Upload
theta
View
97
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Sistem Persamaan Homogen Penulisan Dalam Bentuk Matriks Ruang Vektor Metoda Gauss-Jordan. Sistem Persamaan Linier. Sistem Persamaan Homogen. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Sistem Persamaan HomogenPenulisan Dalam Bentuk Matriks
Ruang VektorMetoda Gauss-Jordan
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0
. . . . . . . . . . .
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
0|
|
0|
0|
~
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
0|000
|
0|0
0|
~ 222
11211
mn
n
n
a
aa
aaa
A
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan
berbentuk
0
0
0
2222
1212111
nmn
nn
nn
xa
xaxa
xaxaxa
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .
0nx
nr
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial
Sistem Persamaan Linier
0234
0253
024
0
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
0|2341
0|2531
0|0241
0|0011
0|16000
0|61100
0|0230
0|0011
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
016
0611
023
0
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx0 ABCD xxxxyang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr
Contoh:
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial
Sistem Persamaan Linier
06134
0253
024
0
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
Contoh:
0|61341
0|2531
0|0241
0|0011
0|0000
0|61100
0|0230
0|0011
eliminasi Gauss:
Sistem persamaan menjadi
00
0611
023
0
DC
CB
BA
xx
xx
xx
1Dx
33
12 ;
33
12 ;
11
6 ABC xxx
Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh
.
Sistem Persamaan Linier
Solusi ini membentuk vektor solusi
1
11/6
33/12
3312
1
/
x
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0
0
0
0
0
1
6/11
12/33
12/33
0000
61100
0230
0011
1Ax
Sistem Persamaan Linier
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu
33Dx
12 33
33
18
12
12
xx
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol
Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1xx cc
dengan c adalah skalar sembarang
Sistem Persamaan Linier
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.
111213 3433
33
18
12
12
1
11/6
33/12
33/12
xxxxxx
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
cj xx
Sistem Persamaan Linier
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n r), yaitu selisih antara banyaknya
unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak
diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh
melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.
Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2
04107
0254
0254
0
DCBA
DCBA
DCBA
BA
xxxx
xxxx
xxxx
xxContoh:
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
0|41071
0|2541
0|2541
0|0011
0|0000
0|0000
0|2530
0|0011
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi
00
00
0253
0
DCB
BA
xxx
xx
Sistem Persamaan Linier
0dan 1 DC xx
5/3 ; 3/5 AB xx
Jika kita memberi nilai
kita akan mendapatkan
.
0
1
3/5
3/5
1x adalah salah satu vektor solusi
Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b
0
0
0
0
0
0
0550
3/53/5
0
1
3/5
3/5
0000
0000
2530
0011
1Ax
Sistem Persamaan Linier
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan
0xA 11k 0xA 12k
,
dan 0)( 111211211 xAxAxAxA ckkkk
Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka
)( , , 12111211 xxxx kkkk
adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai . 0dan 1 DC xx
Sistem Persamaan Linier
1dan 0 DC xx 3/2Bx
3/2Ax
Jika akan kita peroleh
dan yang membentuk vektor solusi
1
0
3/2
3/2
2x
Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti
)( , , 22212221 xxxx llll
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
21 xxx lk
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
Sistem Persamaan Linier
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen
dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n r).
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian
pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks
identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan relasi
11 AAIAA
Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.
Sistem Persamaan Linier
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks
adalah unik atau bersifat tunggal.
Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi
jika P = Q.
QQIAPQQAPPAQIPP )()(
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan
jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Sistem Persamaan Linier
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien
A ada, atau jika matriks A tak singular.
Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari
kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak
homogen, yaitu
bAx
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh
bAxIxbAAxA 111
Sistem Persamaan Linier
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa
vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n n tak singular jika rank A = n
dan akan singular jika rank A < n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.
IAX
Jika X adalah kebalikan matriks A maka
Sistem Persamaan Linier
IAA ~
HU
HU
XI
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan
A~
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada
matriks gandengan ini berubah menjadi
dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I.
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
Langkah akhir ini akan menghasilkan
Sistem Persamaan Linier
Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks
142
223
221
A
Kita bentuk matriks gandengan IA
100|142
010|223
001|221
IA
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2
1 baris3
pivot
102|580
013|480
001|221
Sistem Persamaan Linier
2 baris
pivot
111|100
013|480
001|221
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
)8/1(
111|100
08/18/3|2/110
001|221
baris35.0
3 baris2
111|100
2/18/58/7|010
223|021
2 baris2
111|100
2/18/58/7|010
18/68/10|001
Sistem Persamaan Linier
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
111
2/18/58/7
18/68/101A
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
0
0
8
142
223
221
3
2
1
x
x
x
vektor solusinya adalah
8
7
10
0
0
8
111
2/18/58/7
18/68/10
0
0
8
142
223
221
1
3
2
1
x
x
x
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Matriks Diagonal
Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
nnnn a
a
a
a
/100
00
00/1
00
00
00 111
11
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks
Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
AA 11
Sistem Persamaan Linier
Kebalikan Dari Perkalian Matriks
Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
111 ABAB
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
1 ABABI
111111
11
111111
ABABIABBBAB
ABBA
ABIBABBAAABABAIA
Course Ware
Sistem Persamaan Linier Homogen
Sudaryatno Sudirham