ANLISIS FRECUENCIAL DE SE‘ .agenda introducci“n. definici“n. se‘ales estacionarias y no estacionarias

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  • UNIVERSIDAD DE LOS ANDESPOSGRADO INGENIERA BIOMDICA

    ENERO 2007

    ANLISIS FRECUENCIAL DE SEALES

    LUIS ENRIQUE MENDOZA

  • AGENDA

    INTRODUCCIN.

    DEFINICIN.

    SEALES ESTACIONARIAS Y NO ESTACIONARIAS.

    TRANSFORMADA DE FOURIER.

    TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CORTO.

    INTRODUCCIN TRANSFORMADA WAVELET.

  • INTRODUCCIN

    Muchos de los fenmenos fsicos se pueden describir en el dominio del tiempo ( variable independiente tiempo, amplitud variable dependiente ), sin embargo la informacin que se puede obtener de esta representacin no es siempre la mejor, puesto que la informacin que caracteriza esta seal puede verse mas claramente en el dominio de la frecuencia.

  • DEFINICINLas transformadas son modelos matemticos que se pueden aplicar a cualquier tipo de seales, para as tener la mayor informacin que se pueda de dicha seal. Generalmente se asume que las seal en estado original se definen en el dominio del tiempo.

  • SEAL ESTACIONARIASeal cuya frecuencia no varia con el tiempo

  • Seal cuya frecuencia varia con el tiempoSEALES NO ESTACIONARIAS

  • TRANSFORMADA

    Propiedades de una transformada

    Reversible

    Dominio Real

    (Tiempo)

    Dominio transformada

    T, directa

    T . Inversa.

    Teorema de UNICIDAD

    1T

    FourierGabor

    waveletCoseno Laplace

    .

    == df)f(Xdt)t(xE 22

    Conservacin de la energa

  • COMO SE OBTIENE EL ESPECTRO DE FRECUENCIA?

    Transformada de Fourier, la cual informa sobre la amplitud del espectro a ciertos valores de frecuencia.

    Fs=7000Hz

  • Condicin de existencia de la transformada de Fourier

    La seal x(t) tiene transformada de fourier si:

  • Propiedades de la transformada de FourierLinealidad y Superposicin

    )t(h)t(g +D )f(H)f(G +D

    ))t(r*b)t(g*a(F +

    TF

    ))t(r(bF))t(g(aF +

  • Propiedades de la transformada de FourierCambio de escala

    )t(x )rt(xTF TF)f(X

    rfX

    r1

  • Propiedades de la transformada de Fourier

    Diferenciacin en el tiempo

    ))t(r(F*)w*j(dt

    ))t(r(dF nnn

    =

    Diferenciacin en frecuencia

    n

    nn

    dw)w(Fd)]t(r*)t*j[(F =

  • Propiedades de la transformada de Fourier

    Integracin en el tiempo

    )t(x )f(XTFY

    = 0dt)t(x

    t

    dt)t(xjw

    )f(XTF

  • Propiedades de la transformada de FourierDesplazamiento en el tiempo

    )t(x TF ))t(x(f TF)f(X *w*je*)f(X

  • Propiedades de la transformada de FourierSimetra )t(x TF

    Simetra par

    Simetra impar

    )f(X

    ))f(X())f(X( =

    )f(X)f(X =

  • Propiedades de la transformada de FourierDesplazamiento en frecuencia o modulacin

    )ff(X c

    )t(x TF

    t)*ww*(j ce*)t(x

    TF

    )f(X

  • Propiedades de la transformada de Fourier

    Convolucin

    )t(x

    )t(h)t(g

    TF )f(X

    )f(H*)f(GTF

    ))t(r(F*))t(g(F))t(r)t(g(F

  • Clases de transformada de Fourier

    Transformada de fourier en tiempo discreto TFTD

    Transformada de fourier en tiempo continuo TFC

    Transformada de fourier discreta TFD

  • Transformada de Fourier continua TFC.

    Representacin de la seal original en funcin de sumas de exponenciales complejas, donde f es la frecuencia real.

    x(t) X(f)

    Transformada directa

    dte)t(x t*f**j*2

    Transformada inversa 1T

    dfe)f(X t*f**j*2

    X(f) es una funcin compleja

  • Transformada de Fourier continua TFC.

    = dte*)t(x)f(X t*f*pi*2*j

    La seal x(t) es multiplicada por un termino sinusoidal de frecuencia f, si la seal tiene una componente de frecuencia igual o cercana a f, entonces la integral del producto dar un valor grande.

    Si el valor de la integral del producto es pequeo se dice que la seal no contiene frecuencias de valor f.

    Como el intervalo de integracin va desde [- ], no importara el instante en que aparezca la componente de frecuencia f, y no afectar el resultado de la integracin.

  • Transformada de Fourier continua TFC.

    = dte*)t(x)f(X t*f*pi*2*j

    El espectro de una seal X(f), en general esta dado en forma compleja .

