หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น

101

หนวยการเรียนรูที่ 3 ระบบสมการเชิงเสนระบบสมการเชิงเสน

มาตรฐานการเรียนรู

มาตรฐาน ค 4.2 : ขอ 3, 4 และ ขอ 5 มาตรฐาน ค 6.1 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.2 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.3 : ขอ 1 มาตรฐาน ค 6.4 : ขอ 1 และ ขอ 2 มาตรฐาน ค 6.5 : ขอ 1

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

1. อานและแปลความหมายของกราฟของ ระบบสมการเชิงเสนได 2. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรได 3. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไป ใชแกปญหาได 4. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบท่ีได

สาระการเรียนรู

3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 คาบ) 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ) 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 คาบ)

พรอมหรอืยงั ? ถาพรอมแลว ก็เริม่เรยีนแลวนะครับ

102 ส่ือเสริมสาระการเรียนรู คณติศาสตรพื้นฐาน ม.3

ครูครรชิต แซโฮ โรงเรียนจันทรประภัสสรอนุสรณ สพท.ยะลา เขต 3

จงใชวิธีการ +, −, ×, ÷, และเลขยกกําลังเพื่อหาคําตอบของ แตละขอตอไปน้ี

หมายเหตุ

จํานวนแตละจํานวนนําไปใชไดเพียงคร้ังเดียวเทาน้ัน

อุนเคร่ืองกบัอุนเคร่ืองกบัชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

1) 5 6 7 3 เทากับ 24

2) 9 3 4 1 เทากับ 24

3) 1 2 3 5 เทากับ 24

หนวยการเรียนรูท่ี 3 ระบบสมการเชิงเสน 103


33..11 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปล

ความหมายกราฟของ ระบบสมการได 2. หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสสองตัวแปรจากกราฟ

ท่ีกําหนดใหได

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา

คณิตศาสตร

MATH

Series



ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ใหนักเรียนพิจารณาผลไมสองอยางไดแก สมและมะมวง ซ่ึงมีจํานวนผลรวมกันเปน 10 ผลถามีสมอยู x ผลและมีมะมวงอยู y ผล จะเขียนสมการไดเปน ………………………… แลวนํามาเขียนในรูปตารางดังนี้

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 9 8

จากตาราง เม่ือนํามาเขียนเปนคูอันดับ จะได (1, 9), (2, 8), …………………………………………………………………………………. ซ่ึงคูอันดับทุกคูขางตนเปนคําตอบของสมการ ………………………… เม่ือ x แทนจํานวน

สม และ y แทนจํานวนมะมวง นอกจากจะเขียนในรูปคูอันดับแลว ยังสามารถนํามาเขียนกราฟแสดงความสัมพันธไดดังนี้

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

จากกราฟ จะพบวา ถามีสม 1 ผล จะมีมะมวง ……… ผล และถามีสม ……… ผล จะมีมะมวง 5 ผล

สมการ x + y = 10 เปนสมการเชิงเสนสองตัวแปร และคําตอบของสมการ x + y = 10 เปน คูอันดับของจํานวนเต็มบวกเทานั้น ลักษณะของกราฟจึงเปนจุดเรียงในแนวสวนของเสนตรง

เม่ือ x และ y เปนจํานวนจริงใด ๆ กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังกลาวจะเปนเสนตรง ดังนี้

9 8 7 6

5

4 3 2 1

•

•



Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

นอกจากนี้นักเรียนเคยทราบมาแลววาสมการเชน x + 3y = 2, 2x – y = 4 และ 3x + 2y = 6 เปน สมการเชิงเสนสองตัวแปร ซ่ึงรูปท่ัวไปเปน

Ax + By + C = 0 (*) เม่ือ x, y เปนตัวแปร และ A, B, C เปนคาคงตัว โดยท่ี A≠ 0 และ B≠ 0

คูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการ (*) เรียกวา คําตอบของสมการ และกราฟแสดงคําตอบของสมการ Ax + By + C = 0 นี้ จะเปนเสนตรง

ใหนักเรียนพิจารณาสมการตอไปนี้ x – 3y = 6 (1) 2x – 6y = 8 (2)

