제 9 장 주파수영역 해석 (C)

[예제 9.8] 다음과 같은 루프전달함수를 가진 제어시스템을 생각하자.

(1) 이 시스템에 s=0 인 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지

조사하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

먼저 주어진 시스템의 Nyquist 선도를 그려보자. 편의상 K=1이라고 가정한다.

CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem

// No pole at s = 0

num = 1;

den = [1 1];

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 1/(s + 1)")

그림 9-17 의 Nyquist 선도[예제 9.8]

그림 9-17의 Nyquist 선도로부터 원래의 시스템이 안정하다는 것을 알 수 있다. 이제 s=0

에 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지 살펴보자.

(1) s=0에 극점을 하나 첨가할 때

CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)

// One pole at s = 0

num = 1;

den = [1 1 0];

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s(s + 1)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2, 1]로, y축의 범위를 [-5, 5]로 조정하면 그림 9-18

와 같은 그래프를 얻을 수 있다. 그림 9-18로부터 s=0에 극점을 하나 추가해도 시스템은

여전히 안정함을 알 수 있다.

그림 9-18 의 Nyquist 선도[예제 9.8]

(2) s=0에 극점을 두 개 첨가할 때

CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)

// Two poles at s = 0

num = 1;

den = [1 1 0 0];

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s 2̂(s + 1)]")

그림 9-19 의 Nyquist 선도

[예제 9.8]

그림 9-19의 Nyquist 선도로부터 s=0에 극점이 두 개일 때는 시스템이 불안정함을 알 수

있다.

(3) s=0에 극점을 세 개 첨가할 때

CEMTool 프로그램 Ex9_8a.cem (계속)

// Three poles at s = 0

num = 1;

den = [1 1 0 0 0];

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s 3̂(s + 1)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 으로, y축의 범위를 으로

조정하면 그림 9-20과 같은 그래프를 얻을 수 있다. 이 때에도 시스템이 불안정하다. 이런

사실들로부터 s=0인 극점을 두 개 이상 가지고 있는 시스템(2차 또는 더 높은 차수의 시스

템)은 불안정해진다는 것을 알 수 있다.

그림 9-20 의 Nyquist 선도

[예제 9.8]

(2) 시스템에 s=0인 아닌 유한극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지

조사하여라.

1. s=-0.5에 극점을 첨가하여라.

2. s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가하여라.

다음은 CEMTool로 계산된 결과 입니다.

<<풀이>>

(1) s=-0.5에 극점을 첨가할 때

우선 K=1이라고 가정하자. 루프전달함수는 다음과 같다.

CEMTool 프로그램 Ex9_8b.cem

// Pole is added at s = -0.5

num = 0.5;

den = [1 1.5 0.5];

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 0.5/[(s + 1)(s + 0.5)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2, 3]로, y축의 범위를 [-2.5, 2.5]로 조정하면 그림

9-21과 같은 그래프를 얻을 수 있다.

그림 9-21 의 Nyquist 선도

[예제 9.8]

유한극점을 하나 첨가함으로써 w=∞에서 Nyquist 선도의 위상을 -90°만큼 이동시켰다. 그

러나, K의 값을 증가시켜도 임계점(-1, j 0)을 포함하지 않으므로 K>0일 때 시스템은 안정

하다.

(2) s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가할 때

루프전달함수는 다음과 같다.

CEMTool 프로그램 Ex9_8b.cem (계속)

// Poles are added at s = -0.5 and s = -0.1

num = 0.05;

den = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);

nyquist(num, den);

title("Nyquist Plot of L(s) = 0.05/[(s + 1)(s + 0.5)(s + 0.1)]")

그림 9-22 의 Nyquist 선도[예제 9.8]

Nyquist 선도가 음의 실수축과 만나는 것을 알 수 있다. 따라서 주어진 예제처럼 K=1일 때

는 시스템이 안정하지만, K의 값이 증가하면 임계점(-1, j 0)을 포함하게 되므로 시스템은

불안정해진다. 몇 개의 K값에 대하여 Nyquist 선도를 그려서 결과를 확인해보자.

CEMTool 프로그램 Ex9_8c.cem

// K = 10

num1 = 10 * 0.05;

den1 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);

nyquist(num1, den1);

holdon

// K = 20

num2 = 20 * 0.05;

den2 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);

nyquist(num2, den2);

// K = 30

num3 = 30 * 0.05;

den3 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);

nyquist(num3, den3);

title("Nyquist Plot for Various Values of K")

그림 9-23 의

Nyquist 선도(K=10, 20, 30 일 때)[예제 9.8]

그림 9-23을 보면 K=10일 때는 안정하지만 K=20일 때 임계안정이 되고, 이 값보다 커지

면(K=30) 시스템이 불안정해진다는 것을 알 수 있다.