1. UVOD U MEHANIKU FLUIDA1.1. Pojam fluida i njegova podjelaMehanika vrstog i vrsto-elastinog tijela, kao to su otpornost materijala i teorija elastinosti, izuavaju problematiku onih materija koje se ne deformiu ili je njihova deformacija vrlo mala dok su smiue sile u dejstvu. Klasifikacija materije na bazi veliine dejstva smiuih napona i odgovarajue veliine deformacije dovodi do pojma fluida. U tom cilju se podsjetimo na pojmove napona i deformacije.Napon se definie kao granina vrijednost odnosa sile i povrine na koju djeluje ova sila, kada posmatrana povrina tei nuli:

Ako je sila normalna na povrinu, govorimo o normalnom naponu , a ako je tangencijalna, govorimo o smiuem naponu .Deformacija se definie kao promjena rastojanja izmeu dvije take u tijelu. Ako se posmatra apsolutna veliina ove promjene govori se o veliini deformacije, a ako se posmatra koliina ove promjene u jedinici vremena, govori se o brzini deformacije. Fluid se moe definisati kao materija koja se kontinualno deformie, tj. kree se, struji ili tee kada je podvrgnuta i najmanjem dejstvu smiuih napona.Prema ovoj definiciji fluida, tenosti i gasovi se mogu svrstati u fluide bez obzira na velike razlike u nekim njihovim fizikim svojstvima. Isti zakoni kretanja su primjenljivi za strujanje oba medija dokle god su pri tom strujanju dominantna ista fizika svojstva.Ovakav pristup izuavanja i klasifikacije materijala je doveo do razvoja nove fundamentalne inenjerske discipline: Reologije. Ona je podjednako interesantna za izuavanje vrstoelastinog i fluidnog tijela. Grafiki prikaz funkcionalnih relacija napona i brzine deformacije za odreeni broj reolokih materija je prikazan na slici 1.1.U optem sluaju, veza izmeu tangencijalnih napona i brzine deformacije se naziva krivom teenja materijala:

Kako se vidi, prema reolokom tretiranju materije, klasifikacija poinje od jednog idealnog ekstrema: Paskalove[footnoteRef:1] materije, koja ne posjeduje unutarnje trenje pa prema tome ni otpor dejstvu smiuih sila. Pretpostavke o neviskoznom, idealnom fluidu su uvedene u svrhu aproksimativnih analiza. [1: Blaise Pascal]

Njutnov[footnoteRef:2] fluid je materija kod koje je veza izmeu smiuih napona i brzine deformacije linearna. To su fluidi sa kojima se najee susreemo u praksi (voda, ulja i druge tenosti, zatim, vazduh i drugi gasovi). [2: Isaac Newton]

Nenjutnovi fluidi su materije kod kojih je veza izmeu smiuih napona i brzine deformacije nelinearna. Tu spadaju guste suspenzije: krv, med, rastvor gume i dr. Mada postoji razlika izmeu ovih fluida u pogledu relacije napon brzina deformacije, njutnovi i nenjutnovi fluidi posjeduju jedno zajedniko svojstvo koje ih karakterie kao fluide, a to je da se oni poinju deformisati i pri najmanjem dejstvu smiuih napona.

Slika 1.1.: Reoloka podjela materije Plastino tijelo je materija za koju je karakteristino da mora proi zonu elastinosti da bi prela u zonu plastinosti. Dok je dati element materije u zoni elastinosti, po prestanku dejstva smiuih napona element poprima prvobitni oblik. Ordinatna osa dijagrama predstavlja vrste elastine materije. Plastini materijali zahtijevaju neki poetni napon prije nego se ponu deformisati. To znai da se ne deformiu kontinualno pod dejstvom tangencijalnih napona te ne pripadaju kategoriji fluida.

