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제 9 장 주파수영역 해석 (C)
[예제 9.8] 다음과 같은 루프전달함수를 가진 제어시스템을 생각하자.
(1) 이 시스템에 s=0 인 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지
조사하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
먼저 주어진 시스템의 Nyquist 선도를 그려보자. 편의상 K=1이라고 가정한다.
CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem
// No pole at s = 0
num = 1;
den = [1 1];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/(s + 1)")
그림 9-17 의 Nyquist 선도[예제 9.8]
그림 9-17의 Nyquist 선도로부터 원래의 시스템이 안정하다는 것을 알 수 있다. 이제 s=0
에 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지 살펴보자.
(1) s=0에 극점을 하나 첨가할 때
CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)
// One pole at s = 0
num = 1;
den = [1 1 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s(s + 1)]")
결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2, 1]로, y축의 범위를 [-5, 5]로 조정하면 그림 9-18
와 같은 그래프를 얻을 수 있다. 그림 9-18로부터 s=0에 극점을 하나 추가해도 시스템은
여전히 안정함을 알 수 있다.
그림 9-18 의 Nyquist 선도[예제 9.8]
(2) s=0에 극점을 두 개 첨가할 때
CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)
// Two poles at s = 0
num = 1;
den = [1 1 0 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s 2̂(s + 1)]")
그림 9-19 의 Nyquist 선도
[예제 9.8]
그림 9-19의 Nyquist 선도로부터 s=0에 극점이 두 개일 때는 시스템이 불안정함을 알 수
있다.
(3) s=0에 극점을 세 개 첨가할 때
CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)
// Three poles at s = 0
num = 1;
den = [1 1 0 0 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s 3̂(s + 1)]")
결과로 나온 그래프의 x축 범위를 으로, y축의 범위를 으로
조정하면 그림 9-20과 같은 그래프를 얻을 수 있다. 이 때에도 시스템이 불안정하다. 이런
사실들로부터 s=0인 극점을 두 개 이상 가지고 있는 시스템(2차 또는 더 높은 차수의 시스
템)은 불안정해진다는 것을 알 수 있다.
그림 9-20 의 Nyquist 선도
[예제 9.8]
(2) 시스템에 s=0인 아닌 유한극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지
조사하여라.
1. s=-0.5에 극점을 첨가하여라.
2. s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가하여라.
다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.
<<풀이>>
(1) s=-0.5에 극점을 첨가할 때
우선 K=1이라고 가정하자. 루프전달함수는 다음과 같다.
CEMTool 프로그램 Ex9_8b.cem
// Pole is added at s = -0.5
num = 0.5;
den = [1 1.5 0.5];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 0.5/[(s + 1)(s + 0.5)]")
결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2, 3]로, y축의 범위를 [-2.5, 2.5]로 조정하면 그림
9-21과 같은 그래프를 얻을 수 있다.
그림 9-21 의 Nyquist 선도
[예제 9.8]
유한극점을 하나 첨가함으로써 w=∞에서 Nyquist 선도의 위상을 -90°만큼 이동시켰다. 그
러나, K의 값을 증가시켜도 임계점(-1, j 0)을 포함하지 않으므로 K>0일 때 시스템은 안정
하다.
(2) s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가할 때
루프전달함수는 다음과 같다.
CEMTool 프로그램 Ex9_8b.cem (계속)
// Poles are added at s = -0.5 and s = -0.1
num = 0.05;
den = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 0.05/[(s + 1)(s + 0.5)(s + 0.1)]")
그림 9-22 의 Nyquist 선도[예제 9.8]
Nyquist 선도가 음의 실수축과 만나는 것을 알 수 있다. 따라서 주어진 예제처럼 K=1일 때
는 시스템이 안정하지만, K의 값이 증가하면 임계점(-1, j 0)을 포함하게 되므로 시스템은
불안정해진다. 몇 개의 K값에 대하여 Nyquist 선도를 그려서 결과를 확인해보자.
CEMTool 프로그램 Ex9_8c.cem
// K = 10
num1 = 10 * 0.05;
den1 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num1, den1);
holdon
// K = 20
num2 = 20 * 0.05;
den2 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num2, den2);
// K = 30
num3 = 30 * 0.05;
den3 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num3, den3);
title("Nyquist Plot for Various Values of K")
그림 9-23 의
Nyquist 선도(K=10, 20, 30 일 때)[예제 9.8]
그림 9-23을 보면 K=10일 때는 안정하지만 K=20일 때 임계안정이 되고, 이 값보다 커지
면(K=30) 시스템이 불안정해진다는 것을 알 수 있다.
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