View
302
Download
8
Category
Preview:
Citation preview
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 1/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 2/228
Dragi u~eni~e!
Ova }e ti kwiga pomo}i da nau~i{ predvi|ene sadr`aje programa. Nau~i}e{ nove zanimqive sadr`aje o vektorima, translaciji i rotaciji. Ste}i }e{ va`na znawao stepenima, korenima i polinomima. Pro{iri}e{ znawa iz geometrije.
Izra~unava}e{ povr{inu figura. Ste}i}e{ nova znawa o funkciji iproporcionalnosti.
Kwiga je podeqena na pet tematske celine, a svaka od wih je podeqena na podteme.Tematske celine po~iwu sadr`ajem , a nastavne jedinice su numerisane.U svakoj nastavnoj jedinici ima oznaka u boji i preko wih su ispisane poruke,
aktivnosti, obaveze i druge preporuke, a to :
Nastavne jedinice po~iwu ne~im {to ti je ve} poznato.Podseti se i re{i zadate zahteve. To }e ti pomo}i kod
izu~avawa novog sadr`aja lekcije.
A B Ovim oznakama je nastavna jedinica podeqena na delove(porcije), koje se odnose na nove pojmove.
1.
2. Ovakvim oznakama su ozna~ene aktivnosti, pitawa i zadaci koje
}e{ samostalno re{avati ili uz pomo} nastavnika. U ovom delu
u~i{ novinu u lekciji i zato treba da bude{ pa`qiv i aktivan dabi boqe razumeo i nau~io. Najbitnije je obojeno ̀ utom bojom.
Treba da zna{: Ono {to je najbitnije je izdvojeno u obliku pitawa,
zadataka ili tvr|ewa. To treba{ upamtiti i primeniti
u zadacima i prakti~nim primerima.
Proveri! Ovaj deo sadr`i pitawa i zadatke kojima mo`e{ da
proveri{ da li si razumeo ve}i deo onog {to se u~i, da bi
mogao da primeni{ i koristi{ u svakodnevnom `ivotu.
ZadaciTreba da redovno i samostalno re{ava{ ove zadatke. Time
}e{ boqe nau~iti i oni }e ti koristiti.
Kada nai|e{ na pote{ko}e u izu~avawu matematike ne otkazuj se, poku{aj ponovo, a upornost donosi rezultat i zadovoqstvo.
Zadovoqstvo }e nam biti ako ovom kwigom vi{e zavoli{ matematiku i postigne{
veliki uspeh. Autori
PROVERISVOJE ZNAWE
Na kraju svake teme ima{ test sastavqen od pitawa i
zadataka. Samostalno re{i test i time }e{
proveriti svoje znawe iz teme koja je u~ena.
Poku{aj...Potrudi se da re{ava{ zadatke i probleme u ovom delu (nije
obavezno). Time }e{ znati vi{e i bi}e{ bogatiji sa idejama.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 3/228
3Vektor. Operacije nad vektorima
TEMA 1. VEKTORI. TRANSLACIJA
VEKTORI I OPERACIJE SA VEKTORIMA
1. Usmerenost poluprava. Smer2. Vektori
3. Jednakost vektora4. Sabirawe vektora
5. Oduzimawe vektora 19
TRANSLACIJA
6. Translacija7. Osobine translacije 24
8. Primena translacije 27 Proveri svoje znawe 30 14
11 7 4 22
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 4/228
4 Tema 1. Vektori. Translacija
Nacrtaj pravu a i na woj ozna~i ta~ku O.
Ta~ka O deli pravu a na dva dela ilidva skupa.
Kako se naziva deo prave koji sadr`ita~ku O i jedan od dva dela na kojima je razdvojena prava a sa ta~kom O ?
Na crte`u je nacrtana poluprava OMsa po~etnom ta~kom O i proizvoqnom
ta~kom M.
Nacrtaj poluprave AV i A, tako {tota~ke A, , i ne le`e na istoj pravi.
Nacrtaj pravu a i na woj ozna~ita~ke M i ?
1. Na pravi uo~i polupraveOA, O1A, O i
Koja je poluprava podskup polupraveOA ?
Koja poluprava je podskup polupraveO
1 ?
Za poluprave OA i O1A ka`emo da su
isto usmerene. I poluprave O i O1 su
isto usmerene.
Za poluprave OA i O1 ka`emo da susuprotnog smera. I poluprave OA i Osu suprotnog smera.
Poluprave istog smera ozna~avamo
znakom , a suprotno usmerene
znakom Primer:
Razgledaj crte`. Uo~i paralelne prave i i nawima ozna~ene poluprave OA, O
1V i O
1S.
Koje poluprave le`e na istoj poluravni sa grani~nompravom OO
1?
USMERENOST POLUPRAVA. SMER1 1 1 1 1
VEKTORI. OPERACIJE NAD VEKTORIMA
A 1.
V O
A p
Uo~io sam da:Sve ta~ke poluprave O1A
pripadaju polupravi OA, t.j.
Sve ta~ke poluprave OBpripadaju polupravi O
1, t.j.
.
2.
O
M
Sa pravom na crte`u ravan je
podeqena na dve poluravni, od kojih je jedna obojena.
Koje od ozna~enih ta~ki le`e na istojpoluravni ?
b
[ta je prava za poluravan ?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
b
a
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 5/228
5Vektor. Operacije nad vektorima
Za dve poluprave ka`emo da su isto usmerene (ili: imaju isti smer) ako le`e na jednoj pravi i jedna je podskup druge ili ako le`e na paralelnim pravama ipripadaju istoj poluravni sa grani~nom pravom kroz wihove po~etne ta~ke.
Za dve poluprave koje le`e na istoj pravi ili na paralelnim pravama i nisu istousmerene, ka`emo da su suprotno usmerene (ili imaju suprotne smerove).
Odredi kako su usmerene:
Va`i i uop{te
3.
a)
b)
v)
g)
a
bab
Ovo ti je poznato
Na crte`u su prikazani saobra}ajni znakovi koji ozna~avaju smer.
Nacrtaj polupravu OA i zatim:
Nacrtaj dve poluprave O1A
1 i O
2B
2 isto usmerene sa pravom OA.
Kako su usmerene poluprave O1A
1 i O
2
2?
Koliko poluprava u ravni mo`e da se konstrui{e isto usmerenih sa polupravomOA ?
a) poluprave OA i O1A,
b) poluprave OA i O1A
v) poluprave OV i O1A
g) poluprave OV i O1
O1 i O
1 OV i O
1
Uo~io sam dapoluprave OA i O
1
le`e na istojpoluravni, a gra-ni~na poluprava jeOO
1.
Ka`emo da su isto usmerene poluprave OA i O1
t.j
Poluprave OA i O1S ne le`e u istoj poluravni sa
grani~nom polupravom OO1 i za wih ka`emo da su
suprotno usmerene, t.j. OA
Objasni {ta koji znak pokazuje.
Re~ smer ~esto upotrebqavamo na primer: ,, vetar duva u severnom smeru,, avion leti usmeru Skopqe-Ohrid itd.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 6/228
6 Tema 1. Vektori. Translacija
Smer predstavqamo jednom polupravom A iz skupa istousmerenih poluprava i ka`emo, poluprava A ima smer .
Date su poluprave OA, O1A
1 i O
2A
2, tako {to
. polupravomOA je opredeqen smer , a polupravom O
2A
2
smer
[ta je ta~no:
Da objasni{ koje dve polupraveimaju isti smer, odnosno
suprotni smer.
Da objasni{ {ta je smer i ~imese smer predstavqa.
Na crte`u su prave i paralelne.
Koje poluprave OA, O1S
i O1 :
Su istog smera,
Suprotnog smera
Odre|uju isti smer ?
Kakvu figuru mo`e da napravipresek:
dve poluprave istog smera kojele`e na jednoj pravi,
dve poluprave suprotnog smerakoje le‘e na jednoj pravi?
1.
Na pravi a su date poluprave OA,
O1A i O2A, tako {to su
poluprave OA i O2A?
5.
Zadaci
Kakvu figuru mo`e da napravi unija:
dve poluprave istog smera kojele‘e na jednoj pravi,
dve poluprave suprotnog smera
koje le`e na jednoj pravi?
Nacrtaj pravougaonik i neka Obude ta~ka preseka wegovihdijagonala. Koje poluprave :
i su :
istog smera,
suprotnog smera?
2.
A O a
b
Proveri!
Zakqu~io sam da u ravni postoje beskona~no mnogo poluprava koje suisto usmerene sa datom polupravom OA
Skup jedne poluprave i sve isto usmerene poluprave na woj u ravni se naziva smer.
A. Kako su usmerene
Treba da zna{:
a)
b)
a)
b)
a)
b)
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 7/228
7Vektor. Operacije nad vektorima
Du` A na kojoj se jedna krajwa ta~ka uzima kao po~etak, druga ta~ka za kraj, se
naziva usmerena du‘ i ozna~ava se sa
Ta~ka A se zove po~etak, a ta~ka kraj usmerene du`i
Na crte`u, poluprave le`e naparalelnim pravama a b i c.
Kako su usmerene poluprave i
2.
Uporedi du`ine du`i i i
Uo~i usmerene du`i i potrudi se da shvati{
Usmerena du` na crte`u se predstavqa strelicom odpo~etne ta~ke A prema krajwoj ta~ki .
o kojima dvema usmerenim du`ima se ka`e da su jednake.
c
b
a
Neka su A i krajwe ta~kedu`i a.
[ta je ta~no:
A 1.
Uo~io sam da je:
a) ;
b) i je ista du`
v) ;
g) ?
Ta~no pod a),b) i v) ,
a
Neta~no pod g), jer kod pore|anih parova va`i:
kada .
Krajwe ta~ke usmerene du‘i predstavqaju pore|ani par
VEKTORI 2 2 2 2 2
Zapisom ( ) ozna~ujemo pore|ani
par.
U pore|anom paru se ta~no zna koji jeprvi, a koji drugi elemenat.
Za pore|ani par ta~aka, (A), ta~kaA je prva komponenta, a ta~ka druga komponenta.
Neka pore|ani par (5,8) ozna~avapeti red i osmo sedi{te ubioskopskoj Sali. Da li pore|ani par(8,5) ozna~ava isto sedi{te ?
Podseti se!
Uo~io sam da su poluprave i E isto usmerene
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 8/228
8 Tema 1. Vektori. Translacija
Usmerene du`i su jednake, ako imaju jednaku du`inu i
i Zapisujemo .
Neka se ta~ka O pomeri za 4
jedinice udesno po pravi gde
je
U koju ta~ku }e se pomeriti, t.j. preslikati ta~ka O na pravi
3.
