View
30
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Campos variables en el tiempo
Corresponde a estudiar el fenómeno que tiene lugar por variaciones temporales del campo
magnético. La lección 3 completará el estudio viendo la fenomenología que surge con las
variaciones temporales del campo eléctrico: simetría en la Naturaleza
2
Los resultados globales obtenidos hasta ahora (Fund. I) se resumen en:
En el vacío En el vacío
0
0
(1)
E
E 0
B
B J
0
En medios materiales (dieléctricos)
D (para cualquier tipo de medio) o (medios lineales, homogeneos e isotrop E
E 0
.)
Además: Ecuación de continuidad Fuerza sobre una carga en movimiento
o para corr
J 0
ientes estaciona
t
J 0 rias
F q(E v B)
3
Las ecuaciones (1) forman dos conjuntos de ecuaciones completamente independientes entre sí, uno
para E(ó D) y otro para B , lo que implica que no existe conexión entre ambos campos vectoriales.
Ambos conjuntos fueron obtenidos a partir del estudio de campos E y B independientes del tiempo
(cargas en reposo y corrientes estacionarias respectivamente).
4
Introducción al fenómeno. Faraday, sin embargo, tenía la sospecha de que existía
realmente una relación entre ambos campos. A partir de sus experimentos, hacia 1831 encontró
dicha relación, comprobando que sólo en el caso en el que “las cosas” cambiasen en el tiempo, es
decir, para situaciones no estáticas, existía esa conexión entre campos eléctrico y magnético. El
fenómeno de inducción fue observado por Faraday (UK) y Henry (USA) y la ley que lo rige, ley de
Faraday - Henry, fue deducida por ambos casi simultáneamente.
Resultados observacionales de exp. con circuitos
Cuando se abre o se cierra el circuito (2) el galvanómetro G
del circuito (1) acusa paso de corriente. El sentido en el que se
desvía la aguja en G cuando se cierra es el contrario al
correspondiente cuando se abre.
Cuando en (2) circula una corriente I(2) estacionaria (I(2) = cte)
G no acusa corriente.
(1)
G
(2)
5
Conclusión: el fenómeno observado en la espira (1) no depende de la magnitud de I(2) sino de su
rapidez de variación en la apertura y cierre del circuito (2).
Resultados observacionales de experimentos con imanes
Cuando el imán se acerca a (1), G
acusa corriente, y es de sentido
contrario al que acusa cuando se
aleja el imán.
Cuando se acerca o aleja el
imán con los polos cambiados
respecto a la primera situación G
acusa corriente pero en sentido
contrario en cada caso a la correspondiente a la primera situación.
Conclusión: el fenómeno observado en la espira (1) no depende de la magnitud del campo B
creado por el imán sino de la rapidez con la que cambia el B que ve la espira.
(1)
G N S
acercar
alejar
S N S N
6
Resultados observacionales: (Exp. en movimiento relativo)
Si el imán está fijo, G acusa corriente cuando es la espira
(1) la que se acerca o aleja del imán.
(1)
G
fijo
S N
7
Ley de Faraday y de Lenz
En cualquiera de las situaciones anteriores, aparece una corriente en la espira (1) cuando existe
variación de flujo magnético que atraviesa a la espira (1) en el tiempo.
si d
dt
en un circuito se induce (aparece) una corriente, llamada
CORRIENTE INDUCIDA, Iind.
Pero si Iind debe existir un campo eléctrico, llamado CAMPO ELÉCTRICO
INDUCIDO,ind
E , que será el encargado de provocar el movimiento de las cargas que
constituyen Iind.
El trabajo por unidad de carga realizado por el ind
E para llevarla a lo largo de un contorno
cerrado, será la fuerza electromotriz inducida, .
indC S
d dE dl B ds
dt dt
Ley de Faraday-Lenz
8
El signo menos en la expresión anterior es lo que constituye la ley de Lenz y significa que la
corriente que se induce en el circuito siempre trata de oponerse a la variación de flujo
magnético que la creó.
