Embed Size (px)
Citation preview
1
ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ
ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ВАЗИРЛИГИ
САМАРҚАНД ВИЛОЯТИ ХАЛҚ ТАЪЛИМИ ХОДИМЛАРИНИ
ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ ВА УЛАРНИНГ МАЛАКАСИНИ ОШИРИШ
ҲУДУДИЙ МАРКАЗИ
«ТАСДИҚЛАЙМАН»
Марказ директори
_________С.Усмонов
2019 йил «____»_________
“ТАБИИЙ ВА АНИҚ ФАНЛАР ТАЪЛИМИ” КАФЕДРАСИ
МАТЕМАТИКА ФАНИНИ ЎҚИТИШ ҲУҚУҚИНИ БЕРИШ БЎЙИЧА КАСБИЙ
ҚАЙТА ТАЙЁРЛАШ КУРСИНИНГ “ГЕОМЕТРИЯ” МОДУЛИДАН
ЎҚУВ – УСЛУБИЙ МАЖМУА
«КЕЛИШИЛДИ»
Ўқув ва илмий ишлари бўйича:
директор ўринбосари
______________ А. Ибрагимов
Кафедра мудири
_____________ Б. Усманов
Самарқанд – 2019
2
С.Самадов, А.Қудратов Математика фанини ўқитиш ҳуқуқини бериш бўйича
касбий қайта тайёрлаш курсининг “Геометрия” модулидан ўқув-методик
мажмуа. – Самарқанд ХТХҚТМОМ, 2019 й. – 132 бет.
Ушбу ўқув-методик мажмуа математика фанини ўқитиш ҳуқуқини
бериш бўйича касбий қайта тайёрлаш курси тингловчилари учун
мўлжалланган.
Тақризчилар: Педагогика фанлари номзоди,
доцент Қ.Остонов
Физика-математика фанлари
номзоди, доцент. Э.Мардонов
Самарқанд ВХТХҚТМОҲМ Илмий-методик кенгашининг 2019 йил 22 апрелдаги
2-сонли йиғилиши қарори билан ўқув-услубий мажмуа сифатида тасдиқланган.
3
1.04. ГЕОМЕТРИЯ
КИРИШ
“Геометрия” фани юқорида кўрсатилган таълим йўналишида ўқитиладиган асосий
ихтисослик фанларидан бири бўлиб, ушбу дастур умумий ўрта таълим мактаби, академик
лицей ва касб-ҳунар коллежлари математика фанларининг Давлат таълим стандартларини
ҳисобга олган ҳолда, олий таълимнинг «5110100 - Математика ўқитиш методикаси»
йўналиши Давлат таълим стандартлари асосида тузилган.
Ўқув фанининг мақсади ва вазифалари
Фанни ўқитишдан мақсад - “Математика фанини ўқитиш учун ҳуқуқ бериш бўйича
касбий қайта тайёрлаш” таълим йўналиши бўйича математика фанини ўқитиш ҳуқуқи
бериладиган ўқитувчиларнинг ҳаётий тасаввурлари билан амалий фаолиятларини
умумлаштириб бориб, геометрик тушунча ва муносабатларни тингловчилар томонидан онгли
равишда ўзлаштирилишига ҳамда ҳаётга татбиқ эта олишга интилиш, уларнинг келажакдаги
иш фаолиятида амалий аҳамият касб этувчи математик билим, кўнима ва малакаларни
шакллантириш ва ривожлантиришдан иборат.
Фаннинг вазифаси – тингловчиларни геометриядан маълумот мажмуаси билан
таништиришгина эмас, балки тингловчиларни мантиқий фикрлаш, теоремаларни амалий
масалалар ечишга қўллай билиш, шунингдек тингловчиларга таълим йўналишларига оид
билимларни бериш.
Фан бўйича тингловчиларнинг билимига, кўникма ва малакасига қўйиладиган
талаблар
Геометрия ўқув фанининг ўзлаштириш жараёнида амалга ошириладиган масалалар
доирасида тингловчи:
– планиметрия асосий тушунчалари ва уларнинг амалий татбиқлари;
– стереометрия курсининг назарий асослари;
– Евклид ва Лобачевский геометрияси;
– Гильберт ва Вейль аксиомалар системаси ҳақида тасаввурга эга бўлиши;
– дунёни билишнинг махсус усули бўлган математика, унинг тушунчалари ва
тасаввурларининг яхлитлиги;
– векторлар алгебраси элементлари;
– фазодаги алмаштиришлар ва уларнинг хоссалари;
– аффин ва Евклид фазолар;
– қўшчизиқли ва квадратик формалар;
– квадратик формаларни алмаштиришлар;
– проектив геометрия асослари билиши ва улардан фойдалана олиши;
– объектларнинг миқдорий ва сифат муносабатларини ифодалашда математик
белгиларни қўллаш;
– математика фанлари орасидаги назарий ва амалий билимларни боғлай олиш;
– мисол ва масалалар ечишда аналитик ва сонли ечимларни тадқиқ қилиш;
– амалий мазмунли масалаларнинг математик моделини яратиш;
– аналитик геометрия, конструктив геометрия, проектив геометрия, геометрия
асослари, кўп ўлчамли геометриянинг асосий тушунчалари ва методларини топология
элементларини, дифференциал геометриянинг асосий тушунчалари билиши ва уларни
масалаларни ечишга татбиқ этиш кўникмаларига эга бўлиши лозим.
Фаннинг ўқув режасидаги бошқа фанлар билан ўзаро боғлиқлиги ва услубий
жиҳатдан узвий кетма-кетлиги
“Геометрия” фани асосий фундаментал фан ҳисобланиб, қайта тайёрлаш курси
бошида ўқитилади. Дастурни амалга ошириш ўқув режасидаги режалаштирилган
математик анализ, алгебра ва сонлар назарияси ва бошқа фанлардан етарли билим ва
кўникмаларга эга бўлишлик талаб этилади.
4
Фаннинг таълимдаги ўрни
“Геометрия” фани математик таҳлил, математикадан практикум, алгебра ва сонлар
назарияси, математик мантиқ фанлари билан бевосита алоқадорликда бўлиб, таълим
жараёнида ўқувчиларнинг фазовий тасаввурларини шакллантиради ва ривожлантиради.
Фанни ўқитишда замонавий ахборот ва педагогик технологиялар
Тингловчиларнинг “Геометрия” фанини ўзлаштиришлари учун ўқитишнинг илғор
ва замонавий усулларидан фойдаланиш, янги информацион-педагогик технологияларни
татбиқ қилиш муҳим аҳамиятга эгадир. Фанни ўзлаштиришда дарслик, ўқув ва услубий
қўлланмалар, маъруза матнлари, тарқатма материаллар, электрон материаллар, виртуал
стендлардан фойдаланилади. Маъруза ва амалий машғулот дарсларида мос равишда илғор
педагогик технологиялардан фойдаланилади.
1.04.“Геометрия” модулининг
ЎҚУВ-РЕЖАСИ (198 соат)
№ Мавзу
Жа
ми
Ма
ър
уза
Ам
ал
ий
ма
шғу
ло
т
I. Умумкасбий фанлар
4.Геометрия
1 Векторлар ва улар устида амаллар. Векторларнинг
чизиқли боғлиқлиги. Вектор координаталари 8 4 4
2
Фазода аффин ва тўғри бурчакли координаталар
системаси. Кесмани берилган нисбатда бўлиш. Векторнинг
модули ва йўналтирувчи косинуслари
8 4 4
3
Векторларнинг скаляр кўпайтмаси, унинг хоссалари ва
татбиқлари. Векторларнинг векториал ва аралаш ҳамда қўш
кўпайтмалари
6 2 4
4 Координата системасини алмаштириш. Қутб, қутб
сферик, қутб цилиндрик координаталар системаси 6 2 4
5
Тўғри чизиқнинг турли берилиш усуллари.
Текисликнинг алмаштиришлари. Текисликда тўғри чизиқ
тенгламалари. Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа
6 2 4
6 Иккинчи тартибли чизиқлар. Конус кесимлари. Иккинчи
тартибли чизиқнинг умумий тенгламаси. 6 2 4
7
Фазода сиртлар ва чизиқларнинг тенгламалари. Фазода
текисликнинг турли тенгламалари. Нуқтадан тўғри
чизиққача бўлган масофа
8 4 4
8 Иккинчи тартибли сиртларнинг тенгламалари. Иккинчи
тартибли сирт классификацияси 8 4 4
9
n ўлчовли аффин фазо. Аффин координаталар системаси.
Кўп ўлчовли Евклид фазоси. Кўп ўлчовли Евклид фазосида
метрик масалалар
8 4 4
10 Чизиқли ва квадратик формалар. 4 2 2
11 Циркуль ва чизғич ёрдамида ясаш аксиомалари. Циркуль ва
чизғич ёрдамида ясашга доир энг содда масалалар 6 2 4
12 Текисликдаги геометрик ясашларда фойдаланиладиган
методлар 6 2 4
13
Ясашга доир масалаларни циркуль ва чизғич ёрдамида
ечиш критерийси. Циркуль ва чизғич ёрдамида
ечилмайдиган классик масалалар
6 2 4
14 Марказий, параллел проекциялаш ва уларнинг хоссалари. 6 2 4
5
15 Икки текисликнинг перспектив аффин мослиги.
Текисликдаги перспектив-аффин мослик. Перспектив-
аффин мосликнинг бош йўналишлари
8 4 4
16
Эллипс ва айлананинг жинсдошлиги. Эллипсни қўшма
диаметрларга кўра ясаш. Жинсдош фигуралар ва ортогонал
проекциялар
8 4 4
17 Параллел проекциялаш усули билан ясси ва фазовий
фигураларнинг тасвирини ясаш 6 2 4
18 Аксонометрия. Полке-Шварц теоремаси. 6 2 4
19 Позицион масала. Тўла ва тўла бўлмаган тасвирлар 8 4 4
20 Проектив фазо. Проектив геометриянинг асосий фактлари 8 4 4
21 Проектив геометрия предмети. Нуқталарнинг гармоник
тўртлиги. Проектив текисликдаги иккинчи тартибли
чизиқлар ва уларнинг классификацияси
8 4 4
22 Проектив геометрия нуқтаи назардан Евклид
геометрияси. Геометрия асослари. Н. И. Лобачевский ва
унинг геометрияси.
8 4 4
23
Гильберт аксиомалар системаси шарҳи. Гильберт
аксиомаларидан келиб чиқадиган баъзи натижалар.
Текисликдаги Лобачевский
аксиомалар системаси ва ундан келиб чиқадиган
натижалар.
8 4 4
24 Кўпёқнинг ҳажми ҳақида. Лобачевский текислигининг
турли моделлари. 8 4 4
25 Сферик геометрия ва Риманнинг эллиптик геометриялари. 6 4 2
26 Топологик фазо ва уни киритиш усуллари. Очиқ ва ёпиқ
тўпламлар. Ички, чегаравий ва уриниш нуқталари. 8 4 4
27 Узлуксиз акслантиришлар ва гомеоморфизм. Скаляр
аргументли вектор функциялар 8 4 4
28 Силлиқ сирт ҳақида тушунча. Сиртнинг биринчи
квадратик формаси. Сирт устидаги чизиқлар. Бош
эгриликлар
8 4 4
Жами 198 92 106
1.04.“Геометрия” модулининг
ЎҚУВ-ДАСТУРИ (198 соат)
1-мавзу. Векторлар ва улар устида амаллар. Векторларнинг чизиқли
боғлиқлиги. Вектор координаталари (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Векторлар ва улар устидаги амаллар, векторларнинг чизиқли боқлиқлиги.
Текисликдаги координата методи. Вектор координаталари. Координаталари билан
берилган векторлар устида амаллар. Текисликдаги тўғри чизиқ.
2-мавзу. Фазода аффин ва тўғри бурчакли координаталар системаси. Кесмани
берилган нисбатда бўлиш. Векторнинг модули ва йўналтирувчи косинуслари (4 соат
маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Текисликдаги аффин координаталар системаси. Берилган кесмани берилган
нисбатда бўлиш. Тўғри бурчакли декарт координаталар системаси. Икки нуқта орасидаги
масофа. Текисликнинг йўналиши. Икки вектор орасидаги бурчак.
3-мавзу. Векторларнинг скаляр кўпайтмаси, унинг хоссалари ва татбиқлари.
6
Векторларнинг векториал ва аралаш ҳамда қўш кўпайтмалари (2 соат маъруза, 4
соат амалий машғулот).
Векторларнинг скаляр кўпайтмаси, унинг хоссалари ва татбиқлари. Векторларнинг
векториал ва аралаш ҳамда қўш кўпайтмалари.
4-мавзу. Координата системасини алмаштириш. Қутб, қутб сферик, қутб
цилиндрик координаталар системаси (2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Координата системасини алмаштириш. Қутб, қутб сферик, қутб цилиндрик
координаталар системаси
5-мавзу. Тўғри чизиқнинг турли берилиш усуллари. Текисликнинг
алмаштиришлари. Текисликда тўғри чизиқ тенгламалари. Нуқтадан тўғри
чизиққача бўлган масофа (2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Тўғри чизиқнинг турли берилиш усуллари. Текисликнинг алмаштиришлари.
Текисликдаги ҳаракатлар. Ўхшаш алмаштиришлар. Гомотетия. Текисликдаги аффин
алмаштиришлар. Текисликда чизиқ ва унинг тенгламаси. Текисликда тўғри чизиқ
тенгламалари ва уни текшириш. Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа
6-мавзу. Иккинчи тартибли чизиқлар. Конус кесимлари. Иккинчи тартибли
чизиқнинг умумий тенгламаси (2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Иккинчи тартибли чизиқлар. Эллипс, гипербола, параболани каноник тенгламаси
ёрдамида таҳлил қилиш.
7-мавзу. Фазода сиртлар ва чизиқларнинг тенгламалари. Фазода
текисликнинг турли тенгламалари. Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа (4
соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Фазодаги координаталар методи. Фазода текислик ва тўғри чизиқларнинг берилиш
усуллари. Иккинчи тартибли сиртларни каноник тенгламалари бўйича ўрганиш. Иккинчи
тартибли цилиндрик ва конус сиртлар, айланма сиртларда кесимлар ясаш.
8-мавзу. Иккинчи тартибли сиртларнинг тенгламалари. Иккинчи тартибли
сирт классификацияси (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Эллипсоид, гиперболоидлар, параболоидлар. Иккинчи тартибли сиртларнинг тўғри
чизиқли ясовчилари. Циркуль ва чизқич ёрдамида ясаш постулатлари. Ясашга доир
масалаларни ечишдаги босқичлар. Текисликдаги геометрик ясашларнинг турли методлари.
9-мавзу. n ўлчовли аффин фазо. Аффин координаталар системаси. Кўп
ўлчовли Евклид фазоси. Кўп ўлчовли Евклид фазосида метрик масалалар (4 соат
маъруза, 4 соат амалий машғулот).
n ўлчовли вектор фазо. n ўлчовли аффин фазо. n ўлчовли аффин фазоларнинг
изоморфлиги. n ўлчовли текисликлар ва уларнинг ўзаро вазияти. Аффин алмаштиришлар.
Аффин алмаштиришлар группаси ва унинг қисм группалари. n ўлчовли Евклид фазоси. n
ўлчовли фазода ўхшаш алмаштиришлар ва унинг группаси. n ўлчовли фазода ўхшаш
алмаштиришлар ва унинг группаси. n ўлчовли фазода ҳаракатлар.
10-мавзу. Чизиқли ва квадратик формалар (2 соат маъруза, 2 соат амалий машғулот).
Чизиқли ва квадратик формалар. Квадратик формани каноник кўринишга
келтириш. Нормал кўринишдаги квадратик форма. Инерция қонуни. Мусбат аниқланган
квадратик форма. Аффин фазосидаги квадрикалар. Квадрика тенгламасини каноник
кўринишга келтириш. Квадриканинг маркази ва таснифи. Уч ўлчовли Евклид фазосидаги
квадрикалар таснифини.
11-мавзу. Циркуль ва чизғич ёрдамида ясаш аксиомалари. Циркуль ва чизғич
ёрдамида ясашга доир энг содда масалалар (2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Циркуль ва чизғич ёрдамида ясаш аксиомалари. Циркуль ва чизғич ёрдамида
ясашга доир энг содда масалалар.
7
12-мавзу. Текисликдаги геометрик ясашларда фойдаланиладиган методлар
(2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Ясашга доир масалаларни ечиш босқичлари. Текисликдаги геометрик ясашларнинг
турли методлари. Ясашга доир масалалрни ечишдаги алгебраик метод.
13-мавзу. Ясашга доир масалаларни циркуль ва чизғич ёрдамида ечиш
критерийси. Циркуль ва чизғич ёрдамида ечилмайдиган классик масалалар
(2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Ясашга доир масалаларни Циркуль ва чизғич ёрдамида ечиш критерийси. Циркуль
ва чизғич ёрдамида ечилмайдиган классик масалалар.
14-мавзу. Марказий, параллел проекциялаш ва уларнинг хоссалари (4 соат
маъруза, 2 соат амалий машғулот).
Марказий, параллел проекциялаш ва уларнинг хоссалари.
15-мавзу. Икки текисликнинг перспектив аффин мослиги. Текисликдаги
перспектив-аффин мослик. Перспектив-аффин мосликнинг бош йўналишлари (4
соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Икки текисликнинг перспектив аффин мослиги. Текисликдаги перспектив-аффин
мослик. Перспектив-аффин мосликнинг бош йўналишлари.
16-мавзу. Эллипс ва айлананинг жинсдошлиги. Эллипсни қўшма
диаметрларга кўра ясаш. Жинсдош фигуралар ва ортогонал проекциялар (4 соат
маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Эллипс ва айлананинг жинсдошлиги. Эллипсни қўшма диаметрларга кўра ясаш.
Жинсдош фигуралар ва ортогонал проекциялар
17-мавзу. Параллел проекциялаш усули билан ясси ва фазовий
фигураларнинг тасвирини ясаш (2 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Параллел проекциялаш усули билан ясси ва фазовий фигураларнинг тасвирини ясаш.
18-мавзу. Аксонометрия. Полке-Шварц теоремаси (2 соат маъруза, 4 соат
амалий машғулот).
Аксонометрия. Полке-Шварц теоремаси. Фазовий фигураларнинг тасвирини ясаш.
19-мавзу. Позицион масала. Тўла ва тўла бўлмаган тасвирлар (4 соат маъруза,
4 соат амалий машғулот).
Позицион ва метрик масалалар. Тўла ва тўла бўлмаган тасвирлар ва уларни
стереометрияни ўрганишга татбиқлари. Қавариқ кўпёқларнинг кесимларини ясашга доир
масалалар.
20-мавзу. Проектив фазо. Проектив геометриянинг асосий фактлари (4 соат
маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Проектив фазо. Проектив геометриянинг асосий фактлари. Проектив текислик.
Проектив фазо аксиомалари. Проектив фазо моделлари. Проектив координаталар. Иккилик
принципи. Дезарг теоремаси. Бир тўғри чизиқда ётувчи тўртта нуқтанинг мураккаб
нисбати. Проектив алмаштиришлар ва уларнинг группаси.
21-мавзу. Проектив геометрия предмети. Нуқталарнинг гармоник тўртлиги.
Проектив текисликдаги иккинчи тартибли чизиқлар ва уларнинг классификацияси
(4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Проектив геометрия предмети. Нуқталарнинг гармоник тўртлиги. Тўлиқ тўрт
учликнинг гармоник хоссалари. Қутб ва қутб тўғри чизиғи. Проектив текисликдаги
иккинчи тартибли чизиқлар ва уларнинг классификацияси. Штейн, Паскал ва Браншон
теоремалари ва уларни мактаб геометрия курсидаги масалаларни ечишга тадбиғи. Проектив
текисликдаги қўзғалмас тўғри чизиқ.
8
22-мавзу. Проектив геометрия нуқтаи назардан Евклид геометрияси. Геометрия
асослари. Н.И.Лобачевский ва унинг геометрияси (4 соат маъруза, 4 соат амалий
машғулот).
Проектив геометрия нуқтаи назардан Евклид геометрияси. Геометрия асослари.
Геометрия асосларининг тарихий шарҳи. Евклидга қадар бўлган геометрия. Евклиднинг
“негизлар” асари. Евклиднинг в пастулоти ва уни исботлашга уринишлар. Н.И.Лобачевский
ва унинг геометрияси.
23-мавзу. Гильберт аксиомалар системаси шарҳи. Гильберт аксиомаларидан
келиб чиқадиган баъзи натижалар. Текисликдаги Лобачевский аксиомалар системаси
ва ундан келиб чиқадиган натижалар (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Гильберт аксиомалар системаси шарҳи. Гильберт аксиомаларидан келиб чиқадиган
баъзи натижалар. Текисликдаги Лобачевский аксиомалар системаси ва ундан келиб
чиқадиган натижалар. Параллел тўғри чизиқлар ва уларнинг хоссалари. Учбурчак,
тўртбурчак. Узоқлашувчи тўғри чизиқлар ва уларнинг хоссалари. Параллеллик бурчаги.
Лобечевский функцияси. Айлана, эквидистанта ва оритсикл. Аксиомалар системасини
изоҳлаш ҳақида (интерпретациялаш). Гильберт аксиомалар системасига бериладиган
аналитик интерпретация. Уч ўлчовли Евклид фазосининг Вейл аксиомалар системаси.
Аксиомалар системасининг зидсизлиги, эркинлиги ва тўлиқлиги. Кесма узунлиги.
Мавжудлик ва ягоналик теоремаси. Тенгдош ва тенг тузилган кўпбурчаклар ҳақида.
24-мавзу. Кўпёқнинг ҳажми ҳақида. Лобачевский текислигининг турли
моделлари (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Кўпёқнинг ҳажми ҳақида. Лобачевский текислигининг турли моделлари. Доимий
манфий эгриликка эга бўлган сиртда Лобачевский геометриясининг ўринли бўлиши.
Параллеллик Евклид геометриясидаги қолган аксиомаларга боғлиқ эмаслиги.
25-мавзу. Сферик геометрия ва Риманнинг эллиптик геометриялари (4 соат
маъруза, 2 соат амалий машғулот).
Сферик геометрия ва Риманнинг эллиптик геометриялари ҳақида тушунча. Риман
геометриясининг аксиомалар системаси.
26-мавзу. Топологик фазо ва уни киритиш усуллари. Очиқ ва ёпиқ тўпламлар.
Ички, чегаравий ва уриниш нуқталари (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Топологик фазо ва уни киритиш усуллари. Очиқ ва аксиомасининг ёпиқ тўпламлар.
Ички, чегаравий ва уриниш нуқталари. Тўпламнинг ёпиғи. Ажримлилик аксиомалари.
Топология базаси. Боғланишли ва чизиқли боғланишли тўпламлар. Компакт тўпламлар.
27-мавзу. Узлуксиз акслантиришлар ва гомеоморфизм. Скаляр аргументли
вектор функциялар (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Узлуксиз акслантиришлар ва гомеоморфизм. Скаляр аргументли вектор
функциялар. Эгри чизиқнинг берилиш усуллари. Регуляр чизиқлар. Уринма ва нормал
текислик. Эгри чизиқ узунлиги. Эгри чизиқнинг эгрилиги ва буралиши. Френе формулалари.
Икки скаляр аргументли вектор функциялар.
27-мавзу. Силлиқ сирт ҳақида тушунча. Сиртнинг биринчи квадратик формаси.
Сирт устидаги чизиқлар. Бош эгриликлар (4 соат маъруза, 4 соат амалий машғулот).
Силлиқ сирт ҳақида тушунча. Сиртнинг биринчи квадратик формаси. Сирт устидаги
чизиқнинг узунлиги. Сирт устидаги чизиқлар орасидаги бурчак. Сирт устидаги соҳанинг
юзаси. Сирт устидаги чизиқнинг эгрилиги. Сиртнинг иккинчи квадратик формаси. Бош
эгриликлар. Сиртнинг тўла ва ўртача эгрилиги. Сиртнинг ички геометрияси.
9
1-Маъруза
Мавзу: Векторлар ва улар устида амаллар. Векторларнинг чизиқли боғлиқлиги.
Вектор координаталари.
ДАРСНИНГ ТЕХНОЛОГИК ХАРИТАСИ
Дарснинг мақсади Тингловчиларга векторлар ва улар устида амаллар.
векторларнинг чизиқли ҳақида тушунча бериш.
Дарснинг режаси РЕЖА
1. Скаляр ва вектор микдорлар. Вектор тушунчаси.
2. Векторларнинг тенглиги, бирлик, ноль вектор, колленияр векторлар,
карама-карши векторлар.
3. Векторлар устида чизикли амаллар.
4. Базис. Векторни базис буйича ёйиш.
5. Векторни укдаги проекцияси, йуналтирувчи косинуслар.
Дарс босқичлари ва
дарс тақсимоти
80 дақиқа.
I. Ташкилий қисм – 5 дақиқа.
II. Янг мавзу баёни – 50 дақиқа.
III.Мавзуни мустаҳкамлаш– 20 дақиқа.
IV. Дарсга якун ясаш – 5 дақиқа.
Ўқув жараёнининг
мазмуни
Метод: ҳамкорликда ўрганиш, жамоада, гуруҳларда.
Жиҳоз: дарс ишланмаси намунаси, маркер, рангли қаламлар,
қоғоз.
Усул: оғзаки, ёзма, тақдимот.
Баҳолаш: рейтинг тизимда.
Уйга вазифа Кейинги ўтиладиган дарс мавзусига тайёрланиш. Мавзуга доир
адабиётлар билан танишиш.
Физик, кимёвий ва бошка ходисаларни урганишда учрайдиган катталикларни икки
синфга булиш мумкин.
Скаляр катталиклар деб аталадиган катталиклар синфи мавжудки, уларни характерлаш
учун бу катталикларнинг сон кийматларини курсатиш етарлидир. Булар масалан, хажм, масса,
зичлик, харорат ва бошкалардир. Лекин шундай катталиклар мавжудки, улар факат сон
кийматлари билангина эмас, балки йуналиши билан хам характерланади.
Улар йуналтирилган катталиклар ёки вектор катталиклар деб аталади. Масалан,
харакатланаётган нуктанинг бир вазиятдан иккинчи вазиятга кучишида таъсир этаётган кучни
характерлаш учун кучнинг улчамларини курсатиш кифоя килмасдан, балки бу кучнинг
йуналишини хам курсатиш зарурдир. Харакат тезлиги магнит ёки электр майдоннинг
кучланганлиги ва бошка катталиклар хам шунга ухшаш характерланади. Буларнинг хаммаси
вектор катталикларга оид мисолдир. Уларни тасвирлаш учун вектор тушунчаси киритилган
булиб, у математиканинг узи учун хам фойдали булиб чикди. Биз юкорида йуналган кесма
хакида гапирганимизда, унда йуналиш аникланган, яъни унинг четки нукталаридан кайси
бири боши, кайси бири охири эканлиги курсатилган кесма эканлиги хакида айтган эдик.
Таъриф: Йуналган кесма вектор дейилади.
10
Векторни АВ = а куринишида белгилаймиз.
!а! = !АВ! — вектор узунлиги.
Боши ва охири устма-уст тушган вектор ноль вектор деб аталади ва 0 куринишида
белгиланади.
!0! = 0
Ноль вектор йуналишга эга эмас.
2- таъриф Параллел тугри чизикда ётган векторлар колленияр векторлар дейилади.
3-таъриф а ва в векторлар колленияр бир хил йуналган ва узунликлари тенг булса, улар тенг
векторлар деб аталади.
а = в
4-таъриф Битта текисликда ёки параллел текисликларда ётувчи векторлар компленар
векторлар деб аталади.
АВ ва ВА векторлар карама-карши векторлар дейилади. АВ= а; у холда ВА = -а
Векторлар устида чизикли амаллар деб, кушиш, айириш, сонга купайтиришга айтилади.
а ва в векторлар берилган булсин. Ихтиёрий 0 нуктани оламиз ва ОА=а ни ясаймиз, кейин
АВ=в ни ясаймиз. ОВ=а+в вектор хосил булади. Бу усулни векторларни кушишни учбурчак
усули деб аталади.
В
а+в
в
О А
а
Бошкача усули
В С
в а+в
О а А
О нуктага ОА=а ва ОВ=в ни ясаймиз.
Шу векторлар ёрдамида ОВСА параллелограмм ясаймиз. ОС = а+в вектор хосил булади.
Бу усул параллелограмм усули деб аталади.
10 а+в = в+а
20 (а+в)+с = а+(в+с)
а-в векторни хосил килиш учун, ихтиёрий О нуктани олиб, ОА=а ва ОВ=в векторларини
ясаймиз. ВА= а - в ни хосил киламиз:
a a a a a = - b
b b
-a b a=b
11
а 0 векторни m 0 сонга купайтмаси деб, а векторга колленияр, узунлиги !m! * !а! га
тенг булган, агар m >0 булса, а вектор билан бир хил йуналган; m<0 булса, а векторга карама-
карши йуналган mа векторга айтилади.
В
в а-в
О а А
Асосий хоссалар:
10 mа = а m (урин алмаштириш)
20 m(nа) = (mn) а (группалашлар)
30 (m+n)а = mа+nа Сонларни кушишга нисбатан таксимот конуни
40 m(а+в) = mа+mв Кушишга нисбатан таксимот конуни.
Узунлиги 1 га тенг булган векторга бирлик вектор дейилади ва куйидагича белгигаланади:
!а0 !=1
Ихтиёрий векторни а = !а! * а0 шакилда ёзиш мумкин.
Таъриф: а1, а2, ..., аn векторлар системаси учун камида биттаси 0 дан фаркли шундай n та 1,
2, ..., n сонлар мавжуд булсаки, векторларнинг чизикли комбинацияси 0 га тенг. Яъни
1 = 2 = ... = n = 0 (1)
булса, у система чизикли боглик система дейилади. Акс холда а1, а2 , ..., аn векторлар чизикли
эркли деб аталади, улар учун тенглик факат
1=2=...=n=0 булганда уринли булади.
1- мисол: а ва в векторлар колленияр булганда ва факат шундагина чизикли боглик булишини
исботланг.
Ечиш: а ва в векторлар чизикли боглик булса, у холда куйидаги тенглик уринли булади:
в=а (0)
а ва в векторларни колленияр эканлиги келиб чикади. Тескари даъво хам уринлидир, яъни а
ва в узаро колленияр булса, в = а тенглик уринлидир, у холда -а ва в векторлар узаро
чизикли богликлиги келиб чикади.
2-мисол: а, в ва с векторлар комплонар булганда ва факат шундагина чизикли боглик
булишини курсатинг:
Ечиш: Хакикатан хам, улар чизикли боглик булса, у холда
С=а+в (0, 0) тенглик тугри.
а вектор ва а узаро колленияр,
в вектор ва в узаро колленияр, у холда а+в вектор а ва в векторлар билан комплонар булган
вектордир. Демак, а, в ва с векторлар комплонардир. Тескариси хам уринлидир.
Айтайлик, а, в ва с векторлар комплонар булсин. Бу векторларни умумий О бошига
келтирамиз ва ОАСВ параллелограмм ясаймиз.
ОС = ОА + ОВ
ОА вектор а га ОВ вектор в га колленияр. Шунинг учун ОА =а, ОВ=в. Бу ерда 0, 0
В С
в с
а А
12
У холда С=ОА + ОВ= а+в. Бу эса а, в ва с векторларни чизикли богликлигини курсатади.
Таъриф: Исталган а векторни n та чизикли эркли е1, е2, ... , en векторларнинг чизикли
комбинацияси оркали ифодалаш мумкин булса, у холда бу векторлар фазонинг базиси деб
аталади.
Базисни хосил киладиган векторлар сони фазонинг улчами дейилади. Базисга кирувчи
векторлар базис векторлар деб аталади. Тугри чизикнинг улчами 1 га тенг:
а = е (0) (2)
Текисликнинг улчами 2 га тенгдир:
а=е1+е2 (, 0) (3)
Фазонинг улчами 3 га тенгдир, чунки фазода учта вектор компланардир:
а = е1+е2+е3 (, , 0) (4)
Буларда е1, е2, е3 — чизикли эркли векторлар булиб, базис ташкил килади.
Фазода бирор l ук ва бирор фазода жойлашган АВ вектор берилган булсин. А1 ва В1
нукталар А ва В нукталарнинг l укдаги проекцияси булсин. Айтайлик А1(х1) ва В1(х2) l
укдаги координатаси булсин. А1В1 вектор АВ векторнинг l укдаги ташкил этувчиси йки
компонентаси дейилади.
А В
А1 В1
l
х1 х2
Агар АВ вектор l ук билан уткир бурчак хосил килса, у холда х2-х1>0 булади;
АВ вектор l уки билан утмас бурчак хосил килса, у холда х2-х1<0 булади;
АВ _!_ l булади, агар х2-х1=0 булса.
Векторни l укдаги проекциясини Прl АВ шаклида белгиланади.
Прl АВ = ± !А1В1!
Проекциянинг асосий хоссалари:
10 . а векторнинг l укка проекцияси а вектор модулининг бу вектор билан ук орасидаги бурчак
косинусига купайтмасига тенг
Прl а = !a! cos (5)
В
А
l
A1 B1
20. Икки вектор йигиндисининг укка проекцияси кушилувчи векторларнинг шу укка
проекциялари йигиндисига тенг, яъни
Прl (а+в) = Прl а+ Прl в (6)
13
30. сонининг а векторга купайтмасининг l укка проекцияси сонни а нинг шу укка
проекциясига купайтмасига тенг, яъни узгармас сонни проекциядан ташкарига чикариш
мумкин:
Прl а = Прl а (7)
а = ОА векторни координата укларидаги проекцияси ах, ау, аz оркали белгиланади ва
а = ахi + ауj + аzk (8)
формула а нинг i, j, k базис векторлари ёки координата уклари буйича ёйилмасини беради.
ОА= r булиб, уни радиус вектор деб аталади.
Агар а = ахi + ауj + аzk ва в = вхi + вуj + вzk берилган булса, у холда
а ± в = (ах ± вх)i + (ay ± ву)j + (az ± вz)k (9)
а = (ах)i + ayj + azk (10)
Мисол: 1) А(6; -1; 2), В(-3; 1; 4); булса, АВ= -9i + 2j +2k.
2) a = 2i - 4j + 5k; в = -4i + 3j + 8k.
a + в = (2 - 4) i+ (-4+3) j + (5+8)k=-2i -j +13k.
a - в = (2-(-4)) i + (-4-3) j+(5-8)k = 6i -7j -3k.
5a = 5*2i - 5*4j + 5*5k= 10i -20j +25k
Уз-узини текшириш учун саволлар:
1. Кандай векторлар коллениар векторлар, компланар, тенг деб аталади?
2. Векторнинг модули нима?
3. Векторлар устидаги кайси амаллар чизикли амаллар деб аталади?
4. Кандай векторлар чизикли боглик ва кандай векторлар чизикли эркли деб аталади?
5. Фазонинг базиси ва улчами нима?
6. Векторнинг укдаги ташкил этувчиси нима?
7. Векторнинг укка проекцияси нима?
8. Векторлар устида чизикли амалларга уларнинг координаталари устида шундай амаллар мос
келишини исботланг.
2-Маъруза
Мавзу: Фазода аффин ва тўғри бурчакли координаталар системаси. Кесмани
берилган нисбатда бўлиш. Векторнинг модули ва йўналтирувчи косинуслари.
ДАРСНИНГ ТЕХНОЛОГИК ХАРИТАСИ
Дарснинг мақсади Тингловчиларга фазода аффин ва тўғри бурчакли
координаталар системаси. кесмани берилган нисбатда бўлиш.
векторнинг модули ва йўналтирувчи косинуслари ҳақида тушунча
бериш.
Дарснинг режаси 1. Фазода аффин ва тўғри бурчакли координаталар системаси.
2. Кесмани берилган нисбатда бўлиш.
3. Векторнинг модули ва йўналтирувчи косинуслари
Дарс босқичлари ва
дарс тақсимоти
80 дақиқа.
I. Ташкилий қисм – 5 дақиқа.
II. Янг мавзу баёни – 50 дақиқа.
III.Мавзуни мустаҳкамлаш– 20 дақиқа.
14
IV. Дарсга якун ясаш – 5 дақиқа.
Ўқув жараёнининг
мазмуни
Метод: ҳамкорликда ўрганиш, жамоада, гуруҳларда.
Жиҳоз: дарс ишланмаси намунаси, маркер, рангли қаламлар,
қоғоз.
Усул: оғзаки, ёзма, тақдимот.
Баҳолаш: рейтинг тизимда.
Уйга вазифа Кейинги ўтиладиган дарс мавзусига тайёрланиш. Мавзуга доир
адабиётлар билан танишиш.
Текисликда О нуқта орқали ўзаро перпендикуляр иккита ва тўғри
чизиқларни ўтказамиз. ўқи (у одатда горизонтал бўлади) абсциссалар ўқи
дейилади, ўқи эса (у вертикал ҳолатда бўлади) ординаталар ўқи дейилади.
Кесишиш нуқтаси О координаталар боши деб аталади. О нуқта ўқларнинг ҳар
бирини иккита ярим ўққа ажратади. Улардан бирини мусбат ярим ўқ деб, уни
стрелка билан белгилаймиз, иккинчисини манфий ярим ўқ дейилади. Бу ўқларда
узунлик бирлиги танланган бўлса, биргаликда ХОУ – Декарт координаталар
системаси берилган дейилади.
1-чизма.
М1(х1,у2), М2(х2,у2) нуқталар берилган бўлиб,
2-чизма.
Пифагор теоремасига кўра,
()
бўлади.
()-икки нуқта орасидаги масофани ҳисоблаш формуласи дейилади.
Энди М1(х1,у2), М2(х2,у2) нуқталар берилган бўлиб, М1,М2 нуқталарда шундай М(х,у)
нуқтани топиш керакки,
шарт бажарилсин.
Элементар математикадан маълумки,
x y
x
y
?21 MMd
212
2
12
2
2
2
121 yyxxNMNMMMd
MM
MM
2
1
15
3-чизма.
Демак,
(1)
Агар (1) да, десак,
(2)
кесма ўртасининг координаталарини ҳисоблаш формуласини ҳосил қиламиз.
Мисол. Учлари нуқталарда бўлган кесма берилган.
нуқта кесмани нисбатда бўлади. нуқта координаталари билан
кесма узунлигини топинг.
Ечилиши. қуйидагиларни ёзиб оламиз:
(1) формуладан фойдаланиб нуқтанинг координаталарини топамиз.
