ESCUELA PROFESIONAL DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS - UNSA -

GUÍA DE PRÁCTICAS AÑO 2010

ASIGNATURA: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES TEMA: PROGRAMACIÓN LINEAL

PROFESOR: Mario Bravo Chacón M.A. ESAN.

El propósito de esta guía es exponer la manera cómo asumir el planteamiento de los problemas o ejercicios susceptibles de ser resueltos usando el modelo de programación lineal. De principio, se requiere ejercitar nuestras capacidades mentales para ponernos en el lugar de quien pudiera afrontar el problema, quiero decir, que si se trata del problema de un agricultor, tenemos que fungir de agricultores, pensar como lo haría un agricultor. Esta predisposición del pensamiento, por lo demás, no es ajena a la metodología de enseñanza de las escuelas de negocios del mundo, que dentro de su instrumental didáctico incluyen el “juego de roles”. En cada caso se ha seguido el siguiente esquema:

Enunciado del problema Planteamiento del problema Solución por el programa TORA1 Interpretación del reporte del programa TORA

Problema 1.- En un día de feria, por la mañana, el dueño de un pequeño restaurante debe ordenar al cocinero cuántas porciones de adobo y de chicharrón debe preparar. Consulta al mozo y este le comenta que siempre se vende más adobo que chicharrón. Ante esto, el dueño le exige precisar ¿cuántos platos de adobo más que de platos de chicharrón? Las dudas del mozo no tardan en reducirse, hasta desaparecer, ante la presión del dueño: por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrón, casi nunca más de 6. Al cabo, el dueño constata que tiene en existencia 55 Kg. de carne de cerdo y bastante de otros ingredientes. Consultado el cocinero sobre el tiempo necesario de empleo de las cocinas para preparar la comida, fija en 2 horas para la elaboración de 30 porciones de adobo y 2,5 horas para otras 30 porciones de chicharrón. En relación con la capacidad de fuego el dueño supone que el tiempo que se pueden emplear las cocinas no debe superar las 10 horas. Asimismo, el cocinero dice necesitar 500 gramos de carne para un plato de adobo y 400 para el chicharrón. Si los precios de venta por plato son S/. 10 por adobo y S/. 8 por chicharrón, determine el programa óptimo de producción. Procedimiento de solución.-

a) Planteamiento del problema:

1 A excepción de los Problema 1 y 2, cuyas respuestas las encontramos por los métodos gráfico, simplex (manualmente) y usando el programa para computadora TORA.

Razonamos: Al dueño le interesa recibir la mayor cantidad de dinero, tal es su objetivo. Entonces ¿Cuántos platos de adobo y cuántos de chicharrón se deben preparar? Tales son las variables del problema, que designaremos por A y Ch, respectivamente. Si por un plato de adobo se recibe 10 soles y 8.5 soles por uno de chicharrón, al cabo de atender al último cliente, el dueño habrá acumulado tantas veces 10 soles como platos de adobo se hayan vendido y tantas veces 8,5 soles como platos de chicharrón se hayan vendido, es decir, la venta del día ascenderá al valor de la venta de adobos más el valor de la venta de chicharrones. Esta relación de dependencia entre el ingreso del día y las cantidades de platos de adobo y chicharrón se expresa matemáticamente, en lo que denominamos función objetivo:

F.O.: Ingreso = 10 A + 8,5 Ch Donde: A = Cantidad de platos de adobo Ch = Cantidad de platos de chicharrón Al hecho de elaborar esta función matemática, que expresa que el ingreso o venta del día depende de las cantidades que se vendan de adobo o de chicharrón, se conoce como la identificación de la Función Objetivo. Hasta aquí hemos concretado matemáticamente la preocupación del dueño del restaurante: ¡Vender!. Y cuando se trata de vender procuramos obtener la máxima cantidad de dinero, es decir, maximizar las ventas o ingreso. En este caso, administrativamente diremos que ser eficaz para el dueño es vender y ser eficiente es alcanzar el máximo valor de venta. Pues bien, queda claro que todo depende de cuánta cantidad de adobos y chicharrones debemos preparar para vender. Tales son las interrogantes que debemos responder. ¿Cuántos platos de adobo y cuántos de chicharrón se han de preparar? En términos de programación lineal diremos ¿Cuál es la mezcla que maximiza el ingreso del dueño? Pero si queremos preparar adobos y chicharrones no debemos olvidar que se requieren carne de cerdo y cocinas, los demás insumos no nos preocupan, así como tener en cuenta que son más los clientes que prefieren el adobo. Tampoco nos preocupa la demanda, suponemos que no hay problema para vender todo lo que preparemos. Queda establecido que las cantidades de platos a elaborar estarán limitadas por las disponibilidades de carne y capacidad de fuego, tales son las restricciones que van a condicionar el resultado final: maximizar el valor de ventas. ¿Cuánto de carne y de capacidad de fuego, tenemos? y, ¿cuál es la combinación de platos de adobo y platos de chicharrón que los clientes acostumbran consumir? Para escribir las restricciones se debe tener claro que la unidad de medida de nuestros productos es “un plato”, como ha quedado establecido en la función objetivo, en la que, a la letra A (un plato de adobo) se le asocia el precio correspondiente y, del mismo modo para el chicharrón. En consecuencia, las precisiones que se hagan a partir de ahora, deberán tener en cuenta que todo debe estar referido a “un plato de adobo” y “un plato de chicharrón”. Ocupémonos de las restricciones, en el siguiente orden: carne y cocinas. Comenzando por anotar los límites de las restricciones de insumos: 55 Kg. de carne y 10 de horas de cocina Dejamos para el final el tratamiento de la tercera restricción que es de naturaleza diferente. - Primera restricción.- Tenemos 55 Kg. de carne, que se deben distribuir entre platos de adobo y platos de chicharrón. Si para “un plato de adobo” se necesita 500 gramos de carne y para “un plato de chicharrón” 400 gramos, entonces: en la producción se utilizarán 500 gramos de carne tantas veces como platos de adobo se preparen y 400 gramos de carne tantas veces como platos de

chicharrón, a su vez, se preparen. Esta relación entre cantidades usadas de carne y stock de carne disponible se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

.Kg55Ch4.0A5.0

ó;gramos55000Ch400A500

Podemos optar por cualquiera de las inecuaciones anteriores. Veámoslo, en términos de kilos

