Nilai EigenDan

Vektor Eigen

Pengertian

Jika A adalah matriks n x n, maka vektor

tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor

eigen dari A jika Ax adalah kelipatan

skalar dari x, yaitu

Ax = λx

untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut

nilai eigen dari A dan x dikatakan vektoreigen yang bersesuaian dengan λ.

Menghitung Nilai Eigen

Untuk mencari nilai eigen matriks A yangberukuran n x n maka kita menuliskankembali sebagai

Ax = λx atau (A – λI) x = 0

Dan persamaan diatas akan mempunyaipenyelesaian jika | A – λI | = 0

Persamaan diatas disebut persamaankarakteristik A. Mencari nilai eigen berartimenghitung determinan tersebut sehinggadiperoleh niliai-nilai λ.

Menghitung Nilai Eigen

Contoh

Tentukan nilai eigen untuk matriks berikut:

1.

42

15A

Menghitung Nilai Eigen

Jawab

1.

Kita gunakan persamaan | A – λI | = 0

─ λ = ─ = 0

= 0

42

15A

42

15

10

01

42

15

0

0λ

λ

2

15 - λ

4 - λ

Menghitung Nilai Eigen

(5 – λ )(4 – λ) – (1 * 2) = 0

(λ2 – 9λ + 20) – 2 = 0

λ2 – 9λ + 18 = 0

(λ – 3)(λ - 6) = 0

Maka nilai-nilai eigennya adalah λ1 = 3 , λ2 = 6

2

15 - λ

4 - λ

Menghitung Nilai Eigen

Apabila nilai-nilai eigen diketahui,

kemudian nilai-nilai ini dimasukkan ke

persamaan:

(A – λI) x = 0

maka akan diperoleh vektor-vektor eigenx yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.

Menghitung Vektor Eigen

Untuk matriks di atas tadi telah kita ketahui

nilai-nilai eigennya adalah λ1 = 3 , λ2 = 6 ,

maka masukan nilai-nilai tersebut ke

persamaan (A – λI) x = 0

42

15A

Menghitung Vektor Eigen

Nilai eigen λ1 = 3 , λ2 = 6 ,

= 0

untuk λ1 = 3

= 0

2

15 - λ

4 - λ

2

1

xx

12

12

2

1

xx

Menghitung Vektor Eigen

Maka akan diperoleh persamaan

2x1 + x2 = 0

2x1 + x2 = 0

maka vektor eigen yang berkaitan dgn λ1 = 3

x =

x1 = - ½ x2

1

½

Menghitung Vektor Eigen

untuk λ2 = 6

= 0 →

Maka akan diperoleh persamaan

-x1 + x2 = 0

2x1 - 2x2 = 0

maka vektor eigen yang berkaitan dgn λ2 = 6

x =

2

15 - λ

4 - λ

2

1

xx

22

11

2

1

xx

x1 = x2

1

1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Bagaimana jika matriks yang kita cari nilai

eigen dan vektor eigennya adalah matriks

berordo 3x3?

Contoh

Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen untuk

matriks A = !

13

13

22

310

Matur Nuwun