View
256
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sistem PersamaanLinear
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
TIM DOSEN
3
Sub Pokok Bahasan
• Pendahuluan
• Solusi SPL dengan OBE
• Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer
• SPL Homogen
Beberapa Aplikasi Matriks
• Rangkaian listrik
• Jaringan Komputer
• Model Ekonomi
• dan lain-lain.
2 2/12/2017
Sistem Persamaan Linear
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
3 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidakmemuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian,pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri.
Contoh :
Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (𝑥) dan 2 PC (𝑦) maka ia harusmembayar $ 5000, sedangkan jika membeli 3 Laptop dan 1 PC makaia harus membayar $ 10000.
Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
ቊx + 2y = 5000
3x + y = 10000
Pendahuluan
4 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Bentuk umum system persamaan linear𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Dapat ditulis dalam bentuk𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋱ ⋮… 𝑎𝑚𝑛
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚
Pendahuluan(2)
5 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Atau
𝐴𝑋 = 𝐵
dimana
– 𝐴 dinamakan matriks koefisien
– 𝑋 dinamakan matriks peubah
– 𝐵 dinamakan matriks konstanta
Contoh :
Perhatikan bahwa SPL
ቊx + 2y = 5000
3x + y = 10000
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks1 23 1
𝑥𝑦 =
500010000
Pendahuluan(3)
6 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi SPL adalah Himpunan bilangan Real dimana jikadisubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilaikebenaran SPL tersebut.
Perhatikan SPL :
ቊx + 2y = 5000
3x + y = 10000Maka
{x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL{x = 1000, y =3000 } bukan solusi SPL
Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :• SPL mempunyai solusi tunggal• SPL mempunyai solusi tak hingga banyak• SPL tidak mempunyai solusi
Solusi SPL
7 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
CASE I
Perhatikan SPL
ቊx −y = 0
2x−y =2
Jika digambar dalam kartesius
Artinya : SPL 2𝑥 – 𝑦 = 2 dan 𝑥 – 𝑦 = 0 mempunyai solusi tunggal, yaitu 𝑥 = 2, 𝑦 = 2
Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius
(2, 2) merupakan titik potong duagaris tersebut
Tidak ada titik potong yang lain selain titik tersebut
(2,2)
2
2
𝑦 = 𝑥
1
𝑦 = 2𝑥 − 2
𝑥
𝑦
8 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
CASE II
Perhatikan SPL
ቊx −y = 0
2x−2y =0
Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½, maka akan diperoleh persamaanyang sama dengan pers. pertama
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit (Titik potong kedua garis banyak sekalidisepanjang garis tersebut)
Artinya, SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius(2)
𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥
𝑦
9 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
CASE III
Perhatikan SPL
ቊx −y = 0
2x−2y =2
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar (Tak akan pernah diperoleh titik potongkedua garis itu)
Artinya, SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
Solusi SPL_Ilustrasi Pada Bidang Kartesius(3)
𝑥 − 𝑦 = 0
1
2𝑥 − 2𝑦 = 2
𝑥
𝑦
10 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBETulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesarLakukan OBE sampai menjadi eselon baris tereduksi
Contoh :Tentukan solusi dari SPL
3𝑥 – 𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 = 5
Jawab :Matriks yang diperbesar dari SPL
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE
~5
5
31
13
~
5
5
13
31
~
10
5
100
31
~
1
5
10
31
1
2
10
01
11 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE menjadi perkalianmatriks
Maka, solusi SPL tersebut adalah 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 1
Contoh :
Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :
a. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –12𝑏 + 𝑐 = 7
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(2)
1
2
1
0
0
1
y
x
12 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –1– 𝑎 + 𝑏 = 1
c. ቐ𝑎 + 𝑐 = 4𝑎 – 𝑏 = –1– 𝑎 + 𝑏 = 2
Jawab :
a.
Terlihat bahwa solusi SPL adalah 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, dan 𝑐 = 3
7
1
4
120
011
101
3
2
1
100
010
001
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(3)
13 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b.
Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks diperoleh :
Ini memberikan 𝑎 + 𝑐 = 4 dan 𝑏 + 𝑐 = 5.
Dengan memilih 𝑐 = 𝑡, dimana 𝑡 adalah parameter.
Maka solusi SPL tersebut adalah :
, dimana 𝑡 adalah parameter
1
1
4
011
011
101
0
5
4
000
110
101
0
5
4
000
110
101
c
b
a
0
5
4
1
1
1
t
c
b
a
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(4)
14 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
c.
Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien tetapi matrikskonstanta pada baris ke-3 sama dengan 1 (tak nol)
Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa
0. 𝑎 + 0. 𝑏 + 0. 𝑐 = 1.
Tak ada nilai 𝑎 , 𝑏 dan 𝑐 yang memenuhi kesamaan ini.
Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.
2
1
4
011
011
101
1
5
1
000
110
101
1
5
1
000
110
101
c
b
a
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(5)
15 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh :
Diketahui SPL :
ቐ
𝑥 + 2𝑦 – 3𝑧 = 43𝑥 – 𝑦 + 5𝑧 = 2
4𝑥 + 𝑦 + (𝑎2 – 14) 𝑧 = 𝑎 + 2
Tentukan 𝑎 sehingga SPL :
a. Mempunyai solusi tunggal
b. Tidak mempunyai solusi
c. Solusi yang tidak terhingga
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(6)
16 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab: Matrik diperbesar dari SPL adalah
a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:
𝑎2 – 16 0 sehingga 𝑎 ≠ 4 dan 𝑎 ≠ −4
~
214-14
2513
43-21
2
aa
142-70
101470
43-21
2 aa
416-00
101470
43-21
~2 aa
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(7)
17 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
b. Perhatikan baris ketiga
0𝑥 + 0𝑦 + (𝑎2 – 16𝑎) 𝑧 = 𝑎 – 4
SPL tidak mempunyai solusi saat 𝑎2 – 16 = 0 dan 𝑎– 4 ≠ 0
Sehingga 𝑎 = 4 dan 𝑎 4.
Jadi, 𝑎 = – 4.
c.SPL mempunyai solusi tak hingga banyak jika memenuhi persamaan
𝑎2 – 16 = 0 dan 𝑎 – 4 = 0
Jadi, 𝑎 = 4
.
416-00
101470
43-21
2 aa
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE(8)
18 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Tinjau persamaan linear berikut𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛
atau𝐴𝑋 = 𝐵
Jika kedua ruas dikalikan dengan𝐴−1, maka didapat𝐴−1𝐴 𝑋 = 𝐴−1𝐵
Karena 𝐴−1𝐴 = 𝐼 maka𝑋 = 𝐴−1𝐵
Ingat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika danhanya jika det(𝐴) ≠ 0.
Solusi SPL dengan Matriks Invers
19 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh :
Tentukan solusi dari SPL berikut :
൞a + c = 4
a – b = –12b + c = 7
Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi A mempunyai Invers
Solusi SPL dengan Matriks Invers(2)
0 1
120
01-1
101
A
1-2-2
111-
121-1
A
20 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
sehingga X = A–1 B berbentuk :
Jadi, Solusi SPL tersebut adalah
Solusi SPL dengan Matriks Invers(3)
3
2
1
c
b
a
7
1-
4
1-2-2
111-
121-
c
b
a
21 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2
⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
=
𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛
Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukansatu persatu (peubah 𝑘𝑒 − 𝑖, 𝑥𝑖)
Langkah-langkah aturan cramer adalah :
a. Hitung determinan A
b. Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
𝐴2 =
𝑎11 𝑏1𝑎21 𝑏2
… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮𝑎𝑛1 𝑏𝑛
⋱ ⋮… 𝑎𝑛𝑛
Solusi SPL dengan Aturan Cramer
22 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
c. Hitung |Ai|d. Solusi SPL untuk peubah adalah
Contoh :Tentukan solusi 𝑏 dari SPL berikut :
൞a + c = 4
a – b = –12b + c = 7
Jawab :Perhatikan bahwa
Solusi SPL dengan Aturan Cramer(2)
)det(
)det(
A
Ax i
i
1
120
01-1
101
A
23 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Maka
Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2
Solusi SPL dengan Aturan Cramer(3)
)A ( det
) Ab (det b
1
170
01-1
141
70
1-1 1
10
01 (-4)
17
01- 1
) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1 7 (-4) 1-
24 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?