Ta~ke O i su krajwe ta~ke na
usmerenoj du`i Onepredstavqaju pore|ani par (O,).
Ta~ka O je po~etna, a ta~ka krajwa u ovom pomerawu.[ta predstavqaju ta~ke O i ?
Ovo pomerawe ta~ke u ravni je izvr{eno u odre|enomsmeru i na odre|eno rastojawe. Na crte`u ga
predstavqamo kao usmerenu du`
Uo~io sam da }e se ta~ka O pomeriti (preslikati) u ta~ku .
B
p
Smer koji Aopredequje polupravu A se zove smer usmerene du‘i
Prema tome, usmerene du`i su isto usmerene.
Du`ina du‘i A se zove du‘ina (intenzitet) usmerene du`i
ozna~ava se sa Prema tome
Usmerena du`, ~iji se po~etak podudara sa krajem se zove nultausmerena du‘. Ona nema odre|eni smer, a wena du`ina je nula
Neka je predstavqena jedna usmerena du` Koliko usmerenih du`i jednakih postoje?
Mogu da nacrtam mnogo usmerenih du`i jednakih na
, a ima beskona~no mnogo koje su jednake woj.
Skup od jedne usmerene du`i i sve usmerene du`i jednake woj se naziva vektor.
Skup svih nulti usmerenih du`i se zove nulti vektor.
Uo~i i upamti!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 9/228
9Vektor. Operacije nad vektorima
Ozna~i ~etiri ta~ke A, i . Predstavi vektore:4.
To {to si nau~io o usmerenim du`ima, mo`e da se iska`e i o vektorima.
Neka je dat vektor sa usmerenom du‘i
Du`ina usmerene du`i se zove du`ina (ili intenzitet) vektora i ozna~ava se
Nacrtaj dva vektora i tako da su oni:a) isto usmereni, b) suprotno usmereni.
5.
Vektori i u zahtevima a)i b) mo`e{ da predstavi{ kao nacrte`u.
Primetio sam da: smer vektora se odre|uje na isti na~in kao i kod usmerenihdu`i, jer se vektor predstavqa kao usmerena du`.
Nacrtaj vektor i ozna~i ta~ke i M (kao na crte`u).6.
Nacrtaj vektor tako {to
Nacrtaj vektor tako {to
ili
b)a)
a
Smer usmerene du`i predstavqa smer
vektora
Na crte`u }emo vektor predstavqati sa jednom usmerenomdu`i, t.j. jednim predstavnikom iz skupa jednako usmerenihdu`i.Prema tome, usmerena du` }e predstavqati vektor.
Ovo je va`no !
b
a
c
Vektor }emo ozna~avati sa ili malim slovom i strelicom
iznad wega. Na crte`u su dati vektori
Uo~i i upamti!
Za vektore koji imaju isti smer ili suprotan smer, ka`emo da su kolinearni.
t.j. vektori i su kolinearni, ako ili
Za kolinearne vektore ka`emo da imaju isti pravac.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 10/228
10 Tema 1. Vektori. Translacija
Nacrtaj dva kolinearna vektora tako da le`e:
Da objasni{ {ta je usmerena du` i {ta je vektor,
Da odredi{ (i objasni{ ) vektore:istog smera, suprotnih smerova ikolinearne vektore.
Treba da zna{:
Na crte`u prava je paralelna sa pravom . Koji su vektori predstavqeni na crte`u?
Kakav smer imaju vektori
Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?
Da li su vektori kolinearni ? Za{to ?
Zapi{i vektore koji su opredeqenipore|anim parovima ta~aka : (A,),() i (E,).
1.
Zadaci
Poznato je da su vektori i kolinearni . Da li su kolinearnivektori:
2.
i ; i ?
Na crte`u su dati vektori ukvadratnoj mre`i. Kako su usmerenivektori?
3.
d
i ; b) i ; v) i ;
g) i ; d) i ; |) i ?
c q
b
a p
na paralelnim pravama i
7.
na paralelnim pravama i
na istoj pravi i na istoj pravi i
Nulta usmerena du` predstavqa nulti vektor koji se ozna~ava sa
Nulti vektor smatramo za kolinearan sa svakim drugim vektorom i du`inom jednakojnuli.
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 11/228
11Vektor. Operacije nad vektorima
U paralelogramu ozna~en
su vektori a b A 1.
Uo~io sam da:
Uporedi du‘ine i odredi
smer vektora odnosno vektore
Vektori a i imaju istismer i jednake du‘ine.
Dva vektora a i su jednaka ako imaju isti smer i jednake du`ine, t.j.
Dva vektora c i d su suprotni ako imaju suprotne smerove i jednake du`ine.
Za vektora d se ka`e da je suprotan vektoru c.
c d
Vektori c i d imaju suprotnesmerove i jednake du`ine.
Suprotan vektor c ozna~ava se -c, t.j. d = -c.
a
b
cd Na pravougaoniku predstavqeni
su vektoriwihove du‘ine i odredi wihov smer.
Suprotne strane svakog parale-lograma su paralelne i jednake.
b
a
JEDNAKOST VEKTORA3
Za koja dva vektora i ika‘emo da imaju isti smer?
[ta predstavqa du‘ina vektora
?
Nacrtaj vektor jednak zadanog vektora a .2.
Kroz ta~ku M }u povu}ipolupravu M istog smera sapolupravom A . Napolupravi M odredi}u
ta~ku tako {to
Prvo }e{ nacrtati vektor iozna~i}e{ proizvoqnu ta~ku M.
Kako }e{ odrediti ta~ku za
vektor
a = b ako 1.a b i 2. a = b .
Podseti se!
Uporedi
Uo~i i upamti!
b
b
a i b
c i d
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 12/228
12 Tema 1. Vektori. Translacija
Nacrtaj vektor ako je dat wegov smer S i du`ina3.
Uo~i postupak i uporedi svoje re{ewe.
Na crte`u je dat smer S sa polupravom
A i du`inom r = vektora a.
r
Od proizvoqne ta~ke M konstrui{emopolupravu M isto usmerenu sa A.
Na polupravoj MD odre|ujemo ta~ku , tako {to
Time je opredeqen vektor
Dat je vektor i ta~ka M. Nacrtaj vektor4.
Prema crte`u, odredi koji od vektora su jednaki,odnosno suprotni:
5.
a) a i b ; g) e i r ;
b) a i c ; d) g i h ;
v) b i c; |) c i n :
B 6.
Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.
Dat je vektor i ta~ka O. konstrui{i vektor jednak vektoru
Na koji na~in si konstruisao prvo polupravu O?
Kako si odredio ta~ku na vektoru
Uo~i i upamti!
Ako je u ravni dat vektor i proizvoqna ta~ka O, tada postoji jedinstveni vektor sa po~etkom u ta~ki O koji je jednak vektoru
Konstruisawe vektora jednak vektoru zovemo preno{ewe vektora
u ta~ki O.
a
a
a
a
a b
c
e r n
g h
Uo~i da za dati vektor mo`e{ da nacrta{ bezbroj jednakih vektora na wemu.
Jedan vektor je opredeqen ako je dat wegov smer S i du`ina r ili ako jedat pore|ani par ta~aka (A,)- wegov po~etak A i kraj .
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 13/228
13Vektor. Operacije nad vektorima
Izaberi ~etiri ta~ke O,A, i . U ta~ki O prenesi vektore i 7.
Dati su vektori U krajwu ta~ku vektora prenesi vektor8.
Razgledaj re{ewe i obrazlo`i postupak.
Da objasni{ koja su dva vektora jednaka, odnosno suprotna;
Da prenese{ dati vektor u datu ta~ku ida datom vektoru nadove`e{ drugi
dati vektor.
Na vektor nadove`i vektor
Obrazlo`ipostupak.
Nacrtaj dva kolinearna vektora
i na vektor nadove`i vektor1.
Date su dve proizvoqne ta~ke A i .
Da li vektor je suprotan vektoru
Obrazlo`i!
Zadaci
4.
Nacrtaj dva suprotna vektora a i b
i vektor a nadove`i vektor b
Da li su jednaki vektori kolinearni?Obrazlo`i!
5. Izaberi dva vektora
Na vektor a nadove`i vektor b
2.
3.
Prvo konstrui{i polupravu sa smerom
Kako si odredio ta~ku za vektor da je jednak
Uo~i i upamti!
Za vektor i preneseni vektor ka`emo da su nadovezani.
Dva vektora su nadovezana ako se kraj jednog vektora podudara sa po~etkom drugogvektora.
6. Dati su vektori i ta~ka O .
Prenesi sva tri vektora u ta~ku O.
ba
b
b
a
Proveri!
Treba da zna{:
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 14/228
14 Tema 1. Vektori. Translacija
Konstrui{i vektor
Uporedi svoje re{ewe sa datim i obrazlo`ipostupak.
Kako si preneo vektor i vektorb ?
Kako si odredio vektor
Koja je po~etna, a koja krajwa ta~ka vektora
[ta predstavqa ta~ka O za vektor i ta~ka za vektor
Uo~i i zapamti da ovako konstruisan vektor se zove zbir vektora
Zbir dva nadovezana vektora predstavqaju vektor ~iji se po~etakpodudara sa po~etkom vektora a a kraj se podudara sa krajem vektora tj. ako
onda
Ovo je va`no pravilo za sabirawe vektora!
Uo~i i zakqu~i !
Vektor
c
Zbir dva vektora je jednozna~no odre|en i ne zavisi od izbora po~etne ta~ke O.
Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstrui{i wihov zbir.2.
Izaberi drugu ta~ku razli~itu od O i prenesi vektor [ta
predstavqa vektor za vektore Uporedi vektore i
b
a
c
b
a
Obrazlo`i postupak za preno{ewe
datog vektora u datu ta~ku O.
SABIRAWE VEKTORA44444
Podseti se!
Na vektor nadove`i vektorObrazlo`i postupak!
Dati su vektori a b i ta~kaO u ravni.
Prenesi vektore
a i b tako{to a i
b.
A 1.
b
a
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 15/228
15Vektor. Operacija nad vektorima
Kako je lak{e izvr{iti
sabirawe vektora jerwihov zbir ne zavisi od izborapo~etne ta~ke O?
Prene}u samo vektor
odnosno na vektor
nadoveza}u vektor a zatim }u
odrediti wihov zbir.
Uporedi svoje re{ewe sa datim.
Imenuj date vektore sa wihovim po~etnim ikrajwim ta~kama.
b
a
c
a b
b
Kako je konstruisan vektor
[ta predstavqa vektor za vektore
Uo~i da odre|ivawe zbira dva vektora se svodi na konstrukcijutrougla AVS. Zato ka`emo, zbir dva vektora je odre|en po pravilutrougla.