55Ch4.0A5.0 Donde: 0,5 A, representa la cantidad total de carne que se utilizará en la producción de adobos; 0,4 Ch, representa la cantidad total de carne que se utilizará en la producción de chicharrones. Y, 55 Kg. es la máxima cantidad de carne que se puede usar. - Segunda restricción.- Requerimientos de fuego de las cocinas: 2 horas de fuego para preparar 30 porciones de adobo y 2,5 para preparar 30 de chicharrones. Como en la función objetivo se ha dejado establecido que A es la variable que representa unidades de platos de adobo ( puede ser 1,2,3,....) y otro tanto en el caso del chicharrón, determinamos cuántas horas se necesita para elaborar un plato de adobo y cuántas para un plato de chicharrón, cantidades que serán los coeficientes que acompañen a las variables A y Ch. El límite de 10 horas de fuego nos impone que el tiempo empleado en la elaboración de adobos más el tiempo empleado en los chicharrones debe ser menor o igual a 10. De modo que la restricción es:

utosmin600Ch5A4

óhoras10Ch0833.0A0666.0

Para no perder información nos quedamos con la segunda expresión:

utosmin600Ch5A4 . - Tercera restricción.- Veamos la combinación recomendada por el mozo y que tiene que ver con las preferencias de los clientes. Dice él que “por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrón, casi nunca más de 6”. Primera precisión: se debe preparar más adobos que chicharrones. ¿Cuánto más? La propuesta del mozo nos indica que por cada 10 platos de adobo podemos preparar de chicharrón 6 platos o alguna cantidad inferior. Al traducir estas expresiones a términos matemáticos, lo primero que dejamos establecido es la siguiente relación: ChA . Que quiere decir que debemos preparar más adobos que chicharrones.

¿Cuánto más? Para precisarlo usamos la razón 6

10

Ch

A , que significa que si A es como 10, Ch es

como 6. Desarrollando la razón tenemos: 6A = 10Ch. Pero, como ya vimos, el número de adobos

debe ser mayor, por tanto, la ecuación se convierte en una inecuación Ch10A6 , en ella podemos comprobar que si producimos 10 adobos los platos de chicharrón podrán ser 6, 5 ó menos, que es lo que quiso decirnos el mozo: “por cada 10 platos de adobo se venden alrededor de 6 platos de chicharrón, casi nunca más de 6” Esta inecuación debe ser reformulada para que adopte el orden de presentación de las variables (A y Ch) que tiene la función objetivo. Trasladamos 10Ch hacia el

lado izquierdo de la inecuación (pasa restando) y queda 0Ch10A6 , o lo que lo mismo: 0ChA6.0 . Razonando de otro modo: Según la expresión Ch10A6 , el lado izquierdo de la

inecuación (6A) es mayor o igual que la expresión del lado derecho (10Ch), entonces, si restamos este último del primero resultará un valor mayor o igual a cero. O generalizando, si a un valor le

restamos otro menor o igual, el resultado será positivo o cero. Así, queda la restricción :

0ChA6.0 que transformamos en 0ChA6.0 Ahora reunimos función objetivo y restricciones:

aspreferenci0ChA6.0

cocina.de.utosmin600Ch5A4

carne.de.Kg55Ch4.0A5.0:.a.s

)Maximizar(IngresoCh5.8.A10:.O.F

Resolveremos el problema por el método gráfico, el método simplex manualmente y por computadora con el programa TORA. A) Método gráfico Hay que dibujar en un cuadrante de los ejes cartesianos los límites de las restricciones, es decir, las rectas que constituyen las fronteras de cada semiplano. Para ello asumimos cada restricción como una recta (obviamos el signo de desigualdad <), y fijamos dos puntos para trazar cada una de ellas.

Respuesta: a) Mezcla óptima: Deben elaborarse 44,59 platos de chicharrón y 74,32 platos de adobo. b) Ingreso máximo: S/. 1 122,21 c) Se agota la carne, sobran 79,73 minutos de capacidad de fuego y se cumple exactamente el límite

de la restricción de preferencias de los consumidores.

B) Método simplex (manualmente y con aproximación a dos decimales)

Nota: Los elementos encerrados en círculos punteados se denominan “pivote” son la intersección entre la columna que va a entrar en la mezcla y la fila que va a salir. La fila que va a salir se identifica en la última columna y corresponde al menor valor positivo o cero y que satisfaga todas las restricciones, nunca un número negativo o indefinido. La regla general es que se escoge como pivote el elemento para el cual el cociente resultante en la última columna satisface todas las restricciones. Ni cero ni 150 satisfacen las tres restricciones, así no puede ser cero, porque no pueden dejarse de producir adobos (del que puede prescindirse es el chicharrón) y no puede ser 150 porque no es posible producir tal cantidad de adobos, no alcanzaría la carne.

Como en el renglón Z – c ya no quedan valores positivos, hemos llegado a la respuesta, que pasamos a interpretar. Respuesta.- a) Mezcla óptima: Se deben elaborar 44,59 platos de chicharrón y 74,33 de adobo. b) El ingreso máximo es S/. 1 122,32 c) Se agota la existencia de carne y se cumple exactamente el límite de la restricción referida a las

preferencias de los consumidores. Sobran 79,74 minutos de capacidad de fuego de las cocinas. d) Si tuviera 1 Kg. más de carne, el ingreso aumentaría en S/.20,39, porque la producción de

chicharrón aumentaría en 0,81 platos y de adobos en 1,35 platos, por consiguiente bajaría el sobrante de capacidad de fuego en 9,46 minutos.

e) Si las preferencias por el chicharrón aumentaran en 1 plato, es decir, si por cada 10 platos de adobo se demandasen como máximo 7 platos de chicharrón, el ingreso aumentaría en S/. 0,34 como efecto de un reajuste en la producción: aumentaría la producción de chicharrón en 0,68 platos y bajaría la producción de adobos en 0.544 platos, y bajarían los excedentes de fuego en 1.22 minutos.

C) Por computadora: El reporte del programa TORA:

*** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Title: adobo Final iteration No: 3 Objective value (max) = 1122.2974 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 adobo 74.3243 10.0000 743.2433 0.0000 x2 chicha 44.5946 8.5000 379.0540 0.0000 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 55.0000 0.0000- 20.4054 2 (<) 600.0000 79.7297- 0.0000 3 (<) 0.0000 0.0000- 0.3378 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 adobo 10.0000 -5.1000 10.6250 0.0000 x2 chicha 8.5000 8.0000 infinity 0.0000 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 55.0000 0.0000 63.4286 20.4054 2 (<) 600.0000 520.2703 infinity 0.0000 3 (<) 0.0000 -66.0000 65.5556 0.3378 Interpretamos este reporte, al que se llega luego de tres iteraciones (tablas de simplex) como indica la esquina superior derecha del reporte. a) Mezcla óptima: Se deben producir 74,32 platos de adobos y 44,59 de chicharrón. b) Ingreso máximo: S/. 1 122,2972 c) Se agotan las existencias de carne y se cubre exactamente el límite de la restricción referida a las

preferencias de los consumidores. Sobran 79,73 minutos de capacidad de fuego. d) Si se dispusiera de 1 Kg. más de carne se ganaría adicionalmente S/.20,40. O lo que es lo mismo,

como máximo pagaría S/.20,40 por un kilo adicional de carne. e) Si se dispusiera de 1 minuto más de capacidad de fuego no pasa nada porque están sobrando

