Расчетно-графическая работа 1

laquoПреобразования координатraquo

laquoПреобразование пространственных прямоугольных координатraquo

Положение точек непосредственно на физической поверхности Земли или в

околоземном пространстве а также на поверхности земного эллипсоида

могут определяться в различных как прямолинейных так и криволинейных

системах координат Пространственное положение объекта на земной

поверхности может задаваться 3-мя типами координат

1 пространственные прямоугольные декартовы координаты ndash Х У Z

2 криволинейные эллипсоидальные геодезические координаты ndash B L H

3 системы плоских прямоугольных декартовых координат ndash х у

Пространственная прямоугольная система координат по положению начала

системы координат является либо геоцентрической либо топоцентрической

Также по способу становления системы координат она либо общеземная

либо референцная На рисунке 11 изображена общеземная геоцентрическая

система координат оси которой направлены

Ось X ndash в точку пересечения плоскости экватора и исходного (нулевого

меридиана)

Ось Z ndash направлена в точку обычного земного полюса

Ось Y ndash завершает правостороннюю систему координат

Рисунок 11 ndash Пространственная прямоугольная система координат

Преобразования пространственных прямоугольных координат

осуществляется переносом центра системы координат разворотом её осей а

также изменением масштабного коэффициента Данный метод

преобразования называется laquoПреобразованием координат по Гельмертуraquo а

также 7-параметрическим преобразованием или Евклидовым

преобразованием подобия Связь двух прямоугольных систем координат

представлена на рисунке 12

Рисунок 12 ndash Связь двух систем координат

Рассматривая переход от одной системы координат к другой получим

выражение в формульном виде [1]

2 1 1

Z Y

Z X

Y XСК СК СК

X X X X

Y Y Y Y

Z Z Z Z

(11)

где

X Y Z - линейные элементы трансформирования систем координат

при переходе из системы 1 в систему 2 м

X Y Z

- угловые элементы трансформирования систем координат

при переходе из системы 1 в систему 2 рад

- масштабный элемент трансформирования систем координат при

переходе из системы 1 в систему 2

Данную формулу можем сократить до первоначального вида

2 1(1 )СК СКR R E R (12)

где Е - матрица поворота основанная на углах Кардано (рисунок 23)

Рисунок 13 ndash Углы Кардано

Преобразования с углами Кардано X Y Z

образующими вектор малого

вращения производится через три последовательных вращения

1 2 3( ) ( ) ( )X Y ZE R R R (13)

При повороте вокруг оси абсцисс матрица вращения имеет вид

1

1 0 0

( ) 0 Cos Sin

0 Sin Cos

X X X

X X

R

(14)

При повороте вокруг оси ординат матрица вращения имеет вид

2

Cos 0 Sin

( ) 0 1 0

Sin 0 Cos

Y Y

Y

Y Y

R

(15)

При повороте вокруг оси аппликат матрица вращения имеет вид

3

Cos Sin 0

( ) Sin Cos 0

0 0 1

Z Z

Z Z ZR

(16)

Перемножая матрицы последовательных переводов исходного репера

базисных единичных векторов получаем общую матрицу

1 2 3( ) ( ) ( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos

X Y Z

Y Z Y Z Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

E R R R

(17)

Так как в геодезической практике углы X Y Z

очень малы и редко

превышают 5˝ (210-5 рад) их можно принять равными

sin

cos 1

sin sin 0

А сокращённая матрица преобразования E примет вид как в формуле 11

1

1

1

Z Y

Z X

Y X

E

laquoПреобразование пространственных прямоугольных в геодезические

координатыraquo

Геодезической широтой точки М называется угол В образованный

нормалью к поверхности эллипсоида проходящей через данную точку и

плоскостью экватора Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0deg

до 90deg и называется северной или южной Северную широту считают

положительной а южную - отрицательной

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L

образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического

меридиана и геодезического меридиана данной точки Долготы отсчитывают

от начального меридиана в пределах от 0deg до 360deg на восток или от 0deg до

180deg на восток (положительные) и от 0deg до 180deg на запад (отрицательные)