ระบบท่ีประกอบดวยสมการ (1) และสมการ (2) ขางตนเปนตัวอยางของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ให a, b, c, d, e และ f เปนจํานวนจริงท่ี a, b ไมเปนศูนยพรอมกัน และ c, d ไมเปนเปนศูนยพรอมกัน เรียกระบบที่ประกอบดวยสมการ

ax + by = e cx + dy = f

วา ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรท่ีมี x และ y เปนตัวแปร และกลาววา a และ c เปนสัมประสิทธ์ิของ x และ b และ d เปนสัมประสิทธ์ิของ y

9 8 7 6

5

4 3 2 1



นอกจากนี้คําตอบของระบบสมการ คือ คูอันดับ (x, y) ท่ีสอดคลองกับสมการทั้งสองของระบบสมการ หรือ คูอันดับ (x, y) ท่ีคา x และคา y ท่ีทําใหสมการท้ังสองของระบบสมการเปนจริง

ใหนักเรียนพิจารณาการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรดวยการเขียนกราฟของแตละสมการบนระนาบโดยใชแกนคูเดียวกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยางท่ี 1 กําหนด x + y = 6 (1) 2x – y = 3 (2)

จงเขียนกราฟของสมการท้ังสอง

วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ x + y = 6 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ 2x – y = 3

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึงตัดกันท่ีจุด ……………… เพียงจุดเดียว แสดงวามีคูอันดับเพียงคูเดียว คือ ……………… ท่ีเปนคําตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว คือ ………………



ตัวอยางท่ี 2 กําหนด x + y = 2 (1) 2x + 2y = 4 (2)


วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ x + y = 2 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ 2x + 2y = 4

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึง ……………… แสดงวามีคูอันดับเพียงทุกคูท่ีเปนพิกัดของจุดบนเสนตรงท่ีทับกันนี้ เปนคําตอบของระบบสมการ

ใหนักเรียนยกตัวอยางคําตอบของระบบสมการมา 5 ตัวอยาง ……………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัด คือ ………………



ตัวอยางท่ี 3 กําหนด y – x = 3 (1) y = x + 3 (2)


วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

จากกราฟ จะพบวา มีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ y – x = 3 และมีคูอันดับมากมายท่ีเปนคําตอบของสมการ y = x + 3

เนื่องจากกราฟของสมการท้ังสองเปนเสนตรงสองเสนซ่ึง ……………… จึงไมมีคูอันดับใด เปนคําตอบของระบบสมการ

ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงไมมีคําตอบ

จากตัวอยางท้ังสามขางตน จะพบวา ลักษณะของคําตอบของระบบสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว มีดังนี้

(1) ระบบสมการอาจมีเพียงคําตอบเดียว (2) ระบบสมการอาจมีหลายคําตอบ (3) ระบบสมการอาจไมมีคําตอบ



1. จงเขียนกราฟ แลวหาวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ มีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ หรือไมมีคําตอบ 1) x + 2y = 4, 2x + 3y = 7 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

2) y + x = -2, 2y + 2x = -4 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

กิจกรรมที่ 3.1 : ทักษะการส่ือสาร สื่อความหมายและการนําเสนอ



3) x – 3y = 6, 2x – 6y = 8 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

4) 2x + y = -3, 4x + 2y = -6 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y



5) 2y – x = 6, 2y = x – 4 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y

6) 2x – 3y – 14 = 0, 3x + 2y = 8 ตอบ…………………………………………… วิธีทํา ……………………… ………………………

x x

y y



2. จากกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ จงหาวาแตละระบบสมการมีคําตอบหรือไม ในกรณีท่ีมีคําตอบใหระบุคําตอบนั้น 1)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 2)

ตอบ………………………………………………………………………………………

6y + 4x = -12

3y + 2x = -6

2x + y = 3

2x + y + 5 = 0



3)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 4)

ตอบ………………………………………………………………………………………

x + 2y = 4 2x - 3y = 1

x + y = 0 x – 3 = 0



5)

ตอบ……………………………………………………………………………………… 6)

ตอบ………………………………………………………………………………………

x + 2y = 4 y = x + 5



33..22 การแกระบบสมการเชิงเสนการแกระบบสมการเชิงเสน

สองตัวแปรสองตัวแปร

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค

ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน 1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเชื่อม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา


จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัติของการเทากันได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