Na prvi pogled, razlika izmeu tenosti i gasova je velika da bi se oni mogli nazvati fluidi. Razlog je to je masa po jedinici zapremine kod tenosti, obino, i do hiljadu puta vea nego kod gasova. Meutim, sa kinematske take gledita meu njima nema razlike. Mehanizam vjetra u niim slojevima atmosfere i mehanizam podvodnih strujanja u jezerima i morima principijelno se ne razlikuje i pored velike razlike u gustinama gasa i tenosti. Isto tako, pri kretanju tijela kroz vazduh ili tenost slika strujanja e biti ista. Iz tog razloga, projektovanje sistema ventilacije i sistema za razvod tenosti, gasa ili ulja u osnovi se ne razlikuju.Kako je god bila data veza izmeu vrstih i tenih materija, analogno se moe povui paralela izmeu disciplina koje ih izuavaju.Mehanika fluida ukljuuje izuavanje tenosti i gasova dokle god razlika u stiljivosti nije od dominantnog uticaja. Ako se relativno velika kompresibilnost fluida pojavi kao problem u analizi, onda termalni efekt igra dominantnu ulogu i problem nije vie problem mehanike fluida nego postaje problem termodinamike.Prema tome, mehanika fluida je disciplina koja izuava kontinuume koji se deformiu i pri najmanjem dejstvu smiuih sila i obuhvata vrlo irok dijapazon ponaanja materije, poevi od momenta koji nije vie od interesa za teoriju elastinosti i teoriju plastinosti, pa sve do momenta dok problem ne postane izrazito termodinamiki.Na bazi reoloke klasifikacije razlikujemo:Materija:Naziv materije prema geniju:

Neviskozan fluidPaskalova Blaise Pascal

Viskozan fluidStoksovaGeorge Gabriel Stokes

Viskozan elastian fluid (med, krv i sl.)MaksvelovaJames Clerk Maxwell

Elastino viskozno tijelo (katran i sl.)KelvinovaWilliam Thomson 1892.godine postaje Baron Kelvin of Largs, tj. Lord Kelvin

Elastino plastino tijeloHukovaRobert Hooke

vrsto (kruto) tijeloEuklidovaEuclid of Alexandria

Iz istorijata razvoja mehanike fluidaFilozofi i matematiari, koji su prouavanju prirode problema prilazili sa stanovita kvalitativne analize (zato? i kako?), su formirali disciplinu pod imenom mehanika fluida.Sa druge strane, praktiari i inenjeri koje je interesovao kvantitativni aspekt problema (koliko?) formirali su disciplinu pod imenom hidraulika.Prvi su za rjeavanje problema koristili matematske metode, a drugi su se oslanjali na iskustvo i empiriju.Nadalje, prvi, da bi rijeili matematski postavljen problem, su esto morali uzimati takve pretpostavke koje su ih udaljavale od realnosti, tako da se mehanika fluida udaljavala od onoga to je trebala biti.Drugi, u cilju dobivanja kvantitativnih rezultata, nisu ulazili u uzroke pojave. Probleme su rjeavali upotrebom empirijskih koeficijenata, tako da je hidraulika dobila i svoj ne zvanini naziv nauka o koeficijentima.Divergencija izmeu ove dvije discipline jedne te iste nauke je dostigla kulminaciju krajem pretprolog i poetkom prolog vijeka. Primjer za ovo je da su pri rjeavanju jednog te istog problema ove dvije discipline davale potpuno kontradiktorna rjeenja (npr. otpor tijela u fluidu, uzgon i cirkulacija).Krajem XIX vijeka pojavile su se tendencije zbliavanja ovih disciplina. Tako je pobornik teoretskog tretiranja problema , engleski fiziar Osborn Rejnolds[footnoteRef:3] osjetio potrebu da postojee teorije o kretanju fluida vie priblii realnosti, odnosno da teoriju koriguje eksperimentalnim rezultatima. [3: Osborne Reynolds]

Ruski naunik Nikolaj Jegorovi ukovski usmjerava teoriju potencijalnog strujanja fluida prema rjeavanju inenjerskih problema.Sa druge strane, inenjeri, kao Viliam Frud[footnoteRef:4], postavljaju korelacije izmeu eksperimentalnih injenica i teoretskog razmatranja. [4: William Froude]

