Le c t u r e 1 0 | 1

ค่าสูงสุด-ตาํสุดของฟังก์ชัน

ให้ จะได้ว่า ถ้า

จะได้ ดงันนั

นนัคือ

ทกุ

โดยเทา่กบักต็อ่เมือ เพราะฉะนนั มีค่าตําสดุ

คือ

Le c t u r e 1 0 | 2

บทนิยาม พิจารณาฟังก์ชนั บนช่วง ให้

ถ้า สอดคล้อง

ทกุ

จะกลา่ววา่ มีค่าตาํสุดสัมบูรณ์

ถ้า สอดคล้อง

ทกุ

จะกลา่ววา่ มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์

ค่าสงูสดุสมับรูณ์หรือตําสดุสมับรูณ์เรียกรวม ๆ วา่

ค่าสุดขีดสัมบูรณ์

ในกรณีทีมีช่วงเปิด ซงึ และ

ทกุ ตําสดุสมัพทัธ์

ทกุ สงูสดุสมัพทัธ์

ค่าสงูสดุสมัพทัธ์หรือตําสดุสมัพทัธ์เรียกรวม ๆ วา่ค่า

สุดขีดสัมพัทธ์

Le c t u r e 1 0 | 3

ตัวอย่าง จากกราฟของฟังก์ชนัทีกําหนดให้ จงหาคา่สดุ

ขีดสมัพทัธ์และคา่สดุขีดสมับรูณ์ (ถ้ามี)

2. 3. 1.

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 4

ตัวอย่าง พิจารณา บนช่วง

จงหาคา่สดุขีดสมัพทัธ์และคา่สดุขีดสมับรูณ์ (ถ้ามี)

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 5

ค่าวกิฤตแิละจุดสุดขีดสัมพัทธ์

ฟังก์ชนั มีค่าตําสดุที จะเห็น

ได้ว่าความชนั

กฎของแฟร์มาต์ ถ้า มีค่าสงูสดุหรือตําสดุที และ

มีอนพุนัธ์ที จะได้ว่า

พิจารณาฟังก์ชนั

Le c t u r e 1 0 | 6

จากกราฟได้ว่า มีค่าตําสดุที แต่

อนพุนัธ์ ไมมี่ค่า

บทนิยาม จํานวนจริง ซงึ

หรือ ไมมี่ค่า

เรียกวา่ค่าวิกฤตขิอง

Le c t u r e 1 0 | 7

ในกรณีที เป็นฟังก์ชนัทีหาอนพุนัธ์ได้ทกุจดุ แล้วค่า

วิกฤติของ คือคําตอบของสมการ

จากตวัอย่างข้างบนและทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ทําให้

ได้ว่า

กฎค่าสุดขีดสัมพัทธ์ ถ้า เป็นค่าสงูสดุหรือตําสดุ

ของฟังก์ชนับนช่วงเปิดแล้ว ต้องเป็นคา่วิกฤติของ

ในหวัข้อตอ่ไปจะได้กล่าวถงึการตรวจสอบคา่สดุขีด

สมัพทัธ์จากอนพุนัธ์อนัดบัสอง

Le c t u r e 1 0 | 8

ตัวอย่าง จงหาคา่วิกฤติของฟังก์ชนัต่อไปนี

1. 2. మ

3.

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 9

ค่าสุดขีดสัมบูรณ์บนช่วงปิด

พิจารณาฟังก์ชนั บนช่วง

เนืองจาก มีอนพุนัธ์ทกุจดุ ดงันนัหาค่าวิกฤติได้จาก

ได้ค่าวิกฤติคือ

บนช่วงเปิด คา่สงูสดุ-ตําสดุเป็นไปได้

เพียงแคท่ีจดุวิกฤติเท่านนั

เหลือพิจารณาอีกสองจดุคือจดุปลาย

เปรียบเทียบคา่ทงัสามจะได้วา่

ค่าสงูสดุสมับรูณ์

ค่าตําสดุสมับูรณ์

Le c t u r e 1 0 | 10

กฎการหาค่าสุดขีดสัมบรูณ์บนช่วงปิด

ให้ มีอนพุนัธ์ทีทกุจดุบนช่วงปิด

1. หาค่าวิกฤติ ทงัหมดของ ในช่วงเปิด

โดยการแก้สมการ

2. คํานวณ

3. ค่ามากทีสดุจากข้อ 2 เป็นคา่สงูสดุสมับรูณ์

ค่าน้อยทีสดุจากข้อ 2 เป็นคา่ตาํสดุสมับรูณ์

Le c t u r e 1 0 | 11

ตัวอย่าง จงหาคา่สงูสดุ-ตําสดุของฟังก์ชนัและช่วงที

กําหนดให้ตอ่ไปนี

1. 2.

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 12

การทดสอบค่าสุดขีดสมัพัทธ์

ให้

1. ถ้า จะได้ เป็นค่าตําสดุสมัพทัธ์

2. ถ้า จะได้ เป็นค่าสงูสดุสมัพทัธ์

3. ถ้า ต้องดกูารเปลียนเครืองหมาย

3.1. เปลียน เมอื เป็น

ค่าตําสดุสมัพทัธ์

3.2. เปลียน เมอื เป็น

ค่าสงูสดุสมัพทัธ์

3.3. ไมเ่ปลียนเครืองหมาย ไมใ่ช่ค่าสดุขีด

Le c t u r e 1 0 | 13

ตัวอย่าง จงหาคา่สงูสดุ-ตําสดุสมัพทัธ์ของ

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 14

ตัวอย่าง จงหาคา่สงูสดุ-ตําสดุสมัพทัธ์ของ

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 15

ความเว้าและจุดเปลียนเว้า

พิจารณาฟังก์ชนัสองฟังก์ชนัต่อไปนี

ลกัษณะของกราฟของ (สีแดง) คือหงายขึน แตก่ราฟ

ของ (สีเขียว) คือควํา หากพิจารณาอนพุนัธ์อนัดบั 2

Le c t u r e 1 0 | 16

บทนิยาม พิจารณาฟังก์ชนั บนช่วง

จะกลา่ววา่กราฟของ มีความเว้าอยู่บนในช่วง

เมือกราฟของ มีลกัษณะหงายขึน

จะกลา่ววา่กราฟของ มีความเว้าอยู่ ล่างในช่วง

เมือกราฟของ มีลกัษณะควํา

ถ้า เป็นจดุทกีราฟของ มีลกัษณะความเว้าใน

ช่วง แตกต่างจากในช่วง จะเรียก ว่า

จุดเปลียนเว้า

การทดสอบความเว้าเป็นดงันี

กฎการทดสอบความเว้า

ถ้า บนช่วง จะได้เว้าอยู่บน

ถ้า บนช่วง จะได้เว้าอยู่ลา่ง

Le c t u r e 1 0 | 17

ตัวอย่าง ให้

1. จงหาช่วงเปิดทีกราฟของ มีลกัษณะเว้าอยู่บน

2. จงหาช่วงเปิดทีกราฟของ มีลกัษณะเว้าอยู่ล่าง

3. จงหาจดุเปลียนเว้าทงัหมด

วิธีทํา

Le c t u r e 1 0 | 18

ตัวอย่าง ให้

1. จงหาช่วงเปิดทีกราฟของ มีลกัษณะเว้าอยู่บน

2. จงหาช่วงเปิดทีกราฟของ มีลกัษณะเว้าอยู่ล่าง

3. จงหาจดุเปลียนเว้าทงัหมด

วิธีทํา