Solusi SPL dengan Aturan Cramer(4)
1
127
01-1-
104
det
det
A
Aa a
1
5 0 4-
) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4
27
1-1- 1 0
12
01- 4
25 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Bentuk umum
𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
… 𝑎1𝑛… 𝑎2𝑛
⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋱ ⋮… 𝑎𝑚𝑛
𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛
=
00⋮0
SPL homogen merupakan SPL yang konsisten (selalumempunyai solusi).Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah
{𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0}Jika tidak demikian,SPL homogen mempunyai solusi tak hinggabanyak(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
Sistem Persamaan Linear Homogen
26 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh :Tentukan solusi SPL homogen berikut
2𝑝 + 𝑞 – 2𝑟 – 2𝑠 = 0𝑝 – 𝑞 + 2𝑟 – 𝑠 = 0
– 𝑝 + 2𝑞 – 4𝑟 + 𝑠 = 03𝑝 – 3𝑠 = 0
SPL dapat ditulis dalam bentuk
Sistem Persamaan Linear Homogen(2)
0
0
0
0
3- 0 0 3
1 4- 2 1-
1- 2 1- 1
2- 2- 1 2
27 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
dengan melakukan OBE diperoleh :
Maka solusi SPL homogen adalah :𝑝 = 𝑎,𝑞 = 2𝑏 ,𝑠 = 𝑎, dan 𝑟 = 𝑏,dimana a, b merupakan parameter.
Sistem Persamaan Linear Homogen(3)
0
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2- 1 0
1- 0 0 1
28 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Contoh :
Diketahui SPL
a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak hingga banyak
b. Tuliskan solusi SPL tersebut
Jawab :
Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal
jika det(A) = 0.
Sistem Persamaan Linear Homogen(4)
0
0
0
-1 1 0
1 -1 0
0 0 -
z
y
x
b
b
b
29 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
(–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0
(–b) (b2 – 2b + 1 – 1) = 0
(–b) (b2 – 2b) = 0
b = 0 atau b = 2
Solusi SPL tak hingga banyak saat 𝑏 = 0 atau 𝑏 = 2
Sistem Persamaan Linear Homogen(5)
0
110
110
00
b
b
b
011
11
b
bb
30 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Saat b = 0
Dengan OBE maka
Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka
Sistem Persamaan Linear Homogen(6)
0
0
0
1 1 0
1 1 0
0 0 0
z
y
x
0 0 0
0 0 0
1 1 0
~
0 0 0
1 1 0
0 0 0
~
1 1 0
1 1 0
0 0 0
q
q
p
z
y
x
qp
1
1-
0
0
0
1
31 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Saat b = 2
Dengan OBE maka
Misalkan q adalah parameter Riil, maka
Sistem Persamaan Linear Homogen(7)
0
0
0
110
110
002
z
y
x
~
110
110
002
~
110
110
001
~
110
110
001
000
110
001
q
q
q
z
y
x
1
1
00
32 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Perhatikan ilustrasi segitiga berikut :
Sistem Persamaan Linear
ba
c
Tunjukan bahwa :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
33 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Jawab :
Dari gambar tersebut diketahui bahwa :
c cos + b cos = a
c cos + a cos = b
b cos + a cos = c
atau
Sistem Persamaan Linear(2)
c
b
a
ab
ac
bc
cos
cos
cos
0
0
0
34 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Perhatikan bahwa :
dengan aturan Crammer diperoleh bahwa :
Sistem Persamaan Linear(3)
0
0
0
det
ab
ac
bc
ab
cb
b
acc
01
010
3121
acbabc
abc
ac
ab
bca
2
0
0
cos
ab
baa
c
abc
abc
232110
01
2
1
35 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
Sistem Persamaan Linear(4)
abc
baaac
2cos
2232
bc
bac
2
222
Jadi, terbukt bahwa :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
36 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
1. Tentukan solusi SPL berikut :
2. Tentukan solusi SPL :2𝑝 – 2𝑞 – 𝑟 + 3𝑠 = 4
𝑞 + 2𝑠 = 1–2𝑝 + 𝑝 –2𝑞 – 4𝑠 = –2
3. Tentukan solusi SPL homogen berikut :
LATIHAN
42
963
1282
ba
ba
ba
0188102
07
077102
0745
tsrqp
tsr
tsrqp
trqp
37 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
4. Diketahui SPL AX = B
Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan :
– operasi baris elementer (OBE )
– Invers matrik
– Aturan Cramer
5. Diketahui
Tentukan yang memenuhi.
LATIHAN(2)
,
1 2 0
0 1- 1
1 0 1
A
3
2
1
x
x
x
X
1
1
1
dan B
45
22
02
41
21
13XX
4
2
3
1
x
x
x
xX
38 2/12/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
6. SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r)
Tentukan nilai k sehingga SPL punya solusi tunggal
7. Misalkan
Tentukan vektor tak nol sehingga
LATIHAN(3)
01
02
02
2
rqkpk
rq
rqp
35
31B
y
xu uuB 6
THANK YOU
Recommended