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью

земного эллипсоида

Преобразование геодезических координат в прямоугольные

пространственные координаты осуществляется по формулам

2

( )cos cos

( )cos sin

( (1 ) )sin

X N H B L

Y N H B L

Z N e H B

(18)

В данных формулах

е ndash первый эксцентриситет меридианного эллипса который находится из

соотношения большой (a) и малой (b) полуосей эллипсоида

2 2a bе

a

(19)

а его квадрат также можно вычислить из следующей разницы

2 22e (110)

где α ndash сжатие эллипсоида найденное по формуле

a b

a

(111)

N ndash радиус кривизны первого вертикала отрезок нормали от поверхности

эллипсоида до пересечения с осью вращения который находится как

2 21 sin

a aN

We B

(112)

где W ndash первая основная сфероидическая функция

При обратном переходе из прямоугольных геоцентрических координат в

эллипсоидальные невозможно точно вычислить значение широты B Ее

можно найти двумя способами

1 Итеративный процесс

Последовательными приближениями находится значение широты B

Количество итераций зависит от требуемой точности

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

преобразования называется laquoПреобразованием координат по Гельмертуraquo а

также 7-параметрическим преобразованием или Евклидовым

преобразованием подобия Связь двух прямоугольных систем координат

представлена на рисунке 12

Рисунок 12 ndash Связь двух систем координат

Рассматривая переход от одной системы координат к другой получим

выражение в формульном виде [1]

2 1 1

Z Y

Z X

Y XСК СК СК

X X X X

Y Y Y Y

Z Z Z Z

(11)

где

X Y Z - линейные элементы трансформирования систем координат

при переходе из системы 1 в систему 2 м

X Y Z

- угловые элементы трансформирования систем координат

при переходе из системы 1 в систему 2 рад

- масштабный элемент трансформирования систем координат при

переходе из системы 1 в систему 2

Данную формулу можем сократить до первоначального вида

2 1(1 )СК СКR R E R (12)

где Е - матрица поворота основанная на углах Кардано (рисунок 23)

Рисунок 13 ndash Углы Кардано

Преобразования с углами Кардано X Y Z

образующими вектор малого

вращения производится через три последовательных вращения

1 2 3( ) ( ) ( )X Y ZE R R R (13)

При повороте вокруг оси абсцисс матрица вращения имеет вид

1

1 0 0

( ) 0 Cos Sin

0 Sin Cos

X X X

X X

R

(14)

При повороте вокруг оси ординат матрица вращения имеет вид

2

Cos 0 Sin

( ) 0 1 0

Sin 0 Cos

Y Y

Y

Y Y

R

(15)

При повороте вокруг оси аппликат матрица вращения имеет вид

3

Cos Sin 0

( ) Sin Cos 0

0 0 1

Z Z

Z Z ZR

(16)

Перемножая матрицы последовательных переводов исходного репера

базисных единичных векторов получаем общую матрицу

1 2 3( ) ( ) ( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos

X Y Z

Y Z Y Z Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

E R R R

(17)

Так как в геодезической практике углы X Y Z

очень малы и редко

превышают 5˝ (210-5 рад) их можно принять равными

sin

cos 1

sin sin 0

А сокращённая матрица преобразования E примет вид как в формуле 11

1

1

1

Z Y

Z X

Y X

E

laquoПреобразование пространственных прямоугольных в геодезические

координатыraquo

Геодезической широтой точки М называется угол В образованный

нормалью к поверхности эллипсоида проходящей через данную точку и

плоскостью экватора Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0deg

до 90deg и называется северной или южной Северную широту считают

положительной а южную - отрицательной

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L

образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического

меридиана и геодезического меридиана данной точки Долготы отсчитывают

от начального меридиана в пределах от 0deg до 360deg на восток или от 0deg до

180deg на восток (положительные) и от 0deg до 180deg на запад (отрицательные)

