1. NAPREZANJA 1

1. NAPREZANJA 1.0. UVOD Ako na tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da razdvoje ili približe pojedine čestice tijela. Tome se tijelo suprotstavlja unutarnjim silama koje djeluju među njegovim česticama. Unutarnja sila podijeljena ploštinom presjeka na kojem djeluje zove se naprezanje. Normalnim naprezanjem tijelo se opire međusobnom primicanju ili razmicanju svojih čestica.

Primjer 1: Štap opterećen na rastezanje s dvije jednake i suprotno usmjerene sile F čiji pravac djelovanja prolazi kroz uzdužnu os štapa ⇒ osno opterećen štap! Normalno naprezanje σ djeluje jednoliko po poprečnom presjeku ploštine A, pa je ukupna sila u presjeku σ ⋅A. Iz ravnoteže odsječenog dijela štapa je:

FA =⋅σ , odnosno iznos normalnog naprezanja u poprečnom presjeku štapa određen je izrazom:

AF=σ .

l

l+Δl

F

F

F

σ =F/A

A

Posmičnim naprezanjem tijelo se opire klizanju jednog sloja čestica tijela po drugom. Primjer 2: Zglobna veza dviju poluga; sila F prenosi se s poluge 1 na polugu 2 preko osovinice 3. U poprečnim presjecima osovinice pojavljuje se posmično ili tangencijalno naprezanje τ.

F

F

F/2 F/2

F

1

3

2

τ

F/2 F/2

F τ

AF/2 F/2

F3

3

A A

1. NAPREZANJA 2

Unutarnje sile u tijelu općenito ne djeluju okomito na presjek, tj. u općem slučaju u presjeku djeluje normalno i posmično naprezanje. 1.1. TENZOR NAPREZANJA 1.1.1. Vektor naprezanja, normalno i posmično naprezanje

Djelovanje vanjskih sila (sile opterećenja i reakcije veza) ⇒ između čestica tijela izazivaju unutarnje sile koje se suprotstavljaju deformiranju tijela. Deformabilno tijelo pod djelovanjem vanjskih sila je u ravnoteži, a nakon zamišljenog presjeka ravninom Π lijevi i desni dio tijela također moraju biti u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih i unutarnjih sila.

D

a)

L

S

irv

Π

F1

F2

F3

F4

Fi

Fn

Ravnoteža vanjskih sila na tijelo (u vektorskom izražaju):

1. 01

vvr== ∑

=

n

iiFR ,

2. 0)(1

S

vvvv=×= ∑

=

n

iii FrM .

L

iAΔ

S

b)

F1

F2

F3

ΔFn

ΔF1ΔF2

ΔF3

ΔFi

nv

Kod ravnoteže vanjskih i unutarnjih sila na lijevi dio tijela (L) moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti (u vektorskom izražaju):

1.

0)()( LLLL

vvvvr=Δ+=+ ∑∑ ii FFFR ,

2. 0)()( L)(

L)(

SS

vvv=+ Δ ii FF MM .

Vektor srednjeg (prosječnog) naprezanja na dijelu površine presjeka ΔAi oko točke M je:

i

ii A

FpΔΔ=v

v )( sr , N/m2.

1. NAPREZANJA 3

nv

M

A′ΔA ′′Δ

A ′′′Δ

ΔF ´˝

ΔF ´

ΔF ˝

Ako se elementarna površina smanjuje, tj. 0→Δ iA tako da stalno obuhvaća točku M, bit

će manja i sila iFr

Δ , a srednje naprezanje će se manje razlikovati od pravog naprezanja. Dakle, vektor srednjeg naprezanja teži stvarnom vektoru naprezanja pv u točki M, tzv. vektoru punog naprezanja. nv je vanjska normala na površinu iAΔ u točki M.

nv

dA τ

ϕM

σ

pv

tr

Vektor punog (pravog) naprezanja u točki M je:

AFp

A ΔΔ=

→Δ

vv

lim0

,N/m2.

Vektor punog naprezanja pv u općem slučaju nije okomit na presjek na kome djeluje, nego s normalom nv čini kut ϕ, te se može rastaviti na dvije komponente: normalnu σ i posmičnu ili tangencijalnu τ.

