第七章 風險，報酬，與投資組合

第一節 報酬的意義和衡量

一、報酬與報酬率 報酬 (Return) 一般指投資的收益 , 而報酬率 (Rate of

Return) 是指投資的收益率。 假設你在台積電每股 100 元時買進 10 張台積電股票 ,

總共花了 100 萬元 , 而在 3 個月後當台積電每股漲到 120 元時全部賣出 , 假設不考慮交易成本 , 因此，報酬便是 20 萬元 (120 萬元－ 100 萬元 ), 而報酬率就等於 20%(20 萬元 ÷100 萬元 ) 。 20% 就是投資台積電獲得的報酬率 , 也稱為實際報酬率 , 或稱為期間報酬率 (Holding Period Return) 。但是一般而言 , 當我們提到報酬時 , 常常是指報酬率而言。

另外你在投資台積電股票的期間 , 可能會獲得台積電所發放的現金股利 , 譬如說在這期間 , 你拿到每股分配 2 元的現金股利 , 總共股利收益為 2×1000×10=2 萬元 , 因此你的總報酬就等於你的資本利得加上股利所得 , 也就是等於 20 萬元再加上 2 萬元。

總報酬 = 資本利得 + 其他收益 (1)

總報酬為 22 萬元 , 而你的報酬率就是等於 22%(22 萬元 ÷100 萬元 ) 。因此報酬率可以寫成數學式 :

)2(%100期初資產價值

益期初資產價值＋其他收—期末資產價值報酬率＝

二、兩種計算多期平均報酬率的方法一般可分為 1. 算術平均法 (Arithmetic Average

Method) 2. 幾何平均法 (Geometric Average

Method)。

( 一 ) 算術平均法

算術平均法是將每一期的報酬加總再除以期數。

其中 Ri 為第 i 期的報酬率。 譬如說假設第 1 年初你以 100 元買進台積電股票 , 到了

第 1 年年底台積電股票漲為 120 元 , 到了第 2 年年底台積電股票上漲到 180 元 , 因此 , 第 1 年的報酬是 , 而第 2 年報酬是 。

以算術平均報酬率而言 , 就等於 。

)3(...21

N

RRR N

算術平均報酬率＝

%20100

100120

%50120

120180

%352

%50%20

( 二 ) 幾何平均法

幾何平均法是將 N 期的報酬率加上 1 相乘開 N 次根號再減 1, 其公式如下 :

幾何平均報酬率 =

同一個例子 , 幾何平均報酬率是

)4(1)1)...(1)(1( 21 NNRRR

%16.341)5.01)(2.01(

（續前） 一般而言，算術平均會大於幾何平均 例如： P1=100, P2=50, P3=80. 算數平均

為 +5%, 而幾何平均則約為 -10% 。 二者代表的投資策略不同 累積報酬：簡單加總 vs. 時間加權報酬率 (the time weighted

rate of return ) 。計算時間加權報酬率 , 需先分別計算投資期間各單期報酬率 , 再以複合的方式計算報酬率。

三、預期報酬率

前面所講的報酬率是從實際發生的股價資料來求得投資期間的實際報酬率 , 這可以算是一種事後的報酬率或是已實現的報酬率。

預期報酬率是一種期望的報酬率 , 就是事前的報酬率 , 計算公式如下：

其中 Pi 是報酬率為的機率。

N

iiiNN RPRPRPRP

12211 )5(... 預期報酬率＝

景氣情況 發生機率 台積電股價 報酬率好 0.4 180元 80%

持平 0.2 110元 10%

差 0.4 60元 -40%

例 1. 假設台積電目前股價為 100 元 , 假設當景氣好的時候 , 台積電股票

可能漲到 180 元 , 當景氣持平的時候 , 台積電股票可能維持只漲到110 元 , 當景氣差的時候 , 台積電股票可能跌到 60 元。另外假設景氣好的機會為 40% ，景氣持平的機會為 20% ，景氣差的機會為 40% ，如下表所示 :

請問投資台積電未來一年可能的報酬率為何呢 ?