Dati su vektori Konstrui{i zbir:3.a + b ; b + c .
Dati su kolinearni vektori
Konstrui{i zbir
4.
Razgledaj re{ewe pod a) a ; b i a + b .
Uo~i kako je primeweno pravilo za sabirawe vektora. Obrazlo`i postupak.
Odredi zbir nultog vektora i vektorB 5.
Uo~i da za zbir vektora po pravilu za sabirawe vektora va`i:
Isto tako:
ac
b
ab
b
a
c
Va`i i op{te
Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine
Dati su vektori Konstrui{i vektor6.a
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 16/228
16 Tema 1. Vektori. Translacija
Biramo ta~ku A. Vektor prenosimo sa
po~etkom u ta~ki A i na wega nadovezujemovektor tj
dobijamo
Konstrui{emo paralelogram A, tj.odre|ujemo teme .
Po{to su u paralelogramu suprotne stane paralelne i jednake, dobijamo:
Onda: b a , pa: a b b a
Va`i i op{te
Za koja bilo dva vektora je ta~na jedna~ina
Prema crte`u, mo`e{li da uo~i{ drugina~in za sabirawe
vektora i
Vektore a i b prene}u u zajedni~ki
po~etak ( a i b ), a zatim
konstruisati paralelogram A.Vektor koji opredequje dijagonalu
je zbir a + b .
Ovo pravilo za sabirawe vektora se naziva pravilo paralelograma.
b
a
a +
b b +
ab
a
b
a
Nacrtaj dva suprotna vektora a zatim odredi wihov zbir.7.
Ako a i - a , onda po pravilu za sabirawe vektora sledi:
a + (- a ) = . Isto tako: (- a a
Va`i i op{te
Za svaki vektor a su ta~ne jedna~ine
Neka su data dva nekolinearna vektora Konstrui{i zbirove
. Uporedi vektore a + b i b + a .
8.
Uporedi svoje re{ewe sa datim i uo~i postupak.
t.j.
sabirawe vektora ima komutativno svojstvo.
a
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 17/228
17Vektor. Operacija nad vektorima
Nacrtaj tri nekolinearna vektora a zatim konstrui{i wihov zbir.
Nacrtaj dva nekolinearna vektora ikonstrui{i wihov zbir po pravilu paralelograma.
9.
Uporedi svoje re{ewe sa datim na crte`u i obrazlo`ipostupak.
Dat je ~etvorougaonik A. Neka
c i d .
10.
Od mo`e{ da uo~i{ da: , t.j.
( a + b ) + c = d .
Od sledi: , t.j. a + ( b + c ) = d .
Prema tome: ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
a
b
c
d
a + b
b + c
Poku{aj da poka`e{ da
Uo~i na crte`u da su vektori nadovezani.
a
ba + b
b
a
Uo~i i upamti
Zbir tri ili vi{e nadovezanih vektora je vektor ~iji se po~etak podudara sa po~etkomprvog vektora, a wegov kraj se podudara sa krajem posledweg nadovezanog vektora.
Na crte`u je konstruisan zbir vektora
Va`i i op{te
Za svaka tri vektora je ta~na jedna~ina
t.j. za sabirawe vektora va`i asocijativno svojstvo. Zbog toga, zbir triju vektora
mo`e da se zapi{e i bez zagrada
a
b
d c d c
b
ae
a + b ) + c = a + ( b + c ).
, t.j.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 18/228
18 Tema 1. Vektori. Translacija
Dat je ~etvorougao A i vektora
a b c i d Po
crte`u odredi zbir:
3.
a) a + b ; v) a + b + c ;
b) d + a ; g) a + b + c + d .
4. Nacrtaj tri kolinearna vektora
tako {to vektor ima suprotni
smer od vektora Konstrui{izbirove:
a) a + b ; b) a + c ;
v) b + c ; g) a + b + c .
Dati su vektori (kao na crte`u)
a , b i .
1.
Zadaci
Konstrui{i ih sa po~etkom u datoj ta~kiM, vektore:
a) - a ; b) - b ; v) a + b ;
g) a + ; d) - b + ; |) a + (-a ).
a) a + b = c ; b) a + b = - c ;
v) a + c = a ; g) a + b + c = ?
Dat je trougao A i
vektorite a , b i c.
Koje su jedna~ine ta~ne?
2.
Da konstrui{e{ zbir dva vektora popravilu trougla i paralelograma;
Da iska`e{ i primeni{ svojstva
sabirawa vektora.
Nacrtaj dva vektora tako {to
Treba da zna{:
dati vektor predstavqawihov zbir. c
Proveri se!
a
bc
a
b
c
d
a
b
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 19/228
19Vektor. Operacija nad vektorima
ODUZIMAWE VEKTORA5 5 5 5 5
Dati su vektori
a i = b .
Konstrui{i vektor
tako {tob + x = a .
A 1.
Uo~io sam da vektor treba da bude nadovezan na vektor a kraj da mu se
podudara sa krajem vektora tj
Razgledaj re{ewe (nacrte`u) i obrazlo`i.Koja je po~etna, a kojakrajwa ta~ka vektora
x ?
Ovako konstruisani vektor se zove razlika vektora ozna~ava se sa
tj
Razlika vektora a i b pretstavqa vektor x , takav {to b + x = a ,
t.j. ako b + x = a , tada x = a - b .
b
a
b
a
x
Dati su vektori a i b .2.
Konstrui{i vektor c = a - b .b
a
Razgledaj re{ewe i uo~i postupak.
Da bi konstruisao razliku a - b treba prethodno da
vektore a i b dovede{ u proizvoqnu zajedni~ku ta~ku,
ali je prakti~nije da jedan vektor prenese{ u po~etakdrugog vektora.
Ako a i b, tada vektor a - b go konstrui{e prema zakqu~ku:
a - b .
c = a - b
a
b
Dati su vektori
Podseti se!
Nacrtaj vektor tako {to
a
b
Uo~i i upamti!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 20/228
20 Tema 1. Vektori. Translacija
Koje su ti veli~ine
poznate kao vektorskeveli~ine?
Takve veli~ine su: brzina, snaga,ubrzawe i dr.
Voda jedne reke te~e brzinom od 4 m u sekundi. Jedan ~amac polazi sa jedne obale,normalnoj drugoj obali, sopstvenom brzinom 3 m u sekundi.
7.
Odredi u kom smeru }e se kretati ~amac i kojom brzinom.
Prirodno je da veli~ine koje imaju karakteristike, osim brojevne vrednosti, jo{ isvoj smer da ih zovemo vektorske veli~ine.
Dati su kolinearni vektori a , b i c.Konstrui{i vektor:
a) m = a - b ; b) n = b - c.
3.
Nacrtaj dva vektora a i b tako {to a = 5 a b 3 i konstrui{i vektor
c = a - b .
4.
Prema crte`u koja od slede}ih jedna~ina ta~na:
a) b + a = c ; b) c - b = a ;
v) c = a - b ; g) c - a = b
5.
Uo~i re{ewe i obrazlo`i. Po crte`u:
a) a ; b ; m a - b ;b) c ; b ; n b - c .
B Upoznao si se sa vektorima, wihovim svojstvima i operacijama nad wima. Udaqem u~ewu matematike, fizike i drugih nauka uvide}e{ wihovu velikuprimenu.
Ako zapi{e{ da je du`ina u~ionice 10 m ili je danas temperatura +120S, tada je ovimpodacima potpuno odre|ena du`ina u~ionice i temperatura. Veli~ine kao {to su naprimer du`ina, povr{ina, volumen, masa, temperatura i dr., celosno su brojevimaodre|ene. Takve veli~ine se nazivaju skalarne veli~ine ili skalari
b
c
n
b m
a
a
b
c
Da li je dovoqan podatak ako ka`emo da vetar ima brzinu 20 km na ~as?6.
Nije dovoqan podatak. Karakteristika vetra je da on ima svoj smer koji mo`eda bude severan, ju`an, isto~ni i dr.
b a
c
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 21/228
21Vektor. Operacija nad vektorima
Razmisli o re{ewu, a zatim sagledaj slede}ipostupak.
Sa vektorom v (v
= ) je pretdstavqena sop-
stvenata brzina ~amca u mirnoj vodi.
Vektorom v
(v
= ) je pretstavqena brzina
na reke.
Smer vektora v je smer kretawa ~amca, a du`ina
vektora v predstavqa koliko metara u sekundi
se kre}e ~amac.
Izmeri koliko metara u sekundi se kre}e ~amac.
Da iska‘e{ definiciju i na~inoduzimawa dvaju vektora;
Da konstrui{e{ razliku dva vektora;Nacrtaj vektor a , a zatim predstavi gkao razliku dva vektora.
Treba da zna{:
Da objasni{ koji su skalari, a kojevektorske veli~ine. Nacrtaj dva kolinearna vektora, a
zatim odredi wihovu razliku.
Vektor v = v v pretstavqa brzinu kretawa~amca.
1.
Zadaci
Konstrui{i razliku:
a) a - b ; b) a - ;
v) - a ; g) ( a + b ) - .
Dati su vektorite a , b i
.
2.
Konstrui{i razliku:
a) a - b ; b) b - c ;
v) a - c ; g) ( a - b ) - c .
ba
b
c
a
v
reka
v
v = v
+ v
v
v
Dati su vektori = a; = b i
= c .
Proveri se!
Dati su vektori a , b i c tako
{ta a i b su kolinearni vektori.
3.
Konstrui{i vektora
a
b
c
Preko vektora a i b izrazi vektor
a) ; b) .
Nacrtaj pravougaonik i stavi
a , b.
4.
( a + b ) - c.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 22/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 23/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 24/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 25/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 26/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 27/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 28/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 29/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 30/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 31/228
31Stepen sa pokazateqem prirodni broj
TEMA 2. STEPENI. KVADRATNI KOREN
STEPEN GDE JE POKAZATEQ
PRIRODNI BROJ
1. Stepen 32
2. Pretstavqawe broja u obliku stepena.
Izra~unavawe brojnog izraza 35
OPERACIJE SA STEPENIMA
3. Mno`ewe i deqewe stepena
jednakih osnova 39
4. Stepenovawe stepena, proizvod
i koli~nik 42
Sre}an
22 + 3 4- ti
ro|endan
KVADRAT I KVADRATNI KORENRACIONALNOG BROJA
5. Kvadrat broja. Kvadratni koren 45
6. Izra~unavawe kvadratnog koren -
na nije obavezno
REALNI BROJEVI
7. Iracionalni brojevi 52
8. Skupovi realnih brojeva 54
Proveri svoje znaewe 56
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 32/228
32 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
Zbir istih sabiraka se kra}e zapisuje
kao proizvod.3 + 3 + 3 + 3 = 4 3
Zapi{i slede}e zbirove kaoproizvode:
36 + 36 =
120 + 120 + 120 + 120=
Jedan obojeni kru`i} nekapredstavqa amebu.
