54
1 Lech Longa pok. D.2.49, II piętro, sektor D Zakład Fizyki Statystycznej e - mail: [email protected] Dyżury: poniedziałki 13 - 14 można się umówić wysyłając e - maila TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

  • Upload
    ngothu

  • View
    228

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

1

Lech Longapok. D.2.49, II piętro, sektor DZakład Fizyki Statystycznej

e-mail: [email protected]żury: poniedziałki 13 -14

można się umówić wysyłając e-maila

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

Page 2: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

2

Czym się zajmuje Termodynamikaoraz Fizyka Statystyczna

Page 3: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

3

1. Kopia wykładów ( http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/wp/?page_id=619 )

2. K. Zalewski, Wykłady z termodynamiki

fenomenologicznej i fizyki statystycznej.

3. J. Werle, Termodynamika Fenomenologiczna.

4. A. I. Anselm, Podstawy fizyki statystycznej i

termodynamiki.

5. Kerson Huang, Mechanika Statystyczna. (4)

6. M. Toda, R. Kubo, N. Saitô Statistical Physics I,

Statistical Physics II.

7. D.J. Amit and Y. Verbin, Statistical Physics,

An Introductory Course

8. J. D. Walecka, Introduction to Statistical Mechanics

LITERATURA 2

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 4: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

4

Cel wykładów:

• Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będących uogólnieniem obserwacjiempirycznych, a znanych jako zasady termodynamiki.

• I i II zasada jako podstawowe postulaty.

• 0 i III-cia zasada mają charakter techniczny (np. 0-wa zasada wynika z II).

• Tutaj ze względów dydaktycznych każda z zasad (od 0-wej do III) i ich konsekwencje będą omówione niezależnie.

3

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 5: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

5

4Cel wykładów:• Omówienie podstaw fizyki statystycznej:

pojęcie entropii Boltzmana oraz temperatury absolutnej; rozkłady używane w fizycestatystycznej, ich pochodzenie i własności; zastosowania do konkretnych układówkwantowych oraz klasycznych.

• Wstęp do teorii informacji (entropia informacyjna i jej własności).

• Hipoteza ergodyczna.• Elementy termodynamiki nierównowagowej

(produkcja entropii, relacje Onsagera).

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Presenter
Presentation Notes
Omówić sposób oceniania studentów: waga ćwiczeń i egzaminu pisemnego; egzamin ustny
Page 6: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

Wykład 1

Elementy teorii rachunku prawdopodobieństwa

6© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Plan:

1. Definicja aksjomatyczna i `praktyczna`2. Prawdopodobieństwo warunkowe i twierdzenie Bayesa3. Funkcje rozkładu; rozkład Gaussa4. Funkcje charakterystyczne; rozwinięcie kumulantów5. Centralne twierdzenie graniczne.

Page 7: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

Elementy teorii prawdopodobieństwa

7© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Presenter
Presentation Notes
abababab
Page 8: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa

ΩA

8

B

Page 9: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

9

Ω

A A

Page 10: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

10

Praktyczna `definicja`:

Zliczamy próby n(A) przy których zaszło zdarzenieA i dzielimy przez całkowitą liczbę wszystkich prób;

Obowiązuje tutaj prawo wielkich liczb mówiące, że:

𝑃𝑃 lim𝑁𝑁→∞

𝑛𝑛(𝐴𝐴,𝑁𝑁)𝑁𝑁

= 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1

Presenter
Presentation Notes
Definicja częstościowa: praktyczna w doświadczeniu Definicja Laplaca prowadzi do paradoksów; przykład z idealną kostką
Page 11: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

11

Prawdopodobieństwo warunkowe

AB

Bardzo ważne pojęcie przy badaniu procesów stochastycznych;(będzie odgrywać rolę lokalnych prawdopodobieństw przejść)

Ω

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 12: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

12

Niezależność statystyczna

= P(B), gdy B nie zależy od A

Przykład: rzucanie uczciwą kostką

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 13: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

13

Ważne przy analizie tw. Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 14: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

14

Twierdzenie Bayesa B

Ω

1A

2A3A

4A5A6A

Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych;Równanie Master (które będziemy omawiać) jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 15: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

15

Perkolacja

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Presenter
Presentation Notes
Wynik nie zalezy od rozmiaru układu
Page 16: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

16

(podstawowy model agregacji: `EDEN model`)Ewolucja klastra odbiega kształtem od koła;

brzeg ewoluującego obszaru jest nieregularny

Presenter
Presentation Notes
Komórki rakowe tworzą klaster o bardzo nieregularnych brzegach; tym się w pierwszym podejściu sugeruje lekarz aby kwalifikować np. znamię na skórze jako czerniaka czy jako coś niezłośliwego; pytanie zatem się pojawia czy proces rozrostu komórek rakowych da się opisać na zasadzie czysto probabilistycznej.
Page 17: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

17

Funkcje Rozkładu:

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 18: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

18

UWAGA: podany przepis zawiera w sobie przypadek dyskretny;np. jeśli

© Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna

Page 19: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

19

( )

Presenter
Presentation Notes
Jest iloczyn funkcji theta bo zliczamy wszystkie xi które znajdują się wewnątrz przedziału [a,b]
Page 20: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

20

Momenty rozkładu:

< x> : pozycja ' środkamasy'rozkładu

<x>

Presenter
Presentation Notes
<…> oznacza średnią po rozkładzie
Page 21: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

21

.

