Расчетно-графическая работа № 1_Осень

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.ТУПОЛЕВА

С.А. ЗАРАЙСКИЙ, В.А. СУЗДАЛЬЦЕВ, И.В. СУЗДАЛЬЦЕВ

ИНФОРМАТИКАМетодические указания по выполнению

расчетно-графической работы по дисциплине

«Информатика».

Кодирование информации

Казань 2009

Целью выполнения расчетно-графической работы является привитие

студентам практических навыков использовать различные позиционные

системы счисления, применяемые в вычислительных системах, выполнять

переводы чисел между системами счисления, арифметические операции;

осуществлять кодирование и машинное представление числовой

информации.

Методические указания включают теоретический материал, задания

для выполнения расчетно-графической работы, примеры выполнения

заданий и оформления отчета.

Расчетно-графическая работа выполняется в первом семестре

студентами, обучающимися по направлению 230200 «Информационные

системы и технологии» (квалификация бакалавр).

2

1. Теоретический материал

Рассмотрим правила перевода чисел из одной системы счисления в

другую систему счисления.

Правило 1. Перевод чисел из системы счисления с основанием q в

десятичную систему счисления.

Чтобы перевести число anan-1…a1a0.a-1…a-m(q) из системы счисления с

основанием q в десятичную систему счисления необходимо число

представить в форме многочлена.. Многочлен представляет собой сумму n +

1 + m слагаемых, где n +1 – количество разрядов в целой части исходного

числа, а m количество разрядов в дробной части исходного числа. Каждое

слагаемое многочлена соответствует разряду исходного числа. Слагаемое

многочлена представляет собой произведение двух сомножителей. Первый

сомножитель - десятичное число равное весу цифры соответствующего

разряда исходного числа. Второй сомножитель - это степень, основанием

которого является основание системы счисления, а показателем степени -

номер разряда:

,

где N(10) значение десятичного числа;

a*n, a*

n-1, …, a*1, a*

0, a*-1, … a*

-m десятичные числа равные весам

цифр an, an-1, …, a1, a0, a-1, … a-m(q) соответствующих разрядов c номерами n,

n-1, …, 1, 0, -1,…,-m исходного числа;

Правило 2. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления

в систему счисления с основанием q.

Для этого исходное число необходимо разделить на основание системы

счисления q. В результате деления будет получено частное (целое число) и

остаток от деления (целое число). На следующем шаге алгоритма

необходимо полученное частное также разделить на основание системы

счисления. Будет получено также частное и остаток. Деление очередного

частного производится до тех пор, пока очередное частное не окажется

3

строго меньше основания системы счисления q. Цифре старшего разряда

будет соответствовать частное последнего деления. Цифре следующего

разряда остаток последнего деления. Цифре следующего разряда остаток

предпоследнего деления и т. д., цифре младшего разряда будет

соответствовать остаток первого деления.

Правило 3. Перевод чисел из двоичной системы счисления в

восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Для этого необходимо разбить исходное число на триады (тетрады для

шестнадцатеричной системы счисления). Триада (тетрада) представляет

собой последовательность трех (четырех) соседних двоичных цифр, взятых

из записи исходного числа.

Разбиение исходного числа производится от разделительной точки.

Целая часть числа разбивается при движении от разделительной точки влево.

Дробная часть числа разбивается при движении от разделительной точки

вправо. Крайняя левая группа, если она не укомплектована двоичными

цифрами, дополняется нулями: слева. Крайняя правая группа, если она не

укомплектована двоичными цифрами, дополняется нулями: справа. Далее

необходимо каждой триаде (тетраде) поставить в соответствие цифру

восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления. Запишем число.

Порядок цифр восьмеричных (шестнадцатеричных) цифр в записи искомого

числа такой же, что и порядок соответствующих триад (тетрад) в записи

исходного числа.

Правило 4. Перевод из восьмеричной, шестнадцатеричной систем

счисления в двоичную систему счисления.

Для этого необходимо каждой цифре исходного числа поставить в

соответствие триаду (тетраду) двоичных цифр. Запишем искомое число.

Искомое число будет состоять из последовательности триад (тетрад).

Порядок триад (тетрад) такой же, как и порядок соответствующих цифр в

записи исходного числа.

4

Правило 5. Перевод правильной десятичной дроби из десятичной

системы счисления в систему счисления с основанием q.

Для этого правильную десятичную дробь необходимо умножить на

основание системы счисления q. При этом будет получена целая и дробная

часть произведения. На следующем шаге алгоритма необходимо дробную

часть произведения умножить на основание системы счисления q. При этом

будет получена также целая и дробная часть произведения. Дробные части

произведений далее умножаются на основание системы счисления q.

Процесс завершается в трёх случаях:

1. Дробная часть произведения оказывается равной нулю. В этом случае

перевод исходного десятичного числа в систему счисления с

основанием q точный.

2. Дробная часть произведения оказывается равной одной из дробных

частей произведений, найденных ранее. В этом случае искомое число

представляет собой периодическую дробь.

3. Задана точность перевода, определяемая количеством разрядов в

дробной части числа. В этом случае считается, что все разряды

дробной части искомого числа определены, когда количество

найденных произведений равно точности перевода.

Запишем исходное число. Записывается ноль целых и ставится

разделительная точка. Затем следуют цифры дробных разрядов. Цифре

разряда с номером -1 соответствует целая часть первого произведения.

Цифре разряда с номером -2 соответствует целая часть второго

произведения, и т. д.

При вводе дробных десятичных чисел в ЭВМ перевод в двоичную

систему счисления может быть произведен приближенно (случай 2 и 3). В

этом случае при выводе числа производится обратный перевод из двоичной

системы счисления в десятичную систему счисления. Результат перевода

будет меньше исходного числа.

5

Правило № 6. Преобразование отрицательного десятичного числа

в дополнительный код.

Для получения дополнительного кода отрицательного десятичного

числа необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти абсолютную величину исходного числа.