STEPEN1 1 1 1 1
STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ
A
1.
Ameba je jedno}elijski
`ivi organizam. Ona serazmno‘ava prostomdeobom. Svaka ameba sedeli na dve nove amebe.
Zna~i, stepen 24 je kratakzapis proizvoda od 4mno`ioca, jednakih na broj 2.
Proizvod istih mno`ioca zapisuje se
kra}e kao stepen.6 6 6 = 63
Zapi{i slede}e proizvode kaostepene:
2 2 2 2 =
18 18 =
Uo~i broj ameba koje se dobijajurazmno`avawem jedne amebe.
Proizvod 2 2 2 2 kratak zapis 24 (se ~ita
"dva na ~etvrti#), a negova brojevna vrednost je
16.
Zapi{i ~etvrtu deobu amebe kao proizvod jednakih mno`ioca.
Prva deoba
Druga deoba
Tre}a deoba
2 = 2
2 2 = 22 = 4
2 2 2= 23 = 8
Zapi{i kao stepen ~etvrtu deobu amebe.
Koliki je broj ameba, posle ~etvrte deobe?
an
Stepen
Eksponent,
stepenov
pokazateq
Osnovastepena
Zapi{i kao stepen proizvod:
(- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);2. Pro~itaj stepen: 712.
Proizvodot od n jednakih mno`ioca jed-
nakih broja a se ozna~ava sa an i zove se
stepen na a, t.j.
Po dogovoru: a1 = a.
Podseti se!
Uop{te
^ita se: a na enti.
a a a
a = a
n
n-puta
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 33/228
33Stepen sa pokazateqem prirodni broj
Stepen 34 zapi{i kao proizvod i izra~unaj wegovu vrednost.
Uo~i primere gde je izvr{eno stepenovawe.
B
3.
Operacija kojom se izra~unava brojna vrednost stepena nekog broja senaziva stepenovawe.
Koristi asocijativno svojstvo{to ti je najpogodnije.
34 = 3 3 3 3 = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81
ili 3 (3 3 3)= 3 27 = 81
(- 4)2 = (- 4) (- 4) = 16
(- 4)3 = (- 4) (- 4) (- 4) = 16 (- 4) = - 64
17 = 1 1 1 1 1 1 1 = 1
(- 1)3 = (- 1) (- 1) (- 1) = - 1
(- 1)6 = (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) = 1
06 = 0 0 0 0 0 0 = 0
Uo~i znak osnove i znakvrednosti stepena, a naro~itoda li je eksponent parni ilineparni broj.
Kolika je vrednost stepena saosnovicom 1, a koliko stepenasa osnovicom (-1)?
Da li vrednost stepena saosnovicom 0, zavisi odeksponenta?
Izra~unaj vrednost svakog stepena:
(1,2) 3 = ; (- 5) 4 = ; (- 3) 3 = ; = ; 0 = ; 16 = ; 71 = .
Slede}a tabela }e ti pomo}i da proceni{ kakav broj je vrednost stepena u zavisnostiod osnove stepena i eksponenta stepena.
Osnovica stepena Eksponent Vrednost stepena
Pozitivni broj
10
Negativni broj
Koji bilo broj
Koji biloprirodni broj
Pozitivni broj
10
Parni brojNeparni broj
Pozitivni broj Negativni broj
1 Sam taj broj
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 34/228
34 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
[ta je stepen, osnovu (osnovicu) stepena ieksponent (stepenov pokazateq);
Da odredi{ brojnu vrednost stepena;
Odredi {ta je ta~no za stepen a.a) a je eksponent, a n je osnova stepena;b) n pokazuje koliko je puta broj a uzetkao mno`ilac;v) vrednost a je pozitivni broj ako a<0i n je neparni broj.
Tvr|ewe koje za a nije ta~no ispravi izapi{i.
Treba da zna{:
Koriste}i pravila iz tabele, odredi kakav broj }e biti vrednost svakog stepena:
63; (- 6)3; ; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020.
4.
5. Uo~i brojnu vrednost stepena (-2)3, izra~unatu digitronom:
Izra~unaj kalkulatorom:
3 3 = ; 0,5 10 = ; (- 1,2) 4 = ; (-136) = ; 152 = .
Da odredi{ brojnu vrednost stepena;
Poku{aj da odgovori{:
Izraz -4 6 nije stepen, a izraz (-4)6 jestepen. Za{to?
Zapi{i svaki izraz kao
proizvod. Uo~i razlikume|u zapisima.
Problem sa algama
U jednoj ~a{i stoje alge. Alge su takve{to se za jedan dan wihov broj mo‘euve}ati za dvaput.
Potrebno je bilo da se za 10 dana ~a{anapuni algama.
Za koliko dana je ~a{a bila napuwenaalgama do pola?Obrazlo`i svoj odgovor.
-2 y x 3 = -8 Ako kalkulator ima ili
na tastaturi.
y x x y
-2 = 4 Ako kalkulator nema ili
na tastaturi.
y x x y= -8
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 35/228
35Stepen sa pokazateqem prirodni broj
Odredi osnovicu i eksponent svakogstepena:
1.
Zadaci
pm - x p - p
Zapi{i kao stepen proizvode:2.
(- 2,5) (- 2,5) = ;
x x x x x x = ;
(a + b) (a + b) (a + b) = ;
6 6 6 6 6 = ;
( x + 6) ( x + 6) = .
Zapi{i kao stepen proizvode:3.
64 = ;
= ;
4.
(- 2)5 = ;
Proizvod 10.10.10, zapisan kaostepen je 103.
Odredi osnovicu i eksponentastepena 103.
PRETSTAVQAWE BROJA U OBLIKU STEPENA.
IZRA^UNAVAWE BROJNE VREDNOSTI IZRAZA 2 2 2 2 2
Podseti se!
Zapi{i stepen 106 kao proizvod jednakih dvocifrenih mno`ioca.
A 1. U tabeli su neke dekadne jedinice zapisane kao proizvod
Uporedi : broj nula u svakoj dekadnoj jedinici, broj mno`ioca u proizvodu ieksponenta u zapisu kao stepen.
Uo~io sam da je broj nula udekadnoj jedinici jednakpokazatequ u wegovom zapisuu obliku stepena sa osnovicom10.
(- x + 3)3= ;
(- 2)4 = ;
= ; (m3)4 = .
Izra~unaj vrednost svakog stepena
(- 0,6 )7 = ;
= ;
Proveri svoj rezultatkalkulatorom.
istih mno`ioca i kao stepeni saosnovicom 10.
Dekadna jedinica
Proizvod Stepen
(- 5)2 = ;
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 36/228
36 Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
Zapi{i kao proizvod stepene 109,10 11,10 10
.
3.
Brzina svetlosti je 300 000 kilometara u sekundi. Zapi{i brzinu svetlosti kaoproizvod broja i stepena sa osnovicom 10.
Brojevi koji mogu da se zapi{u kao proizvod broja i dekadne jedinice, moguda se zapi{u i kao proizvod broja i stepena sa osnovicom 10.
Na primer: 265.000 000= 265.1 000 000= 265.106.
4.
Masa Sunca je oko deset miliona puta ve}a od mase Meseca. Zapi{i masu Sunca uobliku stepena.
Zapi{i dekadnu jedinicu koja je jednaka stepenu 107.
Put koji prolazi svetlost u toku jedne godine se zove svetlosna godina. Kolikokilometara ima jedna svetlosna godina?
1 godina = 365 dana; 1 dan = 24 ~asa;
1 ~as = 60 minuta; 1 minuta =60 sekundi;
Podseti se!
1 svetlosnagodina
Zapi{i svetlosnu godinu kao proizvod
dva broja od kojih je jedan stepen saosnovicom 10 i pokazateqem 8.
Do sada si sagledao da veliki brojevi mogu da se zapi{u kao proizvod dvabroja, od kojih je jedan stepen sa osnovicom 10.Na sli~an na~in, mali brojevi mogu da se zapi{u kao stepen sa osnovicom0,1 ili proizvod broja i stepena sa osnovicom 0,1.
B U tabeli uo~i decimalnebrojeve koji su zapisani kaoproizvod jednakih mno‘ioca ikao stepeni sa osnovicom 0,1
5.
Masa Meseca je oko kilograma.
Ja imam 107 putave}u masu
Broj Zapis kao proizvod Stepen
Zapi{i oblik stepena brojeva koji se sre}u u svakoj re~enici:2.
= 300 000 365 24 60 60 =
Masa Neptuna je oko
nuli
kilograma.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 37/228
37Stepen sa pokazateqem prirodni broj
Svaki decimalni broj mo‘e da se napi{e kao proizvod dva mno‘iocatako {to je jedan stepen od o,1.
Zapi{i kao stepen sa osnovom 0,1 brojeve:0,0000000001 i 0,0000001.6.
Uporedi broj decimalnih mesta poslezapete u broju, sa eksponentom u zapisubroja kao stepen.
Uo~io sam da eksponent uzapisu kao stepen je jednakbroju decimalnih mestaposle zapete u broju.
Stepen sa osnovom 0,1 zapi{i kao decimalni broj.=
Napi{i slede}e brojeve kao proizvod celog broja i stepena sa osnovicom 0,1:
7. Uo~i primer: 0,007 = 7 0,001 = 7 (0,1 0,1 0,1) = 7 0,13
0,3 = ; 0,0008 = ; 0,000362 = ; 1,05 = .
Potseti se!
Izra~unaj
V Operacije stepenovawe je operacija tre}eg reda.
8. Uo~i preme{tawe brojevne
vrednosti izraza
(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) 2.
21
3
Ja sam tre}ired, ali naprvom mestu
Ali prvou zagradi.
Red operacijaBrojni izraz
(816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) 2
Zagrade 810 : (-3)4 - (63 : 8) 2 =
Tre}i red = 810 : 81 - (216 : 8) 2 =
Drugi red = 10 - 27 2 =
Prvi red = 10 - 54 =
Rezultat - 44
Ta~ke idu
pre crtice.
an
+ -
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 38/228
38
Da napi{e{ velike i male brojeve uvidu stepena;
Da primeni{ redosled operacija pri-likom izra~unavawa brojevne vred-nosti izraza.
Povr{inu Zemqe, koja iznosi oko 510000 000 km2, napi{i kao proizvod dvamno`ioca od kojih je jedan stepen sa
osnovicom 10.Napi{i redosled kojim se vr{e oper-acije sabirawe, oduzimawe, mno`ewe,deqewe i stepenovawe u brojnomizrazu.