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью

земного эллипсоида

Преобразование геодезических координат в прямоугольные

пространственные координаты осуществляется по формулам

2

( )cos cos

( )cos sin

( (1 ) )sin

X N H B L

Y N H B L

Z N e H B

(18)

В данных формулах

е ndash первый эксцентриситет меридианного эллипса который находится из

соотношения большой (a) и малой (b) полуосей эллипсоида

2 2a bе

a

(19)

а его квадрат также можно вычислить из следующей разницы

2 22e (110)

где α ndash сжатие эллипсоида найденное по формуле

a b

a

(111)

N ndash радиус кривизны первого вертикала отрезок нормали от поверхности

эллипсоида до пересечения с осью вращения который находится как

2 21 sin

a aN

We B

(112)

где W ndash первая основная сфероидическая функция

При обратном переходе из прямоугольных геоцентрических координат в

эллипсоидальные невозможно точно вычислить значение широты B Ее

можно найти двумя способами

1 Итеративный процесс

Последовательными приближениями находится значение широты B

Количество итераций зависит от требуемой точности

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

2 1(1 )СК СКR R E R (12)

где Е - матрица поворота основанная на углах Кардано (рисунок 23)

Рисунок 13 ndash Углы Кардано

Преобразования с углами Кардано X Y Z

образующими вектор малого

вращения производится через три последовательных вращения

1 2 3( ) ( ) ( )X Y ZE R R R (13)

При повороте вокруг оси абсцисс матрица вращения имеет вид

1

1 0 0

( ) 0 Cos Sin

0 Sin Cos

X X X

X X

R

(14)

При повороте вокруг оси ординат матрица вращения имеет вид

2

Cos 0 Sin

( ) 0 1 0

Sin 0 Cos

Y Y

Y

Y Y

R

(15)

При повороте вокруг оси аппликат матрица вращения имеет вид

3

Cos Sin 0

( ) Sin Cos 0

0 0 1

Z Z

Z Z ZR

(16)

Перемножая матрицы последовательных переводов исходного репера

базисных единичных векторов получаем общую матрицу

1 2 3( ) ( ) ( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos

X Y Z

Y Z Y Z Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

E R R R

(17)

Так как в геодезической практике углы X Y Z

очень малы и редко

превышают 5˝ (210-5 рад) их можно принять равными

sin

cos 1

sin sin 0

А сокращённая матрица преобразования E примет вид как в формуле 11

1

1

1

Z Y

Z X

Y X

E

laquoПреобразование пространственных прямоугольных в геодезические

координатыraquo

Геодезической широтой точки М называется угол В образованный

нормалью к поверхности эллипсоида проходящей через данную точку и

плоскостью экватора Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0deg

до 90deg и называется северной или южной Северную широту считают

положительной а южную - отрицательной

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L

образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического

меридиана и геодезического меридиана данной точки Долготы отсчитывают

от начального меридиана в пределах от 0deg до 360deg на восток или от 0deg до

180deg на восток (положительные) и от 0deg до 180deg на запад (отрицательные)

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью

земного эллипсоида

Преобразование геодезических координат в прямоугольные

пространственные координаты осуществляется по формулам

2

( )cos cos

( )cos sin

( (1 ) )sin

X N H B L

Y N H B L

Z N e H B

(18)

В данных формулах

е ndash первый эксцентриситет меридианного эллипса который находится из

соотношения большой (a) и малой (b) полуосей эллипсоида

2 2a bе

a

(19)

а его квадрат также можно вычислить из следующей разницы

2 22e (110)

где α ndash сжатие эллипсоида найденное по формуле

a b

a

(111)

