Cap´ıtulo 1 Funciones Vectoriales - cv-upb.weebly.com¡lculovectori... · con tres variables dependientes, yR, ... Tambi´en se llaman funciones de varias variables o campos

Capıtulo 1

Funciones Vectoriales

1.1. Introduccion

En una funcion real de variable real una regla asocia a un numero real deldominio un unico numero real de rango (contradominio, conjunto imagen orecorrido). En lo que se ha estudiado hasta ahora, la variable del dominiose llama variable independiente y la variable del rango se llama variabledependiente. Estas funciones sirven para representar algunos eventos de lavida real, como la rapidez en funcion del tiempo o el volumen de una esferaen funcion del radio.

Sin embargo, en la mayorıa de los casos una variable dependiente es fun-cion de mas de una variable independiente, como es el caso del volumen deun cono, que depende del radio de la base y de la altura. En otros casos,para que el evento quede bien modelado se requiere mas de una variabledependiente. Piense, por ejemplo, en la senal de video de television, la cualesta compuesta por la combinacion de las senales de rojo, verde y azul. Cadauna de estas es funcion del tiempo y de la posicion en la pantalla del punto deluz, por lo tanto podrıamos considerar la senal completa como una funcioncon tres variables dependientes, yR, yB y yG (las senales de los tres colores) ytres variables independientes x, y y t (dos de posicion y el tiempo), es deciryR = f1(x, y, t), f2(x, y, t) y yG = f3(x, y, t).

De este tipo de funciones, donde aparece mas de una variable dependienteo mas de una variable independiente o ambas, se encarga el Calculo Vectorial.

A continuacion se definen los diversos tipos de funciones y el formalismomatematico para el manejo adecuado de estas.

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2 CAPITULO 1. FUNCIONES VECTORIALES

1.2. Definicion

Una funcion vectorial es una regla que le asocia a cada elemento X =(x1, x2, . . . , xn) de Rn un unico y bien determinado elemento Y = (y1, y2, . . . ,ym) de Rm donde n,m ∈ N; X ∈ Dom(F ) 6⊆ Rn; donde el conjuntoDom(F ) representa el dominio de la funcion y se define por Dom(F ) ={X ∈ Rn; F (X) exista en Rm}. El dominio de F cumple que Dom(F ) =m⋂

i=1

Dom f1 ⊂ Rm.

Y ∈ Rango(F ) 6⊆ Rm; donde Rango(F ) representa el rango de la funcion,el cual es el conjunto de todas las imagenes de la funcion. Lo anterior tambiense denota ası:

F : Rn → Rm

X → Y = F (X)

siendo F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)) y cada fi : Rn → R tal quefi(X) = yi con i = 1, 2, . . . ,m.

1.2.1. Casos

a) m = n = 1 se llaman funciones reales de variable real1.

f : R → R

x → y = f(x)

b) n = 1 y m ≥ 2 se llaman funciones vectoriales de variable real2

F : R → Rm

t → F (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fm(t))

c) n ≥ 2, m = 1 se llaman funciones reales de variable vectorial.

f : Rn → R

X → f(X) = f(x1, x2, . . . , xn)

Tambien se llaman funciones de varias variables o campos escalares.

1Son objeto de estudio del Calculo de Variable Real2Son objeto de estudio del Calculo de Variable Real

1.2. DEFINICION 3

d) m,n ≥ 2 y m = n se llaman campos vectoriales. Toda funcion vectorialse puede escribir como una combinacion lineal de sus campos escalarescomponentes:

F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fn(X)) = f1(X)e1+f2(X)e2+ · · ·+fm(X)em

e) En general si m,n ≥ 2 se llaman funciones vectoriales de variable vecto-rial.

Como el lector ya habra notado, en este texto se usaran minusculas paradenotar las funciones escalares y mayusculas para las funciones vectoriales.

Las funciones vectoriales tambien pueden representarse con notacion ma-tricial como se muestra a continuacion:

F

x1

x2...

xn

=

f1(X)f2(X)

...fn(X)

Existen dos tipos de importancia para el curso:

• F : R2 → R3 tal que F (X) = (f1(X), f2(X), f3(X))

Se puede definir, en forma parametrica, un conjunto de puntos, quegeometricamente representan una superficie en R3.

• F : R → Rm tal que F (t) = (f1(t), f2(t), . . . , fm(t))

Se puede definir, en forma parametrica, un conjunto de puntos, quegeometricamente representan una lınea en Rm.

Se definen y denotan los conjuntos:

fA = {f : Rn → R/f es una funcion definida en A ⊆ Dom(f) ⊆ Rn}, elconjunto de los campos escalares definidos en A.