Normalna komponenta naprezanja (kraće: normalno naprezanje) je: ϕσ cos⋅= p , MPa.

Vrijednosti normalnog naprezanja σ mogu biti: .0,0,0 <=> σσσ

Kut ϕ je kut između vektora pv i normale nv : o1800 ≤≤ ϕ .

Posmična komponenta naprezanja (kraće: posmično naprezanje) je:

ϕτ sin⋅= p , MPa.

Vrijednosti posmičnog naprezanja τ mogu biti: 0≥τ .

Komponente naprezanja σ i τ nisu vektori!

Jedinica tlaka i naprezanja u SI-mjernom sustavu je paskal (znak Pa), a definirana je kao njutn po četvornom metru, u počast francuskom fizičaru Blaise Pascalu (1623.-1662.):

1 Pa = 1 N/m2 ,

U proračunima u "Nauci o čvrstoći" također se koriste veće jedinice:

1 MPa = 106 Pa , 1 GPa = 109 Pa ,

te u posebnim slučajevima: 1 kN/cm2 = 10 MPa, 1 N/mm2 = 1 MPa.

Za iznos tlaka tekućina i plinova često se upotrebljava jedinica: 1 bar = 105 Pa.

1. NAPREZANJA 4

Komponente naprezanja σ i τ u nekoj točki ovise između ostalog i o orijentaciji presjeka na kojem djeluju komponente.

Primjer: Rastezanje ravnog prizmatičnog štapa poprečnog presjeka A silama F.

F

B

B C

C

b

hx

ϕF

A

M

a) naprezanja u poprečnom presjeku štapa B – B (ϕ = 0):

F

B

Bxp

A

MM

L

n

→ u poprečnom presjeku štapa djeluje samo normalno naprezanje.

Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:

0=⋅+−=∑ ApFFx , ⇒ AFp = , MPa.

Za kut ϕ = 0 komponente naprezanja su: σ = p i τ = 0.

b) naprezanja u kosom presjeku C - C (ϕ > 0):

MFx

nv

L C

C ϕ Aϕ

M

tv

p

Komponente naprezanja su: nv

ϕM

tv

τ

σ

pv

ϕϕσ 2coscos ⋅=⋅=AFp ,

Ploština kosog presjeka je:

ϕcosAA = ,

gdje je: hbA ⋅= ,

ploština poprečnog presjeka štapa.

Uvjet ravnoteže za lijevi dio štapa je:

0=⋅+−=∑ ApFFx .

ϕσϕ coscos ⋅===AF

AFp , MPa.

Komponente naprezanja u kosom presjeku štapa C-C su:

ϕϕϕτ cossinsinAFp =⋅= , MPa.

Slijedi: ϕσσ 2cos⋅= , MPa i ϕϕστ cossin⋅= , MPa.

1. NAPREZANJA 5

Prema tome, vrijednost (iznos) naprezanja u nekoj točki tijela ovisi o: • dimenzijama i obliku tijela, (a može ovisiti i o elastičnim svojstvima materijala tijela), • vrijednosti i rasporedu vanjskog opterećenja, • orijentaciji presjeka kojemu pripada ta točka. Numerički: Primjer 1. 1.1.2. Tenzor naprezanja, matrica tenzora naprezanja

U “Nauci o čvrstoći” → veličine za čije je definiranje potrebno 32 = 9 podataka ( u ravnini 4) ⇒ tenzori 2. reda: npr. naprezanje, deformacija, momenti tromosti masa i površina. Tipovi tenzora u “Nauci o čvrstoći”: Red Poseban naziv Potreban broj podataka Primjeri u “Nauci o čvrstoći”, “Mehanici”,

tenzora u primjeni u ravnini u prostoru “Mehanici kontinuuma” i dr.

nulti skalar 20 = 1 30 = 1 masa, duljina, vrijeme, temperatura i dr.

prvi vektor 21 = 2 31 = 3 sila, brzina, ubrzanje, pomak i dr.

drugi tenzor 22 = 4 32 = 9 naprezanje, deformacija i dr.