2. Перевести значение абсолютной величины числа в двоичную систему

счисления.

3. Дополнить слева полученное число незначащими нулями до

необходимой разрядности. При этом обязательно должен быть

добавлен хотя бы один разряд для хранения знака числа.

4. Найти обратный код полученного числа. При этом двоичные нули

исходного числа заменяются двоичными единицами, а двоичные

единицы двоичными нулями.

5. К полученному обратному коду прибавляется единица.

Правило № 7. Обратное преобразование числа из дополнительного

кода

Для восстановления изображения числа в десятичной системе

счисления, представленного в дополнительном коде необходимо выполнить

следующие действия:

1. Найти обратный код дополнительного кода числа путем замены

двоичных нулей на двоичные единицы, а двоичных единиц на

двоичные нули.

2. К полученному двоичному числу необходимо прибавить единицу.

3. Перевести полученное число в десятичную систему счисления

4. Слева к числу приписать знак минус.

6

Правило № 8 Преобразование десятичного числа в короткий

формат.

1. Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления.. Перевод

осуществляться в соответствии с правилом 2. При этом искомое двоичное

число должно содержать 25 значащих разрядов.

Рассмотрим два случая.

1. Если исходное число по абсолютной величине не меньше единице,

то количество дробных разрядов (точность перевода) числа можно

определить следующим образом:

n + 1 + m = 25;

m = 24 – n,

где n +1 количество разрядов в целой части числа искомого

двоичного числа (n номер старшего разряда искомого двоичного числа);

m количество разрядов дробной части искомого двоичного числа.

Искомое двоичное число будем содержать 25 значащих разрядов.

2. Если исходное число по абсолютной величине меньше единицы, то

при переводе правильной десятичной дроби необходимо определить номер

первого разряда дробной части искомого двоичного числа, в котором будет

располагаться двоичная единица. Пусть номер найденного разряда -j.

Обозначим через s количество разрядов с двоичными нулями,

расположенными между разделительной точкой и разрядом с номером –j, s =

j -1. Тогда точность перевода должна быть равна: m = s + 25. Разряды с

номерами небольшими, чем –j назовем значащими разрядами числа. Их

количество равно 25.

2. Округление числа. Для округления к полученному на первом шаге

двоичному числу прибавляется единица, по весу равная единице младшего

7

разряда. Затем младший разряд полученной суммы отбрасывается. В

результате будет полученное число, содержащее 24 значащих разрядов.

3. Нормализация числа. Для нормализации числа необходимо

перемещать разделит. точку таким образом, чтобы искомое число,

полученное в результате перемещения точки, располагалось на полусегменте

[1, 2} (x-искомое число, 1 x2).

Первоначально порядок числа принимается равный нулю. Если число

оказывается больше или равно двух, то разделительная точка перемещается

вправо. При этом значение порядка увеличивается на величину равную

количеству разрядов, на которые переместилась точка. Если исходное число

меньше 1, то разделительная точка перемещается вправо. При этом значение

порядка уменьшается на величину, равную количеству разрядов, на которое

переместилась разделительная точка. Полученный порядок числа называется

абсолютным порядком числа.

Число, расположенное на полусегменте [1, 2), имеет целую часть

равную 1. Поэтому при хранении числа в памяти ЭВМ нет необходимости в

хранении целой части числа. Целая часть отбрасывается. В этом случае

остается мантисса (дробная часть числа), содержащая 23 значащих разрядов.

4. Определение смещенного порядка числа. Для определения

смещенного порядка необходимо к абсолютному порядку, полученному на

шаге 3 прибавить 127 (сместить порядок на 127). В результате получим

смещенный порядок числа. Полученное десятичное число необходимо

перевести в двоичную систему счисления и представить в форме 8-

рязрядного двоичного числа без знака. Смещенный порядок всегда

неотрицательное число. Минимальное значение абсолютного порядка равно

127, а максимальное значение равно +128.

5 Запись числа в память. Дробное число в коротком формате

представляется в памяти в форме нормализованного числа, занимающего 4

байта. Старший бит нулевого байта (бит с номером 7) является знаковым

битом. Если число неотрицательное, то знак числа равен нулю. Если число

8

отрицательное, то знак числа равен единице. Смещенный порядок числа

занимает 8 бит (1 байт) и расположен с нулевого по 6-ой бит нулевого байта

и в 7-ом бите первого байта. Мантисса числа занимает 23 бита и

располагается во первом байте с нулевого по 6-ой бит и полностью занимает

второй и третий байты числа.

Правило № 9. Сложение чисел.

При сложении двух чисел в системе счисления с основанием q

необходимо записать их столбиком одно над другим так, чтобы

соответствующие разряды одного слагаемого располагался под

соответствующими разрядами другого слагаемого. Сложение производится

поразрядно справа налево, начиная с младших разрядов слагаемых.

Рассмотрим сложение в разряде с номером i. Введем обозначения:

а , b -цифры соответственно первого и второго слагаемых i-го

разряда,

p -признак переноса из смежного младшего разряда. Признак переноса

p равен 1, если в i-1 разряде сформирована единица переноса и p равен 0 в

противном случае.

Найдем сумму: S =a +b +p ; a и b - десятичные числа, которые

соответствуют по весу цифрам а , и b системы счисления с основанием q.

Сложение производиться в десятичной системе счисления. Возможны

два случая:

1. S q. Из S вычтем основание системы счисления q,

сформируем признак переноса в следующий i+1 разряд, равный 1. Разности,

полученной в результате вычитания, поставим в соответствии цифру S

системы счисления с основанием q.

2. S < q.. Сформируем признак переноса p в следующий i+1

разряд, равный 0. Поставим в соответствии десятичному числу S цифру S

системы счисления с основанием q.

Полученная цифра S является цифрой i-го разряда суммы. Аналогично

производится сложение в каждом разряде.

9

Правило 10. Вычитание чисел.