Napi{i brojeve koji se nalaze u svakojre~enici ,kao proizvod dva mno`ioca,
tako da je jedan stepen broja 10 (iliobratno):
1.
Zadaci
Uo~i brojevnu vrednost izraza6:3+3.32. gde treba da se napi{u za-grade tako da bude ta~na wegova bro- jevna vrednost?
4.
Izra~unaj:2.
Odredi brojevnu vrednost izraza: 3.
Masa Jupitera je oko
Mars ima masu oko 6,4 1020 tonaU ~ovekovom telu ima oko 0,1 1015
}elija.
435 104 = ; 26783 102 = ;
6,9 102 = ; 0,45 103 = ;
15 0,13 = ; 0,392 0,12 = .
6 : 3 + 3 32
= 45;6 : 3 + 3 32 = 9;
6 : 3 + 3 32 = 29.
Odredi brojevnu vrednost izraza:
a) 620 + 3 52 - 147 : (- 7)2 = ; b)
Kod obra~unavawa brojne vrednosti izraza, operacija stepenovawa se vr{i preoperacije drugog reda (mno`ewe i deqewe), a na kraju su operacije prvog reda(sabirawe i oduzimawe). Naravno, treba se obratiti pa`wa na zagrade.
Proveri!Treba da zna{:
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 39/228
39
Stepen a n u oblikuproizvoda se pi{e
Predstavi kaoproizvod jednakvemno`iteqe stepena
73 = ; (- 2)2 = .
MNO@EWE I DEQEWE STEPENA JEDNAKIH OSNOVICA3
OPERACIJE SA STEPENIMA
Lak{e se pamti:
Uo~i da prilikom mno`ewa dva stepena sa jednakim osnovicama:
I ovo je lako, osnovicu
prepisujem, a stepenove po-kazateqe sabiram.
Odredi proizvode: a4 a5; ( - 2)7 (- 2)2; (a - 3) (a - 3)6.2.
Koji stepenovi pokazateq nedostaje u posledwem slu~aju datog u tabeli?
Predstavi vrstu stepena proiz-voda:
Osnova rezultata je ista kao i mno`ioca;
Stepenovi pokazateq rezultata je zbir pokazateqa mno`ioca.
Proizvod stepena sa jednakim osnovi-cama je stepen sa istom osnovicom kaoosnovice mno`ioca i pokazateqa jed-nakom zbiru pokazateqa mno`ioca.
am an = am + n
Zapi{i rezultat mno`ewa stepena: x5 x6 = ; ( - k ) p (- k )m = .
Uo~i kako je izra~unat proizvod
( x2 x4) x3 ( x2 x4) x3 = ( x2 + 4) x3 = x6 x3 = x6 + 3 = x9
3.
a m a n a p = a m + n + p
Razgledaj tabelu o mno`ewu stepena.
Mno`ewestepena
Pisawe stepena kao proiz-voda
Proizvodstepena
23 22 (2 2 2) (2 2) =
2 2 2 2 223+2 = 25
(-3)2 (-3) ((-3) (-3)) (-3) =
(-3) (-3) (-3)(-3)2+1 = (-3)3
= =
54 52 (5 5 5 5) (5 5) =
5 5 5 5 5 554+2 = 5
Potseti se!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 40/228
40
Ako a, b i n su prirodni bro- jevi i n je deliteq brojevima
a i b, tada
Skrati razlomke:
Podseti se!
Primer:
ili
razgledaj tabelu o deqewu stepena jed-
nakih osnovica.
Deqewestepena
Pisawe stepena kao de-qewe proizvoda
Koli~nikstepena
25 : 22
= 2 2 225-2 = 23
(-3)2 : (-3) = (-3)
(-3)2-1 = (-3)
57 : 53
= 5 5 5 5 57-3 = 54
96 : 9 = 9 9 9 9 9
96-1 = 9
Primeti da prilikom deqewa dva stepena jednakih osnovica va`i slede}e:
Osnovica koli~nika je ista kao i osnovica deqenika i delioca;
Stepenovi pokazateq koli~nika je razlika od pokazateqa deqenika i delioca.
Koji je broj stepenovi pokazateq koji nedostaje u posledwem primeru datog u ta-beli?
Lak{e se pamti:Koli~nik stepena jednakih osnovica(razli~iti od 0) je stepen sa istom os-novicom i pokazateqem jednakog razli-
ci pokazateqa m i n, m > n, deqenika idelioca.
a m : a n = a m - n; m > n
uo~i izra~unavawe koli~nika (-6)5 : (-6)3 = .6.
ili skra}eno: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2.
Uo~i deqewe stepena jednakih osnovica kada deqenik i delilac imaju isteeksponente.
7.
Razlo`i stepen 69 na tri mno`ioca. Vide}e{ da ima tri re{ewa, ali tinapi{i samo dva.
4.
Proizvod jednog mno`ioca i a7 je jednak a97. Koji je taj mno`ilac?
Koji broj je stepenovi pokazateq koji nedostaje u mno`ewu 63 6 = 612 ?
a 0
izra~unaj:
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 41/228
41
Uo~i deqewe stepena jednakih osnova kada je pokazateq deqenika broj koji jemawi od pokazateqa delioca.
8.
Izra~unaj:
Odredi koli~nik:
Da ka`e{ i primeni{ pravila:Ka`i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.Objasni kako se dele stepeni jednakihosnova.
Ako 0 tada ise, an : an = . jer su brojilac i imenilac jednaki.
Ako primeni{ pravilo o deqewu stepena jednakih osnova, dobi}e{::
an : a n = an - n = ao
Uvidi da si u prvom slu~aju dobio 1, a u drugom a0
Koji broj je koli~nik prilikom deqewdva stepena jednakih osnova (razli~iti
od nule) i jednakih eksponenata?Koja je brojna vrednost stepena sa kojobilo osnovom a 0 , i eksponent 0?
smatra}emo da ao = 1
am a n = am + n, m, n N;
am a n = am - n, a 0 i m > n;
a 0 i m < n;
an a n = a 0 = 1, a 0 i n N.
Izra~unaj proizvode stepena:1.
Izra~unaj brojnu vrednost svakogizraza:4.
[ta treba da se upi{e u prazne kva-drati}e da jedna~ine budu ta~ne:
2.
Izra~unaj koli~nike stepena:3.
x5 x15
a6 9 a15
174 : 172 = ; 1,14 : 1,1 = ;
y100 y2 615 6100
x3 x5 x2 (-b) (-b)5 (-b)10
7 7100 = 7135;
p4 p 4 p10?
x9 : x12 = ; 35 : 318 = ;
126 : 126 = ; a3 : a3 = .
= ; = ;
2 32 - 6 + 5 (75 : 72) = .
Zadaci
Proveri!
Treba da zna{:
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 42/228
42
broj bakterija se u nekom proizvodu dvaputpove}ava na svakih 6 minuta.
Koliko bakterija }e imati taj proizvod za1 ~as, ako je na po~etku imao jednu bak-teriju?
Stepen a3 se pi{e kao proizvodovako:
a3 = a a a
Napi{i stepene kao proizvod:
STEPENOVAWE STEPENA, PROIZVOD I KOLI^NIKSTEPENOVAWE4
Napi{i pravilo o mno`ewu stepena jednakih osnova.
Zapis (23)4 predstavqa stepen.
[ta je osnova, a {ta eksponentstepena?
Uo~i da 23 predstavqa osnovu stepena, azapis (23)4 -stepenovani stepen.
Zapi{i stepen (23)4 kao proizvod jed-nakih mno`ioca.
Stepen zapisan kao proizvod je(23)4 = 23 23 23 23
Lako je!(23)4 = 23 23 23 23 =
= 23+3+3+3 = 212.
ili (23)4 = 23 4 = 212.
Mo`e{ li stepen (23)4da napi{e{ kaostepen sa osnovicom 2?Mo`e{ li da uvidi{ skra}eni na~inza stepenovawe stepena(23)4 ?
Stepen se stepenuje tako {to se os-nova stepena stepenuje sa proizvodomstepenovih pokazateqa.
Zna~i, osnova se prepisuje, aeksponenti mno`e.
Uo~i primer: : ( x4)2 = x4 2 = x8.2.
6.Koliko-bakterijaima
Izra~unaj koliki je koli~nik
k = 2 za k = -25.
(a m)n = a m n
Stepenuj stepene:
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
Potseti se!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 43/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 44/228
44
Razgledaj primere: 7.
v) (c : 2)3 = ; g) ( x3 : y7)2 = ; d) (2m : 3n)4 = .
Uo~i upro{}avawe izraza ( x4)3 : x2 primenom operacija sa stepenima.
( x4)3 : x2 = x4 3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10.
8.
Izra~unaj vrednost brojnih izraza:
a) (32)3 = ; b) (2 3)4 : 33 = ; v) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 = .
9.
Date izraze napi{i kao stepene sa osnovom 2,ali predhodno razgledaj re{eni primer.
a) 27 : 42 = ; b) = .
10.Primer:
164 : 83 = (24)4 : (23)3 =
= 24 4 : 23 3 = 216 : 29 =
216 - 9 = 27.
Da ka`e{ pravila o stepenovawu proizvoda, koli~nik i stepen
Da primeni{ postupke za stepenovawe proizvoda, koli~nika i stepena u zadacima.
Izvr{i stepenovawe svakog izraza:
Stepenovawe proizvoda
(a b)n = an bn
Stepenovawe koli~nika
(a b)n = an bn; b 0
Stepenovawe stepena
(am)n = am n
= ; = .
Uprosti izraze:
b) ( y13 y) : ( y7)2 = ; v) (b4)3 : (b4 b3 b2) = ; g) (2 3)4 : 63 = .
Zna~i, kada stepenujemkoli~nik, stepenujem deqe-nika i delioca (ili brojiocai imenioca) posebno i dobi- jene stepene delim.
Uop{te, stepen koli~nika je jednak koli~niku stepenova-nog deqenika i delioca sadatim pokazateqem, tj.
= ; b 0.
( x3 y4)5 = ;
b)
b)
Stepenuj koli~nike:
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
Treba da zna{:
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 45/228
45
Izmeri i napi{idu`inu strane kvadratana crte`u.
KVADRAT BROJA. KVADRATNI KOREN5
Napi{i koli~nik kao stepen: 3.
Odredi vrednost izraza:5.
Napi{i stepen a18, kao stepen saosnovicom:
a) a2; b) a6; v) a9
4.
Date proizvode stepena, napi{i kaostepen proizvoda.
6.
a) a2b2 = ; b) 36 x6 = ;
v) x8 y4 z 12 = ; g) 8 x9 y6 = .
