UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA FACULTAD DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERAREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIA REA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIATEORA de CIRCUITOSI TEORA de CIRCUITOSIAo 2010 Ao 2010Clase II Clase IIIng. Eduardo Ariel Ponzano Ing. Eduardo Ariel PonzanoJefe de Trabajos Prcticos Jefe de Trabajos PrcticosTiposTipos dede Seales SealesDigitales DigitalesAnalgicas AnalgicasConstantesConstantes en elen el tiempo tiempoVariablesVariables en elen el tiempo tiempoPeridicas PeridicasAperidicas AperidicasPulsantes PulsantesAlternas AlternasSinusoidalesSinusoidales compuestas compuestasContnuas ContnuasDiscretas DiscretasContnuas ContnuasDiscretas DiscretasNoNo Sinusoidales SinusoidalesSinusoidales SinusoidalesNoNo Sinusoidales SinusoidalesTipos de Seales Tipos de Seales(Resumen) (Resumen)Analgicas:Analgicas: y=f(t) puede tomar cualquier valor, dependiendo ese valor slo de t.Contnuas Contnuas en el Tiempo:en el Tiempo: y= fac(t) est definida para todo t.Discretas en el Tiempo: Discretas en el Tiempo:y= fad(t) slo est definida para ciertos valores de t.Tipos de Seales Tipos de SealesDesarrollo DesarrolloDigitales: Digitales:y=f(t) slo puede tomar ciertos valores dentro de su rango de actividad. (Por ejemplo, uno de los cinco valores [ f1, f2, f3, f4, f5 ]).Contnuas Contnuas en el Tiempo en el Tiempo:y=fdc (t) est definida para todo t.Discretas en el Tiempo: Discretas en el Tiempo:y=fdd (t) slo est defi-nida en ciertos instantes, a veces mltiplos enteros de un perodo T.f1f2f3f4f5f1f2f3f4f5Tipos de Seales Analgicas Tipos de Seales AnalgicasEn Teora de Circuitos I nos concentraremos en analizar circuitos excitados por seales analgicasseales analgicas contnuas contnuas, tanto constantes constantes como variables en el tiempo variables en el tiempo.De acuerdo al tipo de expresin matemtica que representa la evolucin de la seal en el tiempo [y=f(t)], como hemos visto se las puede clasificar de modo enumerativo no excluyente en: Constantes en el tiempo: Constantes en el tiempo:y=f(t) y=f(t)es constante para todo t. Variablesen el tiempo: Variablesen el tiempo:y=f(t)y=f(t) no es constante para todo t.Seales Analgicas Variables en el Tiempo Seales Analgicas Variables en el Tiempo Aperidicas: Aperidicas:No existe dentro de todo el rango de validez de una funcin un intervalo fijo T, denominado perodo, tal que dicha funcin cumpla la condicin y = f(t) = f(t+T) para todo t. Son ejemplo de este tipo de seales las que responden a una funcin escaln, impulso, rampa, exponenciales, etc.Seales Analgicas Variables en el Tiempo Seales Analgicas Variables en el Tiempo Peridicas: Peridicas:Cumplen la condicin y = f(t) = f(t+T) para todo t, siendo T un intervalo fijo que se denomina perodo. Se clasifican en:Pulsantes: si no cambian de signo, (de + a o viceversa), en el perodo. Son algunos ejemplos de este tipo de seales:No sinusoidales:cuyas formas de onda pueden ser triangulares, rectangulares, cuadradas, dientes de sierra, etc.Sinusoidales compuestas:definidas por la suma de una funcin seno o coseno, ms un trmino constante (K) mayor o igual a la amplitud de la seal senoidal (Ymax)Seales Analgicas Variables en el Tiempo Seales Analgicas Variables en el TiempoAlternas:Alternas: cambian de signo en el perodo. Pueden ser simtricas simtricas o asimtricas asimtricas respecto del eje de tiempos t, segn sea susegn sea su valor medio en el perodo nulo o no valor medio en el perodo nulo o no. No sinusoidales:cuyas formas de onda pueden ser triangulares, rectangulares, cuadradas, dientes de sierra, etc.Sinusoidales: Funciones seno cosenoSi una funcin cualquiera f(t) es integrable en el intervalo [a;b]; se llama valor medio de fvalor medio de f en el intervaloen el intervalo [[a;b a;b]], al nmero real definido por:Valor Medio de una Seal Valor Medio de una SealSi una funcin f(t) adems de integrable en el intervalo [a;b] es peridica de perodo T siendo T[a;b]; es usual definir al valor medio de f en un perodo T valor medio de f en un perodo T, al nmero real obtenido de la expresin:Finalmente, si f(t) es adems alterna y simtrica, el valor medio resulta nulo el valor medio resulta nulo. Sin embargo, en ciertos casos donde es conveniente contar con un valor medio para estas funciones, se recurre a definirlo en el semiperodo positivo. Por ejemplo, si la seal es alterna sinusoidal simtrica (tal como el sen ), la aplicacin de lo anterior conduce a:Si una funcin cualquiera f(t) es integrable en el intervalo [a;b], se llama valor eficaz de f(t)valor eficaz de f(t) en el intervalo [ en el intervalo [a;b a;b]], al nmero real definido por:Valor Eficaz de una Seal Valor Eficaz de una SealSi una funcin f(t) adems de integrable en el intervalo [a;b] es peridica de perodo T siendo T[a;b]; es usual definir al valor eficaz de f en un perodo T valor eficaz de f en un perodo T, al nmero real determinado por:Finalmente, si f(t) es es adems una sinusoide purauna sinusoide pura (Por ejemplo sen , su valor eficazsu valor eficaz resulta resulta:Idntico resultado se obtiene si f(t) es una funcin coseno. coseno.Relaciones entre Valor Medio, Valor Eficaz yRelaciones entre Valor Medio, Valor Eficaz y Valor Mximo de una Seal Sinusoidal Valor Mximo de una Seal SinusoidalCon cierta frecuencia se utiliza en la prctica relaciones entre los valores medios, eficaz y mximo como una de las maneras de caracterizar la forma de onda. A continuacin damos un breve resumen de los mismos:Factor de Pico