MATH

Series



การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ในช้ันมัธยมศึกปท่ี 1 และช้ันมัธยมศึกปท่ี 2 นักเรียนเคยไดเรียนเร่ืองการแกสมการมาแลว ซ่ึงการแกสมการเปนการหาคําตอบของสมการ ในทํานองเดียวกัน การแกระบบสมการเชิงเสน สองตัวแปรเปนการหาคําตอบของระบบสมการดวย

การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร นอกจากจะใชกราฟแลว เราอาจหาคําตอบโดยใช สมบัติของการเทากัน ซ่ึงไดแก………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

การหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยวิธีนี้ ในทางคณิตศาสตรถือวา เม่ือใชสมบัติดังกลาวแลวจะไดระบบสมการเชิงเสนใหมท่ีมีคําตอบเดียวกันกับคําตอบของระบบสมการ เชิงเสนท่ีโจทยกําหนดให หรือกลาววาระบบสมการท้ังสองสมมูลกัน

การแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา การแกระบบสมการโดยการเขียนกราฟในบางคร้ังอาจจะไดคําตอบท่ีไมชัดเจน ดังนั้นจึง

สามารถแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคา ซ่ึงมีวิธีการดังนี้ 1) แกสมการโดยใหตัวแปรตัวหนึ่งอยูในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง (ถาเปนไปไมไดควรทําใน

รูปเศษสวน) 2) แทนคาตัวแปรท่ีไดจากขอ 1) ในสมการอีกสมการหน่ึง ทําใหเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว 3) แกสมการท่ีไดจากขอ 2) 4) แทนคาคําตอบท่ีไดจากขอ 3) ลงในขอ 1) ก็จะไดคําตอบท้ังหมดของระบบสมการ

ตัวอยางท่ี 1 จงแกระบบสมการ x + y = 16 และ y – x = 2 วิธีทํา x + y = 16 (1)

y – x = 2 (2) จาก (2) ในรูปตัวแปร x จะได y = 2 + x (3) แทนคา y จาก (3) ในสมการ (1) จะได

x + (2 + x) = 16 2x + 2 = 16 2x = 16 – 2 = …………

2x2 = …………

x = …………



แทนคา x = 7 ใน (3) จะได y = 7 + 2 = 9

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได 7 + 9 = 16 9 – 7 = 2 ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ (7, 9)

ตัวอยางท่ี 2 จงแกระบบสมการ x – y = 6 และ 2x – y = 4 วิธีทํา x – y = 6 (1)

2x – y = 4 (2) จาก (1) ในรูปตัวแปร y จะได x = 6 + y (3) แทนคา x จาก (3) ในสมการ (2) จะได

2(6 + y) – y = 4 12 + 2y – y = 4

12 + y = 4 y = ………… y = …………

แทนคา y = -8 ใน (3) จะได x = 6 + ………… = …………

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………… = 16 ………………… = 4 ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ……………………



จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + y = 20 และ x – y = 4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. x + y = 12 และ 2x – y = 3 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมที่ 3.2 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา และการเชื่อมโยง



3. 2x + y = 6 และ 3x + 4y = 4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. x + 2y = 1 และ x – 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



การแกระบบสมการดวยวิธีการทําใหสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเทากัน

นอกจากจะแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาแลว ยังสามารถการแกระบบสมการดวยวิธีการทําใหสัมประสิทธ์ิของตัวแปรเทากัน ซ่ึงมีวิธีการดังนี้

1) เขียนสมการท้ังสองใหอยูในรูป Ax + By = C เม่ือ A, B, C เปนคาคงตัว 2) ถาจํานวนน้ันเปนเศษสวนหรือทศนิยมใหทําใหเปนจํานวนเต็ม โดยถาเปนเศษ จะตอง

คูณดวย ค.ร.น. ของตัวสวน และถาเปนทศนิยม จะตองคูณดวย 10 หรือ 100 หรือ 1,000, … เพื่อทําใหเปนจํานวนเต็ม

3) ทําสัมประสิทธ์ิของแตละตัวใหเทากัน โดยนําตัวเลขมาคูณตัวแปรแตละตัว 4) ทําสัมประสิทธ์ิของตัวแปรแตละตัวใหหมดไป โดยการบวกหรือลบสมการท้ังสอง 5) เม่ือแกสมการไดคําตอบของตัวแปรตัวหนึ่งแลว ใหนําคาของตัวแปรไปแทนในสมการ