četvrti -- 24 = 16 34 = 81 tenzor elastičnosti, tenzor krutosti i dr.

Komponente tenzora mijenjaju se pri rotaciji koordinatnog sustava po zakonu transformacije tenzora. Za definiranje tenzora naprezanja u točki M tijela potrebna su tri vektora punog naprezanja u tri međusobno okomita presjeka, tj.

→ 3 x 3 = 9 komponenti naprezanja. Predznak tih komponenti u odnosu na koordinatni sustav određuje se

jednako kao i za unutarnje sile u presjeku tijela: → komponenta naprezanja je pozitivna, ako na pozitivnom presjeku (vanjska normala usmjerena je u pozitivnom smjeru koordinatne osi) djeluje u pozitivnom smjeru koordinatne osi, u suprotnom je negativna, kao na slici.

Komponente naprezanja označuju se simbolom σ i s dva indeksa:

σi j

normala presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja

oznaka koordinatne osi s kojom je komponenta paralelna i, j = x, y ili z

Na slici su sve prikazane komponente naprezanja pozitivne.

1. NAPREZANJA 6

Negativnipresjek x

Negativnipresjek y

Pozitivnipresjek x

Pozitivnipresjek z

O x

y

z

Ox y

z

σx τx y

dy dx

dz

σy

σz

τy x

τz x τz y

τy zτx z

++

+

U tehničkoj se praksi normalne komponente označavaju znakom σ s jednim indeksom, a posmične komponente znakom τ s dva indeksa (slika desno).

Devet komponenata naprezanja u okolišu točke M, diferencijalni element obujma dV = dxdydz, određuju kvadratnu matricu tenzora naprezanja σij:

Ox

z

σxσy

σz

+

+

−

τy z

τx zτx y

τy x

τz y

τz x

dydx

dz

y1

y

Na slici su sve komponente naprezanja prikazane pozitivne.

i = j - normalna komponenta naprezanja, i ≠ j - posmična komponenta naprezanja.

Matrica tenzora naprezanja σij za stanje naprezanja u nekoj točki M tijela u tehničkom označavanju je:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

ji

στττστττσ

σ .

U prvom su retku komponente naprezanja koje djeluju na presjeku +

xA , u drugom su retku komponente koje djeluju na presjeku +

yA i u trećem su retku komponente koje djeluju na presjeku +

zA .

Prvi stupac matrice [ ]jiσ čine komponente

naprezanja koje su paralelne s osi x, drugi

stupac čine komponente naprezanja koje su

paralelne s osi y i treći stupac čine

komponente naprezanja koje su paralelne s

osi z u točki tijela.

1. NAPREZANJA 7

Posmična su naprezanja jednaka ako djeluju na međusobno okomitim presjecima:

xyyx ττ = , yzzy ττ = , xzzx ττ = .

Dokaz za jednakost posmičnih komponenata naprezanja, npr. xzzx ττ = :

[ ] [ ] .:/0)()(1 xzzxxzzxy zyxzyxxzyM ττττ =⇒=⋅−⋅=∑ ddddddddd

τ

M τ

τ

τ. .

τ

M τ

τ

τ. .

Na dva međusobno okomita presjeka elementa posmična su naprezanja jednaka po predznaku i iznosu, a oba su usmjerena k zajedničkom bridu elementa ili od brida.

Tenzor naprezanja u nekoj je točki tijela definiran s 9 komponenata, od kojih su 6 međusobno različite. Prema tome matrica tenzora naprezanja je simetrična, tj. vrijedi jednakost:

[ ] [ ].jiji σσ =

Postoji orijentacija koordinatnih osi u prostoru za koju su posmične komponente jednake nuli, a normalna naprezanja imaju ekstremne vrijednosti. To su osi 1, 2 i 3 → glavni pravci naprezanja, a naprezanja u njima su glavna naprezanja σ1 > σ2 > σ3.