Tek poetkom prolog vijeka Ludvig Prandtl[footnoteRef:5], njemaki naunik, sa svojom teorijom graninog sloja objedinjava ova shvatanja, a hidraulika i mehanika fluida nalaze jezik sporazumijevanja i tijesnu saradnju u rjeavanju inenjerskih problema. Rjeenja postaju primjenljiva i imaju odgovarajuu fiziku interpretaciju. Zato se kao osniva moderne nauke o kretanju fluida, koja se danas pojavljuje pod razliitim imenima: Mehanika fluida , Nauka o strujanju, Teorijska hidraulika, itd., smatra Ludvig Prandtl sa zaslunim sinonimom Otac moderne mehanike fluida; kojoj je na prvom mjestu zadatak, pri rjeavanju problema, da odgovori na pitanja zato? i kako?, a zatim i na pitanje koliko?. [5: Ludwig Prandtl]

1.2. Fizika svojstva fluida1.2.1. Pojam kontinuumaFluidi, kao i sve ostale materije, posjeduju submikroskopsku strukturu u kojoj su elementarni dijelovi u neprekidnom pokretu kroz relativno veliki prazan prostor. Meutim, pri rjeavanju problema kretanja mase fluida, molekularna struktura fluida se zanemaruje (kretanje molekula nije od interesa). Istina, o njoj se vodi rauna u izuzetnim sluajevima, kao to je sluaj rjeavanja problema pri vrlo niskim pritiscima.Osnovna pretpostavka je da fluidni medij u potpunosti ispunjava prostor izabranog elementa i posjeduje inercijska i druga fizika svojstva, ija je posljedica da su pored fizikih svojstava tog medija, isto tako, kinematske i dinamike veliine neprekidne funkcije prostornih koordinata take. Ovo su svojstva tijela koje, u stvari, ne postoji i rezultat su potrebe za uprotenjem prirode problema u cilju lake analize i aplikacije rezultata. Zbog navedenih pretpostavljenih svojstava takvih tijela ona se nazivaju neprekidne sredine, odnosno kontinuumi. Izuavanje njihovog ponaanja spada u posebnu disciplinu - Mehaniku neprekidnih sredina - u koju spada i mehanika fluida. Njena osnovna postavka je:Umjesto take posmatra se elementarna zapremina, element fluida. Element je dovoljno velik i u sebi sadri vei broj molekula tako da su njegova fizika i kinematskodinamika svojstva odraz srednjeg efekta molekula u njemu. Sa druge strane, on je dovoljno malen da se, kao na diferencijalno malu veliinu, na njega u cijelosti moe primijeniti princip diferencijalnog rauna. Smatrajui ga kao redukovanu zapreminu u kojoj je masa molekula kontinuirano rasporeena bez praznog meuprostora, onda se i sva njegova svojstva kontinuirano mijenjaju ili su konstantna unutar posmatrane zapremine.Putem statistike analize veeg broja uzoraka uzetih iz posmatranog medija vee zapremine, pri konstantnoj temperaturi i pritisku, ova hipoteza o kontinuumu se moe i grafiki prikazati, kao na slici 1.2., gdje je:

Ukoliko se izabere manji uzorak onda postoji i manja vjerovatnoa da e on sadravati molekule.Kako su molekule u stalnom pokretu mogue je da se dobije dovoljno malen uzorak, bez molekula. S druge strane, neki drugi uzorak iste veliine moe u sebi sadrati izvjestan broj molekula. Prema tome, koliina mase u datoj zapremini varira sa poloajem i vremenom. Za tako izabranu malu zapreminu uzoraka je nemogue ustanoviti konstantnu vrijednost odnosa mase i zapremine. Ovo je sluaj, ako je izabrana elementarna zapremina veliine unutar zone efekta molekula, kao to je pokazano na slici 1.2.

