Lecture 10 สจนต คมฤทย – 1 / 23

สมการเชงอนพนธยอย (PartialDifferential Equations)

ผศ.ดร.สจนต คมฤทย, Ph.D.

สมการเชงอนพนธยอย

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 2 / 23

ในคณตศาสตรประยกตมปญหาสำคญอกกลม ทมแบบจำลองทางคณตศาสตรเกยวของกบฟงกชนของตวแปรมากกวาหนงสมการในกลมนเรยกวาสมการเชงอนพนธยอย หรอ PartialDifferential Equation (PDE)

สมการเชงอนพนธยอย คอ สมการเชงอนพนธซงผลเฉลยทตองการเปนฟงกชนขนกบตวแปรมากกวาหนง และในสมการมพจนอนพนธยอยของผลเฉลยเทยบตวแปรเหลาน

สมการเชงอนพนธยอย

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 3 / 23

EX. แบบจำลองการนำความรอน (Heat conduction) ในของแขงยาว L คอ

∂T

∂t= k

∂2T

∂x2(0 < x < L, t > 0)

เมอ T = T (x, t) คออณหภมทตำแหนง x ณ เวลา t

สมการเชงอนพนธยอย

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 4 / 23

EX. แบบจำลองการสน (Wave motion) ในเสนลวดยดหยนยาวL คอ

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2(0 < x < L, t > 0)

เมอ u = u(x, t) เปนระยะสนในแนวดงทตำแหนง x ณ เวลา t

สมการเชงอนพนธยอย

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 5 / 23

EX. สมการบม (Beam equation) คอ สมการในรป

∂2

∂x2

(

EI∂2w

∂x2

)

= −µ∂2w

∂t2+Q(x)

เมอ w = w(x, t) เปนการเบนแนวดง ณ ตำแหนง x ทเวลา t

วตถประสงค

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 6 / 23

ในบทนจะศกษา

1. สมการคลน (Wave equation)2. เงอนไขคาเรมตน และเงอนไขคาขอบ3. เทคนกแยกตวแปร (Separation of variable technique)4. ปญหาคาเจาะจงและฟงกชนเจาะจง5. การหาผลเฉลยโดยวธกระจายอนกรมฟเรยร6. การหาผลเฉลยโดยวธกระจายฟงกชนเจาะจง7. สมการความรอน (Heat equation)8. สมการลาปลาซ (Laplace equation)

และการนำความรอนในสภาวะ Steady-state

สมการคลน: การสนแนวดงของเสนลวด

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 7 / 23

พจารณาเสนลวดวางในแนวแกน x โดยตรงปลายทตำแหนงx = 0 และ x = L ทเวลาเรมตนเสนลวดถกดงขนในแนวดงแลวปลอยใหเคลอนทตอไป ทเวลา t > 0 ให u(x, t) =

ระยะใน แนวดงของเสนลวดทตำแหนง x

สมการคลน: การสนของเสนลวด

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 8 / 23

บนชวง [x, x+△x] ใหแรงดงทปลาย P,Q เทากบ T1, T2

สมมตวาไมมการเคลอนทในแนวนอน แรงดงดดมผลนอยมากจะได

T1 cosα = T2 cos β = T = คาคงท

และจากกฎขอสองของนวตน

T2 sinβ − T1 sinα = ρ△x∂2u(x, t)

∂t2

เมอ ρ = มวลตอหนวยความยาว

สมการคลน: การสนของเสนลวด

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 9 / 23

หารตลอดดวย T และจดรปได

tanβ − tanα =ρ

T△x

∂2u(x, t)

∂t2

เนองจาก tanα คอ slope ทจด x และ tanβ คอ slope ทจดx+△x ของกราฟ u(x, t) ดงนน

∂u(x+△x, t)

∂x− ∂u(x, t)

∂x=

ρ

T△x

∂2u(x, t)

∂t2

หารทงสองขางดวย △x แลว take limit △x → 0 ได

∂2u(x, t)

∂x2=

ρ

T

∂2u(x, t)

∂t2

สมการคลน: การสนของเสนลวด

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 10 / 23

สมการคลนใน 1 มต:

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2โดย c2 =

T

ρเปนคาคงท

สมการคลน: คาเรมตนและคาขอบ

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 11 / 23

เพอใหปญหาสมบรณจะกำหนดเงอนไขเพมเตม ไดแก1. คาเรมตน

u(x, 0) = f(x),∂u

∂t(x, 0) = g(x)

f = initial profile, g = =initial velocity2. คาขอบ ม 3 วธในการกำหนดคาขอบ ไดแก

Dirichlet: u(0, t) = A, u(L, t) = B

Neumann: ux(0, t) = A, ux(L, t) = B

และแบบ Robin

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 12 / 23

ปญหา พจารณา IBVP คาขอบเอกพนธ

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x)

สำหรบปญหาคาขอบเอกพนธใชเทคนกแยกตวแปรหาผลเฉลยไดดงน พจารณา BVP (ไมคด IC) และหาผลเฉลยแยกตวแปร

u(x, t) = X(x)T (t)