FA = {F : Rn → Rm/F es una funcion definida en A ⊆ Dom(F) ⊆ Rn},el conjunto de las funciones vectoriales definidas en A.

Ejemplo 1.1

En este ejemplo se muestran algunas funciones vectoriales y sus dominios.


a) F : R2 → R3/(x, y) → F (x, y) = (z2 + y2 + 1, y, z).

Esta funcion define en forma parametrica un paraboloide de revolucioncon vertice en (1, 0, 0), con eje de revolucion el eje x y se extiende haciael lado positivo del eje x. Dom(F ) = R2.

b) F : R2 → R3/(x, y) → F (x, y) = (x2 + y + 1, xy, y3x7).

Esta funcion define en forma parametrica, un conjunto de puntos, que geo-metricamente representan una superficie R3 que no es facil de identificar.Dom(F ) = R2.

c) f : R2 → R/(x, y) → f(x, y) =1√

x + y + 1= w, la cual es una fun-

cion escalar para la cual se definen: Dom(f) = {(x, y)/x + y + 1 > 0};Rango(f) = {w ∈ R/w > 0} = (0,∞)

d) f : R2 → R/(x, y) → f(x, y) = arctan(

x+y

x

)

.

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/y 6=(

π2

+ nπ − 1)

x ∧ n ∈ Z}, es decir, todoslos puntos del plano xy excepto las rectas por el origen con pendiente(

π2

+ nπ − 1)

.

e) F : R2 → R3/(x, y) → F (x, y) =(

x, arc cos(

xx+y

)

, x2 + y3)

, funcion

vectorial de variable vectorial.

El dominio de esta funcion es una region del plano xy restringida solo porla existencia del coseno inverso. Para hallar el conjunto de puntos (x, y)del dominio de la funcion se procede ası: Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤

xx+y

≤ 1}, de donde se deduce que −1 ≤ xx+y

≤ 1, lo cual significa que:(

−1 ≤ x

x + y

)

∧(

x

x + y≤ 1

)

De tal manera,(

−1 ≤ xx+y

)

∧(

xx+y

≤ 1)

, o equivalentemente:(

x

x + y+ 1 ≥ 0

)

∧(

x

x + y− 1 ≤ 0

)

⇒(

2x + y

x + y≥ 0

)

∧( −y

x + y≤ 0

)

De ahı se obtiene que:

(2x + y) ≥ 0 ∧ (x + y) > 0∨

(2x + y) ≤ 0 ∧ (x + y) < 0∧

(−y) ≥ 0 ∧ (x + y) < 0∨

(−y) ≤ 0 ∧ (x + y) > 0

1.2. DEFINICION 5

Ejemplo 1.2

En este ejemplo se definen algunas funciones vectoriales con su respectivodominio.

a) Sea la funcion:

G : R2 → R5

(x, y) → G(x, y) =

(

xy, ln(xy), x2 − y2,1

xy,√

x2 + y2

)

Sus campos escalares componentes son de la forma gj : R2 → R paraj = 1, 2, 3, 4, 5 con:

g1(x, y) = xy; g2(x, y) = ln(xy); g3(x, y) = x2 − y2;

g4(x, y) =1

xy; g5(x, y) =

√

x2 + y2

G se puede escribir como combinacion lineal de gj ası:

G(x, y) = xy e1 + ln(xy) e2 + (x2 − y2) e3 +1

xye4 +

√

x2 + y2 e5

ei son los componentes de la base canonica en R5:

e1 = (1, 0, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0, 0),

e4 = (0, 0, 0, 1, 0), e5 = (0, 0, 0, 0, 1)

El dominio de G esta dado por la interseccion de los dominios de suscampos escalares componentes, que a su vez son:

Dom(g1) = Dom(g3) = Dom(g5) = R2

Dom(g2) = {(x, y) ∈ R2/xy > 0}Dom(g4) = {(x, y) ∈ R2/xy 6= 0}

Entonces:

Dom(G) =5

⋂

j=1

Dom(gj)

= {(x, y) ∈ R2/xy > 0}= {(x, y) ∈ R2/(x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0)}


En conclusion, la funcion G solo tiene imagen para puntos en el primer ytercer cuadrantes, sin incluir los ejes del plano xy.

b) Sea el campo escalar:

f : R3 → R

(x, y, z) → f(x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 − z2)

Su dominio esta dado por:

Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 < 1}

Recordando que x2 + y2 + z2 = 1 es la ecuacion de una superficie esfericacon centro en el origen y radio 1, entonces se observa que el dominio de fes la region de puntos en R3 que estan al interior de la superficie esferica,es decir, en la region del espacio que ella encierra.