Slika 1.2.: Grafiki prikaz hipoteze o kontinuumu Ukoliko se zapremina uzorka povea onda e svaki uzorak u sebi sadravati glavninu molekula prvobitnog uzorka, tako da oni postaju sve homogeniji. Poveanjem zapremine, broj molekula po jedinici zapremine se smanjuje i zato se masa po jedinici zapremine asimptotski pribliava konstantnoj vrijednosti. Zapremina predstavlja minimalnu zapreminu fluidnog elementa koji zadovoljava uslove neprekidne sredine, u kojoj molekule ne izraavaju svoje individualne karakteristike. Ova zapremina se naziva granica neprekidne sredine ili kontinuuma.Ako se konstantnost mase po jedinici zapremine (gustina) kontinuuma, za sve zapremine vee od granice neprekidne sredine, odraava za ma kako izabranu zapreminu po obliku i njenom poloaju u kontinuumu, onda je takav kontinuum homogen. Ako pak dolazi do promjene gustine poveanjem izabrane zapremine preko neke veliine , postoji prostorna promjena gustine to odraava nehomogenost posmatranog kontinuuma, i on se moe poveati ili smanjiti zavisno od medija.Osnovni uslov za posmatranje fluida kao kontinuuma je da karakteristina veliina posmatranog elementa fluida bude mnogo vea od srednje vrijednosti slobodne putanje molekula.1.2.2. GustinaGustina je fiziko svojstvo fluida koja se definie kao granina vrijednost odnosa mase i zapremine koja u sebi sadri ovu masu, kada posmatrana zapremina tei nuli, tj.(1.1.)

Dimenzija gustine je:

Gustina se mijenja sa pritiskom i temperaturom prema jednaini stanja. Sve ove veliine kao zavisno promjenljive, u najoptijem sluaju, se mogu mijenjati od take do take, a u posmatranoj taki i u toku vremena, tako da se u najoptijem sluaju moe napisati da je gustina zavisno promjenljiva funkcija koordinata take i vremena, tj.:

U velikom broju problema je i ovaj dio mehanike fluida e biti prouavan.1.2.3. Specifina teinaDejstvo sila gravitacije na jedinicu zapremine fluida predstavlja teinu jedinice zapremine, zapreminsku ili specifinu teinu:(1.2.)

Dimenzija je:

Iako je poznata kao skalarna veliina, specifina teina je sutinski vektor sa smjerom dejstva u smjeru ubrzanja Zemljine tee.Njena vrijednost u odnosu na neku referentnu veliinu se naziva relativna specifina teina . Obino se kao referentna specifina teina uzima specifina teina vode pri normalnom stanju. Prema definiciji slijedi da je relativna specifina teina bezdimenzionalni broj.1.2.4. Stiljivost ElastinostSvaki fluid u manjoj ili veoj mjeri pokazuje svojstvo stiljivosti, odnosno elastinosti. To je svojstvo fluida da pod dejstvom normalnih povrinskih sila mijenja svoju zapreminu. Po prestanku dejstva ovih sila posmatrana zapremina poprima prvobitnu veliinu. Relativna zapreminska promjena () uslijed promjene pritiska je mjera stiljivosti fluida i naziva se koeficijent stiljivosti:(1.3.)

Znak minus u izrazu 1.3. pokazuje da smanjenju pritiska odgovara poveanje zapremine i obratno.Promjena zapremine je uzrok promjeni gustine, pa iz zakona o odranju mase slijedi:

(1.4.)

Na ovaj nain je definisana mjera elastinosti fluida preko modula elastinosti, izraz 1.4. Modul elastinosti je reciprona vrijednost koeficijenta stiljivosti i predstavlja relativnu promjenu gustine uslijed promjene normalnih sila.Njutnov obrazac za brzinu prostiranja zvuka u homogenoj sredini glasi:

Stiljivost fluida se moe zanemarit u sluajevima gdje je brzina zvuka velika, a strujni prostor mali.Elastinost, odnosno stiljivost fluida je zanemarljiva ako je brzina strujanja znatno manja od brzine prostiranja zvuka u datoj sredini. U vazduhu je brzina zvuka , a u vodi 1.2.5. ViskozitetMehanika fluida kao mehanika kontinuuma zanemaruje submikroskopsku strukturu materije, koja je osnova za fiziku interpretaciju viskoziteta kao iskljuivog svojstva fluida. Pri haotinom kretanju prelazei iz jedne zone, molekule sa sobom prenose termodinamike karakteristike (definisane stanjem kretanja molekula), predajui ih zoni u koju dolaze. Isti mehanizam prenosa se odigrava i u suprotnom smjeru, kao i svim ostalim pravcima i smjerovima. Ovaj haotini proces mijeanja na nivou molekula se naziva molekularna difuzija i predstavlja osnovu transportnih procesa (mase, toplote i koliine kretanja) u fluidu.Molekule kao nosioci mase su nosioci i koliine kretanja . U ovom difuznom procesu moe doi i do sudara molekula. Prenos koliine kretanja kroz povrinu fluidnog elementa se dogaa kada molekule prou kroz povrinu tog elementa. Do ovoga e doi ako u tom momentu, izmeu dvije grupe molekula sa obe strane povrine elementa djeluje sila. Kombinovani efekt protoka koliine kretanja, prolazom molekula kroz povrinu elementa i kohezionih sila koje djeluju izmeu molekula na obe strane povrine, predstavlja veliinu lokalnog napona. Ako je u blizini te take brzina fluida jednolika, napon je isti kao da fluid miruje, normalan je na povrinu i ne zavisi od orijentacije povrine elementa. Ako je u okolini posmatrane take raspored brzina fluida nejednolik, onda e ma kakva molekularna interakcija, popreno na povrinu elementa, rezultirati uspostavljanjem i tangencijalne komponente napona, koja e uvijek djelovati tako da nastoji eliminisati razliku brzina izmeu susjednih slojeva fluida. Prema tome, transport koliine kretanja kao posljedica intermolekularnog dejstva, stvara unutarnji otpor kretanju fluida ili unutarnje trenje u fluidu. Fluidi koji pokazuju ovo svojstvo su viskozni fluidi.Relacija koja daje vezu izmeu unutarnjeg napona i nejednolikosti rasporeda brzina ukljuivat e koeficijent proporcionalnosti kao predstavnika opisanog mehanizma. To je koeficijent viskoziteta kao predstavnik ovog novog fizikog svojstva fluida. Na osnovu navedenog, tangencijalni napon se moe interpretirati kao molekularni viskozni fluks koliine kretanja glavnog pravca toka u pravcu normalno na njega, kroz ravan u kojoj se formira ovaj napon.Postavimo relaciju izmeu unutarnjeg napona i lokalnog gradijenta brzine za jednostavno smiue kretanje fluida, kao to je prikazano na slici 1.3. U ovom primjeru fluid se kree izmeu dvije beskonano velike, paralelne ploe, od kojih jedna miruje, a druga se kree brzinom . Zbog dejstva viskoziteta brzine estica fluida u kontaktu sa ploama su jednake brzini ploa. Izmeu ploa brzina se mijenja linearno od nule, na donjoj ploi, do na gornjoj pokretnoj ploi. Raspored brzina je dat funkcijom opteg oblika:

Slika 1.3.: Jednostavno smiue kretanje fluidaZbog linearnog rasporeda brzina, izmeu i gradijent brzine je konstantan u svim takama presjeka pa e u ma kojoj ravni paralelnoj sa ravni doi do uspostavljanja smiueg napona veliine:(1.5.)

gdje su:-tangencijalni napon (smiua sila po jedinici povrine, ),

-koeficijent dinamikog viskoziteta,

-gradijent brzine (promjena brzine po jedinici duine u pravcu normalnom na pravac kretanja fluida).