Relacin entre el valor mximo y el valor eficaz. Para una senoide pura vale 1,4142 Factor de Forma

Relacin entre el valor eficaz y el valormedio. Para una senoide pura vale 1,1107 Si la sinusoide no es un seno o un coseno puros Si la sinusoide no es un seno o un coseno puros, an cuando las definiciones anteriores siguen siendo aplicable, dejan de ser vlidos dejan de ser vlidos los valores numricos indicados los valores numricos indicados.Valor Medio y Valor Eficaz Instantneos Valor Medio y Valor Eficaz InstantneosUna de las aplicaciones ms comunes de stos factores es la calibracin decalibracin de multmetros multmetrosanalgicos analgicos (La deflexin de la aguja indicadora se corresponde con el valor medio de la onda medida, siendo la resultante de la inercia y del amortiguamiento del bobinado). Frecuentemente tambin se usan esos factores para calibrar multmetros multmetros digitalesdigitales antiguos y/o econmicos. antiguos y/o econmicos.En tales instrumentos, la escala escala para valores eficaces y mximosvalores eficaces y mximos se grada usando los dos factores anteriores (Factores de pico y de forma) para ondas sinusoidales puras para ondas sinusoidales puras, teniendo en cuenta que la deflexin o indicacin del instrumento en realidad se correspondela deflexin o indicacin del instrumento en realidad se corresponde con el valor medio de la onda que se est midiendo con el valor medio de la onda que se est midiendo. Entonces, si la onda no es una sinusoide pura, como frecuentemente ocurre en la prctica, las indicaciones de valor eficaz y mximo dadas por esos instrumentos, pueden alejarse bastante de la realidad. Por ejemplo, para una onda cuadrada, un multmetro analgico puede indicar un valor eficaz del orden de 10% ms alto que el verdadero.Actualmente estn disponibles en el mercado multmetros multmetros de valor eficaz verdadero de valor eficaz verdadero que salvan esta dificultad y funcionan electrnicamente.Lo que ellos hacen es calcular directamente los algoritmos del valor eficaz o del valor medio (O medir el valor mximo segn sea lo que el operador solicite), utilizando un ordenador interno. Para ello, mediante un muestreo digital de la seal a muy alta velocidad, se miden sucesivos valores instantneos de la misma muy prximos entre s, permitiendo calcular matemticamente las integrales (o se busca el valor mximo) dentro del intervalo que el operador tambin especifica. A los valores medios y eficaces as calculados, se los suele designar como valores medios instantneos valores medios instantneos y valores eficaces instantneos valores eficaces instantneos.Interpretacin Fsica del Valor Interpretacin Fsica del ValorEl valor eficaz de una seal variable en el tiempo valor eficaz de una seal variable en el tiempo, es igual eligual el valor que debera tener una seal constante en el tiempo valor que debera tener una seal constante en el tiempo,para que al ser ambas aplicadas sucesivamente sobre una carga resistivasobre una carga resistiva pura, ambas disiparan respectivamente la misma cantidad depura, ambas disiparan respectivamente la misma cantidad de energa en el mismo tiempo energa en el mismo tiempo.Ief [i(t)] IcteE [i(t); t1] E [Icte; t1]|=Relaciones tensin - corriente en: Resistor Inductor

