TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki...

1

Lech Longapok. D.2.49, II piętro, sektor DZakład Fizyki Statystycznej

e-mail: lech.longa@uj.edu.plDyżury: poniedziałki 13 -14

można się umówić wysyłając e-maila

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

2

Czym się zajmuje Termodynamikaoraz Fizyka Statystyczna

3

1. Kopia wykładów ( http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/wp/?page_id=619 )

2. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki

fenomenologicznej i fizyki statystycznej.

3. J. Werle, Termodynamika Fenomenologiczna.

4. A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i

termodynamiki.

5. Kerson Huang, Mechanika Statystyczna. (4)

6. M. Toda, R. Kubo, N. Saitô Statistical Physics I,

Statistical Physics II.

7. D.J. Amit and Y. Verbin, Statistical Physics,

An Introductory Course

8. J. D. Walecka, Introduction to Statistical Mechanics

LITERATURA 2

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

4

Cel wykładów:

• Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będących uogólnieniem obserwacjiempirycznych, a znanych jako zasady termodynamiki.

• I i II zasada jako podstawowe postulaty.

• 0 i III-cia zasada mają charakter techniczny (np. 0-wa zasada wynika z II).

• Tutaj ze względów dydaktycznych każda z zasad (od 0-wej do III) i ich konsekwencje będą omówione niezależnie.

3

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

5

4Cel wykładów:• Omówienie podstaw fizyki statystycznej:

pojęcie entropii Boltzmana oraz temperatury absolutnej; rozkłady używane w fizycestatystycznej, ich pochodzenie i własności; zastosowania do konkretnych układówkwantowych oraz klasycznych.

• Wstęp do teorii informacji (entropia informacyjna i jej własności).

• Hipoteza ergodyczna.• Elementy termodynamiki nierównowagowej

(produkcja entropii, relacje Onsagera).

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Wykład 1

Elementy teorii rachunku prawdopodobieństwa

6© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Plan:

1. Definicja aksjomatyczna i `praktyczna`2. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa3. Funkcje rozkładu; rozkład Gaussa4. Funkcje charakterystyczne; rozwinięcie kumulantów5. Centralne twierdzenie graniczne.

Elementy teorii prawdopodobieństwa

7© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa

ΩA

8

B

9

Ω

A A

10

Praktyczna `definicja`:

Zliczamy próby n(A) przy których zaszło zdarzenieA i dzielimy przez całkowitą liczbę wszystkich prób;

Obowiązuje tutaj prawo wielkich liczb mówiące, że:

𝑃𝑃 lim𝑁𝑁→∞

𝑛𝑛(𝐴𝐴,𝑁𝑁)𝑁𝑁

= 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1

11

Prawdopodobieństwo warunkowe

AB

Bardzo ważne pojęcie przy badaniu procesów stochastycznych;(będzie odgrywać rolę lokalnych prawdopodobieństw przejść)

Ω

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

12

Niezależność statystyczna

= P(B), gdy B nie zależy od A

Przykład: rzucanie uczciwą kostką

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

13

Ważne przy analizie tw. Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

14

Twierdzenie Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych;Równanie Master (które będziemy omawiać) jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

15

Perkolacja

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

16

(podstawowy model agregacji: `EDEN model`)Ewolucja klastra odbiega kształtem od koła;

brzeg ewoluującego obszaru jest nieregularny

17

Funkcje Rozkładu:

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

18

UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny;np. jeśli

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

19

( )

20

Momenty rozkładu:

< x> : pozycja ' środkamasy'rozkładu

<x>

21

.

.

.

Rozkłady zawężone(brzegowe): 𝜌𝜌 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦

Nomenklatura:a

22

23

Funkcja charakterystyczna rozkładu

Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niżpierwszy mogą nieistnieć a mimo to f(k) będzie istnieć

Transformata Fouriera (bądź Laplaca) f-cji rozkładu

Przykład (rozkład Caychy’ego znany także jako r. Breita-Wignera)

24

Własności f-cji charakterystycznej:

: jeśli istnieje

W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie,natomiast nie znamy rozkładu

Trywialne uogólnieniena przyp. wielowymiarowy

25

26

Rozwinięcie Kumulantów(bardzo ważny wzór w fizyce statystycznej, wykorzystywany do r. perturbacyjnych)

-

Problem: znaleźć algorytmgenerujący kolejne kumulanty

27wyprowadzić

28

Rozkład sumy zmiennych losowychi Centralne Twierdzenie Graniczne:

Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej:

< v12 + v2

2 + ... + vN2 > : średniaprędkość

< H1 + H2 + ... + HN > : średnia energianieoddziaływujących cząstek

Pod średnią mamy sumę niezależnychzmiennych losowych. Można zapytaćjaki rozkład prawdopodobieństwa ma suma(jeśli znamy rozkład pojedynczej zmiennej losowej wchodzącej do sumy)

29

30

• Rozkład Gaussa w granicy dużych N

•Dyspersja rozkładu zachowuje się jak:

31

Zamiast dowodu ilustracja jak duże musi być N w praktyce:

1X

1

𝜌𝜌𝑌𝑌𝑁𝑁 𝑦𝑦 =

32

N=2

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

33

N=3

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

34

Jak dobrze pracujeCTG? (programy dostępnena stronie kursu)

35

Materiał do samodzielnych studiów

(ćwiczenia)

36

Zamiana zmiennych w rozkładach

1 dim Z = f(X) Związek między zmiennymi Losowymi X z Z ( tr. współrzędnych z =f(x) )

37

zadanie: uogólnićformułę z deltą Diraca

38

PRZYKŁADY:

39

Przykłady na f-cje charakterystyczne(a) Rozkład Levy’ego

Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać:

40

(0,1)

θ

41

Funkcja charakterystyczna

wyprowadzić

43

Centralne twierdzenie Granicznevs funkcje charakterystyczne

44

Dalsze wykorzystanie funkcji charakterystycznej f(k): (badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych)

45

przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe)

46

47

48

Rozkłady stabilne (nieskończenie podzielne)

49

Są to ważne rozkłady w zastosowaniach,szczególnie w:

•Teorii procesów stochastycznych•Teorii zjawisk krytycznych

50

Przykład: rozkład Gaussa

Dla rozkładu Gaussa mamy więc znacznie ogólniejsząsytuację (pokazać)

51

I znowu podejście od strony funkcjicharakterystycznych pozwala rozwiązaćzagadnienie rozkładów stabilnych całkiemogólnie:

W.K.W. na to aby mieć r. stabilny:

52

Przykłady:

(a) Rozkład Gaussa

53

Przykłady:

(a) Rozkłady Levy’ego

54

Dziękuję za uwagę