Dobivena relacija 1.5. predstavlja Njutnov zakon unutarnjeg trenja u fluidu, a fluidi koji se po njemu ponaaju, nazivaju se Njutnovi fluidi.U navedenom izrazu, napon je veliina tangencijalne komponente napona, u ravnima paralelnim sa ravni, koja ima takav pravac i smjer da nastoji eliminisati nejednakosti rasporeda brzina.Koeficijent proporcionalnosti, u izrazu 1.5.:(1.6.)

se naziva koeficijent dinamikog viskoziteta, jer u sebi sadri dimenzije dinamike veliine.Kao predstavnik fizikog svojstva fluida, on je za Njutnove fluide pri datim termodinamikim uslovima konstantan, bilo da je fluid u stanju mirovanja ili kretanja. Za nenjutnove fluide koeficijent dinamikog viskoziteta je funkcija stanja i kretanja, izraenog preko gradijenta brzine Dimenzija koeficijenta dinamikog viskoziteta je:

U SI sistemu jedinica, jedinica mjere za koeficijent dinamikog viskoziteta je:

Ranije, u fizikom CGS sistemu, a i u tehnikom sistemu koristila se jedinica:

Ovako, kako je dat koeficijent dinamikog viskoziteta, direktno ne predstavlja koeficijent prenosa koliine kretanja, jer nema dimenzije koeficijenta difuznosti. Odgovarajui koeficijenti prenosa toplote i mase imaju dimenzije kvadrata duine u jedinici vremena Koeficijent viskoziteta koji ima dimenzije iskljuivo kinematske veliine dobiva se dijeljenjem koeficijenta dinamikog viskoziteta sa gustinom fluida:(1.7.)

Ovo je koeficijent kinematskog viskoziteta i njegova dimenzija je:

Jedinica za mjerenje kinematskog viskoziteta u SI sistemu je kvadratni metar u sekundi Ranije, u CGS sistemu se koristila jedinica Stoks Dakle, koeficijent kinematskog viskoziteta je koeficijent difuzije koliine kretanja i predstavlja sposobnost molekularnog transporta da eliminie nejednolikost intenziteta veliine koja doprinosi transportu koliine kretanja (u ovom sluaju brzine fluida).Navedimo jo da je koeficijent dinamikog viskoziteta funkcija temperature, a ne pritiska, i da sa porastom temperature koeficijent dinamikog viskoziteta raste za gasove, a opada za tenosti.1.2.6. Ostale osobineNaprijed su navedene najvanije osobine fluida vezane za problematiku koja e se razmatrati u ovoj knjizi. Meutim, u reimima strujanja kada dolazi do promjene temperature od znaaja su i druge osobine: specifina toplota, koja pokazuje koliko energije treba utroiti za zagrijavanje fluida, toplota provoenja, koja pokazuje koliko efikasno fluid provodi toplotnu energiju, unutarnja energija, entalpija i entropija, ije promjene ukazuju na razmjenu energije izmeu fluidne struje i okoline, i koeficijent difuzije (toplota, masa) koji pokazuje transportne osobine fluidne mase.

1.3. Analiza sila koje djeluju na fluid i njegova ravnotena stanjaSve sile koje djeluju na fluidnu masu u odreenoj zapremini se mogu podijeliti na unutarnje i vanjske.Unutarnje sile su one koje djeluju na kontaktnoj povrini izmeu dvije mase i pojavljuju se u parovima (po zakonu akcije i reakcije).Vanjske sile su one koje djeluju izmeu ma koje mase datog sistema i mase nekog drugog sistema koji nema direktnog kontakta sa prvim, a u datom sistemu se pojavljuju samo jednom.Vanjske sile se jo nazivaju i zapreminske, a to su, npr., sila Zemljine tee, gravitaciona sila, sila inercije (Koriolisova, centrifugalna) i druge. Kao najbolji primjer moe da poslui sila tee, koja je funkcija kako mase tijela tako i mase Zemlje koja na ovu masu djeluje. One su, dakle, rezultat neke druge mase na posmatranu masu, pa im je naziv vanjske adekvatniji nego zapreminske. I naziv zapreminske bi bio u potpunosti adekvatan ukoliko bi se radilo o tijelima (masi) kod kojih je gustina konstantna, jer u tom sluaju je ta sila proporcionalna zapremini. U sutini ona je proporcionalna masi, ali poto se ukupna vanjska sila na neko tijelo izraava preko zapreminskog integrala elementarnih sila, to se uobiajeni naziv zapreminska sila moe opravdati i ovom injenicom.Ako vanjsku silu jedinice zapremine oznaimo sa , ija je dimenzija onda e za posmatranu zapreminu fluida ukupna vanjska sila biti:

Veliki broj vanjskih sila, posebno onih koje su predmet mehanike fluida, imaju svoj potencijal, tj. skalarnu funkciju koja zadovoljava uslov:

odnosno, u notaciji vektorske analize:(1.8.)

gdje su: potencijal, odnosno funkcija jedinine sile , je vektor definisan u svakoj taki polja, koji ima smjer normale na nivo-ravan.Sile koje imaju svoj potencijal se nazivaju konzervativne sile. Kao primjer uzmimo silu teine (Zemljine tee) ija je jedinina vanjska sila jednaka sili gravitacionog ubrzanja, tj.:

tako da je potencijal sile Zemljine tee:(1.9.)

gdje je z ordinata sa smjerom prema gore. Sila gravitacije je jedna od vanjskih sila koje najee sreemo u mehanici fluida.Unutarnje sile se nazivaju i povrinske sile. Da bi se to pokazalo treba posmatranu zapreminu, koju ispunjava fluid, podijeliti na dva dijela pomou ravni , slika 1.4.

Slika 1.4.: Unutarnje sileAko se dio II ukloni, tada se dio I moe zadrati u istom stanju samo ako se uticaj dijela II zamjeni dejstvom ekvivalentnih sila u svim takama koje pripadaju zajednikoj povrini Zato se ovakve sile nazivaju povrinskim silama i oznaimo ih sa Mali dio granine povrine trpi elementarnu povrinsku silu , koja se moe rastaviti na normalnu i tangencijalnu komponentu . U optem sluaju, povrinske sile nisu jednake u raznim takama povrine, pa ni u takama elementarne povrine koja je proizvoljno izabrana. Ako se na nekoj elementarnoj povrini odabere proizvoljna taka , pa se oko nje povrina sve vie suava onda e u limesu, kada , granina vrijednost kolinika predstavljati normalne napone, a kolinika tangencijalne ili smiue napone, tj.:

U unutranjosti fluida normalni napon moe biti samo pritisak , jer fluid ne moe podnijeti silu istezanja, za razliku od vrstih tijela. Pritisak je skalarna veliina, dimenzije:

Elementarna sila pritiska je:

Znak minus je zbog toga to sile pritiska djeluju u suprotnom smjeru od jedininog normalnog vektora vanjske povrine - ravni.Tangencijalne komponente povrinskih sila izazivaju klizanje fluidnih elemenata i pri najmanjem dejstvu. Dakle, tangencijalne (smiue) sile moraju biti u ravnotei kada fluid miruje. Realni fluid u stanju mirovanja se ponaa kao idealan, bez trenja. Pri kretanju realnog fluida je situacija sasvim drugaija, viskozitet igra vanu ulogu i nema kretanja fluida bez veeg ili manjeg otpora.Uvijek se pretpostavlja da masa neprekidno ispunjava prostor koji zauzima fluid. Tako je mogue matematiki obuhvatiti mnoge pojave koje bi bez toga ostale neobjanjene. Razne fizike veliine, kao to su gustina, brzina, pritisak itd. postaju sada funkcije koordinata u prostoru i mijenjaju se neprekidno od take do take, ukoliko u fluidnom prostoru nema nekih izuzetnih mjesta, singulariteta. U mehanici fluida se, dalje, pretpostavlja da je materija homogena i izotropna.Homogenost fluida podrazumijeva da su fizika svojstva svakog, pa i najmanjeg elementa ista u cjelokupnom fluidnom prostoru.Izotropan fluid podrazumijeva da su svojstva svakog, pa i najmanjeg elementa ista u svim pravcima.Drugaiji fluidi se ne prouavaju u mehanici fluida.