Для того, чтобы вычисть числа в системе счисления с основанием q,

необходимо записать одно под другим столбиком, чтобы разряды

вычитаемого располагались под соответствующими разрядами

уменьшаемого. Вычитание производиться поразрядно, начиная с младшего

разряда. Рассмотрим вычитание в i-ом разряде. Введем обозначения:

a и b -цифры соответствующего уменьшаемого и вычитаемого i-го

разряда,

p -признак единицы заема в i –ом разряде. Этот признак равен 1

(минус единица), если возникла необходимость в заеме единицы в i-1 разряде

из i-ого разряда и признак pi равен 0 в противном случае.

Поставим в соответствии цифрам a и b равные по весу

десятичные .числа a и b . Найдем значение выражения r =a - b + p .

Возможны два случая:

1. r 0. В этом случае признак p =-1, т.е. возникает заем

единицы в следующем разряде. Найдем сумму r + q. Полученной сумме

поставим в соответствие цифру r системы счисления с основанием q.

2. r 0. В этом случае r необходимо

поставить в соответствии цифру ri. Признак заема p = 0.

Полученная цифра r является цифрой i-го разряда разности.

Аналогично производится вычитание в каждом разряде.

Правило 11. Вычитание чисел в двоичной системе счисления с

иcпользованием дополнительного кода.

Пусть заданы два положительных десятичных числа x и y. Необходимо

найти разность: x – y, используя дополнительный код числа. Выполним

следующие действия:

1. Переведем десятичные числа x и y в двоичную систему счисления.

2. Определим количество значащих разрядов kx и ky в найденных

двоичных числах.

10

3. Преобразуем выражение: x – y = x + (-y).

4. Найдем дополнительный код отрицательного числа (-y). Количество

разрядов дополнительного кода h должно удовлетворять неравенству:

h >= max(kx +1, ky+1).

5. Найдем сумму чисел x и дополнительного кода числа (–y), используя

обычные правила сложения двух двоичных чисел. Количество двоичных

разрядов, необходимых для сложения в этом случае равно h. Старшие

разряды двоичных чисел являются знаковыми. Знаковые разряды

складываются как обычные двоичные разряды. Если при сложении возникает

единица переноса из знакового разряда, то она отбрасывается. При этом

результат не искажается.

6. Найдем разность в десятичной системе счисления. Знаковый разряд

результата полученного в пункте 5 определяет форму представления числа.

Возможны два случая.

6.1. Если знаковый разряд равен нулю, то разность исходных чисел

неотрицательное число и записана в прямом коде. В этом случае

воспользуемся правилом № 1 для перевода результата в десятичную систему

счисления.

6.2. Если знаковый разряд равен единице, то разность исходных чисел

отрицательное число и записана в дополнительном коде. В этом случае

воспользуемся правилом 7 для восстановления изображения числа в

десятичной системе счисления.

Правило № 11. Умножение двоичных чисел.

Для того, чтобы умножить одно двоичное число на другое необходимо

записать их одно под другим, чтобы разряды второго сомножителя

располагался под соответствующими разрядами первого сомножителя.

Назовем первый сомножитель - множимое, а второй сомножитель -

множитель.

11

Сформируем столбик чисел и расположим его под записанными

сомножителями. Количество чисел столбика равно количеству единиц

множителя. Каждое число столбика соответствует одной единице множителя

и образуется из множимого. Множимое записывается в каждой строке

столбика чисел так, что его младший разряд располагается под

соответствующей единицей множителя. Образованный столбик чисел

складывается. При этом первоначально складываются первые два числа. К

результату сложения прибавляется третье число, к очередному результату

прибавляется четвертое число, и т.д. Полученная сумма является

произведением двух исходных чисел.

Правило № 12.Деление двоичных чисел.

Для того, чтобы разделить одно двоичное число не другое необходимо

записать их также как записываются числа при делении в десятичной

системе счисления (уголком). Далее выполняются следующие действия:

1. Просматриваем делимое слева направо, начиная со старшего

разряда, и определим минимальную по длине последовательность нулей и

единиц, из которой можно образовать число не меньше, чем делитель.

2. Запишем под образованным числом делитель таким образом,

чтобы младший разряд делителя располагался под младшим разрядом

образованного числа.

3. Выполним вычитание, т.е. из образованного числа вычтем

делитель и найдем разность.

4. В область частного запишем единицу. Единица приписывается

справа к числу, которое размещено в области частного.

5. Припишем к образованной разности справа разряд делимого

расположенный справа от образованного числа. Если такого разряда нет, то

деление закончено и образованное из разности и возможно приписанных

ранее разрядов делимого число является остатком от деления. Если разряд

делимого можно приписать к разности, то возможны два случая:

5.1. Образованное из разности и приписанных цифр делимого число

12

меньше делителя. В этом случае в область частного необходимо справа

приписать ноль и выполнить шаг 5.

5.2. Образованное из разности и приписанных цифр делимого число

больше или равно делителю. В этом случае следует выполнить шаги 2, 3, 4, 5.

2. Задание расчетно-графической работы

Задание № 1. Перевод целых чисел в различных системах счисления

1.1 Перевести числа из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной

систем счисления в десятичную систему счисления. Перевести числа из

двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в

десятичную систему счисления:

1.1.1. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную

систему счисления.

1.1.2. Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную


1.1.3. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в


1.2. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

1.2.1. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную


1.2.2. Перевести число из десятичной системы счисления в восьмеричную


1.2.3. Перевести число из десятичной системы счисления в

шестнадцатеричную систему счисления.

1.3. Перевести числа из двоичной системы счисления в восьмеричную и

шестнадцатеричную систему счисления:

13

1.3.1. Перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную


1.3.2. Перевести число из двоичной системы счисления в

шестнадцатеричную систему счисления.

1.4. Перевести числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем

счисления в двоичную систему счисления:

1.4.1. Перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную


1.4.2. Перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в

двоичную систему счисления.