¿Por qué puede variar el flujo magnético? Como mag
SB ds posibilidades:
Que B cambie con el tiempo B
0t
Que el circuito cambie de forma o tamaño S = S(t)
Que cambie la orientación de B y ds
Que el circuito se mueva trasladándose, por lo que puede soportar en cada punto valores
de B que cambien con la posición.
Combinación de las anteriores
Po
r m
ov
imie
nto
9
Varilla conductora que
se mueve con v en un B
uniforme y constante.
B
v
generador
Rieles conductores fijos y
otro que cierra el circuito
moviéndose con v en un B
uniforme y constante.
v
Varilla conductora que
rota con en un B
uniforme y constante.
es
Espira que gira en un B
uniforme y constante.
10
Ejemplos para determinar el sentido de la corriente inducida
Al acercarse el imán, el flujo de campo magnético
creado por el imán y que atraviesa a la espira, aumenta
se induce una corriente tal que cree un campo
magnético, ind
B , que se oponga al campo creado por el
imán, para así contrarrestar el aumento de flujo el
sentido de la corriente inducida es el mostrado en la
figura.
Si el imán se aleja, el flujo a través de la espira
disminuye el sentido de la corriente inducida es tal
que el campo magnético que crea es para oponerse a la
disminución de flujo es tal que crea un ind
B que
refuerza el campo magnético del imán.
S N
Iind
Se acerca a
la espira
B
indB
S N
Iind
Se aleja de
la espira ind
B
B
11
Ley de Faraday en forma diferencial. Características del campo
eléctrico inducido.
La ley de Faraday vista hasta ahora corresponde a su forma integral:ind
C S
dE dl B ds
dt
Si las diversas partes del circuito son rígidas y éste no se mueve la curva cerrada C no cambia en
el tiempo, ni en forma ni en tamaño el flujo magnético sólo podrá cambiar debido a que B varíe
explícitamente en el tiempo: B B(r,t)
indC S S
indS
d BE dl B ds ds
dt t
Stokes
( E ) ds
ind
S
B( E ) ds 0
t
que muestra claramente la conexión entre los campos eléctrico y magnético.
Ley de Faraday en forma diferencial ind
BE
t
12
Características de este campo eléctrico inducido
1.- ind
E es un campo no conservativo ya que ind
E 0 !!
2.- ind
E es un campo solenoidal: ind
E 0 las líneas de ind
E son cerradas igual que las deB
( B 0 ) . Por otro lado, ind
E y B son perpendiculares.
Si en la región que estamos considerando existe también un E de naturaleza electrostática (
conservativo) en cada punto del espacio existirá, por el principio de superposición, un
total ind electrostaticoE E E
electrostatico
es conservativo
total ind electrostatico in
0
dE (E E ) EE
ya no pondremos campo
total, no hace falta
ind
BE E
t
ya no pondremos campo
total, no hace falta
ind
BE E
t
Ley de Faraday en forma diferencial
pero ya totalmente general, hablando
así de un único campo eléctrico E
13
Por otro lado, como ind
E 0 , y según la ley de Gauss vista en Electrostática para el campo
eléctrico, electrostatico
0
E
➩ electrostota tatii cnd ol
0 0
E ( ) 0 = E +E
0
E
B
t
E
o bien
formulación diferencial
formulación integral
neta enc. por S
S0
C S
QE ds
d dE dl B ds
dt dt
Siendo E el campo resultante existente
en la región
14
Coeficientes de inducción
Para muchas aplicaciones en electricidad conviene relacionar la fuerza electromotriz inducida en un
circuito con las propiedades del circuito como un todo. De esta forma, se encuentra que existe una
propiedad geométrica importante y útil como lo fue la capacidad en Electrostática. Dicha propiedad
son los coeficientes de inducción (de autoinducción y de inducción mutua).
Coeficiente de autoinducción de un circuito
I crea B mag
S del circuitoB ds a través del
circuito (el debido a las líneas de B que crea él mismo).