。%18100

100118

《解》根據 (5), 當景氣好的時候 , 台積電的股價報酬率是 80%, 當景氣持平的時候 ,

台積電的股價報酬率是 10%, 當景氣差的時候 , 台積電的股價報酬率是 -40% ，因此預期報酬率 =0.4×80%+0.2×10%+0.4×(-40%)=18% 。

此 18% 就是持有台積電股票 1 年後的預期報酬率。

另外 , 我們也可以先算出台積電的預期股票價值為 40%×180+20%×110+40%×60=118 元 因此台積電股票的預期報酬率就是

p.s. Probability-weighted average.

第二節 風險的意義與衡量

一、風險的意義

風險就投資的觀點來講 , 可視為投資損失或發生不利情形的可能性。

信用風險或違約風險：如果說你買了某公司的公司債 , 當該公司由於經營困難發生倒閉 , 這時購買的公司債價格就會下降 ,甚至變成沒有價值 , 這也是一種風險 , 有時候我們稱為信用風險或違約風險。

流動性風險 , 這是指當需要將資產變現出售時 , 由於市場交易量少 , 無法完成出售或必須以較低價格出售的風險。

二、風險的衡量

這 裡 要 介 紹 的 風 險 是 指 投 資 報 酬 的 不 確定 性(Uncertainty) 。所謂投資報酬的不確定性是指實際報酬率分散的程度 , 或者是說實際報酬率和預期報酬率之間差異的可能性。譬如說銀行的存款 , 如果你存 1 年期銀行的存款 , 利率是 6%,1 年後 , 你的實際報酬率就是 6% ，就等於預期的報酬率。但是當你買了台積電的股票 , 你的預期報酬率是 18%, 但是到時候你有 40% 的機率報酬率是 80%, 有 20% 的機率報酬率是 10% ，有 40% 的機率報酬率是 -40% ，而這三種實際的報酬率 80% 、 10% 、 -40%,都和預期報酬率 18% 有所差異。

Ex: P0 = 100, P1=110 or 120, Risk?

一般常以報酬率的變異數 (Variance)或標準差 (Standard Deviation)及變異係數 (Coefficient of Variation) 來衡量風險的大小 , 分別說明如下。

( 一 ) 變異數及標準差的計算

變異數及標準差的計算步驟如下 : 1 計算預期報酬率或期望值報酬率 : 預期報酬率 = 2. 計算每一個可能報酬率與預期報酬率之差異 = 3. 計算每一組差異之平方 , 再將其乘以對應的機率 , 將這些

乘積加總可得報酬率之變異數 :

4. 求變異數之平方根即為標準差 :

N

iiii RPRE

1)(

)( ii RER

)6()(2

1

2 PRER i

N

iii

)7()(2

1 PRER i

N

iii

例 2. 同例 1, 求台積電報酬率之標準差。

《解》根據 (7), 台積電報酬率之標準差為

%544.0%)18%40(2.0%)18%10(4.0%)18%80( 222

例題： p.203, #13

假設 A 股票在景氣好，景氣持平，景氣差的報酬率分別為 40 ％， 10 ％， -20 ％。而發生的機率分別為 0.4 ， 0.2 及 0.4 ，求 A 股票預期報酬率的標準差：

(1)18.33 ％ (2)21.07 ％ (3)26.83 ％ (4)34.85 ％

Solution

Mean

Std

%10)20(*4.010*2.040*4.0 mean

%83.26720)1020(*4.0)1010(*2.0)1040(*4.0 222 std

P. 213, #68

假如 10,000 元賭注的期望報酬率的變異數為 V ，則 1 元賭注的期望報酬率的變異數為何？

(1)V/10,000 (2)V/10,0002 (3)V/100 (4)V

註：本題答案應為４，因為問的是報酬率變異數。若問的是「報酬變異數」則答案為 (2)

Explanation.

)var(*1000)*1000var( 2 xx

( 二 ) 變異係數

當兩種投資選擇的報酬率相同時 ,標準差可說是衡量風險的良好變數 , 因為標準差是衡量資料變異的絕對指標 ;

但如果兩種資產的期望報酬不相等時 ,直接利用標準差來比較兩種投資的風險大小會有誤差。

所謂的變異係數來標準化欲進行比較者的報酬基準。變異係數其實就是「單位預期報酬率所承擔的風險」。變異係數的公式如下 :

)8(%100 預期報酬率標準差

變異係數＝

例 3. 假設台積電和聯電的預期報酬率分別為 18%及 15% ，而標準

差分別為 54%及 40% ，求台積電及聯電的變異係數。 《解》根據 (8) 變異係數的定義 :