79,7297 minutos. No estaría dispuesto a pagar nada por un minuto de tiempo adicional de fuego. f) Si las preferencias por el chicharrón aumentaran en 1 plato, es decir, si por cada 10 platos de

adobo se demandasen como máximo 7 platos de chicharrón, el ingreso aumentaría en S/. 0,3378 g) Análisis de sensibilidad. La mezcla óptima o programa de producción no cambiará mientras el

precio del adobo fluctúe entre un precio mucho menor (matemáticamente –5.1, económicamente hablando un precio bastante menor) y 10,625 soles. La mezcla óptima no cambiará mientras el precio del chicharrón fluctúe entre 8 y un precio mucho mayor (matemáticamente infinito, económicamente un precio mayor).

h) Análisis de sensibilidad. Por cada kilo en que descienda las existencias originales de carne se pierde S/.20,40, por cada kilo en que aumente las existencias de carne se gana S/.20,40 adicionales hasta que el stock alcance a 63,43 kilos; más allá bajará el ingreso adicional atribuible al incremento de un kilo de carne (digamos que ya es muy abundante la carne por tanto su valor baja).

i) Análisis de sensibilidad. Por cada incremento de 1 plato de chicharrón en las preferencias del público aumentaría el ingreso máximo en S/.0,3378 hasta el límite de 65,5556 platos. Por cada descenso de 1 plato de chicharrón en las preferencias del público bajaría el ingreso máximo en S/.0,3378.

Problema 2. Un granjero especializado en avestruces, tiene que atender para dentro de 5 meses un pedido consistente en 2,8 toneladas de carne, 280 kilos de plumas seleccionadas y 700 huevos, todo a precios superiores a los de mercado. El granjero debe decidir cuántos avestruces machos y cuántos avestruces hembras deberá adquirir y criar. Sabe que un ejemplar macho por adquisición y cría demanda un gasto de 500 soles y una hembra 450 soles. Si al cabo de los 5 meses un macho logra un peso de 25 kilos en carne y 2 kilos de plumas, mientras que una hembra alcanza 18 kilos en carne, 1.9 kilos de plumas y 40 huevos; determinar el plan óptimo de producción. Procedimiento de solución.- a) Planteamiento del problema: Razonamos: Al granjero le interesa cubrir el pedido con el mínimo gasto, tal es su objetivo. Entonces, ¿Cuántos avestruces machos y cuántos avestruces hembras deberá adquirir y criar? Tales son las variables del problema, que designaremos por M y H, respectivamente. La función objetivo:

F.O.: 500 M + 450 H = Costo Las restricciones:

huevos700H40

plumasdekilos280H9.1M2

carnedekilos2800H18M25

Resolveremos el problema por el método gráfico, el método simplex manualmente y por computadora con el programa TORA. A) Método gráfico Dibujamos en un cuadrante de los ejes cartesianos los límites de las restricciones, es decir, las rectas que constituyen las fronteras de cada semiplano. Para ello asumimos cada restricción como una recta (obviamos el signo de desigualdad >), y fijamos dos puntos para trazar cada una de ellas.

Respuesta: a) Mezcla óptima: Deben adquirirse 121,74 hembras y 24,35 machos b) Costo mínimo: S/. 66 958 c) Se cubre exactamente los requerimientos de carne y plumas d) La producción de huevos excede a lo solicitado en 4 169,6 unidades

B) Método simplex (manualmente y con aproximación a dos decimales). Vamos a representar la variable cantidad de avestruces machos por la letra “Y” y la variable cantidad de hembras por la letra “X”.

Nota: Para la minimización seguimos la misma rutina que para la maximización, previa

transformación de la función objetivo (multiplicamos ambos miembros por –1). Al interpretar la última tabla simplex hay que tener cuidado con algunos signos, como veremos a continuación.

Hemos desarrollado 5 tablas simplex, en el renglón Z – c de la última tabla ya no quedan valores positivos, hemos llegado a la respuesta, que pasamos a interpretar. (194 – M es negativo porque M nos representa un valor elevado con respecto a los costos de los avestruces machos o hembras, por ejemplo M sería 1000 ó una cantidad mayor) Respuesta.- a) Mezcla óptima: Se deben adquirir 24,35 avestruces machos y 121,74 hembras. b) El costo mínimo es S/. 66 958 c) Se cumplen exactamente las cantidades pedidas de carne y plumas d) Se tiene en exceso 4 169,56 huevos e) Si la carne exigida aumentara en un kilo, el costo subiría en S/.4,35, como efecto del reajuste

consiguiente en la producción: Se comprarían 0,165 avestruces machos más y se reduciría la compra de hembras en 0,174 unidades y se reduciría en 6,96 la producción de huevos.

e) Si las plumas exigidas aumentaran en un kilo, el costo subiría en S/.195,8, como efecto del consiguiente reajuste en la producción: Se comprarían 2,174 hembras adicionales y se dejaría de comprar 1,565 machos, a su vez que la producción de huevos aumentaría en 86,96 unidades.

C) Por computadora: El reporte del programa TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** --------------------------------------------------------------------------------------------------- Objective value (min) =66956.5234 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ---------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 macho 24.3478 500.0000 12173.9053 0.0000 x2 hembra 121.7392 450.0000 54782.6172 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 (>) 2800.0000 0.0000+ 4.3478 2 (>) 280.0000 0.0000+ 195.6522 3 (>) 700.0000 4169.5659+ 0.0000 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------------ x1 macho 500.0000 473.6842 625.0000 0.0000 x2 hembra 450.0000 360.0000 475.0000 0.0000 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 2800.0000 2652.6317 3399.3751 4.3478 2 (>) 280.0000 232.0500 295.5555 195.6522 3 (>) 700.0000 -infinity 4869.5659 0.0000 Interpretamos este reporte, al que se llega luego de tres iteraciones (tablas de simplex). a) Mezcla óptima: Se deben adquirir y criar 24,3478 avestruces machos y 121,7392 hembras. b) Costo mínimo: S/. 66 956,5234 c) Se cubren exactamente las cantidades solicitadas de carne y plumas. d) Se produce en exceso 4 169, 5659 huevos. e) Si aumentara en un kilo la carne exigida, entonces, el costo aumentaría en S/.4,3478. f) Si aumentara en un kilo la pluma exigida, entonces, el costo aumentaría en S/.195,6522 g) Análisis de sensibilidad de los costos de adquisición de los avestruces. La mezcla óptima o

programa de producción no cambiará mientras el costo de un avestruz macho fluctúe entre 473.6842 y 625 soles. La mezcla óptima no cambiará mientras el precio de un avestruz hembra fluctúe entre 360 475 soles

h) Análisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de carne. Mientras la cantidad solicitada de carne fluctúe entre 2652.6317 y 3399.3751 kilos el precio dual no cambiará, es decir, por cada kilo de carne adicional (o de menos) solicitado el costo aumentará (disminuirá) en 4.3478 soles mientras los cambios no superen los límites indicados.

i) Análisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de plumas. Mientras la cantidad solicitada de plumas fluctúe entre 232.0500 y 295.5555 kilos el precio dual no cambiará, es decir, por cada kilo de plumas adicional (o de menos) solicitado el costo aumentará (disminuirá) en 195.6522 soles mientras los cambios no superen los límites indicados.

j) Análisis de sensibilidad de las cantidades solicitadas de huevos. Mientras la cantidad solicitada de huevos fluctúe entre –infinity y 4 869,5659 el costo no se modificará, es decir, por cada huevo adicional solicitado el costo no se altera mientras no se supere el límite mayor indicado, ni se

reduce por mucho que disminuya la cantidad de huevos solicitada. O lo que es lo mismo la mezcla no varía.