N ndash радиус кривизны первого вертикала отрезок нормали от поверхности

эллипсоида до пересечения с осью вращения который находится как

2 21 sin

a aN

We B

(112)

где W ndash первая основная сфероидическая функция

При обратном переходе из прямоугольных геоцентрических координат в

эллипсоидальные невозможно точно вычислить значение широты B Ее

можно найти двумя способами

1 Итеративный процесс

Последовательными приближениями находится значение широты B

Количество итераций зависит от требуемой точности

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

3

Cos Sin 0

( ) Sin Cos 0

0 0 1

Z Z

Z Z ZR

(16)

Перемножая матрицы последовательных переводов исходного репера

базисных единичных векторов получаем общую матрицу

1 2 3( ) ( ) ( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos

X Y Z

Y Z Y Z Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

X Y Z X Z X Y Z X Z X Y

E R R R

(17)

Так как в геодезической практике углы X Y Z

очень малы и редко

превышают 5˝ (210-5 рад) их можно принять равными

sin

cos 1

sin sin 0

А сокращённая матрица преобразования E примет вид как в формуле 11

1

1

1

Z Y

Z X

Y X

E

laquoПреобразование пространственных прямоугольных в геодезические

координатыraquo

Геодезической широтой точки М называется угол В образованный

нормалью к поверхности эллипсоида проходящей через данную точку и

плоскостью экватора Широта отсчитывается от экватора к северу и югу от 0deg

до 90deg и называется северной или южной Северную широту считают

положительной а южную - отрицательной

Геодезической долготой точки М называется двугранный угол L

образованный плоскостями начального (гринвичского) геодезического

меридиана и геодезического меридиана данной точки Долготы отсчитывают

от начального меридиана в пределах от 0deg до 360deg на восток или от 0deg до

180deg на восток (положительные) и от 0deg до 180deg на запад (отрицательные)

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью

земного эллипсоида

Преобразование геодезических координат в прямоугольные

пространственные координаты осуществляется по формулам

2

( )cos cos

( )cos sin

( (1 ) )sin

X N H B L

Y N H B L

Z N e H B

(18)

В данных формулах

е ndash первый эксцентриситет меридианного эллипса который находится из

соотношения большой (a) и малой (b) полуосей эллипсоида

2 2a bе

a

(19)

а его квадрат также можно вычислить из следующей разницы

2 22e (110)

где α ndash сжатие эллипсоида найденное по формуле

a b

a

(111)

N ndash радиус кривизны первого вертикала отрезок нормали от поверхности

эллипсоида до пересечения с осью вращения который находится как

2 21 sin

a aN

We B

(112)

где W ndash первая основная сфероидическая функция

При обратном переходе из прямоугольных геоцентрических координат в

эллипсоидальные невозможно точно вычислить значение широты B Ее

можно найти двумя способами

1 Итеративный процесс

Последовательными приближениями находится значение широты B

Количество итераций зависит от требуемой точности

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

Геодезической высотой точки М является ее высота Н над поверхностью

земного эллипсоида

Преобразование геодезических координат в прямоугольные

пространственные координаты осуществляется по формулам

2

( )cos cos

( )cos sin

( (1 ) )sin

X N H B L

Y N H B L

Z N e H B

(18)

В данных формулах

е ndash первый эксцентриситет меридианного эллипса который находится из

соотношения большой (a) и малой (b) полуосей эллипсоида

2 2a bе

a

(19)

а его квадрат также можно вычислить из следующей разницы

2 22e (110)

где α ndash сжатие эллипсоида найденное по формуле

a b

a

(111)

N ndash радиус кривизны первого вертикала отрезок нормали от поверхности

эллипсоида до пересечения с осью вращения который находится как

2 21 sin

a aN

We B

(112)

