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Função Exponencial

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Função Exponencial

1.Definição

2.Propriedades

3.Imagem

4.Gráfico

5.Equações exponenciais

6.Inequações exponenciais

3

Dado um número real a, tal que 0 < a ≠ 1,chamamos função exponencial de base a a função fde em que associa a cada x real o número ax.

Em símbolos:

Exemplos de funções exponenciais em

1. Definição

ℝ ℝ

:

x

f

x a

→→ℝ ℝ

ℝ

( )) ( ) 2 ) ( ) 10

1) ( ) e) ( ) 2

2

) ( ) 3

x x

xx

x

a f x d p x

b g x r x

c h x

= =

= =

=

4

1a) Na função exponencial f(x) = ax, temos:

x = 0 ⇒ f(0) = a0 = 1

isto é, o par ordenado (0, 1) pertence à funçãopara todo . Isto significa que o gráficocartesiano de toda função exponencial corta o eixoy no ponto de ordenada 1.

2. Propriedades

* {1}a +∈ −ℝ

5

2a) A função exponencial f(x) = ax é crescente(decrescente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1).Portanto, dados os reais x1 e x2, temos:

I) quando a > 1:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

II) quando 0 < a < 1:

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2. Propriedades

6

3a) A função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1, éinjetora pois, dados x1 e x2 tais que x1 ≠ x2 (porexemplo x1 < x2), vem:

se a > 1, temos: f(x1) < f(x2)

se 0 < a < 1, temos: f(x1) > f(x2)

e, portanto, nos dois casos, f(x1) ≠ f(x2).

2. Propriedades

7

Vimos anteriormente, no estudo depotências de expoente real, que se , entãoax > 0 para todo x real.

Afirmamos, então, que a imagem da funçãoexponencial é:

3. Imagem

*a +∈ℝ

*Im += ℝ

8

Com relação ao gráfico cartesiano da funçãof(x) = ax, podemos dizer:

1o) a curva representativa está toda acima do eixodos x, pois y = ax > 0 para todo x ∈ .

2o) corta o eixo y no ponto de ordenada 1.

3o) se a > 1 é o de uma função crescente e se0 < a < 1 é o de uma função decrescente.

4. Gráfico

ℝ

9

4. Gráfico

y

x

(0, 1)

y ==== ax

(a >>>> 1)

y

x

(0, 1)

y ==== ax

(0 <<<< a <<<< 1)

10

Exemplos

1o) Construir o gráfico da função exponencial debase 2, f(x) = 2x.

4. Gráfico

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

11

4. Gráfico

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

12

Exemplos

2o) Construir o gráfico da função exponencial debase 1/2, f(x) = (1/2)x.

4. Gráfico

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = (1/2)x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

13

4. Gráfico

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

14

Exemplos

3o) Construir o gráfico da função exponencial debase e, f(x) = ex.

Um número irracional muito importante paraa análise matemática é indicado pela letra e e édefinido pela relação:

4. Gráfico

( )1

0lim 1 , xx

e x x→

= + ∈ℝ

15

A demonstração da existência desse limiteserá feita quando fizermos o estudo de limites. Atabela abaixo sugere uma valor para e (com quatrocasas decimais): e ≅ 2,7183.

4. Gráfico

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

(1+x)1/x (1+1)1=2 (1+0,1)10=2,594 (1+0,01)100=2,705 2,717 2,7182 2,7183

16

4. Gráfico

-5

0

5

10

15

20

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

17

Definição

Equações exponenciais são equações comincógnita no expoente.

Exemplos

Existem dois métodos fundamentais pararesolução das equações exponenciais.

Faremos a apresentação do primeirométodo, sendo que o segundo será apresentadoquando do estudo de logaritmos.

5. Equações exponenciais

( ) 32 64, 3 81, 4 2 2x

x x x= = − =

18

Método da redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome já diz,será aplicado quando ambos os membros daequação, com as transformações convenientesbaseadas nas propriedades de potências, foremredutíveis a potências de mesma base a (0 < a ≠ 1).Pelo fato de a função exponencial f(x) = ax serinjetora, podemos concluir que potências iguais ede mesma base têm os expoentes iguais, isto é:

5. Equações exponenciais

(0 1)b ca a b c a= ⇔ = < ≠

19

Exemplo 1: Resolva as seguintes equaçõesexponenciais:

5. Equações exponenciais

{ }

( )

( )

6

3 3 55

413 43 32 2

a) 2 64 2 2 6 6

1 1b) 8 2 2 2

32 25 5

3 5 3 3

c) 3 81 3 3 3 3

4 8 8 x

2 3 3 3

x x

xx x

x xx

x S

x x S

xS

−

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

= ⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

20

Exemplo 2: Resolva as equações exponenciaisabaixo:

5. Equações exponenciais

( ){ }

( ) ( )

21 2 2 2

1 2

3 4 12 1 3 4 1 2 1 2 3

2 1 6 8 3 3

a) 2 4 2 2 2 2 0

2 ou 1 2, 1

b) 3 9 27 3 3 3

3 3 3 2 1 6 8 3 3

4 2 6 3 3 1 8 5 4

54

5

xx x x

x xx x x x

x x x

x x x x

x x S

x x x

x x x x x

S

− −

+ +− + + −

− + +

= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − − = ⇒

= = − ⇒ = −

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

⇒ ⋅ = ⇒ − + + = + ⇒

⇒ + − = + − ⇒ = − ⇒ = −

⇒ = −

21

Exemplo 2: Resolva as equações exponenciaisabaixo:

5. Equações exponenciais

( )2 52 3 2

22 2 5 3 2 22 2

2 4 10 3 22 2

2 2

1 2

c) 5 25 5 5 5 5

2 4 10 3 2 5 5 5

2 2 x 2 8 20 3 2 3 18 0

3 ou 6

xx xx xx x x x x

x x xx x x x x

x xx x x x x

x x

−− −− − −

− − −

⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

− − −⇒ ⋅ = ⇒ + = ⇒

⇒ − + − = − ⇒ + − = ⇒

⇒ = = −

{ } (não serve, pois x 0)

3S

> ⇒

⇒ =

22

Definição

Inequações exponenciais são as inequaçõescom incógnita no expoente.

Exemplos

Assim como em equações exponenciais,existem dois métodos fundamentais para resoluçãodas inequações exponenciais. Analogamente aoestudo de equações exponenciais, faremos aapresentação do primeiro método, com o segundosendo visto quando do estudo de logaritmos.

6. Inequações exponenciais

( ) 32 32, 5 25, 4 2 2x

x x x> > − >

23

Método da redução a uma base comum

Este método será aplicado quando ambos osmembros da inequação puderem ser representadoscomo potências de mesma base a (0 < a ≠ 1).

Lembremos que a função exponencialf(x) = ax é crescente, se a > 1, ou decrescente, se0 < a < 1; portanto:

6. Ineuações exponenciais

Se e são números reais, então:

para 1 tem-se

para 0 1 tem-se

b c

b c

b c

a a a b c

a a a b c

> > ⇔ >< < > ⇔ <

24

Exemplo 3: Resolva as seguintes inequaçõesexponenciais:

6. Inequações exponenciais

{ }

{ }

7

3 3

a) 2 128 2 2

Como a base é maior que 1, temos 7

/ 7

3 125 3 5 3 3b)

5 27 5 3 5 5

Como a base está compreendida entre 0 e 1, temos 3

/ 3

x x

x x x

x

S x x

x

S x x

−

> ⇒ >>

= ∈ >

≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

≤ −= ∈ ≤ −

ℝ

ℝ

25

Exemplo 3: Resolva as seguintes inequaçõesexponenciais:

6. Inequações exponenciais

( )3

3 4 3 4c) 2 8 2 2

Como a base é maior que 1, temos

3 93 4 4

9/

4

xx

xx

S x x

< ⇒ <

< ⇒ <

= ∈ <

ℝ

26

Exemplo 4: Resolva as seguintes inequaçõesexponenciais:

6. Inequações exponenciais

( ) 22 7 2 7 3 2

2

1a) 3 3 3 2 7 3

271

2 7 3 0 ou 32

1/ ou 3

2

xx x x x x

x x x x

S x x x

− − −> ⇒ > ⇒ − > − ⇒

⇒ − + > ⇒ < >

= ∈ < >

ℝ

27

Exemplo 4: Resolva as seguintes inequaçõesexponenciais:

6. Inequações exponenciais

2

2

2 2

3 1 11 2

3 1 1 2 12 3

3 2 4 2 3 3

1 1b) 4

82

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

x xx x

x

x x x xx

x x x x x

+ −+ −

+ + − −−

+ − − + −

⋅ ≥ ⇒

⇒ ⋅ ≥ ⇒

⇒ ⋅ ≥ ⇒

28

Exemplo 4: Resolva as seguintes inequaçõesexponenciais:

6. Inequações exponenciais

25 3 2 3 32

2

1 15 3 2 3 3

2 2

1 5 6 1 0 1

5

1/ 1

5

x x x

x x x

x x x

S x x

− − −

⇒ ≥ ⇒ − − ≤ − ⇒

⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤

= ∈ ≤ ≤

ℝ