c) Sea el campo vectorial:

H : R3 → R3

(x, y, z) → H(x, y, z) =1

‖(x, y, z)‖(x, y, z) =1

√

x2 + y2 + z2(x, y, z)

Se sabe que ‖(x, y, z)‖ es la norma o magnitud del vector (x, y, z). Desdela geometrıa vectorial se sabe que H(x, y, z) define un vector unitario (conmagnitud 1) en la direccion de (x, y, z), excepto en el origen (¿por que?).Ası se tiene que el dominio H esta dado por:

Dom(H) = R3 − {(0, 0, 0)}

d) Sea el campo vectorial:

F (x, y, z) =

(

x + y

z2 + 1, ln(z − x2 + 4),

x + z

y2 + 1

)

Su dominio se puede obtener como la interseccion de los dominios delos campos escalares componentes. La unica restriccion se presenta en lasegunda componente donde z − x2 + 4 > 0, lo cual equivale a z > x2 − 4,cuya grafica en R3 es la de un cilindro parabolico. El dominio es entoncesDom(F ) = {(x, y, z) ∈ R3; z > x2 − 4}.

1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES VECTORIALES 7

e) Sea la funcion vectorial definida por F (x, y) =(

xy, y + x,√

‖x‖ − x,√

‖y‖ − y)

. La funcion tiene como dominio Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2; ‖x‖−x ≥ 0 ∧ ‖y‖ − y ≥ 0}. Las desigualdades ‖x‖ − x ≥ 0 y ‖y‖ − y ≥ 0se satisfacen unicamente para valores enteros de x y y. Por lo tanto,Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2; x ∈ Z ∧ y ∈ Z}, que tambien se puede escribircomo Dom(F ) = Z2.

1.3. Algebra de funciones vectoriales

En matematicas un conjunto adquiere vigos en la medida en que se definenrelaciones y operaciones entre sus elementos. Esto permite crear estructurasalgebraicas, de las cuales la mas importante para este texto es la de espaciovectorial o lineal sobre los reales.

1.3.1. Igualdad de funciones

La igualdad de funciones vectoriales requiere, como en todo tipo de fun-ciones, igualdad de dominios e imagenes. Sean F , G : Rn → Rm funcionesvectoriales, entonces:

F = G ⇔{

i) Dom(F ) = Dom(G)ii) F (X) = G(X) para toda X que cumpla i)

Esta relacion cumple las conocidas propiedades reflexiva, simetrica y tran-sitiva que definen una relacion de equivalencia en el conjunto de las funcionesvectoriales. Para funciones escalares, es decir con m = 1, la definicion tam-bien se cumple.

Ejemplo 1.3

En este ejemplo se ilustra la definicion de igualdad de funciones.

a) Sean las funciones f, g : R2 → R con:

f(x, y) = |xy| ; g(x, y) = |x| |y|

En ese caso se tiene que f = g, puesto que:

Dom(f) = Dom(g) = R2


f(x, y) = |xy| = |x| |y| = g(x, y) ∀ (x, y) ∈ R2

b) Sean las funciones m,n : R2 → R con:

m(x, y) = ln(x + y)2; n(x, y) = 2 ln(x + y)

Dom(m) 6= Dom(n) porque:

Dom(m) = {(x, y) ∈ R2/x + y 6= 0}Dom(n) = {(x, y) ∈ R2/x + y > 0}

Notese que para ciertos valores de x y y, la condicion ii) se cumple. Eneste caso f 6= g.

Ejemplo 1.4

Dadas las funciones F y G como F (x, y, z) =

(

x + y2 − 10z, 5z − x + y

z − x + y,

z3 + 3y2)

, G(x, y, z) = (x + y2 − 10z, 5, z3 + 3y2), se verifica si son igualesrevisando primero la condicion i), es decir, la igualdad de dominios.

El dominio de la funcion F,Dom(F ) = {(x, y, z) ∈ R3/z − x + y 6= 0}, yel dominio de la funcion G,Dom(G) = R3. En tal caso Dom(F ) 6= Dom(G),por ende las funciones F y G no son iguales.

1.3.2. Operaciones en campos escalares

Las operaciones algebraicas con funciones vectoriales corresponden a las res-pectivas operaciones de vectores en Rm y son validas todas las propiedadesde los espacios lineales.

Se definen f, g ∈ fA campos escalares. Se tienen como operaciones alge-braicas basicas las siguientes.

Adicion

f, g : fA × fA → fA

(f(X), g(X)) → (f + g)(X) = f(X) + g(X)


Para toda X ∈ Dom(f + g), donde Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g).La suma cumple con las propiedades clausurativa (o cerrada o interna),

asociativa, existencia de elemento neutro aditivo, existencia de elemente in-verso aditivo y conmutativa, es decir, cumple con las conocidas propiedadesde grupo abeliano (conmutativo).