кесма узунлигини формуладан фойдаланиб топамиз.
Назорат саволлари.
1.Текисликда Декарт координаталар системасини киритинг. Нуқталар белгилаб
координаталарини аниқланг.
2.Икки нуқта орасидаги масофа. Мисоллар.
3.Кесмани берилган нисбатда бўлиш. Мисоллар.
4.Кесманинг ўртасини топиш. Мисоллар.
1,
1
2121
2
1
2
1
2
1 yyy
xxx
xx
xx
AA
AA
MM
MM
1
1
21
21
yyy
xxx
1
2
2
21
21
yyy
xxx
4;2,3;5 BA AB
yxC ;4
1 yxC ;
AB
.4,2,3,5,4
12211 yxyx
CB
AC
yxC ;
.6,1;6,3.6,1
4
11
44
13
;6,3
4
11
24
15
Cyx
AB
.27984949345222
dAB
16
3-Маъруза
Мавзу: Векторларнинг скаляр кўпайтмаси, унинг хоссалари ва татбиқлари.
Векторларнинг векториал ва аралаш ҳамда қўш кўпайтмалари.
ДАРСНИНГ ТЕХНОЛОГИК ХАРИТАСИ
Дарснинг мақсади Тингловчиларга векторларнинг скаляр кўпайтмаси, унинг
хоссалари ва татбиқлари. векторларнинг векториал ва аралаш
ҳамда қўш кўпайтмалари ҳақида тушунча бериш.
Дарснинг режаси Режа:
1. Текисликда координаталар системаси.
2. Фазода координаталар системаси.
3. Координаталар билан берилган векторлар устида амаллар.
4. Векторларнинг скаляр купайтмаси ва унинг хоссалари.
5. Икки векторнинг коллинеарлик шарти.
Дарс босқичлари ва
дарс тақсимоти
80 дақиқа.
I. Ташкилий қисм – 5 дақиқа.
II. Янг мавзу баёни – 50 дақиқа.
III.Мавзуни мустаҳкамлаш– 20 дақиқа.
IV. Дарсга якун ясаш – 5 дақиқа.
Ўқув жараёнининг
мазмуни
Метод: ҳамкорликда ўрганиш, жамоада, гуруҳларда.
Жиҳоз: дарс ишланмаси намунаси, маркер, рангли қаламлар,
қоғоз.
Усул: оғзаки, ёзма, тақдимот.
Баҳолаш: рейтинг тизимда.
Уйга вазифа Кейинги ўтиладиган дарс мавзусига тайёрланиш. Мавзуга доир
адабиётлар билан танишиш.
Текисликда бирор 0 нуктада кесишувчи узаро перпендикуляр иккита укни оламиз. Бу
укларнинг хар бирида 0 нуктадан бошлаб бирлик векторларни ажратамиз.
Мусбат йуналишлари мос равишда
векторлар билан аникланувчи иккита укдан ташкил
топган система текисликда тугри бурчакли
координаталар системаси дейилади ва R={0, }
куринишда белгиланади.
0 нукта координаталар боши, бирлик
векторлар эса, координата векторлари дейилади.
векторлар ортогонал ва бирлик векторлардир,
яъни ; ОХ, ОУ уклар мос равишда
абциссалар ва ординаталар уклари дейилади.
ji ,
ji ,
ji ,
ji ,
1 ji ji
17
Текисликда R={0, } координаталар системаси берилган булсин. Шу
текисликнинг А нуктаси учун вектор А нуктанинг радиус вектори дейилади ва
куйидагича ёзилади:
(1)
(1)даги х,у лар А нуктанинг R={o, }
системадаги координаталари дейилади ва А(х,у)
каби белгиланади. R={o, } координаталар
системасида бирор вектор берилган
булса, унинг координата
укларидаги проекциялари ах ва ау бу векторнинг
координаталари дейила-ди. Энди
векторларнинг боши ва охирги
нукталари (А ва B) нинг координаталари R={0, } координаталар системасида маълум
булса, у холда векторнинг координаталарини топиш мумкин. А(х1,у1) ва В(х2,у2) нукталар
берилган булсин. У холда векторнинг ОХ укидаги проекцияси А1В1 кесмадан иборат
булиб, унинг узунлиги х2-х1 га, ОУ укидаги проекцияси эса А2В2 кесмадан иборат булиб,
унинг узунлиги у2-у1 га тенгдир. =(х2-х1) , =(y2-y1) , ва = + га тенг
булгани учун
= =(х2-х1) + (y2-y1) (2)
Демак, векторнинг координата укларидаги проекциялари мос равишда {(х2-х1); (y2-
y1)} булиб, унинг кийматлари шу вектор охири ва бошининг тегишли координаталар
айирмасига тенг.
Фазода 0 нукта ва бу нуктада кесишувчи узаро перпендикуляр учта ОХ, ОУ, OZ
укларни оламиз. Бу укларнинг хар бир жуфти оркали текислик
утказамиз. Уларни мос равишда ХОУ, ХОZ, YOZ
деб белгилаймиз. Бу текис-ликлар координата
текисликлари дейи-лади. 0 нукта хар кайси
координата уки-ни иккига ажратади. Улардан
бирини мусбат иккинчисини манфий деб оламиз Бу
усул билан хосил килинган OXYZ системага фазода
тугри бурчакли (Декарт) координаталар системаси
дейилади. Одатда OX, OY, OZ коорди-ната
укларининг бирлик векторлари мос равишда ,
, (ёки , , ) лар оркали белгиланади.
Фазода тугри бурчакли координаталар системаси
символик куринишда R={0, , , } ёки R={0,
, , } каби белгиланади.
Фазодаги векторнинг координаталар деб унинг координата уклар-идаги
проекцияларига айтилади.
Фазода жойлашган ихтиёрий вектор координата
ларини топайлик. Айтайлик вектор боши
А(хА, уА,zA)ваВ(хВ, уВ,zВ) нукталарда жойлашган
булсин. А ва В нукталарнинг координаталари
маълум булганда векторнинг координаталари
куйидагича топилади:
ji ,
АО
jyixOAr
ji ,
ji ,
ABa
ABa
ji ,
a
a
11BA i22BA j a 11BA 22BA
a AB i j
a
i j
k1е 2е 3е
i j k
1е 2е 3е
a
a
AB
18
= - =хВ +уВ +zB -xA -yA -
zA =( хВ -xA ) + (уВ-yA) +(zB-zA)
Демак, векторнинг координаталари унинг охири ва бошини билдирувчи
нукталарнинг мос координаталари айирмасига тенг:
= ={( хВ -xA ), (уВ-yA), (zB-zA) }
, векторлар берилган Б={ } базис векторлари буйича ку-
йидаги координаталарга эга булсин:
={a1,a2,a3}=a1 +a2 +a3
={b1,b2,b3}=b1 +b2 +b3
1. ва векторларни кушишда уларнинг мос координаталари кушилади. Хакикатан
хам ={с1,с2,с3} булганда
= + =( a1 +a2 +a3 )+( b1 +b2 +b3 )=
=( a1+b1) + (a2+b2) + (a3 +b3) ={( a1+b1); (a2+b2); (a3 +b3)}
Демак, с1=a1+b1; c2=a2+b2; c3=a3+b3.
2. вектордан векторни айиришда хам векторларнинг мос координаталари
айрилади, яъни
- =( a1 +a2 +a3 )-( b1 +b2 +b3 )=
=( a1-b1) + (a2-b2) + (a3 -b3) ={( a1-b1); (a2-b2); (a3 -b3)}
3. Векторни сонга купайтиришда унинг барча координаталари шу сонга
купайтирилади, яъни
= ( a1 +a2 +a3 )=
=( a1) +( a2) + (a3) =
={a1; a2; a3}
Юкорида айтилганлар ихтиёрий сондаги векторлар ва ихтиёрий улчовли базисда хам
уз кучини саклайди.
Векторлар билан бажариладиган содда амалларни (кушиш, айириш, сонга
купайтириш) ва бу амаллар натижасида яна векторлар келиб чики-шини куриб утдик.
Энди векторлар билан бажарилган амал натижасида скаляр(сон) хосил булишини
куриб утамиз.
ТАЪРИФ. Нолга тенг булмаган иккита
ва векторнинг скаляр купайтмаси деб,
купайтирилувчи векторлар модулларининг бу
векторлар орасидаги бурчак косинусига
купайтмасига тенг сонга айтилади.
Скаляр купайтма ёки ( ) куринишларда ёзилади. Демак, таърифга кура =( )=
cos.
Скаляр купайтма куйидаги хоссаларга эга:
10. Скаляр купайтма урин алмаштириш конунига буйсунади
=
ИСБОТ. Таърифга кура = cos( ^ ).
AB OB OA i j k i j
k i i j k
AB
a AB i
a b 321 ,, eee
a1e 2e 3e
b1e 2e 3e
a b
c
c a b1e 2e 3e 1e 2e 3e
1e 2e 3e
a b
a b1e 2e 3e 1e 2e 3e
1e 2e 3e
a1e 2e 3e
1e 2e 3e
a
b
a b a b a b a b
a b
a b b a
a b a b a b
19
ва = cos( ^ )
Косинус жуфт функция эканлигини эътиборга олсак,
cos( ^ )=cos( ^ ) бундан =
20. Хар кандай векторнинг уз – узига купайтмаси бу вектор узунлигининг квадратига
тенг:
= 2
ИСБОТ. Скаляр купайтма таърифидан
= cos( ^ ) 2cos00= 2
ифода 2 билан белгиланади ва векторнинг скаляр квадрати дейилади.
У холда юкоридаги тенгликдан нинг узунлиги = 2
30. Икки векторнинг скаляр купайтмаси уларнинг бирининг узунлиги билан
иккинчисининг биринчиси йуналишига туширилган проекцияси купайтмасига тенг, яъни
= = ( 0, 0)
ИСБОТ. = = =
40. Скаляр купайтма скаляр купайтувчига нисбатан гурухлаш конунига буйсунади,
яъни
( ) = ( ), бу ерда mR
ИСБОТ. Юкоридаги 10,30 хоссаларга биноан
(m ) = ( )= = =
=m( )=m( )
50. Купайтувчи векторлар перпендикуляр булса, скаляр купайтма 0га тенг.
ИСБОТ. . Бу холда ( ^ )= cos( ^ )=0 = cos =0.
60. Скаляр купайтма таксимот конунига буйсунади, яъни хар кандай , , векторлар
учун
( + ) = + .
ИСБОТ. ( + ) = ( + )= =
= ( + )= + = + .
70. Ортонормалланган Б={ } базис учун
Хусусий холда
Координаталари билан берилган векторларнинг скаляр купайтмаси куйидагича
хисоблаб топилади.
V3 вектор фазода ортонормалланган Б={ } базисни олайлик. , векторлар
бу базисга нисбатан координаталари билан берилган булсин.
={x1,y1,z1}=x1 + y1 + z1 ,
={x2,y2,z2}= x2 + y2 + z2
b a b a b a
a b b a a b b a
a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a а
a b a b
а b
a
b a b
a b a b
а b a b
b
а
т а b т а b
а b b т а b amb b am
b
а b b а
а b а b 2
а b а b b a
2
а b c
а b c а c b c
а b c c а b c bac
c ac b
c c а c b а c b c
321 ,, eee
3,2,1,.,1
,0
ji
даji
даjiee ji
02
cos1^cos
jijiji eeeeee
12
iii eee
321 ,, eee а b
а1e 2e 3e
b1e 2e 3e
20
Скаляр купайтманинг хоссаларидан фойдаланиб векторни векторга скаляр
купайтирамиз.
=(x1 + y1 + z1 )( x2 + y2 + z2 )=x1x2 + х1у2 +
+х1z2 +x2y1 + у1у2 +у1z1 +
+x1 z1 + y2z1 +z1z2
6-хоссага асосан 2= 2= 2=1 ва = = =
= = = =0 булганлигидан икки векторнинг скаляр купайтмаси учун
=х1х2+у1y2+z1z2 уринли булади.
Икки ва векторлар орасидаги бурчак
cos( ^ )=
(скаляр купайтма таърифидан бевосита келиб чикади).
Координаталари билан берилган ва векторлар учун
cos( ^ )=
={x1,y1,z1}, ={x2,y2,z2} векторларнинг перпендикулярлик шарти куйидагича
булади:
х1х2+у1y2+z1z2=0
Узаро коллинеар
=аx +ay +az ва =bx +by +bz векторлар берилган булсин. Демак, улар
орасида = (бунда - юирор сон) муносабат уринли булади. Векторни сонга
купайтирганда унинг уклардаги проекциялари хам мос равишда шу сонга купайтирилгани
учун куйидаги тенгламаларни ёза оламиз:
аx=bx, ay=by, az=bz (1)
(1) тенглик ва векторларнинг коллинеарлик шартидир. (1) тенгликдан
=, =, =
тенгликларни хосил киламиз. Бундан = = (2)
(2) формула иккита ва векторлар коллинеар булиши учун уларнинг координата
уклардаги проекциялари пропорционал булиши зарур ва етарли булишини билдиради.
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.
Вектор координаталари, векторларни кушиш, айириш, сонга купайтириш, скаляр
купайтма, скаляр купайтма хоссалари, перпенди-кулярлик шарти, коллинеарлик шарти.
НАЗОРАТ УЧУН САВОЛЛАР.
1. Векторнинг текисликда ва фазода координаталари кандай аникланади?
2. Координаталари билан берилган векторлар йигиндиси ва айирмаси кандай
аникланади?
3. Икки векторнинг скаляр купайтмаси деб нимага айтилади?
4. Вектор купайтма хоссаларини айтиб беринг.
5. Векторларнинг перпендикулярлик шартини таърифланг.
6. Векторларнинг коллинеарлик шартини айтиб беринг.
а b
а b1e 2e 3e 1e 2e 3e 1e 1e 1e 2e
1e 3e 1e 2e 2e 2e 2e 3e
1e 3e 2e 3e 3e 3e
1e 2e 3e 1e 2e 2e 1e 1e 3e
3e 1e 2e 3e 3e 2e
а b
а b
а bba
ba
а b
а b2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyxzyx
zzyyxx
а b
а1e 2e 3e b
1e 2e 3e
а b
а b
x
x
b
a
y
y
b
a
z
z
b
a
x
x
b
a
y
y
b
a
z
z
b
a
а b
21
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОРИАЛ, АРАЛАШ ВА КУШ КУПАЙТМАЛАРИ.
Таъриф. ва векторларнинг вектор купайтмаси деб куйидаги учта шартни
каноатлантирадиган векторга айтилади:
1. = sin( ^ )
2. ,
3. , , векторлар умумий бошга келтириб, нинг учидан , векторлар
ётган текисликка каралганда вектордан вектор томонга караб энг киска йул билан
бурилиш соат стерелкаси харакатига тескари булсин. вектор купайтма [ ], х ёки =[
] каби белгиланади.
Келтирилган таърифдаги 1-шарт векторнинг узунлиги томонлари ва
векторлардан иборат параллелограммнинг юзига тенг эканлигини 2-эса вектор купайтма
(яъни вектор) ва векторлар ётган текисликка перпендикуляр эканлигини билдиради.
Вектор купайтма куйидаги хоссаларга эга.
10. Купайтувчи векторлардан камида биттаси ноль вектор ёки // булса, [ ]=0
булади.
Исбот: Хакикатан хам // булса у холда [ ]=0. Агар улар параллел булса улар
орасидаги бурчак 0 ёки 180 булиб Sin( ^ )=0 булади. ва 1-шартга асосан текисликка
перпендикуляр, аммо [ ] купайтмада , унг вектор купайтма ноль вектор булади.
20. Агар вектор купайтма купайтувчиларининг уринларини алмаштирилса, вектор
купайтманинг ишораси узгаради: [ ]=-[ ]
Исбот. Хакикатан хам вектор купайтма таърифининг 1- ва 2- бандларига асосан [ ]
ва [ ] векторларнинг узунликлари тенг ва иккаласи хам битта текисликка перпендикуляр
аммо [ ] купайтмада унг учликни [ ] эса чап учликни ташкил этгани учун [
] вектор йуналишга карама-карши [ ] вектор хосил киламиз.
30. Исталган хакикий сон сон учун ушбу муносабатлар уринли
[ ]=[ ]= [ ]
40. Вектор купайтма учун таксимот конуни уринлидир.
[ ( + )]=[ ]+[ ]
1. Бирлик векторларнинг вектор купайтмалари куйидагича булади.
[ ]= – [ ]= ; [ ]=0
[ ]= –[ ]= ; [ ]=0
[ ]= –[ ]= ; [ ]=0
Агар декарт координаталар системасида ва векторлар координаталари билан берилган,
яъни
=аx +ay +az
=bх +bу +bz булса у холда
[ ]=(аx +ay +azk)(bх +bу +bz )=(aybz-azby) -(axbz-azbx) +(axbу-ауbх) =
a
b
p
p
ab
ab
papb
abp
p
ab
a
b
abab
с
ab
p
a
b
p
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
p
ab
ba
ab
ba
ab
ab
ba
ab
ba
ab
ab
ab
ab
с
ab
aс
ij
jik
ii
ki
ik
j
jj
jk
kj
i
kk
a
b
a
i
j
k
b
i
j
k
ab
i
j
i
j
k
i
j
k
22
= [ ]=
вектор купайтма ёрдамида учбурчакнинг юзини хисоблаш учун формулани хосил килиш
мумкин. АВС учбурчак учларининг координиталари билан берилган булсин;
A(x1,y1,z1,) , B(x2,y2,z2) , C(x3,y3,z3)
Вектор купайтма таърифига кура хосил булган векторнинг мoдули параллелограммнинг
юзига тенг. Унинг ярми эса учбурчакнинг юзини беради;
SABC=
Учта , , векторлар берилган булсин.
Таъриф. , ва векторларнинг аралаш купайтмаси деб (векторларнинг курсатилган
тартибига кура) ва векторларнинг вектор купайтмасига тенг векторни векторга
скаляр купайтиришдан хосил булган сонга айтилади.
Аралаш купайтма [ ] ёки ( ) куринишда белгиланади.
Аралаш купайтма куйидаги геометрик
маънога эга. , , векторлар бирор О нуктага
куйилган ва компланар булмаган унг учликни
хосил килсин. Кирралари бу векторлардан иборат
параллелепипедни ясаймиз. микдор шу
параллелепипед юзини билдиришини курамиз.
Скаляр купайтма таърифига кура:
. Бу ерда
булиб
микдор векторнинг йуналиши буйича тугри чизикдаги проекциясига тенг булиб,
параллелепипеднинг баландлигидан иборатдир: =h
Шундай килиб, [ ] =Sacoch=V. Бу ерда V параллелепипед хажми. Демак
параллелепипед хажми: V=[ ]
Айтайлик R={o, , , } координаталар системасида ={ax,ay,az} ={bх,bу,bz} ва
={cx,cy,cz} векторлар берилган булсин. Координаталари билан берилган учта векторнинг
аралаш купайтмасини топайлик.
ва векторларнинг вектор купайтмаси куйидагича булади:
[ ]= Энди хосил килинган векторни векторга
скаляр купайтирамиз:
[ ] =
ёки
zух
zyx
ух
yx
zх
zx
zу
zу
bbb
aaa
kji
kbb
aaj
bb
aai
bb
аа
a
b
ух
yx
zх
zx
zу
zy
bb
aa
bb
aa
bb
aa;;
ACAB 2
1
ab
с
ab
с
a
b
с
ab
abс
ab
с
][ ba
cos][][ сbaсba )])^(([ cba
cos|| c
с
cos|| c
ab
с
ab
с
ijk
a
b
с
a
b
ab
kbb
aaj
bb
aai
bb
аа
ух
yx
zх
zx
zу
zу с
ab
с
zyx
zух
zух
ух
yx
z
zх
zx
y
zу
zу
х
aaa
bbb
ссс
bb
aac
bb
aac
bb
аас
23
Бу детерминатни куйидаги куринишда ёзамиз: [ ] =
Бу формуланинг татбики сифатида учларининг координаталари буйича тетраэдр
хажмини хисоблаш формуласини келтириб чикарайлик
A(x1,y1,z1,) , B(x2,y2,z2) , C(x3,y3,z3) D(x4,y4,z4) нукталар тетраэдрнинг учлари булсин.
={ x2-x1, y2-y1,z2-z1} , ={x3-x1,y3-y1,z3-z1} ={x4-x1,y4-y1,z4-z1}
Тетраэдрнинг хажми тетраэдрнинг бир учидан чиккан учта киррасига курилган
параллелепипед хажмининг 1/6 кисмига тенг булгани учун
Vтетр= ( )= mod
Аралаш купайтма куйидаги хоссаларга эга.
10. ( )=( )=( )
Хакикатан хам, бу учта векторга курилган параллелепипед хажмларининг абсолют
кийматлари тенг.
20. ( )=-( ), чунки ( )=[ ] =-[ ] =-( ) демак (
)=-( ), ( )=-( ), ( )=-( )
30. (( + ) )=( )+( ) чунки (( + ) )=[ + , ] =([ ]+[
]) =[ ] +[ ] =( )+( )
40. R учун ( )= ( ) чунки ( )=
=[ ] =[ ] =( )
50. Компланар , ва векторларнингаралаш купайтмаси О га тенг булади, чунки бу
векторларга курилган параллелепипед текисликда булиб унинг баландлиги нолга тенг
булади ва аксинча ( )=0 бундан , , векторлар компланар.
Ихтиёрий , , вектор берилган булсин. Булар учун ( ) вектор куш вектор
купайтма деб аталади. Куш вектор купайтмани топишнинг энг содда коидасини куйидаги
теорема оркали курсатамиз.
1-ТЕОРЕМА Ихтиёрий учта , , вектор учун ушбу ( )=
=( , ) -( , ) тенглик уринлидир.
Исбот: , , ихтиёрий векторлар
=а1 +a2 +a3
=b1 +b2 +b3
=c1 +c2 +c3 куринишда булсин. У холда нинг га вектор
купайтмаси
=
векторни беради. Энди векторни * векторга векториал купайтирамиз:
ab
с
zyx
zух
zух
ccc
bbb
ааа
AB AC AD
6
1AB AC AD
6
1
141312
141312
141312
,,
,,
,,
zzzzzz
yyyyyy
xxxxхх
ab
с
b
сa
сab
ab
с
baс
ab
с
ab
с
ba
с
baс
a
b
с
baс
bсa
сba
сab
aсb
ab
сd
aсd
b
сd
ab
сd
ab
сd
aс
b
сd
aсdbсd
aсd
b
сd
abс
ab
с
ab
с
ab
с
ab
с
abс
ab
с
ab
с
ab
с
ab
с
ab
с
ab
с
ab
с
aсbab
с
ab
с
a
i
j
k
b
i
j
k
с
i
j
k
b
с
b
с
kсс
bbj
сс
bbi
сс
bb
ccc
bbb
kji
21
21
31
31
32
32
321
321
a
b
с
24
( )= =[(a2b1с2–а2b2с1+а3b1с3–а3b3с1) +(а1b2с1–а1b1с2+ +а3b2с3 –
а3b3с2) +(a1b3с1-а1b1с3+а2b3с2-а2b2с3) ]={b1(а1с1+а2с2+а3с3)–
–с1(а1b1+а2b2+а3b3} +{b2(а1с1+а2с2+а3с3)-с2(а1b1+а2b2+а3b3)} + +{b3(а1с1+а2с2+а3с3)-
с3(а1b1+а2b2+а3b3)} =
=( ) -( )
2-ТЕОРЕМА. Ихтиёрий учта , , вектор учун ушбу тенглик уринли
x( x )+ x ( x )+ x ( x )=0
Исбот: 1-теоремага кура
x( x )=( ) -( ) , x ( x )=( ) -( )
x ( x )=( ) -( )
Бу тенгликларни кушиб ва скаляр купайтманинг симметриклигидан фойдалансак,
юкоридаги тенглик хосил булади.
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.
Векториал купайтма, аралаш купайтма,тетраэдр хажми,куш вектор купайтма,
хоссалар.
НАЗОРАТ УЧУН САВОЛЛАР.
1. Векториал купайтма деб нимага айтилади?
2.Уч векторнинг аралаш купайтмаси деб нимага айтилади ва у кандай топилади?
3. Куш вектор купайтмани таърифланг.
4. Тетраэдр хажмини хисоблаш формуласини айтиб беринг.
ФОЙДАЛАНГАН АДАБИЁТЛАР.
1. А.В.Погорелов Аналитик геометрия.Т.Укитувчи, 1983 й
2. Ражабов Ф.,Нурматов А.,Аналитик геометрия ва чизикли алгебра Т.Укитувчи 1990й
3. Н.Д.Дадажонов.М.Ш Жураева .Геометрия I кисм Т.Укитувчи 1982
ab
с
21
21
31
31
32
32
321
сс
bb
сс
bb
сс
bb
aaa
kji
i
j
k
i
j
k
aсbab
с
ab
с
ab
с
b
сa
с
ab
ab
с
aсbab
сb
сa
ba
сb
сa
с
ab
сba
сab
25
4-Маъруза
Мавзу: Координата системасини алмаштириш. Қутб, қутб сферик, қутб
силиндрик координаталар системаси.
РЕЖА:
1. Текисликда аффин координаталар системасини алмаштириш.
2. Декарт координаталар системасини алмаштириш.
3. Фазода аффин координаталарни алмаштириш.
4. Фазода ориентация.
Геометрик образларни текширишни содда лаштириш учун купинча
координаталарнинг бир системасидан бошка системасига утишга тугри келади. Бу
холат бир нуктанинг хар хил системалардаги координаталарини богловчи
формулаларни топиш масаласини келтириб чикаради.
Текисликда иккита {o, 1, 2}
аффин репер берилган булсин . Кулайлик учун
уларнинг биринчисини эски репер, иккин-
чисини янги репер деб атаймиз. Бундан
ташкари, янги репернинг эски реперга нисбатан
вазияти берилган булсин, яъни
(c1, c2 ), ={a1,a 2); =(b 1,b2 ) , =c1 1+c2 2 (1)
=a1 1+a2 2 , =b1 1+b2 2 (2)=> 0
Текисликда ихтиёрий M нуктани оламиз. Бу нуктанинг эски ва янги реперларга
нисбатан координаталарини мос равишда x,y ва оркали белгилаймиз. У холда
=x 1+y 2 ,
. Векторларни кушиш таърифи ва (1),(2) муносабатлардан
фойдалансак
= + =c1 1+c2 2 +x +y e2 =c1 1+c 2 2 +
+x (a1 1+a2 2 )+y (b1 1+b2 2)
ёки x 1 +y 2 = (a1x +b1y +c1) +(a2x +b2y +c2) 2
1, 2 векторларнинг чизикли эрклилигини хисобга олсак , x=a1x +b1y +c1 , y= a2x
+b2y +c2 (3)
М нуктанинг эски системага нисбатан координаталари x,y, унинг янги системага
нисбатан координаталари x ,y оркали шу (3) куринишда ифодаланади.
(3) формулалар бир аффин репердан иккинчи аффин реперга утиш формулалари
дейилади. Бу формулаларда
шарт билан богланган олтита коэффициент катнашган . Куйидаги икки
хусусий холни караймиз:
e
e
},,{ 21 eeo
O1e
2e OO e
e
1e e
e
2e e
e
22
11
ba
ba
yx ,
ОМ e
e
21 eyexMO
ОМ 'ОО MО' e
e '
1e ' ' e
e
' e
e ' e
e
e
e ' ' e
' ' e
ee '
''
'
' '
022
11
ba
ba
26
1. O O , = 1, 2 = 2 булсин. У холда
a1=b2=1, a2=b1=0 булиб ,(3) формулалар
x=x +c1 , y=y +c2 (4)куринишни олади.
(4) формулалар координаталар системасини
паралел кучириш формулалари деб аталади.
2. O=O ва базис векторлар турлича булсин. У
холда c1=c2=0 булиб, (3) дан x=a1x +b1y ,
y=a2x +b2y (5)
Текисликда B={o,i,j} ва B ={o ,i ,j } декаррт реперлари берилган булсин. Бу
холда (3) формулалардаги a1, a2 лар i векторнинг b1,b2 векторлар эса j векторнинг
B={o,i,j} реперга нисбатан координаталари булади, яъни
= a1 +a2 , j = b1 + b2 (6)
( ^ )= булсин. Агар B ва B декарт реперлари бир хил оринтацияли булса , у
холда
( ^ ) =900+ , ( ^ )=900-
( ,^ )= (7)
B,B’ декарт реперлари карама- карши ориентацияли булса, у холда
( ,^ )=2700+ , ( ,^ )=900- , ( ,^ )=1800+ (8)
(6) тенгликларни навбат билан векторларга скаляр купайтирсак
a1= =cos( ^ ) , a2= j= cos ( ^j)
b1= = cos ( ^ ), b2= = cos( ^ )
(7) ва (8) муносабатларни хисобга олсак , , вектор-ларнинг B реперга нисбатан
координаталари, агар B,B реперлар бир хил ориентацияли булса,
i ={cos ,sin } , j ={- sin ,cos }
B ,B реперлар карама – карши ориентацияли булганда эса
i ={cos ,sin } , j ={sin , - cos }
У холда (3) формулалар куйидаги куринишни олади:
(9) ва (10) формулаларни битта
(11)
куринишдаги ёзувга бирлаштириш мумкин, бу ерда = 1. Шундай килиб B, B
реперлар декарт реперлари булганида уларнинг биридан иккинчисига утиш (11)
формулалар билан ифодаланади. Бу ерда B ,B реперлар бир хил ориентацияли булса
, =+1, акс холда = -1 булади.
'1e e
e ' e
' '
'
' '
' '
' '''
' '
i i j'
i j
i j '
i j' i
'j
i'
i j' i
'j j j
'
j
i'i i
'i i
'i'
j'i j
'i j
'j j
'j
i'j'
'
' ' '
' '
2
1
cossin
sincos
Cyxy
Cyxx
2
1
cossin
sincos
Cyxy
Cyxx
1
2
sincos
cossin
cyxx
cyxy
'
'
27
Юкорида таъкидлаганимиздек , фазода хам бирор нуктанинг тайин бир системадаги
координаталаридан бошка системадаги координаталарига утишга тугри келади .Биз
шу масалани иккита аффин репер учун хал киламиз.
={o, 1, 2, 3}, ={o , , , } аффин реперлар берилган булсин.
1- хол. Реперларнинг бошлари хар хил булиб , базис векторлари мос равишда
коллинеар булсин, яъни o o , 1// , 2// , 3// хамда o нинг га нисбатан
координаталари a,b,c булсин.
У холда фазодаги ихтиёрий нуктанинг ва га
нисбатан координаталари мос равишда x,y,z ва x ,y ,z булса, улар орасидаги
богланишни излаймиз :
М(x,y,z) = {x,y,z}= x 1+y 2+z 3 М(x ,y ,z )
= {x =
Лекин булгани учун ,
Бундан ташкари , базис векторлар мос холда колленеар булгани учун
демак
.
Бундан (12)
булса , яъни базис векторлар мос равишда узаро тенг булса, (12)
куйидаги куринишни олади:
(13)
Бу формулаларни баъзан координаталар системасини параллел кучириш
формулалари деб юритилади.
2-хол. Реперларнинг бошлари бир хил, базис векторларнинг йуналишлари эса хар
хил булсин, у холда
eee
'
'1e
2e
3e
' e
1e e
2e e
3e '
'
' ' '
ОМ e
e
e ' ' '
МО' },, ''' zy321 ezeyex 321},,{ ecebeacbaOO
MOOOOM
321321321 ezeyexecebeaezeyex
333222111 ,, eeeeee
332211321 )()()( eczebyeaxezeyex
czzbyyaxx 321 ,,
1321
czzbyyaxx ,,
3332231133
3322221122
3312211111
eaeaeae
eaeaeae
eaeaeae
OO
28
булсин. Энди
(14)
матрицани тузамиз. Бу матрицани бир базисдан иккинчи базисга утиш матрицаси
деб атаймиз, базис векторлар булгани учун (14) матрицанинг детерминанти
нолдан фарклидир.
(15)
Акс холда , детерминантнинг бир сатри колган икки сатрининг чизикли
комбинациясидан иборат булиб , хам чизикли боглик булар эди.
Фазода ихтиёрий М нуктанинг ва реперларга нисбатан координаталарини
мос равишда ва деб олсак,
яъни . Энди бу тенгликка нинг
кийматларини куйиб , га нисбатан группаласак,
бундан (16)
булади.
Ушбу (17)
Матрица алмаштириш матрицаси деб аталади.
(16) ни га нисбатан ечсак,
(18)
хосил булиб , бунда
; (i,k=1,2,3).
3 хол. Реперлар фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган . репер берилган
булиб , шу системага нисбатан репер элементларининг координаталари куйидагича
булсин:
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
A
321 ,, eee
0
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
321 ,, eee
zyx ,, zyx ,,
321 ezeyexOM
321 ezeyexOM
321321 ezeyexezeyex 321 ,, eee
321 ,, eee
3333231
22322211131211321
)(
)()(
ezayaxa
ezayaxaezayaxaezeyex
zayaxaz
zayaxay
zayaxax
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
zyx ,,
zayaxaz
zayaxay
zayaxax
333231
232221
131211
A
Aa kiik
det
29
(*)
дан га утиш учун биз яна щундай учинчи
аффин реперни караймизки, у ни вектор кадар параллел
кучиришдан хосил булсин. У холда фазодаги ихтиёрий нуктанинг координаталари
ни бу системаларга нисбатан мос равишда ва деб белгиласак
, билан орасидаги богланиш (13) га асосан
(19)
билан орасидаги богланиш эса (18) га асосан
буни (19) га куйсак , изланаётган куйидаги ифода хосил килинади:
(20)
(20) ни га ((*) шарт уринли булгани учун ) нисбатан
хам ечиш мумкин, демак, М нуктанинг га нисбатан координаталари маълум
булса, шу нуктанинг координаталарини га нисбатан хам топиш мумкин .
Фазода икки аффин репер берилган булиб, улар орасидаги боглани (20)
формулалар билан аникланган булсин.
Таъриф. (20) формулалардаги утиш матрицасининг детерминанти булса, у холда
ва реперлар бир исмли деб аталади, акс холда, яъни детерминант манфий булса,
хар хил исмли реперлар деб аталади.
Бундан куринадики, фазодаги барча аффин реперларни бир исмлилик тушунчасига
асосланиб икки синфга ажратиш мумкин, бу синфларнинг бирига тегишли барча реперлар
узаро бир исмли булиб, хар хил синфларга тегишли икки репер бир исмли булмайди.
Шу синфларнинг хар бирини ориентация деб аталиб , ундаги реперларни ориентирланган
репер деб юритилади , баъзан бу синфларни бир-биридан фарклаш учун ”унг”
ориентация ёки “чап” ориентация деб хам юритилади . Репернинг ориентацияси маълум
булган фазо ориентирланган фазо деб аталади .
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.
Утиш формулалари, параллел кучириш, репер, утиш мат-рицаси, алмаштириш
матрицаси, бир исмли реперлар, ориентир-ланган репер, ориентирланган фазо.
НАЗОРАТ УЧУН САВОЛЛАР.
1. Бир аффин системадан иккинчи бир аффин системага утиш формулалари
кандай ифодаланади?
2. Параллел кучириш формулалари деб нимага айтилади?
3. Декарт координаталари системасини алмаштириш формулаларини курсатинг.
4. Фазода параллел кучириш формулалари кандай ифодаланади?
),,,( cbaO
,
,
,
3332231133
3322221122
3312211111
eaeaeae
eaeaeae
eaeaeae
0
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
},,,{ 321 eeeo OO
zyxzyx ,,;,, zyx ,,
czzbyyaxx ,,
zayaxaz
zayaxay
zayaxax
333231
232221
131211
czayaxaz
bzayaxay
azayaxax
333231
232221
131211
zyx ,,
,
30
5. Алмаштириш матрицаси деб нимага айтилади?
6. Кайси холларда ва реперлар хар хил исмли булади?
7. Ориентирланган репер деб нимага айтилади?
8. Ориентирланган фазо деб нимага айтилади?
Текисликда координаталарнинг аффин системаси
Текисликда бирор О нуктадан куйилган ноколлинеар ихтиёрий икки 1 2 вектор
берилган булсин. Бу векторлар системаси Б{ 1, 2} базисни аниклайди. Текисликда 1 2
векторлар оркали утувчи а,b (аb=0) тугри чизикларни оламиз.
Таъриф. Мусбат йуналишлари мос равишда 1 2 векторлар билан аникланувчи а,b
тугри чизиклардан ташкил топган системани текисликда координаталарнинг аффин
системаси ёки
аффин репер дейилади ва уни
В={0; 1 2} куринишда белгиланади. О=а^b нукта
координата боши, 1 2 векторлар эса координата
векторлар дейилади. Мусбат йуналишлари 1 2
векторлар билан аникланган а,b тугри чизиклар мос
равишда абциссалар ва ординаталар уклари деб аталади,
уларни (ох),(оу)билан белгилаймиз.
Демак, аффин репер О нукта ва Б={ 1 2} базис векторларининг берилиши билан
тулик аникланади. Текисликда В={ o, 1 2} аффин репер берилган булсин. Шу
текисликнинг М нуктаси учун ОМ вектор М нуктанинг радиус-вектори дейилади. ОМV2
булганлигидан, шундай х,у,R сонлар топиладики,
ОМ=х 1+у 2
Таъриф. радиус-векторнинг х,у координаталари М нуктанинг {0, 1 2} аффин
репердаги координаталари дейилади: биз М(х,у) символни ишлатамиз. Бунда х сон М
нуктанинг абциссаси, у сон эсa М нуктанинг ординатаси дейилади.
Координаталар системаси текисликда кандай киритилган булса, фазода хам шу
усулда кирилади. Анигроги, координаталарнинг аффин системаси (аффин репер) бирор О
нукта ва шу нуктадан куйилган маълум тартибда олинган учта ноколлинеар 1, 2, 3
векторлар системасидан иборат, бу системани символик равишда В={0, 1, 2, 3}
куринишда белгилаймиз. О нуктадан утиб 1, 2, 3 векторлар билан аникланадиган тугри
чизикларни мос равишда (ох),(оу),(оz) деб белгилаб уларни координата уклари,
биринчисини абциссалар уки иккинчисини ординаталар уки ва нихоят учинчисини
апликаталар уки деб аталади. Бу укларнинг хар иккитаси билан аникланадиган учта
текисликни (хоу), (хоz), (уоz)деб белгилаб, уларни координата текисликлари деб аталади.
