07. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equação exponencial a toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. São exemplos de equações exponenciais:5x = 125,8x = 0,253x-1 – 3x + 3x+1 + 3x+2 = 3064x – 20.2x + 64 = 0

Para resolver a equação deve-se reduzir a potência de mesma base dos dois membros da equação e aplicar a propriedade am = an . Porém nem sempre é possível aplicar de imediato o método da redução a uma base comum e, quando isso acontece devemos recorrer aos conceitos e propriedades de logaritmos. Vamos resolver o exemplo dado acima: 4x – 20.2x + 64 = 0(22)x – 20.2x + 64 = 0Para isso devemos fazer 2x = y, então teremos:Y2 = 20y + 64 = 0Resolvendo a equação do segundo grau teremos para y os valores: y’ = 16 e y” = 4.Voltando a igualdade:2x = y Para y = 162x = 162x = 24

x = 4

2x = y Para y = 42x = 42x = 22

x = 2Logo o conjunto solução será: S = {2, 4}

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS. É toda inequação cuja incógnita aparece em expoente. São inequações exponenciais:3x > 81(1/3)x 81

Nas desigualdades devemos observar a base uma vez que ao multiplicarmos uma desigualdade por um número negativo devemos inverter a desigualdade. Exemplo: Vamos resolver a inequação(1/3)x 81Sabemos que 1/3 = 3-1, podemos escrever:(3-1)x 81

(3-1)x 34

3-x 34

-x 4 (-1) x - 4

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de função exponencial a toda função f(x) = ax. Essa função somente é definida para base a positiva e diferente de um. Se a base a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. São exemplos de função exponencial:f(x) = 3x

g(x) = (1/3)x

h(x) = 5x - 125

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL. Para construirmos o gráfico de uma função exponencial devemos observar a base a.

Para a > 1. Se a base for um número maior que 1 a função exponencial terá as seguintes características:● Ela é crescente.● Ela é injetora.● f(x) > 0 para todo x real. ● O gráfico esta acima do eixo das abscissas.

Exemplo: y = ax

Para 0 < a < 1. Se a base for um número do intervalo cujos extremos são 0 e 1, a função exponencial terá as seguintes características:

● Ela é decrescente.● Ela é injetora.● f(x) > 0 para todo x real. ● O gráfico esta acima do eixo das abscissas

OBSERVAÇÕES:

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A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada, isto é, o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função f(x) = 2x

Vamos determinar os pares ordenados:

x 2x

- 2 ¼ - 1 ½ 0 11 22 4

O gráfico será:

LOGARÍTMOS

Denominados de logaritmo de um número N em uma base a e denota-se por loga N = c ao número c, tal que ac = N, com a > 0 e a 1 e N > 0. N recebe o nome de logaritmando ou antilogaritmo, a é a base e c é o logaritmo. Exemplos:log3 81 = 4 ( 34 = 81CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA. A definição nos fala que a base deve ser positiva e diferente de um a > 0 e a ( 1; que o logaritmando deve ser positivo (N > 0). Exemplo: Determinar a condição de existência da função: f(x) = log3 (x – 3)

Observe que a base é 2 (positiva e diferente de um). Obedece a definição. Logo devemos determinar o valor de x. Pela definição x -3 > 0, isto equivale dizer que x > 3.Então o domínio desta função (ou condição de definição) será dado por:

D = {x R| x > 3}

CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO: Por imposição da definição podemos escrever: log a1 = 0 log aa = 1 log aan = n aloga b = b log ba = log bc <-> b = c Exemplos10 log 7 = 7

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS.● O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos:

log a(M . N) = log aM + log aN.

● O logaritmo do quociente é igual a diferença dos logaritmos:

log a(M / N) = log aM – log na

● O logaritmo da potencia é igual ao expoente vezes o logaritmo:

log aMN = N . log aM ANTILOGARITMO: É o número que corresponde a um logaritmo dado. Consiste no problema inverso do cálculo do logaritmo de um número.

Loga N = c antiloga c = N aN = c

COLOGARITMO. Designa-se por cologaritmo de um número x ao logaritmo do seu recíproco ou inverso :

Colog x = log 1/x = - log x

Exemplo: log a1/b = - log ab = colog ab

MUDANÇA DE BASE: logb N loga N = logb aExemplo: Calcular o valor de log3 (9 . 27)Vamos aplicar as propriedades dos logaritmos:log3 (9 . 27) (do produto)log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 log3 (9 . 27) = 2 + 3log3 (9 . 27) = 5

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FUNÇÃOLOGARÍTMICA

Toda função f : R R definida por f (x)

= loga x, com a R, 0 < a 1 e x R, é denominada função logarítmica de base a. GRÁFICO. O gráfico das funções logarítmicas são construídos de acordo com a base do logaritmo. Temos duas possibilidades para a base: a > 1 ou 0 < a < 1.