где W ndash первая основная сфероидическая функция

При обратном переходе из прямоугольных геоцентрических координат в

эллипсоидальные невозможно точно вычислить значение широты B Ее

можно найти двумя способами

1 Итеративный процесс

Последовательными приближениями находится значение широты B

Количество итераций зависит от требуемой точности

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

В первом приближении широта B вычисляется по формуле

где Q ndash радиус параллели

Во втором и последующих приближениях широта B равна

где геодезическая высота H находится по формуле

и радиус кривизны первого вертикала N как

Долготу L можно найти как

0 cos sinY X Y

L atg a aX Q Q

(118)

Так как долгота отсчитывается до 360deg то необходимо привести её к

необходимому значению за четверть

(119)

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

2 Метод Боуринга

Рассмотрим 2 метода Боуринга

Можно найти геодезическую широту по формуле

3 2 2

3 2 2 2

( )

(1 )

Z r be ZB atg

Q r be e p

(120)

где еrsquo ndash второй эксцентриситет получаемый по формуле

22

2

1

ee

e

(121)

b ndash малая полуось эллипсоида а r находится по формуле

2 2 2 2( )(1 )r Z X Y e (122)

Во втором её можно найти используя приведенную широту

Если между меридианным эллипсом и осью вращения эллипсоида уложить

отрезок длиной a то с плоскостью экватора образуется угол приведенной

широты U Более точно определение гласит что приведенной широтой точки

P1 называют геоцентрическую широту точки Prsquo являющейся проекцией

точки P1 на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости

экватора ndash рисунок 13

Рисунок 13 ndash Приведенная широта

Приведенную широту вычисляют по формуле

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

2( )

1

ZU atg

Q e

(123)

И далее найдя U найдём геодезическую широту

2 3

2

2 3

sin

1

cos

e a UZ

eB atg

Q e a U

(124)

Геодезическую высоту H можно вычислить по формулам

cos

QH N

B

(125)

2 2cos sin (1 sin )H Q B Z B a e B (126)

laquoВычисление координат в системах СК-42 и СК-95raquo

В России используются государственные системы координат СК-42 и СК-95

тогда как координаты векторов баз получаются из обработки GPS данных в

системе WGS-84 Необходимы процедуры нахождения параметров

преобразования между системами отсчета

42 42

84 84 90

95 95

СК СК

WGS WGS ПЗ

СК СК

X Y Z B L HB L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при переносе

начала системы и повороте осей выполняют по ранее приведённой формуле

Гельмерта

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

Параметры преобразования выбираются из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo

Используются системы WGS-84 и ПЗ-90

Согласно ГОСТ 32453-2013 для получения плоских прямоугольных

координат в принятой на территории РФ проекции Гаусса-Крюгера

используют геодезические координаты на эллипсоиде Красовского

Плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0001 м

вычисляют по формулам (

2 4

2 2 4 6

4 2 4 6

8 2

63675584968 sin 2 (1600289 669607sin 03515sin )

sin 2 (159456125 5336535sin 26790sin 0149sin )

sin 2 (6724834 811219sin 54200sin 16010sin )

sin 2 (109500 574700sin 86

радx B B B B

l B B B B

l B B B B

l B B

4 63700sin 398600sin )B B (128)

5

2 4 6

3 2 4 6

5 2 4 6

7

(5 10 ) 10

cos (6378245 213461415sin 107159sin 05977sin )

cos (107020416 213682666sin 1798sin 1199sin )

cos (270806 1523417sin 1327645sin 21701sin )

cos (79690 866190s

y n

l B B B B

l B B B B

l B B B B

l B

2 4 6in 1730360sin 945460sin )B B B (129)

l ndash расстояние от определяемой точки до осевого меридиана зоны

выраженное в радианной мере и вычисляемое по формуле

3 6( 1) 5729577951l L n (130)

n ndash номер шестиградусной зоны в проекции Гаусса-Крюгера вычисляемые

по формуле

(6 ) 6n E L (131)