В система берилганда фазодаги хар бир М
нуктага аник бир векторни доимо мос
келтириш мумкин, яъни боши координаталар
бошида, охири эса берилган М нуктада булган
векторни мос келтирилади.
векторнинг координаталари
{x,y,z}булса у холда бу учта x,y,z сон М
нуктанинг аффин репердаги координаталари
булади:
={ x,y,z} M(x,y,z) (1)
Демак, фазо нукталари туплами билан маълум тартибда олинган хакикий сонлар
учликлари туплами орасида биектив мослик мавжуд.
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
ee
e
e
ОМ ee
eee
eee
eee
ОМ
ОМ
ОМ
31
Учта координата текислиги биргаликда фазони саккиз кисмга ажратади,уларнинг хар
бири октанталар деб аталади. Куйидаги жадвалда октанталар ва ундаги нукта
координаталарининг ишоралари берилган
I II III IV V VI VII VIII
х + – – + + – – +
у + + – – + + – –
z + + + + – – – –
Текисликда бирор О нукта ва Оl нур ва бу нурда ётувчи бирлик векторни
оламиз.
Агар текисликда олинган Оl нурни Ох ук деб олинса ва
векторни О нукта атрофида Оу укидаги бирлик
вектор устига тушириш учун киска йул буйича буриш
соат стрелкаси харакатига тескари булса ухолда
координаталар системаси
мусбат ориентацияли, текисликни эса ориентацияланган дейилади.
Хосил килинган геометрик образ кутб координаталар системаси дейилади. У одатда R={o;
} куринишда белгиланади. О нукта кутб боши, Ol нур кутб уки дейилади.
М нуктанинг текисликдаги холати иккита сон: бири =1 бирлик кесма ёрдамида
улчанган = масофа иккинчиси Оl ва ОМ нурлар орасидаги бурчак
билан тула аник-ланади. Агар кутб укини [ОМ) нур устига тушгунга кадар буриш соат
стерелкаси йуналишга тескари йуналишда бажарилса, кутб бурчаги деб аталувчи бурчак
мусбат деб, акс холда манфий деб хисобланади. р масофa М нуктанинг кутб радиуси
дейилади. Улар умумий ном билан М нуктанинг кутб координаталари дейилади ва М(р, )
куринишда белгиланади. Координаталар боши О нукта
учун р=0 булиб, аникланмаган хисобланади. Агар р сон
0 ва бурчак 0 ораликларда узгарса,
текисликнинг хар бир нуктаси кутб координаталари билан
мос келади. Кутб координаталари системасига мусбат
йуналтирилган тугри бурчакли координаталар системаси
R={o: : } ни мос куйиш мумкин.
Бунда O нукта (кутб) координаталар боши булиб хизмат
килади. лар эса М нуктанинг тугри бурчакли
координаталар системасидаги координаталари булсин.
Чизмага кура
(1)
(1) формулалар ёрдамида М нуктанинг кутб координаталари ва маълум булса, х ва у
ларнинг кийматини топиш мумкин.
Агар (1) формула дан х ва у нинг кийматлари маълум булса, у холда ва нинг
кийматлари куйидагича топилади:
х2+у2=2cos2+2sin2 (2)
0 деб фараз килсак:
iОА
___
i
j
i
i
ОМ )^(_______
OMi
ij
sin
cos
y
х
222
222
sin
cos
y
х 22 ух
32
cos= sin=
ёки tg= (3)
Олинган (1), (2), (3) формулалар декарт ва кутб координаталар системаларини богловчи
формуладир.
Цилинрик координаталар системаси куйидагича киритилади. Фазода бирор Q
текислик ва унда бирор О нукта оламиз. Шу О нуктадан чикувчи ва Q текисликда ётадиган
L нур утказамиз ва бу нурда унинг йуналишини аникловчи бирлик вектор оламиз (яъни Q
текисликда кутб координаталар системаси киритилади)
Энди шу Q текисликка перпендикуляр ва унинг О нуктасига куйилган узунлиги
бирга тенг нормал векторни оламиз. Агар векторнинг учидан караганда Q
текисликдаги шу вектор атрофида буришдаги харакатнинг йуналиши соат стрелкаси
харакатига тескари булса буриш бурчаги мусбат деб олинади ва натижада
Q текислигидаги нукталар масофа ва бурчак билан
аникланади. Энди фазодаги ихтиёрий нуктанинг урнини
аниклаш учун текисликдаги бу нуктанинг проекцияси
ва лар билан хамда бу нуктадан текислик-кача
масофани билиш керак булади, яъни бу нуктани учта сон
билан тулик аниклаш мумкин. Хакикатан хам М нукта
фазонинг ихтиёрий нуктаси, М' эса унинг Q текисликдаги
проекцияси булсин. У холда вектор век-
торга коллинеар булади, яъни =h
Агар М нуктанинг Q текисликдаги кутб системасига нисбатан координаталарини
, десак у холда сонларнинг тартибланган (,,h) учлиги М нуктанинг цилиндрик
координаталари деб аталади.
Декарт координаталар системасини чизмада курсатилганидек килиб танлаб олинса,
М нуктанинг декарт координаталари х, у, z ларни шу нуктанинг цилиндрик координатлари
, ,h лар оркали ифодалаш мумкин.
х= cos , y= sin , z=h
Цилиндрик координаталар системасини киритганимиздек О нукта, Q текислик олиб
шу текисликда L нур ва Q текисликка перпендикуляр килиб бирлик вектор чизиб оламиз.
М фазонинг ихтиёрий нуктаси, М' эса М нинг Q текисликдаги
проекцияси булсин. Сонларнинг тартибланган
(, ,Q) учлиги М нуктанинг сферик
координаталари дейилади, бунда
=
- векторнинг Q текисликдаги
проекцияси билан Ох ук орасидаги бурчак, бу
бурчак Ох укдан бошлаб соат стерелкаси
йуналишига тескари йуналишда хисобланади. -
вектор билан Q текислик орасидаги
бурчак. Шунингдек, >0 0 деб фараз
киламиз, бундан ташкари (хоу) координаталар
текислигидан юкорида
;22 ух
хх
22 yx
yx
y
x
i
n
n
MM n
MM n
n
ОМ
ОМ
ОМ
33
турган нукталар учун 0 ва куйи ярим фазога тегишли нукталар учун
булади. Сферик ва декарт координаталарини богловчи ушбу формулаларни келтириб
чикариш осон х= cos= cos cos
у= sin = cos х= sin z= = cos
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР
Аффин репер, радиус вектор, координата уклари, координата текисликлари октанта,
мусбат ориентация, ориентацияланган, кутб коодинаталар, сферик координаталар
цилиндрик координаталар.
НАЗОРАТУЧУН САВОЛЛАР.
1. Кандай системага аффин координатлар системаси дейилади?
2. Октанта деб нимага айтилади?
3. Кандай текисликни бриентацияланган дейилади?
4. Кутб координаталар системаси кандай киритилади?
5. Кутб ва Декарт координаталар системаси орасидаги богловси формулаларни ёзиб
курсатинг.
6. Цилиндрик координаталар системаси кандай киритилади?
7. Сферик координаталар системасини киритилишни айтиб беринг.
5-Маъруза
Мавзу: Тўғри чизиқнинг турли берилиш усуллари. Текисликнинг
алмаштиришлари. Текисликда тўғри чизиқ тенгламалари. Нуқтадан тўғри
чизиққача бўлган масофа.
Режа:
1. Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси.
2. Тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси.
3. Берилган нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси.
4.Тўғри чизиқнинг кесмалардаги тенгламаси
1.Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси.
Айтайлик, l тўғри чизиқ ОУ ўқига параллел бўлмасин ва ОХ ўқи билан бурчакни
ташкил қилиб, ОУ ўқидан b бирлик кесма кессин.
4-чизма.
дан десак,
(1) тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси.
ОХ ўқига параллел тўғри чизиқ.
ОУ ўқига параллел тўғри чизиқ.
2
0
2
ОМ
ОМ MM
MBN ktgвxtgyx
вy
BN
MNtg
вkxy
ву
ax
34
2. Тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси. Теорема. Текисликда декарт координаталар системасида берилган ихтиёрий тўғри
чизиқ ушбу
(2)
тенглама ёрдамида аниқланади ва аксинча.
Бу ерда A, B, C лар ўзгармас коэффицентлар бўлиб A ва B лардан ҳеч
бўлмаса бири нолдан фарқли деб қаралади.
Шунинг учун ҳам (2) тенгламага тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси деб аталади.
A, B, C ўзгармас коэффицентлар турли қийматларга тенг бўлганда турли тўғри
чизиқлар ҳосил бўлади. Демак, тўғри чизиқнинг текисликдаги вазияти шу A, B, C
сонлар билан тўлиқ аниқланади.
3. Берилган нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси.
Айтайлик, М(х1, у1) нуқта берилган бўлиб, шу нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ
тенгламасини топиш талаб қилинсин.
кўринишда қидирамиз. Тўғри чизиқ М(х1, у1) нуқтадан ўтганлиги учун
бўлади.
(3)
изланаётган тенглама бўлади.
Агар М(х1, у1) ва М2(х2, у2) нуқталар берилган бўлса, бу нуқталардан ўтувчи тўғри
чизиқ тенгламаси ушбу
(4)
тенгликдан топилади.
4. Тўғри чизиқнинг кесмалардаги тенгламаси. Айтайлик, l тўғри чизиқ ОХ ва ОУ ўқларни мос равишда a ва b бирлик кесмаларда
кессин, яъни А (а,0) ва В (0,b) нуқталардан ўтсин.
5-чизма.
(4) формуладан қуйидагини ёзиб оламиз:
У ҳолда унинг тенгламаси
(5)
бўлишини топиш қийин эмас.
(3)-тенгламага тўғри чизиқнинг кесмалардаги тенгламаси деб аталади.
Иккита тўғри чизиқ орасидаги бурчак.
Фараз қилайлик, ва тўғри чизиқлар берилган бўлсин.
0 CByAx
bkxy
111 bkxy
11 xxkyy
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
a
ax
b
y
00
0
1в
y
a
x
111 : вxkyI 222 : вxkyI
,11 ktg 22 ktg 1221 ,
ll 0
35
6-чизма.
(6)
(6) иккита тўғри чизиқнинг орасидаги бурчакни ҳисоблаш формуласи.
Агар иккита тўғри чизиқ орасидаги бурчак бўлса, равшанки, бу тўғри
чизиқлар ўзаро параллел бўлади ёки устма-уст тушади. Бу ҳолда бўлиши
келиб чиқади.
Агар иккита тўғри чизиқ орасидаги бурчак бўлса, унда тўғри чизиқлар
перпендикуляр бўлади, яъни .
Берилган нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофани қуйидаги формуладан
фойдаланиб топилади.
7- чизма.
(7)
Масала. Учларининг координаталари A (1;-1), B ( , ), C(0,0) бўлган АВС
учбурчак учун қуйидагиларни аниқланг:
1. АВ томонининг узунлигини ҳисобланг;
2. Томонларининг тенгламасини тузинг;
3. С учидан ўтказилган баландликнинг тенгламасини тузинг;
4. В учидан АС томонгача бўлган масофани ҳисобланг;
5. Ички А бурчак биссектрисасининг тенгламасини топинг.
Ечилиши.
1.
2.
дан фойдаланиб қуйидагиларни топамиз:
АВ :
AC:
21
12
21
12
12
1212
111 kk
kktg
kk
kk
tgtg
tgtgtgtg
0
21 kk
2
121 kk
0: CByAxl
22
00
BA
CByAxd
3
1
3
1
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
012 yx
0 yx
3
5 2 1
3
1 1
3
1 2 2
2 1 2
2 1 2
d y y x x
36
BC:
3. С( 0,0) нуқтадан тўғри чизиққа перпендикуляр бўлган тўғри чизиқ
тенгламасини ёзамиз.
АВ тўғри чизиқнинг бурчак коэффиценти
( дан ) га тенг. Перпендикулярлик шартидан эканини топамиз.
дан қидираётган тенгламамиз эканини топамиз.
4.
.
5. С нуқтанинг координаталарини АВ томон тенгламасига қўйсак
B нуқтанинг координаталарини АC томон тенгламасига қўйсак
Демак, АВС учбурчакнинг ички А бурчак биссектрисаси АВ тўғри чизиқдан
текисликнинг манфий қисмидан ўтади ва АC тўғри чизиқдан текисликнинг мусбат
қисмидан ўтади яъни биссектриса нуқталари учун .
Шунинг учун ички А бурчак биссектрисасининг тенгламаси қуйидагича:
Назорат саволлари.
1.Тўғри чизиқнинг турли тенгламалари ва улар орасидаги боғланиш.
2.Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициенти.
3.Берилган нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси.
4.Икки тўғри чизиқ орасидаги бурчак.
5.Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа.
6-Маъруза
Мавзу: Иккинчи тартибли чизиқлар. Конус кесимлари. Иккинчи тартибли
чизиқнинг умумий тенгламаси.
Ушбу
(1)
(1)-тенглама ёрдамида аниқланадиган чизиққа иккинчи тартибли чизиқ деб аталади. Улар
жумласига математикада муҳим роль ўйнайдиган айлана, эллипс, гипербола ва параболалар
киради.
1.Айлана. Марказ деб аталадиган нуқтадан бир хил узоқликда жойлашган
нуқталарнинг геометрик ўрнига айлана дейилади.
учун айлананинг каноник тенгламаси қуйидагича:
0 yx
012 yx
21 k
12 xy2
12 k
CC xxkyy xy2
1
22
00
BA
CByAxd
011002
,012 yx 0 yx
.25
12 xyxy
RMM 0 yxM ,
3
2
2
0 3
1 1
3
1 1
, 0 3
2
3
1
3
1 > +
0 2 2 F Ey Dx Cy Bxy Ax
37
(2)
8-чизма.
2. Эллипс. Ихтиёрий нуқтасидан фокус деб аталадиган иккита қўзғалмас F1 ва F2
нуқталаргача бўлган масофалар йиғиндиси ўзгармас 2 га тенг бўлган текислик
нуқталарининг геометрик ўрнига эллипс деб аталади.
Эллипс тенгламасини келтириб чиқарамиз. Эллипсдан нуқта оламиз.
Айтайлик , ва бўлсин.
Шартга кўра
9-чизма.
B1
ва ларнинг ўрнига қўйсак:
,
тенгламани ҳосил қиламиз. Тенгликни чап томонидаги қўшилувчиларнинг бирини
ўнг томонга ўтказиб квадратга кўтарамиз. Ҳосил бўлган ифодани соддалаштириб,
яна квадратга кўтарамиз. Натижада,
,
тенглик ҳосил бўлади.
эканлигидан
деб белгилай оламиз
.
Бундан,
(3)
тенглик келиб чиқади.
(3)-тенглик эллипснинг каноник тенгламасини ифодалайди.
22
0
2
0 Ryyxx
a
yxM ,
0;1 cF 0;2 cF
aMFMF 221
1MF 2MF
aycxycx 22222
22222222 caayaxca
022 22 caca
222 caв
222222 вayaxв
12
2
2
2
в
y
a
x
38
-эллипснинг эксцентриситети дейилади, .
Эксцентриситет эллипснинг сиқилиш даражасини аниқлайди. Эксцентриситет
таърифидан ва тенгликдан қуйидаги келиб чиқади:
Бундан келиб чиқадики, қанча катта бўлса нисбат шунча кичик бўлади
ва эллипс шунча чўзилган бўлади.
Агар бўлса эллипс айланага айланади.
,
эллипснинг фокаль радиуслари дейилади.
Ярим ўқлар ва , фокуслар орасидаги масофа 2с га тенг.
1-мисол. Агар ярим ўқлар йиғиндиси 16 га ва фокуслар орасидаги масофа 8
га тенг бўлса, эллипс тенгламасини ёзинг.
Ечилиши. маълумки
тенгламалар системасини ечамиз. . қидирилаётган эллипс тенгламаси
қуйидагича ёзилади:
3. Гипербола. Ихтиёрий нуқтасидан фокуслар деб аталадиган иккита қўзғалмас F1 ва
F2 нуқталаргача бўлган масофалар айирмасининг абсолют қиймати ўзгармас 2 га тенг
бўлган текислик нуқталарининг геометрик ўрнига гипербола дейилади.
10-чизма.
Гипербола таърифидан фойдаланиб, сўнгра эллипс каноник тенгламасини келтириб
чиқаришга ўхшаш амаллар бажариб,
(4)
гиперболанинг каноник тенгламасини келтириб чиқариш мумкин, бу ерда
- гиперболанинг асимптоталари.
- гиперболанинг эксцентриситети,
a
с 10
222 cab
.11 2
2
2
22
2
22
a
b
a
b
a
ba
a
c
a
b
0
a b
482;16 ccba ,222 cba
.11616 baba
1
16
ba
ba
.5,7,5,8 ba
.115
4
17
41
4
15
4
171
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yxyx
b
y
a
x
a
12
2
2
2
в
y
a
x
.222 acв
xa
by
a
c .1
x a r 1 x a r
2
39
, гиперболанинг фокаль радиуслари дейилади.
Агар гиперболада бўлса, ҳосил бўлган
гиперболага тенг томонли гипербола деб аталади.
2-мисол. Берилган гиперболада ва лар узунлигини,
фокуслар координаталарини ва эксцентриситетини топинг.
Ечилиши:
эканлиги келиб чиқади. Бундан фойдаланиб ни топамиз:
Демак, .
4. Парабола. Фокус деб аталадиган қўзғалмас F нуқтадан ва директриса деб аталадиган
l тўғри чизиқдан тенг узоқликда жойлашган текислик нуқталарининг геометрик ўрнига
парабола дейилади.
11-чизма.
Параболанинг таърифига кўра унинг ихтиёрий М нуқтасидан F нуқтагача ва
М нуқтадан l тўғри чизиққача масофалар тенг экан. F нуқтадан l тўғри
чизиққача масофани p, ўқини l тўғри чизиққа перпендикуляр ҳамда F нуқтадан
ўтадиган, ўқни эса тўғри чизиқ ва нуқтанинг ўртасидан ўтадиган қилиб
олсак
тенглик ҳосил бўлади. Тенгликни иккала тарафини квадратга кўтариб,
ихчамлаштирганимиздан сўнг,
(5)
параболанинг каноник тенгламаси ҳосил бўлади.
парабола фокуси;
парабола директрисаси;
параболанинг фокаль радиуси дейилади.
3-мисол. параболадаги фокаль радиуси 4,5 га тенг нуқталарни топинг.
Ечилиши. Берилган парабола Ох ўқига нисбатан симметрик:
дан 4,5 х 1,5; х 3.
Демак, қидирилаётган нуқталар қуйидагича:
ba 222 ayx
225259 22 yx a b
3,51925
1225
25
225
9 2222
bayxyx
c
.5
343435 22 c
.0;34,0;34 12 FF
x
y b F
2
22
22y
px
px
pxy 22
0;
2
pF
2
px
2
pxr
xy 62
5,12
62 p
p2
pxr
.23181836 2,1
2 yy
.23;3,23;3 BA
a x r 1 a x r
2
40
Назорат саволлари.
1. Айлана. Мисоллар.
2. Эллипс ва унинг элементлари.
3. Гипербола ва унинг элементлари.
4. Парабола ва унинг элементлари.
7-Маъруза
Мавзу: Фазода сиртлар ва чизиқларнинг тенгламалари. Фазода текисликнинг
турли тенгламалари. Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа.
РЕЖА:
1. Сирт ва унинг тенгламаси.
2. Чизик ва унинг тенгламаси.
3. Учта сиртнинг кесишган нукталари.
Ихтиёрий Декарт координаталар системасида координаталари
f(x,y,z)=0 (1)
куринишдаги тенгламани каноатлантирувчи нукталарнинг гео-метрик урни сирт деб аталади.
Сиртга берилган бу таъриф жуда умумий булиб, (1) тенглама билан тасвирланган
геометрик урин бир ёки бир неча нуктадан ёки бир-бирига жуда якин булган чексиз куп
нукталар тупламидан иборат булиши ёки хеч кандай геометрик образни тасвирламаслиги
мумкин. Масалан,
x2+y2+z2=0
тенглама эса фазода факат биргина нуктани, координаталлар боши-ни тасвирлайди.
тенглама эса фазода хеч кандай чизикни ташкил этмайдиган чексиз куп алохида
нукталарнинг геометрик урнини тасвирлайди.
x2+y2+z2= –1
тенглама хеч кандай геометрик образни тасвирламайди чунки тенгламанинг узи маънога эга
эмас.
Шунинг учун хам (1) тенгламанинг чап томонидаги f(x,y,z) функция маълум шартлар
(узлуксизлик, дифференциалланувчи ва х.к. шартлар)ни каноатлантиргандагина сиртни
тасвирлайди.
Биз (1) тенгламани умуман сирт тенгламаси деб атаймиз.(1) тенглама x,y,z узгарувчи
координаталарнинг бирига нисбатан ечилади деб фараз киламиз. Масалан, (1) тенглама z га
нисбатан ечилиши мумкин булсин.
z=(x,y) деб ёзиш мумкин булсин.
Бунда (x,y) х,у узгарувчиларнинг бир кийматли ёки куп кийматли функциясидир.
Сиртга берилган юкоридаги таърифга биноан, куйидаги хулосани чикариш мумкин.
Сирт ихтиёрий нуктасининг координаталари f(x,y,z)=0 ёки
z=u(x,y) тенгламани каноатлантирса ва сиртдан ташкаридаги нуктанинг координаталари
каноатлантирмаса,у холда уч номаълумли бу тенгламани сирт тенгламаси дейилади.
3z
z
у
у
х
х
41
Шундай килиб ,фазодаги нукталарнинг геометрик урни
деб каралган хар кандай сирт бу нукталар координаталарини
узаро богловчи тенглама билан тасвирланади.
Аксинча ,x,y,z угарувчиларни богловчи хар кандай
Ф(x,y,z)=0
тенглама координаталари бу тенгламани каноатлантирадиган фазодаги нукталарнинг
геометрик урнини, яъни сиртни аниклайди.
Демак, фазодаги сирт тенгламаси тузилган булса ёки сирт тенгламаси берилган булса,
сирт берилган деб хисобланади.
Юкоридаги айтилган мулохазалардан фазодаги сиртни текшириш иккита асосий
масалани текширишга олиб келади:
1. Фазодаги бирор сирт узининг умумий хоссаси билан нукталарнинг геометрик урни
деб берилган. Унинг тенгламасини тузиш керак.
2. Фазодаги бирор сиртнинг тенгламаси берилган. Бу тенг-лама ёрдамида унинг
хоссаларини ва шаклини текшириш керак.
Аналитик геометрияда хар бир чизикни иккита сиртнинг кесишишидан хосил булади
деб каралади. Шунинг учун фазодаги хар кандай чизик x,y,z узгарувчиларни богловчи иккита
тенглама билан берилади. Хакикатан,
F(x,y,z)=0, Ф(x,y,z)=0 (1)
тенгламалар билан берилган икки сиртнинг кесишишдан бирор L чизик чизик хосил булсин
деб фараз килайлик. Бу холда L чизикнинг хар бир нуктаси (1) сиртларнинг умумий
нуктасидир, яъни L чизикдаги хар кандай М(x,y,z) нуктанинг координаталари бир вактда (1)
системанинг иккала тенгламасини хам каноатлантиради.
Аксинча, (1) системанинг хар бир (x,y,z) ечимлари системаси L чизикнинг бирор
нуктасининг координаталари булади.
Шундай килиб, (1) тенгламалар системаси биргаликда L чизикни аниклайди.
Агар (1) тенгламалар системасидан z ни чикарсак, (x,z)=0 (2) хосил булади. Бу
тенглама ясовчиси OZ укка параллел цилиндрик сиртни ифодалай ди. Шунга ухшаш (1)
системадан у ни чикарсак, (x,z)=0 (3) хосил булади. Бу тенглама ясовчиси ОУ укка
параллел цилиндрик сиртни ифодалайди.
(2) ва (3) тенгламалар системаси (1) тенгламалар система-сидан хосил булади.
Шунинг учун (2) ва (3) тенгламалар системаси хам L чизикни аниклайди. Демак,
L чизик цилиндрик сиртларни кесишишидан хосил булган чизик, яъни уларнинг умумий
йуналтирувчисидир. (2) ва (3) тенгламаларнинг хар бири L чизикнинг ХОУ ва XOZ
координаталар текислигидаги проекцияларини ифодалайди. (2) тенглама билан z=0 тенглама
биргаликда L чизикнинг ХОУ текисликдаги проекцияси эканлигини куриш кийин эмас.
Шунга ухшаш (3) тенглама билан у=0 тенглама биргаликда L чизикнинг XOZ
текисликдаги проекциясини тасвирлайди. (2) ва (3) цилиндирларнинг хар бири L чизикни мос
тартибда ХОУ ва XOZ текисликларга проекцияловчи цилиндр сиртлар деб аталади.
Агар Ф(x,y,z)=0, Ф1(x,y,z)=0, Ф2(x,y,z)=0 (4) тенгламалар билан учта сирт берилган
булса, бу тенгламаларни система деб караб, уларни биргаликда ечиш мумкин. (4) тенгламалар
системасининг ечимлар системаси (агар у мавжуд булса) (4) нинг хар бир тенгламасини
каноатлантиради. Шунинг учун координаталари бу ечимлар системаси булган учала сиртнинг
умумий нуктаси булади (бундай нукталар куп хам булиши мумкин).
Аксинча, бирор М(x,y,z) нуктасининг x,y,z координаталари (4) системанинг хар бир
тенгламасини каноатлантирса, бу нукта берилган сиртларнинг умумий нуктаси булади.
Демак, (4) тенгламалар билан берилган учта сиртнинг умумий нуктасининг
координаталарини топиш учун уларни биргаликда ечиш керак. Агар (4) тенгламалар
системасининг ечимлари системаси хакикий сонлар булмаса ёки бу система биргаликдаги
система булмаса, у холда каралаётган сиртларнинг умумий нуктаси булмайди.
Масалан. (х-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1, x2+y2+z2=2, z=1
42
тенгламалар билан берилган сиртларнинг кесишган нуктаси топилсин.
ЕЧИШ. Берилган тенгламаларни система деб караб, уларни биргаликда ечамиз. Z=1
булгани учун системанинг биринчи иккита тенгламаси (х-1)2+(y-1)2=1, x2+y2=1 куринишни
олади.
Бу системани ечиб, берилган сиртларнинг кесишган нукталари (0,0,1) ва (1,0,1) эканини
топамиз.
ТАЯНЧ ИБОРАЛАР.
Сирт, сирт тенгламаси, чизик, чизик тенгламаси, умумий йуналтирувчи, цилиндрик
сирт, учта сиртнинг умумий нуктаси.
НАЗОРАТ УЧУН САВОЛЛАР.
1. Сирт деб нимага айтилади?
2. Сиртнинг умумий тенгламаси кандай куринишда булади?
3. Чизик деганда кандай геометрик образ англашилади?
4. Чизик тенгламаси кандай куринишда булиши мумкин?
5. Учта сиртнинг кесишган нуктаси кандай топилади?
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР.
1. Погорелов А.В. «Аналитическая геометрия» Наука М. 1978г
2. Атанасян Л.С. «Геометрия», часть I . М . Просвещение, 1973г.
3. Камолов М. «Аналитик геометрия» Т. Укитувчи 1964й.
8-Маъруза
Мавзу: Иккинчи тартибли сиртларнинг тенгламалари Иккинчи тартибли сирт
классификацияси.
Режа:
1. Эллипсоид. Бир ва икки паллали гиперболоид
2. Эллиптик параболоид.
3. Гиперболик параболоид.
Таянч иборалар: Нукта, жисм, конус, цилиндр, туртбурчак параллелограм, айлана,
сфера, эллипс, гипербала, парабола.
1.Эллипсоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (30.1)
тенглама билан ифодаланадиган сирт эллипсоид дейилади. эллипсоиднинг ярим ўқлари
дейилади. Агар лар бир-бирига тенг бўлмаса (30.1) уч ўқли эллипсоид дейилади. Агар
бўлса (30.1) дан маркази координата бошида ва радиуси бўлган сфера ҳосил
бўлади.
(30.1) тенглама билан берилган эллипсоидни шаклини ва баъзи геометрик хоссаларини
аниқлайлик:
1. (30.1) билан (28.5) ни соллиштирсак эллипсоид иккини тартибли сирт эканлиги келиб
чиқади.
2. (30.1) да учта мусбат сонни йиғиндиси бирга тенглигида ёки
, , бу тенгсизликлардан (30.2)
Демак эллипсоид чегараланган сирт бўлиб, кирралари тўғри бурчакли
параллелепипед ичига жойлашган фигурадан иборат.
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
cba ,,
cba ,,
cba aR
,1,12
2
2
2
b
y
a
x1
2
2
c
z
22 ax 22 by 22 cz ,axa ,byb czc
cba 2,2,2
43
3. (30.1) ва (30.2) дан кўринадики, агар (30.1) даги қўшилувчилардан бирортаси бирга
тенг бўлса, колган иккитаси нолга тенг бўлиши керак. Масалан: бўлса , ,
, бўлади ва (30.1) эллипсоид ОХ ўқини , нуқталарда кесиб ўтади.
Худди шунингдек (30.1) эллипс ОУ ўқини , , ОZ ўқини эса ,
нуқталарда кесиб ўтади.
4. Энди (30.1) эллипсоидни координата текисликлари билан кесишишидан ҳосил
бўладиган чизиқларни аниқлаймиз:
а) Эллипсоидни ХОУ текислик билан кесайлик. Бу ҳолда ёки
, яъни ХОУ текисликда ярим ўқлари ва га тенг бўлган эллипс ҳосил бўлади.
в) Энди эллипсоидни XOZ текислиги билан кесак ёки , бу
эса XOZ текисликда ярим ўқлари ва га тенг бўлган эллипсдир.
с) Энди YOZ текислик билан кессак ёки , бу эса YOZ
текисликда ярим ўқлари ва бўлган эллипс тенгламасидир.
5. Энди (30.1) эллипсоидни координата текисликларига параллел текисликлар билан
кесганда ҳосил бўладиган чизиқларни ўрганамиз:
а) Эллипсоидни ХОУ га параллел текислик билан кесайлик ёки
. Бу ерда қуйидаги уч хил бўлиши мумкин:
а) бўлса бўлиб тенгламага эга бўлаймиз, бу эса
текисликда маркази нуқта бўлган эллипс тенгламасидир.
в) ёки бўлса бўлиб бўлади. Демак текисликлар
ва нуқталарда эллипсоидга ўтказилган уринма текисликни ифодалайди.
с) ёки бўлса бўлиб, бўлиб, яъни текислик эллипсоид билан
кесишмайди.
Худди шунингдек XOZ ва YOZ текисликларга параллел бўлган текисклар билан
эллипсоиднинг кесишувини текишириб таҳлил килсак 5. даги каби эллипслар ҳосил
бўлганини кўрамиз.
6. (30.1) тенгламада лар жуфт даражада бўлганидан эллипсоид координата
бошига нисбатан симметрик деган хулосага келамиз. Бу 1 – 6 маълумотлар (30.1) эллипсоидан
шакли кесимларда эллипслар ҳосил бўлишидан (r – 41) кўринишда бўлада деган хулосага
келамиз. Хусусий ҳолда бўлса айланма эллипсоид ҳосил бўлади.
12
2
a
xax 0y
0z )0;0;(1 aA )0;0;(2 aA
)0;;0(1 bB )0;;0(2 bB );0;0(1 cC
);0;0(2 cC
0
12
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
a b
0
12
2
2
2
2
2
y
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
a
x
a c
0
12
2
2
2
2
2
x
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
b
y
b c
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x
chc 012
2
c
h1
)1()1(2
22
2
2
22
2
c
hb
y
c
ha
x
hz );0;0( h
ch ch 02
2
2
2
b
y
a
x0,0 yx cz
);0;0( c );0;0( c
ch ch 012
2
c
h0
2
2
2
2
b
y
a
x
zyx ,,
cba 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
44
r - 41
2. Гиперболоидлар.
Аналитик геометрияда икки хил, яъни бир паллали ва икки паллали гиперболоидлар
ўрганилади. Биз уларни алоҳида навбат билан ўрганамиз.
Бир паллали гиперполоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (31.1) тенглама билан
ифодаланадиган сиртга бир паллали гиперполоид дейилади. Бир паллали гиперполоидни
ясаймиз: уни координата текисликлари унга параллел бўлган текисликлар билан кесамиз:
1. ХОУ текислик билан кесак ёки . (31.2)
Бу чизиқ ХОУ координата текисликгида ярим ўқлари бўлган эллипсдир. Агар уни ХОУ
текисликка параллел текислик билан кессак ёки
. (31.3)
Ҳосил бўлган эгри чизиқ текисликда маркази нуқтада бўлиб ярим ўқлари
, лардан иборат эллипсдир. Бунда нинг қиймати дан
гача ўзгарган ва ҳақиқий қийматларга эга бўлади. Энди (31.1) гиперболоидни XOZ ва
YOZ текисликлар билан кессак (31.4) ва (31.5) гиперболаларга эга
бўлиши (31.4) гиперболани ҳақиқий ўқи ОХ бўлиб, (31.5) ники
ОУ дир. Равшанки (31.3) тенглама билан ифодаланган
эллипснинг ярим ўқлари (31.4) ва (31.5) гиперболанинг
ҳақиқий ўқлари га пропорционал бўлади. Шунинг учун
бир паллали гиперболоид (31.2) эллипсни ХОУ текисликка
параллел силжитишдан ва бу ҳаракат пайтида у (31.4) ва (31.5)
гиперболалар шохлари буйича сирпаниб боришидан ҳосил
бўлади деб қараш мумкин.
Бу текширишлар бир паллали гиперпоплоид r – 42 да
келтирилган чексиз узун ва ХОУ текисликдан ҳар икки
томонга узоқлашган сари кенгайиб борувчи трубкасимон сирт
эканини курсатади. (31.1) тенгламада лар бир ковакли гиперболоиднинг ярим ўқлари
дейилади. Агар бўлса (31.2) айланма айланади. Шу сабабли бўлса бир паллали
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
0
12
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
ba,
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x
hz );0;0( h
2
2
1 1c
haa
2
2
1 1c
hbb h
1a 1b
12
2
2
2
c
z
a
x1
2
2
2
2
c
z
b
y
ba,
cba ,,
ba ba
45
гиперболоидни (31.4) ёки (31.4) гиперболанинг OZ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган
сирт деб қараш мумкин. Бу сирт тенгламаси бўлади.
Икки паллали гиперболоид.
Тўғри бурчакли координаталар системасида (31.6) тенглама билан
ифодаланадиган сирт икки паллали гиперболоид дейилади.
сонлар икки паллали гиперболоиднинг ярим ўқлари дейилади. Агар бўлса
(31.6) тенглама кўринишни олади ва тенглама билан ифодаланган сирт
гиперболани OZ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлади ва шу сабабли уни
ясаш қийин бўлмайди.
Энди (31.6) сиртни ясаш билан шуғулланамиз. Бу сиртни XOZ(у = 0) ва YOZ(х = 0)
текисликлар билан кессак, кесимда
(31.7), (31.8)
гиперболалар ҳосил бўлади. (31.7) ва (31.8) гиперболаларнинг ҳар иккаласини ҳам ҳақиқий
ўқи OZ ўқи бўлиб, улар OZ ўқини ва нуқталарда кесиб ўтади. Энди (31.6)
сиртни ХОУ тиекисликка параллел текислик билан кесамиз (31.6) ХОУ текислик билан
кесишмайди
ёки . (31.9)
(31.9) ярим ўқлари , бўлган эллипсни шартда
тенгламасидир. бўлганда бўлим мавхум эллипс ҳосил бўлади. нинг
қиймати дан гача ўзгарганда ва ярим ўқлар 0 дан гача усади ва усиб борган
сари эллипснинг ярим ўқлари ва ўзи катталашади. (31.6) тенгламада лар жуфт даражада
бўлганлигидан координата бошига ва координата текисликларига нисбатан шакли симметрик
эканлиги келиб чиқади. Кесимда ҳосил бўлган чизиқлар ва қилинган таҳлилларга таяниб икки
паллали гиперболоид иккита чўқур эллиптик ваза ва бўлганда иккита чўқур коса
шаклдаги да тасвириланган сиртдан иборат экан деган хулосага келамиз.
4. Эллиптик параболоид.
12
2
2
22
c
z
a
yx
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
cba ,, ba
12
2
2
22
c
z
a
yx
12
2
2
2
b
y
c
z
12
2
2
2
a
x
c
z1
2
2
2
2
b
y
c
z
);0;0( c );0;0( c
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
12
2
2
2
2
2
c
h
b
y
a
x
12
2
1 c
haa 1
2
2
1 c
hbb ch
ch 02
2
2
2
b
y
a
xh
c 1a 1b c
zyx ,,
ba
43r
46
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (32.1)
тенглама билан ифодаланган сирт эллиптик параболоид деб аталади.
Эллиптик параболоидни ясаш учун XOZ(y = 0) ва YOZ(x = 0) текисликлар билан
келамиз:
(32.2), (32.3)
(32.2) ва (32.3) тенглама билан ифодаланган чизиқлар симметрия ўқи OZ бўлган, ХОУ
текисликдан юқорида жойлашган параболаларни тасвирлайди.
Энди (32.1) сиртни ХОУ текислигига параллел бўлган текислик билан келамиз:
(32.3)
(32.3) чизиқ ярим ўқлари , бўлган эллипсдир. Равшанки
агар бўлса (32.1) параболоид ХОУ текисликка уринади. нинг қиймати 0 дан гача
ўзгарса ва ўқлар ҳам 0 дан гача катталашиб боради, яъни текислик (31.1)
эллиптик параболоидни кесишидан ҳосил бўлган ХОУ текисликка параллел кесим юқорига
кўтарилган сари эллипс катталаша боради. Бу таҳлиллар эллиптик параболоид (r – 44) да
келтирилга шаклда бўлишини билдиради.
бўлса (32.2) ва (32.3) параболалар тенглашади, (32.3) эллипс эса айланага
айланади. Бу ҳолда (32.1) тенглама (32.4) кўринишни олади ва (32.2) ёки (32.3)
параболани OZ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлади деб қараш мумкин.
r – 44
Гиперболик параболоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (33.1)
тенглама билан ифодаланган сирт гиперболик параболоид дейилади.