Multiplicacion

f, g : fA × fA → fA

(f(X), g(X)) → (f · g)(X) = f(X) · g(X)

Para toda X ∈ Dom(f · g), donde Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g).El producto cumple con las propiedades clausurativa, asociativa, existen-

cia de elemento neutro multiplicativo, existencia de elemento inverso multi-plicativo (con excepcion del campo escalar nulo, que no tiene inverso multi-plicativo) y conmutativa, es decir, cumple con las conocidas propiedades degrupo abeliano (conmutativo).

Las dos operaciones anteriores se relacionan mediante la propiedad dis-tributiva, ası:

[(f + g)h] (X) = (f + g)(X)h(X) = f(X)h(X) + g(X)h(X)

con X ∈ (Dom(f) ∩ Dom(g) ∩ Dom(h))

En conclusion, el conjunto de los campos escalares en Rn con las dos ope-raciones binarias internas (OBI) anteriores, constituye un campo, de ahı suacertado nombre: campos escalares.

Producto por un escalar

Se define una operacion binaria externa (OBE) por medio de los reales encampos escalares llamada producto por un escalar:

R × fA → fA

(λ, f(X)) → (λf)(X) = λf(X)

donde Dom(λf) = Dom(f); λ ∈ R.


En conclusion, el conjunto de los campos escalares fA, con la operacionbinaria interna adicion y la operacion binaria externa producto por un es-calar bajo la relacion de igualdad conforman una estructura de espacio linealpor medio de los R, lo cual se simboliza como (fA; +, •, =).

Ejemplo 1.5

En este ejemplo se ilustran las operaciones definidas en campos escalares.Sean las funciones f, g : R3 → R, con:

f(x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 − z2); g(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖ =√

x2 + y2 + z2,

con sus respectivos dominios:

Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 < 1}Dom(g) = R3

Entonces:

(f + g)(x, y, z) = f(x, y, z) + g(x, y, z)

= ln(1 − x2 − y2 − z2) +√

x2 + y2 + z2

(fg)(x, y, z) = f(x, y, z)g(x, y, z)

= ln(1 − x2 − y2 − z2)√

x2 + y2 + z2

(5g)(x, y, z) = 5g(x, y, z) = 5√

x2 + y2 + z2

Con:

Dom(f + g)(x, y, z) = Dom(f)(x, y, z) ∩ Dom(g)(x, y, z)

= {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 < 1}Dom(fg)(x, y, z) = Dom(f + g)(x, y, z)

Dom(5g)(x, y, z) = Dom(g)(x, y, z) = R3

Usando las anteriores operaciones en campos escalares se pueden definirlas respectivas operaciones algebraicas en funciones vectoriales.

1.3.3. Operaciones en funciones vectoriales

Sean F,G ∈ FA con:

F : Rn → Rm

X → F (X) = (f1, . . . , fm)(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X))


G : Rn → Rm

X → G(X) = (g1, . . . , gm)(X) = (g1(X), g2(X), . . . , gm(X))

Adicion

F,G : FA × FA → FA

(F (X), G(X)) → (F + G)(X) = F (X) + G(X)

F (X) + G(X) = (f1, . . . , fm)(X) + (g1, . . . , gm)(X)

= (f1 + g1, . . . , fm + gm)(X)

=m

∑

j=1

(fj + gj)(X) ej

para toda X ∈ Dom(F + G) donde Dom(F + G) = Dom(F ) ∩ Dom(G).

La suma cumple con las propiedades de grupo abeliano.

Producto punto, interno o escalar


(F (X), G(X)) → (F • G)(X) = F (X) • G(X)

F (X) • G(X) = (f1, . . . , fm)(X) • (g1, . . . , gm)(X)

= (f1g1, . . . , fmgm)(X)

=m

∑

j=1

(fjgj)(X)

con Dom(F • G) = Dom(F ) ∩ Dom(G). El producto interno es una formabilineal.


Producto cruz, externo o vectorial, para m=3


(F (X), G(X)) → (F × G)(X) = F (X) × G(X)

F (X) × G(X) = (f1, f2, f3)(X) × (g1, g2, g3)(X)

= (f2g3 − f3g2, f3g1 − f1g3, f1g2 − f2g1)(X)

con Dom(F × G) = Dom(F ) ∩ Dom(G) para toda X ∈ Dom(F × G).El producto externo es una OBI.