Se a > 1, teremos uma função crescenteSe 0 < a < 1, teremos uma função

decrescente

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. São exemplos de equações logarítmicas:log3 x = 4 log (x2 – 2) = log 7 logx+1 (x2 – x) = 1 log2 (x + 3) + log2 (x – 3) = log2 7 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LOGARITMICA. Para se resolver uma equação logarítmica devemos verificar a condição de existência. Exemplo:Resolver a equação log3 (x + 5) = 2.

Para que exista esse logaritmo é necessário que:x + 5 > 0x > - 5Vamos aplicar a definição de logaritmo:log3 (x + 5) = 2x + 5 = 32

x + 5 = 9x = 4Observe que a solução x = 4 satisfaz a condição de existência então o conjunto solução será:

S = {4}

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA. Para resolver-mos uma inequção logarítmica devemos observar que: se a > 1, se x2 > x1 loga x2 > loga x1 e neste caso devemos conservar a desigualdade; Se 0 < a < 1 e x2 > x1 loga

x2 < loga x1 e neste caso devemos inverter o sentido da desigualdade.Exemplo: Resolver a inequação log3 (5x – 1) > log3 4Solução: Vamos resolver a condição de existência:5x – 1 > 0 5x > 1x > 1/5

5x – 1 > 45x > 4 + 1 5x > 5x > 1Como x tem de ser maior que 1/5 e x tem de ser maior que 1, a interseção destes dois intervalos indica que x tem de ser maior que 1, isto é, x > 1, logo o conjunto solução será dado por:

S = {x R / x > 1}

LOGARITMO DECIMAL

Quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente log N ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos log N = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande

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aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

CARACTERISTICA. Antes de estabelecer o conceito de característica de um logaritmo decimal, vamos calcular o logaritmo de podemos escrever:

log 133 = x 10x = 133Sabemos que não existe nenhum x

inteiro que satisfaça essa igualdade, uma vez que 112 < 133 < 122. logo, como nossa base é 10, sabemos também que 102 < 10x (= 133) < 103. Então, o valor de x estará compreendido entre os valores 2 e 3 devendo ser portanto um número decimal.

Qualquer número real positivo está necessariamente entre duas potências de 10 de expoentes inteiros consecutivos, pode-se concluir que o log b (b um número maior do que 0) está situado entre dois números inteiros e consecutivos, isto é, podemos sempre determinar um número inteiro c tal que: c log b < c + 1

Ao número c damos o nome de característica de log b. Ou, alternativamente, podemos definir a característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.Como regra podemos estabelecer que a característica de log b quando b for um número maior que 1 ( b > 1) como sendo o número de algarismos que antecedem a vírgula menos uma unidade. E se b é um número do intervalo (0, 1) isto é 0 < b < 1 sua característica será igual a quantidade de zeros que antecedem o primeiro algarismo diferente de zero. Exemplos:log 133 c = 3 - 1 = 2 log 14,635 c = 2 - 1 = 1 log 0,0127 c = - 2 log 0,00056 c = -4

MANTISSA. A mantissa m, em geral um número irracional, é obtida a partir da tabela logarítmica. Do exemplo dado log 133 = N, encontramos a mantissa na tabela dada abaixo no cruzamento da linha 13 com a coluna 3. Nesse cruzamento encontramos o valor 1239 que será a mantissa do logaritmo de 133, isto é a parte decimal. A característica desse número será c = 3 – 1, c = 2, então log 133 = 2,1239.

Propriedade da Mantissa: A mantissa do logaritmo decimal de b não se altera se multiplicarmos b por um potência de 10 com expoente inteiro, isto quer dizer que a

mantissa de log 133 = log 1,33 = log 1330= log 0,133 = ...

A mantissa não muda, o que muda no cálculo do logaritmo é o valor da característica que é acrescida (ou decrescida) do valor x correspondente ao expoente da potência. Por exemplo:log 0,00133 = (-3),1239 = log 133 x 10-5

log 0,0133 = (-2),1239 = log 133 x 10-4

log 0,133 = (-1),1239 = log 133 x 10-3

log 1,33 = 0,1239 = log 133 x 10-2

log 13,3 = 1,1239 = log 133 x 10-1

log 133 = 2,1239 = log 133 x 100

log 1330 = 3,1239 = log 133 x 101

log 13300 = 4,1239 = log 133 x 102

Observe que a mantissa de log 133 é igual para todos os logaritmos múltiplos e submúltiplos de 133 em potencias de 10. Isto quer dizer que os logaritmos de números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais.

Exemplo: Qual o número de algarismos de 321000 ?Solução: Seja x = 321000. Podemos escrever x = (25)1000 = 25000

Vamos aplicar logaritmo decimal em ambos os membros da igualdade, x = 25000, teremos:log x = log 25000 log x = 5000 . log 2 Como log 2 = 0,301, vem:log x = 5000 . 0,3010 log x = 1505, 0000

Como a parte inteira do número 321000 terá 1505 algarismos então esse número terá 1505 + 1 algarismos, ou seja, 1506 algarismos.