Problema 3. Una familia de granjeros posee 100 topos de tierra y tiene S/. 30 000 en fondos disponibles para inversión. Sus miembros pueden producir un total de 3 500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno y 4 000 horas-hombre durante el verano. Si no se necesitan cualesquiera de estas horas-hombre, los miembros más jóvenes de la familia las usarán para trabajar en una granja vecina por S/. 4,00 la hora durante los meses de invierno y S/. 4,50 la hora durante el verano. El ingreso de efectivo puede obtenerse a partir de 3 cultivos y 2 tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras. No se necesita invertir para los cultivos. Sin embargo, cada vaca requerirá un desembolso de S/. 900,00 y cada gallina requerirá S/. 7,00 Cada vaca requerirá 1,5 topos de tierra, 100 horas-hombre de trabajo durante los meses de invierno y 50 horas –hombre durante el verano. Cada vaca producirá un ingreso anual en efectivo de S/. 800,00 para la familia,. Los valores correspondientes para las gallinas son: nada de tierra, 0,6 horas-hombre durante el invierno, 0,3 horas-hombre durante el verano y un ingreso anual neto en efectivo de S/. 5,00 por gallina. El gallinero puede acomodar un máximo de 3 000 gallinas y el tamaño del granero limita el rebaño a un máximo de 32 vacas. Las horas-hombre y los ingresos estimados por topo plantado en cada uno de los 3 cultivos son:

Frijol de soya Maíz Avena

Horas-hombre en invierno Horas-hombre en verano Ingreso anual neto en efectivo

20 50

S/. 375

35 75

S/. 550

10 40

S/. 250 Planteamiento del problema.- La familia de granjeros puede obtener ingresos por el cultivo de frijol, maíz y avena, también por la crianza de vacas y gallinas, así como por la venta de su fuerza de trabajo. En estos términos planteamos la función objetivo: 375 F + 550 M + 250 A + 800 V+ 5 G + 4 I + 4,5 E = ingresos (maximizar) Las restricciones.- Tienen 100 topos de terreno que son requeridos por los cultivos y por las vacas.

100V5.1AMF Tienen 30000 soles que deben financiar la compra de vacas y gallinas

30000G7V900 Tienen en invierno 3500 horas de trabajo para dedicarlas a las labores de la granja y para trabajar en la granja vecina

3500IG6.0V100A10M35F20 Tienen en verano 4000 horas de trabajo para dedicarlas a las labores de la granja y para trabajar en la granja vecina

4000EG3.0V50A40M75F50

El gallinero puede albergar a 3000 gallinas

3000G El granero sólo puede contener el alimento para 32 vacas

32V En conjunto la función objetivo y las restricciones:

granero32V

gall inero3000G

veranoH/H4000EG3.0V50A40M75F50

inviernoH/H3500IG6.0V100A10M35F20

Soles30000G7V900

Topos100V5.1AMF:.a.s

(max)IngresoE5.4I4G5V800A250M550F375:.O.F

El reporte del programa TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ---------------------------------------------------------------------------------------------- Objective value (max) =40693.7500 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ----------------------------------------------------------------------------------------------- x1 frijol 56.2500 375.0000 21093.7500 0.0000 x2 maiz 0.0000 550.0000 0.0000 39.0625 x3 avena 0.0000 250.0000 0.0000 18.1250 x4 vacas 5.7500 800.0000 4599.9990 0.0000 x5 gallina 3000.0000 5.0000 15000.0000 0.0000 x6 inviern 0.0000 4.0000 0.0000 1.3125 x7 verano 0.0000 4.5000 0.0000 0.8750 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 100.0000 35.1250- 0.0000 2 (<) 30000.0000 3825.0024- 0.0000 3 (<) 3500.0000 0.0000- 5.3125 4 (<) 4000.0000 0.0000- 5.3750 5 (<) 3000.0000 0.0000- 0.2000 6 (<) 32.0000 26.2500- 0.0000 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** ------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------ x1 frijol 375.0000 354.2857 480.0001 0.0000 x2 maiz 550.0000 -infinity 589.0625 39.0625 x3 avena 250.0000 -infinity 268.1250 18.1250 x4 vacas 800.0000 694.9999 833.3333 0.0000 x5 gallina 5.0000 4.8000 infinity 0.0000

x6 inviern 4.0000 -infinity 5.3125 1.3125 x7 verano 4.5000 -infinity 5.3750 0.8750 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 100.0000 64.8750 infinity 0.0000 2 (<) 30000.0000 26174.9976 infinity 0.0000 3 (<) 3500.0000 3040.0001 3840.0002 5.3125 4 (<) 4000.0000 3149.9995 5149.9996 5.3750 5 (<) 3000.0000 0.0000 3958.3330 0.2000 6 (<) 32.0000 5.7500 infinity 0.0000 Interpretamos este reporte, al que se llega luego de tres iteraciones (tablas de simplex). a) Mezcla óptima: Se deben cultivar 56,25 topos de Frijol, adquirir 5,75 vacas y 3000 gallinas. b) Ingreso máximo: S/. 40 693.7500 c) Se agotan las horas de trabajo de invierno y verano y la capacidad del gallinero. d) Sobran 35,125 topos, 3825,0024 soles y capacidad para atender 26,25 vacas en el granero. e) Para sembrar maíz, el precio o valor por topo cultivado debe subir en S/.39.0625 Para sembrar avena, el precio o valor por topo cultivado debe subir en S/.18.1250 Para trabajar en la granja vecina en invierno la remuneración debe subir en S/.1.3125 Para trabajar en la granja vecina en verano la remuneración debe subir en S/.0.8750 f) Si aumentara en una las horas de trabajo disponibles en invierno el ingreso aumentaría en

S/.5.3125. Si aumentara en una las horas de trabajo disponibles en verano el ingreso aumentaría en S/.5.3750. Si aumentara la capacidad del gallinero en una gallina el ingreso aumentaría en S/.0.2000

g) Análisis de sensibilidad de los valores de los topos cultivados, de los productos de los animales adquiridos y de las remuneraciones por trabajar en la granja vecina.