2

1

3

σ2

σ1

σ3

M

Pri promjeni orijentacije presjeka mijenja se vektor naprezanja pv po smjeru i iznosu, te se razlikuju:

• linearno (jednoosno) stanje naprezanja: σ1 ≠ 0, σ2 = σ3 = 0

⇒ vektor naprezanja pv uvijek leži na jednom pravcu, • ravninsko (dvoosno) stanje naprezanja:

σ1 > σ2 ≠ 0, σ3 = 0 ⇒ vektor naprezanja pv uvijek leži u istoj ravnini,

• prostorno (troosno) stanje naprezanja: σ1 > σ2 > σ3 ≠ 0

⇒ vektor naprezanja pv u nekoj točki tijela mijenja orijentaciju u prostoru.

1. NAPREZANJA 8

1.2. TRANSFORMACIJA KOMPONENATA TENZORA NAPREZANJA 1.2.1. Transformacija komponenata ravninskog stanja naprezanja

Tenzor naprezanja u točki M tijela koje je u ravninskom stanju naprezanja

određen je s komponentama naprezanja σx, σy i τx y = τy x u osnovnom koordinatnom sustavu Oxy. Komponente naprezanja xyyxyx ττσσ = i, u novom za kut ϕ zarotiranom koordinatnom sustavu određuju se pomoću izraza za transformaciju, danih u matričnom zapisu:

dx

y

x

y τy xσy

dy M

O x

ϕ σx

τx y

ϕ

dx

dy

x

y

O

M

σy τy x

ϕ

σx

τx y

a)

b)

x

[ ]MM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yx

y

x

yx

y

x

τσσ

τσσ

σT ,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

)(

2

22

22

22

nmmnmn2mnmnmnnm

σT

gdje su za kut ϕ rotacije osi:

ϕϕ sin,cos == nm ,

Izrazi za transformaciju komponenata naprezanja mogu se izvesti razmatranjem ravnoteže trokutnog elementa konstantne debljine, u okolišu točke M tijela, prema slici.

dx

y

ϕ

x

a)

O

dyy

dy

x

ϕ

b)

σy

τx y σx

y

y

xO

ϕϕσx

τy x

τx y

x

Trokutni je element pravokutan, slika a), pa je:

ϕsindd =yx

i ϕcosdd =yy

,

gdje su dx, dy i yd apsolutne vrijednosti duljina stranica trokuta.

Uvjeti ravnoteže elementa (jedinične debljine) za osi x i y glase:

,0sindcosdcosdsindd =⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅=Σ ϕσϕτϕσϕτσ xxyyyF yxyxyxxx

.0cosdsindsindcosdd =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅=Σ ϕσϕτϕσϕττ xxyyyF yxyxyxyxy

1. NAPREZANJA 9

Te izraze treba podijeliti s yd , u njih uvrstiti ranije izraze, te uz xyyx ττ = slijede izrazi za transformaciju dviju komponenata naprezanja:

,cossin2sincos 22 ϕϕτϕσϕσσ yxyxx ++=

).sin(cossin)cos( 22 ϕϕτϕϕσστ −+−−= yxyxyx

Izrazi za preostale dvije komponente mogu se dobiti razmatranjem na sličan način ili pomoću gornjih izraza, ako se uzme u obzir da je:

)(2

ϕσπϕσ yx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + i )(

2ϕτπϕτ xyyx −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + .

Ti izrazi glase: ,cossin2cossin 22 ϕϕτϕσϕσσ yxyxy −+=

).sin(cossin)cos( 22 ϕϕτϕϕσστ −+−−= yxyxxy

Pomoću trigonometrijskih relacija: ϕϕϕ 2sincossin2 = ,

ϕϕϕ 2cossincos 22 =− , )2cos1(21cos2 ϕϕ += , )2cos1(

21sin 2 ϕϕ −=

mogu se gornji izrazi preinačiti u izraze:

ϕτϕσσσσ

σ 2sin2cos22 yx

yxyxx +

−+

+= ,

ϕτϕσσσσ

σ 2sin2cos22 yx

yxyxy −

−−

+= ,

ϕτϕσσ

ττ 2cos2sin2 yx

yxxyyx +

−−== .

Između komponenata naprezanja vrijede ovi odnosi:

const. 211 =+=+=+= σσσσσσσ yxyxI ,

const. 2122

2 =⋅=−⋅=−⋅= σστσστσσσ yxyxyxyxI

Veličine σ1I i σ2I nazivaju se prva odnosno druga invarijanta tenzora naprezanja, jer se ne mijenjaju pri rotaciji koordinatnog sustava.