Гиперболик параболииднинг шаклини аниқлаш учун параллел кесимлар усулини
қўллаймиз:
(33.1) сиртни XOZ(y = 0) текислик билан кессак
(33.2)
парабола ҳосил бўлади. (33.2) симметрия ўқи OZ бўлиб, кабакриклиги “пастга” қараган
параболадир. Энди (33.1) ни YOZ текисликка параллел текислик билан кессак:
)0,0(,22
22
qpq
y
p
xz
pzx
y
q
y
p
xz
2,
0
022
2
22
qzy
x
q
y
p
xz
2,
0
022
2
22
hz
hq
y
p
x¸êè
hz
q
y
p
xz
22
022
22
22
pha 21 qhb 21 ,0h
0h h
1a 1b hz
qp
p
yxz
2
22
)0,0(,22
22
qpq
y
p
xz
pzx
y
q
y
p
xz
2,
0
222
22
hx
47
ёки (33.3)
бўлсак бу чизиқ симметрия ўқи OZ бўлиб координата бошидан ўтувчи кабариклиги
“юқорига” қараган парабола бўлиб, бўлса учи (33.2) парабола учи билан бир нуқтада
бўлиб (33.3) парабола шу параболага параллел бўлган параболаларни билдириш. Энди (33.1)
сиртни ХОУ текисликка параллел текислик билан кесамиз.
(33.4)
Бу чизиқ ҳақиқий ўқи текисликда бўлиб, бўлганда ОХ ўқка парллел
гиперболан, бўлганда эса ҳақиқий ўқи ОУ ўқка параллел гиперболани тасвирлайди,
бўлса (33.4) дан ва ҳосил бўлади.
Бу тенгламалар координата бошидан ўтган тўғри чизиқ
тенгламаларидир. Юқоридаги таҳлиллардан кўринадики
гиперболик парболоид r – 45 да курсатилган эгар шаклда
бўлиши келиб чиқади. (33.1) тенгламада ва лар квадратда
қатнашганидан XOZ ва YOZ текисликлар гиперболик
параболоиднинг симметрия текисликлари бўлади.
нуқтагиперболик параболоидни учи сонлар унинг
параметрлари дейилади.
Мавзуни такрорлаш учун саволлар:
1) Аналитик геометрияниг иккинчи масаласи нима?
2) Сиртни паралел кесиш усули билан ясашнинг мохиятини айтинг.
3) сирт нима деб номланади? Уни ясанг.
4) сиртни ясанг.
5) сиртни ясанг.
6) сиртни ясанг.
9-Маъруза
Мавзу: n ўлчовли аффин фазо. Аффин координаталар системаси. Кўп
hx
q
y
p
xz
22
22
)2
(22
2
p
hzqy
0h
0h
hz
hq
y
p
x
hz
q
y
p
xz
22,
022
22
22
hz 0h
0h 0h
0q
y
p
x0
q
y
p
x
x y
)0;0;0(O
qp,
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
14910
222
zyx
94
22 yxz
416
222 yx
z
48
ўлчовли Эвклид фазоси. Кўп ўлчовли Эвклид фазосида метрик масалалар.
Режа: 1. Чизиқли фазонинг таърифи.
2. Фазонинг ўлчамлари сони (ўлчамлиги).
3. n ўлчамли фазода базис ва координаталар.
4. Базис ўзгарганда координаталарнинг алмашиниши.
1. Чизиқли фазонинг таърифи. Кўп ҳолларда шундай обектлар билан иш кўришга тўғри келадики, бунда уларни
қўшиш ва бирор сонга кўпайтириш амалларини бажариш лозим бўлиб қолади. Бир неча мисол
келтирамиз.
Геометрияда бундай объектлар уч ўлчамли фазодаги векторлар, яъни йўналишли кесмалардир.
Агар йўналишли икки кесмани параллел кўчириш йўли билан устма-уст тушириш мумкин
бўлса, улар айни бир векторни аниқлайди деб ҳисобланади. Шунинг учун бу кесмаларнинг
ҳаммасини бир нуқтадан бошлаб чиқариш қулай. Бу нуқтани биз координаталар боши деб
атаймиз. Маълумки, векторларни қўшиш амали қуйидагичадир: х ва у векторларнинг
йиғиндиси деб, томонлари х ва у бўлган параллелограммнинг диогонали ҳисобланади.
Векторни сонга кўпайтириш амали ҳам маълум усул билан киритилади.
2. Алгебрада биз n та сондан иборат кўринишдаги системалар
(масалан: матрицанинг йўллари, чизиқли форма коэффициентлари, тўплами ва ҳ.к.) билан иш
кўришга тўғри келади. Бундай системаларни қўшиш ва сонга қўпайтириш амаллари одатда
қуйидагича киритилади: ва системалар йиғиндиси деб,
системага айтилади. система билан
соннинг кўпайтмаси деб, системага айтилади.
3. Анализда функцияларни қўшиш ва уларни сонга кўпайтириш амаллари тўғрисида
таъриф берилади. Аниқлик учун бундан сўнг сегментда берилган ҳамма узлуксиз
функциялар тўпламини текширамиз.
Келтирилган мисолларда қўшиш ва сонга кўпайтиришдан иборат худди бир хил
амаллар мутлақо ҳар хил объектлар устида бажарилади. Бундай мисолларнинг ҳаммасини бир
нуқтаи назар билан ўрганиш учун, биз чизиқли, яъни аффин фазо тушунчасини киритамиз.
Таъриф-1. Агар қуйидаги шартлар бажарилса, х,у,z,... элементларнинг V туплами
чизиқли (аффин) фазо дейилади:
а) хар икки х ва у элементларга х ва у элементлар йиғиндиси деб аталадиган z элемент
мос қилиб қўйилган; х ва у элементларнинг йиғиндиси х+у билан белгиланади;
б) бирор майдоннинг ҳар бир х элементи ва ҳар бир сон билан х элемент кўпайтмаси
деб аталган х элемент мос қилиб қўйилган.
Бу амаллар қуйидаги талабларни (аксиомаларни) қаноатлантириши керак.
1. 10 х+у=у+х (коммутативлик),
20 (х+у)+z=x+(у+z) (ассоциативлик),
30 Хар қандай х учун шундай 0 элемент мавжудки, х+0=х бўлади. 0 элемент ноль
элемент дейилади.
40 Хар қандай х учун –х билан белгиланадиган шундай элемент мавжудки,
х+(-х)=0 бўлади.
2. 10
20
3. 10
20
Биз қўшиш ҳамда сонга кўпайтириш амалларини қандай таърифланиши ҳақида
гапирмаганимиз бежиз эмас. Биз бу амалларни фақат юқорида таърифланган аксиомаларга
буйсунишларини талаб қиламиз ҳолос. Шунинг учун ҳар қачон юқорида қайд қилинган
шартларни қаноатлантирувчи амаллар билан иш кўрар эканмиз, биз уларни қўшиш ва сонга
nneeex ...2211
),...,,( 21 nx ),...,,( 21 ny
),...,,( 2211 nnyx ),...,,( 21 nx
),...,,( 21 nx
],[ ba
,1 xx
).()( xx
,)( xxx
.)( xxyx
49
кўпайтириш амаллари деб, элементлари устида бу амаллар бажарилган тўпламни эса
чизиқли фазо деб хисоблашга ҳақлимиз. Юқорида келтирилган 1-3 мисоллар бу
аксиомаларга бўйсунади.
Яна бир мисол кўриб чиқайлик;
4. Даражаси натурал n сондан ошмайдиган ва одатдагича қўшиш ва бирор сонга
кўпайтириш амаллари бажариладиган ҳамма кўпхадлар тўплами чизиқли фазо ҳосил қилади.
Ёлғиз n-даражали кўпхадлар тўплами чизиқли фазо ташкил қилмайди, чунки n-
даражали икки кўпхад йиғиндиси n дан пастроқ бўлиб чиқиши ҳам мумкин; масалан,
.
5. V фазонинг элементлари n-тартибли матрицалардан иборат. ва
матрицалар йиғиндиси деб матрицага, матрица билан соннинг кўпайтмаси
деб матрицага айтилади. Шунинг билан бирга, ноль элемент фақат ноллардан иборат
матрица бўлади. Бу ерда чизиқли фазонинг ҳамма шартлари бажарилишини текшириб кўриш
мумкин.
Чизиқли фазо элементларини биз векторлар деб атаймиз. Бу сўзнинг кўпинча тор
маънода (1-мисолдаги каби) ишлатиши бизни чалғитмаслиги керак. Бу чизиқ билан боғлик
бўлган геометрик тасаввурлар бир қанча натижаларни ойдинлаштиришга, баъзи ҳолларда эса
бу натижаларни олдиндан кўра билишга ёрдам беради.
Агар чизиқли фазо таърифида қатнашаётган сонлар хақиқий бўлса, у ҳолда фазо
хақиқий чизиқли фазо дейилади.
Биз ларни ихтиёрий F майдон элементлари деб умумийроқ фараз этишимиз
мумкин. Бу ҳолда V фазо F майдондаги чизиқли фазо дейилади. Қуйида баён этиладиган
тушунча ва теоремаларнинг кўпчилиги, жумладан, бу параграф мазмунининг ҳаммаси
ихтиёрий майдондаги чизиқли фазалар учун ҳам бевосита тўғри бўлади.
2.Фазонинг ўлчамлари сони (ўлчамлиги).
Бундан кейин векторларнинг чизиқли боғлиқлиги ва чизиқли эрклилиги деган тушунчалар
муҳим аҳамиятга эга бўлади.
Таъриф-2. V–чизиқли фозо бўлсин. Агар камида биттаси нолдан фарқ қиладиган
сонлар мавжуд бўлиб,
(1)
тенглик ўринли бўлса, бу ҳолда x,y,z,...,v векторлар чизиқли боғлиқ векторлар дейилади.
Чизиқли боғлиқ бўлмаган векторлар чизиқли эркли векторлар дейилади. Бошқача
қилиб айтганда,
тенглик бўлган ҳолдагина ўринли бўлса, x,y,z,…,v векторлар чизиқли
эркли векторлар дейилади.
x,y,z,…,v векторлар чизиқли боғлиқ, яъни улар (1) муносабат билан боғланган бўлсин
ва ундаги коэффициентлардан камида биттаси, масалан, нолдан фарқли деб фараз
қилайлик. Бу ҳолда
бўлади. Буни энди га бўлиб ва
деб фараз қилиб,
(2)
тенгликни ҳосил қиламиз.
Агар х вектор y,z,...,v векторлар орқали (2) кўринишдаги тенглик билан ифода этилса, у
ҳолда биз х вектор y,z,...,v векторларнинг чизиқли комбинацияси деб атаймиз.
ttttt nn 2)()(
ika ikb
ikik ba ika
ika
,...,
,...,
,...,,,
0... vzyx
0... vzyx
0...
vzyx ...
,...,,
vzyx ...
50
Шундай қилиб, агар x,y,z,...,v векторлар чизиқли боғлиқ бўлса, у ҳолда улардан камида
биттаси қолганларининг чизиқли комбинациясидан иборат бўлади. Тескарисини, яъни
биттаси қолганларининг чизиқли комбинациясидан иборат бўлган векторлар чизиқли боғлик
векторлар бўлишининг ҳам тўғрилигини кўрсатиш мумкин.
Энди фазонинг ўлчамлар сони (ўлчамлиги) тушунчасини киритишга ўтамиз.
Тўғри чизиқдаги векторлар тўпламида ҳар қандай иккита вектор пропорционал, яъни
чизиқли боғлиқдир. Текисликда иккита чизиқли эркли векторни топиш мумкин, аммо ундаги
ҳар қандай учта вектор чизиқли боғлиқдир.
Агар V – уч ўлчамли фазодаги векторлар тўплами бўлса, у ҳолда V да учта чизиқли
эркли векторни топиш мумкин, аммо бундаги ҳар қандай тўртта вектор чизиқли боғлиқ
бўлади.
Биз кўрамизки, тўғри чизиқ, текислик ва уч ўлчамли фазодаги чизиқли эркли
векторларнинг максимал сони геометриядаги тўғри чизиқ, текислик ҳамда фазонинг ўлчами
сонига тўғри келади. Шунинг учун қуйидаги умумий таърифни қабул қилишимиз табиий.
Таъриф-3. Агар V чизиқли фазода n та чизиқли эркли вектор мавжуд бўлиб, бундан
ортиқ чизиқли эркли векторлар бўлмаса, V фазо n ўлчамли фазо дейилади ва деб
белгиланади.
Агар V фазода чексиз кўп чизиқли эркли векторлар топиш мумкин бўлса, у ҳолда V фазо
чексиз ўлчамли фазо дейилади.
Чексиз ўлчамли фазолар математиканинг махсус бўлимларида текширилади. Биз бу
курсда фақат чекли ўлчамли фазолар билан шуғулланамиз.
3. n ўлчамли фазода базис ва координаталар.
Таъриф-4. n ўлчамли V фазонинг n та чизиқли эркли векторлари тўплами
V нинг базиси деб аталади.
Масалан, 1-мисолда кўрилган V (уч ўлчамли) фазода бир текисликда ётмаган ҳар
қандай учта вектор базис ҳосил қилади.
n ўлчамли фазо таърифига мувофиқ, унда n та чизиқли эркли вектор, яъни базис
мавжуддир.
Теорема-1. n ўлчамли V чизиқли фазонинг хар бир х векторини базис векторларининг
чизиқли комбинацияси орқали ягона тарзда ифодалаш мумкин.
Исбот. векторлари V фазода базис ташкил қилсин. Буларга V нинг
ихтиёрий бир векторини қўшамиз. Энди х, векторлар n+1 та бўлди. Шунинг учун,
n ўлчамли фазо таърифга мувофиқ улар чизиқли боғлик бўлиши керак, яъни
(3)
бундаги ларнинг баъзилари нолга тенг эмас. соннинг нолдан фарқли экани маълум,
чунки акс ҳолда (3) формуладан векторларнинг чизиқли боғлик бўлиши келиб
чиққан бўлар эди.
(3) дан х векторни топамиз:
.
Биз ҳар бир вектор векторларнинг чизиқли комбинацияси эканини
исбот қилдик.
Энди ҳосил қилинган ифоданинг биргина эканини (ягоналигини) исбот қиламиз. х
вектор базис векторлар орқали икки хил ифодаланган деб, яъни:
ва
деб фараз килайлик. Буларнинг биринчисидан иккинчисини айириб,
Vdim
neee ,...,, 21
neee ,...,, 21
neee ,...,, 21
0...22110 nneeex
i 0
neee ,...,, 21
nn eeex0
2
0
21
0
1 ...
1Rxneee ,...,, 21
nneeex ...2211
nneeex ...2211
nnn eex )(...)()(0 22211
51
тенгликни ҳосил қиламиз. векторлар чизиқли эркли бўлгани учун, бу тенглик
бўлгандагина, яъни
бўлгандагина ўринлидир. х ни базис векторлар орқали ифода этиш биргина эканлиги исбот
этилди.
Теорема исботланди.
Таъриф-5. Агар лар n ўлчамли фазода базис бўлиб,
(4)
бўлса, у ҳолда сонлар х векторнинг базисдаги координаталари деб
аталади.
1-теоремага мувофиқ, маълум базисда ҳар бир вектор бир қийматли
аниқланадиган координаталарга эга.
Агар х вектор базисда координаталарга, у вектор эса
координаталарга эга бўлса, яъни агар
бўлса, у ҳолда
,
яъни х+у вектор координаталарга эга бўлади. Шунга ўхшаш,
векторлар координаталарга эгадир.
Шундай қилиб, х ва у векторларни кўшишда уларнинг координаталари қўшилади. х
векторни сонга кўпайтиришда унинг координаталари шу сонга кўпайтирилади.
Фақат ноль векторнинг ҳамма координаталари нолга тенглиги равшандир.
Мисоллар.
1. Уч ўлчамли фазодаги векторнинг координаталарига бизнинг берган таърифимиз
аналитик геометрияда мавжуд бўлган бирор (умуман айтганда, тўғри бурчакли бўлмаган)
кординаталар системасида вектор координаталари учун берилган таъриф билан бир хилдир.
2. V фазони–ҳар бир х вектори n та ( ) сондан тузилган системадан иборат
бўлган фазо деб фараз қилайлик.
базисни танлаймиз.
Бу базисда х=( ) векторнинг координаталарини топамиз.
Таърифга мувофиқ,
,
( )=
= .
Шундай қилиб, сонлар қуйидаги тенгламалар системасидан топилади:
neee ,...,, 21
0...2211 nn
nn ,...,, 2211
neee ,...,, 21
nneeex ...2211
n ,...,, 21 neee ,...,, 21
neee ,...,, 21
neee ,...,, 21 n ,...,, 21
n ,...,, 21
nneeex ...2211
nneeey ...2211
nnn eeeyx )(...)()( 222111
nn ...,, 2211x
n ,...,, 21
n ,...,, 21
)1,...,0,0,0(
....
)1,...,1,1,0(
)1,...,1,1,1(
2
1
ne
e
e
n ,...,, 21 n ,...,, 21
nneeex ...2211
n ,...,, 21 )1,...,0,0(...)1,...,1,0()1,...,1,1( 21 n
)...,...,,( 21211 n
n ,...,, 21
52
бундан:
бўлади. Энди V да шундай базисни оламизки, бунда х=( ) векторнинг
координаталари билан бу векторни аниқлайдиган сонлар орасида боғланиш энг
содда бўлсин. Базис
булсин деб фараз қилайлик. У ҳолда
х=( )= ,
бўлади. Шундай қилиб, ҳар бир векторни n та ( ) сон системаси билан
аниқланадиган V фазода бу сонларни
базисдаги х=( ) векторнинг координаталари деб талқин этиш мумкин.
3. V–векторлари даражаси n-1 дан катта бўлмаган кўпҳадлардан иборат фазо бўлсин. Бу
фазода векторлар тўплами энг содда базис бўлади. Бу базисда
кўпҳад координаталари унинг
коэфициентларидан иборат бўлишини кўриш қийин эмас.
Энди бошқа базисни танлаб оламиз:
ҳар бир кўпҳаднинг координаталари қуйидагича бўлади:
4. Базис ўзгарганда координаталарнинг алмашиниши.
ва лар n ўлчамли фазонинг икки базиси деб фараз
қилайлик. Ҳамда, векторлар биринчи базис векторлари орқали
(6)
формулалар билан ифодаланган бўлсин, яъни биринчи базисдан иккинчи базисга ўтиш
матрицасининг детирминанти нолдан фарқли бўлган матрица билан берилсин.
nn
...
...
,
,
21
221
11
1
122
11
...
,
,
nnn
n ,...,, 21
n ,...,, 21
)1,...,0,0,0(
....
)0,...,0,1,0(
)0,...,0,0,1(
2
1
ne
e
e
n ,...,, 21 )1,...,0,0(...)0,...,1,0()0,...,0,1( 21 n nneee ...2211
n ,...,, 21
)1,...,0,0,0(....),0,...,0,1,0(),0,...,0,0,1( 21 neee
n ,...,, 21
1
21 ....,,1 n
n tetee
1
2
1
1
0 ...)(
n
nn atatatP110 ,...,, naaa
.)(,...,)(,,1 12
321
n
n ateateatee
)(tP
)!1(
)(,...),(),(
)1(
n
aPaPaP
n
neee ,...,, 21 neee ,...,, 21
ie
....
.............
,...
,...
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
eaeaeae
eaeaeae
eaeaeae
ikaA
53
орқали х векторнинг биринчи базисдаги координаталарини, билан эса унинг
иккинчи базисдаги координаталарини белгилайлик. координаталар лар орқали қандай
ифода қилинишини топамиз.
Базис координиталари таърифига асосан:
=
Бу тенгликлардаги векторлар ўрнига уларнинг векторлар орқали ифодасини
қўйсак,
=
айният хосил булади. векторлар чизиқли эркли бўлгани учун, уларнинг тенгликнинг ўнг ва
чап томонидаги коэфициенталари бир хилдир. Демак,
(7)
тенгликлар уринли, яъни х векторнинг биринчи базисдаги координаталари унинг иккинчи
базисдаги координаталари орқали А матрицанинг транспозицияланган матрицаси ёрдами
билан ифодаланади.
Бу натижани бошқача шаклда ҳам тасвир этиш мумкин. (7) тенгламаларни
ларга нисбатан ечамиз. У ҳолда:
ҳосил бўлади, бунда лар матрицага тескари бўлган матрица элементларини билдиради.
Шундай қилиб, биз кўрамизки, векторнинг координаталари матрицага тескари бўлган
матрица ёрдами билан алмаштирилдади. Бундаги матрица базис
алмаштирилишини кўрсатувчи А матрицани транспозициялаб ҳосил қилинган матрицадир.
Назарий саволлар.
1.Чизиқли фазонинг ҳар бир элементи базис орқали ягона равишда чизиқли ифодаланишини
кўрсатинг.
2. Базис ўзгарганда векторнинг координаталарини ўзгаришини кўрсатинг.
Таянч тушунчалар.
1.Чизиқли фазо.
2.Чизиқли боғлик ва чизиқли эркли векторлар.
3.Фазонинг ўлчамлиги.
4.Чизиқли фазонинг базиси.
5.Векторнинг координаталари.
10-Маъруза
Мавзу: Чизиқли ва квадратик формалар.
Режа:
1. Бичизиқли формалар.
2. Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
3. Ҳақиқий квадратик формалар.
i i
i i
nneeex ...2211 nneee ...2211
ie ie
nneeex ...2211 )...( 12211111 nn eaeaea
)...(...)...( 221122221122 nnnnnnnn eaeaeaeaeaea
ie
....
.............
,...
,...
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
i
A
n ,...,, 21
....
.............
,...
,...
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
bbb
bbb
bbb
ikb A
A
ikbB A
54
1. Бичизиқли формалар.
майдон устида чизиқли фазо берилган бўлсин.
Таъриф-1. Агар икки вектор аргументли скаляр функция ҳар
бир аргументи бўйича чизиқли бўлса, яъни
1) ҳар қандай ва учун
;
2) ҳар қандай ва учун
шартлар бажарилса, бу функцияга бичизиқли форма (функция, функционал) дейилади.
Энди , тизим V даги базис, бу базисда x ва y векторларнинг
координаталари мос равишда ва бўлсин. У ҳолда
,
бу ерда .
Бу скалярлар бичизиқли форманинг берилган базисдаги коэффициентлари ,
эса матрицаси дейилади. Шундай қилиб, берилган
базисда бичизиқли формалар ва квадрат матрицалар орасида ўзаро бир қийматли мослик
ўрнатилди.
Энди базис ўзгарганда бичизиқли форманинг матрицаси қандай ўзгаришини текширамиз.
Агар да бошқа базис олинган бўлса, бичизиқли
форманинг янги базисдаги матрицасини орқали белгилаб, унинг элементлари
учун қуйидаги ифодани топамиз:
Бу тенглик эканлигини кўрсатади, бу ерда -биринчи базисдан иккинчи
базисга ўтиш матрицаси. матрица доим махсусмас бўлгани учун матрицанинг ранги
махсусмас матрицага кўпайтирганда ўзгармаганлиги учун ва матрицаларнинг
ранги тенг. Уларнинг ранги бичизиқли форманинг ранги дейилади.
Таъриф-2. Агар ҳар қандай векторлар учун тенглик бажарилса,
бу бичизиқли форма симметрик дейилади.
Лемма-1. Симметрик бичизиқли форманинг матрицаси ҳар қандай базисда симметрик.
Исбот.
.
Лемма исботланди.
Ушбу лемманинг тескариси ҳам ўринли бўлади, яъни агар бичизиқли форманинг бирор
базисдаги матрицаси симметрик бўлса ушбу бичизиқли форма ҳам симметрик бўлади.
Таъриф-3. симметрик бичизиқли форма ёрдамида ҳосил бўладиган
функция квадратик форма дейилади.
Лемма-2. Ихтиёрий симметрик бичизиқли форма ўзининг квадратик формаси орқали ўзаро
бир қийматли аниқланади.
Исбот.
F V
),( yx FV 2:
Vxx 21, F,
yxyxyxx ,,, 2121
Vyy 21, F,
2121 ,,, yxyxyyx
nV dim neee ,...,, 21
n ...,,1 n ,...,1
n
kikiik
n
kkk
n
iii aeeyx
1,11
,,
kiik eea ,
ika ),( yx
nn
kiik FeeaA ,
V
n
iiikk nkef
1
,...,2,1, ),( yx
ikB
.,
,,
1,1,
11
n
qpqkpq
T
ip
n
qpqpqkpi
n
qqqk
n
pppikiik
aee
eeff
ACCB T ikC
CA B
Vyx , xyyx ,,
kiikkiik aeeeea ,,
),( yx xxxq ,)(
55
,
шунинг учун
.
Лемма исботланди.
Таъриф-4. Квадратик формани ҳосил қилувчи ягона симметрик бичизиқли форманинг
матрицасига квадратик форманинг матрицаси дейилади.
2.Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
квадратик формани векторнинг координаталари орқали ифодалаш базисга
боғлик эканини биз биламиз. Бу бўлимда биз квадратик формани квадратлар
йиғиндисига қандай қилиб келтиришни, яъни квадратик формани
,
содда кўринишга келтирадиган базисни қандай қилиб танлашни кўрсатамиз.
Квадратик форманинг базисдаги матрицасининг барча
бурчакли
(1)
минорлари нолдан фарқли бўлсин. Белгилашга асосан
.
Бизнинг мақсадимиз - векторларни шундай аниқлашки, бунда
. (2)
Уларни
, (3)
кўринишда излайлик. Агар
,
бўлса, бўлади. Ҳақиқатан ҳам, (3) тенгликларга асосан
бўлади. Шундай қилиб, агар ҳар қандай ва учун тенглик
бажарилса, учун бўлади. Демак, бичизиқли форманинг
симметриклигига асосан охирги тенглик лар учун ҳам ўринли. Яъни -
изланаётган базис. Юқоридагидан равшанки бизнинг мақсадимиз қуйдагича:
коэффициетларни шундай аниқлаш керакки
вектор
(4)
шартларни қаноатлантирсин.
),(2)()(,)( yxyqxqyxyxyxq
)()()(2
1, yqxqyxqyx
xxxq ,)( x
22
22
2
11 ...)( nnnxq
nfff ,...,, 21 kiik ffaA ,
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aaa
...
............
...
...
...,,,
21
22221
11211
2221
1211
2111
n
kikiikaxxxq
1,
,)(
neee ,...,, 21
),...,2,1,(агар0, nkikiee ki
nnnnnn fffe
ffe
fe
...
.....
,
,
2211
2221212
1111
)1,...,2,1(0, kife ik
)1,...,2,1(0, kiee ik
ikiikiki
iiiiikik
fefefe
fffeee
,...,,
...,,
2211
2211
k ki 0, ik fe
ki 0, ik fe
ki neee ,...,, 21
kkkk ...,,, 21
kkkkkk fffe ...2211
)1,...,2,1(0, kife ik
56
вектор ушбу шартлар билан ўзгармас кўпайтувчигача аниқланади. Бу кўпайтувчини
(5)
тенглик ёрдамида аниқлаймиз.
(4) ва (5) га нинг ифодасини қўйиб га нисбатан қуйидаги чизиқли тенгламалар
системасига эга бўламиз.
(6)
Маълумки ушбу тенгламалар системасининг детерминанти нолдан фарқли. Шундай
қилиб ларни топиш масаласи ечилди.
Энди квадратик формани базисдаги коэффициентларини
топамиз. Таърифга асосан . Иккинчи тарафдан базиснинг ясалишига кўра
, шунинг
учун . Бундан ташқари (4) ва (5) га асосан
.
Шунинг учун Крамер қоидасига кўра
.
Биз кўрган базисда квадратик форма
,
каноник кўринишга эга бўлади.
Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтиришнинг бундай усулига Якоби усули
дейилади.
3. Хақиқий квадратик формалар.
Коэффициентлари ҳақиқий сонлар майдонидан олинган квадратик формалар ҳақиқий
квадратик формалар дейилади.
Таъриф-5. Агар ҳар қандай нолдан фарқли вектор учун тенгсизлик
бажарилса, ҳақиқий квадратик форма мусбат (манфий) дейилади.
Сильвестр критерияси деб аталувчи қуйидаги теорема квадратик форманинг мусбат
аниқланганлигига жавоб беради.
Теорема-1. -матрица квадратик форманинг бирор базисдаги матрицаси бўлсин. У
ҳолда квадратик форманинг мусбат бўлиши учун матрицанинг барча бурчак
минорлари мусбат бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. квадратик форманинг мусбат бўлсин. матрицанинг k-бурчак минорини
оламиз:
,
ke
1, kk fe
ke ki
.1,...,,
,0,...,,
..................................
,0,...,,
,0,...,,
2211
1212111
2222121
1212111
kkkkkkkk
kkkkkkkk
kkkkk
kkkkk
ffffff
ffffff
ffffff
ffffff
k
ke
xxxq ,)( neee ,...,, 21 ikb
kiik eeb ,
),...,2,1,(агар0, nkikiee ki
kibik агар0
kkkkkkkkkkkkkk fefefeeeb ,...,,, 2211
k
k
kkb
1
212
2
2
12
1
1
0 ...)( n
n
nxq
x 0)(0)( xqxq
)(xq
A )(xq
)(xq A
)(xq A
kkk
k
k
eeee
eeee
,...,
.........
,...,
11
111
57
бу ерда -шундай симметрик бичизиқли формаки, . Бу минорнинг
сатрлари чизиқли эркли эканлигини кўрсатамиз. Бундан минорнинг нолдан фарқлилиги
келиб чиқади. Ҳақиқатан ҳам, бу минорнинг сатрларини сонларга
кўпайтириб, нол векторга тенглаймиз:
.
Бундан
.
Бу муносабатдан эса
тенгликни оламиз. Бу ердан квадратик форманинг мусбатлигига асосан
тенгликка эга бўламиз. тизим чизиқли эрклилигига асосан
тенгликни оламиз. Бу эса минор сатрларининг чизиқли
эрклилигини кўрсатади. Демак лар нолдан фарқли. деб ҳисоблаб, Якоби
усулига асосан квадратик форма мусбат бўлганлиги учун
Аксинча тенгсизликлардан Якоби усулига асосан квадратик
форманинг мусбатлигига эга бўламиз.
Теорема исботланди.
Қуйидаги теорема квадратик формаларнинг инерция қонуни дейилади.
Теорема-2. Ҳақиқий квадратик форманинг ихтиёрий каноник шаклидаги мусбат ва манфий
коэффициентлар сони базисни танлашга боғлиқ эмас.
Исбот. Ҳақиқий квадратик форманинг иккита ва каноник
шаклга келтирувчи базис берилган бўлиб, сонларнинг таси
мусбат, сонларнинг таси мусбат бўлсин. Аниқлик учун
ва
бўлсин.
Фараз қилайлик бўлсин. орқали тизимнинг чизиқли қобиғини ва
орқали тизимнинг чизиқли қобиғини белгилаймиз. Бу тизимлар
чизиқли эркли бўлганлиги учун .
Бундан
.
Бунга кўра нолдан фарқли вектор мавжуд, яъни
.
yx, xxxq ,)(
Rk ,...,, 21
kieeeeee ikkii ,...,2,1,0,...,, 2211
kieeee ikk ,...,2,1,0,...2211
,0,...11
2211
k
iii
k
iikki eqeeee
,01
k
iiie
keee ...,, ,21
0...21 k k
k 011 a
.,...,2,1,0 nii
nii ,...,2,1,0
)(xq neee ,...,, 21 nfff ,...,, 21
)(),...,(),( 21 neqeqeq p
)(),...,(),( 21 nfqfqfq r
,,...,2,1агар,0
,,...,2,1агар,0)(
nppk
pkeq k
nrrk
rkfq k
,...,2,1агар,0
;,...,2,1агар,0)(
rp 1V peee ,...,, 21 2V
nrr fff ,...,, 21
rnVpV 21 dim,dim
0)(dimdimdimdim 212121 rpnrnpVVVVVV
21 VVx
n
rjjj
p
iii fex
11
58
Демак, . Иккинчи томондан . Ушбу зиддият
тенгсизлик ўринли эканлигини кўрсатади. Худди шундай тенгсизлик
ўринли эканлигини кўрсатиш мумкин. Демак .
Энди юқорида келтирилган мулоҳозани квадратик формага қўллаб, квадратик
форманинг каноник базисдаги манфий коэффициентлар сони базис танлашга боғлик
эмаслигини кўрсатиш мумкин.
Теорема исботланди.
Назарий саволлар.
1.Ихтиёрий симметрик бичизиқли форма ўзининг квадратик формаси ёрдамида бир
қийматли аниқланишини кўрсатинг.
2.Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтиришнинг Якоби усулини асослаб беринг.
3.Квадратик форманинг мусбатлигини аниқловчи Сильвестр критериясини исботланг.
4. Квадратик формалар учун инерция қонунини исботланг.
Таянч тушунчалар.
1. Бичизиқли форма.
2. Бичизиқли форманинг матрицаси.
3. Симметрик бичизиқли форма.
4. Квадратик форма.
5. Квадратик форманинг матрицаси.
6. Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
7. Сильвестр критерияси.
8. Инерция қонуни.
11-Маъруза
Мавзу: Сиркул ва чизғич ёрдамида ясаш аксиомалари. Сиркул ва чизғич
ёрдамида ясашга доир энг содда масалалар.
Ясашга оид масалаларни фақат оддий чизғич ва циркул воситасида
ечиш Қадимги Юнонистонда санъат даражасига етган. Албатта
ҳаётда геометрик шаклларни ясашни исталган асбоб билан бажариш
мумкин ва қулай. Аммо оддий чизғич воситасида масала ечиш мантиқий
мушоҳада қобилятини ўстиради.
Шу пайтгача турли хил асбоблар ёрдамида ҳар хил геометрик
шаклларни ясаб келдик. Масалан, чизғичлар ёрдамида тўғри чизиқ, нур,
кесма, учбурчак ва бошқа шаклларни чиздик. Чизғич ва транспортёр
ёрдамида турли хил бурчакларни чиздик. Циркул ёрдамида эса айлана ва
ёйларни тасвирладик.
Маълум бўлишича, кўплаб геометрик шаклларни фақат масштабли бўлинмаларга эга
бўлмаган, бир томонли тўғри чизғич ва циркул ёрдамида ясаш мумкин эмас. ( Бундай чизғични
оддий чизғич деб атаймиз). Шу сабабдан, геометрияда шу икки асбоб ёрдамида ясашга доир
масалалар махсус ажратиб қаралади.
Бу икки асбобдан фойдаланишнинг махсус қоидалар бор. Улар воситасида фақат
қуйидаги ишларни бажаришга рухсат берилади.
Оддий чизғич ёрдамида фақат. 1. Ихтиёрий тўғри чизиқ чизиш;
2. Тайин нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ чизиш.
3. Икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқни чизиш.
Циркуль ёрдамида бажариладиган чизмалар.
1. Ихтиёрий айлана чизмаси.
2. Маркази берилган нуқтага бўлган ихтиёрий радиусли айлана чизмаси.
3. Тайин радиусли, маркази эса ихтиёрий айлана чизмаси.
4. Маркази берилган нуқтага, радиуси берилган кесмадан иборат айлана чизмаси.
p
iiieqxq
1
2 0)(
n
rjjjfqxq
1
2 0)(
rp pr
rp
)( q q
59
5. Берилган кесмага тенг кесмани, тўғри чизиққа унинг белгиланган нуқтасидан
бошлаб ҳар икки йўналишда қўйиш.
Бошқа ҳар қанақа ясаш мана шу амалларга келтириш лозим. Ҳатто чизғичда
миллиметрли бўлмалар бўлсада кесмаларнинг узунликларини ўлчаш ва маълум узунликдаги
кесмани бирор тўғри чизиққа қўйишга рухсат берилмайди.
Ясашга доир масалаларда нафақат бирор геометрик шаклни ясаш йўлини, усулини
топиш талаб қилинади, балки ҳосил бўлмаган геометрик шаклни ҳақиқатан берилган
шартларни қаноатлантириш асослаш, яъни исботлаш ҳам лозим бўлади. Шу боис, ясашга доир
масалалар шакл ясаш усулини, йўл-йўриғини топишни ва уни асослашни талаб қилади.
Кўплаб геометрик шаклларни фақат масштабли бўлинмаларга эга бўлмаган, бир
томони тўғри чизғич ва циркуль ёрдамида бажариш мумкин.
Циркул ва лекалодан фойдаланиб, геометрик шакллар ва фигуралар ҳосил қилинади.
12-Маъруза
Мавзу: Текисликдаги геометрик ясашларда фойдаланиладиган методлар.
Тўртта нуқта ва бу нуқталарни кетма-кет
туташтирувчи тўртта кесмадан иборат шакл тўртбурчак
деб аталади.
Тўртта нуқта ва нуқталарни кетма-кет
туташтирувчи тўртта кесмадан иборат шакл тўртбурчак
дейилади. Бунда нуқталардан учтаси бир туғри чизиқда
ётмаслиги керак. Берилган нуқталар тўртбурчакнинг
учлари уларни туташтирувчи кесмалар эса унинг
томонлари дейилади.
Тўртбурчакнинг умумий учга эга бўлмаган
томонлари қарама-қарши бир томонга тегишли
бўлмаган учлари ва бурчаклари қарама-қарши учлари ва
бурчаклари дейилади. Тўртбурчакнинг қарама-қарши
учларини туташтирувчи кесма унинг диоганали
дейилади.
Тўртбрчакда иккита диагонал бўлиб уларнинг ҳар
бири тўртбурчакни иккита
учбурчакка ажратади.
Тўртбурчакнинг барча томонлари
узунликлари йиғиндиси унинг
переметри дейилади. Тўртбурчакнинг
барча бурчаклари йигиндиси 360
градусга тенг.
Квадрат тўғрисида тушунча бериш. Бурчаклари тўғри бўлган ромб квадрат
дейилади. Квадрат ромбнинг шунингдек,
туғри тўртбурчакнинг хусусий кўриниши
бўлганлигидан у ромб ва туғри
тўртбурчакнинг барча хоссаларига эгадир.
Бошқотирма: Эрамиздан аввалги
500-йилларда пайдо булган бу шаклни
ҳаётнинг рамзи сифатида нон устига
чизганлар. Бу шаклни қалин қоғозга чизиб олиб уни расмда
кўрсатилган чизиқлар бўйлаб қирқинг. Ҳосил бўлган бўлаклардан
квадрат ясаш мумкинлигига ишонч ҳосил қилинг.
Тўғри тўртбурчак ҳақида тушунча бериш.
60
Барча бурчаклари тўғри бурчак бўлган параллелограмм тўғри тўртбурчак дейилади.
Тўғри тўртбурчак диагоналлари ўзаро тенгдир.Тўғри тўртбурчак параллелограм бўлгани учун
параллелограмнинг барча хоссаси тўғри тўртбурчак учун ҳам ўринлидир.