เพื่อไดคําตอบของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง

ตัวอยางท่ี 3 จงแกระบบสมการ 5x + 3y = 17 และ -5x + 2y = 3 วิธีทํา 5x + 3y = 17 (1)

-5x + 2y = 3 (2) นําสมการ (1) + (2) จะได (5x + 3y) + (-5x + 2y) = 17 + 3

5y = 20 ………… = ………………

แทนคา y = ………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

สมการ (1) + (2) หมายถึง นําจํานวนท่ีอยูขางเดียวของเคร่ืองหมายเทากับของ (1) และ (2) มาบวกกัน เพื่อทําใหสมการมี x เปนตัวแปรตัวเดียว



ตัวอยางท่ี 4 จงแกระบบสมการ 3x + 3y = 15 และ 2x + 6y = 22 วิธีทํา 3x + 3y = 15 (1)

2x + 6y = 22 (2) นํา (1)×2 จะได 6x + 6y = 30 (3) นําสมการ (3) – (2) จะได (6x + 6y) – (2x + 6y) = 30 – 22 ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

ตัวอยางท่ี5 จงแกระบบสมการ 2x + 4y = 3 และ 3x + 6y = 8 วิธีทํา 2x + 4y = 3 (1)

3x + 6y = 8 (2) นํา (1)×3 จะได 6x + 12y = 9 (3) นํา (2)×2 จะได 6x + 12y = 16 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได (6x + 12y) – (6x + 12y) = 30 – 22 ………………………… = ……………… ………………………… = ……………………………………………….. ดังนั้น ระบบสมการนี้ไมมีคําตอบ

นํา (1)×2 เพ่ือทําใหสัมประสิทธิ์ของ y เทากัน



ตัวอยางท่ี 6 จงแกระบบสมการ x – 2y = -3 และ -3x + 6y = 9 วิธีทํา x – 2y = -3 (1)

-3x + 6y = 9 (2) นํา (2) ÷ (-3) จะได ……………… = ……………… (3) จะเห็นวาสมการ (3) ท่ีไดจากสมการ (2) เปนสมการเดียวกับ (1) แสดงวา สมการ (1) และสมการ (2) มีคําตอบเปนอยางเดียวกันซ่ึงมีมากมายไมจํากัด ดังนั้น จึงหาคูอันดับท่ีเปนคําตอบของระบบสมการน้ีไดจากสมการใดสมการหน่ึง ดังนี้ จากสมการ (1) จะได 2y = x + 3

…………… = ……………… ดังนั้น ระบบสมการนี้จึงมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูปคือ ……………………

ตัวอยางท่ี 7 จงแกระบบสมการ -0.3x + 0.5y = -0.1 และ 0.01x – 0.4y = -0.8 วิธีทํา -0.3x + 0.5y = -0.1 (1)

0.01x – 0.4y = -0.8 (2) นํา (1)×10 จะได ……………… = ……………… (3) นํา (2)×……… จะได x + 40y = -38 (4) นํา (4)×3 จะได ……………… = ……………… (5) นําสมการ (3) + (5) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………



ตัวอยางท่ี 8 จงแกระบบสมการ 12

x + 23

y = 1 และ 34

x – 13

y = 2

วิธีทํา 12

x + 23

y = 1 (1)

34

x – 13

y = 2 (2)

นํา (1)×…… จะได ……………… = ……………… ……………… = ……………… (3)

นํา (2)×…… จะได ……………… = ………………

……………… = ……………… (4)

นําสมการ (3) + (4) จะได ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… ………………………… = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

………………………… = …………………………………

ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได

………………………… = …………………………………

………………………… = ………………………………… ซ่ึงเปนจริง

ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………

ค.ร.น. ของ 2 และ 3 คือ…………

ค.ร.น. ของ 4 และ 3 คือ…………



จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. x + 3y = 7 และ -x + 4y = 7 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. x – 2y = 6 และ -x + 3y = -4 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. 3x – y = 7 และ 4x – 3y – 11 = 0 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



5. x + 2y – 1 = 0 และ 2x + 4y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

6. 4x – 3y = 12 และ x = 34

y + 3

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



7. 0.2x + 0.3y = 0.1 และ 0.03x – 0.01y = 0.07 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

