Embed Size (px)
Citation preview
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 29
อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series)
ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.
อนุกรมฟูเรียร์: คาบ 2L ใดๆ
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 2 / 29
• กำหนดให้ L > 0 เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า
cosπx
L, sin
πx
L
เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ P = 2L
• ในทำนองเดียวกัน
cosnπx
L, sin
nπx
L(n = 2, 3, . . .)
ก็เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ P = 2L เช่นกัน
อนุกรมฟูเรียร์: คาบ 2L ใดๆ
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 3 / 29
บทนิยาม ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2L อนุกรม
S(x) =a02
+∞∑
n=1
(
an cosnπx
L+ bn sin
nπx
L
)
เรียกว่าอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน f โดยที่ an, bn คำนวณจาก
a0 =1
L
∫
L
−L
f(x)dx,
an =1
L
∫
L
−L
f(x) cosnπx
Ldx (n = 1, 2, 3, . . .)
bn =1
L
∫
L
−L
f(x) sinnπx
Ldx (n = 1, 2, 3, . . .)
การลู่เข้าอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันคาบ 2L
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 4 / 29
ทฤษฎีบท ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2L และ
1. f ต่อเนื่องเป็นช่วงๆ2. อนุพันธ์ f ′(x−), f ′(x+) มีค่าที่ทุก x
สำหรับ x ที่ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x จะได้ผลบวกอนุกรม
a02
+∞∑
n=1
(
an cosnπx
L+ bn sin
nπx
L
)
= f(x)
สำหรับ x ที่ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องที่ x จะได้ผลบวกอนุกรม
a02
+∞∑
n=1
(
an cosnπx
L+ bn sin
nπx
L
)
=f(x−) + f(x+)
2
ตัวอย่าง 1
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 5 / 29
EX. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน
f(x) =
0 −2 < x < −1
k −1 < x < 1
0 1 < x < 2
,
โดยคาบ p = 4
(ตอบ f(x) = k
2+ 2k
π
(
cos πx
2−
1
3cos 3πx
2+ 1
5cos 5πx
2− · · ·
)
)
ตัวอย่าง 2
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 6 / 29
EX. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน
f(x) =
−k −2 < x < 0,
k 0 < x < 2, p = 4, L = 2
วิธีทำ คำนวณ
a0 =1
2
(∫
0
−2
(−k)dx+
∫
2
0
kdx
)
= 0
an =1
2
(∫
0
−2
(−k) cosnπx
2dx+
∫
2
0
k cosnπx
2dx
)
,
= 0
ตัวอย่าง 2
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 7 / 29
bn =1
2
(∫
0
−2
(−k) sinnπx
2dx+
∫
2
0
k sinnπx
2dx
)
,
=k
nπ((1− (−1)n − ((−1)n − 1))) ,
=
0 n คู่4k
nπn คี่
ดังนั้นอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน f คือ
f(x) =4k
π
(
sinπx
2+ sin
3πx
2+ sin
5πx
2+ · · ·
)
ตัวอย่าง 3: Half-wave rectifier
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 8 / 29
EX. จงหาอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน
f(x) =
0 −L < x < 0
A sin πx
L0 < x < L
, p = 2L
วิธีทำ คำนวณ
a0 =1
L
∫
L
0
A sinπx
Ldx =
2A
π,
an =1
L
∫
L
0
A sinπx
Lcos
nπx
Ldx,
=A
2L
∫
L
0
[
sin(n+ 1)πx
L+ sin
(1− n)πx
L
]
dx
ตัวอย่าง 3: Half-wave rectifier
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 9 / 29
a1 =A
2L
∫
L
0
sin2πx
Ldx = 0,
และเมื่อ n ≥ 2 ได้
an =A
2π
(
1− (−1)n+1
n+ 1+
1− (−1)1−n
1− n
)
ดังนั้น a3 = a5 = · · · = 0 และเมื่อ n ≥ 2 เป็นจำนวนคู่ได้
an = −2A
(n2 − 1)π, n = 2, 4, . . .