Теварак атрофимиздаги
девор, унга осилган портрет, китоб, дафтар, столнинг сирти кабилар тўғри тўртбурчакка мисол
бўла олади.
Трапетсиялар ҳақида тушунча бериш. Фақат икки томони ўзаро паралел бўлган тўртбурчак трапеция дейилади. Трапециянинг
параллел томонлари унинг асослари дейилади. Қолган икки томони эса томонлари дейилади.
Агар трапециянинг ён томонлари бир - бирига тенг бўлса, тенг ёнли трапетсия дейилади.
Трапециянинг бирор бурчаги тўғри бўлса туғри бурчакли трапеция деб аталади.
61
Тўртбурчакнинг бурчагини аниқлаш. Тўртбурчакнинг барча бурчаклари йиғиндиси 360 градусга
тенг.
<α+<β+<γ+<φ=360 градус
Квадратнинг бурчагини аниқлаш. Квадрат ва ромбнинг таърифларидан квадрат бурчаклари тўғри бўлган ромб эканлиги
келиб чиқади. Квадрат ҳам параллелограм ҳам тўғри тўртбурчак ҳам ромб бўлгани учун
буларнинг барча хоссаларига эгадир.
Квадратнинг барча хоссаларини келтирамиз.
1. Квадратнинг барча бурчаклари тўғри.
2. Квадратнинг барча диагоналари ўзаро тенг
3. Квадратнинг диаганаллари ўзаро перпендикуляр ва кесишиш нуқтасида тенг 2 га
бўлинади ҳамда квадратнинг бурчакларини тенг 2 га бўлади.
Бошқотирма: расмда тасвирланган гулдон расмини:
А) учта туғри чизиқ билан шундай 4 бўлакка бўлинки улардан
тўғри тўртбурчак йиғиш мумкин бўлсин.
В) иккита тўғри чизиқ билан шундай 3 қисмга бўлингки улардан
квадрат йиғиш мумкин бўлсин.
Тўғри тўртбурчакнинг бурчакларини аниқлаш. Тўғри тўртбурчакнинг ҳамма бурчаклари тўғри.
Масалада АВСД тўғри тўртбурчак В бурчагининг
биссектрисасси АД томонини Р нуқтада кесади ҳамда уни
АР=17 см ва РД=21 см ли кесмаларга ажратади. Шу тўғри
тўртбурчакнинг переметрини топинг.
Ечиш. АВСД-тўғри тўртбурчак бўлгани учун, AD=BC
ва шунга кўра <2=<3 бироқ, шартига кўра
<2=<1, демак, <1=<3 ҳамда учбурчак АВР-
асоси АР бўлган тенг ёнли учбурчак.
Шундай қилиб АВ=АР=17см.
Трапецияларни бурчагини аниқлаш. Бурчакларидан бири тўғри бўлган трапеция туғри бурчакли трапеция дейилади. Агар
тўртбурчак бирор қўшни икки бурчагининг йиғиндиси 180 градус бўлса бундай
тўртбурчак трапеция бўлади. Трапециянинг бир бурчаги 90 градус бўлса унинг яна битта 90
градусли бурчаги мавжуд.
Бошқотирма: Ушбу расмда нечта бурчак бор.
62
10. Квадрат, тўғри тўртбурчак ва трапециялар бурчакларининг юзасини
ҳисоблаш. Периметр узунлигини аниқлаш.
Юз-текис шаклларни характерловчи асосий математик миқдорлардан биридир. Содда
ҳолларда юз текис шаклни тўлдирувчи бирлик квадратлар томони узунлик бирлигига тенг
бўлган квадратлар сони билан ўлчанади.
Бинонинг режаси деб унинг горизантал тексликдаги тасвирига айтилади. Унда
хонанинг дераза токчаларидан бироз юқорироқдан фикран ўтказилган текислик билан
қирқилганда ҳосил бўладиган қирқим тасвирланади.
Бино режасида бино хоналарининг жойланиши эшик, дераза, кўп қаватли биноларда
зинапоя, мўрконлар, санитария техника жиҳозлари кўрсатилади. Асосий кўрсатувчи. яъни
қирқимга тушган деворлар асосий йўғон чизиқда қолган бино элементлари ингичка туташ
чизиқда тасвирланади. Кўп қаватли бинолар қаватларида хоналарнинг жойлашиши турлича
бўлса, бундай турар жойнинг ҳар қайси қавати учун режа тузилади.
Квадратнинг бурчак юзасини ҳисоблаш.
Квадрат ромбнинг таърифларидан квадрат бурчаклари тўғри бўлган ромб эканлиги
келиб чиқади.
63
Бошқотирма: Икитта аквариумга юқори четидан 10 см
паст қилиб сув қуйилган. Кайси аквариумда сув куп ?
Тўғри тўртбурчакнинг бурчак юзасини ҳисоблаш.
Агар параллелограмнинг диоганаллари бир – бирига тенг бўлса у тўғри тўртбурчак
бўлади. Бу тасдиқнинг исботи ҳам тўғри бурчакли учбурчаклар БАД ва СДА нинг тенглигидан
Б<А ва <Д нинг тенглигига асосан келиб чиқади. < А =< C.<Д= <Б бўлганлиги учун ҳамда
<А+<Б+<С+<Д= 360 градуслигидан бурчакларнинг барчаси тўғри бурчак яъни 90 градус
эканлиги асосланади.
Трапециянинг бурчак юзасини ҳисоблаш.
Агар тўртбурчак бирор қўшни икки бурчагнинг йиғиндиси 180 градус бўлса бундай
тўртбурчак трапецияа бўлади. исбот: АБСД тўртбурчакда <А+<Б=180 градус берилган
бўлсин, АБСД туртбурчак трапеция эканини исботлаймиз.
Бунинг учун АБ, БС ва АД тўғри чизиқларни ўтказамиз.
Шартда <А+<Б=180 градус берилгани учун параллеликнинг
биринчи аломатига кўра АД ва БС кесмалар параллел бўлади.
Энди А
ва Д ( Ёки Б ва С) бурчакларнинг йиғиндиси 180
градусга тенг эмаслигига ишонч ҳосил қилишимиз керак. Бу
ҳолда АБ ва ДС кесмалар параллел бўлмайди, акс ҳолда эса АБ
ва ДС кесмалар параллел бўлади .
Переметр ҳақида маълумот.
Переметр – учала томон
узунликлари йиғиндиси
периметр дейилади. У бош
ҳарф - Р билан
белгиланади.
13-Маъруза
Мавзу: Ясашга доир масалаларни сиркул ва чизғич ёрдамида ечиш
критерийси. Сиркул ва чизғич ёрдамида ечилмайдиган классик масалалар.
l1
l2
C B
D
A
64
Тайин нуктадан тенг масофада узоқликда ётган нуқталардан иборат шакл айлана деб
айтилади. Бу тайин нуқта айлананинг маркази дейилади. Айлананинг
ихтиёрий нуқтасидан унинг марказигача бўлган масофа айлананинг
радиуси деб аталади. Шунингдек, айлананинг марказини унинг
ихтиёрий нуқтаси билан туташтирувчи кесмани ҳам радиус деб
юритамиз. Айлананинг ихтиёрий икки нуқтасини туташтирувчи кесма
айлана ватари деб аталади. Марказдан ўтувчи ватар эса диаметр деб
аталади. Текисликнинг айлана билан чегараланган қисми (чекли қисм)
доира деб аталади.
Айлана циркул ёрдамида чизилади. Маркази берилган О нуқтада, радиуси А кесмадан
иборат айланани циркул ёрдамида чизиш расмда кўрсатилган.
Масала: айлана ватари ўртасидан ўтувчи диаметр ватарга
перпендикуляр бўлишини ҳисобланг.
Исбот: Айтайлик, АВ-айлананинг ватари ва С унинг ўртаси
бўлсин. АОВ учбурчакнинг ОА ва ОВ томонлари айлана радиуслари
бўлгани учун, бу учбурчак тенг ёнли бўлади. Шартга кўра, ОС-АОВ
тенг ёнли учбурчакнинг медианаси. У ҳолда тенг ёнли учбурчак
медианаси хоссасига кўра, ОС кесма баландлик ҳам
бўлади. Демак, ватар ўртасига туташтирилган
диаметр ватарга перпендикуляр бўлади.
Айланани катак дафтарларда циркулсиз
қўлда чизиш йўл-йўриғи .
1.Катак дафтарга расмда кўрсатилгандек
қилиб, нуқталарни белгиланг. Унда нуқталарнинг
жойлашган ўрнига эътибор беринг.
Айлана билан фақат битта умумий нуқтага эга бўлган тўғри
чизиқ шу айланага уринма дейилади, уларнинг умумий нуқтаси эса
уриниш нуқтаси дейилади.
Бир тўғри чизиқда ётмаган нуқтани ўзаро кесмалар билан туташтириб чиқилса,
учбурчак ҳосил бўлади. Белгиланган учта нуқта учбурчакнинг учлари, кесмалар эса
учбурчакнинг томонларидан иборат бўлади. Учбурчакнинг учала томони узунликлари
йиғиндиси, унинг периметри дейилади.
Учбурчаклар, тенг томонли, тенг ёнли, тўғри бурчакли ўткир ва ўтмас бурчакли бўлади.
Учала томони ўзаро тенг бўлса, тенг томонли учбурчак ҳосил бўлади.
Томонларидан иккитаси ўзаро тенг бўлса, тенг ёнли учбурчак ҳосил бўлади.
Битта бурчаги тўғри бўлса, тўғри бурчакли учбурчак ҳосил бўлади.
Ҳамма бурчаклари ўткир бўлса, ўткир бурчакли учбурчак ҳосил бўлади.
Битта бурчаги ўтмас бўлса, ўтмас бурчакли учбурчак ҳосил бўлади.
Одатда учбурчак сўзи ўрнига унинг чизмаси белги сифатида ишлатилади. “учбурчак
АВS ёки ABS учбурчак” деб ўқилади. <BAS>, <ABS>, <ASB> учбурчакнинг бурчаклари деб
юритилади. Уларни баъзида аниқлик учун ички бурчаклар деб аталади.
Учбурчак бурчакларини <a, <b, <s, тарзида ҳам белгилаш мумкин. Учбурчакнинг
томонлари ва бурчаклари унинг асосий элементлари деб аталади. Учбурчакнинг учта томони
узунликлари йиғиндисига унинг перементри дейилади. И Р ҳарфи билан белгиланади.
Шунингдек, BAS бурчак учбурчакнинг АВ ва AS томонлари орасида ётувчи бурчаги. АВ ва
65
AS томонлар BAS бурчакка ёпишган. BS томон BAS бурчак қаршисида ётибди каби иборалар
қўлланилади.
Тенг томонли учбурчак.
Томонлари ва бурчакларига кўра учбурчаклар қуйидаги турларга бўлинади:
1. Тенг томонли учбурчаклар;
2. Тенг ёнли учбурчаклар;
3. Тўғри бурчакли учбурчаклар;
4. Ўткир бурчакли учбурчаклар;
5. Ўтмас бурчакли учбурчаклар.
Учала томони ўзаро тенг бўлса, тенг томонли учбурчаклар дейилади.
Тенг томонли учбурчак
Тенг ёнли учбурчак.
Томонларидан иккитаси ўзаро тенг бўлса, тенг томонли учбурчак деб аталади.
Масала, Периметри 28 смга тенг
бўлган тенг ёнли учбурчакнинг асоси ён
томонидан 4 см узун. Шу учбурчакнинг
томонларини топинг.
Ечилиши, ABS учбурчакнинг ён
томонини х деб белгиласак, асоси х+4
бўлади. Унда масала шартига кўра
Р=х+х+х+4=3х+4=28, х=8.
Тенг ёнли учбурчак
Тўғри бурчакли учбурчаклар.
Учбурчакнинг битта бурчаги туғри бўлса тўғри бурчакли учбурчак деб аталади.
Тўғри бурчакли учбурчак
Ўткир бурчакли учбурчак.
Ҳамма бурчаклари ўткир бўлса ўткир бурчакли учбурчак дейилади.
66
Ўтмас бурчаклари учбурчак.
Битта бурчаги ўтмас бўлса, ўтмас бурчакли учбурчак деб аталади.
Уларнинг чизилиши.
Бошқотирма: Томонлари расмда берилгандек тўртта нуқтадан учбурчак чизининг.
1. Учлари расмда кўрсатилган нуқталарда ётадиган нечта тенг томонли учбурчак
чизиш мумкин?
8. Транспортир ёрдамида учбурчакнинг бурчакларини аниқлаш ва юзисини
ҳисоблаш.
Бурчакнинг градус ўлчови транспортер деб аталган
асбоб ёрдамида ўлчанади. Унинг шклали ёйсисимон қисми
чизиқчалар билан 180 та тенг бўлакка бўлинган, бўлиб ҳар бир
бўлак бир градусни англатади.
Расмда кўриб турганингиздек АОB бурчакнинг
катталиги 60 градусга тенг ва бу <АОВ=60 градус тарзда
ёзилади, бир xил градус ўлчовига эга бурчаклар ўзраро тенг
бўлади ва аксинча тенг бурчакларнинг градус ўлчовлари ҳам
тенг бўлади. Катта бурчакнинг градус ўлчови ҳам катта
бўлади. Бурчакларни ўлчашда градус улушларидан ҳам фойдаланилади.
Бир градуснинг 1/60 бўлаги минут, 1/360 бўлаги секунд деб номланади ва мос равишда
,,, , ,,, ва ,, , каби белгиланади. Берилган ОВ нурга 50 градусли бир шаклни қўйинг.
Транспортирнинг асосини ОВ нур устига, марказни эса О нуқтага қўйиб, унинг
шкаласида 50 градусга мос келувчи бўлинма топилади ва бурчак ясалади. ОВ тўғри чизиқ
текисликни иккита яримтекисликка ажратиши маълум. Демак, берилган нурдан ҳар бир
яримтекисликка биттадан 50 градусли бурчак қўйиш мумкин.
< А1ОБ =<А2ОБ= 50градус
14-Маъруза
Мавзу: Марказий, параллел проексиялаш ва уларнинг хоссалари Проекциялаш нурга асосланиб, марказий ва параллел проекциялаш усулларига
бўлинади.
Ихтиёрий S нуқтадан АВС нуқталарга нур туширилганда Н текисликда А1 В1 С1
проекция ҳосил бўлади. Бу кўриниш марказий проекциялаш дейилади.
Ёритгич майдони сифатида Қуёш ёки Ойни келаётган ёритиш нурлари ўзаро параллел
деб қабул қилинади. Параллел проекциялашда шаклнинг проекцияси ўзига тенг бўлади.
67
Марказий проекциялаш. Бирор нарсанинг текисликдаги проекциясини ҳосил қилиш
учун ўша нарсанинг ўзи, тасвир (проекция) тушириш учун текислик ва ёритгич манбаи
бўлиши керак. Тасвир ҳосил қилиш учун столдаги бурчаклар орқали чироқ нури ўтказилади.
Чироқ нурлари стол текислиги кесишиб, қутидан тушаётган соянинг контурини ҳосил қилади.
Бу ерда нарса - қути, текислик - стол сатҳи, ёритгич манбаи - чирок, қутидан тушаётган соя -
тасвир (проекция) ҳисобланади.
Энди қутини АБС учбурчаклик шакли билан, стол сатҳини Н текислиги билан чироқни
S нуқта билан алмаштириб, S нуқта орқали учбурчакнинг АБС нуқталари орқали ўтувчи
ёрдамчи чизиқлар ўтказилса, Н текислик билан кесишиб, АБС нинг проекциясини ҳосил
қилади. Бу ерда С проекциялаш маркази, АБС нарса, А` Б` C` проекция, H проекция текислиги,
SА` SБ`, SС` проекциялаш нурлари дейилади. Проекциялашнинг бу кўриниш марказий
проекциялаш дейилади.
Чизмачиликда нарсанинг нуқталарини лотин алфавитининг бош ҳарфи унинг
проекциясини ўша ҳарфга штриx белгиси қўйиб ёзилади.
Марказий проекциялашга оид чизмалар чизиш.
Проекциялаш нури с проекциялар текислиги Х га нисбатан ўткир бурчак остида
берилган бўлса, унга параллел қилиб шаклнинг АБС нуқталаридан ёрдамчи проекцияловчи
нурлар ўтказилади. Натижада бу нурлар Х билан кесишиб, АБС нинг проекцияси А`Б`C`
қийшиқ бурчакли проекциясини ҳосил қилади.
Агар проекциялаш нури с проекциялар текислиги Н га нисбатан перпендикуляр, яъни
тўғри бурчакда берилган бўлса, тўғри бурчакли проекциялаш ҳосил бўлади.
Бу ерда АБС - нарса, с - проекциялаш йўналиши, .Н - проекциялар текислиги, А`Б`C`-
нарсанинг H даги проекцияси, АА`, ББ`, CC` - проекциялаш нурлари дейилади.
68
Тўғри бурчиакли параллел проекциялашни ортогонал (юнонча орто - тўғри, гонал -
бурчак, яъни тўғри бурчакли) проекциялаш хам дейилади. Энди марказий ва параллел
(қийшиқ ва тўғри бурчакли) проекцияларни ўзаро таққослаб кўрамиз. Марказий проекцияда
нарсанинг проекцияси ўзидан катта. Демак, бу проекцияда деталнинг чизмаси орқали унинг
хақиқий катталиги тўғрисида фикр юритиш қийин. Қийшиқ бурчакли параллел проекция
олинса, бу ерда нарсанинг бурчаклари бузилиб проекцияланади.
Бундан кейин проекциялашнинг бу
турига, яъни тўғри бурчакли параллел
проекциялашга асосланиб чизмалар
чизамиз. Чунки ҳар қандай чизмалар тўғри
бурчакли параллел проекцияга асосланиб
чизилади. Тўғри бурчакли параллел
проекциялаш ўрнига қисқача
проекциялаш дейилади. Шунда тўғри
бурчакли параллел проекциялаш
тушунилади.
Параллел проекциялаш. Ёритгич
манбайи сифатида Қуёш ёки Ой олинса,
параллел проекциялаш ҳосил қилиш
мумкин. Чунки ёритгич маркази бу ерда
чексизликда бўлиб, Қуёш ва Ойдан
келаётган ёритиш нурлари ўзаро параллел
деб қабул қилинади.
15-Маъруза
Мавзу: Икки текисликнинг перспектив аффин мослиги. Текисликдаги
перспектив-аффин мослик. Перспектив-аффин мосликнинг бош йўналишлари
Режа: 1. 4§. Текисликнинг нормал тенгламаси. Нуқтадан текисликгача бўлган масофа.
2. 5§. Икки текислик орасидачи бурчак. Уч текисликни кесишуви
69
Таянч иборалар: Нормал, нукта, масофа, энг якин масофа, модул.
4 – Текисликни нормал тенгламаси. Нуқтадан текисликгача бўлган масофа.
нуқта ва (22) текислик берилган бўлсин. ((21.1)
тенглама (19.2) дан бўлганда ҳосил бўлади).
(22.1) тенгламага текисликнинг вектор кўринишдаги нормал тенгламаси дейилади.
нуқтадан текисликкача бўлган масофа деб М1 нуқтадан текисликка туширилган
перпендикулярнинг узунлигига айтилади.
Биз (22.1) тенгламага ва берилган М1 нуқтанинг радиус вектори га асосланиб М1
нуқтадан(22.1) текисликкача бўлган масофани топамиз.(r– 33)
Векторларни қўшиш қоидасига асосан ёки
, чунки билан коллинеар, .
М0 текислик нуқтаси бўлгани учун (22.1) текислик тенгламасини
қаноатлантиради, яъни ёки , ёки
бўлганидан
(22.2)
Демак, берилган нуқтадан берилган (22.1) текисликгача бўлган масофани
топиш учун текисликнинг нормал тенгламасидаги ўзгарув радиус вектор ни М1 нуқтанинг
r1 радиус вектори билан алмаштириш ва ҳосил бўлган соннинг абсолют қийматини олиш
керак экан. (22.2) формулани координата формасида ёзамиз:
бўлса
ёки
- (22.3)
Бундан кўринадики, М1 нуқтаданQ текисликкача бўлган масофани топиш учун
текисликни нормал тенгламасидаги ўзгарувчи x, y, z лар ўрнига М1 нуқтанинг
координаталари x1, y1, z1 ларни қўйиб ҳосил бўлган натижанинг абсолют қийматини олиш
керак экан. Энди текислик умумий тенгламаси билан берилган бўлса, уни нормал кўринишга
келтириш билан шуғулланамиз.
Бирлик векторни ҳамма вақт тенгликдан фойдаланиб ҳосил қилиш мумкин.
(19.2) тенгламани (22.4) кўринишда ёзиш мумкин.
Равшанки (22.4) да бирлик вектор бўлса, тенглама текисликнинг нормал
тенгламасига айланади, яъни
(22.5)
ифодага нормалловчи кўпайтувчи дейилади. Демак
текисликни умумий тенгламаисни нормал тенгламага келтириш учун,
уни нормалловчи кўпайтувчига кўпайтириш керак экан, бунда нинг ишораси озод ҳад
D нинг ишорасига тескари бўлади. Текисликни нормал тенгламасини
);;()( 111111 zyxMrM 0),( 0 pnr
0nn
)( 11 rM
dMM 01
1r
0110 MMOMOM 011)( 0
MMrr M
001 nMM 01MM0n d
0r
0))(( 00 pnnr 0)( 0
1 pnr pnr )( 0
1
d
pnrd )( 0
1
)( 11 rM
r
coscoscos, 0
1111 kjinzkyjxir
coscoscos),( 111
0
1 zyxnr
pzyxd coscoscos 111
a
an 0
0),( Dnr
n
0),( 0
1
n
Dnr
222
11
CBAn
0 DCzByAx
70
, текисликни умумий тенгламасини нормал кўринишга
келтирилгани билан солиштирсак
, , ,
.
, , лар текисликка ўтказилган нормал векторнинг йўналтирувчи косинуслари
дейилади.
Текисликнинг нормал тенгламаси унинг бошка
тенгламаларидан қуйидаги хоссалари билан ажралиб туради:
1. x, y, z лар олдидаги коэффициентлар квадратлари йиғиндиси бирга тенг,
+ + =1.
2. озод бўлиб координата бошидан текисликгача бўлган масофани
билдиради.
Демак текислик тенгламаси берилган бўлса, уни нормал тенгламалигини аниқлаш учун
шу икки шартни бажарилишини текшириб кўриш керак.
МАСАЛА: 2x + y – 2z – 9 = 0 текисликдан М1 (1,0,-3) нуқтагача бўлган масофа топилсин.
ЕЧИШ: 2x + y – 2z – 9 = 0 текисликни умумий тенгламаси эмас, чунки 22 + 12 + (-2)2 . Шу
сабабли нормалловчи кўпайтувчи ни ҳисоблаймиз ва берилган тенгламани га
кўпайтирамиз:
5 – Икки текислик орасидаги бурчак. Уч текисликни бир нуқтада кесишуви. Икки текислик орасидаги бурчак деб бу текисликлар орасидаги икки ёқли бурчакка
айтилади. (r – 34)
А
В С
О
Икки текислик ўзининг вектор шаклдаги тенгламаси ёки умумий тенгламалари билан
берилган бўлсин:
ёки
0coscoscos pzyx
0222
CBA
DCzByAx
222cos
CBA
A
222cos
CBA
B
222cos
CBA
C
222 CBA
Dp
cos cos cos
0coscoscos pzyx
2cos 2cos 2cos
0p
0
3
1;
3
1
)2(12
1
222
.033
2
33
2
zyx
3
1
3
11
3
23
3
32
3
0
3
121
d
0),(
0),(
22
11
Dnr
Dnr
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
71
ва нормал вектор орасидаги бурчак берилган текисликлар орасидаги бурчак
тенг ёки уни гача тўлдиради. Икки текислик орасидаги бурчак деб улар орасидаги қўшни
бурчакларни ихтиёрийсини тушўнганимиздан, икки вектор орасидаги бурчакни топиш
формуласига асосан шу бурчакни косинусини, яъни ни топамиз:
(23.1)
Агар текисликлар параллел бўлса, ва ҳам параллел бўлади, икки векторни
параллеллик шартига асосан
(23.2)
Агар текисликлар перпендикуляр бўлса, уларни нормал векторлари перпендикуляр
бўлди, яъни
(23.4)
МАСАЛА: текисликлар орасидаги бурчак топилсин.
ЕЧИШ: бўлганидан (23.1) формулага асосан
Энди уч текисликни бир нуқтада кесишиш масаласини қарайлик. Умумий тенламалари
билан учта текислик берилган бўлсин:
(23.5)
Бу текисликлар бир нуқтада ёки чексиз кўп нуқтада ёки умуман кесишмаслиги мумкин.
Агар (23.5) текисликлар бир нуқтада кесишса, бу нуқта барча текисликларга тегишли бўлади,
яъни унинг координаталари (23.5) даги тенгламаларни ҳар бирини қаноатлантиради.
Демак учта текисликнинг кесишган нуқтасини топиш учун бу тенгламаларни
биргаликда система қилиб ечиш керак. (23.5) тенгламалар системаси уч номаълумли учта
чизиқли биржинслимас тенгламалар системаси бўлганлигидан, чизиқли тенгламалар
системасини ечишни бирор усули билан, масалан Крамер қоидаси билан ечиш мумкин.
МАСАЛА: текисликларни кесишиш
нуқтаси топилсин.
ЕЧИШ: Берилган учта текисликни кесишиш нуқтасини топиш учун бу тенгламаларни
биргаликда система қилиб ечамиз:
Берилган тенгламалар системасини Крамер қоидаси билан ечайлик: аввало системани
асосий детерминантини ҳисоблаймиз:
1n 2n
cos
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ),(cos
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
1n 2n
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
0212121 CCBBAA
0822
034
zyx
zyx
kjinkjin 22,4 21
045,2
2
29
9
4141611
812cos
01111 DzCyBxA
02222 DzCyBxA
03333 DzCyBxA
01223,032,0 zyxzyxzyx
17223
32
0
zyx
zyx
zyx
72
Демак бу уч текислик нуқтада кесишар экан.
Мавзуни такрорлаш учун саволлар:
1) Текисликни нормал тенгламасини ёзинг.
2) Нормалловчи купйтувчи нима?
3) Нуктадан текисликкача масофа таърифини беринг.
4) Берилган текисликдан берилган нуктагача булган масофанинг топиш формуласини
ёзинг.
5) Икки текислик орасидги бурчак таърифини беринг.
6) Икки текислик орасидаги бурчакни топиш формуласини ёзинг.
7) Уч текисликни кесишиш нуктаси кандай топилади?
16-Маъруза
Мавзу: Эллипс ва айлананинг жинсдошлиги. Эллипсни қўшма
диаметрларга кўра ясаш. Жинсдош фигуралар ва ортогонал проексиялар
Еллипс.
Таъриф. Эллипс деб, ҳар бир нуқтасидан берилган икки нуқтагача (фокусларгача)
масофаларнинг йиғиндиси ўзгармас сонга тенг бўлган текислик нуқталарининг геометрик
ўрнига айтилади.
Бу икки берилган нуқта эллипснинг фокуслари, нуқталар орасидаги масофа эса фокал
масофа дейилади.
Еллипс тенгламасини келтириб чиқарайлик.
Бунинг учун координаталар системасини шундай жойлаштирамиз:
М(х,й)
яъни абсцисса ўқи фокуслар орқали ўт
48957346917
1723
312
011
;36179346
2173
132
101
;12617176
2217
113
110
012423342
223
112
111
z
yx
412
48;3
12
36;1
12
12
zyx zyx
)4;3;1(1 M
Ox
73
син, ордината ўқи эса фокуслар орасидаги
2c
масофани тенг иккига бўлиб, ўққа
Ф2(-
c,о)
Ф1(c,0)
перпендикуляр равишда ўцин.
Шартга кўра
Ф1 М + Ф2 М = 2а (1)
(2)
бу эллипс тенгламасидир.
десак, (а > c) бу эллипснинг каноник тенгламаси,
Ox
aycxycx 22222
a
xcaycx
ycxcxycxaayccxx
ycxycxaaycx
ycxaycx
22
222222222
2222222
2222
2442
44)(
2
2
222222
2
22222
22
2
a
cxcxayccxx
a
cxcxaycx
2222
2
22
2222
2
2
1
cayxa
ca
cayxa
c
222 bca 12
2
2
2
b
y
a
x
74
Б1
А1(а,0), А2(-а,0), Б1(0,б), Б2(0,-б)
нуқталар эллипснинг учлари,
А1
А2
=2а га эллипснинг катта ўқи,
Ф2
Ф1
эллипснинг кичик ўқи
дейилади (а>б).
Б2
а ва б сонлар эллипснинг ярим ўқлари дейилади.
айлана тенгламасидан эллипс тенгламасини келтириб чиқариш учун нуқта
ординатасини марта камайтириш керак, яъни
1AA
bBB 21
222 ayx
a
b
222 ayx
75
Таъриф. Эллипснинг эксцентриситети деб, фокуслари орасидаги
масофанинг катта ўқи га бўлган нисбатига айтилади, яъни
,
бунда
.
Таъриф. Эллипсдаги нуқтадан фокусларгача бўлган масофалар унинг фокал радиус
– векторлари (р1 ва р2) дейилади. Эллипснинг ихтиёрий нуқтаси учун
ва эллипснинг тарифига асосан
,
яъни эллипснинг ҳар қандай нуқтасининг фокал радиус – векторларининг йиғиндиси
унинг катта ўқига тенг.
Таъриф. Эллипснинг кичик ўқига параллел ва ундан масофадан ўтган икки тўғри
чизиқ эллипснинг директрисалари дейилади. Директрисалар тенгламалари
қуйидагичадир:
ва .
2. Гипербола
Таъриф. Гипербола деб, ҳар бир нуқтасидан берилган икки нуқтагача (фокусларгача)
масофаларнинг айирмаси ўзгармас сонга тенг бўлган текислик нуқталарининг ўрнига
айтилади.
222 ayx
1/2
2
2
2
a
ab
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
112
2
2
2
ab
ay
a
x
)(e )2( c
)2( a
a
ce
1e
),( yxM
,, 21 exarexar
arr 221
e
a
e
ax
e
ax
76
Берилган нуқтанинг гиперболанинг фокуслари, улар орасидаги масофа эса фокал масофа
деб аталади. Гипербола тенгламасини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун координаталар
системасини шундай жойлаштирамизки, абсцисса ўқи гиперболанинг фокусларидан ўцин,
Ф1 Ф2 фокал масофани, яъни Ф1 Ф2 = 2c деймиз. Ординаталар ўқини Ф1 ва Ф2 ни ўртасидан
перепндикуляр қилиб ўтказамиз. Ф1 М ва Ф2 М лар орасидаги айирма модулини 2а билан
белгилаймиз. У ҳолда гипербола қуйидаги тенгламани қаноатлантиради:
ёки
Тенгламанинг чап томони мусбат бўлса (+), манфий бўлса (-) олинади.
таърифга кўра а <c, c2 - а2 = б2 мусбат бўлади.
(3)
гиперболанинг каноник тенгламаси.
Мисол. нуқтадан ўтувчи гиперболани каноник тенгламаси тузилсин,
агар фокал оралиқ 20 га тенг бўлса.
Шартга кўра 2c =
20,
c = 10
aycxycx 22222
aycxycx 22222
2222
2
22
22
22222222 442
acyxa
dc
ycxaa
cx
ycxycxaayccxx
12
2
2
2
b
y
a
x
12;58M
13664
100
36641144320
1144320
11258
1
2222
22
22
222
2
2
2
2
2
2
2
yxab
baba
baba
b
y
a
x
77
Мисол. гипербола тенгламаси берилган. Фокусларнинг
координатаси топилсин.
Демак, Ф1 = (-8; 0), Ф2 = (8; 0) экан.
(3) тенгламадан маълумки, гипербола , ўқларига нисбатан ва координаталарнинг
боши 0 га нисбатан симметрикдир.
Гипербола абсциссалар ўқини , нуқтада кесиб ўтади. ва
нуқталар гиперболанинг учлари дейилади. кесма гиперболанинг ҳақиқий ўқи
дейилади. Унинг узунлиги 2а га тенг.
ва тўғри чизиқлар гиперболанинг асимптоталари дейилади.
А(- ,0) ( ,0)
Ф=(c,0)
Гиперболанинг экссентриситети: , бунда
(1) гипербола чексизликка чўзилган иккита (ўнг ва чап ) тармоқдан иборат:
Ўнг тармоқнинг нуқталари учун фокал радиус – векторлар қуйидаги формулалар билан
ҳисобланади:
9034321 22 yx
8642143
12143
1903
43
903
21
222222
2222
ccbacba
yxyx
Ox Oy
)0,( aA )0,(aB A B
AB
a
bxy
a
bxy
a B a
xa
by
xa
by
a
ce .1e
78
Чап тармоқнинг нуқталари учун:
формулалар ўринли.
Гиперболанинг директрисалари учун: ва тенгликлар ўринли.
Асимптотанинг тенгламалари:
3. Парабола
Таъриф. Парабола деб, ҳар бир нуқтасидан берилган бир нуқтагача (фокусгача) ва
берилган бир тўғри чизиққача (директрисагача) масофалари ўзаро тенг бўлган текислик
нуқталарининг геометрик ўрнига
айтилади.
й
Н
М(х; й)
Д
о
Ф
х
.2
,
,
12
2
1
arr
aexr
aexr
arr
aexr
aexr
2
,
,
12
2
1
e
ax
e
ax
xa
by
xa
by
79
Фокусдан директрисагача бўлган масофа фокал параметри дейилади ва Р билан
белгиланади. Координаталар системасини шундай жойлаштирамизки, ўқ Ф фокусдан
ўтиб директрисага перпендикулар бўлсин. Директрисаси бўлган О ўқ кесишиш нуқтасини
Д билан, координаталарнинг бошини О нуқта билан белгилаймиз. ДФ ни ўртаси О нуқта
бўлади. У ҳолда бўлади. Директрисса эса , тенгламага эга
бўлади. параболанинг ихтиёрий нуқтаси бўлсин.
Параболанинг таърифига кўра
Ф М = М Н, ФМ = .
Икки нуқта орасидаги масофани топиш формуласига биноан
й
МН =
Н(
;й)
Ф=( ;0)
х
параболанинг каноник тенгламаси дейилади.
Мисол. й2 = 3х парабола берилган. Параболанинг шундай нуқтасини топайликки, шу
нуқтадан фокусгача бўлган масофа 1 га тенг бўлсин.
Ox
0;
2
pF
2
px 0
2
px
),( yxM
22
2y
px
22
22
pxyy
px
2
p
22
22
pxy
px
44
222
22 p
pxxyp
pxx
2
p
pxy 22
80
Ечиш: Шартга кўра 2р = 3,
номаълум
тенгламадан кўринадики, парабола х0 соҳада ётади ва ўқига нисбатан симметрик
бўлса, у ҳолда бўлади.
Парабола координаталарнинг ўқини О (0; 0) нуқтада кесади. Бу О (0; 0) нуқта
параболанинг учи дейилади.
й
х
о Ф=( ;0)
Параболанинг тенгламаси ҳам мавжуд.
В А Р И А Н Т Л А Р
1-топшириқ.
1. эллипснинг тўғри чизиққа пареллел бўлган уринмалари
топилсин.
2. А(-6;+3) нуқтадан эллипсга ўтказилган уринмаларнинг тенгламаси
тузилсин.
3. эллипсга ички чизилган квадрат томонининг узунлиги ҳисоблансин.
0;
4
3,
4
3
2F
p
),( yxM
2
3
4
3
4
133
4
11
4
31
16
9
2
33
14
313
16
9
2
31
4
3
2
22
222
2
yxy
xxxxxy
xxxxyx
Ox),( 00 yxM ),( 001 yxM
pxy 22
2
px
2
p
p
xypyx
22
22
12430
22
yx
0172 yx
1915
22
yx
12536
22
yx
81
4. нуқталар эллипсга нисбатан
қандай жойлашганини аниқланг.
5. эллипснинг Ф(c, 0) фокус нуқтасидан ўтиб, катта ўқига перпендикулар
бўлган ватарининг узунлигини топинг.
17-Маъруза
Мавзу: Параллел проексиялаш усули билан ясси ва фазовий
фигураларнинг тасвирини ясаш
Кубда олтита ёқ: тўртта ёни ва икки асосидаги ёқлар бор. Ана шу ёқлар бир-бирига тенг
квадратлардир. Кубнинг ҳамма 12 қирраси бир хил узунликда, яъни унинг бўйи ҳам,
баландлиги ҳам, эни ҳам бир хил.
Призманинг ёқлари чексиз кўп бўлиши мумкин. Уларнинг қарама-қарши томонлари
ўзаро параллел бўлганлиги учун ҳаммаси параллелограммдир.
Цилиндрнинг ён сирти асосларига перпендикуляр (тик) бўлади.
Доира ва унинг иккита радиуси чизилиб, доиранинг шу иккита радиус ўртасида
жойлашган қисми белгиланади. (белгиланган қисм қирқиб ташланади.) Доиранинг қолган
қисмидан конус тайёрланади. Конусни доиранинг тўртта радиуси бўйлаб букланади, сиртнинг
пастки ёқларини ичкарисига букланади. Бунда ҳамма ёқлари учбурчак шаклига келади. Унинг
тагига тўртбурчак шаклидаги асосни ёпиштирилса, тўрт ёқли пирамида ҳосил бўлади.
Куб, призма, цилиндр ва пирамидаларнинг юқоридан кўриниш чизмаси, олд томондан
кўриниш чизмаси тушунтирилиб, чизиб ўргатилади.
Призма
)1,2
53(),5,0(),
2
3,
2
3(),
3
52,2(),
2
3,2( EDCBA 1
49
22
yx
12036
22
yx
82
Куб
83
84
Цилиндар
7. Куб, призма, цилиндр ва пирамидаларнинг ён томонини топиб чизиш ва ўлчам
қўйиш, унинг юзаси ва ҳажмини ҳисоблаб топиш.
Куб, призма, цилиндр ва пирамидаларнинг юқори ва олд томонидан кўринишидан
фойдаланган ҳолда аниқ ўлчам орқали уларнинг ён томонини ҳосил қилинади ва чизмада акс
эттирилади, ўлчам қўйилади. Шу ўлчамлар асосида куб, призма, цилиндр ва пирамидаларнинг
юзаси ҳамда ҳажми ҳисоблаб топилади.