8. 35

x + 23

y = 14 และ 34

x – 13

y = 14

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



นักเรียนไดเรียนการแกระบบสมการดวยวิธีการแทนคาและวิธีการทําใหสัมประสิทธ์ิของ ตัวแปรเทากันแลว นักเรียนจะเห็นวา จะใชวิธีการใดก็ได ซ่ึงคําตอบของระบบสมการจะเทากัน แตการใชวิธีการแกระบบสมการท่ีเหมาะสมจะชวยทําใหหาคําตอบของระบบสมการไดรวดเร็ว

ตัวอยางท่ี 9 จงแกระบบสมการ 2x = 5y + 1 และ 24 – 7x = 3y วิธีทํา 2x = 5y + 1 (1)

24 – 7x = 3y (2) จากสมการ (1) จะได

x = ……………… (3) แทนคา x = ………… ในสมการ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… แทนคา y = ………… ในสมการ (3) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ตรวจคําตอบ แทนคา x และ y ใน (1) และ (2) จะได ………………………… = ……………… ………………………… = ……………… ซ่ึงเปนจริง ดังนั้น คําตอบของระบบสมการ คือ ………………



จงแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรตอไปนี้ 1. 11x + 8y = -12 และ 13x – 6y = 83 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. 2x + 3y = 1.6 และ 3x – 4y = 4.1 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..




3. x + 7y = 8 และ 3x + 2y = 5 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. 2x – 3y = -9 และ 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 วิธีทํา ………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



33..33 โจทยโจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปรสมการเชิงเสนสองตัวแปร

ดานทักษะ / กระบวนการ : นักเรียนมีความสามารถใน 1. การคิดคํานวณ 2. การแกปญหา 3. การใหเหตุผล 4. การส่ือสาร การส่ือความหมาย และการนําเสนอ 5. การเช่ือมโยง 6. ความคิดริเร่ิมสรางสรรค ดานคุณลักษณะ : ปลูกฝงใหนักเรียน

1. มีความรับผิดชอบ 2. มีความสนใจใฝรู 3. มีความรอบคอบ มีระเบียบวินัย 4. มีความเช่ือม่ันในตนเอง 5. มีวิจารณญาณและทํางานอยางเปนระบบ 6. ตระหนักในคุณคา และมีเจตคติท่ีดีตอวิชา


จุดประสงคการเรียนรู ดานความรู : นักเรียนสามารถ 1. ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได 2. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบท่ีได

MATH

Series



โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร

การใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาน้ัน เปนการแกปญหาเพ่ือหาคําตอบของโจทยปญหาโดยจัดใหอยูในระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ซ่ึงข้ันตอนการแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนั้นมีข้ันตอนดังนี้

ขั้นตอนการแกโจทยปญหาระบบสมการ มี 5 ข้ันตอนดังนี้ ขั้นท่ี 1 อานและวิเคราะหโจทย เพื่อหาวา โจทยกําหนดอะไรมาให และใหหาอะไร ขั้นท่ี 2 กําหนดตัวแปรแทนส่ิงท่ีโจทยกําหนดใหหาหรือแทนส่ิงท่ีเกี่ยวของกับส่ิงท่ีโจทยใหหา ขั้นท่ี 3 เขียนระบบสมการตามเง่ือนไขท่ีโจทยกําหนด ขั้นท่ี 4 แกระบบสมการเพ่ือหาคําตอบท่ีโจทยตองการดวยวิธีการท่ีเหมาะสม ขั้นท่ี 5 ตรวจสอบคําตอบท่ีไดกับเง่ือนไขในโจทย

ตัวอยางท่ี 1 ถาคร่ึงหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 และสามเทาของจํานวนนอยมากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จงหาจํานวนสองจํานวนนั้น

วิธีทํา ให x แทนจํานวนมาก และ y แทนจํานวนนอย คร่ึงหนึ่งของผลบวกของจํานวนสองจํานวนเปน 43 จะไดสมการเปน

12

(x + y) = 43 (1)

สามเทาของจํานวนนอยมากกวาสองเทาของจํานวนมากอยู 23 จะไดสมการเปน 3y – 2x = 23 (2)

นํา (1)×2 จะได ……………… = ………………… (3) นํา (3)×2 จะได ……………… = ………………… (4) นําสมการ (2) + (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = …………………………………

รูแลวหรือยัง??