Producto por un escalar

R × FA → GFA

(λ, F (X)) → (λF )(X) = λF (X)

λF (X) = λ(f1, . . . , fm)(X)

= (λf1, . . . , λfm)(X)

con λ ∈ R y Dom(λF ) = Dom(F ).El producto por un escalar es una OBE.

Producto por un campo escalar

fA × FA → GFA

(g, F (X)) → (gF )(X) = g(X)F (X)

g(X)F (X) = g(X)(f1, . . . , fm)(X)

= (gf1, . . . , gfm)(X)

con Dom(gF ) = Dom(g) ∩ Dom(F ).El producto por un campo escalar es una OBE por medio de fA.


Composicion

Dadas las funciones vectoriales F,G tales que:

F : Rn → Rp

X → F (X) = (f1, . . . , fp)(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fp(X)),

G : Rp → Rm

X → G(X) = (g1, . . . , gm)(X) = (g1(X), g2(X), . . . , gm(X)) = Y,

con m,n, p ∈ N

para las cuales se cumple que Rango(F ) ∩ Dom(G) 6= Φ, entonces existecomposicion de G y F definida como:

(G ◦ F ) : Rn → Rm

(X) → (G ◦ F )(X) = G(F (X)) = G(Y )

donde G(Y ) = G(F (X)) = (g1(F (X)), g2(F (X)), . . . , gm(F (X))), con Y =F (X) ∈ Rango(F ) ∩ Dom(G).

En la composicion se tiene que Dom(G ◦ F ) = {X ∈ Dom(F )/F (X) =Y ∈ Dom(G)}.

En el caso de los campos vectoriales en Rn (cuando m = p = n), lacomposicion es una OBI asociativa con elemento identico: I(X) = X ∀ X ∈Rn. Si el campo vectorial F : Rn → Rn es biyectivo (inyectivo y sobreyectivo)en su dominio, entonces existe el campo vectorial:

F−1 : Rn → Rn

Y → F−1(Y ),

denominado campo vectorial inverso de F y se cumple que:

(F−1 ◦ F )(X) = F−1(F (X)) = I(X) = X,

y tambien:(F ◦ F−1)(Y ) = F (F−1(Y )) = I(Y ) = Y

En general, las funciones vectoriales no son biyectivas en su dominio, peroes posible restringirlo para que sean inyectivas y el conjunto de llegada para


que sean sobreyectivas. En Calculo Vectorial se consideran, generalmente,funciones inversas locales (esto es porque se trabaja en los alrededores de unpunto), tema que se expondra en la regla de la derivada de la funcion inversa.

Ejemplo 1.6

En este ejemplo se ilustran las diferentes operaciones definidas en funcionesvectoriales.

Sean las funciones F,G,H : R3 → R3 y f : R3 → R, con:

F (x, y, z) = (x, y, z)

G(x, y, z) = (z, x, y)

H(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖−1 (x, y, z); (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

f(x, y, z) = ‖(x, y, z)‖

cuyos dominios son,

Dom(F )(x, y, z) = Dom(G)(x, y, z) = Dom(f)(x, y, z) = R3

Dom(H)(x, y, z) = R3 − {(0, 0, 0)}

Entonces:

(F + G)(x, y, z) = F (x, y, z) + G(x, y, z)

= (x, y, z) + (z, x, y)

= (x + z, y + x, z + y)

(H • F )(x, y, z) = H(x, y, z) • F (x, y, z)

= ‖(x, y, z)‖−1 (x, y, z) • (x, y, z)

= ‖(x, y, z)‖−1 ‖(x, y, z)‖2

= ‖(x, y, z)‖=

√

x2 + y2 + z2

(H × G)(x, y, z) = H(x, y, z) × G(x, y, z)

= ‖(x, y, z)‖−1 (x, y, z) × (x, y, z)

= ‖(x, y, z)‖−1 (y2 − zx, z2 − xy, x2 − yz)

=1

√

x2 + y2 + z2(y2 − zx, z2 − xy, x2 − yz)


(−2G)(x, y, z) = −2G(x, y, z)

= −2(z, x, y)

= (−2z,−2x,−2y)

(fH)(x, y, z) = f(x, y, z)H(x, y, z)

= ‖(x, y, z)‖ ‖(x, y, z)‖−1 (x, y, z)

= (x, y, z)

Siendo,

Dom(F + G)(x, y, z) = Dom(−2G)(x, y, z) = R3

Dom(H • F )(x, y, z) = Dom(H × G)(x, y, z)

= Dom(fH)(x, y, z)

= R3 − {(0, 0, 0)}Notese que aunque (H • F ) y (fH) tienen imagenes sin restricciones, su

dominio si queda restringido, pues toman el dominio de H.