85
Куб Кубнинг ён томонидан кўриниши
Призма Призманинг ён томонидан кўриниши
86
Пирамида Пирамиданинг ён томонидан кўриниши
Цилиндр Цилиндрнинг ён томонидан кўриниши
18. Куб, призма, цилиндр ва пирамидаларнинг учала томонидан яққол моделини
кўрсатиш ва моделга қаламда соя бериш.
Куб, призма, цилиндр, пирамида каби фазовий ҳажмий фигураларнинг олд, юқори ва
ён томонларидан фойдаланиб, аниқ ўлчамларини ўлчаб унинг яққол модели чизилади. Ушбу
моделга қаламда соя бериб соя-ёруғлиги кўрсатилади.
87
Кубга соя бериш
Тўрбурчакли призмага соя бериш Конуснинг сояси
Цилиндрга соя бериш Пирамиданинг сояси
18-Маъруза
Мавзу: Аксонометрия. Полке-Шварс теоремаси Уч ўлчамли фигуралар-фазовий ҳажмий фигуралар ҳисобланиб, улардан куб, призма,
цилиндр, пирамидаларни чизишни ўрганилади. Шунингдек, айнан шу фигураларга ўхшаш
қурилган бинолар ва иншоотларни мисол қилиб келтирилади ва ўрганилади.
Кесим ва қирқимларнинг бир-биридан фарқи.
Юқорида айтганимиздек, деталнинг текислик билан кесишган жойининг ўзини
тасвирласак кесим ҳосил бўлади.
Кесимда фақат кесувчи текисликда ҳосил бўладиган юза чизилади.
Детал текислик билан қирқилганда ҳосил бўладиган кесим юзаси билан бирга текислик
орқасидаги детал қисмлари ҳам қўшиб тасвирланса, қирқим ҳосил бўлади.
Қирқим турлари.
88
Кўринишларда қирқим ҳосил қилиш учун кесувчи текислик орқали кесилган жойлар
фикран аввал бўш, сўнгра бошқа кўринишларда аниқланади. Қирқимга тушган юзалар кесим
каби бир ёқлама штриxланади.
Детаининг устдан кўринишида цилиндрик тешик қирқимда очиқ кўринади. Деталининг
қирқимини яққол тасвирида аниқ кўрсатиш мақсадида унинг қирқилган устки қисми юқорига
кўтарилган
Оддий қирқим.
Детаининг ички тузилишми аниклаш максадида бирта кесишувчи текислик
кўлланилса, оддий кирким дейилади.
Фронтал қирқим.
Кесишувчи а текислик В га параллел, яъни кесишувчи текислик фронтал проекциялар
текислигига параллел
бўлганлиги сабабли
фронтал қирқим
дейилади.
Горизонтал қирқим. Кесувчи текислик горизонтал проекциялар текислигига параллел бўлса горизонтал
қирқим дейилади.
Оғма ва маҳаллий қирқимлар.
Оғма қирқим. Детал сиртининг бирор қисми олтита асосий кўринишнинги ҳеч бир
қирқимда тўғри тасвирланмайдиган бўлса, оғма кесувчи текисликни проекциялар
текисликларидан бирига перпендикуляр, иккинчисига эса қия қилиб ўтказилади ва қирқим
проекция текисликларидан бирига параллел қилиб жойлаштирилади.
Бунинг билан иккита цилиндрик чуқурчалар марказларини бирлаштирувчи симметрик
чизиқ орқали кесувчи текислик ўтказилади. Кесувчи текислик йўналиши бўйича стрелкалар
қўйилиб, А, А билари белгиланади. Кейин, деталнинг 1- ва 2-чегара нуқталаридан ҳамда
89
цилиндрларнинг марказлари (3- ва 4-нуқталар) орқали кесувчи текислик изига перпендикуляр
ёрдамчи чизиқлар ўтказилади. Энди, кесувчи текисликда ҳосил бўлган кесим юзасини
тасвирлаш учун текислик, чизмада кўрсатилгандек, V га параллел бўлгунча бурилади. Кафт
очиқ ҳолатни эгаллайди. Кафтингизда. А, А текисликдаги кесим бор деб фараз қилинг.
Мураккаб қирқим.
Детални биттадан ортиқ текислик орқали кесиш натижасида ҳосил бўлган қирқим
мураккаб қирқим дейилади.
Поғонали қирқим.
Мураккаб синиқ қирқим: Детални ўзаро
кесишувчи текисликлар билан кесишиш натижасида қосил бўлган қирқим синиқ қирқим
дейилади.
90
91
19-Маъруза
Мавзу: Позицион масала. Тўла ва тўла бўлмаган тасвирлар
92
93
94
95
20-Маъруза
Мавзу: Проектив фазо. Проектив геометриянинг асосий фактлари
Режа: 1. Е3 фазонинг Вейль аксиомалари.
2. Вейль аксиомалари системасининг зиддиятсизлиги.
3. Вейль аксиомалари системасининг Гильберт аксиомалари системасига тенг
қучлилиги ҳакида.
Фараз қиламиз, бизга :ЕХЕV3 акслантириш берилган бўлиб, (А, В) векторни
деб белгилаймиз. Бўлардан ташкари акслантиришлар тўплами берилган бўлиб, бу тўпламга
тегишли ҳар бир акслантириш V3 Х V3 R кўринишга эга бўлсин.
Агар қуйидаги аксиомалар ўринли бўлса:
1) Ҳар бир АЕ нуқта ва иҳтиёрий вектор учун шартни
қаноатлантирувчи ягона Х нуқта мавжуд,
2) Ҳар кандай А, В ва С нуқталар учун тенглик бажарилади,
3) акслантиришлар тўплами мусбат аниқланган бу чизиқли формалар тўплами бўлиб,
бунда бучизиқли форма ва мусбат сони учун ,
у ҳолда, Е тўплам Е3 уч ўлчовли ҳакикий Евклид фазоси дейилади.
Кўриш мумкинки, 1-2 аксиомалар уч ўлчовли ҳакикий А3 аффин фазоси структурасини
аниқлайди. (бунда V3 вектор фазо А3 нинг элтувчисидир.)
Шундай қилиб, Е3 Евклид фазоси структурасининг базаси Е,V3,R учта тўпламлар
системасидан иборатки, бунда Е-нуқталар тўплами, V3-уч ўлчовли вектор фазо, R-ҳақиқий
сонлар майдони. Е3 фазо структураси Вейлнинг 1-3 аксиомалар системаси билан
аниқланади.Бу аксиомалар системасини деб белгилаймиз.
Шуни айтиш керакки, биз аналитик геометрияда n- ўлчовли Евқилид фазосининг Вейль
аксиомалари системасини келтирган эдик. N=3 бўлганда Е3 фазо аксиомалари системасини
ҳосил қиламиз. Бу ерда келтирилган аксиомалар системаси олдинги системадан қисман
шаклининг ўзгарганлиги Билан фарқ қилади. Бу ерда келтирилган 3-аксиома Вейль
аксиомалар системасининг E3 фазосининг бошқа аксиомалари системасига тенг қучли
бўлишини таъминлайди. (Хусусан, Гильберт аксиоматикаси билан).
2. Энди системанинг зиддиятсизлигини исботлаймиз. Бунинг учун R ҳақиқий
сонлар тўпламидан фойдаланиб Ушбу аксиомалар системасининг интерпретациясини
кўрамиз.
Ихтиерий а1,а2,а3R сонлари учун кўринишдаги вектор деб атаймиз. Векторларни
қўшиш ва сонга кўпайтириш одатдагидек қуйидагича аниқлаймиз:
ABg
3Vp pAX
ACBCAB
g
R ,),( gyxg gg
W
W
3
2
1
a
a
a
96
+ = ва =
Бу холда V3 вектор фазонинг илгари кўриб ўтилган I1-I8 аксиомалари бажарилишини
текшириш қийин эмас.
Ноль вектор вазифасини устун, базис векторлари сифатида , ва
векторларни олиш мумкин .
Мусбат аниқланган бу чизиқли формалар синфини қуйидагича аниқлаймиз:
, векторлари учун g0( )=x1y1+x2y2+x3y3 учун ,( ) синфни
тўзамиз.
Бу холда Вейлнинг юқоридаги 3-аксиомаси бажарилади.
Ихтиерий m1,m2,m3 ҳақиқий сонлари учун (m1,m2,m3) кўринишдаги ихтиерий сатрни
нуқта деб атаймиз.
: ЕхЕ V3 акслантиришни
((m1,m2,m3),(n1,n2,n3))= кўринишда аниқлаймиз.
Ана шундай кесишувлар қилинса, Вейлнинг 1-2 аксиомалари хам бажарилади.
Хакикатдан хам, текшириб кўрайлик.
1-аксиома. А=(а1,а2,а3) ихтиерий нуқта , ихтиёрий вектор бўлсин.
тенгликни қаноатлантирадиган Х=(х1,х2,х3) ягона нуқта мавжудлигини кўрсатиш керак.
Х1-а1=р1 , х2-а2=р2, х3-а3=р3 тенгликларни қаноатлантирадиган ягона Х(х1,х2,х3) нуқта
мавжуд.
2-аксиома. А=(а1,а2,а3), В=(в1,в2,в3) ,С=(с1,с2,с3) ихтиерий учта нуқталар учун
, ,
Векторлари учун тенглик бажарилади.
Шундай қилиб, қуйидаги теорема исботланди.
1-теорема. Агар ҳақиқий сонлар арифметикаси зидсиз бўлса, у холда Вейлнинг 1-3
аксиомалари системаси хам зидсиз системадир.
Биз аналитик геометрияда V3 вектор фазода вектор кординаталари тушунчасини ва Е3
фазода нуқта кординаталари тушунчасини киритган эдик.
ВЕКТОР.
Элементар геометрия кўрсидан маьлумки:
3
2
1
a
a
a
3
2
1
в
в
в
33
22
11
ва
ва
вa
3
2
1
а
а
а
3
2
1
а
а
а
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
`g
3
2
1
x
x
x
x
3
2
1
y
y
y
y
yx , }{ 0gg
0
33
22
11
mn
mn
mn
3
2
1
р
р
р
р
рХА
33
22
11
ав
ав
ав
ВА
33
22
11
вс
вс
вс
СВ
33
22
11
ас
ас
ас
СА
САСВВА
97
Кесма-тўғри чизиқнинг икки томондан икки нуқта билан чегараланган бўлагидир.
Кесмани характерловчи катталик унинг узунлигидир. Берилган узун кесмани малум
бирлик билан улчашимиз билан биз доимо мусбат сон оламиз. Агар бизга ва
кесмалари берилган бўлса, кесмани кесмага қуйганимизда кесма кесмага
бир неча марта жойлашади. У холда кесма кесмага тула сон марта жойлашиши
мумкин. Бу ердаги сони натурал сон чикиши мумкин, рационал сон чикиши еки иррационал
сон чикиш мумкин. Агар кесманинг m марта кесмага қуйсак кесмага Тула m
марта жойлашса кесма, у холда биз =m натурал сонига эга бўламиз, m марта қуйиб
кесмадан озгина ортиб колса, m+1 марта қуйсак кесма кесманинг охири B нуқтадан
ката бўлиб кетса ( B нуқта кесмани ички нуқтаси бил утма уст тушса) у холда =
ратционал ёки иррационал сон ҳосил бўлади. Агар кесманинг узунлиги 1 га тенг бўлса,
бу холда кесманинг узунлиги бўлади. Умуман ва кесмалар узунликларининг
нисбатини билдирувчи сондир. =1 бўлса, кесмалар тенг (конурент) бўлади.Демак кесмани
факат унинг узунлиги билан характерлаш мумкин.
Энди фазода ихтиерий иккита А ва В нуқта малум бир олдиндан тайинланган тартибда
берилган бўлса, масалан, А биринчи нуқта, В эса иккинчи деб берилган бўлса, бу нуқталар
бизга йуналиши буйича (А дан В га йуналишда) берилган кесма бўлади еки йуналган кесма
бўладики бошлангич нуқтаси А ва охирги нуқтаси В. Худи шу йуналган кесма кискача вектор
дейилади.
Бошлангич нуқтаси А охирги нуқтаси В бўлган вектор кўринишда белгиланади.
Агар векторнинг бошлангич ва охирги нуқталари устма-уст тушса, бундай вектор нулевой
вектор дейилади ва =0 кўринишда езилади.
Вектор узунлигини АВ кўринишда еки (АВ) белгилаймиз ва уни базан векторнинг
абсалют киймати еки модули деб аташади. Векторнинг ўзини, масалан кўринишда еки
йугон бита харф Билан кўринишда белгилаймиз.
Агар икки ва векторлари бир тўғри чизиқка қуйилган бўлса, ва уларнинг
узунликлари тенг ( ва кесмалари тенг ) ва йуналишлари бир хил бўлса бу векторлар
ўзаро тенг векторлардир.
Уша ерда кўрилган интерпретация билан юқорида кўрилган интерпретация
изоморфдир. Демак w аксиомалар системасининг хар кандай иккита интерпретациялари
изаморфдир. Бундан кўринадики, Вейлнинг 1-3 аксиомалари системаси тулик системани
ташқил қилади.
W аксиомалар системасидан фойдаланиб , уч ўлчовли Е3 фазода мавжуд бўлган барча
тушунчаларни келтириш мумкин.
21-Маъруза
Mavzu: Проектив геометрия предмети. Нуқталарнинг гармоник тўртлиги.
Проектив текисликдаги иккинчи тартибли чизиқлар ва уларнинг классификацияси
Режа:
1. Е3 евклид фазосида тўғри чизиқлар ва текисликлар.
2. Гильбертнинг I гуруҳ аксиомаларининг зидсизлиги.
3. Параллел тўғри чизиқлар.
4. Текшириш учун савол ва топшириқлар.
1. Е3 евклид фазосида тўғри чизиқлар ва текисликлар.
ВА
`FЕ
FE
BA
FE
BA
FE
BA
FE
BA
BA
FE
BA
FE
BA
FE
q
р
FE
BA
BA
FE
BA
AA
BA
BA
DC
BA
DC
98
Биз ўтган машғулотимизда Е3 евклди фазосининг Вейль томонидан тавсия қилинган. 1-
3 аксиомалари системаси билан танишдик ва системанинг зидсиз эканлигини исботладик. Бу
аксиомалар системасини деб белгилаймиз.
Е3 евклид фазоси учун Гильберт томонидан киритилган аксиомалари системаси
(5 гуруҳда 20 та аксиома) ёрдамида киритилган барча тушунчалар Вейл аксиомалари
системаси ёрдамида ҳам киритилиши мумкин эканлигини кўриб чиқамиз. Бунинг учун
системада тўғри чизиқ ва текисликлар қандай аниқланиши билан танишиб чиқамиз, тўғри
чизиқ ва текисликларнинг параллел масалаларини кўриб ўтамиз.
Аввало шуни такидлаймизки, Е3 евклид фазосида чексиз кўп нуқталар мавжуд.
Энди Е3 фазода тўғри чизиқ ва текисликлар қандай аниқланишини эслаб ўтамиз.
Айтайлик V3-уч ўлчовли вектор фазо бўлиб, Lk унинг бир ўлчовли ёки икки ўлчовли
қисм вектор фазоси бўлсин (k=1 ёки 2). Lk қисм вектор фазо ёрдамида Е3 евклид фазоси
нуқталари тўпламида бинар муносабатни қуйидагича аниқлаймиз.
Айтайлик A,BE3 ихтиёрий нуқталар бўлсин. Агар бўлса, А ва В нуқталар
муносабатда бўладилар деб атаймиз ва АВ деб белгилаймиз. Е3 да киритилган бундай
муносабат шу Е3 фазода эквивалентлик муносабати бўлишини исботлаш қийин эмас.
муносабат Е3 фазо нуқталари тўпламини эквивалентлик синфларига ажратади.
k=1 бўлганда ҳар бир эквивалентлик синфига тегишли нуқталар тўпламини тўғри чизиқ
деб, k=2 бўлганда эса ҳар бир эквивалентлик синфини текислик деб атаймиз. Lk қисм вектор
фазони тўғри чизиқнинг (k=1 да) ёки текисликнинг (k=2 да) йўналтирувчи қисм фазоси деб
аталади. Lk тегишли ҳар бир векторни тўғри чизиққа (текисликка) параллел вектор деб
аталади.
Шундай қилиб, Е3 фазодаги ҳар бир тўғри чизиқ ўзининг битта А нуқтаси ва L1
йўналтирувчи қисм фазоси (ёки битта нолдан фарқли векторининг берилиши) нинг
берилиши билан тўлиқ аниқланади. Шунга ўхшаш Е3 фазонинг ҳар бир текислиги ўзининг
битта А нуқтаси ва L2 йўналтирувчи қисм фазоси (ёки чизиқли эркли
векторларининг) берилиши билан тўлиқ аниқланади. Келгусида А нуқтадан ўтувчи ва L қисм
йўналтирувчи фазога эга бўлган тўғри чизиқ (ёки текислик) ни (А,L) деб белгилаймиз.
2. Гильбернинг 1 гуруҳ аксимоаларининг
зидсизлиги
Энди Гильберт аксиомаларинин 1 гуруҳ тегишлилик аксиомалари системасининг
I1-I8 аксиомалари Вейл аксиомалари назариясида ҳам ўринли эканлигини
кўриб чиқамиз. Бошқача айтганда I гуруҳ Гильберт аксиомалари системасидаги ҳар бир
аксиомани аксиомалар системасига асосланган ҳолда теорема сифатида исботлаш
мумкинлигини кўриб ўтайлик.
I3 ва I8 аксиомаларнинг бажарилишини текшириш қийин эмас. Ҳақиқатан ҳам, айтайлик
фазода берилган координаталар системаси бўлсин. Вейлнинг 1-аксиомасига кўра,
, тенгликларнинг қаноатлантирадиган учта A,B,C нуқталар
мавжуд. 0, A, B нуқталар бир тўғри чизиқда ётмайди, 0, A, B, C нуқталар эса бир текисликда
ётмайди.
10. (I1 ва I2 аксиомалар). Ҳар қандай иккита А ва В нуқталар орқали тўғри чизиқ ўтади.
Исбот. А нуқтадан ўтувчи ва векторга параллел тўғри чизиқ В нуқтадан ҳам ўтади.
Энди фараз қилайлик, А ва В нуқталардан ўтувчи d тўғри чизиқдан яна d` тўғри чизиқ
ҳам ўтади десак ва d` нинг йўналтирувчи қисм фазоси, L1` бўлса, у ҳолда бўлади.
Демак, d ва d` тўғри чизиқларининг йўналтирувчи қисм фазолари устма – уст тушади, яъни
W
H
W
W
kLAB
1LP
2, Lba
H
W W
Г
W
30 Ecba
bBaA 0,0 CC 0
AB
`
1LAB
99
L1=L1` бўлади. Бундан эса d ва d` тўғри чизиқларининг устма – уст тушиши келиб чиқади. I1
ва I2 аксиомаларнинг бажарилиши исботланди.
Худди шунга ўхшаш қуйидаги аксиомаларнинг бажарилишини исботлаш қийин эмас:
20. (I4 ва I5 аксиомалар). Бир тўғри чизиқда ётмаган ҳар қандай A,B,C учта нуқталар
орқали ягона текислик ўтади.
30. (I6 аксиома). Агар d тўғри чизиқнинг иккита A ва B нуқталари текисликда ётса, у
ҳолда d тўғри чизиқнинг ҳар қандай нуқтаси ҳам текисликда ётади.
Исбот. Айтайлик (А, L1) –d тўғри чизиқ, (A,L2) эса текислик бўлсин. Bd эканлигидан
бўлиб, L1 қисм фазо векторга тортилган вектор фазо бўлади. Шартга кўра B
дир. Демак, ҳам бўлади. Демак, L1L2 дир. Агар N-d тўғри чизиқнинг ихтиёрий
нуқта бўлса, у ҳолда бўлиб, ҳам бўлади, яъни N келиб чиқади. 30 тасдиқ
исботланди.3
40. (I7 аксиома). Агар иккита ва ` текисликлар А умумий нуқтага эга бўлса, у ҳолда
бу текисликлар умумий тўғри чизиққа эга бўлиб, ва ` текисликларнинг умумий нуқталари
шу тўғри чизиқда ётади.
Исбот. Айтайлик текислик (A,L), ` текислик (A`,L`) бўлсин. L ва L` қисм вектор
фазолар устма – уст тушмайди ва улар V3 фазога тегишлидир, шунинг учун LL`=W бўлиб,
W-бир ўлчовли вектор қисм фазо бўлади.
WL, WL` эканлигидан d=(A,W) тўғри чизиқнинг барча нуқталари ва `
текисликларда ётади, яъни d тўғри чизиғи ва ` текисликларнинг умумий тўғри чизиғи
бўлади. Айтайлик N- ва ` текисликларнинг ихтиёрий умумий нуқтаси бўлсин. Бу ҳолда
ва бўлиб, бўлади. Бундан эса Md келиб чиқади.
3. Параллел тўғри чизиқлар ва
текисликлар.
Аввало қуйидаги леммани исботлаймизки, у параллел тўғри чизиқлар ҳақидаги
теоремани исботлаш учун зарур бўлади.
Лемма. Агар иккита тўғри чизиқ битта текисликда ётса ва уларниг йўналтирувчи қисм
фазолари устма – уст тушмаса, у ҳолда бу икки тўғри чизиқ келишади.
Исбот. Айтайлик ( ) ва ( ) тўғри чизиқлар текисликда ётсин. Шартга кўра
ва векторлари коллинеар эмас, шунинг учун текисликнинг йўналтирувчи қисм фазоси L2
нинг базисини ташкил қилади. Демак, текисликка параллел векторини
(1)
кўринишда чизиқли ифодалаш мумкин.
1-аксиомага асосан ( даги), , мавжуд. Кўриш мумкинки,
. Охирги тенгликларни (1) га қўйиб, ёки
тенгликни оламиз. 2-аксиомага кўра . Демак, 1-аксиомани ҳам
ҳисобга олиб шундай хулосага келамизки, N ва N` нуқталар устма – уст тушади. шунинг учун
берилган ва тўғри чизиқлари умумий нуқтага эга. Лемма исботланди.
Бир текиликда ётиб, умумий нуқтага эга бўлмаган икки тўғри чизиқ параллел дейилади.
Қуйидаги теорема икки тўғри чизиқнинг паралеллик шартини ифодалайди.
1LAB AB
2LAB
1LAN
2LAN
LAN `LAN WAN
PA, qB, p
q
AB
qpAB
WpAN qBN
),(`),,( qBNpAN `BNANAB
BNANAB ` ANAN ̀
),( pA ),( qB
100
1-теорема. Иккита хар хил тўғри чизиқлар параллел бўлишлари учун уларнинг
йўналтирувчи қисм фазолари устма – уст тушишлари зарур ва етарлидир.
Исбот. Айтайлик (A,L) ва (B,L) – тўғри чизиқлари умумий L йўналтирувчи қисм фазога
эга бўлсин. Бу хилда L бўйича аниқланадиган бинар муносабатнинг аниқланишига кўра,
берилган тўғри чизиқлар турлича эквивалент синфларга тегишли бўлади. Демак, берилган
тўғри чизиқлар умумий нуқтага эга бўлмайди. Бундан эса ўз навбатида бу тўғри чизиқлар А
нуқтадан ўтувчи ва ва векторларига параллел текисликда ётади. Демак, берилган
тўғри чизиқлар параллелдир.
Теореманинг етарли қисми юқоридаги леммадан келиб чиқади. Теорема исботланди.
2-теорема. Берилган d тўғри чизиқда ётмаган берилган А нуқта орқали d тўғри чизиққа
параллел бўлган фақат битта тўғри ўтади.
Исбот. Айтайлик d тўғри чизиқ L йўналтирувчи қисм фазога эга бўлсин. 1-теоремага
кўра А нуқтадан ўтувчи (A,L) тўғри чизиғи d тўғри чизиққа параллердир. Энди, (A,L) тўғри
чизиқнинг ягоналигини исботлаймиз. Айтайлик, (A,L`) – А нуқтадан ўтиб, d га параллел ихтиё
рий тўғри чизиқ бўлсин. 1-теоремага кўра L` ва L қисм фазолар устма – уст тушади,
демак, (A,L) ва (A,L`) тўғри чизиқлари устма – уст тушади. Теорема исботланди.
Натижа. назарияда Гильбертнинг V параллеллик аксиомаси ўринлидир.
Агар иккита текислик умумий нуқтага эга бўлмаса, у ҳолда текисликлар параллел
дейилади.
Тўғри чизиқларнинг параллеллиги ҳақидаги юқорида келтирилган 1-2 теоремаларга
ўхшаш иккита теоремаларни келтириш мумкинки, бу теоремаларни икки текисликларнинг
параллелик аломатларини ифодалайди. Бундай теоремалар ва уларнинг исботлари юқоридаги
1-2 теоремаларга ўхшаш келтириш мумкин.
4. Текшириш учун савол ва топшириқлар.
10. Вейл аксиоматикасига асосланган назарияда тўғри чизиқ ва текисликлар
қандай аниқланади.
20. Гильбертнинг I3 ва I8 аксиомаларининг назарияда бажарилишини
исботланг.
30. I1 ва I2 аксиомаларнинг назарияда ўринли эканлигини текширинг.
40. I4 ва I5 аксиомаларнинг назарияда ўринли эканлигини текширинг.
50. I6 ва I7 аксиомалар назарияда ўринлими?
60. Кесишувчи тўғри чизиқлар ҳақидаги лемманинг исботини келтиринг.
70. Параллел тўғри чизиқлар ҳақидаги 1-теореманинг мазмунини тушунтиринг.
80. Параллел тўғри чизиқ ўтказиш ҳақидаги 2-теореманинг исботини тушунтиринг.
22-Маъруза
Mavzu: Проектив геометрия нуқтаи назардан Евклид геометрияси. Геометрия
асослари. Н.И.Лобачевский ва унинг геометрияси
Режа:
1. Нур, бурчак, кесма.
2. II гуруҳ Гильберт аксиомаларининг зидсизлиги.
3. Кесма ва бурчакларнинг тенглиги.
4. III гуруҳ Гильберт аксиомаларининг зидсизлиги.
5. Кесма узунлиги.
6. IV гуруҳ Гильберт аксиомаларининг зидсизлиги.
7. Текшириш учун савол ва топшириқлар.
1. Нур, бурчак, кесма.
Lp AB
)( WГ
)( WГ
)( WГ
)( WГ
)( WГ
)( WГ
101
Айтайлик d тўғри чизиқнинг йўналтирувчи қисм фазоси L1 бўлсин.
векторлар тўпламида йўналишдошлик муносабатини деб белгилаб, шу муносабатни
қуйидагича киритамиз: Агар >0 сони учун тенглик бажарилса, у ҳолда
вектори векторига йўналишдош деб атаймиз. тўпламда киритилган бу
йўналишдошлик муносабати шу тўпламда эквивалентлик муносабати бўлади. Ҳақиқатан ҳам
учун бўлиб, бўлади. Агар бўлса, у ҳолда ,
бўлиб, ва бўлади. Шунга ўхшаш транзитивлик хоссаси ҳам исботланади.
Шундай қилиб, даги муносабат эквивалентлик муносабати бўлиб, бу муносабат
тўпламни фақат иккита эквивалентлик синфларига ажратади. Буни исботлаймиз. Айтайлик
ихтиёрий векторлари йўналишдош эмас, демак ва эквивалентлик синфлари
устма – уст тушмайди. ихтиёрий векторни , кўринишда ёзишимиз
мумкин. Агар бўлса, у ҳолда бўлиб, бўлса, бўлади.
ва синфларнинг ҳар бири d тўғри чизиқдаги йўналиш деб аталади.
Шундай қилиб, хар бир тўғри чизиқда фақат иккита йўналишлар мавжуд, холос. Агар
ва бўлса, у ҳолда ва векторларини қарама – қарши йўналган дейилади ва
деб белгиланади.
4-Лемма. Агар бўлса, у ҳолда ва бўлади.
Исбот. Айтайлик бўлсин. Бу ҳолда >0 учун .
Бундан эса эканлигидан бўлади.
эканлигидан бўлади. Лемма исботланди.
Айтайлик d – ихтиёрий тўғри чизиқ бўлсин, 0d нуқтани олайлик. 0 – тўғри чизиқ
йўналишларидан бири бўлсин. бўлган барча М нуқталар тўплами h 0 нуқтадан
чиқувчи нур дейилади. 0 йўналиш бу h нурнинг йўналиши дейилади. h нинг барча нуқталари
d тўғри чизиққа тегишлидир.
d тўғри чизиқнинг ихтиёрий нуқтасидан чиқувчи фақат 2 та нур мавжуд, холос. Бу
нурлар тўлдирувчи нурлар дейилади. 0 нуқта бу нурлардан бирортасига ҳам тегишли эмас, 0
дан фарқли ҳар қандай d нинг нуқтаси нурлардан бирига тегишли бўлади.
Демак, d тўғри чизиқнинг 0 нуқтасидан чиқувчи тўлдирувчи нурлар h ва h` бўлса, d
тўғри чизиқ нуқталари тўплами hh`{0} тўплам билан устма – уст тушади.
0 нуқта ва ундан чиқувчи иккита h ва h` нурлардан иборат фигура (шакл) бурчак
дейилади. Агар h ва h` нурлар тўлдирувчи нурлар бўлса, бурчакни ёйиқ бурчак дейилади.
Эни кесма тушунчасини киритиш учун икки нуқтанинг орасида ётадиган нуқта
тушунчасини киритамиз.
Агар бўлса, у ҳолда N нуқта A ва B нуқталар орасида ётади дейилади ва
A – N – B деб белгиланади.
2. II гуруҳ Гильберт аксиомаларининг
зидсизлиги.
Энди гильбертнинг II1-II4 аксиомаларининг назарияда бажарилиши
исботлаймиз.
}0{\1
L
ba a
b
a aa 1 aa ba ba 0
ab
1 ab
aa
Kb
K
x ax 0
0a
Kx 0b
Kx
aK
bK
aKx
bKx a b
ba
ba aba bba
ba ba
01.)1( bbbba bba
ab aba
0OM
NBAN
)( WГ
102
а) Айтайлик A – N – B бўлсин. Бу ҳолда бўлиб, 1-леммага асосан,
ёки бўлади. Бундан эса N нуқтанинг (B, ) тўғри чизиқда
ётиши келиб чиқади, яъни A,N,B нуқталар бир тўғри чизиқда ётади. ва
лардан ва векторлари нолдан фарқли эканлиги, яъни A,N,B
нуқталар турли нуқталар эканлиги келиб чиқади. дан бўлиб, B – N
– A дир. (II аксиома бажарилади).
б) Энди, айтайлик А ва В лар иккита ихтиёрий нуқталар бўлсин. Вейлнинг 1-
аксиомасига кўра тенгликни қаноатлантирадиган C нуқта мавжуд. Бу
тенгликдан бўлиб, A – B – C бўлади. (II2 аксиома ҳам бажарилади).
1-теорема. Тўғри чизиққа тегишли учта нуқталардан фақат биттаси қолган иккитаси
орасида ётади.
Исбот. Аввало тўғри чизиқнинг берилган учта А,В,С нуқталаридан камида биттаси
қолган иккитаси орасида ётишини исботлаймиз. ва векторларни олайлик. Тўғри
чизиқда фақат иккита йўналиш борлигидан, бу векторлардан камида иккитаси йўналишдош
бўлади. Қуйидаги уч ҳоллар бўлиши мумкин: а) ; б) ; в) .
а) ҳолда A – B – C, б) ҳолда B – C – A в) ҳолда C – A – B.
Демак, берилган учта нуқталардан ҳеч бўлмаганда биттаси қолган иккитаси орасида
ётади. Биз A – B – C бўлсин деб оламиз.
Таърифга кўра, бўлиб, 1-леммага асосан ёки
. Бундан эса, бўлиб, А нуқта C ва B нуқталар орасида ётмайди. Шунга
ўхшаш, С нуқта А ва В нуқтлар орасида ётмаслиги исботланади.
Натижа. назарияда Гильбертнинг II3 аксиомаси бажарилади.
Энди Гильбертнинг II4 аксиомаси – Паш аксиоманинг бажарилишини исботлаймиз.
Бунинг учун текисликда нуқтанинг координаталаридан фойдаланамиз. Махлумки
координаталар системасида тенгликни қаноатлантирадиган x,y сонлари М
нуқтанинг координаталари дейилади.
Агар A(x1,y1), B(x2,y2) бўлса, бўлади.
2-лемма. М(x,y) нуқта A(x1,y1) ва B(x2,y2) нуқталар орасида ётиши учун
(1)
тенгликни қаноатлантирадиган R мусбат сонининг мавжуд бўлиши зарур ва
етарлидир.
Исбот. Айтайлик, A – N – B бўлсин, у ҳолда бўлиб,
тенгликни қаноатлантирадиган >0 сани мавжуд. Бу тенгликни коорднаталарда ёзсак, (x-
x1)=(x2-x), y-y1=(y2-y) (2) бўлиб, бундан (1) тенгликлар келиб чиқади.
Аксинча, айтайлик N нуқтанинг x,y координаталари (1) тенгликларни қаноатлантирсин.
Бу ҳолда (2) тенгликлар >0 учун ўринли бўлиб тенглик келиб чиқади. ва
лар нолдан фарқли векторлар бўлганлиги учун ёки A – N – B. Лемма
исботланди.
Бу исботланган Леммадан кўринадики, А ва В нуқталар қандай танланса ҳам улар
орасида ётувчи чексиз кўп нуқталар мавжуд.
NBAN
NBNBAN NBAB AB
NBAN
NBAB BNAN, AB
NBAN NABN
0, ABBC
BCAB
BCAB, CA
BCAB CABC ABCA
BCAB ABBCAB
ABAC ABCA
)( WГ
210 ee
21eyexOM
),(2212
yyxxAB
1,
1
2121yy
yxx
x
NBAN NBAN
NBAN AN
NB NBAN
103
А ва В нуқталар ва улар орасида ётувчи барча нуқталар тўплами кесма дейилади ва АВ
ёки ВА деб белгиланади.
2-теорема. Айтайлик, А,В,С – берилган учта нуқта, d-эса текисликнинг бу нуқталаридан
ўтмайдиган ихтиёрий тўғри чизиғи бўлсин. Агар d тўғри чизиқ АВ кесмани кечиб ўтса, у ҳолда
бу тўғри чизиқ ВС ва АС кесмалардан камида биттасини кесиб ўтади.
Исбот. Текисликда координаталар системасини шундай танлаймизки, 0d ва
бўлсин. А(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) координаталарга эга бўлсин. Бу нуқталар d да
ётмаганлиги учун y10, y20, y30. Айтайлик d тўғри чизиқ АВ кесмани N(x,y) нуқтада кесиб
ўтсин. 2-леммага кўра R мусбат сони топиладики, (1) тенгликлар ўринли бўлади. Nd
эканлигидан y=0 бўлиб, y1+y2=0 келиб чиқади. Охирги тенгликдан y1 ва y2 лар турли
ишораларга эга эканлиги келиб чиқади. Қуйидаги икки ҳол бўлиши мумкин: а) y2y3<0; б)
y1y3<0. а) ҳолда d тўғри чизиғи ВС кесмани, б) ҳолда эса АС кесмани кесиб ўтади. Булардан
биринчисини исботлайлик.
сони учун бўлган координати нуқтани H
деб белгилайлик. y0=0 бўлганлиги учун Hd. Иккинчи томондан 2-леммага асосан B – H – C
бўлади. Демак, d тўғри чизиқ ВС кесмани кесиб ўтади.
Натижа. назарияда Паш аксиомаси бажарилади. Биз юқорида Гильбертнинг
I,II гуруҳи аксиомалари назарияда бажарилишини исботладик. Шунинг учун бу
аксиомалар ёрдамида ярим текислик тушунчасини Гильберт аксиомаларидаги сингари
киритиш мумкин.
3. Кесма ва бурчакларнинг тенглиги
Вейлнинг 3-аксиомасидан бичизиқли формалар тўпламига тегишли ихтиёрий
бичизиқли формани олайлик. Агар АВ ва СD кесмалар учун
(3)
тенглик бажарилса, у ҳолда АВ ва СD кесмалар тенг дейилади ва AB=CD деб
белгиланади.
(3) тенглик қаноатлантирадиган ҳеч бўлмаганда битта g бичизиқли форма
мавжуд бўлса, у ҳолда AB=CD бўлиши 3-аксиомалардан келиб чиқади.
(3) тенглик қуйидаги тенгликларга тенг кучлидир:
.
Ушбу тенгликлар ўринли бўлганлиги учун кесмаларнинг тенглиги буларнинг А ва В
учларини қандай тартибда олинишининг аҳамияти йўқдир.
Кесмалар тенглигининг келтирилган таърифидан фойдаланиб Гильбертнинг III1-III3
аксиомаларининг бажарилиши исботлаш мумкин.
4. III гуруҳ Гильберт аксиомаларининг
зидсизлиги.
10. Айтайлик АВ қандайдир кесма, h` эса А` нуқтадан чиқувчи ихтиёрий нур бўлсин.
Бундай ҳолда АВ=A`B` тенгликни қаноатлантирадиган ягона B`h` нуқта мавжуд бўлади.
Исбот. h` нурнинг йўналиши аниқлайдиган векторлардан бирини деб белгилайлик.
Бундай ҳолда h` нурнинг ихтиёрий N` нуқтаси тенглик ёрдамида
аниқланади. A`N`=AB бўлиши учун
210 ee
de //1
3
2
y
y
1;
1
32
0
32
0
yyy
xxx
)( WГ
)( WГ
g
gg
),(),( CDCDgABABg
)( gg
),(),(),,(),(),,(),( DCDCgBABAgCDCDgBABAgDCDCgABABg
p
0,`` xpxNA
104
ёки
тенгликларнинг бажарилиши зарур ва етарлидир. Охирги тенгликлардаги g бичизиқли
форма тўпламдаги қандай бичизиқли формуладир.
Охирги тенгсизликни қуйидагича ёхишимиз мумкин:
ва >0 эканлигидан охирги тенгламани қаноатлантирадиган
ягона x>0 сони мавжуд. Бу х сонига ягона B` нуқта мос келади. Тасдиқ исботланди. (III1
аксиома).
20. Агар A – B – C, A` - B` - C`, AB=A`B`, BC=B`,C` бўлса, у ҳолда AC=A`C` бўлади.
исбот. Шартга кўра
(4)
тенгликларни ёзишимиз мумкин.