P = a a
a
a
Izra~unaj proizvode:
Napi{i kao stepen proizvode:
a) 7 7 7 = ; b) =
c) 6 6 = ; d) (-0,5) (-0,5) = ;
e) x x = ; f ) ab ab = .
Stepenuj proizvode:
(a3b)2 = ; ( x4 y3)7 = ;
(ay3b5)2 = ; (7a6b4)9 = .
1.
Stepenuj svaki koli~nik
2.
Proizvod dva jednaka mno`ioca se zove kvadrat tog mno`ioca.
a) b)
v) g)
d) e)
Zadaci
KVADRAT I KVADRATNI KOREN RACIONALNOG BROJA
Potseti se!
Izra~unaj povr{inu kvadrata inapi{i je u mm2
Izra~unaj povr{inu kvadrata sa
stranom
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 46/228
46
Napi{i ga u obliku proizvoda od dva jednaka mno`ioca:2.
Izra~unaj: 62 = ; = ; (0,1)2 = ; (-0,1)2 = .
Kvadriraj svaki broj: 2; -2; 1; ; 2 ; -10.
Izra~unaj napisane kvadrate:
32 = ; = ; = ; 02 = .
3.
Uo~i da je svaki odprimera pozitivan broj Bilo koji racionalni broj x razli~it od
nule, broj x2 je pozitivan broj, a je 0 za x =0.
Uo~i primere za kvadrirawe digitronom:4.
a) 72 =
7 = 49
b)
Kvadriraj digitronom: a)1232 = ; -462 = ; b) (0,3)2 = ; = .
Izra~unaj vrednosti brojevnih izraza, a zatim proveri digitronom
a) 4122 - 5 792 = . b) 40,42 - 10 2,282 = .
Povr{ina jednog kvadrata je 81 cm2.
Odre|ivawe brojevne vrednosti kvadrata broja, se zove kvadrirawe.
Uop{te, koji bilo racionalni broj x, proizvod x x , kratko se pi{e kao stepen x2.
x x = x2 (~ita se: iks na kvadrat)
x2 je kvadrat racionalnog broja x.
Odredi du`inu strane kvadrata.
1 =-0.2 5 0.04
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 47/228
47
Zna~i, treba da odredim vrednost x, tako da
x2
x2
= 81Za x=9, ta~no je da 9 9 = 81, ali i za x =(-9)
ta~no je da (-9)=81.
Po{to je du`ina uvek pozitivan broj,sledi da je strana kvadrata 9 sm.
Razgledaj primer: Brojeve 4 i -4 su re{ewa jedna~ine x2 = 16, tako {to 42 = 4 4=16 i(-4)2 =(-4) (-4)=16
6.
Proveri da li su brojevi i re{ewa
Odredi re{ewa:
a) x2 = 1; b) x2 = .
7.
= a Ja sam pozitivan.
Odredi samo pozitivna re{ewa jedna~ina: a) x2 = 25; b) x2 = 9; c) x2 = 144.
Ne negativno re{ewe jedna~ine x2 = a; a 0, zove se kvadratni
koren a i pi{e se a
Znak je znak za kvadratni koren, a
u zapisu a , broj a je osnova korenaili veli~ina ispod korena.
Ja imam dva re{ewa.
2
Povr{ina kvadrata je
x2 = 81. Da bi izra~unaostranu kvadrata ,trebada izra~una{ jedna~inu
x2 = 81.
Neka je du`ina strane kvadrata x . Povr{ina kvadrata je P = x x iliP = x2 .
81 cm2
x
Koji broj je kvadratni koren od: 49, 25, 16 i 9.
Razgledaj primer:
zato {to
Doka`i da su ta~ne jednakosti: 10.
Uo~i
Uo~i crte`
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 48/228
48
Da odredi{ kvadrat racionalnog broja; Izra~unaj:
32 = ; (1,6)2 = ; (-0,3)2 = .
Proveri da li je
re{ewe jedna~ine
Izra~unaj:a) (16 - 13)2 : 2 = ;
b) 82 + (4 8 : 4) = ;
v) = .
1.
Proveri da li je ta~no:
Uo~i i obrazlo`i datu {emu.11.
Zna~i, da bi izra~unaokvadratni koren od a, trebada odredim ne negativan
broj b ~iji kvadrat je jednakbroju a .
Upamti! a = b (a 0), akob2 = a (b 0).
Izra~unaj brojevnu vrednost izraza: 12.
Razgledaj primere za odre|ivawe kvadratnog korena kalkulatorom.13.
Izra~unaj kalkulatorom:
Proveri rezultate sa kvadrirawem.
Da odredi{ re{ewa jedna~ine tipa x2 = a
Digitronom da izra~una{ kvadrat ikvadratni koren broja.
Odredi x u jedna~inama:
a) x2 = 144; b) 2 x2 = 72; v) + 2 = 20
2.
Izra~unaj du`inu strane kvadratakoji ima povr{inu 324 cm2 .
3.
b)
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
Kvadratni koren
Kvadrat
Zadaci
Proveri!
Treba da zna{:
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 49/228
49
Ja znam da izra~unam kvadrat broja na druga~iji na~in!
Uo~i kako su izra~unati kvadrati:
22 = 3 1 + 1 = 4; 32 = 4 2 + 1 = 9; 42 = 5 3 + 1 = 16; 52 = 6 4 + 1 = 25.
Otkri koje je pravilo za izra~unavawe.
Napi{i: 62, 72 i 82 na ovaj na~in. Izra~unaj 192, 312 i 992 koriste}i dati postupak.
Proveri svoje rezultate sa kvadrirawem.
IZRA^UNAVAWE KVADRATNOG KORENA -nije obavezno 6
Sagledaj podatke u tabeli.1.
Koliko cifara imakvadratni koren broja:
a) 5625 ; b) 1 000 000 ;
v) 625 108?Izra~unaj digitronom iproveri svoj odgovor bro- jeva a) i b).
Podseti se!
Koriste}i vrednosti iz tabele, izra~unaj:
U tabeli su date vrednosti broja a. Odredi kvadrate tih brojeva.
a
a2
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 100
= ; = ; - = ; = .
Treba da zna{ da proceni{ koliko }e cifri imati kvadratnikoren datog broja.
Trocifreni ili
~etvorocifreni
= 11
= 60dvocifreni
Broj a
Jednocifreni ili
dvocifreni= 3
= 5
Kvadratnikoren Primer
Jednocifreni
Petocifreni[estocifreni
= 10
= 80
Trocifreni
. . .
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 50/228
50
Pa`qivo primeni primer 1. nau~i}e{ da ra~una{ kvadratni korenbroja bez digitrona.
Primer 1.
Data veli~ina ispod korena se deli na klase sa desna na levo po
dve cifre u klasi ( prva klasa u levo mo`e da ima i jednu cifru).
Prva cifra korena od broja je cifra 3 i dobija se kao broj ~ijikvadrat je najbli`e do 11 i mawi od 11 (prva klasa sa leva). Zatimse od prve klase oduzima kvadrat broja 3, tj. 3 3 = 9
Do dobijene razlike 2 (11-9=2) s desna se zapisuje naredna klasa(97) i dobija se broj 297 od koga se odvaja posledwa cifra (7).
Dvocifreni broj 29 se deli sa dvojnim proizvodom prve cifre od
rezultata, 3 2 = 6.Pritom, 29:6=4 i broj 4 je druga cifra od rezultata.
Cifra 4 se dopisuje do 6 (dobija se 64) i tako dobijeni broj semno`i sa 4, a dobijeni proizvod se oduzima od 297.
Do razlike od oduzimawa (297 - 256=41) zapisuje se naredna klasa(16).Dobija se broj 4116 od koga se izdvaja posledwa cifra - cifra 6(dobija se broj 411) i tako dobijeni broj se deli sa dvojnim proiz-vodom broja od prve i druge cifre korena (34 2 = 68).
Pritom se dobija (411:68=6) tre}a cifra korena. Ona se dopisujedo 68 i tako dobijeni broj se mno`i sa wom; dobija se (686 6 =
4116) proizvod koji se oduzima od datog broja. Ostatak od ovogdeqewa je = 0.
= 3
- 9
2
= 34
- 9
29 7 : 64 4
- 25 6 41
= 346
- 9
29 7 : 64 4 - 25 6
411 6 : 686 6 - 411 6
0
Primer 2.Za decimalni broj je sli~an postupak.Jedina razlika je {to deqewe klasa je u dva smera: od deci-
malnog zareza ulevo po dve cifre i udesno po dve cifre.Ako posledwa klasa sa desna ima samo jednu cifru, dopisuje
se 0.
Uo~i da pre nego {to se spusti prva klasa decimala, u rezultatu sestavqa zarez.
Tema 2. Stepeni. Kvadrati koren
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 51/228
51
Ako posle spustawa posledwe klase ima ostatak,postupak mo`e da se produ`i, tako {to dodaje{klasu od dve nule, a u rezultatu stavqa{ zarez.
Primer 3
Daqim dodavawem klase od dve nule postupakmo`e da se produ`i.
Kvadratni koren broja izra~unava{ do odre|enog
broja decimala.
= 25,59 25
- 4
25 5 : 45 5- 22 5
300 0 : 505 5 - 252 5
4750 0 : 5109 9 - 4598 1
1519
Izra~unaj:
U slu~aju pod v) zaokru`i rezultat na jednu decimalu.
Da odredi{ kvadratni koren datog pozitivnog broja.
Izra~unaj:
Koliko cifara ima broj koji je kvadratni koren od petocifrenog broja?
Odredi i proveri rezultat digitronom.
Odredi brojeve ~iji je kvadrat izme|u:
a) 4 i 9; b) 9 i 16
1.
Obrazlo`i odgovor.
Napi{i po dva cela broja najbli`a do
vrednosti slede}ih kvadratnih korena:
2.
Proveri da li je ta~no3.
Proveri koja je jedna~ina ta~na:4.
Koliko je obim kvadrata ~ija jepovr{ina 25 cm2
5.
2.
Zadaci
Proveri!
Treba da zna{:
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 52/228
52
Racionalni brojevi su brojevi koji moguda se napi{u u obliku razlomka
a
b, gde a i b su celi brojevi i b .
Skup racionalnih brojeva se ozna~ava
i a b b
IRACIONALNI BROJEVI 7 7 7 7 7
REALNI BROJEVI
Podseti se! Jedan kvadrat je povr{ine od 22. Kolika je du`ina wegovestranice?
A 1.
Uo~i re{avawe.Po{to = a 2, brojevna vrednost du`inestranice je broj tako {to
a 2 =2 ,tj.
Svaki racionalni broj mo`e da sepredstavi kao kona~an decimalani brojili periodi~ni decimalni broj.