1. NAPREZANJA 10

1.2.2. Glavna naprezanja Za određivanje maksimalnog normalnog naprezanja u nekoj točki, kao i presjeka na kome ono djeluje derivirat će se izraz za xσ po ϕ i derivacija se izjednači s nulom:

022cos2sin2

2d

d ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= yxyx

yxx τϕτϕσσ

ϕσ .

Kad ta derivacija postane jednaka nuli, bit će oϕϕ = i ujedno 0=yxτ .

Na presjecima na kojima djeluju ekstremna normalna naprezanja, posmična naprezanja bit će jednaka nuli.

Nakon sređivanja slijedi izraz: 2/)(2tan o

yx

yx

σστ

ϕ−

= .

Očito je da kut oϕ ima dvije različite vrijednosti → oϕ′ i oϕ ′′ koje se međusobno razlikuju za kut 2/π . Jedna vrijednost kuta daje položaj maksimalnog naprezanja maxσ , a druga minimalnog naprezanja minσ . Ekstremne vrijednosti normalnih naprezanja nazivaju se glavna naprezanja (σ1 = σmax i σ2 = σmin), međusobno okomiti presjeci na kojima normalne komponente naprezanja poprimaju ekstremne vrijednosti nazivaju se glavni presjeci, a pripadne normale 1, 2 određene kutom ϕo su glavni pravci naprezanja.

x

y

ϕo

1σ2

2

ψ

x

ϕ

σ1

b)

M

σx

τy x

M

σy

τx y

a) y

x

Vrijedi izraz za kutove:

oϕϕψ += .

Glavna naprezanja dana su izrazima:

22

2,1 22 yxyxyx τ

σσσσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+= , MPa

Uvijek je: σ1 > σ2!, tj. vrijedi:

max,1 σσ = min2 σσ = .

Glavni pravci naprezanja određeni su izrazom:

yx

yx

σστ

ϕ−

=2

2tan o

Kut ϕo mjeri se od osi x do glavnog pravca 1, a može biti pozitivan, negativan ili jednak nuli:

oo

o 9090 ≤≤− ϕ .

1. NAPREZANJA 11

Ako su poznata glavna naprezanja, izrazi za transformaciju komponenata naprezanja u Oxy i yxO koordinatnim sustavima glase:

oo ϕσϕσσ 22

21 sincos +=x , oo ϕσϕσσ 2

22

1 cossin +=y , oϕσσττ 2sin2

21 −== xyyx .

ψσσσσσ 2cos22

2121 −++=x , ψσσσσσ 2cos22

2121 −−+=y , ψσστ 2sin2

21 −=yx .

1.2.3. Mohrova kružnica naprezanja Mohrova kružnica naprezanja (Otto Mohr, 1895.) zorno grafički prikazuje promjene komponenata naprezanja u nekoj točki tijela pri zakretanju presjeka kroz tu točku. Izrazi za transformaciju komponenta naprezanja kod zakreta osi mogu se pisati u obliku:

,2sin2cos22

ϕτϕσσσσ

σ yxyxyx

x +−

=+

− / 2

.2cos2sin2

ϕτϕσσ

τ yxyx

yx +−

−= / 2

Ako oba ta dva izraza kvadriramo, a zatim zbrojimo, slijedi jednadžba Mohrove kružnice naprezanja u koordinatnom sustavu Oστ:

22

22

22 yxyx

yxyx

x τσσ

τσσ

σ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− ,

gdje su polumjer Mohrove kružnice naprezanja i koordinata središta na osi σ :

max2

2

AS2

ττσσ

==+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= yx

yxR i S2SO σ

σσ=

+= yx

.

Pri crtanju Mohrove kružnice naprezanja posmično naprezanje crta se u gornju poluravninu ako nastoji zakrenuti element na koji djeluje u smjeru kazaljke na satu, a u donju poluravninu ako zakreće element suprotno od gibanja kazaljke na satu. Kod crtanja normalnih naprezanja, vlačno je naprezanje pozitivno, a tlačno je negativno.