Задание № 2. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно из

полученных представлений в десятичную систему счисления. Перевод

производить с точностью для шестнадцатеричной системы счисления – 2

знака, для восьмеричной системы счисления – 3 знака, для двоичной системы

счисления – 5 знаков. Сравнить результаты, полученные после перевода в

десятичную систему счисления с исходным числом. Определить

относительную ошибку перевода.

Задание № 3. Представление чисел в памяти

3.1. Представить числа в форматах хранения:

3.1.1. Целого двоичного числа без знака;

3.1.2. Целого двоичного числа со знаком;

3.2. Определить десятичное число, которое хранится в формате:

3.2.1. Восьмиразрядного целого двоичного числа без знака.

3.2.2. Восьмиразрядного целого двоичного числа со знаком.

3.3. Представить дробные числа в коротком формате хранения с

плавающей точкой.

14

Задание № 4. Выполнить действия над числами:

4. Перевести числа в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

системы счисления.

4.1. Выполнить действия в двоичной системе счисления:

4.1.1. Сложение: a + b.

4.1.2. Вычитание: a – b. Использовать обычные правила вычитания.

4.1.3. Вычитание: a – b. Использовать правила вычитания при

представлении вычитаемого в дополнительном коде.

4.1.4. Вычитание: b – a. Использовать обычные правила вычитания.

4.1.5. Вычитание: b – a. Использовать правила вычитания при

представлении вычитаемого в дополнительном коде.

4.1.6. Умножение: a * с.

4.1.7. Деление: a /с. Найти частное и остаток от деления.

4.2. Выполнить действия в восьмеричной системе счисления:


4.2.2. Вычитание: b – a.

4.3. Выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления:


4.3.2. Вычитание: b – a.

3. Требования к оформлению контрольной работы

1. Задания выполняются в тонкой тетрадке в клетку (18-24 листа). Поля

обязательны. Тетрадь должна быть подписана ( указать: КГТУ им. А.Н.

Туполева, кафедра АСОИУ, дисциплина: "Информатика", номер группы,

фамилия, имя, отчество; учебный год, город проживания студента, адрес

электронной почты).

2. Оформление выполнения каждого задания необходимо начинать с

номера и текста задания.

3. Помарки и зачеркивания не допускаются. Писать необходимо с

15

интервалом через строку. При записи числа каждую цифру числа писать в

одной клетке.

4. Необходимо использовать пасту или чернила черного, синего или

фиолетового цвета.

5. Графические работы (схемы, таблицы) выполнять только карандашом,

использовать линейку.

6. Текст, поясняющий выполнение заданий, должен быть связанным,

логически последовательным. Сокращения слов не допускаются. Особое

внимание уделить пунктуации.

7. Все вычисления должны сопровождаться связующим текстом с указанием

объекта, вычислений и исходных данных. Например: “Переведем число 41 из

десятичной системы счисления в двоичную систему счисления”.

16

Варианты заданий расчетно-графической работы

№ вар

Задание № 1 Задание №2

Задание № 3 Задание № 4N2 N8 N16 N10 3.1.1

.3.1.2

.3.2. 3.3. a b c

1 111001 5123 fdc 489 12.38 68 - 68 1110011 12.34 128 268 122 101001 4125 9ad 695 15.61 66 - 66 1110111 13.35 151 453 133 100100 4511 1b3 523 21.23 98 - 98 1111100 14.36 123 234 144 100111 1234 1f1 890 15.24 85 - 85 1110011 15.37 524 543 155 111011 4125 dd1 956 14.41 82 - 82 1000011 21.11 144 213 166 110111 1232 b6f 942 13.13 75 - 75 1000111 32.23 313 412 177 110001 2561 af6 845 15.16 76 - 76 1100111 45.21 156 211 188 111000 7124 5fe 965 17.18 90 - 90 1110101 34.19 618 764 199 101010 1562 5de 722 18.19 78 - 78 1010101 16.15 419 543 2110 111001 2134 23d 987 19.21 89 - 89 1101010 17.27 124 261 2211 110001 3123 2dc 439 20.22 88 - 88 11101010 14.29 161 413 2312 101101 1125 93d 692 21.23 77 - 77 11110101 18.31 173 234 2413 100110 4311 133 524 22.29 79 - 79 10011001 19.33 525 563 2514 100110 1244 131 895 23.51 74 - 74 11001100 27.39 164 213 2615 111010 4124 dd3 916 15.63 94 - 94 11100011 45.07 213 412 2716 111110 1212 b63 944 45.11 92 - 92 10001110 32.09 136 214 2817 110101 2563 af3 845 12.65 93 - 93 10000111 25.41 128 464 2918 111010 7125 5f2 925 15.52 95 - 95 11111110 34.43 319 513 3019 101011 1512 54e 752 11.31 78 - 78 11100011 32.78 123 525 3120 110100 2345 adf 789 41.51 99 - 99 10101111 45.66 319 464 3221 111011 2414 abc 342 12.61 47 - 47 11100110 12.34 611 712 3322 101011 2113 edf 843 13.87 87 - 87 11101110 13.35 649 724 3423 110100 2111 fdc 974 14.93 83 - 83 11111000 14.36 599 609 3524 101101 2312 1dc 891 17.97 91 - 91 11100111 15.37 601 711 3625 111001 3141 2de 893 19.69 73 - 73 10000111 21.11 613 705 3726 101111 3126 f2a 626 26.26 96 - 96 10001111 32.23 681 709 3827 101101 5127 f2b 627 27.27 97 - 97 11101010 27.27 605 713 3928 101100 3127 f2c 628 28.28 98 - 98 11110101 28.28 613 689 4029 101110 3127 f2d 629 29.29 71 - 77 10011001 29.29 617 632 4130 111011 4137 ffe 729 33.33 77 - 77 11001100 33.33 629 678 4231 111001 4176 f1c 519 43.11 67 - 67 11100011 43.11 729 777 5332 110110 4511 bf1 913 47.29 55 - 55 10001110 47.47 873 834 5733 110110 3115 abc 911 49.13 75 - 75 11110000 34.38 981 987 6134 111001 5123 fab 912 51.49 51 - 51 10110000 35.39 983 991 63

17

5. Примеры оформления заданий расчетно-графической работы

5.1. Пример оформления задания №1

1. Перевести число из двоичной, восьмеричной и

шестнадцатеричной систем в десятичную систему счисления.