Como B I mag I
Relacionemos el flujo que pasa a través del circuito, mag ,
con la corriente I que pasa por él.
I B
creado
por I
15
Si el circuito es rígido y estacionario (no cambia ni su forma ni su tamaño en el tiempo, por lo que
Scircuito no cambia, ni tampoco la orientación con B) la única causa de variación de flujo será
debida a la variación de B en el tiempo, es decir, a una variación de I en el tiempo. Por tanto,
d d dI dI donde
dt dI dt dt
dL L
dI
L coeficiente de autoinducción y depende únicamente de la geometría del circuito.
Veamos con un ejemplo que L depende sólo de la geometría.
Cálculo de L para un solenoide recto y largo.
N número total de espiras
l longitud del solenoide
R radio de cada espira
1.- Determinemos primero el valor del campo magnético creado por el propio solenoide.
Con la aproximación de solenoide recto y largo (l >> R) podemos suponer:
R
l
N espiras
16
que el campo magnético en el interior del solenoide es
uniforme
que el campo magnético fuera del solenoide es nulo
y podemos utilizando el teorema de Ampère para determinar el módulo del campo magnético.
Elegido el contorno C de la figura, calculemos
CB dl
2 3 4 1
C 1 2 3 4B dl B dl B dl B dl B dl
Con la aproximación que estamos considerando
2 4 1
1 3 4B dl B dl B dl 0
Extremo
izq. del
solenoide
Extremo
dcho. del
solenoide
neta enc. por S
S0
C S
QE ds
d dE dl B ds
dt dt
1
2 3
4 I saliente
I entrante
h
R
17
3 3 3
0 neta abraz.por C 0C 2 2 2
numerode espirasabrazad
as
NB dl B dl Bdl B dl Bh I h I
el campo magnético creado por el solenoide, en puntos interiores, es: 0NI
B
2.- Determinemos el flujo magnético que atraviesa al solenoide
espira espira
2
20 0
total que pasa a solenoideS S
traves de cada espira
NI N IN N B ds N ds R
2 2
0N
dI
RL
d
que depende sólo de la geometría del solenoide (R, N, l) y de la permitividad del medio (de
momento el vacío, 0).
18
Coeficientes de inducción mutua entre dos circuitos
I1 crea 1
B y sus líneas pasan a través de los circuitos 1 y 2.
I2 crea 2
B y sus líneas pasan a través de los circuitos 2 y 1.
1
2
2
1
total a traves de circuito 1 12(debido a B )
total a traves de circuito 2 21(
11(debido
debido a 22(debido a
a B
B
)
B ))
Si los circuitos son rígidos y estacionarios las únicas causas de
cambio en total a traves de circuito 1 y
total a traves de circuito 2 son: que varíe I1
o I2 o ambas
total a traves de circuito 1 11 12 11 1 12 2 1 12 2total en circuito 1 1
1 2 2
total a traves de circuito 2 21 22 21 1
total en circuito 2
1
d d d d dI d dI dI d dIL
dt dt dt dI dt dI dt dt dI dt
d d d d dI
dt dt dt dI d
22 2 21 1 2
2
2 1
d dI d dI dIL
t dI dt dI dt dt
2B 1
B
I2
I1
circuito 1
circuito 2
19
Definimos los coeficientes de inducción mutua como:
12
12
2
dM
dI
(cambio de flujo en circuito 1 debido a la variación de corriente en el 2)
21
21
1
dM
dI
(cambio de flujo en circuito 2 debido a la variación de corriente en el 1)
Con estas definiciones:
1 2total en circuito 1 1 12
1 2total en circuito 2 21 2
dI dIL M
dt dt
dI dIM L
dt dt
Los coeficientes de inducción mutua también dependen únicamente de la geometría de los
conductores implicados y además cumplen que estos coeficientes son simétricos: M12 = M21. De
forma general, Mij = Mji
20
Vamos a calcular los coeficientes de inducción mutua en un ejemplo, y comprobaremos que
dependen sólo de la geometría y que son simétricos.