E[hellip] ndash целая часть выражения заключенного в квадратные скобки

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

Состав задания

1 Используя пространственные прямоугольные координаты из таблицы

13 и параметры преобразования из таблицы 2 получить

пространственные прямоугольные координаты в системе СК2

2 Используя пространственные прямоугольные координаты системы

СК2 преобразовать их в геодезические координаты 3 методами

методом итераций и 2мя методами Боуринга Сравнить точность

полученных широт Выполнить проверку получив пространственные

прямоугольные координаты Использовать эллипсоид WGS-84

3 Используя геодезические координаты выполнить следующую цепочку

преобразований

84 84 90

42 42 42

95 95 95

Гауса Крюгера

Гауса Крюгера

WGS WGS ПЗ

СК СК СК

СК СК СК

B L H X Y Z X Y Z

X Y Z B L H x y

X Y Z B L H x y

Параметры переходов брать из ГОСТ 32453-2013 laquoГлобальная

навигационная спутниковая система Системы координат Методы

преобразований координат определяемых точекraquo Использовать

систему WGS-84 и ПЗ-90

Таблица 1 Исходные координаты в системе координат СК1

X(метры) Y(метры) Z(метры) X(метры) Y(метры) Z(метры)

1 5477872032 523720607 3214357755 31 -4983837337 2288391971 3246027843

2 5364847987 990195794 3293681934 32 -5138038249 1842398327 3288861122

3 5185014470 1443112695 3411422272 33 -5209821824 1338550849 3416247449

4 4978271271 1848809368 3521087804 34 -5243866511 862943602 3515260711

5 4738168458 2259033567 3611371081 35 -5226754927 395418511 3622037183

6 4449632297 2652078832 3709065291 36 -5199180684 -43308611 3682108345

7 4182935870 3015991318 3740993144 37 -5116898478 -467951707 3766377917

8 3853495992 3292318222 3859361852 38 -4975137741 -911978898 3872880760

9 3490282139 3558893181 3966049223 39 -4818466571 -1343229831 3944155279

10 3148903153 3807250969 4020472438 40 -4604952192 -1727375799 4047677506

11 2745372822 4016010026 4111485266 41 -4406946791 -2079505032 4101762101

12 2349290957 4190788373 4181379900 42 -4124823990 -2441793316 4193736919

13 1956394081 4308339269 4262782314 43 -3840465740 -2757162551 4267288821

14 1562019507 4375934016 4355115297 44 -3529485706 -3009838931 4363361270

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

15 1147663101 4419780018 4438318344 45 -3177713321 -3264526038 4449105365

16 732628458 4445412753 4499836076 46 -2846742079 -3456111842 4527301626

17 328268053 4393062987 4597151199 47 -2511260125 -3614903730 4600728461

18 -19648943 4322106731 4674909317 48 -2129703812 -3719438908 4707811226

19 -401259675 4213206611 4755947587 49 -1777263668 -3868705915 4733534526

20 -744894041 4088357359 4822582433 50 -1409688785 -3913635955 4819041401

21 -1090583664 3920329150 4895241852 51 -1010187418 -3974915327 4868550000

22 -1409954815 3726222822 4964341484 52 -646921557 -3904349109 4985359297

23 -1672118253 3491712265 5052021342 53 -311787556 -3896937749 5022925064

24 -1944984432 3267807660 5103611218 54 37526759 -3811356651 5097051137

25 -2171479115 3013826064 5167699543 55 358517732 -3681727113 5178751292

26 -2350951685 2763520187 5228278192 56 666112087 -3550905592 5238835488

27 -2500821200 2443724262 5316647062 57 925804933 -3389646444 5305288619

28 -2651256236 2161395139 5365452782 58 1192439772 -3210742539 5362743313

29 -2724739126 1864963316 5438881818 59 1457560367 -3029639756 5402149153

30 -2837324210 1596247082 5466556810 60 1648581139 -2815147076 5462481802

Таблица 2 Параметры преобразования координат в систему координат

СК2

Масштабный

коэффициент

Смещения Развороты

dX(метр) dY(метр) dZ(метр) wX(сек) wY(сек) wZ(сек)