1.1. Выполнить перевод числа 1011012 из двоичной системы

счисления в десятичную систему счисления:

5 4 3 2 1 0

1011012 = 125 + 024 + 123 +122 + 021 +120 = 32+0+8+4+0+1=4510.

Проверим результат перевода:

1.) 45:2 = 22 (1);

2.) 22:2 = 11 (0);

3.) 11:2 = 5 (1);

4.) 5:2 = 2 (1);

5.) 2:2 = 1 (0).

Запишем число в двоичной системе счисления: 4510= 1011012. Проверка

подтверждает правильность решения.

Ответ: 1011012 = 4510.

1.2. Выполнить перевод числа 23128 из восьмеричной системы

счисления в десятичную систему счисления.

3 2 1 0

23128 = 2 83 +3 82 +1 81 +2 80 = 1024+192+8+2=122610.


1.) 1226:8 = 153 (2);

2.) 153:8 = 19 (1);

3.) 19:8 = 2 (3);

Запишем число в восьмеричной системе счисления: 122610= 23128.

Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: 23128. = 122610.

18

1.3. Выполнить перевод числа 1dc16 из шестнадцатеричной системы

счисления в десятичную систему счисления.

2 1 0

1dc16 = 1 162 + 13 161 +12 160 = 256+208+12 = 47610.


1.) 476:16 = 29 (12);

2.) 29:16 = 1 (13).

Запишем число в шестнадцатеричной системе счисления: 47610= 1dc16.


Ответ: 1dc16 = 47610.

5.2. Пример оформления задания № 2

2. Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

2.1. Выполнить перевод числа 89110 из десятичной системы

счисления в двоичную систему счисления:

1) 891:2 = 445 (1), 445 >= 2;

2) 445:2 = 111 (0), 111 >= 2;

3) 111:2 = 55 (1), 55 >= 2;

4) 55:2 = 27 (1), 27 >= 2;

5) 27:2 = 13 (1), 13 >= 2;

6) 13:2 = 6 (1), 6 >= 2;

7) 6:2 = 3 (0), 3 >= 2;

8) 3:2 = 1 (1), 1 < 2 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 98110 = 11011110112.


9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

19

11011110112 =129+128+027 +126

+125+124+123+022+121+120 =

= 512 + 256 + 0 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 98110..


Ответ: 89110 = 11011110112.

2.2. Выполнить перевод числа 891 из десятичной системы счисления

в восьмеричную систему счисления:

1) 891:8 = 111 (3), 111 >= 8;

2) 111:8 = 13 (7), 13 >= 8;

3) 13:8 = 1 (5), 1 < 8 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 89110 = 51738


3 2 1 0

15738 = 1 83 + 5 82 + 7 81 + 3 80 = 512 +320 + 56 + 3 = 89110.


Ответ: 89110 = 15738.

2.3. Выполнить перевод числа 89110 из десятичной системы

счисления в шестнадцатеричную систему счисления:

1) 891:16 = 55 (11), 55 >= 16;

2) 55:16 = 3 (7), 3 < 16 – конец перевода.

Запишем результат перевода: 89110 = 37b16


2 1 0

37b16 = 3 162 + 7 161 +11 160 = 768 + 112 + 11 = 89110.


Ответ: 89110 = 37b16.

1. Выполнить перевод числа 17.97 из десятичной системы

счисления в двоичную систему счисления.

20

1.1. Переводим целую часть числа:

1) 17 : 2 = 8 (1), 8 >= 2;

2) 8 : 2 = 4 (0), 4 >= 2;

3) 4 : 2 = 2 (0), 2 >= 2;

4) 2 : 2 = 1 (0), 1< 2 – конец перевода.

Итак, 1710 = 100012

1.2. Переводим дробную часть числа:

1) 0.97 2 = 1.94 (1);

2) 0.94 2 = 1.88 (1);

3) 0.88 2 = 1.76 (1);

4) 0.76 2 = 1.52 (1);

5) 0.52 2 = 1.04 (1).

Итак, 0.9710 = 0.111112

Таким образом, 17.9710 = 10001.111112

2. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления

в восьмеричную систему счисления.


1) 17 : 8 = 2 (1), 2 < 8 – конец перевода.

Итак, 1710 = 218

2.2. Переводим дробную часть числа:

1) 0.97 8 = 7.76 (7);

2) 0.76 8 = 6.08 (6);

3) 0.08 8 = 0.64 (0);

Итак, 0.9710 = 0.7608

Таким образом, 17.9710 = 21.7608

3. Выполним перевод числа 17.97 из десятичной системы счисления

в шестнадцатеричную систему счисления.


1) 17 : 16 = 1 (1), 1 < 16 – конец перевода.

Итак, 1710 = 1116

21


1) 0.97 16 = 15.52 (15);

2) 0.52 16 = 8.32 (8);

Итак, 0.9710 = f816

Таким образом, 17.9710 = 11.f816

4. Выполним перевод числа 1001.11111 из двоичной системы


4 3 2 1 0-1-2-3–4-5

10001.11111 2 = 1 24 + 0 23 + 0 22 + 0 21 +1 20 +1 2-1 +1 2-2

+ 1 2-3 + 1 2-4 + 1 2-5 = 16+0+0+0+1+0.5+0.25+0.125+0.0625+0.03125 =

=17.9687510.