Postupak crtanja Mohrove kružnice naprezanja u primjeru kad je stanje naprezanja zadano na uobičajeni način, tj. pomoću četiri komponente naprezanja: σx, σy i τx y = τy x koje se odnose na presjeke u (x, y) – koordinatnom sustavu:

+

1. NAPREZANJA 12

1) Skicira se element i na njemu se ucrtaju zadane komponente naprezanja. Na elementu se označe dva okomita presjeka velikim slovima, npr. A i B, kao na slici.

2) U koordinatnom sustavu Oστ ucrtaju se točke ),A( yxx τσ i ),B( xyy τσ koje odgovaraju presjecima A i B.

3) Konstruira se kružnica koja prolazi točkama A i B, a njeno je središte S na osi σ. Središte S nalazi se u presjecištu osi σ i dužine BA . Apscise presjecišta C i D Mohrove kružnice naprezanja s osi σ predstavljaju glavna naprezanja σ1 i σ2.

5) Pol normala P određuje se tako da se iz bilo koje točke na Mohrovoj kružnici povuče paralela s pripadnom normalom na elementu. Ta paralela siječe kružnicu u točki P, koja predstavlja pol normala. Npr. kroz točku A povlači se paralela s normalom u A na elementu, tj. s osi x. Pol P nalazi se uvijek na paraleli s osi y, ali u odnosu na os σ na suprotnoj strani od točke B.

6) Kad je poznat pol P, mogu se lako odrediti glavni pravci naprezanja. To su na slici pravci 1 i 2 koji prolaze kroz pol P i točke C i D.

7) Komponente naprezanja na bilo kojem presjeku E određuju se tako da se iz P povlači paralela s normalom nE, tj. s osi x . Ta paralela siječe Mohrovu kružnicu u točki E kojoj apscisa i ordinata određuju naprezanja xσ i yxτ .

−τx y

+τy x

+τx y

−τy x

O +σ−σD

BE

C

AF

τx y

τx yσ2

σy

σy

σx

σ1

σx

σS=(σx+σy)/2 (σx−σy)/2

R2ϕo

2ϕ

τmaxG

H

S

Sve točke naprezanja u presjecima kroz neku točku M nalaze se na kružnici, a za dva međusobno okomita presjeka nalaze se na suprotnim krajevima promjera kroz središte S kružnice.

Koordinate točaka presjeka kod crtanja Mohrove kružnice naprezanja:

τy x

σx x

yσy

τx y

M AB A (σx, τx y)

B (σy, τy x)

τx y = τy x

σ1ϕo

1

x

2

MD C

σ2

C (σ1, 0)

D (σ2, 0)

τx y

σx

σyϕ

xy

x

τy x

F EM

τx y =

E (σx, τx y)

F (σy, τy x)

τy x

1. NAPREZANJA 13

Mohrova kružnica naprezanja:

O σD

B E

CS

AF

τx y

τx yσ2

σy

σ1

σx

ϕoϕ

P

12

x

y

x

y

ψ

Mjerilo: 1 cm = λσ MPa

G n

ϕN

τmax

σS

xσ

yσ H

+τy x

−τx y

+τx y

−τy x

σS ϕN=ϕo+π/4n

xH G

M

G (σS, τmax)

H (σS, τmax)τmax

τmaxσS

Iz crteža se trebaju očitati pripadajuće vrijednosti komponenata naprezanja i kutova.

Kut između osi x i glavne osi 1 je:

oϕϕψ −= .

Crtanje Mohrove kružnice kada su poznata naprezanja za dva proizvoljna presjeka u točki M tijela:

SOD

P

E

A

C

E

A

σx

σ

τσx

τxy

σxτxy

x

x

2

1

ϕ

2ϕϕ

σx

τxyτxy

x

Mjerilo: 1 cm = λσ MPa

ϕo

x

1. NAPREZANJA 14

Mohrove kružnice nekih tipičnih ravninskih stanja naprezanja: a) jednoosno vlačno (tlačno) naprezanje, b) izotropno stanje naprezanja, c) čisto smicanje

a1) rastezanje, vlak

τD=AB

CD

B,P

C

AO

σ

τ

σC=σx/2

S

σD=σx/2 D

τCσx/2 τC

σC

τD=σx/2

a2) sabijanje, tlak

τD

=AB C

D B,P

C

AO

σ

τ

S

σx <0

σC=σx/2D

τC

σx/2

τC=σx/2σC

σD

τD=σx/2

τC=σx/2

τD

σx

σD

σD=σx/2

σx >0

= A B

FE

σx

τ

σO

σx= σy= σx= σy S A,B

σy= σx >0

= A B

F

E

σxσ O

σx= σy= σx= σy S A,B

τσx= σx

b) izotropno stanje

σy= σx

σx= σx

σy= σx

σy= σx <0

1. NAPREZANJA 15

c) čisto smicanje

τxy<0 σ2= τxy

σ1=−τxy σ2= τxy

σ1=−τxy

= A B

C D C

AP

DO σ

τ

τxy>0σ1= τxy

σ2=−τxy σ1= τxy

=A B C

D C

AP

D O σ

τ

σ2=−τxy

S

B

B

τxy

τxy

1.2.4. Transformacija komponenata prostornog naprezanja

Komponente prostornog naprezanja transformiraju se kao komponente tenzora 2. reda. Glavna naprezanja 321 σσσ ≥≥ su rješenja za σ korijeni jednadžbe 3.

stupnja:

0322

13 =−+− σσσ σσσ III ,

gdje su prva, druga i treća invarijanta tenzora naprezanja:

const. 3211 =++=++= σσσσσσσ zyxI ,

const. =⋅+⋅+⋅=−−−⋅+⋅+⋅= 133221222

2 σσσσσστττσσσσσσσ xzzyyxxzzyyxI

const. =⋅⋅=−−−+= 321222

3 2 σσστστστστττσσσσ yxxzzy zyxxzzyyxzyxI

Pravci glavnih naprezanja definirani su kosinusima smjera aij koji pravci glavnih naprezanja σi čine s koordinatnim osima x, y i z, a mogu se odrediti iz tri homogene linearne jednadžbe:

,0)(

,0)(

,0)(

=−++

=+−+

=++−

iizizyizx

izyiiyiyx

izxiyxiix

nml

nml

nml

σστττσστττσσ

gdje je: 321, σσσσ ili =i , uz: 1222 =++ iii nml , a kosinusi kutova pravca glavnog naprezanja σi su:

),cos( xnl iiv

>= , ),cos( ynm iiv

>= , ),cos( znn iiv

>= .

1. NAPREZANJA 16

Mohrova kružnica troosnog naprezanja može se konstruirati samo ako su poznata glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3. Na slici je pokazano određivanje komponenti naprezanja u kosom presjeku čija normala nv zatvara kutove α, β i γ s glavnim pravcima 1, 2 i 3. Točka N pada u sjenčano područje između najveće kružnice i manjih kružnica naprezanja.

O AC

σ

τMjerilo: 1 cm = λσ MPa

τ12

τ13

σ1

σ2

σn

σ3

τ23

α

S1

R1

N

γ

S3 S2

R2

τn

B

E F

pnrotacija oko osi 1

rotacija oko osi 2

rotacija oko osi 3

Koordinate točaka su: A(σ1, 0), B(σ2, 0), C(σ3, 0).

1coscoscos 222 =++ γβα .

n

σ2

σ1

σ3

M

N

σn

τn

γ

βα

Puno je naprezanje u kosom presjeku određenom normalom nv :

22nnnp τσ += , MPa

Maksimalna posmična naprezanja u kosim presjecima kroz točku M tijela:

O AC σ

τ

τ12

τ 13= τ max

σ1

σ2

σ3

τ23

S1S3 S2B

τ13

2

σ1

σ3

M

σ2

1

3

σ2

σ1 + σ3

2

45o

45o

2,

2,

231

max1332

2321

12σσττσστσστ −==−=−=

.

Vrijednosti maksimalnih posmičnih naprezanja su od posebne važnosti u primjeni kod energijskih teorija čvrstoće izotropnih tijela. Primjeri Mohrove kružnice naprezanja: prema "Vježbenici ispitnih zadataka"!