Ejemplo 1.7

En este ejemplo se ilustra la composicion en funciones vectoriales.Sean las funciones F : [0, 2π] × [0, 1] ⊂ R2 → R3 y g : R3 → R, con:

F (u, v) = (cos(u), sin(u), v) ; g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,

para las cuales se tiene:

Dom(F ) = [0, 2π] × [0, 1]

= {(u, v) ∈ R2/0 ≤ u ≤ 2π ∧ 0 ≤ v ≤ 1}Rango(F ) = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y, z) = (cos(u),

sin(u), v) ; (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 1]}= {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}

Dom(g)(x, y, z) = R3

Se cumple entonces que Rango(F ) ∩ Dom(g) 6= Φ y se puede definir lafuncion compuesta (g ◦ F ) mediante:

(g ◦ F )(u, v) = g(F (u, v)) = g(cos(u), sin(u), v)

= cos2(u) + sin2(u) + v2 − 1

= v2


Con:

Dom(g ◦ F )(u, v) = {(u, v) ∈ Dom(F )/F (u, v) = (x, y, z) ∈ Dom(g)}= {(u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 1] /(cos(u), sin(u), v) ∈ Dom(g)}= [0, 2π] × [0, 1]

1.4. Conjuntos definidos mediante funciones

A lo largo de este texto se vera la necesidad de diferenciar dos eventos:dada una funcion, encontrar los diferentes conjuntos que ella pueda definiry, dado un conjunto de puntos, encontrar, por lo menos, una funcion que lodefina. En esta seccion se presentara la formalizacion conceptual de estos doseventos. Para comenzar se introduce un caso ilustrativo con funciones realesde variable real que le ayudaran al lector a comprender los conceptos.

La funcion f(x) =√

1 − x2 es una funcion R → R, cuyo dominio es{x ∈ R;−1 ≤ x ≤ 1} cuyo rango es {y ∈ R; 0 ≤ y ≤ 1}. El grafico de f esmedio circunferencia, arriba del eje x, con centro en el origen y radio 1.

Como se puede ver, a partir de la funcion se han definido tres conjuntosdistintos cada uno de los cuales tiene una representacion pictorica diferente,esto es, el que esta dado por el grafico de la funcion, el que esta dado por eldominio y el que esta dado por el rango.

Ahora, se puede seguir el camino inverso para obtener una funcion apartir de un conjunto de puntos, digamos por ejemplo, la media circunferenciadescrita arriba. Existen tres diferentes funciones que lo pueden definir; estasson:

• R → R : f(x) =√

1 − x2.

• R → R2 : g(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ π.

• R2 → R : x2 + y2 = 1, y ≥ 0.

A estas las llamaremos, en su orden, la funcion explıcita, la funcionparametrica y la funcion implıcita. Estos conceptos se extienden a las fun-ciones vectoriales y su manejo adecuado es de vital importancia en todo elCalculo Vectorial.

1.4. CONJUNTOS DEFINIDOS MEDIANTE FUNCIONES 17

Dada una funcion vectorial,

F : Rn → Rm

X → F (X) = (f1, . . . , fm) (X)

en donde X = (x1, x2, x3, . . . , xn) ∈ Rn y Y = F (X) = (y1, y2, y3, . . . , ym) ∈Rm.

En general, F puede definir tres clases de conjuntos de alguna de lassiguientes formas: explıcito, implıcito y parametrico.

Un conjunto esta definido explıcitamente, mediante la funcion F , comoel conjunto SE dado por:

SE = {(X,Y ) ∈ Rn × Rm/X ∈ Dom(F ) ∧ Y = F (X) ∈ Rango(F )}SE = {(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈ Rn+m/X ∈ Dom(F ) ∧ Y ∈ Rango(F )}

El grafico de la funcion F es SE, es decir, el conjunto de todos los paresordenados (X,F (X)). El grafico de la funcion esta incluido en el espacioRn+m. Cuando n + m ≤ 3 el grafico de la funcion se puede representarmediante un dibujo3.

Un caso particular de especial importancia son los campos escalares deltipo

f : R2 → R

(x, y) → z = f(x, y)

cuando f define explıcitamente una superficie en R3, dada por:

SE = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y) ∈ Dom(f) ∧ z = f(x, y) ∈ Rango(f)}

Un conjunto esta definido parametricamente mediante la funcion Fcomo el conjunto SP dado por:

SP = {F (X) = (f1, . . . , fm)(X) ∈ Rm/F (X) ∈ Rango(F )}

SP es la imagen (conjunto imagen) en Rm de la funcion F . El conjuntoSP esta incluido en Rm.