Запишем искомое число: 10001.111112 = 17.9687510,

Имеем: 17,97 ≠ 17,96875

5. Вычислим относительную ошибку :

6. Выполним перевод числа 21.760 из восьмеричной системы счисления в


1 0-1-2-3

21.7608 = 2 81 + 1 80 + 6 8-2 + 0.8-3 = 16 + 1 + 0.875 + 0.09375 + 0 =

17.9687510.

Запишем искомое число: 21.7608 = 17.9687510

Имеем: 17.97 ≠ 17.96875

7. Вычислим относительную ошибку :

8. Выполним перевод числа 11.f8 из шестнадцатеричной системы


1 0 -1-2

22

11.f816 = 1 161 + 1 160 + 15 16 –1 + 8 16-2 = 16 + 1 + 0.9375 + 0.03125 =

17.9687510

Запишем искомое число: 11.f851e16 = 17.9687510

Имеем: 17.97 ≠ 17.96875

9. Вычислим относительную ошибку

Пример выполнения задания № 3.

1. Представим числа 91 в формате хранения целого двоичного числа без

знака.

1.1. Выполним перевод числа 91 из десятичной системы счисления в

двоичную систему счисления:

1) 91:2=45(1), 45 >= 2;

2) 45:2=22(1), 22 >= 2;

3) 22:2=11(0), 11 >= 2;

4) 11:2=5(1), 5 >= 2;

5) 2:2=1(1), 2 >= 2;

6) 2:2=1(0), 1 < 2-конец перевода

Итак, 9110 = 10110112.

Проверка: Выполним перевод числа 1011011 из двоичной системы


160514130211102 = 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 64

+ 16 + + 8 + 2 + 1 = 9110.

Итак, 10110112 = 9110.

1.2. Полученное двоичное число 10110112 дополним слева нулями до

разрядности, равной шестнадцати:

10110112 =00000000010110112.

Таким образом, число 91, представленное в формате хранения целого

двоичного числа без знака будет иметь вид:

23

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1

2. Представим число –91 в формате хранения целого двоичного числа со

знаком.

2.1. Переведем абсолютное значение исходного числа в двоичную

систему счисления:

1) 91:2=45(1), 45>=2;

2) 45:2=22(1), 22>=2;

3) 22:2=11(0), 11>=2;

4) 11:2=5(1), 5>=2;

5) 5:2=2(1), 2>=2;

6) 2:2=1(0), 1>2-конец перевода

Итак, 9110 = 10110112 .

2.2. Дополним слева нулями полученное двоичное число 1011011 до

разрядности равной шестнадцати:

10110112 =00000000010110112 .

2.3. Найдем обратный код полученного числа 00000000010110110,

заменив двоичные нули на единицы, а двоичные единицы –на двоичные

нули:

0000000001011011→ 1111111110100100

2.4 Добавим к полученному двоичному числу 1111111110100100

двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда

1111111110100100

+

0000000000000001

1111111110100101

Таким образом, число -91 в памяти ЭВМ будет представляться кодом

1111111110100101:

24

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1

3. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в

формате восьмиразрядного целого двоичного числа без знака.

Выполним перевод числа 11101101 из двоичной системы счисления в

десятичную систему счисления

17161504131201102 = 1*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 1 * 23 + 1*22 + 0*21+1*20 =

128 + 64+ + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 23710

Таким образом, при переводе числа 111011012 в десятичную систему

счисления получим число 23710.

Проверка: Выполним перевод числа 237 из десятичной системы счисления

в двоичную систему счисления:

1) 237 : 2 = 118 (1), 118 >=2;

2) 118 : 2 = 59 (0), 59 >=2;

3) 59 : 2 = 29 (1), 29 >=2;

4) 29 : 2 = 14 (1), 14 >=2;

5) 14 : 2 = 7 (0), 7 >=2;

6) 7 : 2 = 3 (1), 3 >=2;

7) 3 : 2 = 1 (1), 1<2-конец перевода.

Итак, 23710 = 111011012.

4. Восстановим десятичное представление числа 11101101 хранимого в

формате восьмиразрядного целого числа со знаками

4.1. Найдем обратный код числа 11101101: Nобр = 00010010

4.2. Добавим к полученному числу единицу, по весу равную единице

младшего разряда

00010010

+

25

00000001

00010011

Таким образом, в двоичной системе счисления положительная форма

числа имеет вид:

Nпол2 = 0010011 = 10011.

4.3 Переводим положительную форму числа из двоичной системы


Nпол = 10011 = N10 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 =16 + 0 + 0 + 2 + 1 =

1910

Nпол10 = 1910

4.4 Записываем отрицательное число в десятичной системе

счисления:

N10 = -1910

5. Представим дробное число 43.13 в коротком формате хранения с

плавающей точкой

5.1 Переведем число 43.13 из десятичной системы счисления в

двоичную систему счисления

5.1.1 Переводим целую часть числа:

1) 43 : 2 = 21 (1), 21 ≥ 2

2) 21 : 2 = 10 (1), 10 ≥ 2

3) 10 : 2 = 5 (0), 5 ≥ 2

4) 5 : 2 = 2 (1), 2 ≥ 2

5) 2 : 2 = 1 (0), 1 ≤ 2 – конец перевода

Итак, 4310 = 1010112

5.1.2 Переводим дробную часть числа. Количество дробных

разрядов числа определяем по формуле m = 24 – n, где m – количество

дробных разрядов числа, n – номер старшего разряда целой части числа

m = 24 – 5 = 19:

1) 0.13 2 = 0.26 0;

2) 0.26 2 = 0.52 0;

26

3) 0.52 2 = 1.04 1;

4) 0.04 2 = 0.08 0;

5) 0.08 2 = 0.16 0;

6) 0.16 2 = 0.32 0;

7) 0.32 2 = 0.64 0;

8) 0.64 2 = 1.28 1;

9) 0.28 2 = 0.56 0;

10) 0.56 2 = 1.12 1;

11) 0.12 2 = 0.24 0;

12) 0.24 2 = 0.48 0;

13) 0.48 2 = 0.96 0;

14) 0.96 2 = 1.92 1;

15) 0.92 2 = 1.84 1;

16) 0.84 2 = 1.68 1;

17) 0.68 2 = 1.36 1;

18) 0.36 2 = 0.72 0

19) 0.72 2 = 1.44 1.