所以台積電的變異係數為

聯電的變異係數為

雖然台積電的期望報酬較高 , 但是聯電的變異係數較低。

%100預期報酬率標準差變異係數＝

%300%10018.0

54.0

%267%10015.0

40.0

P. 206,#32.

如果兩種資產，其中某一種資產其報酬率之分配越集中，表示其風險：

(1) 越大 (2) 越小 (3) 無法判斷 (4) 相等 例如：常態分配。落於正負一個標準差的機率為 2/3 ，正負三個標準差

間為 99.73% 。

第三節 風險與報酬的關係

風險溢酬

由上面的例子我們看出 , 一般而言 ,高報酬經常伴隨著高風險存在 , 因此對於高

風險的投資 , 一般要求的報酬 (Required Return) 也比較高。譬如說投資無風險的債券 , 假設平均報酬是 7%,那麼投資股票的平均報酬或要求報酬可能為 15%, 因此這兩者的差距 8%(15%-7%) 就可以視為是一種風險溢酬或風險貼水 (Risk Premium )。

風險溢酬就是投資者承擔風險所要求的額外報酬。譬如說投資大型股票的風險溢酬相對於投資小型股票的風險溢酬就來得比較小，因為大型股票的風險相對於小型股票一般來得小。

第四節 投資組合報酬與風險的衡量

一、投資組合報酬 所謂投資組合 (Portfolio) 是指由一種以上的證券或者是不同的資產所構成的投資的總集合。

N

iitiNtNttpt RwRwRwRwR

12211 ...

投資組合的預期報酬可由個別資產的預期報酬率乘上投資於個別資產的比重 ( 權數 ) 而得到 , 其公式如下 :

其中 為投資組合的預期報酬率 為投資第 i 種證券的權重 為第 i 種資產的預期報酬。

)()(...)()()(1

2211 i

N

iiNNp REWREWREWREWRE

)( pRE

iW

)( iRE

例 4. 假設台積電股票的預期報酬率是 18%, 而聯電股票的預

期報酬是 15% 。假設你將資金的 60% 投資於台積電股票 , 而將資金的 40% 投資於聯電股票 ,那麼你的投資組合的預期報酬率將為何 ?

《解》投資組合的預期報酬 = , 因此

因此這個投資組合的預期報酬為 16.8% 。

)(1

i

N

ii REW

%8.16%154.0%186.0)( pRE

共變異數 covariance

衡量二變數間的「互動」

En example: State: (Prob., Ra, Rb): good (40%, 2, 1),

Normal (20%, 0, 0), Bad (40%, -2, -1).

iii

N

ii PRERRERRR )]([)]([),cov( 22

1112112

例子 : perfect negative correlation狀態 機率 A B 1/3*A+2/3*B

好 40% 2 -1 0

一般 20% 0 0 0

差 40% -2 1 0

平均報酬（風險）

0(3.2)

0(0.8)

0(0)

Perfect positive correlation

狀態 機率 A B 1/3*A+2/3*B

好 40% 4 1 2

一般 20% 0 0 0

差 40% -4 -1 -2

平均報酬（風險）

0(12.8)

0(0.8)

0(3.2)

相關係數 二資產間的相關係數如下：

標準化，介於 -1 與 +1 之間

21

12

二、投資組合的風險計算

122122

22

21

21 2)( WWWWRVar p

122122

22

21

21 2)( WWWWRVar pp

2 212122

22

21

21 WWWWp

例 5. 假設台積電報酬的標準差為 54%,聯電報酬的標準差為

40% ，同上題，假設台積電和聯電的相關係數為 0.8,求此投資組合的標準差。

《解》投資組合的變異數 :

因此此投資組合的標準差 因此 , 此投資組合的標準差介於台積電和聯電的標準差

之間。

21352.04.054.08.04.06.024.04.054.06.0)( 2222 pRVar

%21.4621352.0)( pp RVar

例 6. 假設投資者將資金的 60% 購買台積電股票 , 將 40% 購買無風險

債券 , 債券的報酬率是 6% , 求此投資組合的預期報酬及標準差。 《解》此投資組合的預期報酬 而此投資組合的標準差 , 由於無風險的投資組合標準差 , 因此此投資組合的標準差就等於

。

因此 , 從例 3 可以看出 , 當一個投資組合包含一個風險性資產及無風險性資產時 , 此時此投資組合的標準差剛好等於風險性資產的權數乘以此風險性資產的標準差。

%2.13%64.0%186.0)( pRE

02

%4.3254.06.0 22

P.207, #36.

