MATRIKS DAN VEKTOR

Mata Kuliah : MATEMATIKA DASAR II

Dosen : Jeffry Kusuma

Asst Dosen : Rusdin La Eba

Di susun oleh :

Yapto Cahyadi

D21109316

Fakultas Teknik Jurusan Mesin

Universitas Hasanuddin

2010

MATRIX

A. Pengertian

Matrix adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen yang

disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi

panjang, di mana panjangnya berbentuk empat persegi panjang,

dimana panjang dan lebarnya ditujukkan oleh banyaknya kolom-

kolom dan baris-baris.

B. Berbagai macam matrix.

1) Square Matrix

Ialah suatu matrik dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m

= n). papbila m = n, maka matrix A disebut SQUARE MATRIX ORDE n.

sering disebut matrix kudrat atau matrix jajaran genjang.

Contoh:

1. m = n = 3

A =

2. m = n = 2

B =

2) Identity matrix

Ialah suatu matrix dimana elemen-elemennya mempunyai nilai 1 pada

diagonal pokok dan 0 pada tempat-tempat lain di liar diagonal pokok

( diagonal dari kiri atas ke kanan – bawah). Matrix A disebut identity matrix

dan biasanya diberi sibol In.

Contoh:

1. n = 2

I2 =

2. n = 3

I3 =

3) Diagonal Matrix

Ialah suatu matrix dimana semua elemen di luar diaogonal pokok mempunyai

nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok == 0,biasanya diberi

simbol D.

b11 b12

b21 b22

3 5 42 3 11 4 2

1 00 1

1 0 00 1 00 0 1

Contoh:

D =

4) Scalar matrix

Ialah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil k.I

dinamakan scalar matrix.

k.I3 = k =

Contoh:

K = 4

4.I3 = 4 =

5) Nol Matrix

Ialah suatu matrix dimana semua elemennya mempunyai niali = 0 (nol)

biasanya diberi simbol 0 dibaca matrix nol.

Contoh:

0 =

C. Operasi matrix

Dua buah matrix A dan B dikatakan sama yaitu A=B, apabila A dan B

mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen

pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama artinya aij = bij untuk semua

nilai I dan j, dimana:

aij = elemen matrix A dari baris i dan kolom j

bij= elemen matrix B dari baris i dan kolom j

contoh:

1.

A = dan B = 2 43 5

2 43 5

1 0 00 2 00 5 0

1 0 00 1 00 0 1

4 0 00 4 00 0 4

k 0 00 k 00 0 k

1 0 00 1 00 0 1

0 0 00 0 00 0 0

A =B

2.

A = dan B =

A = B; jumlah kolom tidak sama.

1) Penjumlahan matrix

Kalau matrix A = (bij), dengan m = baris dan n = kolom dan matrix B =

(bij), dengan m = baris dan n = kolom, dijumlahkan (dikurangi) maka

diperoleh matrix yang ketiga, yaitu matrix c = (cij), dengan m = baris dan n=

kolom. Dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan

(mengurangkan) elemen-elemen matrix A dan B yaitu bahwa: cij = aij + bij.

A + B = + =

C =

A = dan B = A + B = C

Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matrix A dan

B, kedua matrix ters3ebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang

sama.

2) Pengurangan matrix

A – B = A + (-1) B

Contoh:

A = dan B =

A – B = A + (-1) B = + =

1 0 00 1 0

1 00 1

a11…a12...a1j…a1n

a21…a22…a2j…a2n

ai1…..ai2…aij….ain

am1…am2..amj...amn

b11…b12…b1j…b1n

b21…b22…b2j…b2n

bi1….bi2….bij….bin

bm1..bm2..bmj…bmn

c11…c12…c1j…c1n

c21…c22…c2j….c2n

ci1….c12…cij…..cin

cm1…cm2..cmj..cmn

4 32 5

4 21 3

4 32 5

-4 -2-1 -3

0 11 2

4 2 53 1 6

1 3 23 1 4

5 5 76 2 10

Untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matrix A dan B kedua

matrix tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.

Hukum bagi penjumlahan matrix:

a. A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A

b. A + B + C = (aij + bij ) + c = (A + B) + C = aij + (bij + cij) = A + (B+C)

3) Perkalian matrix

a. Perkalian dengan scalar

Mengalikan matrix dengan sebuah bilangan atau mengalikan masing-

masing elemennya dengan bilangan tersebut.