ตัวอย่าง 3: Half-wave rectifier
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 10 / 29
bn =1
L
∫
L
0
A sinπx
Lsin
nπx
Ldx,
=A
2L
∫
L
0
[
cos(1− n)πx
L− cos
(1 + n)πx
L
]
dx
เมื่อ n = 1 จะได้
b1 =A
2L(L− 0) =
A
2
และจาก sin kπ = 0 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้ได้ bn = 0 เมื่อn ≥ 2
ตัวอย่าง 3: Half-wave rectifier
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 11 / 29
สรุปได้ว่าอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน f คือ
f(x) =A
π+
A
2sin
πx
L−
2A
π
∞∑
n=1
1
4n2 − 1cos
2nπx
L
ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 12 / 29
บทนิยาม ให้ f : R → R
• f(x) เรียกว่าฟังก์ชันคู่ ถ้า
f(−x) = f(x) ทุก x
• f(x) เรียก f(x) ว่าฟังก์ชันคี่ ถ้า
f(−x) = −f(x) ทุก x
ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 13 / 29
Note.• 1, cos
πx
L, cos
2πx
L, . . . เป็นฟังก์ชันคู่
sinπx
L, sin
2πx
L, . . . เป็นฟังก์ชันคี่
• ถ้า f เป็นฟังก์ชันคู่จะได้ว่า f(x) cosnπx
Lเป็นฟังก์ชันคู่ และ
f(x) sinnπx
Lเป็นฟังก์ชันคี่
• ถ้า f เป็นฟังก์ชันคี่จะได้ว่า f(x) cosnπx
Lเป็นฟังก์ชันคี่ และ
f(x) sinnπx
Lเป็นฟังก์ชันคู่
ฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 14 / 29
ข้อสังเกตุ∫
L
−L
O(x)dx = 0,
∫
L
−L
E(x)dx = 2
∫
L
0
E(x)dx
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันคู่ ฟังก์ชันคี่
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 15 / 29
ทฤษฏีบท ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันคาบ 2L
• ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันคู่ จะได้อนุกรมฟูเรียร์
f(x) =a02
+
∞∑
n=1
an cosnπx
L(Fourier cosine)
• ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันคี่ จะได้อนุกรมฟูเรียร์
f(x) =∞∑
n=1
bn sinnπx
L(Fourier sine)
ตัวอย่าง 4
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 16 / 29
รูปซ้ายมือมาจากตัวอย่าง 1 จะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันคู่ดังนั้นกระจายอนุกรมได้อนุกรมฟูเรียร์โคไซน์
รูปทางขวาจากตัวอย่าง 2 จะเห็นว่าเป็นฟังก์ชันคี่ดังนั้นกระจายอนุกรมได้อนุกรมฟูเรียร์ไซน์
อนุกรมฟูเรียร์ของผลบวก และผลคูณค่าคงที่
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 17 / 29
ทฤษฎีบท สปส. (an และ bn) อนุกรมฟูเรียร์ของ f1+f2 เท่ากับผลบวกของ สปส.อนุกรมฟูเรียร์คู่สมนัยกันของ f1 และของ f2
สปส. (an และ bn) ของอนุกรมฟูเรียร์ของ cf(x) เมื่อ c เป็นค่าคงตัว เท่ากับ c คูณสปส.อนุกรมฟูเรียร์ของ f(x)
ตัวอย่าง 5
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 18 / 29
EX. จงกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน
f(x) = x+ π (−π < x < π), P = 2π
ตัวอย่าง 5
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 19 / 29
วิธีทำ สามารถเขียน f(x) = f1(x) + f2(x) โดยในหนึ่งคาบf1(x) = x และ f2(x) = π เนื่องจาก f2 เป็นฟังก์ชันค่าคงที่ดังนั้นจะได้อนุกรมฟูเรียร์
f2(x) = π +∞∑
n=0
(0 cosnx+ 0 sinnx)
f1(x) เป็นฟังก์ชันคี่ดังนั้นได้อนุกรมอนุกรมฟูเรียร์ไซน์ โดย
