View
11
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
MATRICE I DETERMINANTE
1. Koje se od matrica mogu pomnožiti i u kom redosledu. Izračunati moguće proizvode.
1) ,20
11
A ,
04
30
12
B
220
103C ,
2) ,
030
202
101
A ,122
130
B
2
0
3
C ,
3) ,012A ,014
102
B
11
10
03
C ,
4)
34
20
01
,420
213 ,
20
12CBA ,
5) ,
7006
5301
2043
A ,
211
030
021
B
2
0
1
C ,
6) ,051
103 ,0124
BA
12
01
20
13
C ,
7) ,101
023
A ,
12
01
30
24
B
33
01C ,
8) ,102
041 ,
002
110
321
,
31
10
21
CBA
0120
3015D ,
2
9) ,1302 A
04
30
20
13
B ,
1220
3104C ,
014
102D
10)
61
05
30
12
,1035 ,
150
413
102
,
1
2
1
DCBA
11)
17
50
41
,410
602 ,32 ,
5410
7032DCBA
12)
340
708 ,
2
1
6
,271 ,
750
231
024
DCBA
13)
40
21 ,
70
52
43
,415
602 473 DCBA
14)
3
5
2
,213
506 ,31 ,
01
65
30
24
DCBA
15)
10
32
34
,251 ,1067
3350 ,
5
2-
0
3
DCBA
3
16)
54
23 ,203 ,
20
32
41
,1067
3051DCBA
17)
56
45 ,
12
32
50
,1302 ,
014
231
120
506
DCBA
18)
541
620
503
,176 ,124
630 ,
7
3DCBA
19)
3650
4021 ,
147
302 ,
501
623
014
,23 DCBA
20)
3608
0179 ,
147
302 ,
201
650
918
,
41
64
57
30
DCBA
21)
6351
4520 ,
67
53 ,52 ,
5
2
4
3
DCBA
22)
1302
2671
3024
,
02
10
47
53
,52 ,352
034DCBA
4
2. Izračunati determinantu matrice:
1)
1030
0211
1203
0102
A , 2)
1400
0311
2010
0034
A , 3)
0011
0140
1231
1003
A ,
4)
0402
1010
4203
0121
A
, 5)
0402
3010
5231
0120
A , 6)
0300
2010
3243
0125
A ,
7)
6153
2004
5021
3102
A , 8)
0905
3037
8010
0161
A , 9)
0402
3010
3215
4123
A .
3. Izračunati inverznu matricu matrice A:
1)
112
310
201
A , 2)
112
130
102
A , 3)
114
263
104
A ,
4)
501
160
531
A , 5) ,
304
023
210
A 6)
321
120
524
A ,
7) ,
551
110
207
A 8) ,
300
611
432
A 9)
430
021
201
A .
5
REŠAVANJE MATRIČNIH JEDNAČINA
1. Rešiti po X matričnu jednačinu IBIXA )2( gde je ,
300
611
432
A
540
032
201
B .
Najpre se transformiše matrična jednačina, tako da sa leve strane ostane samo nepoznata matrica X.
Pri tome treba voditi računa da za sabiranje matrica važi komutativnost tj. A+B=B+A, dok za množenje
matrica komutativnost ne važi: BAAB .
IBIXA )2(
BIIXA )2( (B prelazi na levu stranu i zbog toga menja znak)
1/)2( ABIIXA (sada množimo jednačinu sa A-1 sa leve strane;
A-1 je inverzna matrica matrice A; ( IAAAA 11 , I je jedinična matrica
100
010
001
I );
)()2( 11 BIAIXAA
)()2( 1 BIAIXI (za množenje jediničnom matricom važi AAIIA )
)(2 1 BIAIX (sad -2I prelazi na desnu stranu i jednačina dobija oblik)
IBIAX 2)(1 .
Pošto smo jednačinu transformisali tako da je sa leve strane ostala samo nepoznata matrica X, ostalo je
da izračunamo tu matricu.