假設 A 股票的報酬率為 30% ，報酬標準差為 40% ，無風險債券的報酬率為 6% 。假設投資於 A 股票及無風險債券的權數各為 50% ，求此投資組合的期望報酬率的標準差：

(1)40% (2)15% (3)20% (4)10%

Ans: (4)

R_p=wR_A+(1-w)R_f

apap ww ,222

P.207, #39

某投資人，其資金 60 ％投資股票，預期報酬率為 20 ％，其 40 ％投資債券，預期報酬率為 8 ％，股票標準差為 15 ％，債券的標準差為 5 ％，兩者相關係數為 -0.5 。請問投資組合標準差？

(1)8.18 ％ (2)8.82 ％ (3)9.16 ％ (4)9.53％

Ans: (1)

Solution

%18.8

)5.0(*5.0*5.0*4.0*6.0*254.056.0

2

22222

pp

p

P. 213, #71

如果這次賭注的輸贏跟下次賭注的輸贏基本上不相關：

(1) 個別賭注報酬率間的變異數接近 0 (2)下注的人穩賺不賠 (3) 個別的賭注沒有風險 (4) 個別賭注報酬率間的共變異數接近 0

三、兩種以上資產投資組合的標準差衡量

N支股票的投資組合 , 其標準差為 :

其中， = 第 i支股票的權重 = 第 i支股票的標準差 = 第 i支股票和第 j支股票的相關係數 註：課本公式有誤。

N

i

N

i

N

ijjiijjiiip www

1

1

1

22 2 iw

iw

i

ij

P. 209, #45

假設 A 股票及 B 股票的報酬率分別為 40 ％以及 30 ％，報酬率標準差分別為 50 ％及 40 ％，假設投資於 A 股票及 B 股票的權數分別為 50％以及 50 ％，此投資組合的期望報酬率的標準差為 40.31 ％，試求這兩支股票的相關係數：

(1) 介於 0.1 與 0.3 之間 (2) 介於 0.3 與 0.5 之間 (3) 介於 0.5 與 0.7 之間 (4) 介於 0.7 與 0.9 之間

Solution: 0.6

第五節 風險分散

一、資產 ( 或證券 ) 數目的多寡與投資組合的風險 以平均加權投資組合為例：

其報酬變異數為：

為所有共變異數的平均。

NwRwR i

N

iitipt

1,

1

Cov)1

1(Var1

Cov1

)1(Var1

222

NNNNN

NNp

,Var1

Var1

N

iNCov

Example: N = 3 and 4.

N=3, sigma_12, 13, 23, 21, 31, 32. 6 covariance terms.

N = 4, sigma_14, 24, 34, 41, 42, 43. Six more terms. Total=12 covariance terms.

N increases => Covariance will not diminish.

continued

當N越來越大時, VarN

1 會越來越小,而整個投資組合的變異數會越來越接近Cov。

當證券的數目夠大時,個別證券的變異數會變得微不足道,但證券闊的共變異數會變得越來越重要。

如果平均共變異數等於0,整個投資組合的風險甚至可以完全被消除。

P. 212, #65

假設 N 為證券的數目， V 為這 N 種證券的平均變異數， C 為證券間的平均共變異數，每種證券的權數均為 1/N ，則其變異數為何？

(1)V/N (2)C/N (3)C/N+(1-1/N)V (4)V/N+(1-1/N)C

Ans; (4)

二、可分散風險與市場風險 當 US 投資組合含有的 40支左右的股票時 , 其風險大約

只剩個別證券平均風險的一半而己 , 另一半的風險已經因為證券種類的多樣化 ( 另說 , 風險分散 ) 而被消掉了。

風險之所以可以被消去 ,主要是因為不同證券的價格不會齊漲齊跌 ,換句話說 , 是因為證券間的相關係數小於 1 。當證券的價格不會齊漲齊跌時 ,證券的漲跌就有可能互相抵銷 , 風險因而會降低。