Итак, 0.1310 = 0.00100001010001111012

Таким образом, 43.1310 = 101011.00100001010001111012.

Проверка: Выполним перевод числа 101011.0010000101000111101 из

двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

150413021110.0-10-21-30-40-50-60-71-80-91-100-110-120-131-141-151-161-170-181-192 = 1 * 25 + 0

24 + 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 0 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3 + 0 2-4 + 0

2-5 + 0 2-6 + 0 2-7 + 1 2-8 + 0 2-9 +1 2-10 + 0 2-11 + 0 2-12 + 0 2-13

+ 1 2-14 + 1 2-15 + 1 2-16 + 1 2-17 + 0 2-18 + 1 2-19 = 32 + 8 + 2 + 1 +

0.125 + 0.00390625 + 0.0009765625 + 0.00006103515625 + 0.000030517578125

+ 0.0000152587890625 + 0.00000762939453125 + 0.0000019073486328125 + …

≈ 43.13.

Итак, 101011.00100001010001111012 ≈ 43.1310.

27

5.2. Округлим число. Для этого к полученному числу прибавим

двоичную единицу, по весу равную единице младшего разряда:

101011.0010000101000111101

+

0.0000000000000000001

101011.0010000101000111110

5.3. Отбросим младший разряд суммы. В результате будет получено

число:

101011.0010000101000111112

5.4. Нормализуем число, перемещаем точку на пять разрядов вправо:

101011.0010000101000111112 = 1.010110010000101000111112 * 2510

5.5. Отбросим старший разряд:

1.010110010000101000111112 0.010110010000101000111112

5.6. Определим двоичный код смещенного порядка:

510 + 12710 = 13210 = 100001002.

5.7. Определим знаковый разряд: знаковый разряд положительного

числа равен 0.

5.8. Представление числа 43.13 в памяти ЭВМ имеет следующий вид:

Зн Порядок Мантисса1 байт 2 байт 3 байт 4 байт

7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1

4 2 2 с 8 5 1 f

28

Пример выполнения задания № 4

Выполнить перевод числа 601 из десятичной системы счисления в


601 : 2 = 300 (1), 300 >= 2;

300 : 2 = 150 (0), 150 >= 2;

150 : 2 = 75 (0), 75 >= 2;

75 : 2 = 37 (1), 37 >= 2;

37 : 2 = 18 (1), 18 >= 2;

18 : 2 = 9 (0), 9 >= 2;

9 : 2 = 4 (1), 4 >= 2;

4 : 2 = 2 (0), 2 >= 2;

2 : 2 = 1 (0), 1 < 2 – конец перевода.

Итак, 60110 = 10010110012.



190807160514130201102 = 1 29 + 0 28 + 0 27 + 1 26 + 0 25 + 1 24 +

1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 = 512 + 64 + 16 + 8 + 1 = 60110.

Итак, 10010110012 = 60110.



711 : 2 = 355 (1), 355 >= 2;

355 : 2 = 177 (1), 177 >= 2;

177 : 2 = 88 (1), 88 >= 2;

88 : 2 = 44 (0), 44 >= 2;

44 : 2 = 22 (0), 22 >= 2;

22 : 2 = 11 (0), 11 >= 2;

11 : 2 = 5 (1), 5 >= 2;

5 : 2 = 2 (1), 2 >= 2;

29

2 : 2 = 1 (0), 1 < 2 – конец перевода.

Итак, 71110 = 10110001112.



9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10110001112 = 1 29 + 0 28 + 1 27 + 1 26 + 0 25 + 0 24 + 0 23

+ 1 22 + 1 21 + 1 20 = 512 + 128 + 64 + 4 + 2 + 1 = 71110.

Итак, 1011000111 2 = 71110.



36 : 2 = 18 (0), 18 >= 2;

18 : 2 = 9 (0), 9 >= 2;

9 : 2 = 4 (1), 4 >= 2;

4 : 2 = 2 (0), 2 >= 2;

2 : 2 = 1 (0), 1 < 2 – конец перевода.

Итак, 3610 = 1001002.



5 4 3 2 1 0

1001002 = 1 25 + 0 24 + 0 23 + 1 22 + 0 21 + 0 20 = 32 + 4 =

3610.

Итак, 100100 2 = 3610.


восьмеричную систему счисления:

601 : 8 = 75 (1), 75 >= 8;

75: 8 = 9 (3), 9 >= 8;

9 : 8 = 1 (1), 1< 8 – конец перевода.

Итак, 60110 = 11318.

Проверка: Выполним перевод числа 1131 из восьмеричной системы


30

3 2 1 0

11318 = 1 * 83 + 1 * 82 + 3 * 81 + 1 * 80 = 512 + 6 4 + 24 + 1 = 60110.

Итак, 1131 8 = 60110.



711 : 8 = 88 (7), 88 >= 8;

88 : 8 = 11 (0), 11 >= 8;

11 : 8 = 1 (3), 1< 8 – конец перевода.

Итак, 71110 = 13078.



3 2 1 0

13078 = 1 * 83 + 3 * 82 + 0 * 81 + 7 * 80 = 512 + 192 + 7 = 71110.

Итак, 1307 8 = 71110.



36 : 8 = 4 (4), 4 < 8 – конец перевода.

Итак, 3610 = 448.



1 0

448 = 4 * 81 + 4 * 80 = 32 + 4 = 3610.

Итак, 44 8 = 3610.



601 : 16 = 37 (9), 37 >= 16;

37 : 16 = 2 (5), 2 < 16 – конец перевода.