1 000000312 16423 -128028 -2513 -18459 16148 -7666

2 000000140 9035 25175 -205967 30320 -12856 -51269

3 000000091 2141 -207065 -88633 -28465 -6998 -12937

4 000000229 -1934 -7131 1032 2310 -19106 -0291

5 -000000316 -73979 172023 14683 2333 31412 -7305

6 000000178 3447 65159 -57098 2621 30224 13549

7 000000436 -170859 102086 -68642 -8494 23126 -33345

8 -000000135 -43336 78741 -41244 6038 -13478 31763

9 000000337 -6568 98369 -19317 -12521 -20197 12936

10 000000328 -40479 6205 41386 -20942 41244 2133

11 000000046 -41787 -2062 -6976 34920 10076 -54748

12 000000344 25199 -104116 103513 14806 4866 17519

13 -000000144 5683 -28586 72638 14110 28656 -794

14 -000000081 78647 -0669 133701 1872 20614 -10464

15 000000179 159605 9992 222528 7674 604 26525

16 000000458 -225831 99455 -92436 -3246 -6648 19744

17 -000000304 2743 -127354 -320666 19898 -7475 -62329

18 000000402 -33038 264459 103435 -2705 28524 -14181

19 -000000015 102176 -20558 -41461 -8152 -2901 -2875

20 -000000019 -30424 13169 -5463 -0331 -8782 -21577

21 000000018 -220221 -11096 -145051 -27615 -1938 -33593

22 000000211 11689 -16774 21504 55677 15867 -31302

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54

23 000000244 62961 -113025 3994 -13913 20585 -15083

24 000000104 -163498 -113447 30945 28528 -1025 -3659

25 000000352 -75232 -11327 57703 51467 20847 -11658

26 000000053 7408 -66575 -33888 20865 -11385 -20337

27 000000239 -159524 76436 -44913 -7814 17083 -9955

28 000000287 130498 -86634 -160293 -9828 25406 15584

29 000000096 -32626 -70798 17838 5428 19906 -1449

30 000000206 12043 149555 113374 -37779 -10558 11805

Таблица 3 Варианты точек из таблицы 1 для каждой группы

Группа 1 Группа 2 Группа 3

1 1 10 20 1 60 15 5 55 25

2 2 11 21 2 59 16 6 54 26

3 3 12 22 3 58 17 7 53 27

4 4 13 23 4 57 18 8 52 28

5 5 14 24 5 56 19 9 51 29

6 6 15 25 6 55 20 10 50 30

7 7 16 26 7 54 21 11 49 31

8 8 17 27 8 53 22 12 48 32

9 9 18 28 9 52 23 13 47 33

10 10 19 29 10 51 24 14 46 34

11 11 20 30 11 50 25 15 45 35

12 12 21 31 12 49 26 16 44 36

13 13 22 32 13 48 27 17 43 37

14 14 23 33 14 47 28 18 42 38

15 15 24 34 15 46 29 19 41 39

16 16 25 35 16 45 30 20 40 1

17 17 26 36 17 44 31 21 39 41

18 18 27 37 18 43 32 22 38 42

19 19 28 38 19 42 33 23 37 43

20 20 29 39 20 41 34 24 36 44

21 21 30 40 21 40 35 25 35 45

22 22 31 41 22 39 36 26 34 46

23 23 32 42 23 38 37 27 33 47

24 24 33 43 24 37 38 28 32 48

25 25 34 44 25 36 39 29 31 49

26 26 35 45 26 35 40 30 30 50

27 27 36 46 27 34 41 31 29 51

28 28 37 47 28 33 42 32 28 52

29 29 38 48 29 32 43 33 27 53

30 30 39 49 30 31 44 34 26 54