3En el formalismo matematico el grafico de F no se puede entender como el dibujo(representacion pictorica) porque no es lo mismo un conjunto que el dibujo del conjunto.


Una funcion vectorial de variable real ilustra un caso especial de estosconjuntos:

F : [a, b] ⊂ R → Rm

t → F (t) = (f1, . . . , fm)(t)

SP = {F (t) = (f1, . . . , fm)(t) ∈ Rm/F (t) ∈ Rango(F ) ∧ m ≥ 2}SP determina una trayectoria (o camino) en Rm y se dice que F esta defini-

da mediante un parametro o un grado de libertad: t.Si se considera una funcion del tipo:

F : R2 → Rm

(u, v) → F (u, v) = (f1, . . . , fm)(u, v)

SP = {F (u, v) = (f1, . . . , fm)(u, v) ∈ Rm/F (u, v) ∈ Rango(F ) ∧ m ≥ 2}SP determina una superficie en Rm. En este caso, F esta definida medi-

ante dos parametros o grados de libertad: u, v.Un conjunto esta definido implıcitamente mediante la funcion F como

el conjunto SI dado por:

SI = {X ∈ Dom(F )/F (X) = C, con C ∈ Rango(F ) ∧ n > m}

La funcion F define, para un parametro C, el conjunto SI .El conjunto SI esta incluido en Rn. La ecuacion F (X) = C define una

familia de conjuntos de nivel para F y cada valor particular de C determinaun unico conjunto de dicha familia.

Un campo escalar f : R2 → R determina implıcitamente una curva R2

(curvas de nivel) definida por:

SI = {(x, y) ∈ Dom(f)/f(x, y) = c}

y un campo escalar f : R3 → R(n ≥ 3) determina implıcitamente unasuperficie en R3 (superficies de nivel) definida por:

SI = {(x, y, z) ∈ R3/f(x, y, z) = c}

Tanto las curvas de nivel como las superficies de nivel tienen importantesaplicaciones practicas en diversos campos como el meteorologico, el topografi-co y el estudio de la fısica. Por ejemplo, un mapa del estado del tiempo


muestra curvas de nivel de temperatura y de presion barometrica. La mete-orologıa usa tambien superficies de presion barometrica constante llamadassuperficies isobaricas. Un mapa del relieve de un terreno esta formado porlas curvas de nivel a diferentes alturas y el campo gravitacional de la tierraconsta de un conjunto de esferas concentricas que son superficies equipoten-ciales alrededor de la tierra en las cuales la fuerza de gravedad es constanteen todos los puntos de la esfera.

A manera de resumen lo anterior queda ası:Tambien es de utilidad poder hacer el trabajo al reves, es decir, encontrar

una funcion que defina un conjunto dado explıcitamente, parametricamenteo implıcitamente. Para un conjunto dado, una funcion puede ser mas ade-cuada que otra dependiendo de lo que se pretenda hacer con el conjunto. Unconjunto S esta definido mediante una funcion:

a) Explıcitamente: Si existe una funcion F : Rn → Rm tal que S es elgrafico de la funcion F , es decir, S = SE.

b) Parametricamente: Si existe una funcion F : Rn → Rm tal que S es elconjunto imagen de la funcion, o sea, S = SP .

c) Implıcitamente: Si existe una funcion F : Rn → Rm tal que S sea unconjunto de nivel de la funcion, o S = SI .

Ası, conjuntos de puntos como lıneas o superficies podrıan ser definidospor funciones de la siguiente forma:Ejemplo 1.8

En este ejemplo se muestra como una funcion vectorial puede definir tres con-juntos en diferentes espacios, es sus formas explıcita, parametrica e implıcita.

Sea la funcion:

F : R2 → R3

(u, v) → F (u, v) = (u cos(v), u sin(v), u) = (x, y, z), Dom(F ) = R2

F define explıcitamente un conjunto SE como:

SE = {((u, v), F (u, v)) ∈ R2 × R3/(u, v) ∈ Dom(F ) ∧F (u, v) ∈ Rango(F )}

= {(u, v, x, y, z) ∈ R5/x = u cos(v) ∧ y = u sin(v) ∧ z = u}


Este conjunto no tiene representacion pictorica dado que esta en R5.

F define parametricamente un conjunto SP dado como:

SP = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y, z) = (u cos(v), u sin(v), u)

De ahı se obtiene que:

x = u cos(v); y = u sin(v); z = u

Eliminando los parametros u, v:

x2 + y2 = u2 cos2(v) + u2 sin2(v) = u2 = z2

x2 + y2 = z2 es la ecuacion de un cono en R3

Finalmente:SP = {(x, y, z) ∈ R3/z2 = x2 + y2

La geometrıa dice que SP es la representacion de una superficie conicacircunferencial recta con vertice en el origen.