Итак, 60110 = 25916.

Проверка: Выполним перевод числа 259 из шестнадцатеричной

системы счисления в десятичную систему счисления:

31

210

25916 = 2 * 162 + 5 * 161 + 9 * 160 = 512 + 80 + 9 = 60110.

Итак, 259 16 = 60110.



711 : 16 = 44 (7), 44 >= 16;

44 : 16 = 2 (12), 2 < 16 – конец перевода.

Итак, 71110 =2с716.

Проверка: Выполним перевод числа 2с7 из шестнадцатеричной

системы счисления в десятичную систему счисления:

210

2с716 = 2 * 162 + 12 * 161 + 7 * 160 = 512 + 192 + 7 = 71110.

Итак, 2с7 16 = 71110.



36 : 16 = 2 (4), 2 < 16 – конец перевода.

Итак, 3610 = 2416.

Проверка: Выполним перевод числа 24 из шестнадцатиричной системы


10

2416 = 2 * 161 + 4 * 160 = 32 + 4 = 3610.

Итак, 24 16 = 3610.

Сложим два двоичных числа: 1001011001 и 1011000111:

-1 -1 -1 -1

1 0 1 1 0 0 0 1 1 12 7 1 110

1 0 0 1 0 1 1 0 0 12 6 0 110

1 1 0 1 1 1 02 1 1 010

32

Необходимо вычесть из двоичного числа 1001011001 двоичное число

1011000111.

Так как 1001011001 меньше числа 1011000111, то вычитание

произведем из числа 1011000111. Вычтем из него число 1001011001, а к

разности припишем знак “-”:

Итак, 1001011001 – 1011000111 = - 1101110.

Выполнить вычитание числа 1011000111 из числа 1001011001 в

двоичной системе счисления, используя дополнительный код:

n – количество разрядов уменьшаемого;

m – количество разрядов вычитаемого;

k – количество разрядов, необходимых для сложения.

n = 10; m = 10;

k = max (n+1; m+1) = max(10+1, 10+1) =11.

k = 11.

Представим двоичное число 1011000111 в дополнительном коде с

разрядностью равной одиннадцати:

Дополним слева незначащими нулями до разрядности равной

одиннадцати:

10110001112 = 010110001112.

Найдем обратный код полученного числа:

010110001112 10100111000.

Добавим к полученному двоичному числу 10100111000 двоичную

единицу по весу равную единице младшего разряда:

10100111000

+

00000000001

10100111001

Сложим число 01001011001 с числом 10100111000 в двоичной системе

счисления:

33

1 1 1 1 1

+0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 12 +

6 0 110

1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 12 - 7 1 110

1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 02 - 1 1 010

Так как знаковый разряд суммы равен единице, то сумма отрицательна

и она представлена в дополнительном коде.

Произведем обратный перевод числа 11110010010 из

дополнительного кода:

Произведем инвертирование дополнительного кода:

11110010010 00001101101.

К полученному числу 1101101 прибавим двоичную единицу по весу

равную единице младшего разряда:

1101101

+

0000001

1101110

Таким образом, 1001011001 + (- 1011000111) = - 1101110.

Вычтем из двоичного числа 1011000111 двоичное число 1001011001.

-1 -1 -1 -1

1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 7 1 110

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 6 0 110

0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 010

Итак, 1011000111 – 1001011001 = 1101110.

Выполним вычитание числа 1001011001 из числа 1011000111 в

двоичной системе счисления. Используя правила при представлении

вычитаемого в дополнительном коде:

34

n – количество разрядов уменьшаемого;

m – количество разрядов вычитаемого;

k – количество разрядов, необходимых для сложения.

n = 10; m = 10

k = max (n+1; m+1) = (10+1, 10+1) =11.

k = 11

Представим двоичное число 1001011001 в дополнительном коде с

разрядностью, равной одиннадцати:

Дополним слева незначащими нулями до разрядности равной

одиннадцати:

10010110012 = 010010110012.

Найдем обратный код полученного числа:

01001011001 10110100110.

Добавим к полученному двоичному числу 101101001 двоичную

единицу, по весу равную единице младшего разряда:

10110100110

+

00000000001

10110100111

Сложим число 01011000111 с числом 10110100111 в двоичной системе

счисления:

1 1 1 1 1 1

+0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 12 +

7 1 110

1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 12 - 6 0 110

1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 010

Отбросим единицу переполнения суммы.

Таким образом, 1011000111 + (- 1001011001) = 11011102.

Перемножим два двоичных числа: 1001011001 и 100100.

35

х1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

х6 0 1

1 0 0 1 0 0 3 6

+1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0

+3 6 0 6

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 8 0 31 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 1 6 3 6

Таким образом, произведение чисел 1001011001 и 100100 равно

1010100100001.

Выполним деление в двоичной системе счисления двоичного числа

1001011001 на двоичное число 100100:

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 6 0 110 3 61 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 5 7 6 1 6

1 1 0 0 1 2 5

Таким образом, частным отделения будет являться число 10000, а

остатком – число 11001.

Найдем сумму чисел 11318 и 13078, представленных в восьмеричной

системе счисления:

1

+1 1 3 18 +

7 1 110

1 3 0 78 6 0 110

2 4 4 08 1 3 1 210

Найдем сумму чисел 25916 и 2с716, представленных в

шестнадцатеричной системе счисления:

36

1 1

+2 5 916 +

7 1 110

2 с 716 6 0 110

5 2 016 1 3 1 210

Найдем разность чисел 13078 и 11318, представленных в восьмеричной

системе счисления:

-1

-1 3 0 78 -

7 1 110

1 1 3 18 6 0 110

1 5 68 1 1 010

Найдем разность чисел 25916 и 2с716, представленных в

шестнадцатеричной системе счисления:

1 1

-2 с 716 -

7 1 110

2 5 916 6 0 110

6 е16 1 1 010

37

Documents

Расчетно-графическая работа № 1_Осень