- La mezcla óptima o programa de producción no cambiará mientras el valor de un topo sembrado de Frijol fluctúe entre 354.2857 y 480.0001 soles.

- La mezcla óptima no cambiará mientras el valor de un topo sembrado de maíz fluctúe entre -infinity y 589.0625 soles.

- La mezcla óptima no cambiará mientras el valor de un topo sembrado de avena fluctúe entre –infinity y 268.1250 soles.

- La mezcla óptima no cambiará mientras el producto de una vaca fluctúe entre 694.9999 y 833.3333 soles.

- La mezcla óptima no cambiará mientras el producto de una gallina fluctúe entre 4.8000 e infinity - La mezcla óptima no cambiará mientras la remuneración en invierno por trabajar en la granja

vecina fluctúe entre –infinity y 5.3125 soles. - La mezcla óptima no cambiará mientras la remuneración en verano por trabajar en la granja

vecina fluctúe entre –infinity y 5.3750 soles. h) Análisis de sensibilidad de los stocks de recursos de la granja: - El terreno disponible puede fluctuar entre 64,8750 e infinity topos y el ingreso no varía o, lo que

es lo mismo, la mezcla no cambia. La razón: están sobrando 35,125 topos (100 – 64,875 = 35,125). No pagaría nada por un topo adicional de terreno.

- El capital disponible puede fluctuar entre 26 174,9976 e infinity soles y el ingreso no varía o, lo que es lo mismo, la mezcla no cambia. La razón: está sobrando S/.3.825,0024 (30 000 - 26 174.9976 = 3 825,0024)

- El tiempo de trabajo disponible en invierno puede fluctuar entre 3.040,0001 y 3.840,0002 y no se modificará el precio dual 5,3125, es decir, por cada hora de trabajo disponible adicional (o de menos) el ingreso aumentará (disminuirá) en 5,3125 soles mientras los cambios no superen los límites indicados.

- El tiempo de trabajo disponible en verano puede fluctuar entre 3.149,9995 y 5.149,9996 horas y no se modificará el precio dual 5,375, es decir, por cada hora de trabajo disponible adicional (o

de menos) el ingreso aumentará (disminuirá) en 5,375 soles mientras los cambios no superen los límites indicados

- La capacidad del gallinero puede fluctuar entre 0 y 3.958,333 gallinas y no varía el precio dual 0,20, es decir, por cada gallina que se puede acomodar adicionalmente (o de menos) el ingreso aumentará (disminuirá) en S/.0,20 mientras los cambios no superen los límites indicados.

- La capacidad del granero puede fluctuar entre 5,75 e infinity vacas y el ingreso no varía o, lo que es lo mismo, la mezcla no cambia. La razón: está sobrando capacidad para atender 26,25 vacas (32 – 5,75 = 26,25). No pagaría nada por ampliar la capacidad del granero.

Problema 4.- Un granjero tiene 50 acres de campo que puede utilizar indistintamente para sembrar trigo o maíz. Los rendimientos son de 60 bushels por acre de trigo y 95 bushels por acre de maíz. Los requerimientos de mano de obra son de cuatro horas anuales por acre, con un adicional de 0,15 horas por acre de maíz. El trigo se vende a 1,75 dólares por bushels y el maíz 0,95 dólares por bushels. A su vez el trigo y el maíz pueden comprarse a 1,80 dólares y 1,30 dólares por bushels, respectivamente. El granjero puede dedicarse también a criar cerdos y/o vacas. Los cerdos se venden a 80 dólares cuando tienen un año de edad y las vacas a 100 dólares. Los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo ó 20 bushels de maíz por año; también requiere 25 horas de trabajo y 25 pies cuadrados de espacio cubierto. Una vaca requiere 25 bushels de trigo ó 20 bushels de maíz, 40 horas de trabajo y 30 pies cuadrados de espacio cubierto. El granjero dispone de 10.000 pies cuadrados de espacio cubierto y puede utilizar 420 horas de trabajo de su familia. Puede contratar personal adicional a 1,50 dólares la hora, debiendo dedicar en este caso 0,15 horas de su tiempo a tareas de supervisión de cada hora contratada. Se desea averiguar cuál será la distribución de recursos del granjero que maximice sus ingresos y la consiguiente cantidad de acres sembrados de cada producto y la producción anual de cerdos y vacas. Planteamiento del problema: La lectura del problema nos permite hacer las siguientes precisiones: - El propietario del fundo puede obtener ingresos por el cultivo de trigo y maíz y la cría de cerdos y vacas. El programa de producción se complica porque los cerdos y vacas pueden consumir trigo y/o maíz producido en la granja, como también trigo y/o maíz adquiridos externamente; por consiguiente, hay que distinguir los ingresos que puede obtener la granja por dedicar acres de tierra a la producción de trigo y maíz para vender, los ingresos por vender cerdos y vacas alimentados con trigo y/o maíz producidos en acres de tierra de la granja y los ingresos por vender cerdos y vacas alimentados con trigo y maíz adquiridos externamente. La función objetivo sería:

.(max)IngVm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

donde: TN : Acres cultivados con trigo para vender o hacer negocio (105 = 60 x 1,75) MN: Acres cultivados con maíz para vender o hacer negocio (90,25 = 95 x 0,95) Ct: Cerdos criados con trigo producido en la granja. (80 : precio de venta de 1 cerdo) CM: Cerdos criados con maíz producido en la granja. (Idem) VT: Vacas criadas con trigo producido en la granja. (100: precio de venta de 1 vaca) VM: Vacas criadas con maíz producido en la granja. (Idem) Ct: Cerdos criados con trigo adquirido. (35 = 80 – 25 x 1,80) Cm: Cerdos criados con maíz adquirido. (54 = 80 – 20 x 1,30) Vt: Vacas criadas con trigo adquirido. (55 = 100 – 25 x 1,80) Vm: Vacas criadas con maíz adquirido. (74 = 100 – 20 x 1,30)

Vamos por las restricciones: - Para sembrar trigo y maíz para vender o alimentar cerdos y vacas tiene disponibles 50 acres. Este es el límite o restricción para las 6 primeras variables del listado anterior (desde TN, acres cultivados con trigo para vender o hacer negocio, hasta VM, vacas criadas con maíz producido en la granja). Si sólo a una de estas variables le dedicamos los 50 acres de la granja, la producción de cada una de las demás variables es igual a cero y la variable escogida asumirá el valor máximo que puede producirse de ella. Este enunciado se cumplirá en la restricción si determinamos correctamente los coeficientes de las variables. Por ejemplo, ¿Cuál debe ser el coeficiente de TN? Debe ser 1, si las demás variables son ceros queda TN = 50 que es el máximo de acres que se pueden dedicar a cultivar trigo. Otro ejemplo, el enunciado “los requerimientos alimenticios de un cerdo son de 25 bushels de trigo ó 20 bushels de maíz por año”, implica que la variable cerdos criados con trigo producido en la granja tendrá el coeficiente 1/2,4 (dado que si un acre puede producir 60 Bushels de trigo puede sostener 2,4 cerdos, 2,4= 60/25 ), así, si la granja sólo se dedicara a criar estos cerdos obtendrá 120 cerdos; la variable Cerdos criados con maíz producido en la granja tendrá el coeficiente 1/4,75 (dado que un acre puede producir 95 Bushels de maíz puede sostener 4,75 cerdos, 4,75= 95/20 ), por tanto, si la granja sólo se dedicara a criar estos cerdos obtendrá 237,5 cerdos.