    )f(je*)f(X)f(X =

    ))f(X( Fase del espectro

    )f(X Magnitud del espectro

  • Ejemplos transformada de fourier continua

    FT

    FT

  • Ejemplos transformada de Fourier continua

    FT

    FT

    t1)*300*cos(w)1t(x =

    t3)*25*cos(w=x(t3)t2)*120**2*exp(j=x(t2)

    t4)*80*sin(w=x(t4)

  • Transformada de fourier en tiempo discreto TFTD.

    Representacin de la secuencia en trminos de exponencial complejo

    x(n) X(f)

    =

    n

    n*f**j*2e)n(x

    Transformada directa

    1TTransformada inversa

    dfe)f(X

    *21 n*f**2*j

  • Ejemplos transformada de Fourier en tiempo discreto

    DTFT

    FT

  • Transformada de fourier discreta TFD.

    Representacin de la secuencia en trminos de exponencial complejo

    x(n)

    =

    1N

    0n

    N/n*k**2*je)n(x )k(X

    Transformada directa

    1T

    =

    1N

    0k

    N/n*k**2*je)k(xN1

    Transformada inversa

    K y n = 0,1 , N-1 N = numero de muestras

  • Ejemplos transformada de Fourier discreta

    DFT DFT

    C

    IDTF

  • TFC , TFTD y TFD

    TFC TFTD TFD

    Espectro continuo

    Definida entre [- ]

    Espectro continuo Espectro discreto

    Definida entre [ -]

    Definida entre [- ]

    Tabla comparativa

  • Problemas de la transformada de Fourier

    Es imposible obtener informacin del tiempo y frecuencia de una seal en un punto exacto del plano tiempo frecuencia.

    Incertidumbre

    Forma incorrecto Forma correcto

  • Problemas de la transformada de Fourier

    Incertidumbre

    Se concluya que la TF no tiene problemas en el dominio de la frecuencia, se sabe exactamente las frecuencias que existen, de la misma manera no hay ningn inconveniente en el dominio del tiempo, ya que se conocen los valores de la seal en cualquier instante de tiempo.

    Lo que proporciona estas resoluciones es la ventana utilizada:

    t*f**2*je

    La cual existe para cualquier instante d e tiempo [ -]

  • Problemas de la transformada de Fourier

    Incertidumbre

    No contiene ninguna informacin de

    frecuenciaNo contiene ninguna

    informacin de tiempo

  • Que tanta resolucin tiempo frecuencia tiene la TF ?

    La transformada de fourier solo da el valor(es) de las componentes espectrales que se encuentran en la seal, a dicha transformada no le importa conocer en que tiempo ocurren estas componentes espectrales.

    Seales estacionarias: se dice que la resolucin tiempo-frecuencia es buena.

    Seales no estacionarias: se dice que la resolucin tiempo-frecuencia es cero.

  • Transformada de fourier (T.F) de seal estacionaria

    Transformada de fourier (T.F) de seal no estacionaria

    TF

    TF

    10 25 50 100

  • Cuando aplicar la T.F. ?

    Teniendo en cuenta las definiciones de seal estacionarias, no estacionarias y sus diferentes transformadas, se puede decir quesolo es aplicable a seales estacionarias, debido a que las componentes espectrales se encuentran en todo momento.

    Que pasa con las seales que son no estacionarias ?

    La solucin fue dividir las seales en porciones finitas y aplicarle la transformada de fourier.

    A este proceso se le llamo:

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    Proporciona informacin de las componentes espectrales y su momento de ocurrencia.

    Existe una sola diferencia entre la T.F y la S.T.F.T, en S.T.F.T la seal se divide en segmentos pequeos, en estos segmentos se debe asumir que la seal es estacionaria y en T.F existe un solo segmento infinito.

    = dte*)tt(v*)t(x)f,t(tftcc t*f*j*pi*200

    n*f*j*pi*200 e*)tn(v*)n(x)f,t(tftcd

    =

    )n(x)t(v)t(x Seal original

    )n(v Funcin ventana

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    2/t*a 2e)t(x =

    Ejemplo

    a es la longitud de la ventana.

    Ventanagaussiana

    Se supone que la porcin de seal dentro de la ventana debe ser

    estacionaria.Explicacin grfica

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    Ejemplo Ventanacuadrada

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    Desplazamiento de la ventana

    Desplazamiento peridico con periodo igual a la duracin del

    la ventana

    Desplazamiento peridico con periodo menor a la duracin

    del la ventanaSolapamiento

    1 2 3 4 5

    1 2 3

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    Desplazamiento de la ventana

    1

    Espectros de la seal no solapada Espectros de la seal solapada

    Mayor cantidad de espectros de frecuencias con ventanas solapadas.

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    Variacin del enventanado:

    Variacin del ancho de la ventana

    Que sucede?

    TF

    si el ancho de la ventana va hacia el

    infinito

    Seal no estacionaria

  • Problemas de la STFT

    Resolucin: principio de incertidumbre (ventana).

    )t(x Resolucin en tiempo es alta, ya que se puede conocer el valor de la seal en cualquier tiempo.

    Resolucin tiempo alta

    frecuencia baja

    Resolucin tiempo baja

    frecuencia alta

    Resolucin tiempo muy baja frecuencia mas

    alta

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    longitud de la ventana1000

  • Transformada de fourier en tiempo corto S.T.F.T

    longitud