Capacitor

Primera Ley de Kirchhoff

Segunda Ley de Kirchhoff

Generalizacin de Leyes Bsicas Generalizacin de Leyes BsicasPara seales variable en el tiempo Para seales variable en el tiempoMtodoMtodo Fasorial Fasorial[tYmax[tYmaxsen[tImy[t[t[tRe y[t[tYmaxcos[t[ReIm0TTT TEl MTODO FASORIALMTODO FASORIAL simplifica notablemente la solucin de circuitos con componentescircuitos con componentes pasivos lineales pasivos lineales excitados con fuentes sinusoidales, funcionando en rgimenexcitados con fuentes sinusoidales, funcionando en rgimen permanente permanente. En esencia permite reemplazar permite reemplazar, bajo las restricciones antedichas , las operaciones con funciones trigonomtricasoperaciones con funciones trigonomtricas por operaciones con nmeros complejos. operaciones con nmeros complejos.Para ello, asocia a cada funcinfuncin armnica armnica seno o coseno deamplitudamplitud Y Ymax max, fase inicial fase inicial N N (En este caso supuesta nula) y pulsacinpulsacin [ [, un vector rotatoriovector rotatorio llamado fasor fasor, que gira en sentido anti horario con una velocidad angular velocidad angular igual a la pulsacinpulsacin [ [.El fasor fasor, como puede verse en la figura, representa simultneamente representa simultneamentelas funciones seno seno y coseno coseno, segnsegn tomemos las representaciones detomemos las representaciones de sus proyecciones sobre los ejessus proyecciones sobre los ejes reales e imaginarias,en funcinreales e imaginarias,en funcin del tiempo del tiempo.Comparacin Mtodo Tradicional vsComparacin Mtodo Tradicional vs Fasorial FasorialDesarrollando el seno de la suma de dos ngulos en el primer y segundo miembro y sacando factor comn sen([t) y cos([t) en todos los casos, se obtiene:Aplicando la primera ley de KirchhoffReemplazando las corrientespor sus expresiones instantneasMtodo Tradicional Mtodo TradicionalIgualando los trminos en seno y en coseno:Elevando las ecuaciones anterioresal cuadrado, sumando miembro a miembro y despejandoI3maxresulta:Comparacin Mtodo Tradicional vsComparacin Mtodo Tradicional vs Fasorial FasorialMtodo TradicionalMtodo Tradicional (Continuacin) (Continuacin)En la pgina anteriorvimos que:Con lo cual tenemos los valores que nos permiten escribir la ecuacin del valor instantneode i3(t):Dividiendo miembro a miembro la primera ecuacin por la segunda y operando se obtiene:Y finalmenteComparacin Mtodo Tradicional vsComparacin Mtodo Tradicional vs Fasorial FasorialAplicando la primera ley de Kirchhoff en forma fasorial:Asociando a cada funcin armnica su fasor:MtodoMtodo Fasorial FasorialPasando los complejos representativos de los fasores del primer y segundo miembro de la primera Ley de Kirchhoff a la forma binmica , resulta:Agrupando en el segundo miembro partes reales por una parte e imaginarias por otra e igualando luego partes reales y partes imaginarias entre primer y segundo miembro, tenemos la expresin del fasor representativode i3(t) expresadoen forma binmica. Tomando slo la parte imaginaria (Para quedarnos con la funcin seno), concluimos que:Ntese que se trabaja indistintamente con valores eficaces o mximos, considerando que Ief=Imax/ (2)1/2Respuesta de Componentes Pasivos LinealesRespuesta de Componentes Pasivos Lineales UsandoUsando Fasores FasoresElemento Relaciones tensin - corriente: Valores InstantneosMtodo Fasorial Resistor