…………………………………. = ………………………………… ตรวจสอบ ถาจํานวนสองจํานวนนั้นคือ ……… และ ……… จะไดคร่ึงหนึ่งของผลบวกเปน

………………………………………………………………………………………. และสามเทาของ ……… มากกวาสองเทาของ ……… อยูเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ……………………………………………………

ตัวอยางท่ี 2 ในกระจาดใบหน่ึงมีจํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันอยู 78 ผล ถาจํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล กระจาดใบน้ีมีมะมวงและสมอยางละกี่ผล

วิธีทํา ให x แทนจํานวน………………และ y แทนจํานวน……………… จํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันเทากับ 78 ผล จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (1) จํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยู 24 ผล จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (2) จาก …… จะได ……………… = ………………… (3) แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ ……… จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาจํานวนมะมวงเปน ……… ผลและจํานวนสม ……… ผล จะไดจํานวนมะมวงและจํานวนสมรวมกันเทากับ……………………………………………………….. และจํานวนมะมวงนอยกวาจํานวนสมอยูเทากับ……………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ……………………………………………………



ตัวอยางท่ี 3 ลวดหนามขดหนึ่งยาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผาท่ีมีดานกวาง ส้ันกวาดานยาว 4 เมตร ไดพอดี จงหาขนาดของรูปส่ีเหล่ียมผืนผานี้

วิธีทํา ใหพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ยาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร ลวดหนามขดน้ียาว 36 เมตร นําไปลอมรอบพ้ืนท่ี รูปส่ีเหล่ียมผืนผาไดพอดี จะไดสมการเปน

2x + 2y = 36 (1) ดานกวางส้ันกวาดานยาว 4 เมตร จะไดสมการเปน

……………… = ………………… (2) นํา (1) ÷ 2 จะได ……………… = ………………… (3) นําสมการ (2) + (3) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… นําสมการ (3) – (2) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร จะไดวาเม่ือนําลวดหนามขดหนึ่งนําไปลอมรอบพ้ืนท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผาจะยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. และดานกวางของพื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผา ส้ันกวาดานยาวเทากับ ………………………………………………………………………………………. ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ พื้นท่ีรูปส่ีเหล่ียมผืนผายาว ……… เมตรและกวาง ……… เมตร

ตัวอยางท่ี 4 ผสมแปงสาลีชนิดราคากิโลกรัมละ 4 บาท กับแปงมันชนิดราคากิโลกรัมละ 5.50 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมของแปงสาลีตอแปงมันโดยน้ําหนักเปนเทาไร จึงจะขายแปงผสมในราคากิโลกรัมละ 6 บาทแลวยังไดกําไร 20 %

วิธีทํา สมมติวาซ้ือแปงสาลี x กิโลกรัม คิดเปนเงิน 4x บาท ซ้ือแปงมัน y กิโลกรัม คิดเปนเงิน 5.50y บาท ซ้ือแปง x + y กิโลกรัม คิดเปนตนทุน 4x + 5.50y บาท ขายแปงผสมกิโลกรัมละ 6 บาท ไดกําไร 20 % หมายความวา



ถาขายไป 120 บาท ลงทุน 100 บาท

ถาขายไป 6 บาท ลงทุน 100×6 = 5120

บาท

ดังนั้นตนทุนของแปงผสมราคากิโลกรัมละ 5 บาท ตนทุนของแปงผสมคิดเปนเงิน 5(x + y) บาท ดังนั้น 4x + 5.50y = 5(x + y)

4x + 5.50y = 5x + 5y …………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

…………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ ถาใชแปงสาลี ……… กิโลกรัม ผสมกับแปงมัน ……… กิโลกรัม จะมีตนทุนเปน ………………………………………………………………………………………. ถาขายแปงผสม 3 กิโลกรัม กิโลกรัมละ 6 บาท ไดเงิน…………………………บาท ขายแปงผสม 3 กิโลกรัม ไดกําไร……………………………………………….บาท คิดเปนกําไร………………………………………ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ดังนั้น อัตราสวนผสมแปงสาลีตอแปงมันเปน 1 : 2 โดยนํ้าหนัก ตอบ ………………

ตัวอยางท่ี 5 พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท เขาลงทุนสวนหน่ึงไดดอกเบ้ีย 6% ตอป สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบ้ียท้ังหมด 632 บาท จงหาวาเขาลงทุนแหงละเทาไร