.

.

Rozkłady zawężone(brzegowe): 𝜌𝜌 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦

Nomenklatura:a

Page 22: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

22

Page 23: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

23

Funkcja charakterystyczna rozkładu

Ma sens tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny; momenty wyższe niżpierwszy mogą nieistnieć a mimo to f(k) będzie istnieć

Transformata Fouriera (bądź Laplaca) f-cji rozkładu

Przykład (rozkład Caychy’ego znany także jako r. Breita-Wignera)

Page 24: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

24

Własności f-cji charakterystycznej:

: jeśli istnieje

W praktyce wielokrotnie znamy f(k) analitycznie,natomiast nie znamy rozkładu

Trywialne uogólnieniena przyp. wielowymiarowy

Page 25: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

25

Page 26: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

26

Rozwinięcie Kumulantów(bardzo ważny wzór w fizyce statystycznej, wykorzystywany do r. perturbacyjnych)

-

Problem: znaleźć algorytmgenerujący kolejne kumulanty

Page 27: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

27wyprowadzić

Presenter
Presentation Notes
Rozkład prędkości Maxwella; fluktuacje wokół średnich (stanów stacjonarnych) w układach fizycznych
Page 28: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

28

Rozkład sumy zmiennych losowychi Centralne Twierdzenie Graniczne:

Często pojawiające się zagadnienie w fizyce statystycznej:

< v12 + v2

2 + ... + vN2 > : średniaprędkość

< H1 + H2 + ... + HN > : średnia energianieoddziaływujących cząstek

Pod średnią mamy sumę niezależnychzmiennych losowych. Można zapytaćjaki rozkład prawdopodobieństwa ma suma(jeśli znamy rozkład pojedynczej zmiennej losowej wchodzącej do sumy)

Presenter
Presentation Notes
Centralne twierdzenie graniczne jest kluczem do zrozumienia fizyki statystycznej (jak zobaczymy wkrótce); fluktuacji w układach fizycznych
Page 29: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

29

Page 30: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

30

• Rozkład Gaussa w granicy dużych N

•Dyspersja rozkładu zachowuje się jak:

Page 31: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

31

Zamiast dowodu ilustracja jak duże musi być N w praktyce:

1X

1

𝜌𝜌𝑌𝑌𝑁𝑁 𝑦𝑦 =

Page 32: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

32

N=2

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

Page 33: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

33

N=3

: ścisły (z)

: przybliżony (cz)

Page 34: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

34

Jak dobrze pracujeCTG? (programy dostępnena stronie kursu)

Page 35: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

35

Materiał do samodzielnych studiów

(ćwiczenia)

Page 36: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

36

Zamiana zmiennych w rozkładach

1 dim Z = f(X) Związek między zmiennymi Losowymi X z Z ( tr. współrzędnych z =f(x) )

Page 37: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

37

zadanie: uogólnićformułę z deltą Diraca

Page 38: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

38

PRZYKŁADY:

Page 39: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

39

Przykłady na f-cje charakterystyczne(a) Rozkład Levy’ego

Jest to rozkład dla którego funkcja charakterystyczna ma postać:

Page 40: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

40

(0,1)

θ

Page 41: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

41

Funkcja charakterystyczna

wyprowadzić

Page 42: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a
Page 43: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

43

Centralne twierdzenie Granicznevs funkcje charakterystyczne

Page 44: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

44

Dalsze wykorzystanie funkcji charakterystycznej f(k): (badanie rozkładu sumy niezależnych zmiennych losowych)

Page 45: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

45

przykład: rozkład dwumienny: (modelem może być rzut monetą lub błądzenie przypadkowe)

Page 46: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

46

Page 47: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

47

Page 48: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

48

Rozkłady stabilne (nieskończenie podzielne)

Page 49: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

49

Są to ważne rozkłady w zastosowaniach,szczególnie w:

•Teorii procesów stochastycznych•Teorii zjawisk krytycznych

Page 50: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

50

Przykład: rozkład Gaussa

Dla rozkładu Gaussa mamy więc znacznie ogólniejsząsytuację (pokazać)

Page 51: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

51

I znowu podejście od strony funkcjicharakterystycznych pozwala rozwiązaćzagadnienie rozkładów stabilnych całkiemogólnie:

W.K.W. na to aby mieć r. stabilny:

Page 52: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

52

Przykłady:

(a) Rozkład Gaussa

Page 53: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

53

Przykłady:

(a) Rozkłady Levy’ego

Page 54: TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNAth- · 4 Cel wykładów: • Omówienie podstaw termodynamiki fenomenologicznej: postulatów będącychuogólnieniem obserwacji empirycznych, a

54

Dziękuję za uwagę