Агар бўлса, у ҳолда ва
. AB=A`B` ва BC=B`C` тенгликларни ҳисоб олиб, охирги
тенгликлардан =` эканлигини кўриш қийин эмас.
Энди, 2-аксиомага асосан ва тенгликлар
ўринлидир. (4) тенгликлардан ва =` эканлигидан ,
тенгликларни оламиз. Бу тенгликлардан эса тенгликни, яъни
AC=A`C` ни оламиз. Тасдиқ (III3 аксиома) исботланди.
Агар ихтиёрий бичизиқли формага нисбатан қўшма бўлган ва векторлари
перпендиякуляр (ортогонал дейилади). 3-аксиомадан бевосита келиб чиқадики, ва
вектори қўшма бўладиган тўпламда ҳеч бўлмаганда битта g бичизиқли форма мавжуд
бўлса, бу ҳолда ва векторлари перпендикуляр бўлади.
Маълумки, V3 вектор фазода ҳар икитаси перпендикуляр бўлган базис векторга эга
бўлган ҳеч бўлмаганда битта базис мавжуддир.
Е3 Эвклид фазосида берилган иккита тўғри чизиқларнинг йўналтирувчи қисм фазолари
перпендикулр бўлса, у ҳолда бундай икки тўғри чизиқлар перпендикуляр дейилади. Шунга
ўхшаш чизиқ билан текисликнинг перпендикулярлиги тушунчалари аниқланади. Бу
таърифлардан фойдаланиб, умумтаълим мактаблари, академик лицей ва касб ҳунар
коллежлари геометриялари келтириладиган тўғри чизиқ ва текисликларнинг
перпендикулярлиги ҳақидаги барча теоремаларни исботлаш мумкин.
Энди кесма узунлиги тушунчасини киритамиз.
5. Кесма узунлиги
Ихтиёрий PQ кесма олиб, уни бирлик кесма деб атаймиз. Бу PQ кесмага тенг бўлган ҳар
қандай P`Q` кесмани ҳам бирлик кесма деб атаймиз.
Аввало қуйидаги леммани исботлайлик.
3-лемма. Агар PQ бирлик кесма тайинланган бўлса, у ҳолда тўпламда
),()̀`,̀`( ABABgNANAg ),(),( ABABgpxpxg
g~
),(),(2 ABABgppgx
0),( gpg ),( ABABg
0`,0,̀````, CBBABCAB
gg ~ ),(),( 2 BCBCgABABg
)̀`,̀`()̀`,̀`( 2 CBCBgBABAg
ACBCAB `````` CACBBA
BCAC )1( ``)1(`` CBCA
)̀`,̀`(),( CACAgACACg
gg ~ a b
a bg~
a b
g~
105
(5)
тенгликни қаноатлантирадиган ягона ихтиёрий бичизиқли форма бўлсин. Бу g`
форма мусбат аниқланган бўлганлиги учун сони нодан фарқлидир.
бичизиқли формани олсак, бу лемманинг шартларини қаноатлантиради, чунки
бўлади.
Энди бундай бичизиқли форманинг ягона эканлигини исботлаймиз. Айтайлик,
бичизиқли форма ҳам (5) тенгликни қаноатлантирсин. бичиўиқли формалар
тўпламининг таърифига (3-аксиома) кўра дир. Шунинг учун
. Бундан эса =1, яъни g1=g бўлади. Лемма исботланди.
бўлган ҳолда g бичизиқли форма PQ бирлик кесмага мос келувчи
форма деб атаймиз.
Шундай қилиб, агар Е3 фазода PQ бирлик кесма олинган бўлса, у ҳолда V3 вектор фазо
евклид фазосига айланади ва унда векторларнинг скаляр кўпайтмасини g бичизиқли форма
ёрдамида аниқлаш мумкин.
сони векторнинг узунлиги ёки нормаси дейилади. бўлса,
векторни бирлик вектор дейилади.
базиснинг векторлари бирлик векторлар бўлиб, уларнинг ҳар иккитаси ўзаро
перпендикуляр бўлса, бундай базис ортонормал базис дейилади. V3 вектор фазада ортонормал
базислар мавжудлиги аналитик геометриядан бизга маълум. ортонормал базис бўлса,
у ҳолда координаталар системасини тўғри бурчакли дейилади.
Танлаб олинган PQ бирлик кесма бўйича АВ кесманинг узунлиги деб вектор
нормасига айтилади, яъни g-PQ бирлик кесмага мос келувчи бичизиқли форма бўлса, у ҳолда
(6)
Кесма узунлигинининг асосий хоссаларини қуйидаги теорема кўринишида келтирамиз.
3-теорема. 10. Агар иккита кесмалар тенг бўлса, у ҳолда уларнинг узунликлари ҳам тенг
бўлади.
20. Агар A – B – C бўлса, у ҳолда .
30. Бирлик кесманинг узунлиги бирга тенг.
Исбот. PQ бирлик кесма, g эса унга мос келувчи бичизиқли форма бўлсин.
1) Агар AB=CD бўлса, у ҳолда бўлиб, (6) га асосан
бўлади.
2) Айтайлик A – B – C. Бу ҳолда таърифга кўра ,
бўлиб,
(7)
1),( PQPQg
gg ~
mPQPQg ),(̀
`1
gm
g
1,(̀
),( m
PQPQgPQPQg
gg ~
gg ~1 g~
gg 1
),(),(1
PQPQgPQPQg
1),( PQPQg
),( aaga a 1a a
},,{ kji
},,{ kji
kji ,,0
AB
),( ABABgAB
ACBCAB
),(),( CDCDgABABg
CDAB
BCAB .0 BCABAC
DCAC )1(
106
(6) формулага асосан .
Демак, .
3) g-PQ бирлик кесмага мос келувчи бичизиқли форма эканлигидан ,
яъни . Теорема исботланди.
4-теорема. Е3 фазонинг ихтиёрий учта А, В ва С нуқталари учун
тенгсизлиги ўринли бўлиб, унда тенглик ишораси фақат ва фақат A – B –
C бўлган ҳолдаги ўринли бўлади.
Энди III4 ва III5 Гильберт аксиомаларининг назарияда бажарилишини
исботлаймиз. Бунинг учун аввали икки нуқта орасидаги масофа, харакат ва унинг хоссалари
каби тушунчаларни эслаб ўтамиз.
А ва В нуқталар орасидаги масофа деб АВ кесма узунлигига айтилади. Е3 фазода икки
нуқта орасидаги масофани ўзгартирмайдиган алмаштириш харакат дейилади. Аналитик
геометрияда ўрганиб чиқилган харакат ва унинг хоссалари Е3 фазода ҳам ўринли эканлигини
текшириб чиқиш қийин эмас.
Маълумки ҳаракатда кесма кесмага, нур нурга, ярим текислик яна ярим текисликка,
бурчак бурчакка ўтади. текисликда 0 нуқта, H нур ва ярим текислик аниқланадиган нуқталар
тўпламини баъзан байроқ деб аталиб, уни (0,h,) кўринишда белгиланади (1-чизма).
1-чизма
Агар, (0,h,) ва (0`,h`,`) – текисликнинг ихтиёрий байроқлари бўлса, у ҳолда (0,h,)
байроқни (0`,h`,`) байроққа ўтказадиган ягона харакат мавжуд.
F ва F` фигуралардан бирини иккинчисига ўтказадиган харакат мавжуд бўлса, Fва F`
фигуралар тенг дейилади. Хусусий ҳолда hk бурчак h`k` бурчакка (hk=h`k`) дейилади,
агарда f ҳаракат мавжуд бўлиб, h`=f(h) ва k`=f(k) бўлса, яъни hk бурчакни h`k` бурчакка
ўтказадиган f ҳаракат мавжуд бўлса.
назариясида Гильбертнинг III4 ва III5 аксиомалари бажарилиши кўрамиз.
Соддалик учун уларнинг бажарилишини текисликда кўриб ўтамиз.
5-теорема. Айтайлик hk – ёйиқ бўлмаган бурчак, (0`,h`,`) эса бирорта байроқ бўлсин.
Бу ҳолда ` ярим текисликда 0` нуқтадан чиқувчи ва hk=h`k` тенгликни
қаноатлантирадиган ягона k` нур мавжуд.
Исбот. Айтайлик, (0,h,) – байроқ бўлиб, (h,k) бурчакнинг учи 0 нуқтада ётиб k нур
ярим текисликда ётсин.
(0,h,) байроқни (0`,h`,`) байроққа ўтказадиган ҳаракат f бўлиб, бунда k`=f(k) бўлсин.
Бу ҳолда k` - изланаётган нур бўлади. Энди k` - теорема шартини қаноатлантирадиган ягона
нур эканлигини исботлаймиз. Ҳақиқатан ҳам, айтайлик k`` - теорема шартини
қаноатлантирувчи иккинчи нур бўлсин. Бу ҳолда hkl=h`k``. Бундан эса шундай f` ҳаракат
мавжудки, бунда h`=f`(h), k``=f`(k) бўлади. Бундай ҳолда f` ҳаракат (0,h,) байроқни (0`,h`,`)
байроққа ўтказади. Демак f ва f` ҳаракатлар устма – уст тушади, яъни k` ва k`` нурлар ҳам
устма – уст тушади. Теорема исботланди.
Қуйидаги теорема гильбертнинг III5 аксиомаси ҳам назарияда ўринли
эканлигини кўрсатди.
BCACBCBCgABABgAB )1(),(),(
BCABBCBCAC
1),( PQPQg
qPQ
BCABAC
BCABAC
)( WГ
)( WГ
)( WГ
0 h
107
6-теорема. (Учбурчаклар тенглигининг биринчи аломати).
Агар AB=A`B`, AC=A`C`, ва A=A` бўлса, у ҳолда ABC=A`B`C` бўлади.
Исбот. Шартга кўра А=A` бўлиб, АВ нурни А`B` нурга ўтказувчи f ҳаракат мавжуд
ва бу ҳаракатда АС нур А`C` нурга ўтади. Энди B``=f(B) ва C``=f(C) нуқталарни оламиз.
АВ=A`B` бўлиб, теорема шартига кўра АВ=A`B` дир. У ҳолда B` ва B`` нуқталар устма – уст
тушади деган хулосага келамиз. Шунга ўхшаш C` ва C`` нуқталар ҳам устма – уст тушади.
Демак, A`B`C учбурчакнинг f ҳаракатдаги акси АВС бўлади, яъни АВС=А`В`С`.
Теорема исботланди.
6. IV гуруҳ (узлуксизлик) Гильбертнинг
аксиомаларининг зидсизлиги.
IV гуруҳ Гильберт аксилмалари системасини IV1 – (Архимед аксиомаси) ва IV2 (Контор
аксиомаси) аксиомалардан иборат деб оламиз. Маълумки IV1 ва IV2 аксиомалар IV
Декекинднинг узлуксизлик аксиомасига тенг кучлидир.
назарияда IV1 ва IV2 аксиомаларини бажарилишини исботлаймиз.
Айтайлик Ав ва CD – ихтиёрий кесмалар бўлсин. Юқорида келтирилган 10 хоссага кўра
АВ нурда A1,A2,…,An нуқталар мавжудки, булар учун A – A1 – A2, A1 – A2 – A3, An-2 – An-1 –
An, ва AA1 = A1A2 = … An-1 An =CD муносабатлар ўринли бўлади.
CD кесмани бирлик кесма сифатида қабул қиламиз. 3-теоремага асосан
бўлиб, . Агар n ни бўладиган қилиб танланса,
у ҳолда бўлади ва 3-теореманинг 20 пунктига асосан A – B – An бўлади. Шундай
қилиб назарияда IV1 Архимед аксиомаси бажарилади.
IV2 Кантор аксиомасининг бажарилишини текшириш учун а тўғри чизиқ олиб, унда
ичма – ич жойлашган чексиз кесмалар кетма – кетлигини оламиз. Бунинг учун текислик олиб,
унда 0ху координаталар системасини шундай танлаймизки 0х ўқи а тўғри чизиқ билан устма
– уст тушсин. а тўғри чизиқ нуқталари тўпламини уларнинг абсциссаларига ўтказувчи
акслантиришни олайлик. Бундай акслантириш биектив бўлиб, M1(x1,0), M2(x2,0), M3x30)
нуқталар а тўғри чизиқнинг учта нуқталари бўлиб, M1 – M2 – M3 бўлса, ё x1 < x2 < x3 ёки x1 >
x2 > x3 тенгсизликлардан фақат биттаси бажарилади.
Шундай қилиб, Контор аксиомаси сонлар тўғри чизиғида бажарилади. Демак бу IV2
аксиома а тўғри чизиққа геометрик маънода ҳам ўринли бўлади.
Хулоса қиладиган бўлса, назариясида Гильбертнинг барча аксиомалари
бажарилишини исботладик.
Демак, агар ҳақиқий сонлар арифметикаси зидсиз бўлса, у ҳолда Вейл
аксиомалари системаси ҳам зидсиздир. Бошқача айтганда қуйидаги теорема ўринлидир:
7-теорема. Агар ҳақиқий сонлар арифметикаси зидсиз бўлса, у ҳолда Гильбернинг I-IV
аксиомалари системаси зидсиз системадир.
- Гильберт аксиомалари системасининг зидсизлигини аналитик интерприятия
(модель) ёрдамида бевосита исботлаш ҳам мумкин. (Ефимов Н.В. Висшая геометрия. М, 1978,
§ 71).
7. Текшириш учун савол ва
топшириқлар.
10. назарияда нур, бурчак ва кесма қандай киритилади?
20. Тўғри чизиқда фақат иккита йўналиш мавжудлигини қандай исботланади?
30. Гильбертнинг II гуруҳ аксиомаларининг назарияда бажарилишини
исботлари қандай келтирилади?
40. II4 – Паш аксиомасининг бажарилиши кўрсатувчи 1-теореманинг исботини шарҳлаб
беринг.
50. Кесмаларнинг тенглиги қандай киритилади?
60. Гильбертнинг III гуруҳ аксиомалари системасининг бажаришини изоҳлаб беринг.
)( WГ
1...211
CDAAAA nAAn ABn
nAAAB
)( WГ
)( WГ
W
H
)( WГ
)( WГ
108
70. назарияда кесма узунлиги қандай киритилади.
80. Кесма узунлигининг асосий хоссаларини (3-теорема) шарҳлаб беринг.
90. назарияда Гильбертнинг III гуруҳ аксиомаларининг бажарилишини
шарҳлаб беринг.
100. назарияда IV гуруҳ (узлуксизлик) аксиомалари системасининг
зидсизлигини изоҳланг.
110. Нима учун назарияда Гильбертнинг I-IV аксиомалари системаси зидсиз
система бўлади?
23-Маъруза
Mavzu: Гильберт аксиомалар системаси шарҳи. Гильберт аксиомаларидан
келиб чиқадиган баъзи натижалар. Текисликдаги Лобачевский аксиомалар системаси
ва ундан келиб чиқадиган натижалар
Режа:
1. Гиперболик текисликнинг Кэли-Клейн модели.
2. Кэли-Клейн моделида тўғри чизиқ, нур, кесма, яримтекислик ва бурчаклар, кесма
узунлиги.
3. Автополяр учучлик.
4. Лобачевский текислигида параллел ва узоқлашувчи тўғри чизиқларнинг баъзи
хоссалари.
5. Текшириш учун савол ва топшириқлар.
1. Гиперболик текисликнинг
Кэли-Клейн модели.
Л2 Лобачевский текислиги * - мавҳум узунликка эга бўлган V3 псевдоевклид вектор
фазо (1 индексли) билан аниқланашини юқорида кўриб ўтдик. V3 фазода векторларнинг скаляр
кўпайтмаси – 1 индексли айнимаган квадратик форма учун мос келадиган
бичизиқли форма асосида аниқланади.
Л2 текисликнинг проектив моделини кўрамиз. V3 вектор фазо билан аниқланадиган P2
проектив текисликда квадратик форма Q:Ф(х)=0, х= , иккинчи тартибли
чизиқни аниқлайди, бунда х нуқта вектор билан аниқланган. Р2 проктив текисликда
ихтиёрий проектив алмаштиришлар эмас, балки V3 псевдоевклид вектор фазонинг
автоморфизмлари билан аниқланадиган алмаштиришларнигина қараймиз. Бундай проектив
алмаштиришлар Q квадрикани ўзини – ўзига ўтказадиган HQ алмаштиришлар қисмгруппани
ташкил қилади.
Айтайлик - V3 нинг ортонормал базиси бўлиб, бунда - мавхум
бирлик вектор бўлсин.
Агар вектор бу базисда (x1, x2, x3) координаталарга эга бўлса, у ҳолда
бўлади.
В базис R=(A1,A2,A3,E) проектив реперни аниқлайдики. Бу реперда Q иккинчи тартибли
чизиқ
тенглама билан аниқланади. Демак, Q – иккинчим тартибли оваль чизиғидир.
)( WГ
)( WГ
)( WГ
)( WГ
),( xxg ),( xxg
),( xxg ),( xxg
x
),,( 321 aaaB 3a
x2
3
2
22
1),( xxxxxg
02
3
2
22
1 xxx
109
Q
aЛ
C
bЛ d
b a
Маълумки, М(m1,m2,m3) нуқта Q овал чизиқнинг ички нуқтаси бўлиши учун
бўлиши зарур ва етарлидир. Бу деган сўз М нуқта мавҳум узунликка
эга бўлган вектор билан аниқланади, яъни дир.
Шундай қилиб, акслантиришда тўплам Q овал чизиқнинг
ички нуқталари тўпламидан иборат бўлади.
акслантиришда системанинг аксиомалари бажарилади, демак =Л2
тўплам Q овал чизиқнинг ички нуқталари тўпламидан иборат бўлиб, бу тўплам Лобачевский
текислигининг моделидан (Кэли-Клейн) иборат бўлади. Q иккинчи тартибли овал чизиқ Л2
гиперболик текисликнинг абсолюти дейилади. Қурилган бу модель Л2 гиперболик
текисликнинг Кэли-Клейн модели дейилади. шунга ўхшаш Л3 Лобачевский фазосининг
проектив моделини қуриш мумкин.
2. Кэли – Клейн моделида тўғри чизиқ, кесма,
нур, яримтекислик ва бурчаклар,
кесма узунлиги.
Айтайлик W – V3 повдоевклид вектор фазонинг 2-ўлчовли қисм фазоси бўлсин ва
`=W бўлсин. Бу ҳолда фигура Лобачевский текислигининг тўғри чизиғи
дейилади. - проектив текислик Р2 нинг тўғри чизиғидир. Демак, тўғри
чизиқ Лобачевский тўғри чизиғи бўлиб, у Q овал чизиқ билан а тўғри чизиқнинг кесишувидан
ҳосил бўлади. (1-чизма).
1-чизма
а ва b проектив тўғри чизиқлари аЛ ва bA Лобачевский тўғри чизиқларини аниқлайди.
аЛ ва bЛ лар Q нинг ватарлари бўлиб, ватарларнинг учлари чиқариб ташланади. c ва d тўғри
чизиқлари Л2 нинг тўғри чизиқларини аниқлайди. Шундай қилиб, U проектив тўғри чизиқ Л2
нинг UЛ тўғри чизиғини аниқлаш учун U тўғри чизиғи Q абсолютни иккита U ва V ҳақиқий
нуқталарда кесиб ўтиш зарур ва етарли. Шуларни ҳисобга олиб, UЛ тўғри чизиқни V деб
белгилаймиз.
Л2 текисликнинг ҳар қандай иккита А ва В нуқталари UV тўғри чизиқда ётса, у ҳолда
А ва В нуқталар U,V нуқталар жуфтлигини гармоник ажратмайди, яъни (UV,AB)>0 (2-чизма).
02
3
2
2
2
1 mmm m
*m
2}0{\(: PV *)(
Л*)(
)̀(
aW }0{\(: )̀(
110
2- чизма
Энди Кэли-Клейн моделида тўғри чизиқнинг учта нуқталари учун “Орасида ётади”
муносабатини киритамиз. Бунинг учун аввало қуйидаги теоремани исботлаймиз.
1-теорема. Айтайлик, А,В ва N – Л2 текисликнинг UV тўғри чизиғида ётувчи учта
нуқталари бўлсин. Агар (АВ, NU)<0 бўлса, у ҳолда (АВ, NV)<0 бўлади.
Исбот. Теоремани исботлаш учун
(AB, UV) (AB, VN) (AB, NU) =1 (2)
тенгликдан фойдаланамиз. Бу тенглик ўринли эканлигини тушуниш учун UV тўғри
чизиқда R0=(A,B,N) проектив репер олиб, унда U (U1:U2) ва V( ) бўлсин деб олайлик.
А(1:0), В(0:1), N(1:1) эканлигидан тўрт нуқтанинг мураккаб мусбатини ҳисоблаш
формуласидан фойдаланиб
тенгликларни оламиз. Бу тенгликлардан (2) тенглик келиб чиқади.
Энди, теорема шартига кўра, (AB, NU)<0. Лекин, (AB, UV)>0 эканлигидан (2)
тенгликка кўра (AB, NV)<0 бўлади.
Теорема исботланди.
Энди Л2 текисликда UV тўғри чизиқнинг иккита А ва В нуқталарини олайлик. UV тўғри
чизиқнинг N нуқтаси А ва В нуқталар орасида ётади дейилади, агар А, В жуфтли N,U (ёки
N,V) нуқталар жуфтлигини гармоник ажратса яъни (АВ, NU)<0 (ёки (АВ, NV)<0) бўлса: A –
N – В деб белгилаймиз.
Бу таъриф А ва В нуқталарнинг танланишига боғлиқ эмас, чунки (АВ, WU)=(АВ, NU)-
1 бўлиб, A – N – B бўлса, у ҳолда B – N – A бўлади.
Одатдагидек, кесма, кўпбурчак, нур, бурчак ва ярим текислик тушунчалари
киритилиши қийин эмас.
Масалан, 3-чизмада АВ кесма, 0 бурчак, V чегарали ярим текисликлардан бири бўяб
кўрсатилган.
21:
2
1
1
2
12
12 ),(,),(,),(U
UNUABVNAB
U
UUVAB
U
A
B
V
111
3-чизма
Энди Кэли – Клейн моделида икки нуқта орасидаги масофа қандай аниқланишини
кўриб ўтамиз. Бунинг учун (x,y) масофани аниқлаш учун
(3)
умумий формуладан фойдаланамиз.
Айтайлик, х ва у лар Л2 нинг иккита нуқталари бўлсин. ху тўғри чизиқнинг Q абсолют
билан кесишув нуқталарини аниқловчи векторларни топамиз. Бунинг учун ху тўғри чизиқнинг
параметрик тенгламаларини x(p1:p2;p3), у(q1:q2;q3) деб олиб
х1=p1+q1, x2=p2+q2, x3=p3+q3
кўринишда ёзамиз ва (ёки ) нисбатни A112+2A12+A22
2=0 тенгламадан
топамиз. Бу тенгламанинг кўриниши қуйидагича бўлади:
(4)
Бу (3) тенгликда ва векторлари х ва у нуқталарни аниқловчи векторлардир.
ва векторлари мавҳум узунликка эга эканлигини ҳисобга олиб,
деб олишимиз мумкин. Бу ерда r-Л2 текисликнинг эгрилик радиусидир.
Охирги тенгликлардан ва (3) дан , тенгликни ёзишимиз мумкин.
(4) тенглама
22cht+2=0 (5)
кўринишга эга бўлади. Бунда бўлганда “+” ишора, бўлганда “-” ишра
олинади.
yx
yx
r
yxch
),(
02 22
22
yyxx
x y
x y
0,222
rryx
chtryx 2 ),(1
yxr
t
0yx 0 yx
U A
B
0
V
112
Айтайлик бўлсин. эканлигидан (5) тенгламадан
ва
қийматларни оламиз.
Шундай қилиб, агар ва V лар ху тўғри чизиқнинг Q абсолют билан кесишув
нуқталари бўлса, бу нуқталарни аниқловчи ва векторлари
кўринишдаги векторлар бўлишини кўрамиз.
Демак, (xy, UV)=e2t бўлиб, бўлади. t>0 эканлигидан,
деб олинади.
Шундай қилиб, х ва у нуқталар орасидаги масофа
(6)
тенглик ёрдамида аниқланади.
бўлган ҳолда ҳам (6) формулаларни ҳосил қиламиз.
3. Автополяр учучлик.
А1 ва А2 нуқталар Q овал чизиқда ётиб, А1А2 ва А2А3 тўғри чизиқлари Q чизиққа А1 ва
А2 нуқталарда уринувчи тўғри чизиқлар бўлса, бу ҳолда А1А2А3 учучлик иккинчи жинсли
автополяр учучлик дейилади. Демак, А1А3 – А1 нинг поляраси, А2А3 – А2 нинг поляраси, А1А2
эса А3 нинг поляраси бўлади.
Айтайлик А1А2А3 учучлик Q овал чизиғи учун иккинчи жинсли автополяр учучлик
бўлсин. ЕQ нуқтани олиб R=(A1,A2,A3,E) проектив реперни қараймиз. Маълумки, бундай
реперда Q овал чизиғи
x1x2-(x3)2=0
тенглама билан аниқланади.
Р2 проектив текисликдаги алмаштиришлар группасининг НQ қисм группасини ажратиб
оламизки, бу қисм группага тегишли f алмаштириш Q ни ўзгартирмайди ва унинг ички
нуқталарини яна ички нуқталарга ўтади. Агар fHQ бўлса, f алмаштириш Л2 текисликда
шундай fЛ алмаштиришни ҳосил қилади. (6) формуладан кўринадики бундай fЛ алмаштириш
ихтиёрий икки нуқта орасидаги масофани ўзгартирмайди. Шунинг учун fЛ алмаштириш Л2
текисликнинг харакати дейилади. Л2 текисликнинг барча ҳаракатлари тўплами группа ташкил
қилади ва бу группа НQ группадан индукцияланади.
F ва F` фигуралар Л2 га тегишли фигуралар бўлиб, улар HQ – эквивалент бўлсаар, бу
ҳолда F ва F` фигуралар тенг (конгруэнт) дейилади.
Ҳар қандай fHQ алмаштириш Q абсолютга нисбатан ҳар қандай автополяр учучликни
яна QW га нисбатан автополяр учучликка ўтказади. Шунинг учун f алмаштириш ёрдамида
индукцияланадиган fЛ ҳаракат R=(A1,A2,A3,E) ва R`=(A1`,A2`,A3`,E`) проектив реперларнинг
берилиши билан бир қийматли аниқланадики, бунда А1А2А3 ва А1`А2`А3` лар Q абсолют учун
автополяр учучликлар бўлиб Е ва E`Q дир. Аксинча R ва R` реперлар юқоридаги шартларни
қаноатлантирувчи проектив репер бўлсин. Бу ҳолда R ни R` га ўтказадиган f проектив
алмаштириш НQ қисм группага тегишли бўлади ва шунинг учун қандайдик fЛ ҳаракатни
аниқлайди.
0 yx )(2
1 tt eecht
te
1
te
2
U
yexyexU tt ,
),ln(2
1Vxyt
),ln(2
1Vxyt
),,ln(2
),ln(2
),( VUyxr
UVxyr
yx
0 yx
113
Шундай қилиб, Q абсолют учун автополяр А1А2А3 ва А1`А2`А3` учучликлар бўлса, Е,
Е`Q бўлса, R=(А1,А2,А3,Е) ва R`=(А1`,А2`,А3`,Е`) проектив реперлар қандай бўлганда ҳам
fHQ проектив алмаштириш билан индукцияланган ягона fЛ ҳаракат мавжуд бўладики, бу
ҳаракат R ва R` га алмаштиради.
4. Лобачевский текислигида параллел ва узоқлашувчи тўғри чизиқларнинг баъзи
хоссалари.
Л2 гиперболик (Лобачевский) текислигининг аксиомалари системасининг барча
интерпретациялари (моделлари) изоморфдир. Шунинг учун геометрияни унинг
ихтиёрий интерпретацияларидан бирида, масалан, Кэли-Клейн моделида ўрганиш мумкин.
Л2 текисликда UV тўғри чизиқ ва унда ётмайдиган А нуқта оламиз. (4-чизма).
А нуқта орқали U`V ва UV` тўғри чизиқларини ўтказамиз. UV` ва U`V тўғри
чизиқларини қараймиз. Бу тўғри чизиқлари Л2 Лобачевский текислигида кесишмайди. Лекин
ихтиёрий CUV нуқта учун САV бурчакнинг ички АD нур CV нурни кесиб ўтади. Демак, Л2
текисликда параллел тўғри чизиқларнинг таърифига кўра U`V тўғри чизиқ UV тўғри чизиққ
паралеллдир. Маълумки Л2 текисликда ики тўғри чизиқнинг параллелик муносабати
симметрикдир. Демак, UV тўғри чизиғи U`V тўғри чизиқлари V йўналишда, UV ва V`U тўғри
чизиқлари эса U йўналишда параллел тўғри чизиқлар деб атаймиз.
Шундай қилиб, Кэли-Клейн моделида умумий учга эга бўлган Q нинг ватарлари
кўринишида тасвирланади.
4-чизмадаги UV ва MN тўғри чизиқлари узоқлашувчи тўғри чизиқлардир. Бундай тўғри
чизиқлар Q абсолютга нисбатан ташқарида кесишувчи проектив тўғри чизиқларга тегишли
ватарлар кўринишида тасвирланади.
Параллел тўғри чизиқларнинг иккита хоссаларини Кэли-Клейн моделида кўриб ўтамиз.
2-теорема. Лобачевский текислигида бир хил йўналишда тўғри чизиқларнинг
параллеллик муносабати транзитивдир.
Исбот. Айтайлик Лобачевский текислигида UV ва U1V тўғри чизиқлари V йўналишда
параллел бўлсин, U1V ва U2V тўғри чизиқлари устма – уст тушмасдан V йўналишда параллел
бўлсин. UVU1V бўлиб, улар умумий учга эга бўлган ватарлар шаклида тасвирланади.
Шунингдек, U1V ва U2V тўғри чизиқлари ҳам, V учга эга бўлган ватарлардир. Демак, UV ва
U2V ватарлар ҳам V умумий учга эга бўлган ватарлар бўлади ва Л2 да бу тўғри чизиқлар ҳам
V йўналишда параллелдир.
Теорема исботланди.
3-теорема. Айтайлик Лобачевский текислигида икки жуфт параллел тўғри чизиқлар
берилган бўлсин: UV, U1V лар V йўналишда параллел, U`V` ва U1`V` тўғри чизиқлари V`
йўналишда параллел. Бу ҳолда биринчи паралле жуфтликни иккинчи параллел жуфтликка
ўтказувчи ҳаракат мавжуд бўлади.
Исбот. R=(U,V,A3,V1) ва R`=(U`,V`,A3`,V1`) проектив реперларни қараймиз, бунда
UVA3, U`V`A3` лар Q абсолют учун автополяр учучликлардир (6-чизма). Юқорида
айтилганидек, R реперни R` реперга ўтказадиган ягона fЛ ҳаракат мавжуд. бу ҳаракат UV, U1V
тўғри чизиқлар жуфтлигини U`V`, U1`V` тўғри чизиқлар жуфтлигига ўтказади. Теорема
исботланди.
2Л
)(2
ЛГ
114
6-чизма
4-теорема. Л2 текисликда АВ ва CD тўғри чизиқлари перпендикуляр бўлишлари учун
бу тўғри чизиқлар Q абсолютга нисбатан ҳар бир иккинчисининг қутбидан ўтадиган проектив
тўғри чизиқларга тегишли ватарлар бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Айтайлик АВ ва CD лар Л2 нинг перпендикуляр тўғри чизиқлари бўлсин. 0 –
уларнинг кесишув нуқтаси бўлсин. АВ проектив тўғри чизиқнинг қутби Е бўлса бу Е нуқта
CD тўғри чизиқда (проектив) ёпишини исботлаймиз
AOC=AOD бўлиб, Л2 текисликда fЛ ҳаракат мавжудки, АО нур ўзи – ўзига ўтади,
ОС нур эса OD нурга ўтади.
Айтайлик fНQ бўлиб, у fЛ ҳаракатни аниқласин. У ҳолда
0=f(0), A=f(A), D=f(c). Бундан B=f(B) бўлади, чунки АЕ=f(AE) ва BE=f(BE) бўлиб,
бундан E=f(E). Демак f проектив алмаштириш Е марказли АВ ўқли гомологиядир. Шунинг
учун Е нуқта DC тўғри чизиқ (проектив) да ётади.
Аксинча, айтайлик АВ ва CD лар Q абсолютнинг ватарлари бўлиб, улар 0 нуқтада
кесишсин ва CD проектив тўғри чизиқ, Е нуқтадан ўтсин ва E – AB проектив тўғри чизиқнинг
қутби бўлсин. Кэли – Клейн моделида АВ ва CD перпендикуляр ватарлар шаклида
тасвинланишини исботлаймиз. Е марказли АВ ўқли f гомологияни қараймизки, бунда С нуқта
D нуқтага ўтсин.
A=f(A), 0=f(0), B=f(B), D=f(C) эканлигидан fHQ бўлади. Л2 текисликда f гомология
билан индукцияланган (аниқланган) fЛ ҳаракат АОС бурчакни АОD бурчакка ўтказади.
АОС=AOD эканлигидан АВCD.
Теорема исботланди.
Исботланган бу теоремадан фойдаланиб Л2 текисликда UV тўғри чизиқ ва А нуқта
берилса, А нуқтадан ўтиб АВ га перпендикуляр тўғри чизиқни ячаш учун Р2 текисликда UV
тўғри чизиқнинг Р қутби ясалади. Сўнгра АР проектив тўғри чизиқ ўтказамиз. Бу тўғри чизиқ
Q абсолютни U1 ва V1 нуқталарда кесиб ўтади. 4-теоермага кўра U1V1V1 бўлади Л2
текисликда. (8-чизма).
A3
U
U` V
V`
A3`
115
8-чизма
Юқорида айтилганидек, Кэли-Клейн моделида узоқлашувчи тўғри чизиқлар Q
абсолютнинг шундай ватарларики, бу ватарлар Q абсолютнинг ташварисида кесишувчи
проектив тўғри чизиқларда ётадилар.
Юқорида исботландики, агар иккита тўғри чизиқ умумий перпендикулярга эга бўлса,
улар узоқлашувчи тўғри чизиқлар бўлади.
Энди тескари теоремани келтирамиз.
5-теоерма. Иккинчи UV ва U`V` узоқлашувчи тўғри чизиқлар ягона.
Исбот. Айтайлик P ва P` лар UV ва U`V` проектив тўғри кесишув нуқтаси бўлсин. (9-
чизма).
C P
V1
A
U1 V
U` V
V0
U0
P
P`
V` U
S
116
9-чизма
PP` тўғри чизиғи UV ва U`V` тўғри чизиқларнинг қутблари орқали
ўтади, шунинг учун UV ва U`V` тўғри чизиқлари ҳам PP` тўғри чизиқнинг қутбидан ўтади.
Лекин UVU`V`=S дир, демак S – нуқта PP` нинг қутби бўлади. Шартга кўра S нуқта Q
абсолютнинг ташқи нуқтасидир, демак бу S нуқтанинг поляраси PP` тўғри чизиғи бўлиб, у Q
абсолютни иккита U0 ва V0 нуқталарда кесиб ўтади.
U0V0 проектив тўғри чизиғи Р ва Р` қутблар орқали ўтади, шунинг учун 4-теоремага
асосан U0V0UV ва U0V0U`V`, яъни U0V0 Л2 текисликда иккита UV ва U`V` узоқлашувчи
тўғри чизиқларнинг умумий перпендикуляри бўлади. Бундай умумий перпендикуляр
ягонадир, чунки Р ва Р` нуқталардан ягона проектив тўғри чизиқ ўтади.
Теорема исботланди.
5. Текшириш учун савол ва топшириқлар.
10. Л2 текисликнинг Кэли-Клейн моделини изоҳлаб бера оласизми?
20. Л2 текисликнинг нуқталари тўплами қандай тўплам.
30. Кэли-Клейн моделида тўғри чизиқ ва нур қандай аниқланади?
40. Кэли-Клейн моделида кесма, бурчак ва ярим текисликлар қандай тасвирланади?
50. Л2 текисликда икки нуқта орасидаги масофа қандай ҳисобланади?
60. Автополяр учучлик қандай фигура?
70. Л2 текисликнинг ҳаракат қандай аниқланади?
80. Л2 текисликда параллел тўғри чизиқларнинг асосий хоссаларини изоҳлаб беринг.
90. Л2 текисликда перпендикуляр тўғри чизиқлар қандай тасвирланади?
24-Маъруза
Mavzu: Кўпёқнинг ҳажми ҳақида. Лобачевский текислигининг турли
моделлари.
Режа:
1. Юзанинг ягоналик теоремаси.
2. тенгдош ва тенг тузилган кўпбурчаклар.
3. Евклид фазосида кўпёқнинг хажми.
4. Уйга вазифа.
117
1. Юзанинг ягоналик теоремаси.
Евклид геометриясида юзанинг 1), 2), 3) аксиомаларини қаноатлантирадиган S:M
R+ акслантириш мавжуд эканлигини биз юқорида кўриб ўтдик. Бундай акслантиришнинг
ягона эканлигини кўриб чиқамиз.
1-теорема. Агар S:MR+ акслантириш юзаларни ўлчашнинг 1)-3)аксиомакларини
қаноатлантирса,у ҳолда тамонлари х ва у бўлган Р тўғри тўртбурчакнинг юзи учун S(P)=xy
тенглик ўринлидир.
Исбот. M0 барча тўғи тўртбурчаклар тўплами бўлсин (текисликда). Тўғри
тўртбурчакларнинг мос томонлари тенг бўлса, бу тўртбурчаклар ҳам тенг бўлади. S:M0R+
акслантиришда S(P) юза х ва у нинг функциясидир, x,yR+. Айтайлик f: S(P)=f(x,y) бўлсин.
Бу ҳолда f фукция қуйидаги ҳоссаларга эга бўлади.
f(x,y)=f(x,y) (1)
f(x1+x2, y)=f(x,y)+f(x2,y) (2)
f(x,y)=f(1,y)x (3)
(3) хоссани кўрсатиш учун f(x,y0)=g(x), y0R+ белгилаш киритсак, у ҳолда (2) ҳоссадан
g(x1+x2)=g(x1)+g(x2) бўлади. Бундай фукциялар учун g(x)=kx, k=const тўғри
прокарционалликдан иборат.
Умуман олганда k=k(y) дир, яни f(x,y)=k(y)x.