50VM75.4

1VT

4.2

1CM

75.4

1CT

4.2

1MNTN

- Se tienen 10,000 pies cuadrados de espacio cubierto para criar cerdos o vacas, cada cerdo requiere 25 pies y cada vaca 30 pies, cualquiera sea el trigo y maíz con que son alimentados. La restricción será:

10000Vm30Vt30Cm25Ct25VM30VT30CM25CT25 - La granja tiene 420 horas de mano de obra familiar y puede contratar personal ajeno (w) si faltara mano de obra, sin olvidar que deberá dedicar 0,15 horas de su tiempo a la supervisión de cada hora contratada. Así, el total de mano de obra de que puede disponer la granja es igual a 420 + w – 0,15w, y la restricción será:

420w85.0Vm40Vt40Cm25Ct25VM40VT40CM25CT25MN15.4TN4 Tenemos una nueva variable que debemos agregar a la función objetivo. La variable w (mano de obra contratada) requiere por hora un gasto de $1.5, en consecuencia la función objetivo queda:

.(max)Ingw5.1Vm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

Finalmente, como la cantidad de trabajo de la familia que se puede distraer en la supervisión de los contratados no puede ser mayor a 420, derivamos la restricción 420W15.0 . Así, queda planteado el problema:

420w15.0

420w85.0Vm40Vt40Cm25Ct25VM40VT40CM25CT25MN15.4TN4

10000Vm30Vt30Cm25Ct25VM30VT30CM25CT25

50VM21053.0VT41667.0CM21053.0CT41667.0MNTN:.a.s

)Max(IngW5.1Vm74Vt55Cm54Ct35VM100VT100CM80CT80MN25.90TN105

:.O.F

Y el reporte del TORA: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ------------------------------------------------------------------------------------------------ Objective value (max) = 7280.8994 ------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 TrigoN 27.3416 105.0000 2870.8723 0.0000 x2 MaizN 0.0000 90.2500 0.0000 15.1095 x3 CerTri 0.0000 80.0000 0.0000 19.6686 x4 CerMaiz 107.6253 80.0000 8610.0273 0.0000 x5 VacTrig 0.0000 100.0000 0.0000 35.6161 x6 VacMaiz 0.0000 100.0000 0.0000 15.9475 x7 Certrig 0.0000 35.0000 0.0000 24.9125 x8 CerMaiz 0.0000 54.0000 0.0000 5.9125 x9 Vactrig 0.0000 55.0000 0.0000 40.8600 x10 vacmaiz 0.0000 74.0000 0.0000 21.8600 x11 work 2800.0000 -1.5000 -4200.0000 0.0000 --------------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 50.0000 0.0000- 95.4140 2 (<) 10000.0000 7309.3667- 0.0000 3 (<) 420.0000 0.0000- 2.3965 4 (<) 420.0000 0.0000- 3.5802 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** --------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ---------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 TrigoN 105.0000 89.8707 132.1379 0.0000 x2 MaizN 90.2500 -infinity 105.3595 15.1095 x3 CerTri 80.0000 -infinity 99.6686 19.6686 x4 CerMaiz 80.0000 74.2867 656.2500 0.0000 x5 VacTrig 100.0000 -infinity 135.6161 35.6161 x6 VacMaiz 100.0000 -infinity 115.9475 15.9475 x7 Certrig 35.0000 -infinity 59.9125 24.9125 x8 CerMaiz 54.0000 -infinity 59.9125 5.9125 x9 Vactrig 55.0000 -infinity 95.8600 40.8600 x10 vacmaiz 74.0000 -infinity 95.8600 21.8600 x11 work -1.5000 -2.0370 infinity 0.0000

--------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ---------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (<) 50.0000 23.5794 700.0000 95.4140 2 (<) 10000.0000 2690.6333 infinity 0.0000 3 (<) 420.0000 -2180.0000 3557.3962 2.3965 4 (<) 420.0000 0.0000 973.6582 3.5802 Respuesta: a) Mezcla óptima: Se debe sembrar 27,34 acres de trigo para vender, 22,66 acres de maíz para criar

107,62 cerdos y contratar 2 800 horas de mano de obra. De las demás variables no se produce nada.

b) Se obtiene un ingreso máximo de $7.280,8994 c) Se agotan los acres de tierra de cultivo y las 420 horas de trabajo disponibles en el fundo que se

emplean íntegramente en la supervisión de las 2.800 horas de trabajo contratado. d) Sobran 7.309,3667 pies cuadrados de terreno cubierto. e) Para que se produzcan Maíz para vender, Cerdos criados con Trigo de la granja, vacas criadas con

trigo de la granja, vacas criadas con maíz de la granja, cerdos criados con trigo comprado, cerdos criados con maíz comprado, vacas criadas con trigo comprado y vacas criadas con maíz comprado, sus precios de venta deben subir en, respectivamente, 15,1095, 19,6686, 35,6161, 15,9475, 24,9125, 5,9125, 40,86 y 21,86 dólares.

f) Si obtuviera un acre adicional de tierra el ingreso máximo aumentaría en $95,414, o lo que es lo mismo, por un acre adicional pagaría como máximo 95,414. El cambio en el ingreso es el efecto neto de un reajuste del programa de producción debido al incremento de la tierra disponible.

g) Si obtuviera una hora adicional de trabajo de la granja el ingreso máximo aumentaría en $5,9767como producto del incremento de este incremento y del consiguiente incremento de mano de obra contratada. Si aumentamos 1 hora de trabajo de la granja se puede aumentar 6,6667 horas de trabajo contratado. Podemos pagar hasta $5,9767 por los aumentos anotados de trabajo de la granja y de mano de obra contratada.

h) Análisis de sensibilidad de los valores, precios y beneficios de la función objetivo.- - El precio de un acre cultivado de trigo para vender puede variar entre 89,8707 y 132,1379 dólares

y no cambiará la mezcla óptima o programa de producción. Es decir, el precio de un bushels de trigo puede variar entre 1,497845 y 2,202298 dólares y no cambiará la mezcla. Si los precios se ubicaran fuera de estos límites inferior y superior la mezcla o programa de producción cambiaría.