Solenoide 1 N1, r1, l
Solenoide 2 N2, r2, l
12
12
2
dM
dI
donde 12 es el flujo que pasa a
través del solenoide 1 debido al campo
magnético creado por el solenoide 2.
El campo magnético creado por el solenoide 2 vale en su interior 0 2 2
2
N IB
El flujo a través del solenoide 1 debido a B2:
20 2 2
12 1 2 1 1 2 1 1 2 esp. del 1 1 1esp. del 1 esp. del 1
N IN B ds N B ds N B S N r
I2
I1
21
1 20 2
12 1
2
2
1
d
dI
NM N r
, que es función sólo de factores geométricos y de 0.
21
21
1
dM
dI
donde 21 es el flujo que pasa a través del solenoide 2 debido al campo magnético
creado por el solenoide 1.
El campo magnético creado por el solenoide 1 vale en su interior 0 1 1
1
N IB
y fuera vale cero!
El flujo a través del solenoide 2 debido a B1:
1 2 1 esp. del 1
esp.
20 1 1
21 2 1 2 2 2del
2 1esp. e 2 2d l
N IN B ds N N NS rB ds B
2021 1
2 2 1 12
1
1
NM N r M !!
I!
d!
d
.
Por tanto, los coeficientes de inducción mutua son función sólo de factores geométricos y de 0.
22
Corrientes de cierre y de apertura de un circuito
¿Cómo cambia la corriente en un circuito cuando lo cerramos o lo abrimos? A la corriente que
aparece cuando se cierra el circuito hasta alcanzar el valor constante final (corriente estacionaria) se
llama corriente de cierre y la corriente que desde el valor estacionario llega a desaparecer cuando se
abre el circuito se llama corriente de apertura.
Ahora sabemos que cuando un circuito se abre o se cierra, éste presenta una autoinducción L ya que
ésta significa la respuesta concreta que el circuito tiene a la variación de flujo a través del circuito
debido a la variación de su propia corriente. Y se representa por una bobina.
Cuando se cierra el circuito. Aplicando la ley de Kirchoff
0 0
di diV iR L 0 V iR L
dt dt
La solución de esta ecuación diferencial es: hom part
i(t) i(t) i(t)
L V0
+
-
23
donde R
t0L
hom 0 part
Vi(t) i e ; i(t )
R
El valor i0 se obtiene imponiendo la condición it=0 = 0
Rt
0 LV
i(t) (1 e )R
Cuando se abre el circuito. Aplicando la ley de Kirchoff:
di
iR L 0dt
, que corresponde a la parte homogénea de la ecuación diferencial del caso
estudiado antes. La solución es la homogénea: hom
i(t) donde R
tL
hom 0i(t) i e
. El valor i0 se obtiene
imponiendo la condición del valor de la corriente en el instante en el que se abre el circuito. Este
valor coincide con el valor de la corriente estacionaria, y éste corresponde al valor de la solución
Rt
0 LV
i(t) (1 e )R
cuando t >>>>, que se convierte en 0V
R. Por tanto,
Rt
0 LV
i(t) eR
i
t
i
t
24
Energía magnética de un circuito de corriente (corriente estacionaria)
Corresponderá a la energía necesaria para establecer la corriente estacionaria en un circuito. Es
generalizable a un sistema de circuitos de corrientes estacionarias.
Si los medios en donde se van a establecer esas corrientes son lineales las corrientes finales
(las estacionarias) en esos circuitos son independientes del proceso llevado a cabo para
establecerlas. Si es esto es así, la energía invertida en establecer las corrientes nos será devuelta al
desaparecer éstas.
Trabajemos con un solo circuito, por sencillez. El resultado es generalizable a más.
Justificación de la necesidad de emplear energía para establecer una corriente
estacionaria (valor ya constante en el tiempo) en un circuito.