Tabela Logarítmica0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788

2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624

3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911

4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902

5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709

6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388

7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976

8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494

9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106

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13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430

14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014

16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279

17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529

18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765

19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404

22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598

23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784

24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962

25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133

26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298

27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456

28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609

29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

EXERCÍCIOS

01. (BESC– 2005) - Sabendo que log2 =0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2x = 80.a) 6,1 b) 6,3 c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7

02. (SEAP–PR. Agente Penitenciário–2004) - Um funcionário necessita obter o valor do produto 4×81×128×16×81×2×12×3×4, mas dispõe somente de uma calculadora simples, cujo visor mostra no máximo 6 dígitos. Então, o funcionário lembrou de propriedades de logaritmos e que log10 2 0,3 e log10 3 0,47. Assim, fez uma estimativa do valor daquele produto, que é um número da ordem de:a) dezenas de bilhões.b) dezenas de milhões. c) centenas de milhões.d) centenas de bilhões.e) trilhões

03. (Banco Brasil) - O valor da expressão: y = log2 1 + log2 2 + 3log3 27 -2log5 1/25 é:a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

04. (Banco Brasil) - Dada a equação:2x + 2x-1 + 2x-2 + 2x-3 = 30, o valor de x é:a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

05. (SEFAZ – AM -2005) - Simplificando a expressão

com n N, obtemos o valor:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

06. (TRT – TJ-SC-2005) - Seja n = 82log2 15 – log2 45

Então o valor de n é:

a) 83 b) 53 c) 52 d) 25 e) 23

07. (TJ – PR – 2005) - Suponha que uma certa máquina agrícola sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Em quanto tempo, aproximadamente, o valor dessa máquina se reduzirá a 10% do valor inicial?(Use log 2 = 0,30)a) 5 anos. d) 7 anosb) 12 anos. e) 10 anosc) 8 anos.

08. (Banco do Brasil) – Para logx 9x = 2a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 9

09. (Banco do Brasil) - Adotando log3 2 = 0,63 e log3 11 = 2,18, o valor de log3 (1/1936) será:a) – 6,88 d) + 3,38b) – 3,38 e) + 6,88c) – 1,58

10. (CESPE / UNB – PROFESSOR-PR - 2003) -Considere que a população de um determinado tipo de inseto em função do tempo seja dada por, P(t) = 200e0,01t, em que t é medido em dias. Com base nesse modelo hipotético, julgue os itens a seguir.I. A população inicial desses insetos é constituída de 200 elementos.II. A partir do instante inicial, a população de insetos dobrará em menos de 100 dias.III. A partir do instante inicial, a população de insetos começará a diminuir após 120 dias.IV. O número de insetos será o mesmo em, pelo menos, duas épocas distintas.

V. A equação , que define o tempo em função da população de insetos, é uma expressão correta para a função inversa de P.A quantidade de itens certos é igual aa) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

11. (CEF – 2000) - Calculando-se o valor de

obtém-se:

MATEMÁTICA - 5 -


a) log 3 1/5 d) -1/3b) 1/3 e) -1c) 1/5

“Existem no País 292 áreas concedidas para minério de ferro. Cerca de 2/3 destas áreas encontram-se paralisadas por motivos diversos, como dificuldade de escoamento, falta de mercado localizado, áreas com pesquisa insuficiente, minério de baixa qualidade, pendências judiciais, restrições ambientais, etc. (...) Mas a evolução da produção comercial, no período de 1988 a 2000, mostra um crescimento a uma taxa anual de 3%.”

Balanço mineral brasileiro – 2001, disponível em http://www.dnpm.gov.br

12. (DNPM – TÉCNICO ADMINISTRATIVO - 2006) - Considerando-se que, em 1988, a produção comercial foi de P toneladas / ano, a produção de 2000, em toneladas / ano, correspondeu a:a) P + (1,3)13 d) P . (3,0)13

b) P + (3,0)12 e) P . (1,03)12

c) P . (1,3)12

13. (PARANÁ - EDUCAÇÃO – 2000) – Devido à escassez de mão-de-obra qualificada, o governo municipal da cidade referida no texto CE-II decidiu incentivar a imigração a partir de um determinado ano. Imediatamente depois dessa iniciativa, passou-se a registrar uma imigração anual de 1.440 indivíduos, fazendo que a população da cidade passasse a ser modelada pela equação: 1.440 N(t) = 200.000 e(p – q)t + (e(p – q)t – 1) (p – q)Em que N(t) é o número de indivíduos da população em função do tempo t em anos transcorridos desde a adoção das medidas de incentivo à imigração. Dessa forma, se as taxas de nascimento e de morte de indivíduos, nesse novo modelo, forem 1% e 2% ao ano, respectivamente, então dN ℓim t dté igual a:a) 0 b) 1 c) e d) 1.440 e) +

GABARITO01. B 02. A 03. E 04. A 05. A 06. B07. E 08. E 09. A 10. C 11. E 12. E13. A

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