可以藉著風險分散的方法 ( 或說 ,增加證券的種類 ) 而被分散掉的風險 , 稱之為可分散風險(Diversifiable Risk ), 公司獨特風險 (Unique Risk

), 或非系統性風險 (Unsystematic Risk ) 。分散不掉的風險則稱之為市場風險 (Market Risk ),

系統性風險 (Systematic Risk ), 或不可分散的風險 (Undiversifiable Risk )。

可分散風險或公司獨特的風險的來源 , 是那些只影響個別公司 (及其直接的競爭對手 ) 的隨機事件 , 例如新品片製程或新藥物開發的成功與否 ,人為或天然災害所造成的公司財產的損失 , 公司經營的效率等。

由於可分散風險只影響個別公司 , 公司間的可分散風險彼此不太相關 , 因此 , 當投資組合內的證券種類增加時 , 這些風險便有可能互相消掉。所以是可以被分散掉的。

市場風險 , 指的是影響整個市場 , 甚至整個經濟的風險 , 例如利率、通貨膨脹率、外匯、石油價格、經濟衰退、戰爭等。由於大部分的公司都同樣受到市場風險的影響 , 市場風險還是無法被消除。

P. 204, #18

個別股票之標準差通常高於市場投資組合的標準差，這是因為個別股票：

(1) 提供更高的報酬 (2) 個別股票受限於市場風險 (3) 無法分散風險 (4) 無獨一風險

P. 209, #49

投資組合之風險可以降低，主要是因為：

(1) 各證券之報酬率變異數有正有負 (2)時間報酬機率分配不同 (3) 各證券之 β值小於 0 (4) 各證券之相關係數小於 1

P. 212,#63

投資組合的變異數等於？

(1) 證券報酬率的平均變異數與平均共變異數的加權平均 (2) 證券報酬率的平均變異數 (3) 證券變異數的平均共變異數 (4) 個別證券報酬率變異數的總和

P. 215, #78

下列那一項對投資人來說屬於可分散的風險？ (A) 阿拉伯國家原油量減少 (B)公司外銷所得美元的匯率升值 (C) 公司財產可能遭遇颱風災害損失 (D) 公司開發新產品的成本

(1)A與 B (2)B與 C (3)C與 D (4)A與 D

P. 215, #79.

下列那一項對投資人來說屬於不可分散的風險？

(1) 公司新產品研發的成功與否 (2) 公司外銷所得美元的匯率 (3) 公司經營團隊的效率 (4) 公司火災

三、市場風險的衡量

市場風險可以用貝他 (β)係數來衡量。貝他係數代表資產 ( 可以是個別證券或投資組合 ) 投資報酬率對市場的敏感度(Sensitivity )。

市場上所有證券的投資組合 (又稱市場投資組合 (Market Portfolio) ) 的貝他係數定義為 1 。

貝他係數大於 1 的證券或投資組合 , 其投資報酬率的變動會與市場投資組合報酬率的變動同向 , 但幅度更大 ;

貝他係數小於 1 但大於 0 的資產 , 其投資報酬率的變動還是會與市場投資組合報酬率的變動同向 , 但幅度比較小 ;

貝他係數小於 0,則代表此資產投資報酬率的變動與市場反向。

補充：「市場投資組合」

iii

i

iiiim SPMV

MV

MVwRwR *,,

系統風險 資產 i 的貝他係數

可用迴歸分析來估計資產的貝他係數：

見下圖

2,

2

),(

m

mimi

m

mii

RRCov

titmiiti RR ,,,

P. 208, #43

下面哪一項不是市場投資組合的正確描述？

(1) 市場投資組合包括市場上所有的風險性資產 (2) 市場投資組合基本上已不含有非系統性風險 (3) 市場投資組合的風險比其他風險性資產的風險要低 (4) 市場投資組合的貝他係數為 1

P. 218, #95

有關市場投資組合的敘述，何者正確？

(1) 市場投資組合包含了證券市場所有資產的投資組合 (2) 市場投資組合以每個資產的總市價占市場總值的比例組成權數 (3) 以上敘述皆為正確 (4) 以上敘述比為錯誤。

第六節 資本資產定價理論(Capital Asset Pricing Model)

