Le c t u r e 1 5 | 1

สูตรอินทกิรัลฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1.

( )

2.

( )

3.

( )

4.

( )

5.

( )

6.

( )

Le c t u r e 1 5 | 2

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

1. 2. 3.

4. మ

మ

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 3

สูตรเปลียนตัวแปร

เมือ

ในบางครังตวัแปรทีอินทิเกรตอาจจะเป็น

หรือฟังก์ชนัตรีโกณมิติอืน ๆ

Le c t u r e 1 5 | 4

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 5

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 6

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 7

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 8

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 9

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 10

ตัวอย่าง จงหาอินทิกรัลตอ่ไปนี

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 11

การหาพืนทแีละอนิทกิรัลจาํกัดเขต

พิจารณาการประมาณพืนทีใต้กราฟของฟังก์ชนั

ดงัแสดงในบริเวณแรเงาต่อไปนี

วิธีแรกคือประมาณด้วยแทง่สีเหลียมฐาน 1 หน่วย

ส่วนสงูคือคา่น้อยสดุของ ในแตล่ะชว่งได้

อีกแบบคือประมาณด้วยแท่งสีเหลียมฐานยาว 1 หน่วย

ส่วนสงูคือคา่มากสดุของ ในแต่ละช่วงได้

Le c t u r e 1 5 | 12

ดงันนัพืนทีใต้กราฟของ (บริเวณแรเงา)

หากแบง่ออกเป็นแทง่สีเหลียมจํานวนมากขึนจะได้

ค่าประมาณทีใกล้เคียงพนืทีจริงมากยิงขึนไปด้วย

ในกรณีทวัไปถ้า ในช่วง แบ่ง

บริเวณใต้กราฟออกเป็น แท่งแตล่ะแท่งมีฐานยาว

มีส่วนสงู คือค่าน้อยสดุและค่ามากสดุใน

แต่ละช่วงตามลําดบัจะได้

Le c t u r e 1 5 | 13

เป็นค่าประมาณลา่งและบนตามลําดบั ดงันนัพนืที

ทฤษฎีบท ถ้า เป็นฟังก์ชนัตอ่เนืองบนช่วง

จะได้ว่าพืนที

ยิงกว่านนัถ้า เป็นค่าใด ๆ ในแตล่ะช่วงจะได้

Le c t u r e 1 5 | 14

ตัวอย่าง จงหาพืนทีใต้กราฟของฟังก์ชนั

ในช่วง

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 15

พิจารณาฟังก์ชนั ใด ๆ (อาจมีค่าเป็นลบ) บน

ช่วง แบง่ ออกเป็น ช่วง ยาวช่วงละ

และในแตล่ะช่วงพิจารณาคา่ ใด ๆ

เรียกวา่ผลบวกรีมันน์

บทนิยาม ถ้าลิมิตของผลบวกรีมนัน์

ลู่เข้า

ค่าลิมิตจะเขียนแทนด้วย

เรียกวา่อินทกิรัลจาํกัดเขตของ บนช่วง

เรียก ว่าลิมิตล่างของการอินทิเกรต

เรียก ว่าลิมิตบนของการอินทิเกรต

Le c t u r e 1 5 | 16

Note คําศพัท์

อินทิกรัล = ปริพนัธ์

การอินทิเกรต = การหาปริพนัธ์

อินทิกรัลไม่จํากดัเขต = ปริพนัธ์ไม่จํากดัเขต

อินทิกรัลจํากดัเขต = ปริพนัธ์จํากดัเขต

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ให้ เป็นฟังก์ชนัตอ่เนืองบนช่วง และให้

เป็นปฏิยานพุนัธ์ของ จะได้

Note ได้จากอินทิกรัลไมจํ่ากดัเขต

โดยให้ค่าคงตวั ดงันนั

Le c t u r e 1 5 | 17

ตัวอย่าง จงหาคา่อินทิกรัลจํากดัเขตต่อไปนี

1.

2.

3. ഏ

ర

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 18

ตัวอย่าง จงหาปริพนัธ์จํากดัเขต

1.

2.

3.

วิธีทํา

Le c t u r e 1 5 | 19

พืนทใีต้กราฟเท่ากับอินทกิรัลจาํกัดเขต

ถ้า เป็นฟังก์ชนัตอ่เนืองบนช่วง จะ

ได้ว่าพนืทีใต้กราฟในช่วงนีคือ

Le c t u r e 1 5 | 20

ตัวอย่าง จงหาพืนทีใต้กราฟของฟังก์ชนั

บนช่วง ทีปิดล้อมด้วยเส้นตรง

วิธีทํา