ทงหมดทสอดคลอง BVP

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 13 / 23

Step 1 แทน u(x, t) = X(x)T (t) ในสมการคลน ได

X(x)T ′′(t) = c2X ′′(x)T (t) ⇒ ∴

T ′′(t)

c2T (t)=

X ′′(x)

X(x)= λ

โดย λ เปนคาคงตว นนคอ

T ′′(t)− λc2T (t) = 0 (t > 0),

X ′′(x)− λX(x) = 0 (0 < x < L)

ซงเปน IVP และ BVP ตามลำดบ

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 14 / 23

Step 2 แทน u(x, t) = X(x)T (t) ใน u(0, t) = u(L, t) = 0 ได

X(0) = X(L) = 0

แก Two-points BVP

X ′′(x)− λX(x) = 0 0 < x < L

X(0) = X(L) = 0

ไดผลเฉลย 3 แบบ ขนกบคา λ

(1) λ > 0: จาก X(0) = X(L) = 0 ได

X(x) = C1e√λx + C2e

−√λx ⇒ C1 = C2 = 0

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 15 / 23

(2) λ = 0: จาก X(0) = X(L) = 0 ได

X(x) = C1 + C2x ⇒ C1 = C2 = 0

(3) λ < 0

X(x) = C1 cos(√−λx) + C2 sin(

√−λx)

จาก X(0) = X(L) = 0 ดงนน

C1 = 0, C2 sin(√−λL) = 0 ⇒ λ = λn = −

(nπ

L

)2

โดย n = 1, 2, 3, . . .

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 16 / 23

และไดผลเฉลยของ BVP คอ

X(x) = C2Xn(x), Xn = sinnπx

L

เรยก λn วาคาเจาะจงและ Xn วาฟงกชนเจาะจงของ BVP

X ′′(x)− λX(x) = 0 0 < x < L

X(0) = X(L) = 0

ตวอยาง 1

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 17 / 23

EX. พจารณาปญหาคลนทกำหนดคาขอบ Neumann

∂2u

∂t2= 4

∂2u

∂x20 < x < π

ux(0, t) = ux(π, t) = 0

จงหา Two-points BVP พรอมทงหาคาเจาะจงและฟงกชนเจาะจง

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 18 / 23

Step 3 จากคาเจาะจง

λ = λn = −(nπ

L

)2

ไดวา ODE T ′′ − λc2T = 0 มผลเฉลยคอ

T (t) = An cosnπct

L+Bn sin

nπct

L

ดงนนผลเฉลยแยกตวแปรทงหมด คอ

X(x)T (t) = sinnπx

L

(

An cosnπct

L+Bn sin

nπct

L

)

เมอ n = 1, 2, . . .

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 19 / 23

Step 4 จากหลกการซอนทบ จะไดวาผลเฉลยของ BVP

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

u(0, t) = u(L, t) = 0

เขยนไดเปน

u(x, t) =∞∑

n=1

(

An cosnπct

L+Bn sin

nπct

L

)

sinnπx

L

โดย An, Bn เปนคาคงตวซงจะหาไดจาก IC

สมการคลน: เทคนกแยกตวแปร

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 20 / 23

จาก u(x, 0) = f(x) จะได

f(x) =

∞∑

n=1

An sinnπx

L∴ An =

2

L

∫

L

0

f(x) sinnπx

Ldx

จาก ut(x, 0) = g(x) ได

g(x) =∞∑

n=1

nπc

LBn sin

nπx

L∴ Bn =

2

nπc

∫

L

0

g(x) sinnπx

Ldx

จากคา An, Bn จะไดผลเฉลยของ IBVP ทตองการ

สมการคลน: ผลเฉลยบรบรณ

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 21 / 23

ทฤษฎบท สำหรบ IVBP

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x20 < x < L, t > 0

u(0, t) = u(L, t) = 0

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x)

มผลเฉลยคอ

u(x, t) =∞∑

n=1

(

An cosnπct

L+Bn sin

nπct

L

)

sinnπx

L

เมอ An, Bn คำนวณจาก

สมการคลน: ผลเฉลยบรบรณ

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 22 / 23

An =2

L

∫

L

0

f(x) sinnπx

Ldx

Bn =2

nπc

∫

L

0

g(x) sinnπx

Ldx

สำหรบ n = 1, 2, . . .

ตวอยาง 3

PDE

Plan

Wave EQN: Deriv

IBVP

Sep of Var

Wave: SOV Step 1

Wave: SOV Step 2

EX 1

Wave: SOV Step 3

Wave: SOV Step 4

Wave: Complete Sol

EX 3

Lecture 10 สจนต คมฤทย – 23 / 23

EX. จงหาผลเฉลยของ IBVP

∂2u

∂t2= 4

∂2u

∂x2, 0 < x < π, t > 0

u(0, t) = u(π, t) = 0

u(x, 0) = sin 3x, ut(x, 0) = 0