- El precio de un acre cultivado con maíz para vender puede variar: Matemáticamente, entre infinito y 105,3595 y no cambia la mezcla. Económicamente, entre un precio muy barato y 105,3595 dólares y no cambiará la mezcla. Es

decir, el precio de un bushels de maíz puede variar entre un precio muy barato y 1,109047 dólares y no cambiará la mezcla. Si los precios se ubicaran fuera de estos límites inferior y superior la mezcla o programa de producción cambiaría.

- El precio de un cerdo criado con trigo producido en la granja puede variar entre un precio muy barato y 99,6686 dólares y no cambiará la mezcla. Si los precios se ubicaran fuera de estos límites la mezcla o programa de producción cambiaría.

- El precio de un cerdo criado con maíz de la granja puede variar entre 74,2867 y 656,25 dólares y la mezcla no cambiará.

- El precio de una vaca criada con trigo de la granja puede variar entre un precio muy barato y 135,6161 dólares y la mezcla no cambiará.

- El precio de una vaca criada con maíz de la granja puede variar entre un precio muy barato y 115,9475 dólares y la mezcla no cambiará.

- El beneficio de un cerdo criado con trigo comprado puede variar entre uno muy reducido y 59,9125 dólares y la mezcla no cambiará. Es decir, si el precio de venta de un cerdo no cambia, el precio de compra de un bushel de trigo puede variar entre 0,8035 dólares y un precio muy

elevado y la mezcla no cambiará. Y si el precio de compra de un bushel de trigo no cambia, el precio de venta del cerdo puede variar entre un precio muy barato y 104,9125 dólares y la mezcla no varía.

- El beneficio de un cerdo criado con maíz comprado puede variar entre uno muy reducido y 59,9125 dólares y la mezcla no cambiará. Es decir, si el precio de venta de un cerdo no cambia, el precio de compra de un bushel de maíz puede variar entre 1,004375 dólares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiará. Y si el precio de compra de un bushel de maíz no cambia, el precio de venta del cerdo puede variar entre un precio muy barato y 85,9125 dólares y la mezcla no varía.

- El beneficio de una vaca criada con trigo comprado puede variar entre uno muy reducido y 95,86 dólares y la mezcla no cambiará. Es decir, si el precio de venta de una vaca no cambia, el precio de compra de un bushel de trigo puede variar entre 0,1656 dólares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiará. Y si el precio de compra de un bushel de trigo no cambia, el precio de venta de la vaca puede variar entre un precio muy barato y 140,86 dólares y la mezcla no varía.

- El beneficio de una vaca criada con maíz comprado puede variar entre un precio muy barato y 95,86 dólares y la mezcla no cambiará. Es decir, si el precio de venta de una vaca no cambia, el precio de compra de un bushel de maíz puede variar entre 0,207 dólares y un precio muy elevado y la mezcla no cambiará. Y si el precio de compra de un bushel de maíz no cambia, el precio de venta de la vaca puede variar entre un precio muy barato y 121,86 dólares y la mezcla no varía.

- El precio de la mano de obra contratada puede variar entre muy barato y 2,0370 dólares por hora y no cambia la mezcla.

i) Análisis de sensibilidad de los stocks de recursos. - El stock de tierra puede fluctuar entre 23,5794 y 700 acres y el precio dual no varía, es decir, por

cada acre en que descienda el stock disponible el ingreso baja en $95,414; cuando el stock descienda por debajo de 23,5794 acres, entonces, cambiará (seguro subirá, porque al escasear la tierra sube su valor) la reducción en el ingreso atribuible a un acre. Y, a la inversa, por cada acre en que suba el stock disponible el ingreso subirá en $95,414; cuando el stock suba por encima de 700 acres el incremento en el ingreso atribuible a un acre cambiará (seguro bajará, porque al abundar la tierra baja su valor)

- El stock de espacio cubierto que actualmente es de 10.000 puede variar entre 2.690,6333 e infinito y no varía su precio dual que es cero. Quiere decir, si bajara en un pie el espacio cubierto no varía el ingreso, así hasta descender a 2690,6333 pies, porque abunda este espacio y la mezcla óptima sólo requiere esta cantidad; pero, si sigue bajando entonces cambia este precio dual (seguro subirá porque al escasear el espacio cubierto sube su valor). Inversamente, puede aumentar el stock de este recurso hasta el infinito y no sucede nada con el ingreso óptimo, porque este recurso es abundante y está sobrando, exactamente en 7.309,3667 pies.

- El stock de mano de obra de la granja puede variar entre cero y 3.557,3962 horas y el precio dual no varía. Es decir, por cada hora de trabajo que se pierda (que no se utilice) el ingreso baja en $5,9767 y, a la inversa, por cada hora adicional disponible de trabajo de la granja el ingreso sube en esa misma cantidad hasta el límite de 3.557,3962 horas. Superado este límite el ingreso atribuible a una hora adicional de trabajo cambia (seguro baja porque al abundar mano de obra baja su valor)

Problema 5.- Un productor de aluminio fabrica una aleación especial que él garantiza que contiene 90% o más de aluminio, entre 5% y 8% de cobre, y el resto de otros metales. La demanda para esta aleación es muy incierta de modo que el productor no mantiene un stock disponible. El ha recibido una orden por 1000 libras a $0,45/libra. La aleación debe hacerse a partir de barras de 2 tipos de materiales de desecho, de cobre puro y de aluminio puro. El análisis de los materiales de desecho es el siguiente:

Al Cu Otros

Material de desecho I Material de desecho II

95% 85%

3% 1%

2% 14%

Los costos son:

$/lbs

Material de desecho I Material de desecho II Aluminio puro Cobre puro

0,15 0,05 0,50 0,60

Cuesta $0,05 fundir una libra de metal. Se tienen más de 1000 libras de cada tipo de metal disponible. Cómo debe el productor cargar su ahorro de modo que maximice su utilidad. Razonando: El dilema del productor es cómo va a producir la aleación, ¿a partir de la mezcla de qué barras? ¿de desecho I, de desecho II, aluminio puro y/o cobre puro?. Barras que se diferencian por el costo y el contenido de aluminio y cobre. El costo por sí mismo es importante y el contenido porque hay límites o topes que se deben respetar: mínimo 90% de aluminio y mínimo 5% y máximo 8% de cobre. Hay información en el enunciado del problema que no es necesario utilizar en el modelo de programación lineal, así: - El precio que le van a pagar por libra de la aleación $ 0,45. Esta información podemos utilizarla luego de conocer la respuesta que resulte de resolver el programa lineal, entonces podemos determinar la utilidad, restando del valor recibido por las 1 000 libras de la aleación el costo de la mezcla de las barras fundidas. Por tanto, ya que está dado el precio o ingreso por la aleación lo que queda al productor es buscar como hacer la aleación al mínimo costo. Nota: Este precio de $0,45 no se debe relacionar con los costos de adquisición y de fundición de cada material, porque así tendríamos que maximizar beneficios, función objetivo que no correspondería (conduciría a error) al problema presentado, en que aquel precio es lo que se recibe por la aleación y no por cada material. - La disponibilidad de cada tipo de material para obtener la aleación. Se tiene más de 1000 libras de cada tipo de metal disponible, por tanto ninguna de las cantidades disponibles de barras resulta tener carácter crítico (a ser tomado en cuenta) para el productor. Planteamiento del problema: La función objetivo: Se deduce fácilmente, hay que producir una aleación a partir de materiales cuyos costos son diferentes, por tanto, la función objetivo vendrá especificada en términos de costo de producción (costo de adquisición de cada material más el costo de fundirlo), que dependerá (estará en función) de las cantidades que se empleen de cada tipo de material. Entonces, las variables son: Cantidad de material de desecho I (DI), cantidad de material de desecho II (DII), cantidad de aluminio puro (A) y cantidad de cobre puro (C). Así, proponemos: F.O.: 0,20DI + 0,10DII + 0,55A + 0,65C = Costo (Minimizar) Las restricciones: - Que la aleación contenga 90% o más de aluminio, quiere decir que de las 1000 libras de peso de la aleación, como mínimo 900 deben ser aluminio. Pues bien, tres de los ingredientes contienen aluminio, por ejemplo, desecho I contiene aluminio en un 95%, por tanto 0,95DI será la cantidad de aluminio con que contribuirá a la aleación este ingrediente; La restricción vendría a ser:

900ADII85.0DI95.0

- Que la aleación contenga entre 5% y 8% de cobre, quiere decir que la aleación debe contener como mínimo 5% y como máximo 8% de cobre. Siguiendo el mismo razonamiento que en la restricción anterior, la 2da. Y 3ra. restricción serían:

80CDII01.0DI03.0.......y.......50CDII01.0DI03.0

- Dados los mínimos exigidos de aluminio y cobre debemos incluir el máximo de otros metales que debe contener la aleación: 50DII14.0DI02.0 - Para garantizar exactamente la obtención de la cantidad ordenada por el cliente, incluimos una cuarta restricción:

1000CADIIDI . En consecuencia, el problema queda planteado:

.Lbs1000CADIIDI

metalesOtros.Lbs50DII14.0DI02.0

cobre.Lbs80CDII01.0DI03.0

cobreLbs50CDII01.0DI03.0

iominalu.Lbs900ADII85.0DI95.0:.a.s

(min)CostoC65.0A55.0DII10.0DI20.0:.O.F

Y, el programa TORA nos da el siguiente reporte: *** OPTIMUM SOLUTION SUMMARY *** ----------------------------------------------------------------------------------------------- Title: METAL Final iteration No: 6 Objective value (MIN) = 186.2069 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Value Obj Coeff Obj Val Contrib Reduced Cost ----------------------------------------------------------------------------------------------- x1 DI 719.8276 0.2000 143.9655 0.0000 x2 DII 254.3103 0.1000 25.4310 0.0000 x3 ALU 0.0000 0.5500 0.0000 -0.3483 x4 COBR 25.8621 0.6500 16.8103 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint RHS Slack(-)/Surplus(+) Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 900.0000 0.0000+ 0.0000 2 (>) 50.0000 0.0000+ 0.4483 3 (<) 80.0000 30.0000- 0.0000 4 (<) 50.0000 0.0000- -0.7586 5 (=) 1000.0000 0.0000 0.2017 *** SENSITIVITY ANALYSIS *** ------------------------------------------------------------------------------------------------- Variable Current Coeff Min Coeff Max Coeff Reduced Cost ------------------------------------------------------------------------------------------------- x1 DI 0.2000 0.1111 0.4886 0.0000

x2 DII 0.1000 -1.9200 0.1907 0.0000 x3 ALU 0.5500 0.2017 infinity -0.3483 x4 COBR 0.6500 0.2167 5.0500 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Constraint Current RHS Min RHS Max RHS Dual Price ----------------------------------------------------------------------------------------------- 1 (>) 900.0000 -infinity 900.0000 0.0000 2 (>) 50.0000 25.0000 50.0000 0.4483 3 (<) 80.0000 50.0000 infinity 0.0000 4 (<) 50.0000 19.5876 50.0000 -0.7586 5 (=) 1000.0000 1000.0000 1750.0000 0.2017 Respuesta.- a) Mezcla: La aleación estará compuesta de 719,8276 libras de desecho I, 254,3103 libras de desecho

II y 25,8621 de cobre puro. Nada de aluminio puro. b) Costo mínimo: $186,2069. Siendo el ingreso a recibir $450 obtenemos una utilidad de $263,7931. c) La aleación tiene un 90% de aluminio, 5% de cobre y 5% de otros metales d) El aluminio es muy caro, para que pase a formar parte de la aleación su costo debería descender

como mínimo en $0,3483 e) Interpretamos conjuntamente la pantalla 2 y pantalla 4 (análisis de sensibilidad de los mínimos o

máximos exigidos), referidas a las restricciones. - Mientras las exigencias mínimas de contenido de aluminio fluctúen entre 0 y 900 libras (0% y

90%) el costo no varía. De un aumento en una libra en la exigencia mínima de aluminio sólo podemos decir que habrá un aumento en el costo pero no podemos determinarlo a partir de este reporte del TORA, para hacerlo tendríamos que simular en el programa TORA el reemplazo de 900 por 901.

- Mientras las exigencias mínimas de contenido de cobre fluctúen entre 25 y 50 libras el costo variará en $0,4483 por cada libra, bajando el costo en la medida que la exigencia mínima se acerque a 25. De un aumento en una libra en la exigencia mínima de cobre sólo podemos decir que habrá un aumento en el costo pero no podemos determinarlo a partir de este reporte del TORA, para hacerlo tendríamos que simular en el programa TORA el reemplazo de 50 por 51.

- Respecto al máximo tolerable de cobre, mientras las exigencias máximas de cobre varíen entre 50 e infinito el costo no varíará.

- Mientras las exigencias máximas de contenido de otros metales fluctúen entre 19,5876 y 50 libras el costo variará en $0,7586 por cada libra, subiendo el costo en la medida que la exigencia máxima se acerque a 19,5876. Un aumento en una libra en la exigencia máxima de otros metales no es posible porque entraría en incompatibilidad con las restricciones mínima que establecen 90% como mínimo de aluminio y 5% de cobre.

- Si aumenta la exigencia de aleación en una libra (0,01%) aumentará el costo en $0,2017 por cada libra adicional hasta el límite de 1750.

h) Análisis de sensibilidad de los precios de adquisición de las barras de metal. - El costo del Desecho I puede fluctuar entre 0,1111 y 0,4886 soles y la mezcla no cambiará. - El precio del desecho II puede fluctuar entre –1,92 y 0,1907 soles y la mezcla no cambiará. - El precio del aluminio puro puede fluctuar entre 0,2017 e infinity soles y la mezcla no cambiará. - El precio del cobre puro puede fluctuar entre 0,2167 y 5,050 soles y la mezcla no cambiará.

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