Apabila matrix A harus dikalikan dengan scalar k ini berarti bahwa semua

elemen dari matrix A harus dikalilan dengan k, jadi apabila A = (aij), maka

kA = k(aij) = (aij) k = Ak.

Contoh:

4 x =

Yaitu secara umum k[aij] = [k aij]

b. Perkalian 2 buah matrix

Dua buah matrix dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya jika

banyaknya kolom dalam matrix yang pertama sama dengan banyaknya

baris dalam matrix yang ke dua.

A = (a11) = B = (bij) =

Maka A . B = . =Contoh:

1.

A = B =

3 2 56 1 7

12 8 2024 4 28

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b1

b2

b3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

b1

b2

b3

a11b1 + a12b2 + a13b3

a21b1 + a22b2 + a23b3

4 7 62 3 1

859

A .B = = =

2.

A = B =

A . B = .

=

=

D. Matrik Transpos

Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen

baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi

elemen baris.

Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai AT,

misalnya :

maka matriks transpose AT adalah : AT=

E. Matriks invers A-1

Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang bila

diperkalikan dengan matrik A memberikan matriks satuan I, yakni :

AB=I

4.8 + 7.5 + 6.92.8 + 3.5 + 1.9

32 35 5416 15 9

12140

574

8 4 3 12 5 8 6

1 52 73 4

8 4 3 12 5 8 6

1.8 + 5.2 1.4 + 5.5 1.3 + 5.8 1.1 + 5.62.8 + 7.2 2.4 + 7.5 2.3 + 7.8 2.1 + 7.63.8 + 4.2 3.4 + 4.5 3.3 + 4.8 3.1 + 4.6

8+10 4+25 3+40 1+3016+14 8+35 6+56 2+4228+8 12+20 9+32 3+42

18 29 43 3130 43 62 4436 32 41 27

Selanjutnya, notasi matriks invers A dinyatakan dengan A-1 dapat dibuktikan

bahwa

AB-1=A-1A=I

Cara mencari matriks invers

Sebuah matrik yang dikalikan matriks inversnya akan menghasilkan matrik

satuan.

A A-1 = I

Contoh

Jika , hitunglah A-1

Penyelesaian ,

Misalkan A-1=

Gunakan persamaan

AB-1=A-1A=I

Metode matrik kofaktor

A-1=

Dengan K adalah matrik kofaktor dari matrik A

Contoh

Hitunglah invers dari matrik

Penyelesaian

det =5+6=11

matrik kofaktor K yang diperoleh dari persamaan (1) adalah:

K dan

KT

Dengan menggunakan persamaan (5.4) diperoleh:

A-1=

Catatan

1. jika matrik A adalah matrik ber ordo n x n dan det A 0 maka matrik tersebut

mempuyai matrik invers A-1 matrik A disebut matrik nonsingular

2. jika det A=0 maka matriks A disebut matriks singular matriks singular tidak

mempunyai matrik invers

VEKTOR

Pengertian VektorBesaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.

Kesamaan VektorDua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b (perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada gambar b. Misalnya wakil dari vektor a dan wakil dari vektor b, maka a

= b (a sama dengan atau ekivalen b) sebab dan mempunyai arah dan panjang yang sama.

Penjumlahan VektorMisalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

Aturan SegitigaDefinisi:

Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini). Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.

Aturan Jajargenjang Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang

a

b

A

E

D

F

GH

C

B(a) (b)

A

dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan jajargenjang (paralelogram).

Sifat-Sifat Penjumlahan Vektora. Komutatif : u + v = v + ub. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku

hubungan : 0 + v = v + 0 = vd. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v

merupakan invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.

Pengurangan VektorDefinisi:Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan olehu - v = u + (-v)

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi:Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0.Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalara. ||m v|| = |m| ||v||b. m (-v) = -m vc. m v = v md. (m +n) v = m v + n ve. m(u + v) = m u + m v

Panjang VektorMisalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r

dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = . Panjang atau besar

dari ruas garis berarah dilambangkan denganDari gambar di samping, didapat hubungan:

OR2 = OA2 + OB2

OR2 = x2 + y2

OR =

Dengan demikian, panjang adalah:

||OR|| =

Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus:

||r|| =

Xx

y r

R(x,y)

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan mewakili vektor r,

maka vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = .

Panjang atau besar ruas garis berarah ditulis sebagai || || atau OR.Berdasarkan gambar di samping diperoleh hubungan:OR2 = OD2 + DR2 ...................... (1)Sedangkan OD2 = OA2 + OB2

OD2 = x2 + y2

dan DR2 = z2

Substitusi OD2 dan DR2 ke persamaan (1) diperoleh

OR2 = x2 + y2 + z2

Dengan demikian

|| || = OR =

B

A

C

R

O

XD

Y

r

Z

Jadi, besar atau panjang vektor r = dapat ditentukan dengan rumus

||r|| =

Contoh:

Diketahui vektor-vektor a = , b = dan c = . Hitunglah||2a - b +

c||Jawab:

2a – b + c = 2 - + = ||2a - b + c|| =

= . Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b

+ c|| = satuan panjang

Rumus JarakMisalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan koordinat (x2,y2,z2). Ruas garis berarah mewakili suatu vektor dengan komponen-komponen (x2 – x1), (y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas garis berarah dapat ditentukan dengan rumus berikut.

|| || =

Vektor SatuanDalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai berikut.

= dan =

Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan dari vektor a. Vektor satuan dari a (dilambangkan dengan , dibaca: e topi) searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Jika, vektor a = , maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:

= =

Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z) ditentukan dengan rumus:

= =

Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat)Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat gambar di bawah ini)

Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan sebagai berikut.

(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga searah, maka,

m dman n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif).(2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB,

maka berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n

berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c, maka vektor c ditentukan dengan rumus

c =

Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.

Contoh:Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB, tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,Jawab :

Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c =

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat.Diketahui koordinat titik A( ), B( ), dan C(x,y,z),

Jika titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n, maka vektor posisi titik C dapat ditentukan dengan rumus pembagian ruas garis di R-3 dalam bentuk vektor sebagai

c =

•••A BC nm

C(x,y,z)m

B(x2,y2,z2)

c

bn

A(x1,y1,z1)Oa

Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.

Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan dalam bentuk koordinat.

Perkalian Skalar Dua VektorPerkalian skalar antara vektor a dan vektor b dilambangkan dengan dan didefinisikan:||ab|| = ||a|| ||b|| cos , dengan ||a|| dan ||b|| masing-masing menyatakan panjang vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut lancip yang dibentuk oleh vektor a dan b

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Misalkan a = dan b = merupakan vektor-vektor di R-2 yang di

nyatakan daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b ditentukan

a b = = x1x2 + y1y2

perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah jumlah perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b.

Misalkan a = dan b = adalah vektor-vektor di R-3 yang

dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b ditentukan oleh rumus:

a•b =

Teorema Ortogonalitas

Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.

Jadi, vektor a dan b (||a|| 0 dan ||b|| 0) dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika a b = 0

Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektora) Sifat Komulatif a • b dan b • a1. Sifat Distributif a•(b + c) = a•b + a•c

Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a = dan b = adalah vektor-vektor di R-3 yang

dinyatakan dalam bentuk vektor kolom. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah , maka besarnya cos dapat ditentukan dengan rumus berikut

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor LainDalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos . Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain. Pada Gambar 1-19b, ruas-ruas garis berarah dan mewakili vektor-vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari titik A pada ruas garis berarah adalah titik C, sehingga

Besaran OC = ||a|| cos dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat proyeksi skalar saja) vektor a pada arah b.Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos bisa positif, nol, atau negatif,

tergantung dari besar sudut .(1) Untuk 00 < 900, OC bernilai (2) positif (3) Untuk = 900, OC bernilai nol (4) Untuk 900 < 1800, OC bernilai

negatif

Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa :

(1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l,

dengan ||c|| dirumuskan oleh :

(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c

dirumuskan oleh :

Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d (perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa(1) Proyeksi skalar ortogonal

vektor b pada arah vektor a adalah

||d|| =

(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah

DIFERENSIAL VEKTOR

Suatu besaran (termasuk vektor) biasanya merupakan fungsi besaran yang lain,

sehingga besaran tersebut dapat dideferensialkan ataupun diintegralkan terhadap

variabelnya.

Jika vektor dalam ruang merupakan fungsi waktu t, maka dituliskan

diferensial vektor terhadap variabel t adalah

Operator Del atau Nabla, didefinisikan sebagai

Operator ini dapat dioperasikan pada fungsi skalar maupun fungsi vektor.

Pengoperasian operator nabla pada fungsi skalar S(x,y,z):

Pengoperasian operator nabla pada fungsi vektor :