Brojevi:
a) 15; 4,27 su kona~ni decimalnibrojevi;
Su periodi~ni decimalni brojevi.
Procenom i proverom mo`e da se odredi:
Zna~i, du`ina stranice kvadrata je,,broj,, izme|u
Digitronom mo`e da se izra~una da je
1,4142135..., t.j. je beskona~no
neperiodi~ni decimalni broj.
Svaki decimalni broj koji imabeskona~no decimala ineperiodi~an je, zove seiracionalni broj.
Tako, je iracionalni broj.
I brojevi:
itd prikazuju se kao beskona~nidecimalni brojevi koji suneperiodi~ni, pa su i oniiracionalni brojevi.
Iracionalne brojeve kao decimalne brojeve zapisujemo kao pribli`ne vrednosti.
Uz pomo} digitrona odredi pribli`ne vrednosti iracionalnih brojeva u oblikudecimalnih sa dve decimale.
2.
Skupovi iracionalnih brojeva se ozna~avaju slovom .
< 2 zato {to 12 = 1 i 22 = 4. Prema
tome nije cel broj.
Ali da li je celi broj
Po{to se svaki racionalni broj predstavqa kao kona~an decimalni broj ili beskona~ni
periodi~ni decimalni broj, mo`emo da zakqu~imo da nije racionalni broj.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 53/228
53Realni brojevi
Koriste}i vrednosti od proceni vrednost i proveri digitronom da li
si dobro procenio.3.
Proveri da li va`i nejedna~ina 4.
Odredi pribli`nu vrednost:5.
preciznost sa 1 decimalnim mestom;
preciznost sa dva decimalna mesta;
Da li postoji du` ~ija du`ina ima merni broj 6.
Strana kvadrata ima du`inu 1 , wegovapovr{ina je
=1 1=1.
Dijagonala kvadrata je strana kvadrata .
Mo`e da se vidi da kvadrat ima dvaput ve}u povr{inuod povr{ine kvadrata , tj.
Podseti se na zadatak 1. Kvadrat
povr{ine 2 ima stranu du‘ine
Odredi du`inu strane kvadrata , ako je povr{ina
Zna~i postoji du‘ du‘ine
, a ona je .
Razgledaj crte‘ i vidi obrazlo‘ewe.
Iznad du`i se konstrui{e
kvadrat. Wegova je povr{ina
Dijagonala kvadrata (wena du`ina) sprenosi na brojnoj pravi.
Rastojawe od O do dobijene ta~ke
pozitivnom smeru je a u
negativnom smeru je
Mo`e{ da vidi{ da
BAko `eli{ da zna{ vi{e....
Uo~i kako je na brojnoj pravi predstavqen iracionalni broj 7.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 54/228
54
SKUPOVI REALNIH BROJEVA88888
Podseti se!
je skup racionalnih brojeva:
= a b b
Odredi kom skupu brojeva pripada vrednost svakog brojnog izraza.
vrednosti izraza a), b), d) i ‘) su elementi
Vrednosti iz a) do |) i ‘) su elementi skupa
Primeti da:
Vrednosti svih izraza od a) do z) su elementi skupa
Odredi re{ewe jedna~ineDa li jedna~ina 2=3 ima re{ewe koje je element skupa 2.
Uo~i da 2=3 ima re{ewe
je iracionalni broj i nije element skupa
Kom skupu pripadaju brojevi:
je skup prirodnih brojeva:
je skup celih brojeva:
A Dosada si nau~io da sabira{,oduzima{, mno`i{ i deli{brojeve, da odredi{ stepen ikvadratni koren broja.
1. Izra~unaj:
a) 106 - 95 = ; b) 47 102 = ; v) 316 + 316 = ;g) 9 - 15 = ; d) 135 : 5 = ; |) 816 - 816 = ;
e) 1 : 2 = ; `) 63 = ; z) 1 : 3 = .
Koji se broj naziva iracionalni broj.
Napi{i 4 broja koji su iracionalni.
Treba da zna{:
Zadaci
Koji su od brojeva
iracionalni?
1.
Predstavi brojeve na brojnoj pravi:2.
3.
Proveri re{ewe izra~unavawemkvadratnog korena digitronom.
Zaokru`i na dva decimalna mestairacionalne brojeve koji su dati ubrojnim izrazima.
Odredi brojnu vrednost izraza:
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 55/228
55Realni brojevi
Prema elementima skupova: -prirodni brojevi, -celi brojevi, -racionalni brojei -iracionalni brojevi, odgovori na pitawa:
3.
Da li svaki element skupa pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa pripada skup
Da li svaki element skupa pripada i skupu ? Da li svaki element iz skupa pripada skupu
Da li neki elementi skupa pripadaju i skupu ?
Uo~i venov dijagram:
Za skupove i va`i: i =
Skupovi ~iji elementi su svi racionalni iiracionalni brojevi se zove skup realnihbrojeva i ozna~ava se sa .
Odredi kom skupu pripada svaki od slede}ih brojeva:
4.
Na brojnoj pravi predstavi brojeve: 6.
Treba da zna{:
Koji brojevi su elementi skupa ;
Da li je ta~no:Ako je broj a element skupa celihbrojeva Z , tada je taj broj element
skupa Q i . Obrazlo`i!
Dati su brojevi:1.
Zadaci
Koji brojevi su elementi skupa N?
Od onog {to je navedeno, {ta jeta~no:
a) je iracionalni broj;
b) - je realni broj;
v) je iracionalni i racionalni broj
g)7 je prirodni broj, a ceo broj jeracionalni broj i realni broj.
2.
Da navede{ primere realnih brojeva.
Koji brojevi su elementi skupa Z?
Koji brojevi su elementi skupa Q?
Koji brojevi su elementi skupa R?
BZa svaki realni broj postoji
ta~ka na brojnoj pravi.
Na brojnoj pravi ozna~ene su ta~ke. Kojod wih je pridru`ena racionalnom, koja iracionalnom broju?
5.
-1 0
- -
3
-2-3-4-5 1 2 3 4 51,5
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 56/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 57/228
57Monomi i polinomi
TEMA 3. POLINOMI
MONOMI I POLINOMI
1. Izrazi 58
2. Monomi 63
3. Sabirawe i oduzimawe monoma 67
4. Polinomi 69
5. Mno`ewe i stepenovawe monoma 73
6. Sabirawe i oduzimawe polinoma 74
7. Mno`ewe polinoma sa monomom 76
8. Mno`ewe polinoma 78
9. Proizvod zbira i razlike dva
izraza 81
10. Kvadrat binoma 83
11. Deqewe monoma. Deqewe
polinoma sa monomom 86
12. Delewe polinoma sa polinomom 88
13. Racionalni izrazi 90
RAZLAGAWE POLINOMA NA
MNO@IOCE
14. Razla`ewe polinoma izvla~ewemzajedni~kog mno`ioca ispred zagrade i
grupirawem 93
15. Razlagawe polinoma tipa
- na proste mno`ioce 95
16. Razlagawe polinoma tipa
+ +
i
- +
na proste mno`ioce 97RAD SA PODACIMA17. Prikupqawe podataka 99
Proveri svoje znawe 102
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 58/228
58 Tema 3. Polinomi
Kojim redosledom treba daizvr{i{ operacije u datimbrojevnim izrazima?
U datim izrazima, prvo treba daizvr{im operacije mno‘ewe ideqewe, a zatim operacije sabirawe ioduzimawe.
Uporedi svoje re{ewe sa datim.
- - - - - , tj. vrednost izraza je 7.
- -= = =
+ +, tj. vrednost izraza je 3.
Broj koji se dobija posle vr{ewa svih operacija u datom brojevnom izrazu se zovebrojevna vrednost izraza.
2. Izra~unaj vrednost izraza
Koja je vrednost imeniocaizraza ? Da li tim brojemmo‘e{ da izvr{i{ deqewe?
Vrednost izraza 10:2-5=0, ne delise sa nulom, tj. deqewe sa nulomnema smisla.
Za brojni izraz u kome ima deqewe sa nulom, se ka`e da nema brojnu vrednost ilida nema smisla.
3. Odredi koji od navedenih izraza nema brojevnu vrednost:
Zapise 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 2 su brojevni izrazi.
IZRAZI1 1 1 1 1
MONOMI I POLINOMI
Podseti se! Izra~unaj vrednost izraza: A 1.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 59/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 60/228
60 Tema 3. Polinomi
Promenqiva je simbol (naj~e{}e slovo) koji predstavqa zajedni~ku oznaku zaelemente datog skupa..Skup se zove domen promenqive (naj~e{}e se ozna~ava sa , a svaku wegov elementpredstavqa vrednost promenqive.
Ako nije zadat domen promenqive smatra}emo da je on skup R realnih brojeva.
8. Odredi domen svake promenqive u prethodna dva zadatka.
Uoo~i i zapamti
Konstante: 1, 2, 0, , ... su izrazi.
Promenqive: x, y, z ,... , a, b, c, ... su izrazi.
Zapisi: 3 + 5 2, x y x y - i drugi, sostaveni od konstante i promenqive
uz pomo} znakova za operacije, su izrazi.
Ako u izrazu ima promenqive, tada se on zove izraz sa promenqivom.
9. Koji od slede}ih izraza je sa promenqivom:
Izraz sa promenqivom 5 -2 mo`e da se ozna~i sa A(
V 10. Izra~unaj vrednost izraza
Uporedi svoje re{avawe sa zadatim. x - x - - - - - - ,
t.j. broj 5 je vrednost izraza
Datom izrazu sa promenqivom odgovara odgovaraju}i brojevni izraz, ako sepromenqiva zameni sa odre|enom vredno{}u; vrednost brojevnog izraza je brojevna
vrednost izraza sa promenqivom.
11. Izra~unaj vrednost izraza
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 61/228
61Monomi i polinomi
Iz tabele mo`e{ da uo~i{ da je skup vrednosti izraza A( -5 u domenupromenqive , je skup
Skup vrednosti izraza
Za koju vrednost x izraz ) nema vrednost?
13. Neka su dati izrazi:
Odredi skupove vrednosti A(
Uporedi skupove vrednosti A( i ( ). [ta prime}uje{?
Uo~i re{avawe ovog zadatka u tabeli.
x
x
x
-2 -1 1 2
0 -1 3 8
0 -1 3 8
Prime}ue{ da za svaku vrednost x x x
Izrazi sa promenqivom koji imaju jednake brojevne vrednosti, za svaku vrednostpromenqive od domena se zovu identi~ni izrazi.
14. Dati su izrazi x x - x i x x x - a domenom .
Proveri dali su izrazi x i x identi~ni.
