 x2 t,( )

f3 x3 t,( )

f4 x4 t,( )

f5 x5 t,( )

f6 x6 t,( )

f7 x7 t,( )

200 t

0 5 10 15 201

0.5

0

0.5

10.618

0.618−

f2 x2 t,( )

f4 x4 t,( )

f7 x7 t,( )

200 t

0 5 10 15 200.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.30.206

0.206−

f1 x1 t,( )

f2 x2 t,( )

200 t

0 5 10 15 201

0.5

0

0.5

10.614

0.614−

f3 x3 t,( )

f4 x4 t,( )

200 t

0 5 10 15 201

0.5

0

0.5

10.618

0.618−

f5 x5 t,( )

f6 x6 t,( )

f7 x7 t,( )

200 t

t1 0:= t2 841.25π⋅:= t3 5 841.25⋅ π⋅:= t4 7 841.25⋅ π⋅:= t5 9 841.25⋅ π⋅:=

t6 15 841.25⋅ π⋅:= t7 17 2⋅ 841.25⋅ π⋅:= fi x t1,( )

1

50

n

sin 2 n⋅ 1−( )π

4⋅

sin 2 n⋅ 1−( ) π⋅x2

⋅

⋅cos 2 n⋅ 1−( ) ti⋅[ ]

2 n⋅ 1−( )2⋅∑

=

:=ti

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.5

0

0.5

11

1−

f1 x t1,( )

f2 x t2,( )

f3 x t3,( )

f4 x t4,( )

f5 x t5,( )

f6 x t6,( )

f7 x t7,( )

10 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

0.5

0

0.5

11

1−

f1 x t1,( )

f2 x t2,( )

f3 x t3,( )

f4 x t4,( )

f5 x t5,( )

f6 x t6,( )

f7 x t7,( )

10 x

An n( )sin 2 n⋅ 1−( )

π

4⋅

2 n⋅ 1−( )2:=

0 5 10 15 20 25 3010

5

0

5

1010

10−

An n( )

301− n

5 0 5 10 15 20 25 30

0.05

0

0.050.05

0.1−

An n( )

305− n