¿Qué pasa al cerrar el circuito? La corriente, desde un valor nulo, va
aumentando con el tiempo, i(t), hasta que transcurrido un tiempo, tfinal,
adquiere el valor estacionario I = cte .
0
25
En ese intervalo de tiempo, t = tfinal – 0 ind
di(t)
dt
El circuito, por otra parte, presentará una cierta resistencia R. Aplicando la ley de Ohm, en el t en
el que i(t) está cambiando, 0 ind
i(t)R
Calculemos el dW realizado por la batería para transportar una carga dq (+) a lo largo del
circuito completo.
2
0 ind
dq
d (t)dW dq dq i(t)R i(t)dt i(t)R i (t)Rdt i(t)d (t)
dt
Término 2i (t)Rdt energía gastada en forma de calor por efecto Joule.
Término i(t)d (t) energía empleada para compensar la fuerza electromotriz inducida.
Conclusión: parte de la energía de la pila (el término i(t)d (t) ) se emplea en cambiar estructura
del B en el circuito:[t=0, t=tfinal];[0i(t)Ifinal= cte];[0B(t)Bfinal= cte]; 0(t) final= cte]
26
Nos centraremos en el término i(t)d (t) (que es el debido al establecimiento de la corriente) para
calcular la energía necesaria para establecer la corriente estacionaria en el circuito. Esta energía
aportada por la pila será justamente el cambio de energía magnética en el circuito
mag
dU i(t)d (t) I cte I cte
0 0
2
magi(t)d (t) i(t)Ldi(t)
1U LI
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Si tuviéramos un conjunto de N circuitos en los que se quiere establecer las corrientes estacionarias,
hasta adquirir los valores finales estacionarios, Ij, las intensidades ij(t) irán variando en el tiempo y
la energía magnética empleada será: N
mag j j
j 1
dU i (t)d (t)
j
NI cte
mag j j0
j 1
U i (t)d (t)
donde dj(t) es la variación de flujo a través del circuito j (debido a él mismo y al resto de circuitos)
Si los medios son lineales el cómo se establecen los valores finales Ij en cada circuito es
independiente del proceso elegido elegimos el siguiente proceso:
Sean I1, I2, I3…. IN los valores finales que toma la corriente estacionaria en cada circuito,
respectivamente.
27
Suponemos que en cada instante de tiempo ij(t) = Ij, es decir, en todos los circuitos
circula, en cada instante, la misma fracción de corriente, , de su valor final.
Por tanto, en cada instante de tiempo j(t) = j, es decir, en todos los circuitos el flujo
que lo atraviesa en ese instante es la misma fracción de flujo, , de su valor final j = cte
ya que el flujo es proporcional a la corriente j j
d (t) d
j
N N N NI cte 1 1
mag j j j j j j j j0 0 0
j 1 j 1 j 1 j 1
1U i (t)d (t) I d I d I
2
donde N
j mj m
m 1
M I
con jj j mm m
M L ; M L
Por tanto, otra forma de expresarlo sería: N N
mag ji i j
i 1 j 1
1U M I I
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28
Caso de dos circuitos rígidos, estacionarios y acoplados
2 2 2 2
mag ji i j j1 1 j j2 2 j 11 1 1 21 1 2 12 2 1 22 2 2
i 1 j 1 j 1 j 1
2 2 2 2
11 1 21 1 2 22 2 1 1 21 1 2 2 2
1 1 1U M I I M I I M I I M I I M I I M I I M I I
2 2 2
1 1 M I 2M I I M I L I 2M I I L I
2 2
Para circuitos desacoplados ij
M 0 para i j
2N N N
2 i
mag i i i i
i 1 i 1 i 1 i
1 1 1U L I I
2 2 2 L
Para un solo circuito 2
2
mag
1 1 1U LI I
2 2 2 L
En el siguiente tema, se obtendrá otra forma alternativa para la energía magnética;
en concreto, se expresará Umag en función del campo magnético.
Recommended