Ako dva identi~na izraza se ve`u znakom za jednakost (=) dobija se jedna~ina koja sezove identitet.
15. Napi{i identitet iz zadatka br. 14.
12. Neka su dati izrazi:
Odredi vrednosti
Uo~i u tabeli re{avawe ovogzadatka.
x
x
x
-2 -1 0 1 2
7 0 -5 -8 -9
-1 -2 -5 nemavrednost
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 62/228
62 Tema 3. Polinomi
Da izra~una{ vrednost brojevnog izraza;
Izra~unaj brojevnu vrednost slede}ihizraza:
Treba da zna{:
Da razlikuje{ brojevni izraz od izrazasa promenqivom;
[ta je: konstanta, promenqiva i domenpromenqive.
Dati su izrazi: x x - x i
x x (2 - x), so domenom .
Poka`i da je jedna~ina x x
identitet.
Dati su izrazi: x x -
x x i x x - pri {to
x 0 .
Odredi koja jedna~ina:
x x x x ili x x eidentitet.
1.
Zadaci
Izra~unaj brojevnu vrednostslede}ih izraza:
2. Odredi koji od slede}ih brojevnihizraza nema vrednost
3. Koji je od slede}ih izraza sapromenqivom
4. Izra~unaj brojevnu vrednost izraza
x - x za x -.
5. Za koju vrednost
x x
nema
vrednost?
6. U skupu dati su izrazi:
x x x i
x x x - .
Poka`i da su izrazi x i x
identi~ni.
7. Poka`i da je jedna~ina
x - x za x 0 , je
identitet.
8.
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 63/228
63Monomi i polinomi
su
izrazi sa promenqivom.
Podseti se! Dati su izrazi: 5 A 1.
Od kojih je konstanti i promenqivisastavqen svaki izraz?
Koje su operacije zastupqene udatim izrazima?
[ta su konstante, a {ta su promenqive uizrazima.
2 x
Uo~i da su neki izrazi samo konstante, a neki promenqive.
Neke promenqive su napisane u obliku stepena.
Dati izrazi predstavqaju monome.
Monomi su: konstante, promenqive i izrazi koji su proizvod od konstanta i stepenapromenqive.
Odredi koji od slede}ih izraza su monomi i obrazlo`i odgovor.2.
Proizvod stepena sa istim osnovama jestepen sa istom osnovom i eksponentom jednakom zbiru eksponenata mno`ioca.
Podseti se! Dat je monom xy x y.B 3.
Od kojih mno`ioca je sastavqenmonom?
Sa kojim mno`iocima u monomumo`e da se izvr{i operacijmno`ewe?
Odredi slede}e proizvode
a4 a2; x3 x5 x.
Pomno`i sa istim osnovama u monom
aabb
Uradi mno`ewe sa tim
mno`iocima.
Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo mno`ioca u datom monomu iuradi{ mno`ewe, dobi}e{ identi~an monom datom.
MONOMI 2 2 2 2 2
U drugim izrazima me|u konstantama i promenqivima ima samo operacija mno`ewe.
Op{to
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 64/228
64 Tema 3. Polinomi
Dat je monom
- x y.6.Koji mno`ioci u monomu su konstante, akoji promenqive?
Primeti da u monomu x y mno‘ilac je konstanta, a promenqiva je
Uporedi svoje re{avawe sa datim.
4 x x y y = 4( x x y y = 4 x y
Uo~i da dobijeni monom 4
y5 ima samo jednog brojevnog mno`ioca i nema stepene
jednakih osnova.
Ako je u jednom monomu ura|ena operacija mno`ewe sa wegovim mno`iocima sa
kojima je mogu}e, ka`emo da je taj monom sveden u standardni oblik.
Uo~i kako se svodi monom x y x y u standardni oblik.4.
-3 x y x y = (-3 2)( x x ( y y -6 x y
Napi{i kao standardni oblik monome:5.
abab - x y y x x y xy xy
Brojevni mno`ilac u standardnom obliku monoma ( u slu~aju -6) se zove koeficijent
monoma,a proizvod od promenqivih (u slu~aju y
3) se zove glavna vrednost monoma.
Odredi koeficijent i glavnu vrednost slede}ih monoma:7.
ab - x y - x y x y
Dati su monomi - x y i x y. Uo~i koeficijente i glavne vrednosti oba
monoma.V8.
Monomi: x; x y; ab imaju koeficient jedan. Jedinicu kao koeficijent ne zapisujemo.
Koja je glavna vrednost ovih monoma?
Monome: - x; -ab; - x y imaju koeficient -.
Napi{i glavnu vrednost ovih monoma.
[ta je zajedni~ko za oba monoma?Oba monoma imaju jednakeglavne vrednosti.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 65/228
65Monomi i polinomi
10. Dati su sli~ni monomi: - x y i x y.
Kakvi su me|u sebom kojeficienti datih monoma?
Uo~i da kojeficient monoma: - x y i x y su suprotni brojevi.
Dva sli~na monoma ~iji su koeficijenti suprotni brojevi, nazivaju se suprotni
monomi.
11. Napi{i suprotan monom monomu a x y -ab
12. Odredi koji od slede}ih monoma su suprotni. -a
bc
ab
c
a
bc
13. Odredi stepen svakoj od promenqivih u slede}im monomima:
x y z abc
G U monomu x y z promenqiva je x tre}eg stepena, y je od drugog stepena i z od
prvog stepena. Zbir stepena svih promenqivih je 3 + 2 + 1 = 6; zato se ka`e da
monom x y z je od {estog stepena.
Uo~i i zapamti
Stepen monoma predstavqa zbir eksponenta promenqivih u monomu. Ako je monomkonstanta, tada se smatra da on ima nulti stepen.
Na primer, monom abc je od osmog stepena, jer , a monom je od nultog
stepena.
Monomi koji imaju jednake glavne vrednosti se zovu sli~ni monomi.
Odredi koji slede}i monomi su sli~ni:9.
Dva racionalna broja koji imaju istu apsolutnu vrednost i suprotne znakove, zovu sesuprotni brojevi.
Podseti se!
Napi{i suprotni broj svakog slede}eg broja: a)
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 66/228
66 Tema 3. Polinomi
14. Odredi stepen svakog monoma:
- x ab - x yz abc
Da svede{ monom u standardni oblik;
Treba da zna{:
Da odredi{ koeficijent i glavnuvrednost monoma;
Da defini{e{ sli~ne i suprotnemonome;
Da odredi{ stepen monoma.
Napi{i u standardni oblik monom
- x y - xy i odredi kojeficient i
glavnu vrednost monoma;
Dat je monom - x y z .
a) napi{i sli~ni monom datom.
b) napi{i suprotni monom datom monomu.
v) odredi stepen datog monoma.
1.
Zadaci
Napi{i u standardni oblik:
-abac
y xy .
2. Odredi koeficijente i glavne
vrednosti slede}im monomima:
- x y
3. Napi{i monom sa kojeficient -0,5 i
glavne vrednosti a2b3.
4. Odredi koji su od slede}ih monomasli~ni:
5. Odredi koji su od slede}ih monomasuprotni.
6. Napi{i suprotini monom monoma
7. Odredi stepen svakome od slede}ihmonoma:
abc - x y -a x yz
8. Napi{i dva monoma sa kojeficientom
-3 i promenlive a i b, tako da jedan
bude od ~etvrtog stepena, a drugi od
petog stepena.
Proveri!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 67/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 68/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 69/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 70/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 71/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 72/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 73/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 74/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 75/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 76/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 77/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 78/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 79/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 80/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 81/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 82/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 83/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 84/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 85/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 86/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 87/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 88/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 89/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 90/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 91/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 92/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 93/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 94/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 95/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 96/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 97/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 98/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 99/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 100/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 101/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 102/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 103/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 104/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 105/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 106/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 107/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 108/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 109/228
Uvideo si tvr}ewe i treba da upamti¡
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 110/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 111/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 112/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 113/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 114/228
To ¡to si uvideo je jedno va`no svojstvo tetivnog ~etvorougla.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 115/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 116/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 117/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 118/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 119/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 120/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 121/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 122/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 123/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 124/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 125/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 126/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 127/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 128/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 129/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 130/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 131/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 132/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 133/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 134/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 135/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 136/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 137/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 138/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 139/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 140/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 141/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 142/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 143/228
Razgledaj crte` i odgovorina slede}i pitawa
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 144/228
a) Kako da se podeli zadati romb na
tri dela, od kojih mo`e da se sasta-
vi pravougaonik, tako da mu osnova
bude jedna od dijagonale romba?
b) Koriste¢i to, izvedi formulu koja
izra`ava povr{inu romba preko we-
govih dijagonale.
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 145/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 146/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 147/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 148/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 149/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 150/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 151/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 152/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 153/228
Uo~i
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 154/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 155/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 156/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 157/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 158/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 159/228
Uo~i i upamti!
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 160/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 161/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 162/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 163/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 164/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 165/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 166/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 167/228
Upamti postupak
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 168/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 169/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 170/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 171/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 172/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 173/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 174/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 175/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 176/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 177/228
Uvidi putawe
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 178/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 179/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 180/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 181/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 182/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 183/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 184/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 185/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 186/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 187/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 188/228
Uo~i
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 189/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 190/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 191/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 192/228
Uporedi svoje odgovore sa slede}im
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 193/228
Uo~i i upamti!
Uvi}a¡
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 194/228
Va`i i uop¡te
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 195/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 196/228
Va`i i uop{te
Neobavezno Uvidi
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 197/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 198/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 199/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 200/228
Va`i i uop{te
Va`i i uop{te
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 201/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 202/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 203/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 204/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 205/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 206/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 207/228
Iz primera uvidi
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 208/228
Mo`e¡ da uvidi¡
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 209/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 210/228
Uo~i
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 211/228
Preglednije
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 212/228
Pomo}
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 213/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 214/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 215/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 216/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 217/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 218/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 219/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 220/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 221/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 222/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 223/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 224/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 225/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 226/228
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 227/228
Рецензенти:Д-р Никита Шекутковски - претседник
Шабан Алија - чланГордана Андонова - члан
Уредник издања:
Јово Стефановски
Језички лектор:Сузана Стојковска
Компјутерска обрада и дизајн:Драган Шопкоски
Коректура:
Аутори
Превод:Силвана Станковић
Издавач:Министарство образовања и науке Републике Македоније
Штампа:Графички центар дооел, Скопље
Решењем Министарства образовања и науке Републике Македонијебр.10-1621/1 од 19.06.2009 године, одобрава се употреба овог уџбеника
227
8/11/2019 8 Razred 7 - Stefanovski - Matematika
http://slidepdf.com/reader/full/8-razred-7-stefanovski-matematika 228/228
Recommended