Агар x=1 бўлса, у ҳолда f(1,y)=k(y) бўлиб (3) тенглик ўринлидир. (1) ва (3) хоссалардан
f(1,y)=f(y,1)=f(1,1)y. 3) аксиомага кўра f(1,1)=1 бўлиб f(1,y)=y бўлади. Демак, (3) тенгликка
кўра f(x,y)=xy дир, яьни S(P). Теорема исботланди.
2-теорема. Агар S:M0R+ акслантириш юзаларни ўлчашнинг 1)-3) аксиомаларини
қаноатлантирса, у ҳолда асоси х , баландлиги у бўлган Т учбурчак юзаси учун S(T)= тенглик
ўринлидир.
Бу теорема юуқоридаги теорема сигари исботланади.
Келтирилган 1-2 теоремалар асосида эвклид геометрияси юзанинг ягоналиги ҳақидаги
қуйидаги теорема исботланади:
3-теорема (ягоналик теоремаси).Агар бирлик кесма танлаб олинган бўлса, у ҳолда
юзаларни ўлчашнинг 1), 2), 3) аксиомаларини қаноатлантирадиган биттадан ортиқ бўлмаган
S:M0R+ акслантириш мавжуд.
Исбот. Тескарисидан фараз қиламиз: бундай акслантиришлар иккита бўлсин: S:M0R+
ва S:M0R+. Ихтиёрий содда кўпбурчак F ни олиб, уни чекли сондаги учбурчакларга бўлиб
чиқамиз: F=1+2+…+n
2) аксиомага кўра
(4)
2- теоремага асосан S(i)=S`(i), i=1,2,…,n бўлиб, (4) тенликлардан S(F)=S`(F). Демак,
S ва S` акслантиришлар устма-уст тушади. Теорема исботланди.
1- натижа. F кўпбурчак қандай усулларда учбурчакларга ажратилишдан қатьий назар
бу учбурчаклар юзалари йиғиндиси бир хил бўлади.
2-натижа. A1A2…An кўпбурчак учлари тўғри бурчакли координаталар системасида
Ai(xi,yi), i=1,2,…,n координаталарга эга бўлса, у ҳолда
2
1
n
ii
n
ii
SFSSFS11
)(̀)(̀,)()(
1
1
1
1
32
32
21
21
21...
2
1...
yy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xxAAAS
n
n
nn
nn
n
118
2. Тенгдош ва тенг тузилган
кўпбурчаклар.
Юзалари тенг бўлган иккита кўпбурчак тенгдош дейилади.
Кўпбурчакларнинг тенгдошлик муносабати М кўпбурчаклар тўпламида эквивалентлик
муносабати бўлади.
Агар F ва F` кўпбурчакларни бир хил сондаги ва учбурчакларга ажратиш мумкин
бўлиб, бундаги мос учбурчаклар тенг юзаларга эга бўлса, у ҳолда F ва F` кўпбурчаклар тенг
тузилган дейилади.
Кўпбурчакларнинг тенг тузилганлик муносабати ҳам бундай кўпбурчаклар тўпламида
эквивалентлик муносабати бўлишини исботлаш мумкин.
Кўриш мумкинки, агар иккита кўпбурчак тенг тузилган бўлса, у ҳолда улар тенгдош
бўлади. Шу усулга асосланиб мактаб геометрия курсида параллелограм, учбурчак, трапеция
ва бошқа кўпбурчакларнинг юзаларини ҳисоблаш формулалари исботланади.
Қуйидаги Боян-Гервин теоремасини исботсиз келтирамиз:
4-теорема. Агар иккита (содда) кўпбурчаклар тенгдош бўлсалар, у ҳолда улар тенг
тузилган бўладилар.
Шундай қилиб, содда кўпбурчаклар тўплами М да кўпбурчакларнинг тенгдошлик ва
тенг тузилганлик муносабатлари устма-уст тушади .
3. Евклид фазосида кўпёқнинг
ҳажми.
Евклид фазосида кўпёқнинг ҳажми тушунчаси кўпбурчакнинг юзаси тушунчаси
сингари киритилади.
Содда кўпёқларни кўпёқ- деб атаб, биз фақат шундай кўпёқлар билан иш кўрамиз.
Кўпбурчак юзалари назариясига ўхшаш, иккита кўпёқларнинг йиғиндиси F=F1+F2
тушунчасини киритамиз. F кўпёқни иккита F1 ва F2 кўпёқларга ажратиш тушунчаси бирор G
фазовий кўпёқли бурчак орқали амалга ошириладики, бунда F1F2=G ва F1F2=F бўлиши
керак.
Евклид фазосида барча кўпёқлар (содда) тўпламини М орқали белгилайлик.
V:MR+ акслантириш аниқланган бўлиб, бу акслантириш қуйидаги учта аксиомаларни
қаноатлантирса, у ҳолда кўпёқларнинг ҳажмини ўлчаш аниқланган дейилади.:
1) Агар F ва F` кўпёқлар тенг бўлса, у ҳолда ...
2) Агар F=F1+F2 бўлса, у ҳолда V(F)=V(F1)+V(F2)
3) Қирраси бирлик кесмага тенг бўлган P0 куб учун V(P0)=1.
V(F) мусбат сони F кўпбурчакнинг ўлчови ёки ҳажми дейилади. Кўпбурчак юзаларини
ўлчаш назариясидаги сингари қўйидаги теоремаларни исботлаш мумкин:
5-теорема. (Ҳажимни мавжудлиги). Евклид фазосида кўпёқлар ҳажимларини
ўлчашнинг 1), 2) ва 3) аксиомаларини қаноатлантирадиган ҳеч бўлмаганда битта V:MR+
акслантириш мавжуд.
6-теорема. (Ягоналик теоремаси). Агар бирлик кесма танланган бўлса, у ҳолда
ҳажимларни ўлчашни нг 1), 2) ва 3) аксиомаларини қаноатлантирадиган биттадан ортиқ
бўлмаган V:MR+ акслантириш мавжуд.
7-теорема. Агар V:MR+ акслантириш ҳажмларни ўлчашнинг 1),2),3) аксиомаларини
қаноатлантирса, у ҳолда қирралари х, у, z бўлган тўғри бурчакли Р параллелепипед ҳажми
учун V(P)=xyz тенглик ўринлидир.
Бу теорема ёрдамида тўғри ва оғма призмалар., гирамидалар ва бошқа содда
кўпёқларнинг ҳажмларини хисоблаш формулаларини ҳосил қилиш ва тегишли теоремаларни
исботлаш мумкин.
Ҳажмлари тенг бўлган иккита кўпёқ тенгдош дейилади. Кўпёқларнинг тенгдошлик
муносабати кўпёқлар тўпалвами М да эквивалентлик муносабатидир.
Агар F` ва F` кўпёқларни бир хил сондаги бир-бирига мос ўзаро тенг ёқларга ажратиш
мумкин бўлса, бундай кўпёқлар тенг тузилган кўпёқлар дейилади.
119
Иккита тенг тузилган кўпёқлар тенгдош кўпёқлар бўлади. Лекин буни тескариси ҳамма
вақит ҳам ўринли бўлавермайди.
Немис математиги М.Ден 1900 йилда қуйидаги теоремани исботлаган.
8-теорема. Айтайлик 1,2,…r лар Р кўпёқнинг икки ёқли бурчакларнинг ўлчовлари,
1,2,…s лар эса F` кўпёқнинг икки ёқли бурчаклари ўлчовлари бўлсин. Агар P ва P` тенг
тузилган бўлса, у ҳолда шундай m1,m2,…,mr ва n1,n2,…ns натурал сонлари ва ҳамда С бутун
(мусбат, манфий ёки ноль) сон мавжудки, булар учун
m11, m22 + … + mrr – (n11, + n22 + … + nss) = c (5)
тенглик ўринли бўлади.
Бу теорема иккита тенгдош кўпёқнинг тенг тузилганлигининг зарурий шартини
ифодалайди. 1965 йилда француз математиги Сидлер томонидан Деннинг (5) шарти етарли
шарт ҳам бўлишини исботлаган.
Шундай тенгдош кўпёқлар мавжудки, улар учун (5) шарт бажарилмайди. 1901 йилда
Ден томонидан куб ва унга тенгдош мунтазам тетраэдр учун (5) шартнинг
бажарилмаслигини исбот қилган. Умуман атганда, тенгдош тетраэдрлар тенг тузилган
бўлмайди. Шунинг учун ҳажмларни ҳисоблашда лимитлардан фойдалашишга мажбур
бўладилар.
Саволлар.
1. Юзанинг ягоналик теоремасини асослаб тушунтиринг.
2. Учларининг координаталари берилган кўпбурчак юзи қандай ҳисобланади?
3. Кўпбурчак (содда) ларнинг тенгдош ва тенгтузилганлик муносабатларини тушунтириб
беринг.
4. Кўпёқнинг ҳажми деганда нимани тушунасиз?
5. (5) Ден шартини маьносини шархлаб беринг.
25-Маъруза
Mavzu: Сферик геометрия ва Риманнинг эллиптик геометриялари
4. 12§. Эллипсоид. Бир ва икки паллали гиперболоид
5. 13§. Эллиптик параболоид.
6. 14§. Гиперболик параболоид.
Таянч иборалар: Нукта, жисм, конус, цилиндр, туртбурчак параллелограм, айлана,
сфера, эллипс, гипербала, парабола.
12– Эллипсоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (30.1)
тенглама билан ифодаланадиган сирт эллипсоид дейилади. эллипсоиднинг ярим ўқлари
дейилади. Агар лар бир-бирига тенг бўлмаса (30.1) уч ўқли эллипсоид дейилади. Агар
бўлса (30.1) дан маркази координата бошида ва радиуси бўлган сфера ҳосил
бўлади.
(30.1) тенглама билан берилган эллипсоидни шаклини ва баъзи геометрик хоссаларини
аниқлайлик:
1. (30.1) билан (28.5) ни соллиштирсак эллипсоид иккини тартибли сирт эканлиги келиб
чиқади.
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
cba ,,
cba ,,
cba aR
120
2. (30.1) да учта мусбат сонни йиғиндиси бирга тенглигида ёки
, , бу тенгсизликлардан (30.2)
Демак эллипсоид чегараланган сирт бўлиб, кирралари тўғри бурчакли
параллелепипед ичига жойлашган фигурадан иборат.
3. (30.1) ва (30.2) дан кўринадики, агар (30.1) даги қўшилувчилардан бирортаси бирга
тенг бўлса, колган иккитаси нолга тенг бўлиши керак. Масалан: бўлса , ,
, бўлади ва (30.1) эллипсоид ОХ ўқини , нуқталарда кесиб ўтади.
Худди шунингдек (30.1) эллипс ОУ ўқини , , ОZ ўқини эса ,
нуқталарда кесиб ўтади.
4. Энди (30.1) эллипсоидни координата текисликлари билан кесишишидан ҳосил
бўладиган чизиқларни аниқлаймиз:
а) Эллипсоидни ХОУ текислик билан кесайлик. Бу ҳолда ёки ,
яъни ХОУ текисликда ярим ўқлари ва га тенг бўлган эллипс ҳосил бўлади.
в) Энди эллипсоидни XOZ текислиги билан кесак ёки , бу эса
XOZ текисликда ярим ўқлари ва га тенг бўлган эллипсдир.
с) Энди YOZ текислик билан кессак ёки , бу эса YOZ
текисликда ярим ўқлари ва бўлган эллипс тенгламасидир.
5. Энди (30.1) эллипсоидни координата текисликларига параллел текисликлар билан
кесганда ҳосил бўладиган чизиқларни ўрганамиз:
а) Эллипсоидни ХОУ га параллел текислик билан кесайлик ёки
. Бу ерда қуйидаги уч хил бўлиши мумкин:
а) бўлса бўлиб тенгламага эга бўлаймиз, бу эса
текисликда маркази нуқта бўлган эллипс тенгламасидир.
в) ёки бўлса бўлиб бўлади. Демак текисликлар
ва нуқталарда эллипсоидга ўтказилган уринма текисликни ифодалайди.
с) ёки бўлса бўлиб, бўлиб, яъни текислик эллипсоид билан
кесишмайди.
Худди шунингдек XOZ ва YOZ текисликларга параллел бўлган текисклар билан
эллипсоиднинг кесишувини текишириб таҳлил килсак 5. даги каби эллипслар ҳосил бўлганини
кўрамиз.
,1,12
2
2
2
b
y
a
x1
2
2
c
z
22 ax 22 by 22 cz ,axa ,byb czc
cba 2,2,2
12
2
a
xax 0y
0z )0;0;(1 aA )0;0;(2 aA
)0;;0(1 bB )0;;0(2 bB );0;0(1 cC
);0;0(2 cC
0
12
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
a b
0
12
2
2
2
2
2
y
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
a
x
a c
0
12
2
2
2
2
2
x
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
c
z
b
y
b c
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x
chc 012
2
c
h1
)1()1(2
22
2
2
22
2
c
hb
y
c
ha
x
hz );0;0( h
ch ch 02
2
2
2
b
y
a
x0,0 yx cz
);0;0( c );0;0( c
ch ch 012
2
c
h0
2
2
2
2
b
y
a
x
121
6. (30.1) тенгламада лар жуфт даражада бўлганидан эллипсоид координата
бошига нисбатан симметрик деган хулосага келамиз. Бу 1 – 6 маълумотлар (30.1) эллипсоидан
шакли кесимларда эллипслар ҳосил бўлишидан (r – 41) кўринишда бўлада деган хулосага
келамиз. Хусусий ҳолда бўлса айланма эллипсоид ҳосил бўлади.
r - 41
13– Гиперболоидлар.
Аналитик геометрияда икки хил, яъни бир паллали ва икки паллали гиперболоидлар
ўрганилади. Биз уларни алоҳида навбат билан ўрганамиз.
Бир паллали гиперполоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (31.1) тенглама
билан ифодаланадиган сиртга бир паллали гиперполоид дейилади. Бир паллали гиперполоидни
ясаймиз: уни координата текисликлари унга параллел бўлган текисликлар билан кесамиз:
1. ХОУ текислик билан кесак ёки . (31.2)
Бу чизиқ ХОУ координата текисликгида ярим ўқлари бўлган эллипсдир. Агар уни ХОУ
текисликка параллел текислик билан кессак ёки
. (31.3)
Ҳосил бўлган эгри чизиқ текисликда маркази нуқтада бўлиб ярим ўқлари
, лардан иборат эллипсдир. Бунда нинг қиймати дан
гача ўзгарган ва ҳақиқий қийматларга эга бўлади. Энди (31.1) гиперболоидни XOZ ва
YOZ текисликлар билан кессак (31.4) ва (31.5) гиперболаларга эга
бўлиши (31.4) гиперболани ҳақиқий ўқи ОХ бўлиб, (31.5) ники ОУ дир. Равшанки (31.3)
тенглама билан ифодаланган эллипснинг ярим ўқлари (31.4) ва (31.5) гиперболанинг ҳақиқий
ўқлари га пропорционал бўлади. Шунинг учун бир паллали гиперболоид (31.2) эллипсни
ХОУ текисликка параллел силжитишдан ва бу ҳаракат пайтида у (31.4) ва (31.5)
гиперболалар шохлари буйича сирпаниб боришидан ҳосил бўлади деб қараш мумкин.
zyx ,,
cba 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
0
12
2
2
2
2
2
z
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
b
y
a
x
ba,
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1c
h
b
y
a
x
hz );0;0( h
2
2
1 1c
haa
2
2
1 1c
hbb h
1a 1b
12
2
2
2
c
z
a
x1
2
2
2
2
c
z
b
y
ba,
122
Бу текширишлар бир паллали гиперпоплоид r – 42 да келтирилган чексиз узун ва ХОУ
текисликдан ҳар икки томонга узоқлашган сари кенгайиб борувчи трубкасимон сирт эканини
курсатади. (31.1) тенгламада лар бир ковакли
гиперболоиднинг ярим ўқлари дейилади. Агар бўлса (31.2)
айланма айланади. Шу сабабли бўлса бир паллали
гиперболоидни (31.4) ёки (31.4) гиперболанинг OZ ўқи
атрофида айланишидан ҳосил бўлган сирт деб қараш мумкин.
Бу сирт тенгламаси бўлади.
Икки паллали гиперболоид.
Тўғри бурчакли координаталар системасида
(31.6) тенглама билан ифодаланадиган
сирт икки паллали гиперболоид дейилади.
сонлар икки паллали гиперболоиднинг ярим ўқлари дейилади. Агар бўлса
(31.6) тенглама кўринишни олади ва тенглама билан ифодаланган сирт
гиперболани OZ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлади ва шу сабабли уни ясаш
қийин бўлмайди.
Энди (31.6) сиртни ясаш билан шуғулланамиз. Бу сиртни XOZ(у = 0) ва YOZ(х = 0)
текисликлар билан кессак, кесимда
(31.7), (31.8)
гиперболалар ҳосил бўлади. (31.7) ва (31.8) гиперболаларнинг ҳар иккаласини ҳам ҳақиқий ўқи
OZ ўқи бўлиб, улар OZ ўқини ва нуқталарда кесиб ўтади. Энди (31.6) сиртни
ХОУ тиекисликка параллел текислик билан кесамиз (31.6) ХОУ текислик билан
кесишмайди
ёки . (31.9)
(31.9) ярим ўқлари , бўлган эллипсни шартда
тенгламасидир. бўлганда бўлим мавхум эллипс ҳосил бўлади. нинг
қиймати дан гача ўзгарганда ва ярим ўқлар 0 дан гача усади ва усиб борган
сари эллипснинг ярим ўқлари ва ўзи катталашади. (31.6) тенгламада лар жуфт
даражада бўлганлигидан координата бошига ва координата текисликларига нисбатан шакли
симметрик эканлиги келиб чиқади. Кесимда ҳосил бўлган чизиқлар ва қилинган таҳлилларга
таяниб икки паллали гиперболоид иккита чўқур эллиптик ваза ва бўлганда иккита чўқур
коса шаклдаги да тасвириланган сиртдан иборат экан деган хулосага келамиз.
cba ,,
ba
ba
12
2
2
22
c
z
a
yx
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
cba ,, ba
12
2
2
22
c
z
a
yx
12
2
2
2
b
y
c
z
12
2
2
2
a
x
c
z1
2
2
2
2
b
y
c
z
);0;0( c );0;0( c
hz
hz
c
z
b
y
a
x1
2
2
2
2
2
2
12
2
2
2
2
2
c
h
b
y
a
x
12
2
1 c
haa 1
2
2
1 c
hbb ch
ch 02
2
2
2
b
y
a
xh
c 1a 1b c
zyx ,,
ba
43r
123
r – 43
14– Эллиптик параболоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (32.1)
тенглама билан ифодаланган сирт эллиптик параболоид деб аталади.
Эллиптик параболоидни ясаш учун XOZ(y = 0) ва YOZ(x = 0) текисликлар билан
келамиз:
(32.2), (32.3)
(32.2) ва (32.3) тенглама билан ифодаланган чизиқлар симметрия ўқи OZ бўлган, ХОУ
текисликдан юқорида жойлашган параболаларни тасвирлайди.
Энди (32.1) сиртни ХОУ текислигига параллел бўлган текислик билан келамиз:
(32.3)
(32.3) чизиқ ярим ўқлари , бўлган эллипсдир. Равшанки
агар бўлса (32.1) параболоид ХОУ текисликка уринади. нинг қиймати 0 дан гача
ўзгарса ва ўқлар ҳам 0 дан гача катталашиб боради, яъни текислик (31.1)
эллиптик параболоидни кесишидан ҳосил бўлган ХОУ текисликка параллел кесим юқорига
кўтарилган сари эллипс катталаша боради. Бу таҳлиллар эллиптик параболоид (r – 44) да
келтирилга шаклда бўлишини билдиради.
бўлса (32.2) ва (32.3) параболалар тенглашади, (32.3) эллипс эса айланага
айланади. Бу ҳолда (32.1) тенглама (32.4) кўринишни олади ва (32.2) ёки (32.3)
параболани OZ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлади деб қараш мумкин.
)0,0(,22
22
qpq
y
p
xz
pzx
y
q
y
p
xz
2,
0
022
2
22
qzy
x
q
y
p
xz
2,
0
022
2
22
hz
hq
y
p
x¸êè
hz
q
y
p
xz
22
022
22
22
pha 21 qhb 21 ,0h
0h h
1a 1b hz
qp
p
yxz
2
22
124
15 – Гиперболик параболоид.
Тўғри бурчакли Декарт координаталар системасида (33.1)
тенглама билан ифодаланган сирт гиперболик параболоид дейилади.
Гиперболик параболииднинг шаклини аниқлаш учун параллел кесимлар усулини
қўллаймиз:
(33.1) сиртни XOZ(y = 0) текислик билан кессак
(33.2)
парабола ҳосил бўлади. (33.2) симметрия ўқи OZ бўлиб, кабакриклиги “пастга” қараган
параболадир. Энди (33.1) ни YOZ текисликка параллел текислик билан кессак:
ёки (33.3)
бўлсак бу чизиқ симметрия ўқи OZ бўлиб координата бошидан ўтувчи кабариклиги
“юқорига” қараган парабола бўлиб, бўлса учи (33.2) парабола учи билан бир нуқтада
бўлиб (33.3) парабола шу параболага параллел бўлган параболаларни билдириш. Энди (33.1)
сиртни ХОУ текисликка параллел текислик билан кесамиз.
(33.4)
Бу чизиқ ҳақиқий ўқи текисликда бўлиб, бўлганда ОХ ўқка парллел
гиперболан, бўлганда эса ҳақиқий ўқи ОУ ўқка параллел гиперболани тасвирлайди,
бўлса (33.4) дан ва
ҳосил бўлади.
Бу тенгламалар координата бошидан ўтган
тўғри чизиқ тенгламаларидир. Юқоридаги
таҳлиллардан кўринадики гиперболик парболоид
r – 45 да курсатилган эгар шаклда бўлиши келиб
чиқади. (33.1) тенгламада ва лар квадратда
қатнашганидан XOZ ва YOZ текисликлар
гиперболик параболоиднинг симметрия
)0,0(,22
22
qpq
y
p
xz
pzx
y
q
y
p
xz
2,
0
222
22
hx
hx
q
y
p
xz
22
22
)2
(22
2
p
hzqy
0h
0h
hz
hq
y
p
x
hz
q
y
p
xz
22,
022
22
22
hz 0h
0h 0h
0q
y
p
x0
q
y
p
x
x y
125
текисликлари бўлади. нуқтагиперболик параболоидни учи сонлар унинг
параметрлари дейилади.
Мавзуни такрорлаш учун саволлар:
1) Аналитик геометрияниг иккинчи масаласи нима?
2) Сиртни паралел кесиш усули билан ясашнинг мохиятини айтинг.
3) сирт нима деб номланади? Уни ясанг.
4) сиртни ясанг.
5) сиртни ясанг.
6) сиртни ясанг.
26-Maъруза
Mavzu: Топологик фазо ва уни киритиш усуллари. Очиқ ва ёпиқ тўпламлар.
Ички, чегаравий ва уриниш нуқталари
Метрик фазодаги очиқ ва ёпиқ тўпламлар
(X,) метрик фазо бўлсин. Бунда MX тўплам оламиз.
1-таъриф. Агар бўлса, у ҳолда М ёпиқ тўплам дейилади.
Ихтиёрий (X,) метрик фазода ёпиқ шар, Х нинг ўзи, бўш тўплам ва ҳар бир
чекли тўплам ёпиқ тўпламларга мисол бўлади.
Шунингдек (R,), (a,b)=|b-a| тўғри чизиқда ихтиёрий [c,d] кесма ёпиқ тўпламдир.
1-теорема. а) Чекли сондаги ёпиқ тўпламларнинг бирлашмаси яна ёпиқ тўплам бўлади;
б) Ихтиёрий сондаги ёпиқ тўпламларнинг кесишмаси ёпиқ тўплам бўлади.
Исботи. a) бу хоссани икки тўплам учун исботлаш етарли. Айтайлик F1 F2 ёпиқ
тўпламлар бўлсин, яъни ва ўринли. У ҳолда 2-§ даги теореманинг 4) хоссага
кўра . Демак, таърифга кўра F1F2 ёпиқ тўплам.
б) Айтайлик ихтиёрий сондаги {F}A ёпиқ тўпламлар системаси берилган ва х
уларнинг кесишмаси F= F тўпламнинг ўриниш нуқтаси бўлсин. У ҳолда х нинг ихтиёрий
атрофида F нинг камида битта, масалан, х1 элементи мавжуд ва кесишманинг хоссасига кўра
нинг барча қийматлари учун х1F бўлади. Демак, ихтиёрий учун х =F, яъни
хF=F бўлади. Демак, F ёпиқ тўплам. Теорема исбот бўлди.
Очиқ тўплам.
(X,) метрик фазо, MX бирор тўплам бўлсин.
)0;0;0(O qp,
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
14910
222
zyx
94
22 yxz
416
222 yx
z
ММ
_
S ),( 0 rх
11 FF_
22 FF_
212121 FFFFFF_____________
__
F
126
2-таъриф. Агар х нуқтанинг М тўпламда бутунлай жойлашган бирор атрофи мавжуд
бўлса, у ҳолда х нуқта М тўпламнинг ички нуқтаси дейилади.
Агар М тўпламнинг ҳамма нуқталари ички бўлса, у очиқ тўплам дейилади.
Ихтиёрий (X,) метрик фазода очиқ шар, R да (а;b) интервал очиқ тўпламга
мисол бўлади.
R да Q рационал сонлар тўплами очиқ тўплам эмас, чунки рационал сон ички нуқта
бўла олмайди, яъни, ихтиёрий рационал соннинг ҳар бир атрофи фақат рационал сонлардан
иборат эмас.
Шу каби иррационал сонлар тўплами ҳам очиқ тўплам эмас.
Бу тўпламларнинг R да ёпиқ тўплам эмаслигини ҳам кўриш қийин эмас.
2-теорема. Бирор GX тўпламнинг очиқ бўлиши учун унинг тўлдирувчиси, F=X\G=CG
ёпиқ бўлиши зарур ва етарли.
Исботи. Зарурийлиги. Айтайлик G очиқ тўплам бўлсин. У ҳолда ҳар бир хG нуқта
бутунлай G да жойлашган атрофга эга. Демак, бу атроф F билан кесишмайди. Бундан
кўринадики, F нинг бирорта ҳам ўриниш нуқтаси G га кирмайди. Демак F ёпиқ тўплам.
Етарлилиги. Айтайлик F=X\G ёпиқ тўплам бўлсин. У ҳолда G дан олинган ихтиёрий
нуқта F билан кесишмайдиган, демак G да бутунлай жойлашган атрофга эга, яъни G очиқ
тўплам.
Натижа. Бўш тўплам ва Х фазонинг ўзи ҳам очиқ, ҳам ёпиқ тўпламлардир.
3-теорема. Ихтиёрий сондаги очиқ тўпламларнинг бирлашмаси ва сони чекли бўлган
очиқ тўпламларнинг кесишмаси очиқ тўплам бўлади.
Исботи. Ушбу (X\G)=X\( ) ва (X\Gi)=X\( Gi) тенгликлардан ва юқорида
исботланган теоремалардан келиб чиқади.
1-Таъриф. (X,) метрик фазода бирор {xn} кетма-кетлик берилган бўлсин. Агар
ихтиёрий >0 сон учун шундай n0() номер топилиб, барча n>n0() лар учун (xn,x)<
тенгсизлик бажарилаверса, {xn} кетма-кетлик Х фазонинг х элементига яқинлашади дейилади
ва ёки xnх oрқали белгиланади.
Бу х нуқта {xn} кетма-кетликнинг лимити дейилади.
Агар {xn} кетма-кетлик Х фазонинг ҳеч бир нуқтасига яқинлашмаса, у узоқлашувчи
кетма- кетлик дейилади.
Равшанки, ихтиёрий метрик фазодаги кетма-кетлик лимити таърифини сонли кетма-кетлик
лимити таърифига келтириш мумкин:
Агар n да (xn ,x)0, яъни (xn,x)=0 бўлса, у ҳолда бу кетма-кетлик Х фазонинг
х элементига яқинлашади дейилади.
),( 0 rxS
G
n
i 1
n
i 1
lim nn
x x
limn
127
Метрик фазонинг элементлари сонлардан, сонли кортежлардан, геометрик фазо
нуқталаридан, чизиқлардан, функциялардан, умуман исталган табиатли бўлиши мумкин. Шу
сабабли кетма-кетлик лимитининг юқорида келтирилган таърифи кенг татбиққа эга.
Мисол. xn(t)=tn функциялар кетма-кетлиги C1[0;1] фазода (t)0 функцияга
яқинлашади.
Ҳақиқатдан ҳам, бу фазода (xn,)= = , демак n да (xn ,x)0 бўлиши
равшан.
Функцияларнинг ушбу кетма-кетлиги C[0;1] фазода (t)0 функцияга яқинлашмайди,
чунки бу ҳолда (xn,)= = tn=1 бўлади, яъни (xn ,x) 0.
27-Маъруза
Mavzu: Узлуксиз акслантиришлар ва гомеоморфизм. Скаляр аргументли
вектор функциялар
Баъзи метрик фазоларда яқинлашиш тушунчасининг маънолари.
1) Тривиал метрик фазода кетма-кетлик яқинлашувчи бўлиши учун бу кетма-
кетликнинг ҳамма элементлари бирор ҳадидан бошлаб бир-бирига тенг бўлиши зарур ва
етарли.
2) n–ўлчамли Евклид фазосида {xk} кетма-кетликнинг x элементга яқинлашиши учун,
xk вектор координаталари, мос равишда х вектор координаталарига яқинлашиши зарур ва
етарли.
Ҳақиқатан ҳам, агар R2n да (xk,x)= 0 (k ) бўлса, у ҳолда
,i=1,2,,n (k ) бўлади.
3) {xn(t)} кетма-кетлик C[a;b] фазонинг элементлари ва xn(t) x(t)C[a;b], яъни
(xn,x)= | xn(t) –x(t)| 0, n
бўлсин. Бундан, ихтиёрий >0 сони учун шундай n0=n0() натурал сон топиладики, t[a;b]
бўлганда
| xn(t) –x(t)|<
бўлиши келиб чиқади.
Демак, t[a;b] нинг барча қийматлари учун n>n0 бўлганда
| xn(t) –x(t)|<
тенгсизлик ўринли бўлади. Бу эса {xn(t)} кетма-кетликнинг x(t) функцияга текис
яқинлашишини билдиради. Ва аксинча, {xn(t)} кетма-кетлик [a;b] кесмада x(t) га текис
1
0
dtt n
1
1
n
11max
t
n
ii
k
ixx
1
2)( )–(
i
)k(
i xx
btamax
btamax
128
яқинлашса, у ҳолда (xn,x) 0 бўлади. Демак, С[a;b] фазода метрика маъносида яқинлашиш
математик анализдан маълум бўлган текис яқинлашиш тушунчаси билан устма-уст тушар
экан.
Метрик фазоларда узлуксиз акслантиришлар
(Х,X) ва (Y,Y) метрик фазолар бўлиб, T:ХY акслантириш берилган бўлсин.
1-таъриф. Агар M тўпламдаги x0 нуқтага Х да яқинлашувчи бўлган ихтиёрий {xn}M
кетма-кетлик учун ушбу TxnTx0 муносабат Y да бажарилса, у ҳолда Т акслантириш х0
нуқтада узлуксиз дейилади.
2-таъриф. Агар ихтиёрий >0 сони учун шундай >0 сон топилиб, Х(x0,x)< шартни
қаноатлантирувчи барча хХ лар учун Y(T(x0),T(x))< тенгсизлик бажарилса, у ҳолда Т
акслантириш х0 нуқтада узлуксиз дейилади.
3-таъриф. Агар b=T(x0) нуқтанинг ихтиёрий V атрофи учун Х фазода x0 нуқтанинг
T(U)V шартни қаноатлантирувчи U атрофи мавжуд бўлаверса, Т акслантириш х0 нуқтада
узлуксиз дейилади.
Бу учала таърифнинг тенг кучлилиги, ёки бошқача айтганда эквивалентлиги математик
анализ курсидаги функция узлуксизлиги каби исботланади.
Мисол. C[0;1] фазони R га акслантирувчи T:xx(1) акслантириш ихтиёрий а «нуқта»да
узлуксиз бўлади, бу ерда х ва а «нуқталар» [0;1] кесмада узлуксиз функциялар.
Ҳақиқатан, >0 сон берилган бўлсин. У ҳолда = деб оламиз. Энди C(a,x)= |x(t)–
a(t)|, R(Ta,Tx)=|x(1)–a(1)| C(a,x) бўлганлиги сабабли, C(a,x)< шартдан R(Ta,Tx)<
тенгсизликнинг келиб чиқиши равшан.
C1[0;1] фазони R га акслантирувчи T:xx(1) акслантириш (t)0 нуқтада узлуксиз
эмас.
Ҳақиқатан, xn(t)=tn кетма-кетлик C1[0;1] фазода (t)0 функцияга яқинлашади, лекин
Txn= xn(1)=1, T=0, демак (Txn) кетма-кетлик T га яқинлашмайди.
4-таъриф. Агар Т ўзининг аниқланиш соҳасининг ҳар бир нуқтасида узлуксиз бўлса,
у ҳолда Т узлуксиз акслантириш дейилади.
Хусусан Y=R бўлган ҳолда, узлуксиз акслантириш узлуксиз функционал дейилади.
С[0;1] фазони R га акслантирувчи Т(x)=x(1) акслантириш узлуксиз функционалга
мисол бўлади.
(Х,X) ва (Y,Y) метрик фазолар ва Т:XY акслантириш берилган бўлсин.
5-таъриф. Агар X фазодан олинган ихтиёрий a ва b нуқталар учун Х(a, b)= Y(T(a),T(b))
тенглик бажарилса, у ҳолда Т изометрик акслантириш ёки изометрия дейилади.
Равшанки, ҳар қандай изометрия узлуксиз акслантириш бўлади.
Текисликдаги ҳар қандай ҳаракат изометрияга мисол бўлади.
btamax
129
Узлуксиз акслантиришнинг хоссалари.
1-теорема. Айтайлик Т: ХY акслантириш Х фазонинг а нуқтасида, f:YZ
акслантириш Y фазонинг b=T(а) нуқтасида узлуксиз бўлсин. У ҳолда Х ни Z га акслантирувчи
хF(T(x)) мураккаб акслантириш а нуқтада узлуксиз бўлади.
Исботи. Z фазо c=F(T(а)) нуқтасининг ихтиёрий W атрофини оламиз. F акслантириш
b=T(а) нуқтада узлуксиз ва c= F(b) бўлганлиги сабабли, b нуқтанинг F(V)W шартни
қаноатлантирувчи V атрофи мавжуд. Шунга ўхшаш, Т акслантириш а нуқтада узлуксиз
бўлганлиги сабабли, бу нуқтанинг T(U)V шартни қаноатлантирувчи U атрофи мавжуд. У
ҳолда F(T(U))T(V)W га эга бўламиз. Бу эса хF(T(x)) акслантиришнинг а нуқтада узлуксиз
эканлигини исботлайди.
2-теорема. Агар Т акслантириш Х метрик фазони Y метрик фазога акс эттирувчи
узлуксиз акслантириш бўлса, у ҳолда Y фазодан олинган ихтиёрий очиқ тўпламнинг Х
фазодаги прообрази очиқ, ёпиқ тўпламники эса ёпиқ бўлади.
Исботи. Айтайлик G тўплам Y да очиқ бўлсин. X фазодаги D=T-1(G) тўпламнинг барча
нуқталари ички нуқта эканлигини исботлаймиз.
Фараз қилайлик аD ва T(а)=b бўлсин. У ҳолда bG ва G очиқ бўлганлигидан b нуқта
G тўпламнинг ички нуқтаси бўлади. Шунинг учун бу нуқтанинг G га тўлалигича тегишли
бўлган V атрофи мавжуд. Т акслантиришнинг а нуқтада узлуксизлигидан а нуқтанинг шундай
U атрофи мавжуд бўлиб, T(U)V бўлади. У ҳолда T(U)G, бундан эса UD=T-1(G) келиб
чиқади. Бу эса ихтиёрий аD нуқтанинг D га тегишли атрофи мавжудлиги, яъни а ички нуқта
эканлигини исботлайди. Шунинг учун D очиқ тўплам.
Ёпиқ тўпламнинг тўлдирувчиси очиқ эканлигидан, Y фазода бири иккинчисига
тўлдирувчи тўпламларнинг прообразлари, Х фазода ҳам бири иккинчисига тўлдирувчи
бўлишидан ва теореманинг исбот қилинган қисмидан иккинчи қисмнинг исботи келиб чиқади.
Теорема исбот бўлди.
Узлуксиз акслантиришда, очиқ тўпламнинг образи ҳар доим ҳам очиқ булавермайди.
Масалан, xsinx узлуксиз акслантиришда (–;) интервалнинг образи [–1;1] кесмадан
иборат.
28-Маъруза
Mavzu:Силлиқ сирт ҳақида тушунча. Сиртнинг биринчи квадратик формаси.
Сирт устидаги чизиқлар. Бош эгриликлар
130
131
132
133
134
135
Фойдаланиладиган асосий дарслик ва ўқув қўлланмалар, электрон таълим
ресурслари ҳамда қўшимча адабиётлар рўйхати
Асосий дарсликлар ва ўқув қўлланмалар
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм. Тошкент, «Ўқитувчи», 1996.
2. Н.Д.Додажонов, Р.Юнусметов, А.Абдуллаев. Геометрия. 2-қисм. Тошкент, «Ўқитувчи»,
1996.
3. Х.Х.Назаров, Х.О.Очилова, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1-қисм.
Тошкент, «Ўқитувчи», 1993.
4. Х.Х.Назаров, Х.О.Очилова, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 2-қисм.
Тошкент, «Ўқитувчи», 1997.
5. А.Я.Норманов. Дифференциал геометрия. Тошкент, «Университет». 2003.
Қўшимча адабиётлар:
1. Бахвалов М. Аналитик геометриядан машқлар тўплами. Тошкент ЎзМУ, 2006.
2. К.Х. Абдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент, «Ўқитувчи» 2002.
3. Борисович Ю.Г, Близняков Н.М., Израилович Я.А. Введение в топологию. Москва,
“Просвещение”, 1995.
4. К.Х. Абдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент, “Ўқитувчи”, 2004.
5. Р.Юнусметов ва бошқалар. Геометрия-1 (маърузалар матни), ТДПУ, 2005.
Электрон таълим ресурслари
1. http://window.edu.ru/window/
2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
3. http://www.allmath.ru/
4. http://www.pedagog.uz/
136
137
138