Inverzna matrica A-1 izračunava se po obrascu:
332313
322212
3121111
)det(
1
AAA
AAA
AAA
AA .
Determinanta reda 3 može se izračunati Sarusovim pravilom.
Ako su elementi determinante
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , dopisujemo elemnte prve i druge kolone i
računamo vrednost determinante po sledećem obrascu
_ _ _
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A =
= 312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa .
6
Za matricu ,
300
611
432
A
00
11
32
300
611
432
)det(
A = 2(-1)3 + (-3)60 + 410 –
(-3)13 - 260 - 4(-1)0 = -6 + 0 + 0 + 9 – 0 – 0 = 3.
Kofaktore Aij dobijamo na sledeći način: ijji
ij MA )1( . Minor Mij je determinanta koja se dobija
kada se u matrici A precrtaju i-ta i j-ta kolona.
,
300
611
432
A 3063)1(30
61)1( 11
11
A ,
,
300
611
432
A 3)0631(30
61)1( 21
12 A ,
,
300
611
432
A 00)1(0100
11)1( 31
13
A ,
,
300
611
432
A 9)9()043)3((30
43)1( 12
21
A ,
,
300
611
432
A 6043230
42)1( 22
22 A ,
,
300
611
432
A 0)0)3(02(00
32)1( 32
23
A ,
,
300
611
432
A 14418)1(46361
43)1( 13
31
A ,
,
300
611
432
A 8)412()1462(61
42)1( 23
32 A ,
,
300
611
432
A 132)13()1(211
32)1( 33
33
A .
7
Pošto smo izračunali determinantu i kofaktore, inverzna matrica je
800
1463
093
3
11A . Inverznu matricu možemo ostaviti u ovom obliku, a možemo je i
pomnožiti sa 3
1. Matrica se množi skalarom (nekim brojem), tako što se svaki element matrice
pomnoži tim skalarom.
3800
31421
0311A .
Iz jednačine IBIAX 2)(1 , vidimo da najpre treba izračunati I – B . Dve matrice se sabiraju
(oduzimaju) tako što se sabiraju odgovarajući elementi.
640
022
202
540
032
201
100
010
001
BI
Sad treba izračunati ).(1 BIA Jednostavnije za računanje je upotrebiti prvi oblik matrice.
)(1 BIA
640
022
202
800
1463
093
3
1=
6)8(00)2(0)4()8()2(0000)8(2020
6)14(06)2(3)4()14(.)2(6030)14(2623
6009)2(3)4(0)2(903002923
3
1
163
2100
263
2222
264
48320
78686
61812
3
1.
183
2100
263
2202
266
200
020
002
163
2100
263
2222
264
2)(1 IBIA
Dakle rešenje matrične jednačine je
183
2100
263
2202
266
X .
8
2. Rešiti po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je
313
201
012
A ,
001
014
321
B ,
111
025
301
C
22 /)2( BCBIXA množimo jednačinu sa B2 sa desne strane;
222)2( BCBBIXA
2)2( BCIIXA
22 BCIXA
12 /2 AIBCXA
121 )2( AIBCAXA
12 )2( AIBCXI
12 )2( AIBCX
5043060
3001)2(2)3()1(11)1(03)2(1)3(02
13
01
12
313
201
012
)det(
A
313
201
012
, 21)2()3(031
20)1( 11
11
A
313
201
012
, 9)63()3)2()3()1((33
21)1( 21
12
A
313
201
012
, 1301113
01)1( 31
13
A
313
201
012
, 3)3()10)3(1(31
01)1( 12
21
A
313
201
012
, 630)3(233
02)1( 22
22
A
9
313
201
012
, 1)1()3112(13
12)1( 32
23 A
313
201
012
, 200)2(120
01)1( 13
31
A
313
201
012
, 4)4()1(0)2(2(21
02)1( 23
32
A
313
201
012
, 1)1(10201
12)1( 33
33
A .