1.3.1. PritisakVe je navedeno da se pod pritiskom u nekoj taki fluida podrazumijeva skalarna veliina ija vrijednost odgovara povrinskoj sili normalnoj na povrinu, u toj taki. Zato je elementarna sila pritiska , koja djeluje na element povrine , vektor i to jednak pritisku pomnoenim elementom povrine i sa predznakom minus jer je smjer sile pritiska suprotan smjeru jedininog normalnog vektora na vanjsku povrinu - ravan:

Pritisak u fluidu postoji bez obzira da li fluid miruje ili se kree. Treba praviti razliku izmeu ova dva sluaja.Pritisak pri mirovanju fluida se definie kao statiki pritisak.Sila uzrokovana statikim pritiskom ima dva vana svojstva: uvijek je normalna na svaku stvarnu ili zamiljenu povrinu u fluidu, intenzitet joj je isti na jednom mjestu bez obzira na orijentaciju povrine.

Prvo svojstvo je oigledno jer kada bi sila statikog pritiska djelovala pod nekim uglom prema normali na povrinu, uvijek bi se mogla razloiti na komponente u pravcu normale i tangente. Tangencijalna komponenta bi izazvala klizanje fluidnih elemenata i ravnotea bi se poremetila. Zato moe postojati samo normalna komponenta koja pritiskuje fluid, ne naruavajui ravnoteu. Zbog ovog svojstva povrinske sile u fluidu koji miruje dobile su kratak naziv pritisak.Drugo svojstvo pritiska treba dokazati. Zna se da kroz jednu taku moe prolaziti bezbroj povrina pod raznim uglovima. Dokaz e biti izveden ako se dokae da statiki pritisak ostaje isti u pravcu normale svake od tih povrina. Ako se kroz taku , slika 1.5., postave koordinatne ose i na njima uoe odsjeci , spajanjem njihovih krajeva izdvojie se fluidni tetraedar MABC. On miruje, pa se mogu napisati uslovi za njegovu ravnoteu pod dejstvom normalnih sila (normalno na povrinu ABC).Pritisak u taki S1 povrine je:

i za ostale pravce:

Slika 1.5.: Svojstvo pritiskaNa osnovu ovoga, elementarne sile pritiska e biti:

(1.10.)

Elementarna sila pritiska na povrinu je:(1.11.)

gdje je pritisak u teitu povrine Kako na izdvojeni element fluida djeluju i zapreminske sile (sila tee) njihovu rezultantu po jedinici mase oznaavamo sa: Elementarnu masu fluidnog elementa moemo napisati kao:(1.12.)

a elementarnu zapreminsku silu u pravcu ose kao:(1.13.)

Na osnovu d'Alember[footnoteRef:6]-ovog principa dinamika ravnotea za pravac e biti: [6: Jean le Rond d'Alembert]

(1.14.)

ili

gdje je: ugao izme unutarnje normale na povrinu (u pravcu sile ) i ose (slika 1.6.).

Slika 1.6.: Svojstvo pritiska u ravni

Na osnovu ovoga dobivamo:

Zanemarujui lanove nieg (treeg) reda i analogno ponavljajui postupak za i pravac, dobiva se:

Dakle, statiki pritisak u nekoj taki fluida je isti u svim pravcima koji prolaze kroz tu taku, tj.:(1.15.)

Elementarne sile pritiska su normalne na elementarnu povrinu koju posmatramo.

1.4. Uraeni primjeri1.4.1. Primjer: StiljivostZapremina od vode je izloena poveanju pritiska od .Odrediti zapreminu vode na ovom poveanom pritisku ako je koeficijent stiljivosti vode .RjeenjeZapremina vode na pritisku je:

Smanjenje zapremine , uslijed stiljivosti, na pritisku iznosi:

1.4.2. Primjer: ViskozitetOdrediti dinamiki koeficijent viskoziteta vode na temperaturi od . Za ovu temperaturu vode je poznato: specifina teina: , koeficijent kinematskog viskoziteta: Rjeenje