Inductor

Capacitor

Se vi en la transparencia N 13 que las ecuaciones de estado instantneoecuaciones de estado instantneo caracterizan la relacin excitacin-respuesta instante a instante, en componentes pasivos lineales componentes pasivos lineales, cuando: las excitaciones son funciones sinusoidales "puras"excitaciones son funciones sinusoidales "puras" y el circuito funciona en rgimen permanente rgimen permanente.Esas condiciones permiten usar el mtodomtodo fasorial fasorial, reemplazando i(t)= i(t)=IImax max sen sen( ([ [t+ t+N NII)) por su fasor asociado IImax maxeej j( ([ [t+ t+N NII) ).Realizando las operaciones indicadas en las ecuaciones de estado instantneo se obtienen los resultados resumidos en la columna denominada "Mtodo"Mtodo Fasorial Fasorial". ".Respuesta de Componentes Pasivos LinealesRespuesta de Componentes Pasivos Lineales UsandoUsando Fasores FasoresEjemplo EjemploPara un inductor, usando valores instantneos valores instantneos:Para un inductor, usando fasores fasores:Segunda Ley deSegunda Ley de Kirchhoff Kirchhoff concon Fasores FasoresAplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura, se obtiene la siguiente ecuacin deecuacin de estado instantneo: estado instantneo:Reemplazando i(t)= i(t)=IImax max sen sen( ([ [t+ t+N NII)) por su fasor asociado IImax maxeej j( ([ [t+ t+N NII) )y operando:Impedancia Compleja ZEl Concepto de Impedancia Compleja El Concepto de Impedancia ComplejaAl trmino R + j ([L - 1/[C) lo denominamos impedancia compleja Z, arribando as a la expresin de la Ley de Ohm en forma fasorial:Podemos comprobar que la impedancia compleja Z no es unno es un fasor fasor fcilmente:Aplicando a la anterior la frmula de Euler y recordando la definicin de impedancia compleja Z:Mdulo de ZArgumento de ZEl Concepto de Impedancia Compleja El Concepto de Impedancia ComplejaAl trmino XL=[L lo denominamos Reactancia Inductiva, y al trminoXC =1/[C lo denominamos Reactancia Capacitiva. Ambas magnitudes, al igual que la impedancia y la resistencia, relacionan tensiones y corrientes, siendo por ello en todos los casos la unidad de medida el Ohm [;].Si ahora representamos en un sistema de ejes cartesianos las componentes de la impedancia, resulta el denominado tringulo de impedancias:El Concepto de Admitancia Compleja El Concepto de Admitancia ComplejaSi en lugar de considerar un circuito serie RLC hubisemos considerado uno paralelo, siguiendo similares razonamientos y considerando el principio de dualidad, llegaramos al concepto de Admitancia Compleja Y:Podemos comprobar que la admitancia compleja Y no es unno es un fasor fasor fcilmente:Aplicando a la anterior la frmula de Euler y recordando la definicin de admitancia compleja Y:Mdulo de YArgumento de YEl Concepto de Admitancia Compleja El Concepto de Admitancia ComplejaAl trmino BC = [C lo denominamos Suceptancia Capacitiva, y al trminoBL =1/[L lo denominamos Suceptancia Inductiva. Ambas magnitudes, al igual que la admitancia (Y) y la conductancia (G) , relacionan corrientes y tensiones, siendo por ello en todos los casos la unidad de medida el Siemens [S].Si ahora representamos en un sistema de ejes cartesianos las componentes de la admitancia, resulta el denominado tringulo de admitancias:ImpedanciaAdmitanciaModelo Z = R