F define implıcitamente un conjunto SI tal como:

SI = {(x, y) ∈ R2/F (x, y) = (c1, c2, c3)}= {(x, y) ∈ R2/x cos(y) = c1 ∧ x sin(y) = c2 ∧ x = c3}

SI es la solucion en R2 del sistema de tres ecuaciones y dos incognitas dadopor:

x cos(y) = c1; x sin(y) = c2; x = c3

La solucion de este sistema puede ser el conjunto vacıo, un punto en el planoxy (si c3 6= 0 y (c3)

2 = (c1)2 + (c2)

2) o el eje y (si c1 = c2 = c3 = 0).

Ejemplo 1.9

En este ejemplo se muestra como un conjunto se puede definir mediantetres funciones diferentes, en sus formas explıcita y parametrica.

Sea el conjunto de puntos definido por:

S = {(x, y, z) ∈ R3/z = a2x2 + b2y2 con a 6= b 6= 0},

lo cual corresponde a un paraboloide elıptico con vertice en el origen.Las funciones que lo definen de las tres formas son:


• Explıcita: Se puede definir mediante la funcion:

f : R2 → R

(x, y) → f(x, y) = a2x2 + b2y2

Se puede verificar que el SE de esta funcion corresponde al S definidoarriba.

La representacion del conjunto es:

SE = {(x, y, z) ∈ R3/z = f(x, y) = a2x2 + b2y2

• Parametrica: Se puede hacer una parametrizacion ası:

Sean x = x, y = y, z = a2x2 + b2y2. La funcion que define al paraboloideelıptico es:

F1 : R2 → R3

(x, y) → F1(x, y) = (x, y, a2x2 + b2y2)

Observe que:

SP = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y, z) = F1(x, y) = (x, y, a2x2 + b2y2)}SP = {(x, y, z) ∈ R3/z = a2x2 + b2y2}SP = S

El mismo conjunto de puntos se puede describir mediante otra funcion sise usa una parametrizacion diferente:

F2 : R2 → R3

(u, v) → F2(u, v) = (a−1u cos(v), b−1u sin(v), u2)

Note que SP = S ya que SP define el paraboloide elıptico en cuestion,como se comprueba a continuacion:

SP = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y, z) = F2(u, v) = (a−1u cos(v), b−1u sin(v), u2)}SP = {(x, y, z) ∈ R3/(x, y, z) = (a−1u cos(v), b−1u sin(v), u2)}


Como:

x = a−1u cos(v) y = b−1u sin(v) z = u2

ax = u cos(v) by = u sin(v) z = u2

a2x2 = u2 cos2(v) b2y2 = u2 sin2(v) z = u2

a2x2 = z cos2(v) b2y2 = z sin2(v)

a2x2 + b2y2 = z[

cos2(v) + sin2(v)]

a2x2 + b2y2 = z

SP = {(x, y, z) ∈ R3/z = a2x2 + b2y2} = S

SP = S

Ejemplo 1.10

El siguiente ejemplo muestra conjuntos de nivel para funciones mas gene-rales. Sea la funcion F definida por:

F : R3 → R2

(x, y, z) → F (x, y, z) =

(

36x2 − 4y2 + 9z2,x2

4+

z2

16

)

Su conjunto implıcito para el valor C = (144, 2) esta descrito por:

SI ={

(x, y, z) ∈ R3/F (x, y, z) = C ∈ Rango(F )}

reemplazando,

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/

(

36x2 − 4y2 + 9z2,x2

4+

z2

16

)

= (144, 2)

}

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/36x2 − 4y2 + 9z2 = 144 ∧ x2

4+

z2

16= 2

}

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/36x2 − 4y2 + 9z2

144=

144

144∧ x2

4+

z2

16= 2

}

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/x2

4− y2

36+

z2

16= 1 ∧ x2

4+

z2

16= 2

}


Es el corte de un hiperboloide de un manto con un cilindro elıptico.

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/2 − y2

36= 1 ∧ x2

4+

z2

16= 2

}

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/y2 = 36 ∧ x2

8+

z2

32= 1

}

SI =

{

(x, y, z) ∈ R3/

(

x2

8+

z2

32= 1 ∧ y = −6

)

∨(

x2

8+

z2

32= 1 ∧ y = 6

)}

Dos elipses de R3 ubicadas en los planos y = ±6.

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Cap´ıtulo 1 Funciones Vectoriales - cv-upb.weebly.com¡lculovectori... · con tres variables dependientes, yR, ... Tambi´en se llaman funciones de varias variables o campos