多資產的效率集合與效率前緣

無風險借貸的加入 Rp = wRa+(1-w)Rf=w(Ra-Rf)+Rf =>Rp-Rf=w(Ra-Rf) =>E(Rp)-Rf=w(E(Ra)-Rf)……..(1) var(Rp)=w^2*var(Ra) =>std(Rp)=w*std(Ra) ………(2) (1)/(2) => E(Rp) = k std(Rp) (see next page)

P. 210, #51

投資風險可藉由投資組合分散降低的原因為：

(1) 各證券存在有非系統性風險 (2) 各證券之相關係數小於 1 (3) 可行集合(feasible set)曲線內彎 (4) 以上皆是

證券期望報酬率與風險的關係 下圖中 ,橫軸是貝他係數 ,縱軸則是期望投資報酬率。市場投

資組合的貝他係數會是 1, 而無風險投資的貝他係數則會是 0( 因為它無風險 , 不會隨著市場的起伏而波動 ) 。把代表無風險投資的 Rf與代表市場投資組合的 M 以直線相連 , 稱其為證券市場線 (Security Market Line ) 。我們會發現 , 在均衡的市場中 , 所有的證券都應該落在這條線上。假設 B證券是在證券市場線之下 , 不會有投資人願意購買 B證券 , 因為我們可以用無風險投資及市場投資組合 , 組成一個跟 B證券有相同貝他值的投資組合 , 但期望投資報酬率卻比 B證券要高 ( 如圖中的 M 點 ) 。投資人因此不會想要投資在 B證券上 ,B證券的價格因而會滑落 ,直到 B證券回到證券市場線上為止。

SML 證券市場線

資本資產定價模型 (CAPM)

Ri = Rf + β × (Rm-Rf)

證券的期望 = 無風險投資報酬率 + 貝他係數 × ( 市場期望投資報酬 報酬

率－無風險投資報酬率 )

資本資產定價模型（也稱為證券市場線 security market line (SML))告訴我們：

證券的期望投資報酬等於無風險投資報酬率 , 加上某些風險溢酬 ,

而溢酬的大小則等於該證券的貝他係數乘以市場投資組合的風險溢酬。

根據資本資產定價模型 , 投資人要求的期望投資報酬率取決於兩件事。

第一 ,對金錢的時間價值的補償 ( 等於無風險投資報酬率 ) 。

第二 , 風險溢酬 ( 由市場風險溢酬與投資組合貝他係數來決定 ) 。

資本資產定價模型以簡單的形式捕捉到了兩個重要的想法。

第一 , 幾乎所有的人都會同意 , 投資人對風險的承擔會要求額外的報酬。

第二 , 投資人 ,尤其是法人投資人 ,主要關心無法被風險分散到的市場風險 ,比較不擔心個別股票的風險。

P.219, 105

根據資本資產定價模型 (CAPM) 的公式，證券的貝他係數等於：

(1) 證券的期望報酬除以無風險利率 (2)證券的期望報酬除以市場投資組合的期望報酬 (3) 證券的期望報酬除以市場投資組合的風險溢酬 (4) 證券的風險溢酬除以市場投資組合的風險溢酬。

Ans: (4) (see next page).

Solution.

fm

fii

fmifi

RR

RR

RRRR

)(

P.221, #113

關於資本資產定價模式 (CAPM) 中，所有投資組合皆會：

(1) 提供相同的報酬率 (2) 和效率投資組合落在同一條線上 (3) 提供相同的市場風險 (4) 均落在證券市場線上

Ans: (4)

P.221,#114

如果有資產是在證券市場線之上：

(1)眾人會競相購買此資產 (2)眾人會競相拋售此資產 (3) 此資產的貝他係數大於 1 (4) 此資產的貝他係數小於 1

Ans: (1)

第七節 投資績效評估

四種績效衡量指標方法 :

1. 調整風險後績效 (Risk-adjusted

performance ;

RAPA)、 2. 夏普指標 (Sharpe index )、 3. 詹森指標 (Jensen index )

4. 崔諾指標 (Treynor index )