Y =1 / Z = 1/R = G Z = jXL Y =1 / Z = -j / XL = -jBL Z = -jXC Y =1 / Z = j / XC = jBC Z = R + jXL Y =1 / Z = 1 /(R + jXL) Z = R - jXC Y =1 / Z = 1 / (R - jXC) Z = R + j(XL- XC) Y =1 / Z = 1 / [R + j(XL - XC)] Z =1 / Y = 1 / (G - jBL)Y = G - jBL Z =1 / Y = 1 / (G + jBC)Y = G + jBC Z =1 / Y = 1 / [G + j(BC - BL)]Y = G + j(BC - BL) Z = Z1 + Z2Y =1 / Z = 1 / ( Z1 + Z2) Z =1 / Y = 1 / ( Y1 + Y2)Y = Y1 + Y2 Combinaciones de Elementos Pasivos Combinaciones de Elementos PasivosCUESTIONARIO CUESTIONARIODefinir Definir y y explicar explicar los los siguientes siguientes conceptos conceptos: : Dada Dadala lafuncin, funcin, realizar realizarsu sugrfica grficae eindicar indicaroocalcular, calcular, segn segnel elcaso caso: : Frecuencia Frecuencia; ; Perodo Perodo; ; Fase Fase; ; Valor Valormedio medio(instantneo (instantneoy yen enun unperodo) perodo); ; Valor Valor medio medio cuadrtico cuadrtico (instantneo (instantneo y y en en un un perodo) perodo) Cmo Cmo se se calcula calcula y y cul cul es es la la interpretacin interpretacin fsica fsica del del valor valor eficaz? eficaz? Para Para los los componentes componentes de de circuito circuito R, R, LLy y C, C, realizar realizar un un resumen resumen de defrmulas frmulas de de ZZ e e YY para para todas todas las las combinaciones combinaciones posibles posibles; ; Realizar Realizar un un cuadro cuadro sinptico sinptico con con la la relacin relacin entre entre u(t) u(t) e e i(t) i(t) senoidal senoidal; ; Qu Quson sonlos lostringulos tringulosde deimpedancia impedanciay yadmitancia admitanciay yque queotros otrosparmetros parmetros representan representan sus sus lados? lados? Definir Definirqu qu es es un unfasor fasory y su su relacin relacin con con las lasfunciones funciones armnicas armnicas..Indicar Indicarlas lasexpresiones expresionesen enforma formacartesiana, cartesiana, polar polar y yexponencial exponencial..Tabular Tabular las las expresiones expresiones que que permiten permiten pasar pasar de de una una forma forma a a otra otra.. Enunciar Enunciar y y explicar explicar las las leyes leyes de de Kirchhoff Kirchhoff en en corriente corriente alterna alterna.. Escribir Escribir las las expresiones expresiones genricas genricas de de la la Ley Ley de de Ohm Ohmy y de de las las Leyes Leyesde de Kirchhoff Kirchhoff utilizando utilizando notacin notacin fasorial fasorialResolucin: Resolucin:I) El procedimiento de resolucin est descrito en las transparencias N 15, 16 y 17II) Comenzamos por identificar el punto del modelo en el que concurren la mayor cantidad de fasores conocidos, en este casoel O, y los representamos. Luego encontramos UABResolucin: Resolucin:I) Para hallar I1e I2, aplicamos ley de Ohm junto con el concepto de impedancia compleja. As obtenemos:I1= Ug/(R1- jXC1) = 50 / (3 j4) = 10 ej53,13 [A]I2= Ug/ R2= 50 / 10 = 5 [A]II) Aplicando la primera Ley de Kirchhoff en el nodo superior, determinamos IT:IT = I1 + I2= 10 ej53,13 + 5 = 6 + j 8 + 5 = 11 + j 8 [A]III) Finalmente calculamos Zepor los dos caminos posibles:Ze= Ug/ IT = 50 / (11 + j 8) = 2,97 j 2,16 [;]Ze= (Z1 x Z2) / (Z1 + Z2) = [(3 j4) x 5)] / [(3 + 5 j4)] = 2,97 j 2,16 [;]Evidentemente, si los clculos estn bien realizados, los valores de Zecalculados por ambos mtodos deben coincidir.