bn =1
π
∫
π
−π
x sinnx dx =2
π
∫
π
0
x sinnx dx
=2
π
(
−x cosnx
n+
sinnx
n2
)
∣
∣
∣
π
0
= −2(−1)n
n
ตัวอย่าง 5
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 20 / 29
สรุปได้อนุกรมฟูเรียร์ของ f(x) คือ
f(x) = π −
∞∑
n=1
2(−1)n
nsinnx
การขยายครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 21 / 29
บทนิยาม ให้ L > 0 และ f(x) เป็นฟังก์ชันบนช่วง [0, L]
1. นิยาม fE เป็นฟังก์ชันคาบ 2L และในหนึ่งคาบ
fE(x) =
f(x) 0 < x < L
f(−x) −L < x < 0
2. นิยาม fO เป็นฟังก์ชันคาบ 2L และในหนึ่งคาบ
fO(x) =
f(x) 0 < x < L
−f(−x) −L < x < 0
การขยายครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 22 / 29
สังเกตว่า
• fE เป็นฟังก์ชันคู่• fO เป็นฟังก์ชันคี่
เรียก
fE การขยายครึ่งช่วงเป็นฟังก์ชันคู่ ของ f(x)
fO การขยายครึ่งช่วงเป็นฟังก์ชันคี่ ของ f(x)
การขยายครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 23 / 29
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 24 / 29
บทนิยาม ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันบนช่วง x ∈ [0, L] มีสองวิธีในการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชัน f
1. f(x) = fE(x) = Fourier cosine of fE2. f(x) = fO(x) = Fourier sine of fO
อนุกรมที่ได้เรียกว่าการกระจายครึ่งช่วงของ f(x)
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 25 / 29
ทฤษฎีบท ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันนิยามบนช่วง x ∈ [0, L]
1. ถ้ากระจายครึ่งช่วงด้วยฟังก์ชันคู่ fE จะได้
f(x) =a02
+∞∑
n=1
an cosnπx
L(0 < x < L)
โดย
an =2
L
∫
L
0
f(x) cosnπx
Ldx
เรียกอนุกรมที่ได้ว่าอนุกรมฟูเรียร์โคไซน์ของ f
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ครึ่งช่วง
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 26 / 29
2. ถ้ากระจายครึ่งช่วงด้วยฟังก์ชันคี่ จะได้
f(x) =∞∑
n=1
bn sinnπx
L(0 < x < L)
โดย
bn =2
L
∫
L
0
f(x) sinnπx
Ldx
เรียกอนุกรมที่ได้ว่าอนุกรมฟูเรียร์ไซน์ของ f
ตัวอย่าง 6
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 27 / 29
EX. ให้
f(x) =
x 0 ≤ x ≤ π
2π − x π ≤ x ≤ 2π, L = 2π
จงหาอนุกรมฟูเรียร์ไซน์ของ f
วิธีทำ โดยนิยามต้องคำนวณ
bn =2
2π
∫
2π
0
f(x) sinnπx
2πdx,
=1
π
(∫
π
0
x sinnx
2dx+
∫
2π
π
(2π − x) sinnx
2dx
)
ตัวอย่าง 6
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 28 / 29
จากสูตร∫
x sin ax dx = −x cos ax
a+ sin ax
a2ได้
∫
π
0
x sinnx
2dx =
(
−2x cos(nx/2)
n+
4 sin(nx/2)
n2
)
∣
∣
∣
π
0
∫
2π
π
x sinnx
2dx =
(
−2x cos(nx/2)
n+
4 sin(nx/2)
n2
)
∣
∣
∣
2π
π
∫
2π
π
2π sinnx
2dx = −
4π
ncos
nx
2
∣
∣
∣
2π
π
เมื่อแทนในสมการก่อนหน้าจะได้
bn =8
n2πsin
nπ
2
ตัวอย่าง 6
Intro.
Def. Four Ser 2L
Thm. Conv
EX 1
EX 2
EX 3
Def. Odd/Even
Thm. Odd/Even
EX 4
Facts
EX 5
Def. Half Ext
Half Range Exp
EX 6
Lecture 8 สุจินต์ คมฤทัย – 29 / 29
สรุปได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ไซน์เท่ากับ
f(x) =8
π
(
sinx
2−
1
9sin
3x
2+
1
25sin
5x
2− · · ·
)