111
469
232
5
11A
321
1270
304
00003100)1(0)2(1104011
000)1(3400)1()1()2(4104)1(14
030)2(3103)1()2()2(1134)2(11
001
014
321
001
014
3212 BBB
12115
91420
1261
321
1270
304
111
025
3012BC
10115
91620
1261
200
020
002
12115
91420
1261
22 IBC
12 )2( AIBC
111
469
232
5
1
10115
91620
1261
10
8,82,188,13
193935
8,22,108,8
449199
95195175
145144
5
1
Rešenje jednačine je
8,82,188,13
193935
8,22,108,8
X .
3. Rešiti po X matričnu jednačinu DIXC )23( gde je
,
553
110
207
C
033
306
753
D .
1/)23( CDIXC množimo jednačinu sa C-1 sa leve strane;
DCIXCC 11 )23(
DCIXI 1)23(
DCIX 123
IDCX 23 1 sada množimo celu jednačinu sa 1/3
3
1/23 1 IDCX
)2(3
1 1 IDCX
05555
11)1( 11
11
C , 3)30(
53
10)1( 21
12
C ,
,10))10(0(55
20)1( ,3)3(0
53
10)1( 21
2131
13
CC
6635000353)1()2(517)5(00
50)2(310)5()1(7
53
10
07
553
110
207
553
110
207
)det(
C
11
,35)035(53
07)1( ,29)6(35
53
27)1( 32
2322
22
CC
,7)07(10
27)1( ,220
11
20)1( 23
3213
31
CC
.710
07)1( 33
33
C
7353
7293
2100
6
11C
14637
11631
5111
8436222
6636186
30666
6
1
033
306
753
7353
7293
2100
6
11 DC
12637
11831
5113
3
1
200
020
002
14637
11631
5111
3
1)2(
3
1 1 IDC
Rešenje jednačine je
4212
3210
14
12637
11831
5113
3
1
3
13
2
3
2
3
13
2
3
1
3
1
X .
12
1. Reši po X matričnu jednačinu BCIXA )2( 1 gde je
,
402
011
102
A
222
041
202
B ,
112
310
201
C
Rešenje:
141428
81411
2210
112
356
222
2
1 2 11 X,C,IBCAX
2. Reši po X matričnu jednačinu IFEXD 2)( gde je
110
413
021
D , ,
102
510
134
E
112
130
102
F
Rešenje:
312
2
11
2
712
2
9
2
51
626
202
312
2
1 2 11 X,F,EFDIX
3. Rešiti po X matričnu jednačinu AXBIC )3( 1 gde je
535
15410
505
A , ,
042
230
101
B
114
263
104
C
Rešenje
5
42
5
44744
154047
5
17
5
5313
24421
505
614
5
1 3 11 X,C,BIACX
13
4. Reši po X matričnu jednačinu DEXIF )2( gde je
534
061
207
D , ,
533
231
216
E
501
160
531
F
Rešenje
4116
63
196
16195
636
101
271530
3
1 2 11 X,F,IEDFX _
5. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA 2)( 2 gde je
,
304
023
210
A
542
026
233
B ,
412
110
213
C
6. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA 2)( 2 gde je
,
304
023
210
A
104
021
120
B ,
010
310
021
C
7. Reši po X matričnu jednačinu ACBIX 2)2( gde je
,
504
410
032
A
321
120
524
B ,
103
110
020
C
8. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 3)(2 gde je
,
011
102
203
A
204
125
320
B ,
103
110
020
C
14
9. Reši po X matričnu jednačinu, gde je DXICA )3( gde je
,
2-53
11-4
8-6-4
A ,
551
110
207
C
033
306
753
D .
10. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 2)( gde je
,
200
310
312
A
130
321
210
B ,
001
221
110
C
11. Reši po X matričnu jednačinu CBAIX 2)2( gde je
313
201
012
A ,
001
014
321
B ,
541
016
301
C
12. Reši po X matričnu jednačinu 2)2( GFIXE gde je
124
010
234
,
101
230
156
FE , ,
011
210
312
G
13. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA )( 2 , gde je
,
101
120
013
A ,
010
023
120
B
011
103
032
C
15
14. Reši po X matričnu jednačinu IXCBA 3)(2 gde je
,
201
013
302
A ,
300
611
432
B
315
103
367
C
15. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA )( 2 gde je
,
001
224
310
A ,
010
043
102
B
511
100
432
C
16. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 2)2( gde je
,
200
310
312
A
130
321
210
B ,
001
221
110
C
17. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA 2)(2 gde
je ,
130
321
210
,
120
010
012
BA
205
110
215
C
18. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 2)( 2 gde
je
105
002
011
B ,
021
203
101
A
205
140
213
C
19. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA )( 2 gde je
,
430
021
201
,
200
310
312
BA
315
140
302
C
16
20. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 2)(2 gde je
,
001
123
010
A ,
010
023
102
B
561
103
432
C
21. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je
,
300
611
432
A
540
032
201
B ,
205
110
215
C
22. Reši po X matričnu jednačinu EDCXI )2( gde
je
315
103
367
,
175
310
012
,
522
515
001
EDC
23. Reši po X matričnu jednačinu 2)2( FXIHG gde je
,
430
021
201
F
331
120
570
,
211
430
102
HG
24. Reši po X matričnu jednačinu CBAIX 2)2( gde je
430
021
201
A ,
103
010
211
B ,
715
122
108
C ,
25. Reši po X matričnu jednačinu DXIC )3( , gde je
,
553
110
207
C
033
306
753
D .
17
26. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA )(2 gde je
,
200
310
312
A
130
321
210
B ,
001
221
110
C
27. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je
313
201
012
A ,
001
014
321
B
28. Reši po X matričnu jednačinu 0)2( FIXE gde je
124
010
234
,
101
230
156
FE
29. Reši po X matričnu jednačinu CIXAB )(2 , gde je
,
012
035
312
A ,
031
110
210
B
420
231
012
C
30. Reši po X matričnu jednačinu CBIAX 2)( , gde je
,
012
035
321
A ,
031
110
210
B
420
231
010
C
31. Reši po X matričnu jednačinu ICXAB )( 2 , gde je
,
012
010
124
A ,
033
100
212
B
420
201
014
C
18
32. Reši po X matričnu jednačinu IBIXA )2( gde je
,
300
611
432
A
540
032
201
B
33. Reši po X matričnu jednačinu CXBIA )(2 , gde je
102
131
200
,
020
31-1
201
B ,
103
020
101
CA
34. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA )(2 gde je
,
200
310
312
A
130
321
210
B ,
001
221
110
C
35. Reši po X matričnu jednačinu IDCXI )2( gde je
175
310
012
,
522
515
001
DC
36. Reši po X matričnu jednačinu 0)2( XIHG gde je
331
120
570
,
211
430
102
HG
37. Reši po X matričnu jednačinu CBXAI 21 )( , gde je ,
005
130
121
B ,
200
013
102
A
140
301
021
C
19
38. Reši po X matričnu jednačinu CXAIB )(2 , gde je
105
002
011
B ,
021
203
101
A ,
101
023
210
C
39. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 12 )( , gde je
,
110
131
012
A
422
010
301
B ,
100
031
402
C
40. Reši po X matričnu jednačinu CBIAX 2)( , gde je
,
220
130
012
A ,
031
110
210
B
400
231
012
C
41. Reši po X matričnu jednačinu CIXAB )( 21 , gde je
,
012
035
312
A ,
031
110
210
B
420
231
012
C
42. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA )( 2 , gde je
,
012
030
321
A ,
031
110
210
B
420
231
010
C
43. Reši po X matričnu jednačinu ICXAB )( 21 , gde je
,
012
010
124
A ,
031
100
216
B
420
201
014
C
Recommended