二、夏普指標和調整風險後績效

最常用來衡量風險的方法是估計報酬率的變異數或標準差。標準差是衡量總風險 (Total Risk ) 的。總風險包含系統性風險和非系統性風險兩部份。

夏普指標的定義是將被評比之基金或投資組合的平均報酬率減掉市場無風險利率後的超額報酬率 (Excess Return ) 除以報酬率的標準差。

夏普指標關心的是投資人所面臨的總風險 , 而非貝他風險 夏普指標較適用於接受評比之投資標的實際上佔投資人的絕大部

分或全部投資比例者。換言之 , 投資人所承擔的風險不只是不可分散的系統性風險而己 , 而是總風險。現將該指標以數學式表示如下 :

這裏 代表投資組合 p 的平均報酬率 ; 代表市場無風險利率 ;而 則是投資組合 p 的報酬率標準差。

p

fpp

RRS

pR fR p

假設你要對甲、乙兩種共同基金進行績效評比。甲基金過去3 年的報酬率為 5%,8%,11%;乙基金過去 3 年的報酬率為 3% ，12%,21%; 而市場上的 1 年期定存利率則是 4% 。根據計算 ,

甲基金的年平均報酬率等於 (5+8+11) /3 = 8% ，標準差則等於 ；乙基金的年平均報酬率等於 (3+12+21)/3=12% ，標準差則是 。

Sharpe A = (8-4)/2,45=1.63, Sharpe B = (12-4)/7.35=1.09

%45.2)811(3

1)88(

3

1)85(

3

1 222

%35.7)1221(3

1)1212(

3

1)123(

3

1 222

RAPA

一投資組合 j的 RAPA 可表示如下 :

此處 為基準投資組合報酬率的標準差； 和 是投資組合 j 的平均報酬率和標準差； 則是市場無風險利率。

)()( fjj

B RRjRAPA

B jRj

fR

Sharpe ratio and RAPA

BjBj

fjfj

j

B oSharpeRatiRR

RRRAPA

*)(

P.227, #142

已知甲基金的風險調整後績效指標(RAPA) 等於 12% ，而且甲基金的平均超額報酬率是 16% ，標準差是 8% ，請問基準投資組合 (benchmark portfolio) 的報酬率標準差為：

(1)9% (2)8% (3)7% (4)6% Ans: (4)

1. 夏普指標只能採用標準差來衡量風險 , 但是 RAPA卻可利用除了標準差以外方法來估計風險 , 只要這些方法能滿足下列條件 :(1)借貸行為對投資組合的報酬率和風險有相同的影響 ;亦即 , 同時增加或減少 ;(2) 在任何風險水準下 ,借貸行為不會改變投資組合績效優劣的排序。

2. 相對於夏普指標 ,RAPA 有一個缺點。嚴格來說 ,RAPA只能用來比較投資目標相同的共同基金 , 因為它們適用一樣的基準投資組合。如果被評比的基金類別不一樣而必須採用不同的基準投資組合時 ,RAPA 就可能產生誤導投資人的結果。

如果基金經理人真有選股能力 ,且能持續地幫投資人獲取超額報酬呢 ? 根據理論 , 此能力會反映在 殘差項上 ,使其平均值不為零。詹森指標就是建立在這個特性上。

我們以 來代表投資組合 j 的詹森指標。 可由下式決定。

j

j j

jfmjjfj RRRR )(

)()( fmjfjj RRRR

Treynor 指標 公式如下

崔諾指標只針對貝它風險來調整超額報酬率。因此更適合在被評估的投資組合只佔投資人龐大之投資組合之小部分的情形下使用。

j

fjj

RRT

P.226,#139

假設乙基金的貝他值為 1.2 ，而且它的崔諾指標價值與詹森指標值分別等於 15%和 6% ，請問此時市場所提供的平均風險貼水是：

(1)7% (2)8% (3)9% (4)10% Solution: (4)

Solution

Ti=(Ri-Rf)/beta => Ri-Rf = Ti*beta=15*1.2=18 alpha=(Ri-Rf)-beta*(Rm-Rf) =>Rm-Rf=-[alpha-(Ri-Rf)]/beta =-(6-18)/1.2=10%

P.228, #147.

以下何者為非？ (1)夏普指標關心投資人面臨的總風險

(2)調整風險後績效 (RAPA) 關心投資組合的系統風險 (3)詹森指標反映基金經理人的選股能力 (4)崔諾指標關心投資人的貝他 (β) 風險

Ans: (2)

結論 Thanks for your patience and Good Luck!