วิธีทํา ให x เปนจํานวนเงินท่ีเขาลงทุนไดดอกเบ้ีย 6% y เปนจํานวนเงินท่ีเขาลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% พี่เคนมีเงิน 9,600 บาท จะไดสมการเปน

x + y = 9,600 (1)

เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบ้ีย 6% ตอป คิดเปนเงิน 6100

x บาท

สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป คิดเปนเงิน 8100

x บาท



ถาในหนึ่งปเขาไดดอกเบ้ียท้ังหมด 632 บาท จะไดสมการเปน ………………………… = 632 (2) นํา (2)×100 จะได …………………… = ………………… (3) นํา (1)×……จะได 6x + 6y = 57,600 (4) นําสมการ (3) – (4) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = ………………………………… แทนคา …………… ในสมการ (1) จะได …………………………………. = ………………………………… …………………………………. = …………………………………

ตรวจสอบ พี่เคนลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 6% และลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 8% จะไดวาเขามีเงินเทากับ………………………………………………. เขาลงทุนสวนหนึ่งไดดอกเบ้ีย 6% ตอป คิดเปนเงิน……………………………บาท สวนท่ีเหลือลงทุนไดดอกเบ้ีย 8% ตอป คิดเปนเงิน…………………………….บาท ดังนั้น เขาไดดอกเบ้ียท้ังหมดเทากับ……………………………………………บาท ซ่ึงเปนจริงตามเง่ือนไขในโจทย ตอบ พี่เคนลงทุน ………… บาท ท่ีไดดอกเบ้ีย 6% และลงทุน ………… บาท ท่ีได

ดอกเบ้ีย 8%



1. ผลตางของจํานวนสองจํานวนเปน 16 ถาสามเทาของจํานวนมากเทากับเกาเทาของจํานวนนอย จงหาจํานวนท้ังสอง

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

2. ปานอยขายแอปเปล 2 ผลกับสาล่ี 3 ผล ในราคา 35 บาท แตถาลูกคาซ้ือแอปเปล 3 ผลกับสาล่ี 6 ผล จะขายในราคา 60 บาท แอปเปลและสาล่ีแตละผลราคาเทากัน ปานอยขายแอปเปลและสาล่ีราคาผลละเทาไร

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

กิจกรรมท่ี 3.5 : ทักษะการคิดคํานวณ แกปญหา ส่ือสาร นําเสนอ และเชื่อมโยง



3. สวนดอกไมรูปส่ีเหล่ียมผืนผาแหงหนึ่งมีความยาวรอบรูปเทากับ 628 เมตร ถาความยาวของสวนดอกไมยาวกวาดานกวาง 6 เมตร จงหาความกวางและความยาวของสวนดอกไมแหงนี้

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

4. ตองผสมนํ้าตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 12 บาท กับน้ําตาลทรายชนิดราคากิโลกรัมละ 14 บาท จงหาวาจะตองใชอัตราสวนผสมเปนเทาไร จึงจะขายน้ําตาลทรายผสมในราคากิโลกรัมละ 15 บาทแลวยังไดกําไร 20 %

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



5. พี่แบงกนําเงิน 880,000 บาท ไปลงทุนทํากิจการสองอยาง เม่ือส้ินปไดกําไร 132,600 บาท ถาพี่แบงกลงทุนกิจการอยางแรกไดกําไร 14% และลงทุนกิจการอยางท่ีสองไดกําไร 16% อยากทราบวาพ่ีแบงกลงทุนกิจการแตละอยางไปเทาไร

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..

6. นองฝนสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได 200 เหรียญ คิดเปนเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบวานองฝนมีเหรียญแตละชนิดอยางละกี่เหรียญ

วิธีทํา ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………..



………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………

ชวนคิดคณิตศาสตรชวนคิดคณิตศาสตร

กลอน…เจาปญหา

ลองทํากิจกรรมดู แลวคุณจะรู

กาลครั้งหนึ่งมีพญายูงฝูงปกษา บินรอนมาลงสระใหญในไพรสณฑ เกาะบัวตัวละใบทั่วอุบล แลวบินวนเหลือหลามอยูสามตัว บินใหมเกาะใหมใบละสอง ใบบัวทองเหลือหนึ่งไมพึงทั่ว จงแกโจทยประจักษอยาหมองมัว วาสระบัวมีนกกี่ตัว บัวกี่ใย

Documents

หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 ระบบสมการเชิงเส้น